最新湖州市初三数学竞赛试题及参考答案

2011年湖州市初三数学竞赛试题答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答． 2．解答书写时不要超过装订线．3．可以用计算器一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1．如果(3，4)是反比例函数y =221m m x+-图像上的一点，那么此函数必定经过点 ()A ．(2，6)B ．(2，-6)C ．(4，-3)D ．(3，-4)2．已知|a+b|+|a-b|-2b=0，在数轴上给出关于a ，b 的四种位置关系如图所示，则可能成立的有( )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种3．在直角坐标系中，已知两点A (8,3)-、B (4,5)-以及动点C (0,)n 、D (,0)m ，则当四边形ABCD 的周长最小时，比值mn为 （ ） A ．23-B ．2-C ．32- D ．3-4．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转300到正方形AEFG ，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．21B ．33C ．431-D ．331-A5．定义新运算： a ⊕b=⎪⎩⎪⎨⎧≠>-≤-)0()(1b b a ba b a a 且，则函数y=3⊕x 的图象大致是（ ）6．观察下列三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … …则第50行的最后一个数是（ ）A ．1275B ．1270C ．1260D ．12257．如图，一个边长分别为3cm 、4cm 、5cm 的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD 、DC 上，那么这个正方形的面积是（ ）。

A ．15162cm 2B ．16152cm 2C ．16172cm 2 D.17162cm 28．空间6个点（任意三点不共线）两两连线，用红、蓝两色染这些线段，其中A 点连出的线段都是红色的，以这6个点为顶点的三角形中，三边同色的三角形至少有 （ ） A ．3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个345ABC D E Fͼ2第7题精品文档二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．王师傅围一块一面靠墙长方形花圃，面积为50m 2，如果不靠墙的三面用竹篱笆去围。

那么，竹篱笆最少需要的长度是________m 。

10．如图，在△ABD 中，∠ADB ＝90°，C 是BD 上一点，若E 、F 分别是AC 、AB 的中点，△DEF 的面积为3.5，则△ABC 的面积为 .11．如图，△ABC 中，已知AB=AC ，△DEF 是△ABC 的内接正三角形，α=∠BDF ，β=∠CED ，γ=∠AFE ，则用β、γ表示α的关系式是_________。

12．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m 的值是 ．13．假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：甲种客车每辆车有40个座位，租金400元；乙种客车每辆有50个座位，租金480元.则租用该公司客车最少需要租金___________.14．如图：已知正ABC ∆中，点M ，N 分别在AB ，AC 上，且AN=BM ，BN 与CM 相交于O ，若2,7==∆∆OBC ABC S S ，则=BABM。

C B FDE A第10题 C第11题 0 284 24 622 46 844第12题图三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）15．设关于x 的一次函数11b x a y +=与22b x a y +=，则称函数)()(2211b x a n b x a m y +++=（其中)1=+n m 为此两个函数的生成函数。

（1）当1=x 时，求函数1+=x y 与x y 2=的生成函数的值；（2）若函数11b x a y +=与22b x a y +=的图象的交点为P ，判断点P 是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由。

16．已知：对于实数a ，只有一个实数值x 满足等式211220111x x x a x x x +-++++=-+-试求所有这样的实数a 的和.17．某乡镇小学到县城参观，规定汽车从县城出发于上午7时到达学校，接参观的师生立即出发去县城．由于汽车在赴校的途中发生了故障，不得不停车修理．学校师生等到7时10分，仍未见汽车来接，就步行走向县城．在行进途中遇到了已经修理好的汽车，立即上车赶赴县城，结果比原定到达县城的时间晚了半小时．如果汽车的速度是步行速度的5倍，问汽车在途中排除故障花了多少时间？．18. 已知：直线112y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 （1，0）． （1）求抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△P AE 是直角三角形时，求点P 的坐标．（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标．2011年湖州市初三数学竞赛试题参考答案与评分意见一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．A 2．B 3．C 4． D 5．B 6．A 7．D 8． C二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9． 20 10． 14 11． 2βγ+12． 74 13． 3520元 14．31或32三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分） 15． 解：（1）1+=x y 与x y 2=的生成函数为m x n m nx x m y ++=++=)2(2)1( ------------ 2分当x =1时，2)(22=+=++=n m m n m y ------------ 4分（2）点P 在此两个函数的生成函数的图象上。

设P 点坐标为（),q p ，根据题意，得 q b p a q b p a =+=+2211,∵ 当p x =时，qnq mq b pa n b pa m b x a n b x a m =+=+++=+++)()()()(22112211 ------------- 4分∴ 点P （),q p 在函数11b x a y +=与22b x a y +=生成函数的图象上 ------ 2分16．解：题中等式可化为 22240x x a +++= ①当方程①有两个相等的实数根时， ()04244=+⨯⨯-=∆a ，由此得172a =-， ---------------------------------------- 3分 此时方程①有一个根12x =-，验证可知12x =-的确满足题中的等式。

当方程①有两个不相等的实数根时，442(4)0a ∆=-⨯⨯+>，由此得72a <-若1x =是方程①的根，则原方程有增根1x =，代入①解得28a =-， ------------- 3分 此时方程①的另一个根2x =-，它确也满足题中的等式；若1x =-是方程①的根，则原方程有增根1x =-，代入①解得34a =-，此时方程①的另一个根0x =，验证可知0x =确满足题中的等式； ------------------------ 3分因此172a =-，28a =-，34a =-即为所求，且123312a a a ++=-. --------------- 3分17. 解法一：设学校与县城的距离为S 千米，汽车故障时间为a 分钟，师生步行的时间为t ，步行的速度为x 千米/分钟，则汽车速度为5x 千米/分钟. ------------- 2分305510+=-++x Sx xt S t ---------------------------- 4分 30525)(2+=-+x Sx xt S a----------------------------- 4分 解得 t=25，a =40分钟 ------------------------------ 2分 答：汽车在途中排除故障共花了40分钟。

解法二：假定排除故障花时x 分钟．设点A 为县城所在地，点C 为学校所在地，点B 为师生途中与汽车相遇之处．在师生们晚到县城的30分钟中，有10分钟是因晚出发造成的，还有20分钟是由于从C 到B 由步行代替乘车而耽误的． ------------ 4分汽车所晚的30分钟，一方面是由于排除故障耽误了x 分钟，但另一方面由于少跑了B 到C 之间的一个来回而省下了一些时间．已知汽车速度是步行速度的5倍，而步行比汽车从C 到B 这段距离要多花20分钟．由此知汽车由C 到B 应花1-520＝5(分钟) ----------------------------- 4分一个来回省下10分钟，所以有x 一10＝30，x ＝40，即 汽车在途中排除故障花了40分钟． ----------------------------- 4分18. 解：（1）将A （0，1）、B （1，0）坐标代入212y x bx c =++得1102c b c =⎧⎪⎨=++⎪⎩ 解得321b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解折式为213122y x x =-+． ------------------------------ 4分 （2）设点E 的横坐标为m ，则它的纵坐标为213122m m -+则E （m ，213122m m -+）． 又∵点E 在直线112y x =+上，∴213111222m m m -+=+． 解得10m =（舍去），24m =．∴E 的坐标为（4，3）． ------------------ 2分 （Ⅰ）当A 为直角顶点时过A 作1AP DE ⊥交x 轴于1P 点，设1(0)P a ，． 易知D 点坐标为（2-，0）．由Rt Rt AOD POA △∽△得DO OA OA OP =即211a =，∴a =21． ∴1102P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． -------------- 1分 （Ⅱ）同理，当E 为直角顶点时，2P 点坐标为（112，0） -------------- 1分 （Ⅲ）当P 为直角顶点时，过E 作EF x ⊥轴于F ，设3(0)P b ，． 由90OPA FPE ∠+∠=°，得OPA FEP ∠=∠．Rt Rt AOP PFE △∽△． 由AO OP PF EF =得143bb =-．解得11b =，23b =．∴此时的点3P 的坐标为（1，0）或（3，0）． -------------- 2分 综上所述，满足条件的点P 的坐标为（21，0）或（1，0）或（3，0）或（112，0） （3）抛物线的对称轴为32x =． ∵B 、C 关于x =23对称， ∴MC MB =．要使||AM MC -最大，即是使||AM MB -最大．由三角形两边之差小于第三边得，当A 、B 、M 在同一直线上时||AM MB -的值最大．易知直线AB 的解折式为1y x =-+．∴由132y x x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩ 得3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴M （23，－21）． ---------------------- 4分。