(完整版)理论力学第五章点的运动学
《理论力学》武清玺第五章_点的运动_习题全解
第五章 点的运动 习题全解[习题5-1] 一点按2123+-=t t x 的规律沿直线动动(其中t 要s 计,x 以m 计).试求:(1)最初s 3内的位移;(2)改变动动方向的时刻和所在位置;(3)最初s 3内经过的路程;(4)s t 3=时的速度和加速度;(5)点在哪段时间作加速度,哪段时间作减速运动. 解:(1)求最初s 3内的位移.m x 220120)0(3=+⨯-= m x 723123)3(3-=+⨯-=)(927)0()3(m x x x -=--=-=∆ (动点的位移为9m,位移的方向为负x 方向). (2)求改变动动方向的时刻和所在位置. 改变方向时,动点的速度为零.即: 01232=-==t dtdxv , 亦即:当s t 2=时,动点改变运动方向.此时动点所在的位置为: )(1422122)2(3m x -=+⨯-= (3)求最初s 3内经过的路程.)(23716|)14(7||214|)3~2()2~0()3~0(m S S S =+=---+--=+= (4)求s t 3=时的速度和加速度1232-==t dt dx v )/(151233)3(2s m dt dx v =-⨯== t dtdv a 6== )/(1836)3(2s m a =⨯=(5)求动点在哪段时间作加速度,哪段时间作减速运动.若v 与a 同号,则动点作加速运动; 若v 与a 异号,则动点作减速运动.即: 同号时有:0)2)(2(18)4(18)6)(123(22>+-=-=-=t t t t t t t va0)2)(2(>+-t t t20<<t .即当s t 20<<时,动点作加速动动.Oxy图题25-异号时有:0)2)(2(<+-t t t2>t即当s t 2>时,动点作减速运动.[习题5-2] 已知图示机构中,l AB OA ==,a AC DM CM ===,求出t ωϕ=时,点M 的动动方程和轨迹方程。
理论力学第五章 点的运动
【例5.1】 已知点的运动方程为 x r cost y r sin t 其中：r、ω是常数。求动点的运动轨迹、速度与加速度。
目录
第五章 点的运动\描述点运动的直角坐标表示法
【解】 为求动点的运动轨迹，将运动方程平方后相加，消去t得 x2 y2 r 2
这说明动点的运动轨迹是以O为圆心、r为半径的一个圆。当 ωt=0时，x=r, y=0，动点位于x轴上，当ωt=π/2时，x=0, y=r，动点位 于y轴上。 y v 动点的速度在坐标轴上的投影为 M r v x r sin t t v y r cost x O 因此速度的大小为
z M k O r z
a
v x y
i
j y
上式表明，动点的加速度在各坐标轴上的投影分别等于动点相 应的位置坐标对时间t的二阶导数。 目录
第五章 点的运动\描述点运动的直角坐标表示法 加速度的大小及方向余弦为
2 2 2 d x d y d z 2 2 2 2 2 2 a ax a y az ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) dt dt dt ay ax az cosa , i cosa , j cosa , k a a a
x x(t ) y y (t )
当动点始终沿一直线运动时，如取该直线为坐标轴Ox，则动点 的运动方程为
x x(t )
目录
第五章 点的运动\描述点运动的直角坐标表示法
5.2.2 用直角坐标表示点的速度
如图所示，若以O点为坐标原点建立 Oxyz直角坐标系，则动点的位置矢量r 可表示为
第五章 点的运动\描述点运动的弧坐标表示法
dr τ ds 式中：—沿轨迹切向指向弧坐标正向的单位矢量。此外，
理论力学运动学基础
第五章运动学基础一、是非题1．已知直角坐标描述的点的运动方程为X=f1（t），y=f2（t），z=f3（t），则任一瞬时点的速度、加速度即可确定。
（）2．一动点如果在某瞬时的法向加速度等于零，而其切向加速度不等于零，尚不能决定该点是作直线运动还是作曲线运动。
（）3．切向加速度只表示速度方向的变化率，而与速度的大小无关。
（）4．由于加速度a永远位于轨迹上动点处的密切面内，故a在副法线上的投影恒等于零。
（）5．在自然坐标系中，如果速度υ=常数，则加速度α=0。
（）6．在刚体运动过程中，若其上有一条直线始终平行于它的初始位置，这种刚体的运动就是平动。
（）7．刚体平动时，若刚体上任一点的运动已知，则其它各点的运动随之确定。
（）8．若刚体内各点均作圆周运动，则此刚体的运动必是定轴转动。
（）9．定轴转动刚体上点的速度可以用矢积表示为v=w×r，其中w是刚体的角速度矢量，r是从定轴上任一点引出的矢径。
（）10、在任意初始条件下，刚体不受力的作用、则应保持静止或作等速直线平动。
（）二、选择题1、已知某点的运动方程为S=a+bt2（S以米计,t以秒计，a、b为常数），则点的轨迹。
①是直线；②是曲线；③不能确定。
2、一动点作平面曲线运动，若其速率不变，则其速度矢量与加速度矢量。
①平行；②垂直；③夹角随时间变化。
3、刚体作定轴转动时，切向加速度为，法向加速度为。
①r×ε②ε×r③ω×v④v×ω4、杆OA绕固定轴O转动，某瞬时杆端A点的加速度α分别如图（a）、（b）、（c）所示。
则该瞬时的角速度为零，的角加速度为零。
①图（a）系统；②图（b）系统；③图（c）系统。
三、填空题1、点在运动过程中，在下列条件下，各作何种运动？①aτ=0，a n=0（答）：；②aτ≠0，a n=0（答）：；③aτ=0，a n≠0（答）：；④aτ≠0，a n≠0（答）：；2、杆O1B以匀角速ω绕O1轴转动，通过套筒A带动杆O2A绕O2轴转动，若O1O2=O2A=L，α=ωt，则用自然坐标表示（以O1为原点，顺时针转向为正向）的套筒A 的运动方程为s=。
《理论力学》第五章 点的运动
动点的速度等于它的矢 径对于时间的一阶导数
r－动点 对于点O的
矢径或位置矢
矢径r的矢端线是 点的运动轨迹
单位
§5-2 点的运动的直角坐标表示法
点的运动方程
即 x xt y yt z zt
r xi y j zk
M v
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4. M点的加速度
I
a x r sin t
2
a y r 2 cos t
( a, x )
2
; ( a, y )
例1：图示机构中A、B两滑块可分别沿互相垂直的两 直槽滑动。已知BA=a，AM＝b，＝t+(, 为常 y 量)，求点M的运动轨迹、速度和加速度。 M
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F2=(y、z)
y
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x
F1=(x、y)
z
例
一人在路灯下由灯柱起以匀速 u 沿直线背离灯
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点的直线运动
点的曲线运动
点的合成运动
刚体的平行移动 刚体的定轴转动 刚体的平面运动 刚体的定点运动 刚体的一般运动
刚体的基本 运动形式
刚体的运动
第五章
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点的运动
轨迹或路径：点在空间所占据的位置随时 间连续变化而形成的曲线 直线 轨 迹 曲线 矢量法
d v d( ve ) d v d e a e v dt ds dt dt
理论力学(机械工业出版社)第五章点的运动学习题解答
习 题5-1 如图5-13所示，偏心轮半径为R ，绕轴O 转动，转角t ωϕ=（ω为常量），偏心距e OC =，偏心轮带动顶杆AB 沿铅垂直线作往复运动。
试求顶杆的运动方程和速度。
图5-13)(cos )sin(222t e R t e y ωω-+=)(cos 2)2sin()[cos(222t e R t e t e yv ωωωω-+==5-2 梯子的一端A 放在水平地面上，另一端B 靠在竖直的墙上，如图5-14所示。
梯子保持在竖直平面内沿墙滑下。
已知点A 的速度为常值v 0，M 为梯子上的一点，设MA = l ，MB = h 。
试求当梯子与墙的夹角为θ时，试点M 速度和加速度的大小。
图5-14A M x hl hh x +==θsin θcos l y M = 0cos v h l h x h l h h xA M +=+== θθ 得 θθcos )(0h l v +=θθθθθt a n)(c o s )(s i n s i n 00h l lv h l v l l yM +-=+⨯-=-= 0=M xθθθθθ322002020cos )(cos )(sec )(sec )(h l lv h l v h l lv h l lv y M +-=+⨯+-=+-=θ3220cos )(h l lv a M+=5-3 已知杆OA 与铅直线夹角6/πt =ϕ（ 以 rad 计，t 以s 计），小环M 套在杆OA 、CD 上，如图5-15所示。
铰O至水平杆CD 的距离h =400 mm 。
试求t = 1 s 时，小环M 的速度和加速度。
图5-15ϕtan h x M = ϕϕϕ22sec 6π400sec ⨯== h xM ϕϕϕϕϕϕϕs i n s e c 9π200s i n s e c 6π3π400)s i n s e c 2(6π4003233=⨯⨯=⨯⨯= M x当s 1=t 时6π=ϕmm/s 3.2799π800346π400)6π(sec 6π4002==⨯==Mv 223232mm/s 8.168327π80021)32(9π200)6πsin()6π(sec 9π200==⨯⨯=⨯⨯=Ma5-4 点M 以匀速u 在直管OA 内运动，直管OA 又按t ωϕ=规律绕O 转动，如图5-16所示。
理论力学 第五章 点的运动学(合)
[讨论] （1） d v 与 d v 有何不同? 就直线和曲线分别说明。
dt dt
d v = a ——点的加速度矢。 dt
对直线、曲线都一样。
d v ——速度大小对时间的变化率 dt 在直线中为加速度大小： d v = a
dt
在曲线中为切向加速度大小： d v dt
=
at
36
第五章 点的运动学
（2）点作曲线运动, 画出下列情况下加速度的大致方向。 ① M1点作匀速运动； ② M2点作加速运动； ③ M3点作减速运动。
（2）速度
vx = x& = rω (1− cosωt)
vy = y& = rω sin ωt
v=
v
2 x
+
v
2 y
= rω
2
− 2 cosωt
=
2rω
sin
ωt
2
（3）切向、法向加速度
at = v&
= rω 2 cos ωt
2
an
=
rω 2
sin
ωt
2
思考：如何求点M的法向加速度？
30
第五章 点的运动学
dt dt
dt
dt
=
d2 x dt2 i
+ d2 y dt2
j
+
d2 dt
z
2
k
解析表达式： a = a x i + a y j + a z k
ax
=
d vx dt
=
d2 x d t2
=
v& x
=
&x&
ay
=
d vy dt
理论力学@5点的运动学
伸直面
M(动点)bn → 自然轴系 （随动坐标系）
4
第二篇 运动学 第5章 点的运动学
一、运动方程： s f (t)
二、轨迹方程：已知。
三、速度：
v
v
，式中，v ds
，方向沿切向。
dt
四、加速度：a a ann
，式中，a
dv dt
d2s dt 2
，an
v2
，位于密切面内。
注：以上诸式不加证明。
密切面
伸直面
5
第二篇 运动学 第5章 点的运动学
例1：例5-2(老书例6-2)（直角坐标法与自然坐标法）
摇杆滑道机构。已知滑道半径R，摇杆匀角 速度ω 。求：①滑块速度、加速度；②滑块 相对摇杆的速度、加速度。 分析： 绝对法求速度、加速度，即利用几何关系， 写出滑块运动方程，求导。 ①即求滑块绝对速度和加速度。直角坐 标法可解。又滑块轨迹已知（滑道）， 自然坐标法亦可解，且更简单； ②求滑块相对摇杆的速度、加速度，即选 摇杆为参考系（动系），求在此坐标系下 的运动量。
d vy dt
d2 y d t2
a
z
d vz dt
d2z d t2
3
第二篇 运动学 第5章 点的运动学
5.3 点运动的自然坐标法
先介绍自然坐标系：弧坐标系与自然轴系。
原点O，弧坐标s → 弧坐标系
密切面
密切面
切线：M'→M， MM →τ
密切面： M'→M，′组成平 面的极限位置
解：（略）
6
第二篇 运动学 第5章 点的运动学
理论力学课件：点的运动学
点的运动学
2.速度
点的运动学
上式表明动点 M 的速度v在直角坐标轴上的投影等于该
点相应坐标对时间的一阶导数。
速度大小为
其方向由方向余弦来确定:
点的运动学
3.加速度
点的运动学
因此,动点的加速度a 在直角坐标轴上的投影等于速度
在相应坐标轴上的投影对时间的一阶导数,也等于其相应坐
标对时间的二阶导数。
点,其弧坐标为s,位置矢径为r,经 Δt时间后,弧坐标为s+Δs,矢
径变为r',根据点的速度公式有
点的运动学
图5-9
点的运动学
点的运动学
3.加速度
将v=vτ 代入式(5-5),得
点的运动学
(1)
d
的大小。设瞬时t,动点
d
M 处对应的切线单位矢量
为τ,经过时间 Δt,动点运动到 M',其切线单位矢量为τ'。Δt时
点的运动学
点的运动学
5.1 点的运动的矢量表示法
5.2 点的运动的直角坐标表示法
5.3 点的运动的自然坐标表示法
思考题
点的运动学
5.1 点的运动的矢量表示法
1.运动方程、轨迹
点的运动学
图5-1
点的运动学
点的运动学
3.加速度
点在运动过程中,其速度v 的大小和方向往往都随着时间
而变化,速度对时间的变化率称为加速度。
cm,时间单位为s。
解 由题知,点的运动方程为
点的运动学
速度的大小为
从运动方
点的运动学
点的切向加速度、法向加速度的大小分别为
点的运动学
思考题
5-2 结合v t图,说明平均加速度和瞬时加速度的几何意义。
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解：活塞作直线运动，取坐标轴Ox如图所示
由 a dv kv
得
v ddvt
t
k dt
ln vv由0 v0vvktdd,xtvvv00e0ektkt
得
x
dx
x0
t 0
v0e
kt
dt
x
x0
v0 k
1 ekt
§ 5-3 自然法
1、 弧坐标 s f (t)
2、自然轴系
切向单位矢量 主法线单位矢量 n
vy y 8sin 4t, ay y 32cos 4t
已知：OC AC BC l , MC a , t。
求：运动方程、轨迹、速度和加速度。
解：点M作曲线运动，取坐标系Oxy如图所示。 运动方程
x (OC CM ) cos (l a) cost
y AM sin (l a)sin t
消去t, 得轨迹
(l
x
2
a）2
(l
y2 a)2
则
a
dv
dt
v2
n
at
ann
at
dv dt
d2s dt 2
—
切向加速度
an
v2
1
ds 2 dt
—
法向加速度
a at2 an2
曲线匀速运动
at 0, v v0 常数, s s0 v0t
曲线匀变速运动
at
常数,
v
v0
att
,
ss0v0t源自1 2att
2
例5-4 列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀 加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到 达54km/h。求列车起点和未点的加速度。
a ax2 ay2 l a2 4 cos2 t (l a）2 4 sin 2 t
2 l2 a2 2al cos 2t
cos(a, i ) ax (l a) cost
a
l2 a2 2al cos 2t
cos(a, j) ay (l a)sin t
a
l2 a2 2al cos 2t
d2 x dt 2
ay
dvy dt
d2 y dt 2
az
dvz dt
d2z dt 2
例 5-1 椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动， 其端点C 与规尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺 A，B 两端分别在相互垂直的滑槽中运动。
已知：OC AC BC l , MC a , t。
求：① M 点的运动方程； ② 轨迹； ③ 速度； ④ 加速度。
cos(v, i ) vx (l a)sint
v
l2 a2 2al cos 2t
cos(v, j) vy (l a) cost v l2 a2 2al cos 2t
已知：OC AC BC l , MC a , t。
求：运动方程、轨迹、速度和加速度。
加速度
ax vx x l a 2 cost ay vy y l a2 sin t
r (t) x t i y(t) j z(t)k
速度
v
dr dt
dx i dt
dy dt
j
dz k dt
vxi
vy
j
vzk
dx vx dt
vy
dy dt
vz
dz dt
加速度
a dv dt
dvx i dt
dvy dt
j dvz dt
k
axi
ay j azk
ax
dvx dt
解： A，B点都作直线运动，取Ox轴如图所示。 运动方程
xA b r sin b r sin(t )
xB r sin r sin( t )
已知：OM r, t , 常数, AB b。
求：① A，B点运动方程； ② B点速度、加速度。
B点的速度和加速度
vB xB r cost
副法线单位矢量 b n
自然坐标轴的几何性质
因为 d d d d 1 方向同 n ds d ds ds
所以 n d
ds
3、速度
v dr dr ds ds v
dt ds dt dt
4、加速度 a dv dv v d
dt dt dt
代入
d d ds v n
dt ds dt
第五章 点的运动学
§5-1 矢量法
运动方程 r r t
速度
dr v r
dt
单位 m/s
加速度
dv d2 r
a
v r
dt dt 2
单位 m/s2
矢端曲线
速度方向为： 矢径矢端曲线切线
加速度方向为： 速度矢端曲线切线
§5-2 直角坐标法
运动方程
x x(t) y y(t) z z(t)
直角坐标与矢径坐标之间的关系
aB xB r2 sin t 2xB
周期运动
x(t T ) xt
f 1 频率 T
例5-3 如图所示，当液压减振器工作时，它的活塞在
套筒内作直线往复运动。设活塞的加速度 a kv
（v 为活塞的速度，k为比例常数)，初速度为 v0 。求
活塞的运动规律。
已知：a kv, v t0 v0 。求：x t 。
例5-2 正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O
轴匀速转动，它与水平线间的夹角为 t , 其中 为t = 0时的夹角， 为一常数。已知动杆上A，B两
点间距离为b。求点A和B的运动方程及点B的速度和加 速度。
已知：OM r, t , 常数, AB b。
求：① A，B点运动方程； ② B点速度、加速度。
1
已知：OC AC BC l , MC a , t。
求：运动方程、轨迹、速度和加速度。
速度
vx x l a sin t
vy y (l a) cost v vx2 vy2 (l a)2 2 sin2 t (l a)2 2 cos2 t
l2 a2 2al cos 2t
② t 2min 120s
an
v2 R
(15m s)2 800m
=
0.281m
s2
a at2 an2 0.308m s2
例5-5 已知点的运动方程为x=2sin 4t m，
y=2cos 4t m，z=4t m。求：点运动轨迹的曲率半径 。
解：由点M的运动方程，得
vx x 8cos 4t, ax x 32sin 4t
已知：R=800m=常数， at 常数, v t0 v0 0
v
t 2 min
54km
h。求：a
t0 ,
a
。
t 2 min
解：列车作曲线加速运动，取弧坐标如上图。
由 at 常数, v0 0 有 v att
at
v t
15m s 120s
=
0.125m
s2
① t 0, an 0 a at 0.125m s2