高中数学人教A版必修四课时训练 第三章 三角恒等变换 章末检测(B) pdf版含答案
2018-2019学年高中数学(人教A版+必修4)课后习题：第三章 三角恒等变换+测评+Word版含解析
第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.函数f(x)=1-2sin2的最小正周期为()A.2πB.πC.D.4π解析f(x)=1-2sin2=cos x,于是最小正周期为2π.答案A2.若cos-,则cos(π-2α)=()A. B.- C. D.-解析由已知得sin α=,所以cos(π-2α)=-cos 2α=2sin2α-1=-.答案B3.函数f(x)=-cos2-的单调增区间是()A.-,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.-,k∈Z解析∵f(x)=-=-cos-=-sin 2x,令+2kπ≤2x≤π+2kπ,∴+kπ≤x≤π+kπ,∴增区间为,k∈Z.答案C4.已知α∈,cos α=-,则tan-等于()A.7B.C.-D.-7解析由已知得tan α=,则tan--.1答案B5.函数f(x)=sin2+cos2--1是()A.周期为π的奇函数B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数解析f(x)=sin2+cos2--1=2sin2-1=-cos=sin 2x,所以周期T==π,且函数是奇函数.答案A6.已知sin-,则cos=()A.-B.-C.-D.解析由sin-,可得cos=sin-,所以cos=2cos2-1=2·-1=-.答案A7.的值等于()A. B. C.1 D.2解析.答案A8.三角函数f(x)=sin-+cos 2x的振幅和最小正周期分别是()A. B.,π C. D.,π解析f(x)=sin-+cos 2x=sin cos 2x-cos sin 2x+cos 2x=cos 2x-sin 2x=-sin-,振幅为,周期为T==π.答案D9.已知A,B,C是△ABC的三个内角,且tan A,tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析由一元二次方程根与系数的关系,得2∴tan(A+B)=.--在△ABC中,tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-<0,∴C是钝角,∴△ABC是钝角三角形.故选A.答案A10.导学号68254113已知函数f(x)=cos4x+sin2x,下列结论中错误的是()A.f(x)是偶函数B.函数f(x)最小值为C.是函数f(x)的一个周期D.函数f(x)在内是减函数解析由f(-x)=cos4(-x)+sin2(-x)=f(x),知函数f(x)是偶函数,故A正确;f(x)=(1-sin2x)2+sin2x=sin4x-sin2x+1=-,又sin2x∈[0,1],则当sin2x=时,f(x)min=,所以B正确;f=sin4-sin2+1=cos4x+1-cos2x=cos4x+sin2x,则f(x)=f.所以C也正确,选D.答案D11.(2018全国Ⅱ高考)若f(x)=cos x-sin x在[0,a]是减函数,则a的最大值是()A. B. C. D.π解析∵f(x)=cos x-sin x=-cos ,3(方法1)作图如图所示.易知a max=π.(方法2)∵f(x)在2kπ≤x+≤2kπ+π,k∈Z上为减函数,∴2kπ-≤x≤2kπ+π,k∈Z,令k=0可知x∈-,∴a max=π.答案C12.已知sin 2(α+γ)=n sin 2β,则-=()A.-B.C.-D.-解析为方便,记α+γ=δ,则原式变为sin[(δ+β)+(δ-β)]=n sin[(β+δ)+(β-δ)],展开得sin(δ+β)cos(δ-β)+cos(δ+β)sin(δ-β)=n sin(β+δ)cos(β-δ)+n cos(β+δ)sin(β-δ),等式两边同除以cos(δ-β)cos(δ+β)得tan(δ+β)+tan(δ-β)=n tan(β+δ)-n tan(δ-β),于是--.答案D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若函数f(x)=sin 2x+cos 2x,且函数y=f(0<φ<π)是一个偶函数,则φ的值等于.解析因为f(x)=sin 2x+cos 2x=sin,所以y=f sin,则有φ++kπ,因此φ=+kπ(k∈Z),当k=0时,φ=.答案14.化简----=.解析原式=tan(90-2α)·=--=.答案415.(2018全国Ⅱ高考)已知tan-,则tan α=.-解析∵tan-=-,∴5tan α-5=1+tan α.∴tan α=.答案16.若函数f(x)=2sin x+b cos x在x=处取得最大值,则f(x)在上的最小值等于.解析依题意有f=2sin +b cos ,即3+,解得b=2,于是f(x)=2sinx+2cos x=4sin,由于x∈,所以x+,故最小值等于4sin =2.答案2三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=A sin-(A>0,ω>0)的最小值为-2,其图象相邻两个对称中心之间的距离为.(1)求f(x)的最小正周期及对称轴方程;(2)若f-,求f的值.解(1)因为函数f(x)的最小值为-2,所以A=2.由图象相邻两个对称中心之间的距离为,得最小正周期T=,所以,即ω=2,于是f(x)=2sin-.由4x-=kπ+,得x=(k∈Z),故其图象的对称轴方程为x=(k∈Z).(2)由f-=1,可得2sin(θ-π)=,于是sin θ=-,因此f=2sin-=2sin=-2cos 2θ=4sin2θ-2=-.18.(本小题满分12分)已知cos-=-,sin-,且α∈,β∈.求:(1)cos;(2)tan(α+β).5解(1)∵<α<π,0<β<,∴<α-<π,--β<.∴sin---,cos---.∴cos=cos---=cos-·cos-+sin-·sin--=-.(2)∵,∴sin-.∴tan=-.∴tan(α+β)=.-19.(本小题满分12分)已知向量a=(cos ωx,1),b=-其中,函数f(x)=a·b,且f(x)图象的一条对称轴为x=.(1)求f的值;(2)若f-,f-,且α,β∈-,求cos(α-β)的值.解(1)∵向量a=(cos ωx,1),b=-=((sin ωx+cos ωx),-1),∴函数f(x)=a·b=2cos ωx(sin ωx+cos ωx)-1=2sin ωx cos ωx+2cos2ωx-1=sin 2ωx+cos2ωx=sin.∵f(x)图象的一条对称轴为x=,∴2ω×+kπ(k∈Z).又≤ω≤,∴ω=1,∴f(x)=sin,6∴f sin=-cos =-1.(2)∵f-,f-,∴sin α=,sin β=.∵α,β∈-,∴cos α=,cos β=,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=. 20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=tan.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)设α∈,若f=2cos 2α,求α的大小.解(1)由2x++kπ,k∈Z,得x≠,k∈Z,所以f(x)的定义域为x∈R x≠,k∈Z.f(x)的最小正周期为.(2)由f=2cos 2α,得tan=2cos 2α,即=2(cos2α-sin2α),整理得-=2(cos α+sin α)(cos α-sin α).因为α∈,所以sin α+cos α≠0.因此(cos α-sin α)2=,即sin 2α=.由α∈,得2α∈,所以2α=,即α=.21.7(本小题满分12分)如图,以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A,点B,P在单位圆上,且B-,∠AOB=α.(1)求-的值;(2)设∠AOP=θ,四边形OAQP的面积为S,f(θ)=(-1)2+S-1,求f(θ)的最值及此时θ的值.=-2,解(1)依题意,tan α=-∴----=-10.-(2)由已知点P的坐标为P(cos θ,sin θ),又,||=||,∴四边形OAQP为菱形,∴S=2S△OAP=sin θ,∵A(1,0),P(cos θ,sin θ),∴=(1+cos θ,sin θ),∴=1+cos θ,∴f(θ)=(1+cos θ-1)2+sin θ-1=cos2θ+sin θ-1=-sin2θ+sin θ=--.∵≤sin θ≤1,∴当sin θ=,即θ=时,f(θ)max=;当sin θ=1,即θ=时,f(θ)min=1.22.导学号68254114(本小题满分12分)已知函数f(x)=4sin -cos x+.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)若函数g(x)=f(x)-m区间在上有两个不同的零点x1,x2,求实数m的取值范围,并计算tan(x1+x2)的值.解(1)f(x)=4sin-cos x+8=4-cos x+=2sin x cos x-2cos2x+=sin 2x-cos 2x=2sin-.∴函数f(x)的周期为T=π.由2kπ-≤2x-≤2kπ+,得kπ-≤x≤kπ+π(k∈Z).∴f(x)的递增区间为-(k∈Z).(2)∵方程g(x)=f(x)-m=0同解于f(x)=m,在直角坐标系中画出函数y=f(x)=2sin-在上的图象,由图象可知,当且仅当m∈[,2)时,方程f(x)=m有两个不同的解x1,x2,且x1+x2=2×,故tan(x1+x2)=tan =-tan =-.9。
高中数学(人教A版,必修四) 第三章 三角恒等变换 3.2 课时作业(含答案)
§3.2 简单的三角恒等变换 课时目标 1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律．1．半角公式(1)S α2：sin α2＝____________________； (2)C α2：cos α2＝____________________________； (3)T α2：tan α2＝______________(无理形式)＝________________＝______________(有理形式)． 2．辅助角公式使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝__________________，sin φ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定．一、选择题1．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( ) A ．－1－cos α2 B. 1－cos α2C ．－1＋cos α2 D. 1＋cos α22．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的最大值是( ) A ．2 B ．1 C.12D. 3 3．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最小值为( ) A ．－2 B ．－ 3 C ．－ 2 D ．－14．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )A.π6B.π3C.π2D.2π35．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π，－5π6B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π6 C.⎣⎡⎦⎤－π3，0 D.⎣⎡⎦⎤－π6，0 6．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2等于( ) A ．－1 B.1 C ．2 D ．－27．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是______． 8．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是________． 9．已知等腰三角形顶角的余弦值为45，则底角的正切值为________． 10.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于____．三、解答题11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．12．已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8的值．能力提升13．当y ＝2cos x －3sin x 取得最大值时，tan x 的值是( )A.32 B ．－32C.13 D ．4 14．求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值．§3.2 简单的三角恒等变换知识梳理1．(1)± 1－cos α2 (2)± 1＋cos α2(3)± 1－cos α1＋cos α sin α1＋cos α1－cos αsin α 2.a a 2＋b 2 b a 2＋b 2点(a ，b ) 作业设计1．C2．B [y ＝2sin x cos π3＝sin x ．] 3．D [f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. ∵－π4≤x －π4≤π4， ∴f (x )min ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1.] 4．D [f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋θ. 当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x .] 5．D [f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋56π (k ∈Z )， 令k ＝0得增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，56π.] 6．A [∵α是第三象限角，cos α＝－45， ∴sin α＝－35. ∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sin α2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.] 7．π解析 f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x － 2 ＝sin(2x ＋π4)－2，∴T ＝2π2＝π. 8.459解析 设α为该等腰三角形的一底角，则cos α＝23，顶角为180°－2α. ∴sin(180°－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝21－⎝⎛⎭⎫232·23＝459. 9．3解析 设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝45， 底角大小为12(180°－α)．∴tan ⎣⎡⎦⎤12(180°－α)＝tan ⎝⎛⎭⎫90°－α2＝1tan α2＝1＋cos αsin α＝1＋4535＝3. 10.725解析 由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos θ－sin θ＝15. 由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2.∴cos θ＋sin θ＝75. ∴cos 2θ＝cos 2 θ－sin 2 θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725. 11．解 (1)∵f (x )＝3sin2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎣⎡⎦⎤32sin2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2， 即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )， ∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }． 12．解 m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)， |m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2＝4＋22(cos θ－sin θ)＝4＋4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝21＋cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. 由已知|m ＋n |＝825，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝725. 又cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8－1， 所以cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝1625.∵π<θ<2π，∴5π8<θ2＋π8<9π8. ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8<0.∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝－45. 13．B [y ＝2cos x －3sin x ＝13⎝⎛⎭⎫213cos x －313sin x ＝13(sin φcos x －cos φsin x )＝13sin(φ－x )，当sin(φ－x )＝1，φ－x ＝2k π＋π2时，y 取到最大值． ∴φ＝2k π＋π2＋x ，(k ∈Z ) ∴sin φ＝cos x ，cos φ＝－sin x ，∴cos x ＝sin φ＝213，sin x ＝－cos φ＝－313. ∴tan x ＝－32.] 14．解 3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋20°)cos 60°＋5cos(x ＋20°)sin 60°＝112sin(x ＋20°)＋532cos(x ＋20°)＝⎝⎛⎭⎫1122＋⎝⎛⎭⎫5322sin(x ＋20°＋φ)＝7sin ()x ＋20°＋φ 其中cos φ＝1114，sin φ＝5314.所以f (x )max ＝7.。
高中数学必修4第三章三角恒等变换综合检测题(人教A版)
第三章三角恒等变换综合检测题本试卷分第I 卷选择题和第U 卷非选择题两部分，满分150分，时间120 分钟。
第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的 ）n 3 41 .已知 0v av 2v 3<n 又 sin a= 5, cos （a+ ®= — 5,贝V sin （）B . 0 或 2424 C.25 24 D . ±25 ［答案］Cn 3 4［解析］•/ 0v av 2 v 3v n 且 sin a= 5, COS ( a+ 3 = — 54 n3 3• cos a= 5 , 2< a+ 3v ㊁ n, • sin( a+ 3 = ±5,=sin( a+ 3cos a — cos( a+ 3)sin a才< 3v n ••• sin 3> 0•故排除 A , B , D.4 3 4⑵由 cos( a+ 3)= — 5及 Sin a= 3可得 sin 3= §(1 + cos 3)代入 sin 2 3+ cos 2 3= 1 中可解得 cos37 n=—1或一25,再结合2<仟n 可求sin 32.若sin Bv 0, cos2 0v 0，则在（0,2 内）B 的取值范围是（）3 n3=0.sin3=- 5x 4-又氏才，n j, • sin 3> 0，故 sin 3= 24当 sin( a+ 3 =,sin 3= sin ［( a+ a［点评］（1）可用排除法求解，T=器53 245 = 25；A . n< 0< 25 nB.5T <e< ¥3 nC.y <e< 2 nD.严< 0<孕4 4［答案］B［解析］2 2 2•/ cos2 e< 0, • 1 —2sin < 0，即sin e>2或sin < —"2，又已知sin < 0, •— 1 < sin e<—亠2,2由正弦曲线得满足条件的e取值为54n<e< ¥3. 函数y= sin2x+ cos2x的图象，可由函数y= sin2x —cos2x的图象（）A .向左平移f个单位得到B .向右平移f个单位得到8c.向左平移n个单位得到4D .向右平移4个单位得到［答案］C［解析］y= sin2x+ cos2x= , 2sin（2x+J=2si n2(x +》_ n _ ny= sin2x—cos2x= 2sin(2x—4)= . 2sin2(x—§)n n n其中x+8=(x+ 4)—8n•••将y= sin2x—cos2x的图象向左平移：个单位可得y= sin2x+ cos2x的图象.44. 下列各式中，值为~2的是()A . 2sin 15 cos15 °2 2B. cos 15。
高一数学人教a版必修四练习：第三章_三角恒等变换3.1.2_第一课时_word版含解析
高一数学人教a 版必修四练习：第三章_三角恒等变换3.1.2_第一课时_word 版含解析(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．sin 105°的值为( )A .3＋22 B .2＋12 C .6－24 D .2＋64解析： sin 105°＝sin (45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝22×12＋22×32＝2＋64. 答案： D2．(2015·新课标全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A ．－32B .32C ．－12D .12解析： 原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin (20°＋10°)＝12. 答案： D3.sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( ) A ．－32 B ．－12C .12D .32 解析： 利用两角和的正弦公式化简．原式＝sin （30°＋17°）－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12. 答案： C4．在△ABC 中，若sin (B ＋C )＝2sin B cos C ，那么这个三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析： 由sin (B ＋C )＝2sin B cos C 得sin (B －C )＝0，∵B ，C 是△ABC 的两个内角，∴B －C ＝0即B ＝C .答案： D二、填空题(每小题5分，共15分)5．化简sin 50°cos 38°＋cos 50°cos 128°的结果为________．解析： sin 50°cos 38°＋cos 50°cos 128°＝sin 50°cos 38°＋cos 50°(－sin 38°)＝sin 50°cos 38°－cos 50°sin 38°＝sin (50°－38°)＝sin 12°.答案： sin 12°6．已知π4＜β＜π2，sin β＝223，则sin ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝________． 解析： ∵π4＜β＜π2，sin β＝223，∴cos β＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝sin β·cos π3＋cos β·sin π3＝223×12＋13×32＝23＋36＝22＋36. 答案： 22＋367．已知cos (α＋β)＝17，cos (α－β)＝－17，则cos αcos β的值为________． 解析： cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝17，① cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－17，② ①＋②，得2cos αcos β＝0.∴cos αcos β＝0.答案： 0三、解答题(每小题10分，共20分)8．已知sin α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos β＝－513，β为第三象限角，求cos (α＋β)的值．解析： ∵sin α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. ∵β为第三象限角，且cos β＝－513， ∴sin β＝－1－cos 2β＝－1－⎝⎛⎭⎫－5132＝－1213. ∴cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－513－45×⎝⎛⎭⎫－1213＝6365. 9．已知sin α＝55，sin β＝1010，且α和β均为钝角，求α＋β的值． 解析： ∵α和β均为钝角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－255，cos β＝－1－sin 2β＝－31010. ∴cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22. 由α和β均为钝角，得π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝7π4. 能力测评10．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6，3cos A ＋4sin B ＝1，则C 的大小为( )A .π6B .5π6C .π6或5π6D .π3或2π3解析： 由已知可得(3sin A ＋4cos B )2＋(3cos A ＋4sin B )2＝62＋12，即9＋16＋24sin (A ＋B )＝37. 所以sin (A ＋B )＝12.所以在△ABC 中sin C ＝12，所以C ＝π6或C ＝5π6.又1－3cos A ＝4sin B ＞0，所以cos A ＜13. 又13＜12，所以A ＞π3，所以C ＜2π3， 所以C ＝5π6不符合题意，所以C ＝π6. 答案： A11．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π3，则tan α＝________． 解析： cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos αcos π3－sin αsin π3＝12cos α－32sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝sin αcos π3－cos αsin π3＝12sin α－32cos α，∴⎝⎛⎭⎫12＋32sin α＝⎝⎛⎭⎫12＋32cos α，故tan α＝1. 答案： 112．化简下列各式：(1)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－3cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ； (2)sin （2α＋β）sin α－2cos (α＋β)． 解析： (1)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3·cos x －3sin 2π3sin x＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝⎝⎛⎭⎫12＋1－32sin x ＋⎝⎛⎭⎫32－3＋32cos x ＝0.(2)原式＝＝sin [（α＋β）＋α]－2cos （α＋β）sin αsin α ＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin αsin α＝sin [（α＋β）－α]sin α＝sin βsin α. 13．已知cos α＝55，sin (α－β)＝1010，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.求： (1)cos (2α－β)的值；(2)β的值．解析： (1)因为α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 又sin (α－β)＝1010＞0，∴0＜α－β＜π2. 所以sin α＝1－cos 2α＝255， cos (α－β)＝1－sin 2（α－β）＝31010， cos (2α－β)＝cos [α＋(α－β)]＝cos αcos (α－β)－sin αsin (α－β) ＝55×31010－255×1010＝210.(2)cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22，又因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.。
人教A版 数学 必修4 第3章 三角恒等变换章末复习 优等生专用 (解析版)
公式总结1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin α cos β±cos α sin β； cos(α∓β)＝cos α cos β ± sin α sin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α3．公式的常用变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4 4. 升幂公式1＋cos 2α＝2cos 2α， 1－cos 2α＝2sin 2α， 1＋cos α＝2cos 2α2,1－cos α＝2sin 2α2 .5. 降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2， sin 2α＝1－cos 2α2.6. 半角公式sin α2＝±1－cos α2 cos α2＝± 1＋cos α2， tan α2＝± 1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α7. 辅助角公式 a sin x ＋b cos x22ba +=)cos sin (2222x ba b x ba a +++22b a +=)cos sin sin (cos x x ϕϕ+三角恒等变换章末复习=a 2＋b 2sin(x ＋θ).⎝⎛⎭⎫其中tan θ＝ba8. 万能公式sin α ＝2sin α 2cos α2＝2sinα 2cos α 2sin 2α 2＋cos 2α 2＝2tan α21＋tan2α 2.cos α ＝cos 2α 2－sin 2α2＝cos 2α 2－sin 2α 2sin 2α 2＋cos 2α 2＝1－tan 2α21＋tan2α 2.一、选择题1．已知tan α＝43，且α为第一象限角，则sin α2的值为( )A ．－55 B.55 C ．±55D ．±15解析：选C 因为tan α＝43，所以sin αcos α＝43.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以⎩⎨⎧sin α＝45，cos α＝35或⎩⎨⎧sin α＝－45，cos α＝－35.因为α为第一象限角，所以α2为第一、三象限角，且⎩⎨⎧sin α＝45，cos α＝35，所以sin α2＝±1－cos α2＝± 1－352＝±55. 2．函数f (x )＝12(1＋cos 2x )·sin 2x (x ∈R)是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数确定，由其中2222cos sin b a a b a b +=+=ϕϕϕ练习C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选D 因为f (x )＝14(1＋cos 2x )(1－cos 2x )＝14(1－cos 22x )＝14sin 22x ＝18(1－cos4x )．又f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是最小正周期为π2的偶函数，选D.3. 1－tan 27°tan 33°tan 27°＋tan 33°的值为( ) A.33B. 3C ．tan 6° D.1tan 6°解析：选A ∵tan 27°＋tan 33°1－tan 27°tan 33°＝tan(27°＋33°)＝tan 60°，∴原式＝1tan 60°＝33.4．在△ABC 中，若2sin B 2cos B 2sin C ＝cos 2A2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．非等腰三角形D ．直角三角形解析：选B 在△ABC 中，因为2sin B 2cos B 2sin C ＝cos 2A 2，所以sin B sin C ＝cos 2A2，即sinB sinC ＝1＋cos A2，2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，2sin B sin C ＝1－cos B cos C ＋sin B sin C ，即cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，所以cos(B －C )＝1，B －C ＝0，B ＝C ，故选B.5．在△ABC 中，若tan Atan B>1，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不能确定 解析：选A 由tan Atan B>1，知tan A>0，tan B>0，从而A ，B 均为锐角． 又tan(A ＋B)＝tan A ＋tan B1－tan Atan B <0，即tan C ＝－tan(A ＋B)>0，∴C 为锐角，故△ABC 为锐角三角形．6．在△ABC 中，如果sin A ＝2sin C cos B ，那么这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 解析：选C ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝π－(B ＋C )．由已知可得 sin(B ＋C )＝2sin C cos B ⇒sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin C cos B ⇒sin B cos C －cos B sin C ＝0⇒sin(B －C )＝0. ∵0<B <π，0<C <π，∴－π<B －C <π.∴B ＝C .故△ABC 为等腰三角形．7．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)的值为( )A ．－6365B ．－3365 C.6365 D.3365解析：选A ∵α为锐角，且cos α＝1213，∴sin α＝1－cos 2α＝513.∵β为第三象限角，且sin β＝－35，∴cos β＝－1－sin 2β＝－45，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1213×⎝⎛⎭⎫－45＋513×⎝⎛⎭⎫－35＝－6365.故选A.8．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为( )A ．1B ．2C ．1＋ 2D ．1＋ 3 解析：选B ∵tan 45°＝tan(20°＋25°)＝tan 20°＋tan 25°1－tan 20°tan 25°＝1，∴tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20°tan 25°，∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋ tan 20°·tan 25°＝1＋1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.9．已知cos x ＝－14，x 为第二象限角，那么sin 2x ＝( )A ．－154 B ．±158 C ．－158 D.158解析：选C 因为cos x ＝－14，x 为第二象限角，所以sin x ＝154，所以sin 2x ＝2sin x cos x ＝2×154×⎝⎛⎭⎫－14＝－158，故选C.10．若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为( ) A.32 B.12 C.34D ．1 解析：选A 由已知得(sin α－sin β)2＝⎝⎛⎭⎫1－322，①(cos α－cos β)2＝⎝⎛⎭⎫122，② ①＋②得2－2cos(α－β)＝1－3＋34＋14，∴cos(α－β)＝32.故选A.二、填空题1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α2＝________. 解析：56 因为cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝23. 所以cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α2＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－α2＝1＋232＝56.2．若函数f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋m 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为6，则m ＝________. 解析：3 f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋m ＝3sin 2x ＋1＋cos 2x ＋m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋m ＋1，∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6.所以当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )max ＝2＋m ＋1＝6，∴m ＝3.3．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是__________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)解析：钝角 由已知得⎩⎨⎧tan A ＋tan B ＝53，tan A·tan B ＝13.∴tan(A ＋B)＝tan A ＋tan B 1－tan A·tan B＝531－13＝52，在△ABC 中，tan C ＝tan[π－(A ＋B)]＝－tan(A ＋B)＝－52<0，∴C 是钝角，∴△ABC 是钝角三角形．4．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．解析：因为f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ， 所以f (x )的最大值为1.三、解答题1. 化简：1＋sin 3α－2sin 2⎝⎛⎭⎫45°－α2cos α－1＋2cos 23α2.解：原式＝sin 3α＋cos (90°－α)cos α＋cos 3α＝sin 3α＋sin αcos α＋cos 3α＝2sin 2αcos α2cos 2αcos α＝tan 2α.2. 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2的值．解：∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，α2－β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－181＝459， cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－49＝53， ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527.3. 已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α的值．解：∵π2<β<α<3π4，∴0＜α－β＜π4.∵cos(α－β)＝1213，∴sin(α－β)＝1－144169＝513. ∵π2＜α＜3π4，π2＜β＜3π4，∴π＜α＋β＜3π2. ∵sin(α＋β)＝－35，∴cos(α＋β)＝－1－925＝－45. ∴cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)＝ 1213×⎝⎛⎭⎫－45－513×⎝⎛⎭⎫－35＝－3365.4. 已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值； (2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f (α)＝22，求α的值． 解：(1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4，所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22. (2)因为f (α)＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1， 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4.所以4α＋π4＝5π2，故α＝9π16.5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－22sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )图象的对称轴方程、对称中心的坐标； (3)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的最大、最小值．解：f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －22·1－cos 2x 2＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－ 2. (1)函数f (x )的最小正周期为π.(2)令2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝12k π＋π8(k ∈Z)，所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝12k π＋π8(k ∈Z)．令2x ＋π4＝k π(k ∈Z)，得x ＝12k π－π8(k ∈Z)． 所以函数f (x )图象的对称中心的坐标是⎝⎛⎭⎫12k π－π8，－2(k ∈Z)． (3)当0≤x ≤π2时，π4≤2x ＋π4≤5π4，－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1， 所以当x ＝π2时，f (x )取最小值－322，当x ＝π8时，f (x )取最大值1－ 2.6．已知sin x 2－2cos x 2＝0.(1)求tan x 的值；(2)求cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )的值．解：(1)由sin x 2－2cos x 2＝0，知cos x 2≠0，∴tan x2＝2，∴tan x ＝2tanx21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)，知tan x ＝－43，∴cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )＝cos 2x－cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x (－sin x )＝cos 2x －sin 2x ⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x＝(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )22(cos x －sin x )sin x ＝2×cos x ＋sin x sin x ＝2×1＋tan x tan x ＝24.11。
人教A版数学必修四(新课标人教A版)必修四《第三章 三角恒等变换》.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高中新课程数学（新课标人教A 版）必修四《第三章 三角恒等变换》模块检测(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若cos θ>0，且sin 2θ<0，则角θ的终边所在的象限是( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 sin 2θ＝2sin θcos θ<0，又cos θ>0， ∴sin θ<0，∴θ是第四象限角． 答案 D2．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3的值域是( )．A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 答案 B3．已知|a |＝8，e 为单位向量，当它们的夹角为2π3时，a 在e 方向上的投影为( )．A.12 B ．－12 C ．4 D ．－4 解析 a 在e 的方向上的投影为|a |cos 2π3＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.答案 D4．下列关系式中，不正确的是( )． A ．sin 585°<0B ．tan(－675°)>0C ．cos(－690°)<0D ．sin 1 010°<0解析 585°＝360°＋225°是第三象限角，则sin 585°<0；－675°＝－720°＋45°，是第一象限角，∴tan(－675°)>0；1 010°＝1 080°－70°，是第四象限角， ∴sin 1 010°<0；而－690°＝－720°＋30°是第一象限角， ∴cos(－690°)>0. 答案 C5．函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝( )．A.π6B.π3C.π4 D ．－π4 解析 由y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π＋π4(k ∈Z )．又|φ|<π2，所以k ＝0，φ＝π4，故应选C.答案 C6．已知D 是△ABC 的边BC 上的一点，且BD ＝13BC ，设AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )．A.13(a －b ) B.13(b －a ) C.13(2a ＋b ) D.13(2b －a ) 解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝23a ＋13b ，故选C.答案 C7．已知a ，b 均为单位向量，且它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |等于( )． A.7 B.10 C.13 D. 4解析 本题若直接求|a ＋3b |则较为困难，因此解答时可依据公式|a |＝a 2先求(a ＋3b )2. 因为|a |＝1，|b |＝1，且它们的夹角为60°， 故a ·b ＝cos 60°＝12，所以(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝1＋3＋9＝13，即|a ＋3b |＝13，故应选C. 答案 C8．计算2sin 14°·cos 31°＋sin 17°等于( )． A.22 B ．－22 C.32 D ．－32解析 原式＝2sin 14°cos 31°＋sin(31°－14°) ＝sin 31°cos 14°＋cos 31°sin 14°＝sin 45°＝22. 答案 A9．设向量a ＝(cos 25°，sin 25°)，b ＝(sin 20°，cos 20°)，若t 是实数，且c ＝a ＋t b ，则|c |的最小值为( )．A. 2 B ．1 C.22 D.12解析 c ＝a ＋t b ＝(cos 25°，sin 25°)＋(t sin 20°，t cos 20°) ＝(cos 25°＋t sin 20°，sin 25°＋t cos 20°)， ∴|c |＝＋t2＋＋t2＝1＋t 2＋2t sin 45°＝t 2＋2t ＋1 ＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋222＋12，∴当t ＝－22时，|c |最小，最小值为22. 答案 C10．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 的值为( )． A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析 ∵m ·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，∴3sin(A ＋B )－cos(A ＋B )＝3sin C ＋cos C ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋C ＝1.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋C ＝12，∴π6＋C ＝56π或π6＋C ＝π6(舍去)，∴C ＝23π. 答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)． 11．若cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则sin α＋cos α＝________.解析原式可化为cos 2α－sin 2α22α－cos α＝α＋sin αcos α－sin α22α－cos α＝－22，∴sin α＋cos α＝12. 答案 1212．已知向量m ＝(3sin x ，cos x )，p ＝(23，1)．若m ∥p ，则sin x ·cos x ＝________. 解析 ∵m ∥p ，∴3sin x ＝23cos x ，tan x ＝2， ∴sin x ·cos x ＝sin x ·cos x sin 2x ＋cos 2x ＝tan x 1＋tan 2x ＝25.答案 2513．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －a ·aa ·b·b . 则向量a 与c 的夹角为________． 解析 ∵a ·c ＝a ·a －a ·aa ·b·b ·a ＝a ·a －a ·a ＝0， ∴a ⊥c ，即a 与c 的夹角为90°. 答案 90°14．已知tan(α＋β)＝35，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan(α＋π4)的值为________． 解析tan(α＋π4)＝tan 错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案723三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(10分)对任意实数x 和整数n ，已知f (sin x )＝sin[(4n ＋1)x ]，求f (cos x )． 解 f (cos x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π＋π2－4n ＋1x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－4n ＋1x＝cos[(4n ＋1)x ]．16．(10分)已知a ，b 不共线，AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋3b ，CD →＝2a －b ，若A ，B ，D 三点共线，求实数k 的值．解 ∵BD →＝BC →＋CD →＝－CB →＋CD →＝a －4b ， 而a 与b 不共线，∴BD →≠0.又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．故存在实数λ，使AB →＝λBD →，即2a ＋k b ＝λa －4λb . 又∵a 与b 不共线，∴由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝λk ＝－4λ⇒k ＝－8.17．(10分)已知α为锐角，且sin α＝45.(1)求sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α的值；(2)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4的值． 解 (1)因α为锐角，且sin α＝45，∴cos α＝1－sin 2α＝35.∴sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α3cos 2α－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋2×45×353×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝20.(2)∵tan α＝sin αcos α＝43，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－tan5π41＋tan αtan5π4＝tan α－11＋tan α＝17.18．(12分)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，cos α，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α，12，若a ∥b ，求锐角α的值．解 ∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，cos α，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α，12，且a ∥b ，∴32×12－cos αsin α＝0，即sin αcos α＝34. 由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝34，得sin α＋cos α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α ＝1＋32＝3＋12， ∴sin α、cos α是方程x 2－3＋12x ＋34＝0的两根． 解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝32cos α＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝12，cos α＝32.又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π3或π6.19．(12分)已知向量b ＝(m ，sin 2x )，c ＝(cos 2x ，n )，x ∈R ，f (x )＝b ·c ，若函数f (x )的图象经过点(0,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1.(1)求m 、n 的值；(2)求f (x )的最小正周期，并求f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最小值；解 (1)f (x )＝m cos 2x ＋n sin 2x ， ∵f (0)＝1，∴m ＝1.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，∴n ＝1.(2)f (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴f (x )的最小正周期为π.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴π4≤2x ＋π4≤3π4.∴当x ＝0或x ＝π4时，f (x )的最小值为1.。
人教A版数学必修四(数学4必修)第三章 三角恒等变换.doc
（数学4必修）第三章 三角恒等变换 [基础训练A 组] 一、选择题1．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．247 B ．247- C ．724 D ．724-2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ）A.5π B.2πC.πD.2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判定 4．设0sin14cos14a =+，0sin16cos16b =+，62c =， 则,,a b c 大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．a c b << 5．函数2sin(2)cos[2()]y x x ππ=-+是（ ）A.周期为4π的奇函数 B.周期为4π的偶函数 C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数6．已知2cos 23θ=，则44sin cos θθ+的值为（ ） A ．1813 B ．1811 C ．97D ．1- 二、填空题1．求值：0tan 20tan 403tan 20tan 40++=_____________。
2．若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα+= 。
3．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________。
4．已知23sincos,223θθ+=那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 。
5．ABC ∆的三个内角为A 、B 、C ，当A 为 时，cos 2cos 2B CA ++取得最大值，且这个最大值为 。
三、解答题1．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.2．若,22sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围。
人教A版高一数学必修4 练习--第三章 三角恒等变换3.2--含解析
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知cos θ＝－14(－180°＜θ＜－90°)，则cos θ2＝( )A ．－64B.64C ．－38D.38解析： 因为－180°＜θ＜－90°，所以－90°＜θ2＜－45°.又cos θ＝－14，所以cosθ2＝1＋cos θ2＝ 1－142＝64，故选B. 答案： B2．已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos α＝45，则tan α2＝( )A ．3B ．－3 C.13D ．－13解析： 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且cos α＝45，所以α2∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－451＋45＝－13，故选D.3．若α∈⎣⎡⎦⎤7π4，2π，则 1＋cos 2α2－1－cos 2α2等于( ) A ．cos α－sin α B ．cos α＋sin α C ．－cos α＋sin α D ．－cos α－sin α解析： ∵α∈⎣⎡⎦⎤7π4，2π， ∴sin α＜0，cos α＞0，则1＋cos 2α2－1－cos 2α2＝cos 2α－sin 2α ＝|cos α|－|sin α|＝cos α－(－sin α)＝cos α＋sin α. 答案： B4．已知sin α＋cos α＝13，则2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝( )A.89 B.1718 C ．－89D ．－23解析： ∵sin α＋cos α＝13，平方可得1＋sin 2α＝19，可得sin 2α＝－89.2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2α＝－89. 答案： C二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知tanα2＝3，则cos α＝________．解析： cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－321＋32＝－45.答案： －456．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于________．解析： 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，得2(sin α＋cos α)＝sin α－cos α， 即tan α＝－3.又tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－61－9＝68＝34.答案： 347．函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 解析： y ＝32sin 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋cos2x ＋12＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期为π.三、解答题(每小题10分，共20分)8．化简：(1)sin ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2α2＋2sin α2cos α2－1. (2)已知π<α<3π2，化简：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.解析： (1)原式＝sin αcos π4＋cos αsinπ4cos α＋sin α＝22（sin α＋cos α）cos α＋sin α＝22.(2)原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪cosα2－2⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪sin α2，∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4.∴cos α2<0，sin α2>0. ∴原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cosα2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎫sin α2－cosα2＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cosα22。
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B．3－sin 2x
C．3＋cos 2x
D．3＋sin 2x
π
π
π
7．若函数 f(x)＝sin(x＋3)＋asin(x－6)的一条对称轴方程为 x＝2，则 a 等于( )
A．1
B. 3
C．2
D．3
1
8．函数 y＝2sin 2x＋sin2x，x∈R 的值域是( )
13
21 21
A．[－2，2] 31
A．±4
B．4 θ3 θ
C．－4 4
D．1
11．若 cos 2＝5，sin 2＝－5，则角 θ 的终边所在的直线方程为( )
A．7x＋24y＝0
B．7x－24y＝0
C．24x＋7y＝0
D．24x－7y＝0
π
12．使奇函数 f(x)＝sin(2x＋θ)＋ 3cos(2x＋θ)在[－4，0]上为减函数的 θ 的值为( )
A．最小正周期为2的奇函数 B．最小正周期为 π 的奇函数
C．最小正周期为 2π 的偶函数
D．最小正周期为 π 的偶函数
π
3
π
3．已知 α∈(2，π)，sin α＝5，则 tan(α＋4)等于( )
1
1
A.7
B．7
C．－ 7
D．－7
4．函数 f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
第三章 三角恒等变换(B) 答案
1．D [原式＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin 90°＝1.]
11
1
2．D [f(x)＝sin2x－2＝2(2sin2x－1)＝－2cos 2x， 2π
∴T＝ 2 ＝π，f(x)为偶函数．]
π
3
4
3．A [∵α∈(2，π)，sin α＝5，∴cos α＝－5， 3
1
1π
22．(12 分)已知函数 f(x)＝2sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－2sin(2＋φ)(0<φ<π)，其图象过点 π1
(6，2)． (1)求 φ 的值；
1
(2)将函数 y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)的 π
图象，求函数 g(x)在[0，4]上的最大值和最小值．
B．[－ 2 ＋2， 2 ＋2] 21 21
C．[－2，2]
D．[－ 2 －2， 2 －2]
9．若 3sin θ＝cos θ，则 cos 2θ＋sin 2θ 的值等于( )
7
7
3
3
A．－5
B.5
C．－ 5
D.5
10．已知 3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则 tan(α＋β)tan α 的值为( )
π
π
5π
2π
A．－ 3
B．－ 64
5
6
7
8
9 10 11 12
答案
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) π
13．函数 f(x)＝sin2(2x－4)的最小正周期是______．
14．已知 sin αcos β＝1，则 sin(α－β)＝________.
3x 3x
x
x
ππ
19．(12 分)已知向量 a＝(cos 2 ，sin 2 )，b＝(cos 2，－sin 2)，且 x∈[－3，4]． (1)求 a·b 及|a＋b|； (2)若 f(x)＝a·b－|a＋b|，求 f(x)的最大值和最小值．
20．(12 分)已知△ABC 的内角 B 满足 2cos 2B－8cos B＋5＝0，若B→C＝a，C→A＝b 且 a，b 满足：a·b＝－9，|a|＝3，|b|＝5，θ 为 a，b 的夹角．
(1)求角 B； (2)求 sin(B＋θ)．
21．(12 分)已知向量 m＝(－1，cos ωx＋ 3sin ωx)，n＝(f(x)，cos ωx)，其中 ω>0，且 3π
m⊥n，又函数 f(x)的图象任意两相邻对称轴的间距为 2 .
(1)求 ω 的值；
3 π 23
π sinα＋
4
(2)设 α 是第一象限角，且 f(2α＋2)＝26，求cos4π＋2α的值．
令 k＝0 得－6≤x≤ 6 . π
由此可得[－6，0]符合题意．]
1
sin 60°cos θ＋cos 60°sin θ－ sin θ
2
sin 60°cos θ
3
5．B [原式＝
cos θ
＝
6．C [f(sin x)＝3－(1－2sin2x)＝2＋2sin2x，
∴f(x)＝2x2＋2，
∴f(cos x)＝2cos2x＋2＝1＋cos 2x＋2＝3＋cos 2x.]
1－ 4
sin α 3
π 1＋tan α 3 1
1＋
tan α＝cos α＝－4.∴tan(α＋4)＝1－tan α＝ 4＝7.]
π
4．D [f(x)＝sin x－ 3cos x＝2sin(x－3)．
ππ
π
令 2kπ－2≤x－3≤2kπ＋2(k∈Z)，
π
5π
得 2kπ－6≤x≤2kπ＋ 6 (k∈Z)， π 5π
π
1
1
15．若 0<α<2<β<π，且 cos β＝－3，sin(α＋β)＝3，则 cos α＝________. 16．函数 y＝sin(x＋10°)＋cos(x＋40°)，(x∈R)的最大值是________．
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)
π
5
17．(10 分)已知 sin(α＋2)＝－ 5 ，α∈(0，π)．
5π
5π π
A．[－π，－ 6 ] π
B．[－ 6 ，－6] π
C．[－3，0]
D．[－6，0]
sin60°＋θ＋cos 120°sin θ
5．化简：
cos θ 3
的结果为( )
A．1
B. 2
C. 3
D．tan θ
6．若 f(sin x)＝3－cos 2x，则 f(cos x)等于( )
A．3－cos 2x
第三章 三角恒等变换(B)
(时间：120 分钟 满分：150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于( )
1
3
A．0
B.2
C. 2
1
D．1
2．若函数 f(x)＝sin2x－2(x∈R)，则 f(x)是( ) π
π
3π
sinα－ －cos ＋α
2
2
(1)求sinπ－α＋cos3π＋α的值； 3π
(2)求 cos(2α－ 4 )的值．
18．(12 分)已知函数 f(x)＝2cos xsin x＋2 3cos2x－ 3. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求函数 f(x)的最大值和最小值及相应的 x 的值； (3)求函数 f(x)的单调增区间．