第2章概率论分析资料
第二章概率论与数理统计
例5.设电话总机在某段时间内接收到的呼唤次数服从 5.设电话总机在某段时间内接收到的呼唤次数服从 参数为3的泊松分布。 参数为3的泊松分布。求： 恰好接收到5次呼唤的概率； （1）恰好接收到5次呼唤的概率； 接收到不超过5次呼唤的概率。 （2）接收到不超过5次呼唤的概率。
表示电话总机接收到的呼唤次数， 解:设X表示电话总机接收到的呼唤次数，则 设 表示电话总机接收到的呼唤次数
P{ X
P{ X = 0} = P ( A1 A2 A3 A4 A5 ) = (1-p)5 = 5 p (1 − p ) 4 = 1} = P{ A1 A 2 A 3 A 4 A 5 ∪ A1 A2 A 3 A 4 A 5 ∪ ...
2 P{ X = 2} = P{ A1 A2 A 3 A 4 A 5 ∪ A1 A 2 A3 A 4 A 5 ∪ ... = C5 P 2 (1 − P ) 3
泊松定理设随机变量 泊松定理设随机变量 n~B(n, p), (n＝0, 1, 2,…), 定理设随机变量X ＝ 很大， 很小 很小， 且n很大，p很小，记λ=np，则 很大 ，
P{ X = k } ≈
λk
k!
e
−λ
,
k = 0,1,2,...
上题用泊松定理 取λ =np＝(400)(0.02)＝8, 故 近似地有 P{X≥2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1} ＝1－(1＋8)e－8＝0.996981. （3） 泊松(Poisson)分布 λ) ） 泊松 分布P(λ 分布
X
1
0
pk
p
1− p
（2）设将试验独立重复进行n次，且在每次试验 中，事件A发生的概率均为p。若用X表示n重贝努 里试验中事件A发生的次数，则称X服从参数为 n,p的二项分布。记作X~B（n,p),其概率分布律 为：
《概率论与数理统计》第二章基础知识小结 2
第二章、基础知识小结一、 离散型分布变量分布函数及其分布律 1. 定义:),3,2,1(}{ ===i p x X P i i２.分布律}{k p 的性质： （1）;,2,1,0 =≥k p k （2）11=∑∞=k k p3.离散型随机变量的分布函数:∑≤=≤=xx kk px X P x F }{)(4．分布函数F (X )的性质: （１)1)(0≤≤x F(2))(x F 是不减函数,0)()(}{1221≥-=≤<x F x F x X x P （3)1)(,0)(=+∞=-∞F F ，即1)(lim ,0)(lim ==+∞→-∞→x f x f x x（４）)(x F 右连续,即)()(lim )0(0x F x x F x F x =∆+=+→∆（5）)()(}{}{}{a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<)(1}{1}{a F a X P a X P -=≤-=>5.三种常见的离散型随机变量的概率分布（1)0－１分布(),1(~p B X ）（２)二项分布(),(~p n B X )n k q p C k X P p kn k k n k ,,2,1,0,}{ ====-(３)泊松分布()(~λP X ）,,,2,1,0,!}{n k e k k X P p kk ====-λλ二、连续型随机变量分布函数及其概率密度 1.连续型随机变量的分布函数即概率密度定义：dt t f x X P x F x ⎰∞-=<=)(}{)(其中，)(x F 为X 的分布函数,)(x f 为X 的概率密度。
2.概率密度的性质 (1)0)(≥x f (2)1)(=⎰+∞∞-dx x f（3）dx x f a F b F b X a P ba⎰=-=≤<)()()(}{ (43.三种常见的连续型随机变量 (１）均匀分布(),(~b a U X ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他,0,1)(b x a a b x f（２)指数分布()(~λE X ）⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f x λλ (3）正态分布（),(~2σμN X ）+∞<<-∞=--x ex f x ,21)(222)(σμσπ（4）标准正态分布（)1,0(~N X ）及其性质+∞<<-∞=-x ex f x ,21)(22π性质：A.)(1)(x x ΦΦ-=-B.21)0(=Φ（5)非标准正态分布标准化 设),(~2σμN X ,则三、随机变量函数的概率分布 1.离散型随机变量函数的概率分布 设离散型随机变量X 的分布律为:X 1x 2x3x …k x …P1p 2p 3p … k p …则Ｘ的函数)(X g Y =的分布律为:X )(1x g)(2x g )(3x g…)(k x g …P1p 2p 3p … k p …2.连续型随机变量函数的分布设X 的连续型随机变量，其概率密度为)(x f X 。
概率论与数理统计第二章笔记
概率论与数理统计第二章笔记一、引言概率论与数理统计是数学中的一个重要分支，它研究的是随机现象的规律性和统计规律性。
在第二章中，我们将深入探讨随机变量及其分布，以及随机变量的数字特征。
二、随机变量及其分布1. 随机变量的定义及分类在概率论与数理统计中，随机变量是描述随机现象数值特征的变量。
根据随机变量可取的值的性质，可以分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量只取有限个或无限可数个值，而连续随机变量则可以取在一定范围内的任意一个值。
2. 随机变量的分布及特征随机变量的分布是描述其取值的概率规律。
对于离散随机变量，常见的分布包括二项分布、泊松分布等；对于连续随机变量，则有均匀分布、正态分布等。
通过对随机变量的分布进行分析，可以推导出其数字特征，如均值、方差等。
三、随机变量数字特征1. 随机变量数字特征的意义随机变量的数字特征是对其分布的定量描述，包括均值、方差、标准差等。
这些数字特征可以帮助我们更直观地理解随机变量的分布规律，从而作出合理的推断和决策。
2. 随机变量数字特征的计算对于离散随机变量，其均值、方差的计算可通过对其分布进行加权平均；对于连续随机变量，则需要进行积分计算。
这些计算方法在实际问题中起着重要作用，例如在风险评估、市场预测等方面的应用。
四、总结和回顾概率论与数理统计第二章主要介绍了随机变量及其分布，以及随机变量的数字特征。
通过对离散和连续随机变量的分类和分布进行深入讨论，我们对随机现象的规律性有了更清晰的认识。
通过数字特征的计算，我们可以更准确地描述和解释随机现象的规律，为实际问题的分析和决策提供了有力工具。
个人观点和理解在学习概率论与数理统计第二章的过程中，我深刻认识到随机变量和其分布对于随机现象的定量分析至关重要。
通过对数字特征的计算，我们可以更准确地描述和解释随机现象的规律，这对于我在日常生活和工作中的决策和分析将有着实质性的帮助。
结论概率论与数理统计第二章所介绍的内容为我们提供了深入了解随机现象规律性的基础，并且为日后的学习和实践奠定了坚实的基础。
《概率论》第2章§2.2 多维随机变量、联合分布列和边际分布列
P{X xi ,Y y j} P{X xi} P{Y y j}
甲袋中有 个红3 球 个白, 2球;乙袋中有 个红球4 5个白球.从 甲、乙两袋中各任取两球，记 X ,分Y 别表示取 到白球的个数，问 是X否,Y独立？
由于从两袋中取球是相互独立的过程，所以 X ,Y的取值是相互独立、互不相干的，故 X ,相Y 互独立.
§2 多维随机变量、联合分布和边际分布列 12/13
设 (X ,的Y )分布律为
YX 1
23
1 1 / 8 a 1/ 24
2
b 1/ 4 1/8
a、b应满足什么条件？ 若 X ,独Y 立,求 a、. b
Q pij 1
i, j
a
b
1
(
1 8
1 24
1 4
18)
11 24
,
a
0, b
0
若 X ,相Y 互独立,则
2
0 1/ 8 1/12 1/16 13 / 48
3
0 0 1/12 1/16 7 / 48
4
0 0 0 1/16 3 / 48
pi. 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4
Q P{X 1,Y 1} 1 P{X 1} P{Y 1} 1 25
X ,Y不独立
4
4 48
第二章 离散型随机变量
2
34
pi 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 pj 第2二5 /章48离1散3型/ 4随8 机7变/ 4量8 3 / 48
§2 多维随机变量、联合分布和边际分布列 9/13
A, B 相互独立
A, B 之间没有任何关系
P(AB) P(A)P(B)
概率论知识点详解（第二章）
第二章 随机变量及其分布题型归类与解题方法1. 求随机变量的分布1.1 求离散型随机变量分布列或分布函数例 2.1 一盒中装有编号1,2,,5 为的五只球，现从中任取三只球，求被抽取的三只球的中间号码为X 的分布列．解 首先确定X 的取值只能为2，3，４．分析 当X k =时，另两只球中的一只在小于k 的1k -个球中取，余一只球在大于k 的5k -只球中取，故111535{}k kC C P X k C --== (2,3,4)k = 即有例 2. 2 已知X 的概率分布为1{2}{1}{1}{2}4P X P X P X P X =-==-=====，求：（1）2Y X =的分布列； （2）(),X Y 的分布列． 解 （1） 2Y X =的分布列为1{2,4}{2}4P X Y P X =-===-=． 同理1{1,1}{1}4P X Y P X =-=-==-=； 1{1,1}{1}4P X Y P X =====； 1{2,4}{2}4P X Y P X =====．故(),X Y 的联合分布列为评点 对于这一类题，首先确定离散型随机变量的取值，然后求出随机变量取各值的概率，最后写出离散型随机变量的分布律．1.2 求连续型随机变量分布列或分布函数例 2.3 设随机变量X 的概率密度为,01;()2,12;0,x x f x x x ≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他，求X 的分布函数()F x ．解 分析：利用公式()()xF x f x dx -∞=⎰直接计算分布函数．当0x <时，()0F x =；当01x ≤<时，20()()02xxx F x f x dx dx xdx -∞-∞==+=⎰⎰⎰；当12x ≤<时，01211()()0(2)212xx F x f x dx dx xdx x dx x x -∞-∞==++-=--⎰⎰⎰⎰； 当2x ≥时，220,0;,01;2()112,12;21, 2.x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩．例 2.4 在(),X Y 区域Θ上服从均匀分布，求(),X Y 的分布函数，其中Θ为x 轴，y 及1y x =+围成的三角形．解 当1x <-或0y <时，(,)0f x y = (,)0F x y =； 当10x -≤<，1y x ≥+时，201(,)22(1)(22)y xy F x y dy dx y x y x y y -==+-=-+⎰⎰；当10x -≤<，1y x ≥+时，121(,)2(1)xx F x y dx dy x +-==+⎰⎰；当0x ≥，01y ≤<时，01(,)2(2)yy F x y dy dx y y -==-⎰⎰；当0x ≥，1y ≥时，(,)1F x y =． 故2010;(22),10,01;(,)(1),10,1;(2),0,01;10, 1.x y x y y x y x F x y x x y x y y x y x y <-<⎧⎪-+-≤<≤<+⎪⎪=+-≤<≥+⎨⎪-≥≤≤⎪≥≥⎪⎩，或， 评点 求一维的和二维的连续型随机变量的分布函数，是对概率密度函数进行积分．若()f x ，(,)f x y 分区域定义时，关键就在于积分的上，下限或区域的确定．1.3 确定分布列或密度函数或分布函数中的参数例 2.5 随机变量(,)X Y 的概率密度为222(;(,)0,A k x y k f x y ⎧⎪+≤=⎨⎪⎩其他，，求：（１） 系数A 的值．（２） 222{(,)}P X Y x y r ∈+≤ ()r k ≤． 解 （1）因为1(,)(f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰用极坐标代换得）222(x y k A k dxdy +≤=⎰⎰230()/3kA d k r rdr A k πθπ=-=⎰⎰故33A k π=． （2）222223300332{(,)}()13r r r P X Y x y r d k r rdr k k k πθπ⎛⎫∈+≤=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰．例 2.6设二维随机变量(,)X Y 的分布函数(,)arctan arctan 23x y F x y A B C ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭求：（1）A ，B ，C 的值． （2）(,f x y ）．解 （1）因为0A ≠，所以由x ，y 的任意性，得0(0,)arctan 022F A B C π⎛⎫⎛⎫-∞=+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2C π=；0(,0)arctan 023F A B C π⎛⎫⎛⎫-∞=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2B π=；(,)12222F A ππππ⎛⎫⎛⎫+∞+∞=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，21A π=，故21(,)arctan arctan 2223y F x y ππππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．（2）由2(,)(,)F x y f x y x y∂=∂∂，得222(,)6[(4)(9)]f x y x y π=++ (,)x y -∞<<+∞．评点 （1）有几个参数就要找到几个独立的条件； （３） 这里主要用到()0F -∞=，()1F +∞=或()1kf x dx =⎰， (,)(,)(,)0F y F x F -∞=-∞=-∞-∞=，(,)1F +∞+∞=，或2(,)1k f x y dxdy =⎰⎰．2. 求概率2.1 由分布列或密度函数或分布函数，求随机变量落入某集合的概率例 2.7 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(23)6,0,0(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩；其他，求：（1）(,)F x y ． （2）{236}P x y +≤．解 （1）分区域讨论，见图2.1．当0x ≤，0y ≤时，(,)0F x y =； 当0x >，0y >时(23)230(,)6(1)(1)x yx y x y F x y dy e dx e e -+--==--⎰⎰即23(1)(1),0,0(,)0,x y e e x y F x y --⎧-->>=⎨⎩其他．（2） (23)236{236}6x y x y P X Y e dxdy -++≤+≤=⎰⎰32(3)/3(23)0x x y dx e dy --+=⎰⎰6170.9826e -=-≈．例 2.8 随机变量X 的分布函数为20,0(),05251,5,x xF x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩，求{36}P x <<的概率．解 直接利用公式计算：916{36}(6)(3)12525P x F F <<=-=-=． 评点 （1）对一般连续型随机变量取值的概率，如果已知密度函数求概率可用{(,)}(,)GP x y G f x y dxdy <=⎰⎰公式法．（2）对于已知分布函数求概率，同样也可以用公式法{}{}{}()()P a X b P a X b P a X b F b F a <<=≤≤=<≤=-．2.2 求实际问题的概率例 2.9 某地区18岁的女青年的血压(收缩压，以ｍｍＨｇ计)，服从2(110,12)N ，在该地区任选一18岁的女青年，测量她的血压X ： （1）求{105}P X ≤，{100120}P X <≤． （2）确定最小的x ，使{}0.05P X x >≤． 解 （1）2(110,12)X N ，则105110{105}(0.417)12P X -⎛⎫≤=Φ=Φ- ⎪⎝⎭1(0.417)10.662=-Φ=-=； 120110100110{100120}1212P X --⎛⎫⎛⎫<≤=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0.83)(0.83)2(0.8=Φ-Φ-=Φ-= （2）要使{}0.05P X x >≤，必须1{}0.05P X x -≤≤，即{}10.050.95P X x ≤≥-=，亦即1100.9512x -⎛⎫Φ≥⎪⎝⎭，110 1.64512x -≥，129.74x ≥， 故所求x 必须大于等于129.74．例 2.10 一轰炸机带的三枚炸弹向敌方目标投掷，若炸弹落在目标中心40米内，目标将被摧毁，设在使用瞄准器投弹时，弹着点X 的概率密度函数为(100)/10000,1000;()(100)/10000,0100;0,x x f x x x +-<≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其他，，求投掷三枚炸弹后，目标被炸毁的概率．解 一枚炸弹落在目标中心40米内的概率为4040404001()(100)(100)10000f x dx x dx x dx --⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 4002(100)0.6410000x dx =-=⎰， 则炸弹落在40米外的概率为10.640.36P =-=，所以三枚炸弹都落在目标中心40米外的概率是3(0.36)，于是，目标被炸毁的概率是31(0.36)0.953P =-=．评点 （1）对此类题型，一定要根据实际情况，确定所求概率的范围；（2）然后再根据相应的定义，性质，公式求出符合实际的概率．2.3 求服从二项分布的随机变量取值的概率例 2.11 甲地需要与乙地的10个电话用户联系，每一个用户在一分钟内平均占线12秒，并且各个用户是否使用电话是相互独立的，为了在任意时刻，使得电话用户在用电话时能够接通的概率为0.99，至少应有多少电话线路？解 设任意时刻乙地10个用户使用电话的户数为随机变量，记为X ，则每一个电话用户在任意时刻使用电话的概率120.260P ==，即(1,0.2)X b ，又设至少需m 条电话线路，求满足{}0.99P X m ≤=的m ．而1010{}(0.2)(0.8)kk k P X k C -== (0,1,,k =，有10100{}{}(0.2)(0.8)mmkk k k k P X m P X k C -==≤===∑∑，于是1010(0.2)(0.8)0.99mkk k k C-==∑ 即 5m =，故至少应有5条电话线路．评点 对于这类问题要注意：（１） X 是n 次试验中事件A 发生的概率； （２） 在每次试验中事件A 和A 有且仅有一个发生；（３） 利用对立事件来求解问题时，注意随机变量的取值为0,1,2,,n ，n 是试验次数；（４） 当n 较大P 较小时，且np λ=，(1)!k k kn kne C p p k λλ---≈．2.4 求服从泊松分布的随机变量取值的概率例 2.12 实验器皿中产生甲，乙两类细菌的机会是相等的，且产生的细菌数X 服从参数为λ的泊松分布，试求产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率． 解 由题意可知，X 的分布律为{}!kP X k e k λλ-==(0,1,2,k = 而这k 个细菌全部是甲类细菌的概率为(1/2)!kke k λλ-，因此产生了甲类细菌而无乙类细菌的概率为21(1)!kk P ee ek λλλλ∞---===-∑．评点 当试验次数n →∞时，若事件A 每次出现的概率0n P nλ=→，此时事件A 出现的次数X 服从泊松分布．服从泊松分布的随机变量很多，例如一个时间间隔内某电话交换台收到的电话的呼唤次数，交叉路口单位时间内过往的汽车辆数，一本书1页中的印刷错误数，纺织厂生产的布匹上一定数量的疵点，铸件的砂眼数等．2.5 求服从均匀分布的随机变量取值的概率例 2.13 测量零件时产生的误差(X 单位：cm )是一个随机变量，它服从(0.1,0.1)-内的均匀分布，求误差的绝对值在0.05cm 之内的概率．解 据均匀分布定义，X 的概率密度为1,0.10.1;0.1(0.1)()0,,x f x ⎧-<<⎪--=⎨⎪⎩其他即5,0.10.1;()0,,x f x -<<⎧=⎨⎩其他 故0.050.05{0.05}50.5P X dx -<==⎰．评点 求此类题型的解法一般有两种方法：（１） 利用概率密度的积分计算，即利用公式{}{}{}{}P a X b P a X b P a X b P a X b <<=≤≤=<≤=≤≤()baf x dx =⎰；（２） 直接利用分布函数计算，即利用公式{}{}{}()()P a X b P a X b P a X b F b F a <<=≤≤=<≤=-．2.6 求服从正态分布的随机变量取值的概率例 2.14 设随机变量X 服从正态分布(108,9)N ，求： （1）{101.1117.6}P x <<； （2）常数a ，使{}0.90P X a <=； （3）常数a ，使{||}0.01P X a a ->=．解 （1）117.6108101.1108{101.1117.6}33P x --⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3.2)( 2.3)=Φ-Φ-0.9995110.989280.9888=-+=．（2）108{}0.903a P X a -⎛⎫<=Φ=⎪⎝⎭，查表知108 1.293a -≈，即112.17a =． （3）{||}{2}{0}P X a a P X a P X ->=>+<10821081081083333X a X P P ----⎧⎫⎧⎫=>+<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭210810.013a -⎛⎫=-Φ= ⎪⎝⎭，即有21080.993a -⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭，故得21082.333a -=，即 57.4a =． 评点 正态分布是一类非常重要的分布．正态分布的概率计算最终都要查标准正态分布表，表里表明()z Φ和Z 的关系，特别地，当0Z <时，()1()z z Φ=-Φ-．2.7判别随机变量是否相互独立例 2.15设随机变量(,)X Y 的分布律如下表示，试判断X ，Y 是否相互独立．解 利用离散型随机变量边缘分布定义，随机变量(,)X Y 关于X 和Y 的边缘分布律分别为{0}{0}0.80.70.56{0,0}P X P Y P X Y ===⨯==== ； {0}{1}0.80.30.24{0,1}P X P Y P X Y ===⨯==== ； {1}{0}0.20.70.14{1,0}P X P Y P X Y ===⨯==== ； {1}{1}0.20.30.06{1,1}P X PY P X Y ===⨯==== ．由此可见ij i j p p p = ，故X 和Y 是相互独立的．例 2.16 已知联合分布密度,04,0(,)40,Axy x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，，求：（1）系数A ；（2）边缘概率密度；（3）讨论X 与Y 是否相互独立．解 （1）由概率密度的性质可知14GA xydxdy =⎰⎰即40014A dx xydxdy =⎰，得38A =．从而二维随机变量(,)X Y 的概率密度为 3,(,);(,)320,(,);xy x y G f x y x y G ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩ （2）由2033()3264X f x xydxdy x ==，得 23,04;()320,X x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他， 同理438,02;()3220,Y y y y f y ⎧⎛⎫-≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩其他，（3）取点1(,)1,2x y G ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，由于5133131(1)81,216642642X Y f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-≠= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故X 与Y 并不独立．评点 考察随机变量相互独立的判别，实际上（１） 若(,)X Y 是离散型的随机变量，则X 和Y 相互独立的充要条件是ij i j p p p = ； （2） 若(,)X Y 是连续型的随机变量，则X 和Y 相互独立的充要条件是(,)()()X Y f x y f x f y = ．2.8 求连续型随机变量的边缘概率密度例 2.17 设(,)X Y 在区域G 内服从均匀分布，G 由直线12xy +=及x 轴，y 轴围成，求；（1）(,)X Y 的联合密度；（2）关于X 和Y 关于的边缘密度．解 （1）G 的面积1()2112L G =⨯⨯=，故 1,(,)1,(,);()(,)0,.0,x y G x y G L G f x y ⎧∈∈⎧⎪==⎨⎨⎩⎪⎩其他其他 （2）当02x ≤≤时，2012012()(,)01012x x X x f x f x y dy dx dy dy +∞-+∞-∞+∞-==++=-⎰⎰⎰⎰， 当0x <或2x >时，(,)0f x y =，所以(0)0X f =．综上所述1,12;()20,X x x f x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他,同理可求得2(1),01;()0,Y y y f y -≤≤⎧=⎨⎩其他. 评点 由二维随机变量的概率密度求它的边缘分布是常规题，尤其是要注意 当概率密度是分段函数时，计算时要注意分段函数的段．例如，在求()X f x 时，利用公式()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰计算，必须分x 取不同区间值讨论．。
《概率论与数理统计》第二章 随机变量及其分布
两点分布或（0-1）分布
对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个
元素，即Ω={ω1,ω2}，我们总能在Ω上定义一个服从 (0-1)分布的随机变量
来描述这个随机X试验X的(结)果 。10,,当当
1, 2.
例如，对新生婴儿的性别进行登记，检查产品的质量 是否合格，某车间的电力消耗是否超过负荷以及前面多 次讨论过的“抛硬币”试验等都可以用(0-1)分布的随 机变量来描述。(0-1)分布是经常遇到的一种分布。
设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是 P{X＝k}＝pk(1-p)1-k，k＝0，1 (0<p<1)， 则称X服从(0-1)分布或两点分布。
(0-1)分布的分布律也可写成
X
0
1
pk
1-p
p
二项分布与伯努利试验
考虑n重伯努里试验中，事件A恰出现k次的概率。 以X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，X是一个 随机变量，我们来求它的分布律。X所有可能取的值为o， 1，2，…，n．由于各次试验是相互独立的，故在n次试 验中，事件A发生k次的概率为
X
x1
x2
…
xn
…
pk
p1
p2
…
pn
…
在离散型随机变量的概率分布中，事件 “X=x1”， “X=x2”....“X=xk”,...构成一个完备事件 组。因此，上述概率分布具有以下两个性质：
(1) pk 0, k 1, 2,L
(2) pk 1
k
满足上两式的任意一组数 pk , k 1, 2,L 都可以成为 离散型随机变量的概率分布。对于集合xk , k 1, 2,L
P{ X
k}
20 k
(0.2)k
概率论与数理统计(经管类)第二章知识点总结
第二章 随机变量及其概率分布1． 离散型随机变量()01k K K KP X x p p ==≥⎧⎪⎨=⎪⎩∑ 例1 设 ，则3.02.05.01=--=c------------------------------------------------------------------------------------------------ 8．知识点：离散型随机变量的分布律性质下列各表中可作为某随机变量分布律的是（ ） A ． B ．C ．D ．答案：C解：A 事件概率不可能为负值 B ，D1i iP ≠∑返回：第二章 随机变量及其概率分布------------------------------------------------------------------------------------------------2．常见离散型随机变量（1）0—1分布：设X ～),1(p B ，则应用背景：一次抽样中，某事件A 发生的次数X ～),1(p B ，其中EX X P A P p ====)1()(例2 设某射手的命中率为p ，X 为其一次射击中击中目标的次数，则X ～),1(p B（2）二项分布：设X ～),(p n B ，则()(1),0,1,2,,k k n kn P X k C p p k n -==-=应用背景：n 次独立重复抽样中某事件A 发生的次数X ～),(p n B ，其中()p P A =为事件A 在一次抽样中发生的概率。
例３ 某射手的命中率为0.8，X 为其5次射击中命中目标的次数，则X 取的可能值为5,,1,0 ，52()0.80.2k k k P X k C -==，即X ～)8.0,5(B记住：若X ～),(p n B ，则np EX =,)1(p np DX -=------------------------------------------------------------------------------------------------ 9．知识点：事件的关系及二项分布设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ） A ．3)1(1p -- B ．2)1(p p - C ．213)1(p p C -D ．32pp p ++答案：A解： 利用对立事件求解。
概率论与数理统计第2章复习
第二章随机变量及其分布一、随机变量及其分布函数1. 随机变量定义在样本空间Ω上，取值于实数的函数，即对于每一个ω∈Ω，有唯一的实数X（ω）与之对应，则称X（ω）为随机变量，简记为X。
一般用大写英文字母X,Y,,Z 等表示随机变量。
2. 分布函数设X为随机变量，则称定义在全体实数上的函数 F(x)=P(X≤x),-≦<x<+≦,为X 的分布函数。
显然任何随机变量都有分布函数。
3. 分布函数的性质(1)0≤F(x) ≤1;(2)单调不减，即对于任何实数x1< x2，有F(x1)≤F(x2)；(3)右连续，即对任何实数x，有F(x+0)=F(x)；(4)F(-≦)=0，F(+≦)=1.4. 用分布函数表示相关事件的概率设X的分布函数为F(x)，则有:(1)P(X≤b)=F(b), P(X<b)=F(b-0).(2)P(a<X≤b)=F(b)-F(a).(3)P(a≤X<b)=F(b-0)-F(a-0).(4)P(X=b)=F(b)-F(b-0).二、离散型随机变量1. 定义若随机变量X的所有可能值只有有限个或无穷个，则称X为离散型随机变量。
2. 分布律设X的所有可能取值为x1，x2， (x)n，……则称P(X=xi )=pi，i=1,2，…….为X的分布律，或用下列表示X的分布律：（1）pi≥0,i=1,2,…; （2）∑≤xx iip=1;3. 分布函数设X 的分布律为： P(X=x i )= p i ,i=1,2,…,则X 的分布函数为： F （x ）=P(X ≤x) = ∑≤xx i p (X=x i ) ，-≦<x<+≦.此时也称F(x)为离散型分布函数。
若已知X 的分布函数F(x)，则易求得X 的分布律： P(X=x i )=F(x i )-F(x i -0),i=1,2,…注意：离散型分布函数的间断点x i 就是对应随机变量的取值点。
三、 连续型随机变量1. 定义若随机变量X 的分布函数F(x)可表示成非负可积函数f(x)的下列积分形式：F （x ）=⎰∞-x dt t f )(, -≦<x<+≦.则称X 为连续型随机变量，F(x)为连续型分布函数，f （x ）为X 的概率密度函数。
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第2章 习题同步解析1.下列给出的两个数列，是否为随机变量的分布律，并说明理由．（1）5,4,3,2,1,0,15==i i p i ；（2）()3,2,1,0,652=-=i i p i ；（3）5,4,3,2,1,251=+=i i p i 解 要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证i p 是否满足下列两个条件：①Λ,2,1,0=≥i p i ，②1=∑iip．依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，因为0646953<-=-=p ；（3）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为∑=≠=5112520i i p ． 2. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机地取3个，以X 表示取出的3个球中最大号码，求X 的概率分布．解 依题意X 可能取到的值为3,4,5，事件{}3=X 表示随机取出的3个球的最大号码为3，则另两个球的只能为1号，2号，即3511{3}10P X C ===；事件{}4=X 表示随机取出的3个球的最大号码为4，因此另外2个球可在1,2,3号球中任选，此时233513{4}10C P X C ⨯===；同理可得243516{5}10C P X C ⨯===． X 的分布律为3. 某射手有57.0，如果击中就停止射击，如果不中就一直射击到子弹用尽， 求子弹剩余数的分布列．解 令X 表示子弹剩余的数目，则X 可能取值0,1,2,3,4，根据题意得 2{4}0.7;{3}0.30.70.21;{2}0.30.70.063P X P X P X ====⨯===⨯=431{1}0.30.70.0189;{0}1{}0.0081i P X P X P X i ===⨯===-==∑X 的分布律为4.试确定常数c ，使(){},0,1,2,3,42iP X i i ===成为某个随机变量X 的分布律，并求：{2}P X ≤；1522P X ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．解 要使i c2成为某个随机变量的分布律，必须有124=∑=i i c ，由此解得3116=c ；（2） {2}{0}{1}{2}P X P X P X P X ≤==+=+=3128412113116=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=（3）15{1}{2}22P X P X P X ⎧⎫<<==+=⎨⎬⎩⎭311241213116=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=． 5.一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有3,3,1,1,1,2--这样的数字．从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X 的分布律与分布函数．解 X 可能取的值为3,1,2-，且111{3},{1},{2}326P X P X P X =-=====，即X 的分布律为X 的分布函数()0,3,1,31,3{}5,12,61, 2.x x F x P X x x x <-⎧⎪⎪-≤<⎪=≤=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩6.设离散型随机变量X 的分布函数为()0, 10.4, 110.8, 131, 3x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，求X 的分布律．解 可以看出X 取值为1,1,3-，且X 在每点取值的概率是该点的跳跃高度，所以{1}(1)(10)(1)(0)0.400.4P X F F F F =-=----=--=-=；{1}(1)(10)(1)(1)0.8040.4P X F F F F ==--=--=-=； {3}(3)(30)(3)(1)10.80.2P X F F F F ==--=-=-=．所以其分布列为7.设随机变量~(6,)X B p ，已知{1}{5}P X P X ===，求p 与{2}P X =的值．解 由于~(6,)X B p ，因此()66{6}1,0,1,,6k kk P X C p p k -==-=L ．由此可算得 55{1}6(1),{5}6(1),P X p p P X p p ==-==-即 556(1)6(1),p p p p -=- 解得21=p ； 此时，262261115{2}2264P X C -⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 8. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率．解 设X 为1000辆汽车中出事故的次数，依题意，X 服从0001.0,1000==p n 的二项分布，即~(1000,0.0001)X B ，由于n 较大，p 较小，因此也可以近似地认为X 服从1.00001.01000=⨯==np λ的泊松分布，即~(0.1)X P ，所求概率为010.10.1{2}1{0}{1}0.10.110!1!10.9048370.0904840.004679.P X P X P X e e --≥=-=-=≈--=--=9. 一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布，求(1)某一分钟恰有8 次呼唤的概率；(2) 某一分钟的呼唤的次数大于3的概率．解 设X 为电话总机每分钟收到呼唤的次数，依题意~(4)X P ，则（1）844{8}0.02988!P X e -=== （2）3444044{3}110.43350.5665!!k k k k P X e e k k +∞--==>==-=-=∑∑ 10. 某航线的航班，常常有旅客预定票后又临时取消，每班平均为4人．若预定票而又取消的人数服从以平均人数为参数的泊松分布，求:(1) 正好有4人取消的概率; (2) 不超过3人(含3人)取消的概率;(3) 超过6人(含6人)取消的概率; (4) 无人取消的概率. 解 设X 为取消的人数，依题意~(4)X P ，则（1）444{4}0.19544!P X e -===. （2）344{3}0.4335!k k P X e k -=≤==∑. （3）5446044{6}110.78520.2148!!k k k k P X e e k k +∞--==≥==-=-=∑∑. （4）044{0}0.01830!P X e -===. 11. 设连续型随机变量X 的密度函数为 ⎩⎨⎧≤≤=其他10)(x Ax x f求（1） 常数A ；（2）{00.5}P X <<；(3){0.252}P X <≤.解：（1）112300()(10)1222A A Af x dx Axdx x +∞-∞===-==⎰⎰2A =解得：密度函数为： ⎩⎨⎧≤≤=其它102)(x xx f（2）0.50.50.52{00.5}()20.25P X f x dx xdx x <<====⎰⎰.（3）{0.252}{0.251}{12}P X P X P X <≤=<≤+<≤120.251200.9375xdx dx =+=⎰⎰ .12. 设随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧<≥+-=-00)1(1)(x x e x x F x求相应的密度函数，并求{1}P X ≤．解：因为()()F x f x '=，知随机变量X 的密度函数为[1(1)],000,00(0)x xx e x xe x x f x x --'⎧⎧-+≥≥=⎨⎨'<<⎩=⎩所以11{1}(1)1(11)12P X F ee --≤==-+=-.13. 设随机变量X 具有概率密度⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(3x x Ke x f x （1）试确定常数K ； （2）求(0.1)P X >； （3）求()F x .解： （1）由于⎰+∞∞-=1)(dx x f ，即 ⎰+∞∞-dx x f )(=133)3(31033030==-=--=∞+--∞+-∞+⎰⎰Ke K x d Ke dx Ke x x x 得3K =.于是X 的概率密度⎩⎨⎧≤>=-0,00,3)(3x x e x f x ； （2）(0.1)P X >= ⎰+∞1.0)(dx x f =7408.0331.0=-+∞⎰dx e x ;（3）由定义()F x =⎰∞-xdt t f )(。
当0≤x 时，()F x =0；当0>x 时，()F x = ⎰∞-xdt t f )(=x x xe dx e 33013---=⎰所以⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(3x x e x F x .14. 若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布，试求关于t 的方程210t t ξ++=有实根的概率是多少？解：方程210t t ξ++=有实根的条件是24022ξξξ-≥⇒≤-≥或，由于ξ在(1,6)上服从均匀分布，其密度函数为1,16,()50,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.所以有实根的概率为621{2}{2}0.85P P dx ξξ≤-+≥==⎰. 15. 某类日光灯管的使用寿命X (单位:小时)服从参数为12000λ-=的指数分布.问任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以上的概率．解：使用寿命X 的密度函数为：1120002000,0,()0,0xe xf x x ---⎧≥⎪=⎨<⎪⎩.所以111200020000.510001000{1000}2000|0.607x x P x e dx e e --+∞---+∞-≥==-==⎰.16. 设2~(3,2)X N ，（1）求{25},{410},{||2},{3}P X P X P X P X <≤-<≤>>； （2）试确定c 使得{}{}P X c P X c >=≤； （3）设d 满足{}0.9P X d ≥≥，问d 至多为多少？ 解：（1）5323{25}()()(1)(0.5)0.532822P X --<≤=Φ-Φ=Φ-Φ-=, 10343{410}()()(3.5)( 3.5)0.999622P X ----<≤=Φ-Φ=Φ-Φ-=,{||2}{2}{2}( 2.5)1(0.5)0.6977P X P X P X >=<-+>=Φ-+-Φ-=, {3}1{3}1(0)0.5P X P x >=-≤=-Φ=.（2）由题意可知{}{}0.5P X c P X c >=≤=，即3()0.52c -Φ=，查表可知3c =. （3）因为33{}0.9{}0.922Xd P X d P --≥≥⇒≥≥，可知3()0.12X -Φ<，得331()0.1()0.922X X ---Φ-<⇒Φ-≥，查表可知(1.29)0.90150.9Φ=≥，所以0.42d =.17. 标准普尔中公司股票的价格（单位：美元）服从30,8μσ==的正态分布，问 （1） 某公司股票价格至少为40美元的概率是多少？（2） 某公司股票价格不超过26美元的概率是多少？ （3） 若公司股票价格排名位于全部股票的前10%，则公司股票至少应达到多少？ 解：设股票价格为X ，由题意可知2~(30,8)X N ， （1）4030{40}1{40}1()1(1.25)0.10568P X P X -≥=-<=-Φ=-Φ=. （2）2630{26}()(0.5)0.30858P X -≤=Φ=Φ=. （3）可设股票价格为k 美元，由题意知{}0.9P X k ≤=，即30()0.98k -Φ=，查表可知(1.29)0.90150.9Φ=≥，所以40.32k =18.求（1）31Y X =+的分布列；（2）22Z X =的分布列．解：（1）（2）19. 设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布，求随机变量3Y X =的概率密度函数． 解：由题意可知X 的概率密度为1,02,()20,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.函数3()y g x x ==，其值域为[0,8]，单调且有唯一反函数()x h y =[0,8]y ∈；且()x h y ''==，得Y 的概率密度函数为231108,,08,2()()60,0,Y x y y f y f y -⎧⎧≤≤≤≤⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪⎩⎩其它其它..20. 设随机变量~(2)X E ，求XY e =的概率密度． 解：由题意可知X 的概率密度为202,()00,x x e f x x -≥⎧=⎨<⎩函数()xy g x e ==，其值域为[1,)+∞，单调且有唯一反函数()ln x h y y ==，[1,)y ∈+∞；且1()x h y y -''==．得Y 的概率密度函数为2ln 131,2,2,0,()()0,0,y y e y y y f y f y ---≥⎧⎧⋅≥=⇒=⎨⎨⎩⎩其它其它.. 21. 设~(0,1)X N ，求（1）221Y X =+的概率密度；（2）求||Z X =的概率密度． 解：（1）先求Y 的分布函数()Y F y ．注意到221Y X =+的值域是1Y ≥，因此，当1y <时，(){}{}0Y F y P Y y P =≤=Φ=．当1y ≥时，2(){}{21}{Y F y P Y y P X y P X =≤=+≤=≤≤22()x X f x dx dx -==再用求导的方法求出Y 的密度函数(1)4,1,()()0,y Y Y y f y F y --⎧≥'==⎩其它.（2）先求Z 的分布函数()Z F z ．注意到||Z X =的值域是0Z ≥，因此， 当0z <时，(){}{}0Z F z P Z z P =≤=Φ=．当0z ≥时，(){}{||}{}Z F z P Z z P X z P z X z =≤=≤=-≤≤22()x zzX zzf x dx edx ---==⎰再用求导的方法求出Z 的密度函数2222,0,,0,()()()0,0,z zZ Z z z f z F z f x --⎧≥>'==⇒=⎩⎩其它其它..第2章 自测题与答案（满分100分，测试时间100分钟）一、 填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）1．随机变量X 的分布函数)(x F 是事件 的概率．2．当a 的值为 时，2{}(),1,2,3kP X k a k ===L 才能成为随机变量X 的分布列．3．已知离散型随机变量X 的概率分布如下表则概率{3}P X <= ，{2}P X ≥= ．4．设随机变量X 服从()010，上的均匀分布，则{25}P X ≤≤= ． 5．设离散型随机变量(2,)X B p :，若9{1}25P X ≥=，则p = ． 6．已知连续型随机变量(3,9)X N :，若概率{}{}P X a P X a <=≥，则常数a = ． 7．已知连续型随机变量()X E λ:，若{1}0.05P X <=，则λ= ． 8．设随机变量~(2,),~(4,)X B p Y B p ，若5{1}9P X >=，则{1}P Y ≥= ． 9．已知连续型随机变量X 的分布函数是30,01(),03271,3x F x x x x <⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩，则{2}P X <= ，{11}P X -<<= ．10．设随机变量~(2,8)X N ，则51Y X =-+服从 分布． 答案：1．{}P X x ≤； 2． 0.5； 3．0.5,0.8； 4．0.3； 5．0.6； 6．3；7．ln 0.95-； 8．6581；9．827, 127； 10．(9,200)N -．二、单项选择题（本大题共5个小题，每小题2分，共10分）1．下面哪一个符合概率分布的要求( ) A. {}(1,2,3)6x P X x x === B. {}(1,2,3)4xP X x x ===C. {}(1,1,3)3xP X x x ===- D. 2{}(1,1,3)8x P X x x ===- 2．设随机变量),(~2σμN X ，其概率密度的最大值为（ ）． A. 0 B. 1 C.π21； D. 212)2(-πσ3．设连续型随机变量X 的分布函数是)(x F ，密度函数是)(x f ，则{}P X x ==( ) A. )(x F B. )(x f C. 0 D. 以上都不对 4．若函数)(x f y =是一随机变量X 的概率密度，则（ ）一定成立． A. )(x f y =的定义域为[0,1]; B. )(x f y =非负；C. )(x f y =的值域为[0,1];D. )(x f y =在),(+∞-∞内连续． 5．设随机变量2~(,)X N μσ，则随σ的增大，概率{}P X μσ-<应（ ） A. 单调增大； B. 单调减小； C. 保持不变； D. 增减不定． 答案：1．A 2．D 3．C 4．B 5．C三、计算题（本大题5个小题，每小题10分，共60分）1．已知随机变量~()X P λ，{0}0.4P X ==，求参数λ，并求{2}P X ≥．解：由题意知0{0}0.40.4ln 2.50!P X e e λλλλ--===⇒=⇒=，………4分所以{2}1{0}{1}P X P X P X ≥=-=-= ………4分 ln 2.510.40.40.23351=--⋅= ………2分 2．设随机变量X 的分布密度函数为 01,(0,0)()0bkx x b k f x ⎧<<>>=⎨⎩其它，且1{}0.752P X >=，求b k ,．解：1111100()1(1)|1(1)1b b f x dx kx dx k b x k b +∞-+--∞=⇒=+=⇒+=⎰⎰，………4分 111110.52(1)|0.751{}0.752b b P X x b x k k x d -+>=⇒=+=⎰ ………2分11(1)[1(0.5)]0.75b k b -+⇒+-=………2分 综上两式可推出2,1k b ==………2分3．某大学学生入学数学成绩X (分)近似服从正态分布2(65,10)N .求数学成绩在85分以上的学生占大学新生的百分之几？解：{85}1{85}P X P X >=-≤ ………6分………4分4．设随机变量~(1,1)X U -，求XY e =的密度函数． 解：由题意可知X 的概率密度为1,11,()20,x f x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.………2分函数()xy g x e ==，其值域为1[,]e e -，………2分单调且有唯一反函数()ln x h y y ==，1[,]y e e -∈；且1()x h y y -''==．………2分 得Y 的概率密度函数为11,,2()0,e y e yf y -⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. ………4分5．已知随机变量的概率密度为 ()xf x Ae-=()x -∞<<+∞（1）求系数A ；（2）求分布函数()F x ；（3）求{11}P X -<<．解：（1）0()12|10.5xx A f x dx dx A e A e +∞+∞+∞---∞-∞=⇒⇒-=⇒=⎰⎰；………2分（26分（3）1{11}(1)(1)1P X F F e --<<=--=- ………2分四、应用题（本大题共10分）设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （分钟）服从参数为0.2的指数分布，某顾客在窗口等待服务时，若超过10分钟，他就离开．他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y 的分布律，并求概率(1)P Y ≥． 解：由题意可知~(0.2)X E ，服务超过10分钟的概率为0.2210{10}0.2x P X e dx e +∞--≥==⎰，………4分Y 服从二项分布，其分布律为2255{}(1),0,1,,5k k kP Y k C e e k ---==-=L………4分 所以25{1}1{0}1(1)P Y P Y e -≥=-==--………2分。