三角形有几种
全等三角形几种类型(总结)
全等三角形与角平分线全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形．相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等．如下图，两个全等的五边形,记作:五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E ． 这里符号“≌"表示全等，读作“全等于”．A'B'C'D'E'EDCBA全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形．全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之,如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示:能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等,面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法:（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3）有公共边的,公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． （5)有对顶角的，对顶角常是对应角． 全等三角形的判定方法：（1) 边角边定理(SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． （3) 边边边定理（SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．（4） 角角边定理(AAS ）:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理（HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．判定三角形全等的基本思路：SAS HL SSS →⎧⎪→⎨⎪→⎩找夹角已知两边 找直角 找另一边ASA AAS SAS AAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩ 边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASAAAS →⎧⎨→⎩找两角的夹边已知两角 找任意一边全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：⑴平移全等型⑵对称全等型⑶旋转全等型由全等可得到的相关定理：⑴角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑵到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．⑶等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)．⑷等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．⑸等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等⑹线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．⑺和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线,从而形成等腰三角形，3．OA OB，这种对称的图形应用得也较为普遍，ABOP POBA ABO P三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理:直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．板块一、全等三角形的认识与性质【例1】 在AB 、AC 上各取一点E 、D ，使AE AD =，连接BD 、CE 相交于O 再连结AO 、BC ，若12∠=∠,则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．21E ODCBA【巩固】如图所示，AB AD =，BC DC =，E F 、在AC 上，AC 与BD 相交于P ．图中有几对全等三角形?请一一找出来,并简述全等的理由．板块二、三角形全等的判定与应用【例2】 （2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证:AF BD =．FEDCBA【例3】 (2008年宜宾市)已知：如图，AD BC =,AC BD =，求证:C D ∠=∠．例题精讲FAE P DCBODCBA【巩固】如图，AC 、BD 相交于O 点，且AC BD =，AB CD =，求证:OA OD =．ABCDO【例4】 (哈尔滨市2008 年初中升学考试）已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =,B C ∠=∠．求证：OA OD =．F E ODCB A【例5】 已知，如图,AB AC =，CE AB ⊥,BF AC ⊥，求证：BF CE =．F E CBA【例6】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．PFEDCBA【巩固】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥,GE EF =．求证：BG CF BC +=．GA BC DEF【例7】 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠,BC DE =,M 为CD 中点．求证:AM CD ⊥．M EDC B A板块三、截长补短类【例1】 如图,点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点（点B 除外），作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?NEB M A D【巩固】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？NCDEB M A【例2】 如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB的长为 （ )A 。
全等三角形几种类型总结(供参考)
全等三角形与角平分线全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形.全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点,相互重合的边叫做对应边,相互重合的角叫做对应角•全等多边形的对应边、对应角分别相等•如下图,两个全等的五边形,记作：五边形ABCQE里五边形A'B'C'D'E' .这里符号徑"表示全等，读作"全等于"•全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形•全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之,如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等•全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等.全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形•能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角•全等符号为“空‘ •全尊三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等,面积相等•寻找对应边和对应角,常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边.(2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角.(3)有公共边的,公共边常是对应边.(4)有公共角的，公共角常是对应角•(5)有对顶角的，对顶角常是对应角•全等三角形的判定方法：(1)边角边走理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等•⑵角边角走理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等•(3)边边边走理(SSS):三边对应相等的两个三角形全等•(4)角角边走理(MS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等•(5)斜边、直角边定理(HD :斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.判定三角形全等的基本思路:找夹角TSAS已知两边找直角THL找另一边TSSS边为角的对边一找任意一角一A4S找这条边上的另一角一ASA 找这条边上的对角一AAS 找该角的另一边一SAS全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式:已知一边一角《边就是角的一条边已知两角＜找两角的夹边T ASA 找任意一边T AAS（1）平移全等型⑴角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等•⑵到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上•⑶等腰三角形的性质走理：等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）•⑷等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线底边上的高互相重合•⑸等腰三角形的判走走理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等⑹线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等•（7）和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上•它们具有互逆性•角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1 •由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2・过角平分线上的一点作角平分线的垂线,从而形成等腰三角形，3 . OA = OB ,这种对称的图形应用得也较为普遍,三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）三角形中位线定义：彫吉三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线•三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半•中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边•中线中位线相关问题（涉及中点的问题）见到中线（中点），我们可以联想的内容无^是倍长中线以及中位线走理（以后还要学习中线长公式），尤其是在涉及线段的等臺关系时，倍长中线的应用更是较为常见•【例1】在初、AC 上各取一点E. D, ^AE = AD 9连接3D 、CE 相交于O 再连结AO . BC 9若Z1 = Z2,则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由・【巩固】如图所示，AB = AD 9 BC = DC, E 、尸在AC 上，AC 与BQ 相交于P.图中有几对全等三 角形？请一一找出来，并简述全等的理由.【例2】（2008年巴中市髙中阶段教育学校招生考试）如图，AC//DE 9 BC 〃 EF , AC = DE.求证: AF=BD ・【例3】（2008年宜宾市）已知：如图，AD = BC, AC = BD,求证：ZC = ZD ・【巩固】如图，AC. 3D 相交于O 点，RAC = BD 9 AB = CD 9求证：OA = OD.板块二、三角形全等的判定与应用【例4】（哈尔滨市2008年初中升学考试）已知:如图，B.E.F.C 四点在同一条直线上，AB = DC 9 BE = CF ■ = 求证：OA= OD.A I)【例5】 已知，如图，AB = AC 9 CE 丄AB 9 BF 丄AC 9求证：BF = CE.【例6】E 、F 分别是正方形ABCQ 的CQ 边上的点，且BE = CF •求证：AE 丄BF ・【巩固】E. F. G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE 丄EF, GE = EF.求证:BG + CF = BC ・【例7】 在凸五边形中，Zfi = ZE, ZC = ZD, BC = DE , M 为CD 中点.求证：AM 丄CD.I) C板块三、截长补短类【例1】如图，点M为正三角形的边加所在直线上的任意一点（点3除外），作ZDMV = 60。
十种三角形的画法
十种三角形的画法引言三角形作为最简单的图形之一，是几何学中非常重要的概念。
在绘画中，三角形是一种基本的元素，具有很多不同的形状和画法。
本文将介绍十种常见的三角形画法，以帮助读者更好地理解和运用这些技巧。
1. 正三角形正三角形是指三条边长度相等的三角形。
下面是绘制正三角形的步骤：1.首先，画一条水平线作为底边；2.在底边上选择一个点，作为正三角形的顶点；3.从底边上选择的点向上画一条斜线，与底边的角度为60度；4.从底边的另一点向上画一条斜线，与底边的角度也为60度；5.连接两条斜线的末端，形成一个等边三角形。
2. 等腰三角形等腰三角形是指两条边长度相等的三角形。
下面是绘制等腰三角形的步骤：1.画一条水平线作为底边；2.在底边上选择一个点，作为等腰三角形的顶点；3.从底边的中点向上画一条直线，与底边的角度随意选择；4.从底边的另一点向上画一条直线，与底边的角度也随意选择；5.连接两条直线的末端，形成一个等腰三角形。
3. 直角三角形直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
下面是绘制直角三角形的步骤：1.首先，画一条水平线作为底边；2.在底边上选择一个点，作为直角三角形的顶点；3.从底边的顶点处画一条垂直线，与底边的角度为90度；4.从底边的另一点向上画一条直线，与底边的角度随意选择；5.连接两条直线的末端，形成一个直角三角形。
4. 等腰直角三角形等腰直角三角形是指两条边长度相等且其中一个角为90度的三角形。
下面是绘制等腰直角三角形的步骤：1.画一条水平线作为底边；2.在底边上选择一个点，作为等腰直角三角形的顶点；3.从底边的顶点处画一条垂直线，与底边的角度为90度；4.从底边的中点向上画一条直线，与底边的角度随意选择；5.连接两条直线的末端，形成一个等腰直角三角形。
5. 等边三角形等边三角形是指三条边长度都相等的三角形。
下面是绘制等边三角形的步骤：1.画一条水平线作为底边；2.在底边上选择一个点，作为等边三角形的顶点；3.从底边的顶点处向上画一条直线，与底边的角度随意选择；4.从底边的另一点向上画一条直线，与底边的角度也为60度；5.连接两条直线的末端，形成一个等边三角形。
全等三角形几种类型
全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形．相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．全等多边形的对应边对应边、全等多边形的对应角相等．如以下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE≌五边形'''''A B C D E．这里符号“≌〞表示全等，读作“全等于〞．全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形．全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，则这两个三角形全等．全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌〞．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．判定三角形全等的根本思路：全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：⑴平移全等型⑵对称全等型⑶旋转全等型由全等可得到的相关定理：⑴角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑵到一个角的两边的距离一样的点，在这个角的平分线上．⑶等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)．⑷等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等(等角对等边)． ⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有以下三种作辅助线的方式：1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的根底，也是学好全章的关键。
(完整版)全等三角形几种类型总结
全等三角形与角平分线全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形．相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等．如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E ． 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．A'B'C'D'E'EDCBA全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形．全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． 全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．判定三角形全等的基本思路：SAS HL SSS →⎧⎪→⎨⎪→⎩ 找夹角已知两边 找直角 找另一边ASA AAS SAS AAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩ 边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASAAAS →⎧⎨→⎩找两角的夹边已知两角 找任意一边全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型由全等可得到的相关定理：⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． ⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．⑶ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)． ⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB ，这种对称的图形应用得也较为普遍，AB OPPOB AA BOP三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．例题精讲板块一、全等三角形的认识与性质【例1】 在AB 、AC 上各取一点E 、D ，使AE AD =，连接BD 、CE 相交于O 再连结AO 、BC ，若12∠=∠，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．21E ODCBA【巩固】如图所示，AB AD =，BC DC =，E F 、在AC 上，AC 与BD 相交于P ．图中有几对全等三角形？请一一找出来，并简述全等的理由．板块二、三角形全等的判定与应用【例2】 (2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．FEDCBA【例3】 (2008年宜宾市)已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．ODCBA【巩固】如图，AC 、BD 相交于O 点，且AC BD =，AB CD =，求证：OA OD =．FAE P DCBABCO【例4】 (哈尔滨市2008 年初中升学考试)已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：OA OD =．F E ODCB A【例5】 已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．F E CBA【例6】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．PFEDCBA【巩固】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=．GA BCDEF【例7】 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．M EDC B板块三、截长补短类【例1】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?NEB M A D【巩固】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？NCDEB M A【例2】 如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB的长为 ( )A . aB . kC .2k h+ D . h MDCBA【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .FEDCBA【例4】 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．NM DCBA【例5】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDECEDB A板块四、与角平分线有关的全等问题【例1】 如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ∆的面积．【例2】 在ABC ∆中，D 为BC 边上的点，已知BAD CAD ∠=∠，BD CD =，求证：AB AC =．ADOC BD CBA【例3】 已知ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．ED CB A【例4】 已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．OED CBA【例5】 如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．E DC B A4321【例6】 (“希望杯”竞赛试题)长方形ABCD 中，AB =4，BC =7，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，EF ⊥ED 交AB 于F ，则EF =__________．FEDCBA【例7】 如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFA CD E B【巩固】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为BAC ∠的角平分线．F GE DCBA【巩固】在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．CD B PA【例8】 如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．DC B A【例9】 如图所示，在ABC ∆中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若CF AD⊥且交AD 的延长线于F ，求证()12MF AC AB =-．MFD CB A【巩固】如图所示，AD 是ABC ∆中BAC ∠的外角平分线，CD AD ⊥于D ，E 是BC 的中点，求证DE AB ∥ 且1()2DE AB AC =+．E DCB A【巩固】如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．MD CBA【例10】 如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE⊥于E ．求证：AD AE =．HG D AB C E【巩固】已知：AD 和BE 分别是ABC △的CAB ∠和CBA ∠的外角平分线，CD AD ⊥，CE BE ⊥，求证：⑴ DE AB ∥；⑵ ()12DE AB BC CA =++．EBA D C【例11】 在ABC ∆中，MB 、NC 分别是三角形的外角ABE ∠、ACF ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =++FEN M CBA【巩固】在ABC ∆中，MB 、NC 分别是三角形的内角ABC ∠、ACB ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =+-N MCBA【巩固】(北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作E AB CE 于⊥，并且)(21AD AB AE +=，则ADC ABC ∠+∠等于多少？EDCBA【例12】 如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．EDCB A版块一、倍长中线【例1】 已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．MCB A【巩固】(2002年通化市中考题)在ABC ∆中，5,9AB AC ==，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【例2】 如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．DCBA【例3】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．FEDC BA【例4】 已知△ABC ，∠B =∠C ，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD =CE ，连接DE 交底BC 于G ，求证GD =GE ．GEDCBA【例5】 已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．MFECBA【例6】 在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？F EDCBA【巩固】如图所示，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求证()22214AD AB AC =+．NMDCBA【例7】 (2008年四川省初中数学联赛复赛·初二组)在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．FEDCBA版块二、中位线的应用【例8】 AD 是ABC ∆的中线，F 是AD 的中点，BF 的延长线交AC 于E ．求证：13AE AC =．FADE CB【例9】 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，延长AB 到D ，使BD AB =，E 为AB 的中点，连接CE 、CD ，求证2CD EC =．EDCB A【巩固】已知△ABC 中，AB =AC ，BD 为AB 的延长线，且BD =AB ，CE 为△ABC 的AB 边上的中线．求证CD =2CEE DB CA【例10】 已知：ABCD 是凸四边形，且AC <BD ． E 、F 分别是AD 、BC 的中点，EF 交AC 于M ；EF交BD 于N ，AC 和BD 交于G 点． 求证：∠GMN >∠GNM ．NM GFEDCBA【例11】 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC BC =，以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．EDCBA【例12】 如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．EDFCBA【例13】 (“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题)如图所示，P 是ABC ∆内的一点，PAC PBC ∠=∠，过P 作PM AC ⊥于M ，PL BC ⊥于L ，D 为AB 的中点，求证DM DL =．LPMD CBA【例14】 (全国数学联合竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE DF =．过E 、F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证： (1) DEM FDN ∆∆≌； (2) PAE PBF ∠=∠．MADEPFE家庭作业【习题1】如图，已知AC BD =，AD AC ⊥，BC BD ⊥，求证：AD BC =．DC BA【习题2】点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD =DC ，∠BDC =120°，∠MDN =60°，求证MN =MB +NC ．NM DCBA【习题3】在ABC △中，3AB AC =，BAC ∠的平分线交BC 于D ，过B 作BE AD ⊥，E 为垂足，求证：AD DE =．C EDB A【习题4】如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．DC B A【习题5】如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．DFECBA【习题6】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？FED CBA【习题7】如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．。
三角形的分类
三角形的分类三角形是几何学中最常见和最基本的图形之一。
根据其特性，三角形可以分为不同的类型。
以下是三角形的一些主要分类：1等边三角形：三条边都相等的三角形称为等边三角形。
这种三角形的所有角都是相等的，每个角都是60度。
等边三角形是一种特殊的等腰三角形。
2等腰三角形：有两条边长度相等的三角形称为等腰三角形。
这种三角形的两个底角是相等的，顶角与两个底角的和加起来等于180度。
直角三角形：有一个角是90度的三角形称为直角三角形。
这种三角形的斜边长等于其两条直角边的平方和的平方根。
直角三角形的一个锐角是45度。
钝角三角形：有一个角大于90度的三角形称为钝角三角形。
这种三角形的钝角对应的边比其他两边长。
锐角三角形：所有角都小于90度的三角形称为锐角三角形。
这种三角形的所有边都相等。
斜三角形：三条边长度不相等的三角形称为斜三角形。
斜三角形可以进一步分为钝角斜三角形和锐角斜三角形，取决于其最大的角是钝角还是锐角。
这些分类可以根据三角形的不同特性进行进一步的细分。
例如，等腰三角形可以进一步分为等边等腰三角形和底角与顶角不相等的等腰三角形等。
还有等腰直角三角形等腰钝角三角形等特殊形式。
三角形的分类对于理解几何学中的基本概念和性质非常重要。
通过掌握不同类型的三角形的特性和关系，我们可以更好地理解几何学中的基本原理和应用。
三角形是数学几何中一个非常基础且重要的概念，而三角形的分类也是学生需要掌握的一项重要技能。
根据边长和角的特征，三角形可以分为以下几类：等边三角形等腰三角形、直角三角形和普通三角形。
等边三角形是一种三边长度相等的三角形，其中三个角的大小也相等。
等边三角形的判定方法是：如果一个三角形的三边长度相等，那么这个三角形就是等边三角形。
等边三角形是一个特殊的等腰三角形。
等腰三角形是一种两边长度相等的三角形，其中两个角的大小也相等。
等腰三角形的判定方法是：如果一个三角形有两条边的长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
三角形整理 （上升三角形，下降三角形，对称三角形）
三角形整理形态包括上升三角形、下降三角形、底部三角形、扩散三角形、收敛三角形五种形态。
三角形是一种重要的整理形态，根据收敛的表状，可分 为对称、上升、下降三种形态。
三角形由两条收敛的趋势线构成，如果上方趋势线向下倾斜，下方趋势线向上倾斜，此种三角形整理形态称之为对称三角形；如果上 方趋势线呈水平状态，下方趋势线向上倾斜，此种三角形整理形态称之为上升三角形；如果下方趋势线呈水平状态，上方趋势线向下倾斜，此种三角形整理形态称之 为下降三角形。
一般认为上升三角形突破必然向上，下降三角形突破必然向下，但实际情况也不尽然如此。
一、三角形整理的定义三角形是一种重要的整理形态，根据收敛的表状，可分为对称、上升、下降三种形态。
三角形由两条收敛的趋势线构成，如果上方趋势线向下倾斜，下方趋势线向上倾斜，此种三角形整理形态称之为对称三角形；如果上方趋势线呈水平状态，下方趋势线向上倾斜，此种三角形整理形态称之为上升三角形；如果下方趋势线呈水平状态，上方趋势线向下倾斜，此种三角形整理形态称之为下降三角形。
一般认为上升三角形突破必然向上，下降三角形突破必然向下，但实际情况也不尽然如此。
在很多情况下，三角形态都不能事 先确定股价的波动方向，其突破是否有效取决于两个方面：其一是向上突破必须有成交量的配合，向下突破不一定要有量的配合；其二是三角形突破只有在从起点至 终点(末端)的大约三分之二处发生突破，才会有效或具有相当的突破力度，股价若运行至末端才出现突破，其突破往往不会有效或缺乏力度。
二、三角形整理形态的种类主要包括：上升三角形、下降三角形、底部三角形、扩散三角形、收敛三角形五种。
2.1、 上升三角形上升三角形是众多盘整形态中的其中一种，是一种持续形态，即后市依然会延续先前趋势。
上升三角形2.2、 下降三角形。
下降三角形同上升三角形正好反向，是看跌的形态。
它的基本内容同上升三角形可以说完全相似，只是方向相反。
下降三角形2.3、 底部三角形它的形成 与下降三角形相同，不同地是：1、所处的 位置不同。
全等三角形13种基本模型
序号
模型名称
描述与判定方法
1
边边边（SSS）
三边对应相等的两个三角形全等。
2
边角边（SAS/边-角-边）
两边பைடு நூலகம்它们之间的夹角对应相等的两个三角形全等。
3
角边角（ASA/角-边-角）
两角及它们之间的夹边对应相等的两个三角形全等。
4
角角边（AAS/角-角-边）
两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
12
“构造等腰三角形”型全等
通过添加辅助线构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质证明全等。
13
“构造平行四边形”型全等
通过添加辅助线构造平行四边形，利用平行四边形的性质（对边相等、对角相等）证明全等。
5
斜边、直角边（HL/直角三角形的HL）
在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（仅适用于直角三角形）。
6
“K”型全等
通过构造辅助线，形成两个具有公共边的三角形，利用SAS或ASA证明全等。
7
“X”型全等
通过两条相交线形成的四个三角形，利用对顶角相等和公共边证明全等。
8
“中线”型全等
利用三角形中线性质（中线将对边平分），结合其他条件证明全等。
9
“角平分线”型全等
利用角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等），结合其他条件证明全等。
10
“高”型全等
利用三角形高（从顶点垂直于对边或对边的延长线）的性质证明全等。
11
“中位线”型全等
利用三角形中位线性质（中位线平行于第三边且等于第三边的一半），结合其他条件证明全等。