线性代数考试题库及答案(四)

线性代数考试题库及答案

一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分）

1、设n 阶方阵A B 与等价，则必有 （ ） (A) 当(0)A a a B a =≠=时， (B) 当(0)A a a B a =≠=-时， (C) 当0A B ≠=0时， (D) 当00A B ==时，

2、设,A B 为同阶可逆矩阵，则 （ ） (A) 矩阵A 与B 等价 (B) 矩阵A 与B 相似 (C) 矩阵A 与B 合同 (D) 矩阵A 与B 可交换

3、向量组Ⅰ：12,,

,r ααα；可由向量组Ⅱ：12,,

,s βββ线性表示，则（ ）

(A) 当r s <时，向量组Ⅱ必线性相关 (B) 当r s >时，向量组Ⅰ必线性相关 (C) 当r s <时，向量组Ⅰ必线性相关 (D) 当r s >时，向量组Ⅱ必线性相关

4、已知1β和2β是非奇次线性方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是对应导出组的基础解系，12,k k 为任意常数，则方程组Ax b =的通解（一般解）为（ ） (A) 12

11212()2k k ββααα-+++

(B) 12

11212()2k k ββαββ-+++

(C) 1211212()2k k ββααα++-+ (D) 12

11212()2

k k ββαββ++-+

5、若方阵110101011C ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，则C 的特征值为 （ ）

(A) 1，0，1 (B) 1，1，2 (C) -1，1，2 （D ）-1，1，1 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分）

1、已知12αα，为2维列向量，矩阵121212(2,),(,)A B αααααα=+-=，若行列式

6,A B =-=则 。

2、设3阶方阵500012,011A ⎛⎫

⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

则A 的逆矩阵1A -= 。

3、设210120001A ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，矩阵B 满足2ABA BA E **=+，其中A *为A 的伴随矩阵，E

为三阶单位矩阵，则B 的行列式B = 。 4、设A 是3⨯5

阶矩阵，A 的秩()2r A =，而101020103B ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，则()r BA = 。

5、已知四阶行列式中第二列元素依次为1，2，3，4，其对应的余子式依次为4，

3，2，1，则该行列式的值为 。

6、设三阶矩阵122212304A -⎛⎫

⎪= ⎪

⎪

⎝⎭

，三维列向量11a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，已知A αα与线性相关，则

a = 。

7、设四阶矩阵A 相似于B ，A 的特征值为2，3，4，5，E 为四阶单位矩阵，则

行列式B E -= 。

8、如果10阶方阵A 的各行元素之和均为0，且()9r A =，则线性方程组0Ax =的通解为 。

9、若方阵A 与对角阵相似，且0m A =，（m 为自然数），则A = 。 10、若二次型2

2

2

1231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++正定，则t 的所属区间

为 。

三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分）

1、解方程

1

1111111011111

1

1

1

x x x x ---+-=--+--

2、求向量组12345,,,,ααααα的一个极大无关组，并用该极大无关组表示其余的向

量。其中12(2,7,1,4)T αα=

=---T

（1，4，0，2），，3(1,4,1,3)T α=- 45(2,5,1,0)T αα==T

（-4,-4,3,1），。

3、设11123512536A λ-⎛⎫

⎪

=- ⎪ ⎪⎝⎭

，求A 的秩。

4、求矩阵X ，使2XA XB C =+。其中249657532A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，114232101B ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪-⎝⎭

，

123231C ⎛⎫

= ⎪-⎝⎭

。

四、计算题（二）（共3小题，每题10 分，共30分）

1、已知向量12321511253,,,3312641113βααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，判断向量β能否由向量组123,,ααα线性表示，若能，写出它的一般表示方式；若不能，请说明理由。

2、设181411112A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，123x X x x ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

（1）计算二次型T X AX ，写出该二次型所对应的矩阵；

（2）将二次型T X AX 化为标准形，写出所用的可逆线性变换及变换矩阵。

3、设124522,4214A x B y --⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪=--= ⎪

⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝

⎭

，如果,A B 相似，求 （1）,x y 的值

（2）相应的正交矩阵1,P P AP B -=使。

五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分）

1、设A 为n 阶方阵，E 为n 阶单位矩阵，且2

240A A E --=。试证：3A E -可逆，并求1

(3)A E --。

2、若向量组1234,,,αααα线性无关，向量组12233441,,,αααααααα++++是否线性相关？说明其理由。

线性代数 课程试卷（A ）

一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分）

1. 行列式x

010x 4x

13 的展开式中，2x 的系数为 （ ）