理论力学_点的运动学
理论力学—点的运动学
O
二.点的速度
⒈ 平均速度
⒉ t 时刻的速度 r dr v lim r t 0 t dt
1.1 矢量法
三.加速度
速度矢端 曲线---速度端图
v ⒈ 平均加速度 a t
*
a
⒉ t 时刻的加速度
v dv d r a lim r 2 t 0 t dt dt
v y r sin t
2 2
v v
2
x
v
2
y
cos( v, i )
vx t MB sin sin v 2 2 MD v t BD cos( v, j ) y cos cos v 2 2 MD
t r (1 cos t ) sin t 2r sin 2
大小
a a x a
2Leabharlann 2ya2
z
方向
d x d y d z dt 2 dt 2 dt 2
2 2 2
2
2
2
ay ax az cos(ai ) , cos(aj ) , cos(ak ) a a a
解：由点M的运动方程，得
8 cos 4t , ax 32 sin 4t vx x x
8 sin 4t , a y 32 cos 4t vy y y 0 vz j 4, a z
z
2 2 2 2 从而 v vx vy vz2 80m s , a ax ay az2 32m s 2
α
at v M
故在这瞬时飞机的总加速度 a 的大小和方向为
理论力学教案-运动学
论力学--运动学运动学研究点和刚体运动的几何规律，即运动方程、轨迹、速度、加速度或角速度、角加速度等运动特征量。
第六章 点的运动学点的运动学是研究一般物体运动的基础，又具体独立的应用意义。
描述点的运动有矢径法、直角坐标法、自然法三种方法。
§6.1 矢量法一．矢量法表示点的运动方程设动点M 在空间作曲线运动，在参考坐标系上任取 某确定的点O 为坐标原点，则动点的位置可用原点至动 点的矢径r 表示。
当动点M 运动时，矢径r 的大小和方 向一般也随时间而改变，并且是时间的单值连续函数， 即)(t r r =上式称为用矢量表示的点的运动方程。
动点M 在运动过程中，其矢径r 的末端在空间 描绘出的曲线，称为动点M 的运动轨迹。
也称为矢径r 的矢端曲线。
二．矢量法表示点的速度)()(t t t r r r -+=∆∆平均速度tt t t t ∆∆∆∆)()(r r r υ-+== 瞬时速度dtd t t t rr υυ===→→∆∆∆∆00limlim 三．矢量法表示点的加速度 )()(t t t υυυ-+=∆∆ 平均加速度tt t t t ∆∆∆∆)()(υυυa -+==瞬时加速度2200lim lim dt d dt d t t t rυυa a ====→→∆∆∆∆结论：动点的速度等于它的矢径r 对时间的一阶导数，其加速度等于动点的速度对时间的一阶导数，也等于动点的矢径r 对时间的二阶导数。
§6.2 直角坐标法一．直角坐标表示动点的运动方程由于k j i r z y x ++=，当动点在轨迹上运动时，r 随时间而变化，则动点M 的坐标值x ，y 和z 随时间 而变化。
即⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(321t f z t f y t f x消去方程中的参数t ，则得到动点运动的轨迹。
二．直角坐标表示动点的运动速度由于动点M 的矢径可表示为 k j i r z y x ++=，所以动点M 的速度可表示为 k j i r υdtdzdt dy dt dx dt d ++==将动点M 的速度写成投影形式，即k j i υz y x υυυ++=比较以上两式，可得dt dx x =υ，dt dy y =υ，dtdz z =υ 三．直角坐标表示动点运动的加速度动点M 的速度可表示为k j i r υdtdz dt dy dt dx dt d ++==，其加速度可表示为 k j i υa 222222dtzd dt y d dt x d dt d ++==将动点M 的加速度写成投影形式，即k j i a z y x a a a ++=比较以上两式，可得 22dt x d a x =，22dt y d a y =，22dt z d a z =结论：动点的速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的一阶导数，动点的加速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的二阶导数。
理论力学——运动学
v2
n
加速度a的大小：
a
aτ + a n
2
2
dv 2 v 2 2 ( ) ( ) dt
加速度和主法线所夹的锐角的正切：
tan
aτ an
4、直角坐标于自然坐标之间的关系：
ds 2 dx 2 dy 2 dz 2 v ( ) ( ) ( ) ( ) dt dt dt dt
2
2
九、刚体的基本运动
1、刚体的平动
（1）刚体平动的定义 刚体运动时，若其上任一直线始终保持与它的初始
位置平行，则称刚体作平行移动，简称为平动或移动 。 (2) 平动刚体的运动特点
刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；同一瞬时，
各点的速度相同，加速度也相同。
刚体平动判别：P169题三图，P176题五图，题七图
点加的速度
i + y j + z k vx
a vx i + v y j + vz k xi + yj + zk
ax v x x ay v y y az v z z
3、自然法
用自然法描述的运动方程：
s பைடு நூலகம் f (t )
a 2 a x a y a z a an
1
2
2
2
2
2
a 2 a v2
2
5、匀速、匀变速公式
（1）
aτ＝常数，
v v0 aτ t
（ 2）v=常数，
1 2 s s0 v0t aτ t 2 2 v 2 v0 2a ( s s0 )
平面运动。
理论力学--运动学总结
速度瞬心位置的确定总结
瞬时平动
几点注意 1、基点法是速度分析的基本方法；
2、速度投影法 应用起来简单，但必须知道待求速度 点的方位，致命的弱点—是不能求图形的角速度 2、当平面几何简单时，分析速度可采用瞬心法； 瞬心法既可以求某点的速度，也可以求刚体运动 的角速度； 4、确定速度瞬心的速度是该点的绝对运动速度； 5、具体分析时三种方法灵活运用；
（1）刚体的基本运动 平动
v A vB
aA aB
各点的轨迹相同；
可简化为一个点的运动。
定轴转动
v R
a R
an R 2
轮系的传动比：
1 n1 R1 Z 2 i12 2 n2 R2 Z1
各处不打滑时： 接触点有相同的线速度和相同的切向加速度。
（2）刚体的平面运动 1. 定义 任一点到某固定平面的距离保持不变。
B点的加速度分析
D
C
a a 2 a a 2 ae 2 ar 2
n
aa 2 ae 2
O1
30°
ar 2
B
aa 2cos60 aa2cos30 ae 2
n
aa 2
1
30° O2
n
A
a a2 O2 B 2
n 2 aa2 O2 B2
ae2 657mm/ s
2
三、刚体的运动
va=v
vCA
动点：滑块C 动系：固结于AE
u=vA
vr
vC' A
ωAE
分析三种运动
牵连运动：刚体的平面运动
牵连转动
va ( vA vCA ) vr
va cos vCA v A sin
理论力学(5.6)--点的运动学-思考题
第五章 点的运动学5-1和 ， 和 是否相同？5-2点沿曲线运动，如图所示各点所给出的速度v和加速度a哪些是可能的？哪些是不可能的？5-3点M 沿螺线自外向内运动，如图所示。
它走过的弧长与时间的一次方成正比，问点的加速度是越来越大，还是越来越小?点M越跑越快，还是越跑越慢？5-4当点作曲线运动时，点的加速度a是恒矢量，如图所示。
问点是否作匀变速运动?5-5 作曲线运动的两个动点，初速度相同、运动轨迹相同、运动中两点的法向加速度也相同。
判断下述说法是否正确：（1）任一瞬时两动点的切向加速度必相同；（2）任一瞬时两动点的速度必相同；（3）两动点的运动方程必相同。
5-6 动点在平面内运动，已知其运动轨迹)(x f y 及其速度在x 轴方向的分量。
判断下述说法是否正确：（1）动点的速度可完全确定；（2）动点的加速度在x 轴方向的分量可完全确定；（3）当速度在x 轴方向的分量不为零时，一定能确定动点的速度、切向加速度、法向加速度及全加速度。
5-7 下述各种情况，动点的全加速度，切向加速度和法向加速度三个矢量之间有何关系？（1）点沿曲线作匀速运动；（2）点沿曲线运动，在该瞬时其速度为零；（3）点沿直线作变速运动；（4）点沿曲线作变速运动。
5-8 点作曲线运动时，下述说法是否正确：（1）若切向加速度为正，则点作加速运动；（2）若切向加速度与速度的符号相同，则点作加速运动；（3）若切向加速度为零，则速度为常矢量。
5-9 在极坐标系中，ρρ =v ，ρϕϕ =v 分别代表在极径方向与极径垂直方向（极角ϕ的方向）的速度。
但为什么沿这两个方向的加速度为2ϕρρρ -=a ϕρϕρϕ 2+=a 试分析ρa 中2ϕρρ -=a 和ϕa 中的ϕρ 出现的原因和它们的几何意义。
理论力学重难点及相应题解
运动学部分：一、点的运动学重点难点分析1．重点：点的运动的基本概念（速度与加速度，切向加速度和法向加速度的物理意义等）；选择坐标系，建立运动方程，求速度、加速度。
求点的运动轨迹。
2．难点：运动方程的建立。
解题指导：1．第一类问题（求导）：建立运动方程然后求导。
若已知点的运动轨迹，且方程易于写出时，一般用自然法，否则用直角坐标法。
根据点的运动性质选取相应的坐标系，对于自然法要确定坐标原点和正向。
不管用哪种方法，注意将点置于一般位置，而不能置于特殊位置。
根据运动条件和几何关系把点的坐标表示为与时间有关的几何参数的函数，即可得点的运动方程。
2．第二类问题（积分）：由加速度和初始条件求运动方程，即积分并确定积分常数。
二、刚体的简单运动重点难点分析：1．重点：刚体平移、定轴转动基本概念；刚体运动方程，刚体上任一点的速度和加速度。
2．难点：曲线平移。
解题指导：首先正确判断刚体运动的性质。
其后的分析与点的运动分析一样分两类问题进行。
建立刚体运动方程时，应将刚体置于一般位置。
三、点的合成运动（重要）重点难点分析：1．重点：动点和动系的选择；三种运动的分析。
速度合成与加速度合成定理的运用。
2．难点：动点和动系的选择。
解题指导：1．动点的选择、动系的确定和三种运动的分析常常是同时进行的，不可能按顺序完全分开。
2．常见的运动学问题中动点和动系的选择大致可分以下五类：（1）两个（或多个）不坟大小的物体独立运动，（如飞机、海上的船舶等）对该类问题，可根据情况任选一个物体为动点，而将动系建立在另一个物体上。
由于不考虑物体的大小，因此动系（刚体）与物体（点）只在一个点上连接，可视为铰接，建立的是平移动坐标系。
（2）一个小物体（点）相对一个大物体（刚体）运动，此时选小物体为动点，动系建立在大物体上。
（3）两个物体通过接触而产生运动关系。
其中一个物体的接触只发生在一个点上，而另一个物体的接触只发生在一条线上。
选动点为前一物体的接触点，动系则建立在后一物体上。
理论力学 第一章 点的运动学
已知速度的投影求速度
大小
v v v v
2 x 2 y
2 z
方向由方向余弦确定
cosv , i v x v cosv , j v y v cosv , k v z v
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
§ 1.1点的运动矢量分析方法
加
速
度
t 瞬时: 速度 v(t) t＋ t 瞬时:速度 v(t ＋ t ) 或v
t 时间间隔内速度的改变量
v ( t ) ＝ v ( t ＋ t ) － v( t )
点在 t 瞬时的加速度
§ 1.2 点的运动的直角坐标法
加速度
a ax i a y j az k
dv x d 2 x ax 2 dt dt dv y d 2 y ay 2 dt dt dv z d 2 z az 2 dt dt
dv y dv x dv z d2 y d2x d2z a i j k 2 i 2 j 2 k dt dt dt dt dt dt
方 cosa, i a x a, 向 cosa, j a y a, 余 弦 cosa, k a z a
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
§1.3 点的运动的自然坐标法
在点的运动轨迹已知的情况下，可建立弧
坐标和自然轴系来描述该点的运动，这种方
点的切线所组成的 平面，称为P点的密 切面。
P P
lim a1 a
理论力学 运动学复习
60°
O
θ
B
C
a
ve = va sin30° ve ∴va = = 2 m/s sin30° ∴v A = 2 m/s
vr
A
30°
⑵加速度分析图： 加速度分析图： t y aa ae
60° 30°
n aa
a
n aa
t a
A B
v C
x
O
θ
a
ar
n t − aa cos 30° − aa cos 60° = − ae
m/s和加速度a =20 m/s2。方向均向左。求此时滑块Ａ 方向均向左。 此时滑块 t 的速度和加速度。 的速度和加速度。 aa 解：动点——滑块A n A 动系固结于BC aa v 绝对运动： 绝对运动： 圆周运动 牵连运动： 牵连运动： 平动 相对运动： 相对运动： 直线运动 速度分析图： ⑴速度分析图： va ve
ω
A O D B 30°
v B =v D =v A v A = OA⋅ω = r ⋅ω
vA vD
C
∴v B = r ⋅ω v D cos 60 ° = v C cos 30 °
v D cos 60° 3 vC = rω = cos 30° 3
3 ω ∴ω C = 3
23
vC
vB
aB =aA +a +a
15
曲柄OA= r，以匀角速度ωO转动，BC=DE， 转动， ， ， [例7-9] 曲柄 例 。求图示位置时， 的角速度和 （P181） BD=CE=l。求图示位置时，杆BD的角速度和 ） 角加速度。
D 60° ° B
60° vr 60 ° ° 60
α ω
E vr C
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力学问题的研究步骤 实际问题 力学模型 数学模型
力学知识 力学知识 工程经验 力学知识
绪 论
7/21
绪 论
8/21
否
符合 实际
？
分析计算
是 结束
数学工具
力学学科
力学的应用领域
学科分类
一般力学/动力学与控制 (Dynamics and Control) 重点研究一般质点系和刚体系 固体力学(Solid Mechanics) 重点研究固体 流体力学(Fluid Mechanics) 重点研究流体
绪
绪
所需基础知识
数学：矢量（向量）运算、矩阵运算、微 积分、常微分方程 物理：有关力学的基本内容
论
13/21
论
需要一定量的习题训练
“听课容易、做题难”
14/21
绪 论
15/21
绪 论
16/21
教材及参考书
课程安排
教材：李俊峰、张雄主编，《理论力学》， 清华大学出版社，2010年第2版，2011年第2 次印刷； 参考书目： 高云峰、李俊峰，《理论力学辅导与习题 集》 清华大学出版社 2003； 集》，清华大学出版社， 贾书惠、李万琼，《理论力学》，高等教育 出版社，2002； 贾书惠、张怀瑾，《理论力学辅导》，清华 大学出版社，2003； 高云峰 等编，《力学小问题及全国大学生力 学竞赛试题》，清华大学出版社，2003.
运动学：研究运动的描述（为动力学服务） 动力学：研究运动的原因(力)与运动的关系 静力学：研究力与平衡(特殊的运动形式)的 关系，是动力学的特例 矢量力学（几何力学）：以牛顿定律为基础 分析力学：以变分原理为基础
4/21
理论力学的研究方法
力学模型
模型化（抽象方法） 公理化方法
质点
牛顿定律 达朗贝尔-拉格朗日原理
点 的运动学
11/22
点 的运动学
置）
求导
速度、加速度
引入已知条件
求导时应注意复合函数求导、相乘函 数求导等情况 注意结果的验证与分析 题目往往有其应用背景，应加以留意
v
x
12/22
2
例1-2-2 第1章
l vP l aP
几何关系：
解 第1章
2ll 2 xx
课内64学时 实验课（4次，课外8学时，网上选课） 答疑安排
绪 论
17/21
Hale Waihona Puke 绪 论18/21办 公 室：每周四晚上7:00 – 9:00 网络学堂和教学网站上讨论、Email交流
作业(纸张)
课代表收好，周三课上交给助教老师 助教老师批改完毕后在课上返回
3
课程安排
课程安排
考核方法：
参考系与坐标系
矢量运算（附录A）
矢量导数
参考系与坐标系是两个不同的概念。 例：一个滑块在某个固定斜面上运动
z
设矢量 a 为时间 t 的函数:
a (t ) a(t )e (t )
a (t ) a (t )
e (t ) 1
运动学引言
5/9
运动学引言
W
幅值
单位矢量
a(t ) a(t ) e(t ) a(t )e(t ) a(t )e(t )
vp v sin 2 v 2
讨论
vP θ P
B l A
l 2 h2 x2
h
C
vh
第1章
第1章
点 的 运动学
13/22
点 的 运动学
v
vP
h C
vP P
B θ l A
x 2 l2 ll
aP
2 v 2 vP l 2 2 3 v cos 2v h 4h
P´
r ( t t ) r
运动轨迹
P
矢量端图
r (t )
第1章
点 的 运动学
3/22
位置矢量、矢径
O
运动方程 位 移 速 度 加速度
r r (t )
矢量描述独立于 坐标系
1.2 直角坐标描述法
r r (t t ) r (t )
与运动轨迹 v lim r d r r 相切 t 0 t dt 2 v d v d r a lim 2 r t 0 t dt dt
rOM l (cos i sin j ) v rOM 0
点 的 运动学
9/22
点 的 运动学
M点的速度垂直于其矢径
x 0, y 0
0 时，M点的加速度： 当a=b=l且
2 rOM a
四分之一圆 O
M点的加速度指向O点
M点的速度和加速度？
10/22
矢量的矢量三重积
运动学引言
7/9
运动学引言
e (t t )
a ( b c ) ( a c ) b (a b ) c
单位矢量与其导数一定垂直！
物理解释?
8/9
运动学学引言
9/9
2
第1章 点的运动学
1.1 矢量描述法
2013年9月6日
2013年9月6日
矢量描述法 第1章
r (t ) OP
绪 论
11/21
绪 论
12/21
2
课程要求和学习方法
基本教学要求 准时上课，注意纪律（特别是冬天） 课上独立积极思考 课后独立完成作业 欢迎课上提问 欢迎课后讨论、反馈 欢迎课后讨论 反馈
学习目标
准确理解基本概念； 熟练掌握基本定理和公式灵活应用； 整体分析能力、综合运用知识能力、专业 素养；
理论力学 绪 论
绪 论
2013年9月13日
2/21
什么是力学？
理论力学课程内容
理论力学（狭义）：研究质点、一般质点系、 刚体、刚体系的运动，研究其受力与运动之 间的关系。
力学（Mechanics） 研究物质机械运动规律的科学
——《自然科学学科发展战略调研报告》
绪 论
3/21
绪 论
物体的空间位形随时间的变化， 包括静止 包括静止、移动、转动、振动、 转 振 变形、流动、波动、扩散等。 （当代）力学研究介质运动、变形、流动的 宏微观行为，揭示力学过程及其与物理、化 学、生物学等过程的相互作用规律。
x
vp v sin
v
ap ？ a sin
x
14/22
例1-2-3
半径为R的轮子沿直线轨道纯滚动(无滑动 地滚动)。设轮子保持在同一竖直平面内运 动，且轮心的速度为已知值u，试分析轮子 边缘一点M的运动。
例1-2-3 第1章
解
点 的 运动学
15/22
点 的 运动学
O M
R
M
16/22
i
M b B
r(t ) x(t )i y(t ) j z(t )k x x(t ) y y(t ) z z(t ) 分运动 i y j z k v (t ) x v x v y v z v, 方向余弦 a (t ) xi yj zk a x a y a z a, 方向余弦
参考系和坐标系
参考物：运动情况认为已知的物体。在运动 学中，参考物的选择是任意的。 大小有限 参考系：与参考物固连的整个空间，是抽象 的三维空间
运动学 引言
3/9
运动学 引言
4/9
地球参考系：与地球固连的抽象的三维空间 地心参考系：原点位于地心，坐标轴分别指向 三个恒星
无限延伸
可能只有参考系，而不一定有真实的参考体 一般工程问题，通常选取地球为参考系
论
6/21
刚体是抽象的力学模型，真实物体受力之 后都会变形，当物体的变形和运动尺度相 比小的多时，可以简化为刚体。
王仁：力学模型及其局限性，力学与实践， 2001年第2期，70-72
1
力学模型 研究卫星运动轨道时：卫星可视为质点 研究卫星姿态控制时：卫星应视为刚体 研究卫星的空间碎片防护时，卫星应视 为变形体
绪 论
19/21
绪 论
20/21
绪 论
21/21
4
运动学 运动学的任务 参考系和坐标系 矢量运算
运动学引言
第1篇 运动学 动学
2013年9月6日
2/9
运动学的任务 描述物体的机械运动，包括研究描述 运动的方式，确定速度、加速度和其 它运动学量的方法。 不考虑运动产生和变化的原因，仅从 几何的观点分析物体如何运动，确立 合适的方法描述运动。
由此得M点的轨迹方程为
x2 y2 1 a 2 b2
第1章
第1章
点 的 运动学
7/22
点 的 运动学
M b B x
M点的加速度为
xi yj a
O
B x
O
x0
y0
sin 2 cos ) i b( cos 2 sin ) j a (
(液体和气体)
绪 论
9/21
绪 论
理论力学是力学的基础！
上海南浦大桥
学科的性质
力学是一门基础学科 力学又是一门技术学科
力学是横跨理工的桥梁！
10/21
力学的应用领域
课程特点 理论力学课程内容是对数学、物理中 有关的基础理论进一步综合提高，面 向工程实际，形成独立的完整理论。 理论力学是学生进入大学后接触到的 第一门专业基础课，是工科教育中的 第一个至关重要的转折点。