线性代数考试题库及答案(五)
线性代数单元测试卷(含答案)
线性代数单元测试卷(含答案)一、选择题(每题2分，共20分)1. 在线性代数中，什么是矩阵的秩？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵的非零行数D. 矩阵的最大线性无关行数正确答案：D2. 下列哪个不是矩阵的运算？A. 矩阵的加法B. 矩阵的减法C. 矩阵的除法D. 矩阵的乘法正确答案：C3. 矩阵的转置满足下列哪个性质？A. (A^T)^T = AB. (AB)^T = B^T * A^TC. (A + B)^T = A^T + B^TD. (AB)^T = A^T + B^T正确答案：B4. 什么是向量的线性组合？A. 向量相加B. 向量相减C. 向量乘以常数后相加D. 向量与常数相乘正确答案：C5. 下列哪组向量线性无关？A. (1, 0)B. (0, 1)C. (1, 1)D. (1, -1)正确答案：C二、填空题(每题3分，共30分)1. 给定矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求A的逆矩阵。
正确答案：[[-2, 1], [1.5, -0.5]]2. 给定矩阵B = [[2, 4], [1, 3]]，求B的特征值。
正确答案：[5, 0]3. 给定向量v = (1, 2, 3)，求v的范数。
正确答案：sqrt(14)4. 给定矩阵C = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，求C的秩。
正确答案：25. 给定矩阵D = [[1, 2], [3, 4], [5, 6]]，求D的转置矩阵。
正确答案：[[1, 3, 5], [2, 4, 6]]三、解答题(每题10分，共40分)1. 什么是线性相关和线性无关？线性相关表示向量之间存在线性组合的系数不全为零的情况，即存在非零向量组合得到零向量。
线性无关表示向量之间不存在这样的关系，即只有全为零的线性组合才能得到零向量。
2. 什么是矩阵的行列式？矩阵的行列式是一个标量，它是一个方阵中各个元素按照一定规律相乘再求和的结果。
行列式可以用来判断方阵的逆是否存在，以及计算方阵的特征值等。
考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(16年)设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3，则f(x1，x2，x3)=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为A．单叶双曲面．B．双叶双曲面．C．椭球面．D．柱面．正确答案：B解析：二次型f(x1，x2，x3)的矩阵为由得A的全部特征值为λ1=5，λ2=λ3=一1，因此，二次曲面方程f(x1，x2，x3)=2在适当的旋转变换下可化成方程5y12一y22一y32=2，由此可知该二次曲面是双叶双曲面．知识模块：线性代数2．(98年)设A、B是两个随机事件，且0＜P(A)＜1，P(B)＞0，P(B | A)=，则必有A．P(A | B)=．B．P(A|B))≠．C．P(AB)=P(A)P(B)．D．P(AB)≠P(A)P(B)．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计3．(06年)设A，B为随机事件，且P(B)＞0，P(A | B)=1，则必有A．P(A ∪B)＞P(A)．B．P(A ∪B)＞P(B)．C．P(A ∪B)=P(A)．D．P(A ∪B)=P(B)．正确答案：C解析：由1=P(A|B)=得P(B)=P(AB)故P(A ∪B)=P(A)+P(B)一P(AB)=P(A)，选(C)．知识模块：概率论与数理统计4．(07年)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0＜p＜1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为A．3p(1-p)2．B．6p(1一p)2．C．3p2(1一p)2．D．6p2(1一p)2．正确答案：C解析：P{第4次射击恰好第2次命中目标}=P{前3次射击恰中1枪，第4次射击命中目标}=P{前3次射击恰中1枪}.P{第4次射击命中目标}=C31p(1一p)2.p=3p2(1一p)2 知识模块：概率论与数理统计5．(14年)设随机事件A与B相互独立，且P(B)=0．5，P(A—B)=0．3，则P(B—A)=A．0．1B．0．2C．0．3D．0.4正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计6．(15年)若A，B为任意两个随机事件，则A．P(AB)≤P(A)P(B)．B．P(AB)≥P(A)P(B)．C．D．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计填空题7．(87年)设在一次试验中A发生的概率为p，现进行n次独立试验，则A 至少发生一次的概率为_____；而事件A至多发生一次的概率为____．正确答案：1一(1一p)n；(1一p)n+np(1一p)n-1．解析：由贝努里概型的概率计算公式，A至少发生一次的概率为1一P(A发生0次)=1—Cn0p0(1一p)n-0。
线性代数试题库+解析
线性代数期末考试题库一、填空题（1）设A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-7345327254321111,则=+++44434241A A A A 6+2-22+14=0 （2）若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101010001P ， 则P AP=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++++13331232133311312322232113121311a a a a a a a a a a a a a a a a （3）设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963042321，B 为三阶非零矩阵，满足AB=O ，则r(B)= 1 3)因为rank(AB)>=rank(A)+rank(B)-n ，而本题中rank(AB)=0,rank(A)-2,所以rank （B ）=1 （4）设44⨯矩阵A=[]432,,,γγγα，B=[]432,,,γγγβ其中432,,,,γγγβα均为四维列向量，且已知行列式,1,4==B A 则=+B A ( 40 )（5）设C B A ,,皆为n 阶矩阵，已知0)det(≠-A I 。
若AB I B +=，CA A C +=，则=-C BE（5）解析：因为AB I B +=，则B(I-A)=I ，所以(I-A)=B -1。
又CA A C +=，则C(I-A)=A ，所以有CB -1=A, C=AB, B-C=B-AB=B(I-A)=I;（6）设A 为三阶非零矩阵，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=a B 11213112，且O AB T=)(，则=a 0（6）解析：(AB)T =O ，即为AB=O,说明A 有非零解B ，说明rank(A)=rank(A|B)<3;当a 不等于0时，rank(B)=3,此时rank(A|B)=3,所以只有a=0，rank(A|B)<3。
（7）设三阶方阵A =[21,,γγα] ，B=[β21,,γγ]其中21,,,γγβα均为三维列向量，且已知det A =3， det B=4,则det(5A -2B )= 63 (8)已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-+-=-+-++00)3(0)2()2(3213213221ax x x abx x a x x a ab x a b bx 的解空间是二维的，则=a 2 ,=b -1（8）注：齐次线性方程组的解空间的维数=n-r(A).非齐次线性方程组的解不够成线性空间。
自考试题线性代数题库及答案
自考试题线性代数题库及答案线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于工程、物理、计算机科学等领域。
以下是一套自考试题线性代数题库及答案，供学习者参考。
一、选择题1. 下列矩阵中，哪一个是可逆矩阵？A. \( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \)B. \( B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)C. \( C = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)D. \( D = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \)答案： C2. 设 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 矩阵，\( I \) 是 \( n\times n \) 的单位矩阵，若 \( A^2 = I \)，则 \( A \) 称为：A. 正交矩阵B. 反对称矩阵C. 正交变换矩阵D. 反射变换矩阵答案： D二、填空题1. 设向量 \( \mathbf{v} = (1, 2, 3) \)，向量 \( \mathbf{w} =(4, 5, 6) \)，这两个向量的点积为 __________。
答案： 322. 若 \( A \) 是一个 \( m \times n \) 矩阵，\( B \) 是一个\( n \times p \) 矩阵，则 \( AB \) 的行列数为 __________。
答案： \( m \times p \)三、解答题1. 证明：若 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 矩阵，且 \( A^n =I \)，则 \( A \) 必定可逆。
解答：由于 \( A^n = I \)，我们可以得出 \( A \) 的 \( n \) 次幂是单位矩阵。
线性代数期末考试题及答案
《线性代数》期末考试题及答案一、单项选择题(每小题3分，共24分).1.设行列式1112132122233132331a a a a a a a a a =，则111112132121222331313233234234234a a a a a a a a a a a a --=-( ). A. 6； B. -6； C. 8； D. -8.2.设B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则下列一定成立的是( ).A. 0A =或0B =；B. 0A =且0B =；C. 0=A 或0=B ；D. 0=A 且0=B .3.设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列各式中不正确．．．的是( ). A. ()T T T A B A B +=+； B . 111()A B A B ---+=+； C. 111()AB B A ---= ； D. ()T T T AB B A =.4.设12,αα是非齐次线性方程组Ax b =的解，是β对应的齐次方程组0Ax =的解，则Ax b =必有一个解是( ).A ．21α+α；B ．21α-α；C ． 21α+α+β ；D ．121122βαα++.5.齐次线性方程组123234 020x x x x x x ++=⎧⎨--=⎩的基础解系所含解向量的个数为( ).A. 1；B. 2；C. 3；D. 4. 6.向量组12,,αα…,s α(2)s ≥线性无关的充分必要条件是( ).A. 12,,αα…,s α都不是零向量；B. 12,,αα…,s α任意两个向量的分量不成比例；C. 12,,αα…,s α每一个向量均不可由其余向量线性表示；D. 12,,αα…,s α至少有一个向量不可由其余向量线性表示. 7.若( )，则A 相似于B .A. A B = ； B . 秩(A )=秩(B )；C. A 与B 有相同的特征多项式；D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值，且n 个特征值各不相同. 8.正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( )必成立.A. A 的所有顺序主子式为非负数；B. A 的所有顺序主子式大于零；C. A 的所有特征值为非负数；D. A 的所有特征值互不相同.二、填空题(每小题3分，共18分)1.设3阶矩阵100220333A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 为A 的伴随矩阵，则*A A =_____________.2.1111n⎛⎫⎪⎝⎭=__________________(n 为正整数). 3.设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且det()0A ad bc =-≠，则1A -=________________.4.已知4阶方阵A 的秩为2，则秩(*A )=_________________.5.已知向量组123(1,3,1),(0,1,1),(1,4,)a a a k ===线性相关,则k =____________.6.3阶方阵A 的特征值分别为1，-2，3，则1A -的特征值为_________.三、计算题(10分，共44分)1.(7分)计算行列式01231000100001x x a a a a ---2.(7分)设矩阵121348412363A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，问a 为何值时，(1) 秩(A )=1； (2) 秩(A )=2.3.(15分)给定向量组12103a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，21324a ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，33021a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭=，40149a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，试判断4a 是否为123,,a a a 的线性组合；若是，则求出组合系数4.(15分)λ取何实值时，线性方程组12233414x x x x x x x x λλλλλλλλ-=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-+=⎩有唯一解、无穷多解、无解？在有无穷多解的情况求通解。
线性代数试题(完整试题与详细答案)
线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数第五章习题答案
则 H 是正交阵. 综上得证 H 是对称的正交阵.
4 . 设 A 与 B 都是正交阵, 证明 AB 也是正交阵.
证明: 因为 A, B 是正交阵, 故 A−1 = AT , B −1 = B T .
(AB ) (AB ) = B T AT AB = B −1 A−1 AB = E .
T
故 AB 也是正交阵.
9 . 设 A 为正交阵, 且 |A| = −1, 证明 λ = −1 是 A 的特征值.
证明: 即需证明 λ = −1 满足特征方程 |A − λE | = 0, 即 |A + E | = 0. 因为
|A + E | = A + AT A = E + AT |A| = − AT + E = − (A + E )T = − |A + E | , (|A| = −1) (A 为正交阵)
(A2 − 3A + 2E )p = (λ2 − 3λ + 2)p.
又由 A2 − 3A + 2E = O , 代入上式得
(λ2 − 3λ + 2)p = 0.
而特征向量 p = 0, 所以
λ 2 − 3λ + 2 = 0 .
解得 λ = 1 或 2. 得证 A 的特征值只能取 1 或 2. 一个有缺陷的证明: 由 A2 − 3A + 2E = O , 得 (A − 2E )(A − E ) = O . 两边取行列式得
的全部特征值向量.
−1 0 1 1 0 0
0 1 −1
−1 1 0 0 0 2 0
0 , −1
得基础解系 p3 = 1 , 故 k3 p3 (k3 = 0) 是对应于 λ3 = 9 的全部特征值向量. 2 (3) 由 −λ |A − λE | = 0 1
线性代数网络教学阶段测试五
一、单项选择题（共20题）1.下列矩阵中不是二次型的矩阵的是（）【正确答案】C【您的答案】A【答案解析】2.n元实二次型正定的充分必要条件是（）A.该二次型的秩＝nB.该二次型的负惯性指数＝nC.该二次型的正惯性指数＝它的秩D.该二次型的正惯性指数＝n【正确答案】D【您的答案】A【答案解析】二次型正定的充分必要条件是二次型的正惯性指数＝n3.下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是()A.A-1正定B.A没有负的特征值C.A的正惯性指数等于nD.A合同于单位阵【正确答案】B【您的答案】A【答案解析】A-1正定表明存在可逆矩阵C使C T A-1C=I n，两边求逆得到C-1A（C T）-1= C-1A（C -1）T=I n即A合同于I n，A正定，因此不应选A。
C是A正定的定义，也不是正确的选择。
D表明A的正惯性指数等于n，故A是正定阵，于是只能B。
事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。
4.矩阵的特征值为()A.1，1B.2，2C.1，2D.0，0【正确答案】A【您的答案】A【答案正确】【答案解析】得到特征值是1，1。
5.已知相似，则有（）【正确答案】D【您的答案】A【答案解析】6.设矩阵相似.则下列结论错误的是（）【正确答案】B【您的答案】A【答案解析】根据相似矩阵的性质判断B错误.7.设A为3阶矩阵，且已知，则A必有一个特征值为（）【正确答案】B【您的答案】A【答案解析】8.已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，则|A-4E|=()A.2B.-6C.6D.24【正确答案】B【您的答案】A【答案解析】∵3阶矩阵A的特征值为1,2,3∴|λE - A | 展开式含有三个因子乘积：（λ-1）（λ-2）（λ-3）∵|λE -A | 展开式λ3项系数为1∴|λE - A |=（λ-1）（λ-2）（λ-3）∵A为3阶矩阵∴| A-λE |=（-1）3|λE - A |=（-1）3（λ-1）（λ-2）（λ-3）将4代入上式得到-6。
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线性代数考试题库及答案一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分）1.在111()111111x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ）(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 22.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且()r C r <，则 （ ）(A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A)A B = (B) ,0A B A B ≠-=但(C) AB (D) A B 与不一定相似，但A B =4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则222A B C ++= （ ）(A) O (B) E (C) 2E (D) 3E5．设1010,0203A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分）1．已知1112223330a b c a b c m a b c =≠，则111122223333232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。
2．设101020101A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。
3．已知β为n 维单位列向量，T β为β的转置，若T C ββ= ，则2C = 。
4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则12T αα= 。
5．设A 是四阶矩阵，A *为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线性无关解，则()r A *= 。
6．向量组123(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系是 。
7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231232202030x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩的解，则λ= 。
8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量(2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。
9．设21110012100,112004A a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则 。
10．二次型222123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。
三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分）1．试求行列式1234ab b b ba b bD b b a b =的第四行元素的代数余子式之和.2.设100100020,010003031A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 求1()AB -.3．设n 阶方阵,A B 满足2A B AB +=，已知120120003B ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭，求矩阵A . 4．设二次型22212312313(,,)222(0)f x x x ax x x bx x b =+-+>中，二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12 .（1）求,a b 的值；（2）用配方法化该二次型为标准形.四、计算题（二）（共3小题，每题10 分，共30分） 1．当λ为何值时，方程组1231231232124551x x x x x x x x x λλ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩ 无解、有唯一解或有无穷多组解？在有无穷多组解时，用导出组的基础解系表示全部解.2已知向量组1(1,3,2,0)T α=，2(7,0,14,3)Tα= ，3(2,1,0,1)T α=-，45(5,1,6,2),(2,1,4,1)T T αα==-，（1）求向量组的秩；（2）求该向量组的一个极大无关组，并把其余向量分别用该极大无关组线性表示.3．已知矩阵122212221A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；判断A 能否对角化，若可对角化，求正交矩阵P ，使1PAP -为对角矩阵，并写出相应的对角矩阵。
五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分）1．设α是n 阶矩阵A 的属于特征值λ的特征向量.证明：α也是534A A E -+的特征向量. 其中E 为n 阶单位矩阵.2. 设n 维向量组,,αβγ线性无关，向量组,,αβδ 线性相关，证明：δ必可由,,αβγ线性表示.《线性代数》（A 卷）答案要点及评分标准一．选择题（共5小题，每题2分，共计10分）1．A ； 2．B ； 3．C ； 4．D ； 5．C .二．填空题（共10小题，每题2分，共计20分）1．6m ； 2．(2,0,1)； 3．Tββ； 4．0； 5．0； 6．线性无关； 7． 1； 8． 1,1,-1； 9． 1； 10． 2.三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分）1、解：414243441111a b b bb a b bA A A A b b a b +++=………4分 300()001a b a b a b a b a b a b b a b ----==-- ………8分2、解：方法一：100100100020010020003031093AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭………2分100100()0200100931ABE ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭→10010010********312⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭→10010010100023100123⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭所以11001()00231023AB -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭………8分（2）方法二：11110010010011()010000022********0323AB B A ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭………8分3、解：方法一：由2A B AB +=, 得到()2A E B B -=-，……2分→110010210100021001002⎛⎫- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭ ……5分 所以，E B -可逆，12()A B E B -=--=320120003-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭. ……8分020100(,)110010002001E B E -⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭方法二：由2A B AB +=, 得到()2A E B B -=-， ……2分 用初等列变换求A0201100022240240006E B B -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎛⎫= ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ → 100010001320120003⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭……6分所以， 320120003A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. ……8分4、 解：二次型的矩阵002002a b A b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 根据题意得到22(2)1,4212a a b ++-=--=- 1,2a b == ………4分f =222222123131323224(2)26x x x x x x x x x +-+=++- 令 11322332y x x y x y x=+⎧⎪=⎨⎪=⎩，标准形为22212326y y y +-. ………8分四、计算题（二）（共3小题，每题10分，共计30分）1、解： 2111(1)(54)455A λλλλ-=-=-+- 由克莱姆法则当415λλ≠≠-且时，方程组有唯一解； ……2分当45λ=-时(,)r A b =42115411254551⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭→⋅⋅⋅→1045545510009--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭有()(,)r A r A b ≠，所以方程组无解； ……4分 当1λ=时(,)r A b =211111124551-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭→⋅⋅⋅→100101110000⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭ 有()(,)23r A r A b ==<，方程组有无穷多组解，原方程组等价于方程组为12311x x x =⎧⎨-=-⎩ 取30x =，得到特解(1,1,0)T η=-令31x =，代入等价方程组的齐次线性方程组中求得基础解系为(1,0,1)T ξ=方程组的全部解为x k ηξ=+ 其中k 为任意常数 ……10分2、解：初等行变换矩阵12345(,,,,)ααααα到行最简梯矩阵为123451725230111(,,,,)21406403121ααααα⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭→ 211003311010330011000000⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭……6分可得向量组的秩为3，向量组的一个极大无关组为123,,ααα，且41235122111,3333ααααααα=++=-+ ……10分3、解：A 的特征多项式为2122212(5)(1)221E A λλλλλλ----=---=-+--- ………3分得到矩阵A 的全部特征值为1231,5λλλ==-= 当121λλ==-时，由()0E A x --=得一个基础解系12(1,1,0),(1,0,1)T T ξξ=-=-正交化,单位化1(T β=，2(Tβ=当35λ=时，由(5)0E A x -=的一个基础解 3(1,1,1)T ξ=将其单位化得3Tβ= ………8分 因此A 能对角化且正交阵123(,,)6Pβββ⎛⎫⎪==-⎝，1P AP-=Λ使，相应的对角阵为100010005-⎛⎫⎪Λ=-⎪⎪⎝⎭……10分五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分）1、证明：因为,Aαλα=有53535353(4)44(41)A A E A Aααααλαλααλλα-+=-+=-+=-+根据特征值和特征向量的定义得α也是534A A E-+的特征向量.………4分2、证明：由,,αβγ线性无关，得到,αβ线性无关，又,,αβδ线性相关，则δ可以由,αβ线性表示，所以δ必可由,,αβγ线性表示.………4分。