线性代数考试题库及答案(五)

线性代数考试题库及答案

一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分）

1.在111

()111111

x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ）

(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且

()r C r <，则 （ ）

(A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成

3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A)

A B = (B) ,0A B A B ≠-=但

(C) A

B (D) A B 与不一定相似，但

A B =

4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则

222A B C ++= （ ）

(A) O (B) E (C) 2E (D) 3E

5．设1010,0203A B ⎛⎫⎛⎫

== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似

二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分）

1．已知11

122

233

30a b c a b c m a b c =≠，则1111

22223333

232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设

1

010

2010

1A ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝

⎭

，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。

3．已知β为n 维单位列向量，

T β为β的转置，若T C ββ= ，则

2C = 。

4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则

12T αα= 。

5．设A 是四阶矩阵，A *

为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线

性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1

23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系

是 。

7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231

23220

2030

x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪

-+=⎨⎪+-=⎩的解，则

λ= 。

8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量

(2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。

9．设21110012100,112004A a a ⎛⎫

⎛⎫

⎪

⎪== ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

则 。 10．二次型2

2

2

123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。

三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分）

1．试求行列式1

234

a

b b b b

a b b

D b b a b =

的第四行元素的代数余子式之和.

2.设100100020,010003031A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

, 求1()AB -.

3．设n 阶方阵,A B 满足2A B AB +=，已知120120003B ⎛⎫

⎪=- ⎪

⎪⎝⎭

，求矩阵A . 4．设二次型

222

12312313(,,)222(0)f x x x ax x x bx x b =+-+>中，二次型的

矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12 .（1）求,a b 的值；（2）用配方法化该二次型为标准形.

四、计算题（二）（共3小题，每题10 分，共30分） 1．当λ为何值时，方程组

1231231

232124551

x x x x x x x x x λλ+-=⎧⎪

-+=⎨⎪+-=-⎩ 无解、有唯一解或有无穷多组解？在有无穷多组解时，用导出组的基础解系表示全部解.

2已知向量组1

(1,3,2,0)T α=，2(7,0,14,3)T

α= ，3

(2,1,0,1)T α=-，

45(5,1,6,2),(2,1,4,1)T T αα==-，（1）求向量组的秩；（2）求该向量组的一个

极大无关组，并把其余向量分别用该极大无关组线性表示.

3．已知矩阵122212221A ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

；判断A 能否对角化，若可对角化，求正交矩阵P ，使1

P

AP -为对角矩阵，并写出相应的对角矩阵。

五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分）

1．设α是n 阶矩阵A 的属于特征值λ的特征向量.证明：α也是5

3

4A A E -+的特征向量. 其中E 为n 阶单位矩阵.

2. 设n 维向量组,,αβγ线性无关，向量组,,αβδ 线性相关，证明：δ必可

由,,αβγ线性表示.

《线性代数》（A 卷）答案要点及评分标准

一．选择题（共5小题，每题2分，共计10分）

1．A ； 2．B ； 3．C ； 4．D ； 5．C .

二．填空题（共10小题，每题2分，共计20分）

1．6m ； 2．(2,0,1)； 3．T

ββ； 4．0； 5．0； 6．线性无关； 7． 1； 8． 1,1,-1； 9． 1； 10． 2.