理论力学第九章 点的合成运动

第九章 点的合成运动
§9－1 点的合成运动的基本概念
轮缘上上一点的运动 随不同的参考系 参考系而不 随不同的参考系而不 同。 对地面 地面上的观察者： 地面 点的轨迹是旋轮线 旋轮线 对轮心 轮心的观察者： 轮心 点的轨迹则是圆。 圆
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随小车 小车一起运动的观察者 小车 观察者： 观察者 重物在在垂直方向作直线运动 直线运动
r ar z′ r k′ ′ v or r′ x′ i ′ j
M
r aa y′
r ae
y
即：当牵连运动为平动时，动点在某瞬时的绝对加速度等 当牵连运动为平动 当牵连运动为平动时 于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。这就是 于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 加速度合成定理。 加速度合成定理
α 2 = 42o
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§9－4 牵连运动为平动时点的加速度合成定理
Ox ' y ' z ' 为平动坐标系 平动坐标系
动点 M 相对于动系的坐标为x ' , y ' , z '
v v 可知 ve = vO '
z
动点M 的绝对速度
dx ' v ' dy ' v ' dz ' v ' v v v v o i + j + k va = ve + vr = vO ' + x dt dt dt v' v' v' 单位矢量 i , j , k 是常矢量 v v v dva dvO ' d 2 x ' ' d 2 y ' ' d 2 z ' ' v v aa = = + 2 i + 2 j + 2 k = ae + a r dt dt dt dt dt
'
'
a
注意：
v v v 1、六个要素 v a = ve + v r
三个大小 三个方向 需正确地画出三种速度的平行四边形，已知其中4个要 素求另外两个 ； 2、动点和动系的选择是关键 不能将动点和动系选在同一个参考体，否则无相对运动; 动点相对于动系的相对运动轨迹 轨迹要一目了然。 轨迹 3、动系的运动 平动或转动 动系的运动是任意的运动，但一般为平动 转动 。 平动
O
O
vA
r vB
R
A
B
r r v A vr 1
vr1 = v + v = v + v = 75km / h
2 A 2 e 2 A 2 B
r ve A R
α1
r vB B
v A 45 tan α1 = = = 0. 6 vr1 75
α1 = 36.9o
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2、以车B为动点，静系取在地面上，动系取在车A上 动点的速度合成矢量图如图。 r
地面观察者： 地面观察者 重物作曲线运动 曲线运动
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观察发现： 观察发现： 点在一个参考体中的运动可以由几个运动组合而成。 车轮上 车轮 Ｍ点： y′ y 1.对于地面，Ｍ沿旋轮线运动； 2.以车厢为参考体，点Ｍ对于车厢的 M O′ x′ 运动是简单的圆周运动 圆周运动； 圆周运动 x 3.车厢对于地面的运动是简单平动； O 平动； 平动 C 两个简单运动的合成；即点Ｍ相 4.Ｍ点的运动就可以看成两个简单运动的合成 两个简单运动的合成 Ｍ 对于车厢作圆周运动 圆周运动;同时车厢对地面作平动 平动. 圆周运动 平动 合成运动： 合成运动 ： 相对某一参考体的运动可由相对于其它参考 体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动 合成运动。 合成运动
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B
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当三种运动轨迹为曲线时，加速度合成定理可以表示多项 形式
r n rτ r n rτ r n rτ aa + aa = ae + ae + ar + ar
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例3 图示曲柄滑杆机构，曲柄长OA=r，当曲柄与铅垂线 成 θ 时，曲柄的角速度为ω 0，角加速度为α 0，求此时BC 的速度和加速度。 O α0 解：
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几个概念
1、动点：要研究的点 动点： 2、两个参考系：一般把固定在地球上的坐标系称为定参 两个参考系： 定参 考系；用 Oxyz表示； 考系 固定在相对地球运动 相对地球运动的参考体上的坐标系称为动参考 相对地球运动 动参考 系；用 O′x′y′z ′ 表示。 3、三种运动 （1）动点相对于定参考系 定参考系的运动称为绝对运动； 绝对运动； 定参考系 绝对运动 （2）动点相对于动参考系 动参考系的运动称为相对运动； 相对运动； 动参考系 相对运动 （3）动参考系 动参考系相对于定参考系 定参考系的运动称为牵连运动。 牵连运动。 动参考系 定参考系 牵连运动 一个动点；两个坐标系； 一个动点；两个坐标系；三种运动
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例1 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块用 铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，滑 块在摇杆O1B上滑动并带动摇杆绕固定轴 O1摆动。设曲柄 长OA=r, 两轴间距离OO1=l, 求当曲柄端在水平位置时摇杆 的角速度。 r 解：
ω 1、选曲柄端点A为动点，把动系固定 r O ve 在摇杆O1B上。 分析运动：点A的绝对运动 绝对运动是以点O为 绝对运动 2、速度合成定理： 圆心的圆周运动；v v v va = ve + vr ϕ 相对运动（在动系上看动点的运动轨迹） 相对运动 O1 × × 大小 1√ 是沿O B方向的直线运动； √ √ √ 牵连运动则是摇杆绕O1轴的摆动。 牵连运动 方向
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va
ϕ
y′
B
r vr
A
x′
3、 计算速度 由直角三角形可求牵连速度：
ve = va sin ϕ
摇杆角速度为：
ve ω r sin ϕ ω1 = = O1 A r2 + l2
=
ωr 2
r +l
2 2
转向如图
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例2 如图车A沿半径为150m的圆弧道路以匀速行驶vA=45 km/h，车B沿直线道路以匀速行驶vB=45km/h ，两车相距 30m，求：（1）A车相对B车的速度；（2）B车相对A车的 速度。 r 解: 1、以车A为动点，静系取在地面上， 动系取在车B上。 2、求速度 动点的速度合成矢量图如图。
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符号： 符号： 动点的相对速度和相对加速度 动点的绝对速度和绝对加速度 动点的牵连速度、牵连加速度
r r vr , a r
r r va , a a r r ve , ae
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§9－3 点的速度合成定理 － 时刻t 动点M 时刻t: 动点M在C点 时刻t+∆ 动点M 时刻t+∆t: 动点M在 C1点 绝对位移： 1 CC 牵连位移： ' CC 相对位移： 'C1 C 且 CC1 =CC + C C1
'
z
B
va ve
vr
M
C1
B1
O
C A
C' A1 y
x
'
v v 动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵 ve vr 连速度与相对速度的矢量和 矢量和。 连速度与相对速度的矢量和
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v v v v v a = ve + vr v
CC1 C C1 CC = lim + lim lim ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 ∆t
θ
B
1、以滑块A为动点，静系取在地面上， 动系取在BC杆上， 2、动点的速度合成矢量图如图。 建立如图的投影坐标 Aξη ， r r r 由 va = ve + vr ，将各矢量投影到 投影轴上，得
ω0
A
C
η
r vr
A
r va r ξ ve
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D
r aa
y′
ω O ϕ
A x′
C E
vA 45 × 103 ω= = = 0.083rad / s R 3600 × 150 v ve = 180 × 0.083 = 15m / s = 54km / s
2 vr 2 = vB + ve2 = 80.72km / h
vA
O
R
r vB α A v2 B vr 2
v ve
ve 54 sin α 2 = = = 0.669 vr 2 80.72
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动点的绝对运动 相对运动 绝对运动和相对运动 点的运动，而牵连运动 绝对运动 相对运动都是指点的运动 点的运动 牵连运动 是指参考体的运动 参考体的运动，实际上是刚体的运动 刚体的运动，一般为平动 平动或 参考体的运动 刚体的运动 平动 转动。 转动。 动点在绝对运动中的轨迹、速度和加速度称为绝对轨 动点在绝对运动中的轨迹、速度和加速度称为绝对轨 绝对速度和绝对加速度。 迹、绝对速度和绝对加速度。 动点在相对运动中的轨迹、速度和加速度称为相对轨 动点在相对运动中的轨迹、速度和加速度称为相对轨 相对速度和相对加速度。 迹、相对速度和相对加速度。 在某一瞬时，动坐标系上和动点相重合的点（瞬时牵 在某一瞬时，动坐标系上和动点相重合的点（瞬时牵 连点）相对静坐标系的速度和加速度称为该瞬时的牵连速 连点）相对静坐标系的速度和加速度称为该瞬时的牵连速 牵连加速度。 度和牵连加速度。