矩阵的标准合同等价与相似的联系与区别
等价、相似、合同的关系
矩阵等价、相似与合同的区别与联系等价、相似与合同是矩牡的三大变换•应了解其定义.关系及有关性质.1）定义及相互之间的关系设K是淤心矩阵，若存在M阶可逆矩阵P和以阶可逆矩阵©•使得PAQ=B f则称Z 与3等价，记为A=B.设£是以阶方阵，若存在池阶可艾矩阵P,使得P S P =E，则称A^R 相似，记为A〜R：若存在总阶可逆矩阵P,使得pT AP =孙，则称/与亦合同，记为A + ;若存在以阶正交•矩阵使得Q~l AQ= Q T AQ= 5,则称/与不正交相似.由走义可知其关系，如下冒所示・正交相似2)性质(1)等价、相似与合同都具有反身性、对称性及传递性，即/二4〜/, A-反身性)；若A", /〜力，A"，则A, R〜A, A (对称性)；若A", B = C则A M C;若A〜E,运〜C■则N~C；若B = C则传递性).(2) A = R O A 与*司型，且rank A = rank B .若rank A = r则(E r O\A= r,称后者为矩阵/的等价标准形I。
O)(3) B => rank A = rank B , det A= detB /与* 的粹征值相同.注所给的都是必要条件，即Efe rank A - rank B ,或d et A = det B ,或/ 与力的特征值相同不能推知A^B. fe若/与*都可对角化，且特征值相同，贝U A〜孙.(4) A-B =>ranky4 = rank^ ,对称性不变(如果/或B对称的话). 若A与R是实对称矩阵，则与/?有相同的正、负惯性指数.3)实对•称矩阵的亿简设Z是以阶实对称矩阵，rank A = r ;是/的特征值.(1)用初等变换可将/化简成PAQ=%O6(2)用合同变换可将/化简成P^AP =O O2O6P是正惯性指数.（3）弔正交相似变换可倚力化怪成0^(2= 0^(2 =対实对称矩阵虫的这三种变换，一个比一个特殊，一个比一个限制更多，各有其优诜点•总的来说则为：限制越少则化简后的形式越程旦，伍变换后丢掉'原症阵的性疾就越多.如〔1）的形式最简单，但变唤后只保留了秩不变；（2）的形式虽然比（1）稍复杂，但变换后保留秩不变，对称性不变’正、负慣•性指数不变；（3）的形式文更复杂一点，但变换石保密秩不变.对称性不变，正、负慣性指数不变，特征值不变.。
矩阵的合同,等价与相似
矩阵的合同，等价与相似一、矩阵的合同，等价与相似的定义、性质及判定条件（一）矩阵的等价：1、定义：若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅。
2、性质：（1）反身性：即A A ≅.（2）对称性：若A B ≅，则B A ≅（3）传递性：即若A B ≅，B C ≅，则A C ≅（4） 若A 为m n ⨯矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和Q （n 阶），使得000rm nI PAQ B ⨯⎛⎫==⎪⎝⎭.其中r I 为r 阶单位矩阵. （5） 设A B 、是两m n ⨯矩阵，则A B ≅当且仅当()()r A r B =3、判定：矩阵等价的充要条件：两个s n ⨯矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的n 阶矩阵Q ，使B PAQ =由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件： （1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）.（2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =.（二）矩阵的合同： 1、定义：两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。
2、性质：（1）反身性：任意矩阵A 都与自身合同.（2）对称性：如果B 与A 合同，那么A 也与B 合同.（3）传递性：如果B 与A 合同，C 又与B 合同，那么C 与A 合同. 因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.（4） 数域F 上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同. （5） 复数域上秩为r 的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形： 22212r f y y y =++3、判定定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件： (1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵. (2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,T P AP B =（三）矩阵的相似 1、定义：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。
矩阵等价、相似、合同的区别与联系
商贸教育现代商贸工业２０２１年第４期１３８㊀㊀矩阵等价、相似、合同的区别与联系李伯忍(东莞理工学院计算机科学与技术学院,广东东莞５２３０００)摘㊀要:矩阵的等价㊁相似与合同在线性代数课程教学中占据非常关键的地位,但是学生学习过程中对这一部分的内容往往很难准确把握.为此,本文针对它们之间的区别和联系进行探讨,为学生对这些概念的理解提供一定的帮助.关键词:等价;相似;合同中图分类号:G ４㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀㊀㊀d o i :１０．１９３１１/j ．c n k i ．１６７２Ｇ３１９８．２０２１．０４．０６５㊀㊀«线性代数»是大学数学中的一门非常重要的必修基础课程.学好这一门课程,不仅有利于对学生的理解和逻辑推理能力的培养与训练,而且对其后续专业课程的学习也发挥着极其重要的支撑作用.本文将就线性代数课程矩阵之间的非常重要的关系:矩阵的等价㊁相似与合同进行讨论,着重探讨三者之间的区别与联系,为学生对这些概念的理解提供一定的支持.１㊀基本概念矩阵等价定义:假定矩阵A 和B 为同型矩阵,若存在可逆的矩阵P ,Q ,满足P A Q ＝B ,那么称A 和B 是等价的.矩阵相似定义:假定矩阵A 和B 均为n 阶方阵,若存在可逆的矩阵P ,满足P －１A P ＝B ,那么称A 和B 是相似的.矩阵合同定义:假定矩阵A 和B 均为n 阶方阵,若存在可逆的矩阵P ,满足P TA P ＝B ,那么称A 和B 是合同的.２㊀区别和联系(１)矩阵的等价只是要求矩阵A 和B 是具有相同的行和列的矩阵,不要求必须是方形矩阵,但是相似和合同则要求矩阵A 和B 必定是同阶的方形矩阵.(２)等价的矩阵㊁相似的矩阵以及合同的矩阵均是同可逆或者同为不可逆.(３)等价的矩阵㊁相似的矩阵以及合同的矩阵均满足反身性㊁对称性和传递性.(４)矩阵的等价㊁相似以及矩阵合同实际上均是矩阵和矩阵之间进行初等变换,只是初等变换的要求有些区别.详细的说明展示如下:依据可逆矩阵的充要条件,n 阶方形矩阵阵A 是可逆的⇔矩阵A 等于一系列初等矩阵的乘积.故矩阵A 和B 等价的条件P A Q ＝B 可转化成:存在m 阶初等矩阵P １,P ２, P s 和n 阶初等矩阵Q １,Q ２, Q t ,使得P s P ２P １A Q １Q ２ Q t ＝B .相似的条件P －１A P ＝B 可转化成:存在n 阶初等矩阵P １,P ２, P s 使得P s －１ P ２－１P １－１A P １P ２ P s ＝B .合同的条件P T A P ＝B 可转化成:存在n 阶初等矩阵P １,P ２, P s 使得P s T P ２T P １TA P １P ２ P s ＝B .可见等价变换是对矩阵作一系列的有限次初等行或列变换;相似变换和合同变换也是作一系列的有限次初等行或列变换,但行变换的次数与列变换的次数是相同的,而且矩阵行变换与矩阵列变换的变换方式是相对应的;相似变换要求作一次矩阵列变换,相应的也要求作一次矩阵逆行变换;合同变换要求作一次矩阵列变换,也相应的作一次相同的矩阵行变换.３㊀文氏关系图图１㊀矩阵等价㊁相似㊁合同的区别与联系４㊀如何判定矩阵与矩阵之间的相互关系在判定矩阵的等价关系㊁相似以及合同关系时,满足矩阵等价㊁矩阵相似或者矩阵合同的两个矩阵的秩都必定相等,再适当的利用特征值与正负惯性指数来判定矩阵相似或者矩阵合同.(１)矩阵A 与B 等价⇔R (A )＝R (B ).(２)判定矩阵相似的四个必要条件:①A 与B 的秩相等;②A 与B 的特征值相同;③A 与B 的特征多项式相等;④A 与B 的行列式相等.假定满足上述的必要性,我们还不可以判定矩阵是相似的,如何判别两个一般矩阵的相似,一般考试大纲不做要求,但如果矩阵A 和B 均与一个对角阵相似,那么可由相似矩阵满足传递性,可以知道A 和B 是相似的.(３)对实对称矩阵,有一些非常重要的结论,可用于判断矩阵是相似的或者是合同的:①A 与B 均是实对称矩阵并且是相似的⇔矩阵A 和B 的特征值相同;②A 与B 均是实对称矩阵并且是合同的⇔二次型x T A x 和x T B x 的正负惯性指数是相同的;③A 与B 均是实对称矩阵并且是相似的⇒A 与B 必定是合同的.矩阵的合同主要应用于二次型,故判定矩阵是否合同的前提主要是在实对称矩阵的前提下进行,所以实对称矩阵A 和B 是否合同,只需要判定矩阵A 与B 的特征值符号是否一样;矩阵相似是指两个矩阵的特征值相同;矩阵等价是指两个矩阵的秩相等.５㊀矩阵的等价㊁相似以及合同关系,有下面的几个结论(１)矩阵A 和B 是相似的,则矩阵A 和B 一定是等价的,反之不一定成立.(２)矩阵A 和B 是合同的,则矩阵A 和B 一定是等价的,反之不一定成立.(３)若矩阵A 和B 均是实对称矩阵且相似,则矩阵A 和B 一定是合同的,反之则不一定成立.参考文献[１]同济大学数学系．工程数学线性代数[M ]．北京:高等教育出版社,２０１６．[２]周勇．线性代数[M ]．北京:北京大学出版社,２０１８．[３]孙瑶,杜润梅．线性代数中两个矩阵相似㊁合同㊁等价的关系[J ]．教育,２０１５,(４６):２５１．。
考研数学：令人头大的相似、合同、等价
考研数学：令人头大的相似、合同、等价摘要：考研数学里关于矩阵的相似、合同、等价的关系有时令大家头晕脑胀，就需要大家对它们的性质、定义要更加清楚，得分才不难。
接下来一起看看三者的纠缠吧。
关于矩阵的相似、合同、等价的关系总结起来就是一句话相似必合同，合同必等价（反之，则不一定）...........背好这一句话基本可以应付70%的填空选择，至于剩下那30%，则需要对各自的性质、定义以及判别的条件有充分的了解。
分割线卡通一、等价的定义两个SxN矩阵A,B等价的充要条件为：存在可逆的s阶矩阵p与可逆的n阶矩阵Q，使得B=PAQ矩阵A与B等价必须具备的两个条件(1)矩阵A与B必为同型矩阵(不要求是方阵)(2)存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q，使B=PAQ矩阵等价的性质(1)反身性:即A~=A(2)对称性:若A~=B，则B~=A.(3)传递性:若A~=B，B~=C，则A~=C.(4)A等价于B的充要条件是r(A)=r(B)(5)设A为m*n矩阵，r(A)合同，C又与B合同，那么C与A合同.(4)合同的两矩阵有相同的二次型标准型.(5)任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵(6)合同矩阵的秩相等三、相似的定义设A,B均为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使P1AP=B，则称矩阵A与B为相似矩阵(若n阶可逆矩阵P为正交阵，则称A与B为正交相似矩阵).矩阵A与B相似，必须同时具备两个条件(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵(2)存在n阶可逆矩阵P，使得P1AP=B矩阵相似的性质(1)反身性:即A~A(2)对称性:若A~B，则B~A.(3)传递性:若A~B，B~C，则A~C.(4)若矩阵A、B相似，则r(A)=r(B)(5)若矩阵A、B相似，则KA~KB(6)若矩阵A、B相似，则A(7)若矩阵A、B相似，f(x)是一个多项式，则f(A)~f(B)注：(1)与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵E本身，与数量矩阵kE相似的n阶方阵只有数量阵kE本身。
浅谈矩阵的等价、合同与相似之间的关系
1 、引 言矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍 ，对矩阵的应用学习有一定的帮助.2、矩阵的等价，相似，合同2.1矩阵的等价2.1.1矩阵等价的定义：矩阵等价用矩阵乘法表示出来就是，如果有两个m ×n 阶矩阵A 和B ，而且这两个矩阵满足B=QAP ，其中P 是n ×n 阶可逆矩阵，Q 是m ×m 阶可逆矩阵，那么这两个矩阵是等价的。
即，矩阵A 经过有限次的初等变换得到矩阵B2.1.2初等变换（1）换法变换：对调矩阵的两行（列），得初等矩阵E(i,j).用m 阶初等矩阵),mj i E （左乘nm ij a A ⨯=)(，相等于对矩阵A 实行第一种矩阵初等行变换，把A 的第i 行与第j 行对调，记作（r r j i ↔）类似的，用n 阶初等矩阵()j i E n ,右乘矩阵n m ij a ⨯=）（A ，相当于都矩阵A 实行第一种矩阵初等列变换，把A 的第i 列与第j 列对调，记作)c c j i ↔（ （2）倍法变换：以数K ≠0乘某一行（列）中的全部元素，得初等矩阵))((K i E 。
用））（（K i m E 左乘矩阵A ，相当于以数K 乘A 的第i 行，记作（K r i ⨯）。
用））（（K i nE 右乘矩阵A ，相当于以数K 乘A 的第i 列，记作（K ⨯c i ）。
（3）消法变换： 以数K 乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵））（（K E ij ，以））（（K E ij m 左乘矩阵A ，相当于把A 的第j 行乘以K 加到第i 行上，记作（r r j i K +）。
以））（（K E ij n右乘矩阵A ，相当于把A 的第i 列乘以K 加到第j 列上，记作（c c i j K +）。
矩阵的合同和相似之间的联系和区别20120979
矩阵的合同和相似之间的联系和区别
矩阵的相似本质上是通过一系列操作把具有相同本征值的矩阵归为一类，具有相同的本征值的矩阵不一定具有相同的对应的本征向量，因此矩阵的相似就是借用相似矩阵的不同的本征向量之间的变换来找到这两个矩阵之间的相似变换。
例如：在直角坐标系下，我们写出对角矩阵A，也就表明A的本征向量就是（1，0，0，0，0……），（0，1，0，0，0……）……
而G具有与A相同的本征值，但是其本征向量在直角坐标系下的表示为（P00，P01，P02，P03……）,(P10，P11，P12，P13……)……
那么我们就可以直接得到G与A之间的相似变换，就是P（G的本征向量在A的本征向量为基底的表示下排成的矩阵）
矩阵的合同并不保特征值不变，只保正负特征值的数量不变。
在这里我们考虑是对称矩阵的合同。
合同好像和本征值与本征矢量没有多大的关系。
合同的关系怎么找呢，合同保的是二次型不变。
给你一个实对称矩阵Q，作为二次型，它始终可以通过元的配方写成没有交叉项的形式。
矩阵等价相似合同的关系
矩阵等价相似合同的关系等价指的是两个矩阵的秩一样。
合同指的是两个矩阵的正定性一样，也就是说，两个矩阵对应的特征值符号一样。
相似是指两个矩阵特征值一样。
相似必等价，合同必等价。
1.等价矩阵：同型矩阵A，B的秩相等，那么A，B等价，即是随意两个秩相等的同型矩阵通过初等变换都可以相互转化相等与另一个。
2.相似矩阵的定义是:存在可逆矩阵P，使得P--1AP=B，则称B是A的相似矩阵。
原因：A与B相似有一个必要条件就是A与B的特征值相同，即|B-aE|=|A-aE|所以|B-aE|=|P--1||A-aE||P|，所以|B-aE|=|P--1AP-aP--1EP|，即|B-aE|=|P--1AP-aE|所以B=P--1AP3.合同矩阵定义：若存在可逆矩阵C,使得C T AC=B，即A与B合同。
对于合同矩阵要从二次型说起，二次型为：f=X T AX。
可通过X=CY变换，即把X=CY带入，于是f=（CY)T A(CY)=Y T[C T AC]Y，其中令C T AC=B，即A与B合同。
首先相似不一定合同，合同也不一定相似，但是如果相似或者合同则必然等价，而等价却不能反推出相似或者合同，原因是前者只能是对方阵，而后者则只需要同型。
相似合同和等价都具有反身性。
对称性和传递性，合同和相似能推出等价是因为他们的秩相等。
而对于矩阵A只有当他是实对称矩阵时，存在C T AC=C--1AC，即这个时候矩阵合同和相似可以等价，这个时候C是正交矩阵，然而当C 不是正交矩阵时，则只能满足其中一个条件，或者说如果P--1AP=B,即A与B相似，但如果P不是正交矩阵，则不能称A与B合同，如果P T AP=B，即A与B合同，但是PP T≠I,则一样不能推出相似。
相似必合同，合同必等价。
等价就是矩阵拥有相同的r。
矩阵合同，C T AC=B，矩阵乘以可逆矩阵他的r不变，r(B)=r(C T AC)=r(AC)=r（A），等价。
同理两矩阵相似一定等价。
矩阵的等价,规定合同,相似的联系与区别
证明：设 与 的特征根均为 因为 与 阶实对称矩阵，则一定存在一个 阶正交矩阵Q使得 同理，一定能找到一个正交矩阵 使得 从而有
将上式两边左乘 和右乘 ,得
由于 , ,
有 ,所以， 是正交矩阵，由定理8知 与 相似．
定理10若 阶矩阵 与 中只要有一个正交矩阵，则 与 相似且合同．
反过来，对于矩阵 , 等价，但是 与 并不相似，即等价矩阵未必相似．
定理6对于 阶方阵 ，若存在 阶可逆矩阵 使 ,(即 与 等价)，且 ( 为 阶单位矩阵)，则 与 相似．
证明：设对于 阶方阵 与 ,若存在 阶可逆矩阵 ,使 ,即 与 等价．又知 ,若记 ,那么 ,也即 ,则矩阵 也相似．
定理7合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．
(1) 矩阵 与 不仅为同型矩阵，而且是方阵.
(2) 存在数域 上的 阶矩阵 ,
性质2
（1）反身性：任意矩阵 都与自身合同.
（2）对称性：如果 与 合同，那么 也与 合同.
（3）传递性：如果 与 合同， 又与 合同，那么 与 合同.
因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.
(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果 为满秩矩阵，那么 .
即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.
(8）相似的矩阵有相同的行列式；
因为如果 ，则有：
(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；
设 ，若 可逆，则 从而 可逆.且 与 相似.
若 不可逆，则 不可逆，即 也不可逆.
证明：不妨设 是正交矩阵，则 可逆，取 ,有 ，则 与 相似，又知 是正交阵，所以 与 既相似又合同．
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矩阵的合同，等价与相像的联系与差别
一、基本观点与性质
（一）等价：
1、观点。
若矩阵 A能够经过有限次初等变换化为B，则称矩阵 A 与 B 等价，记为 A B 。
2、矩阵等价的充要条件：
A.B同型，且人 r(A)=r(B)
A B{
存在可逆矩阵 P和 Q，使得 PAQ=B建立
3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可互相表出，有此可知：
两向量组的秩同样，但两向量组各自的线性有关性却不同样。
（二）合同：
1、观点，两个n 阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A B P T AP B 建立，则称A,B 合同，记作 A B 该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则 A B 二次型x T Ax 与 x T Bx 有相等的E负惯性指数，即有同样的标准型。
（三）相像
1、观点： n 阶方阵 A,B，若存在一个可逆矩阵 P 使得B P1AP建立，则称矩阵 A,B 相像，记为A ~ B。
2、矩阵相像的性质：
TTk
k
, A 1
1
( 前提， A, B 均可逆
) A ~ B , A ~ B
~ B
| E-A | | E B |
即
有同样的特点值（反之不建立）
A, B
A ~ B
r(A)=r(B)
tr ( A) 即 的逆相等 tr (B) A, B
|A|=|B|
3、矩阵相像的充分条件及充要条件：
①充分条件：矩阵 A,B 有同样的不变因子或队列式因子。
②充要条件：
A ~ B
( E
A)
( E
B)
二、矩阵相等、合同、相像的关系
（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：
设矩阵
A (
1
,
2
,L ,
n ) ， B
(
1 , 2
,L ,
m
)
1、若向量组（
1
,
2
,L ,
m
）是向量组（
1,
2 ,L ,
n ）的极大线性没关
组, 则有 m n ，即有两向量等价，而两向量组线性有关性却不一样，钱
者必定线性没关，尔后者未必线性没关。
而矩阵
B 与 A 亦不一样型，虽
然 r (A) r ( B) 但不可以得出 A B 。
2、若 m=n ，两向量组（ 1, 2 ,L , n ） （ 1 , 2 ,L , m ）则有矩阵 A,B 同 型且 r ( A) r (B) A ~ B, A ; B, A B r( A) r ( B) A B 。
3、若 A B r( A)
r (B) 两向量组秩同样，
两向量组等价，即有
A B ( 1, 2 ,L , n ) ( 1 , 2 ,L , n )
综上所述：矩阵等价与向量等价不行互推。
（二）、矩阵合同。
相像，等价的关系。
1、联系：矩阵的合同、相像、等价三种关系都拥有等价关系，由于
三者均拥有自反性、对称型和传达性。
2、合同、相像、等价之间的递推关系
①相像等价： A ~ B A,B 同型且r ( A) r (B) A B
②合同等价： A ; B A, B 同型且 r ( A) r ( B) A B
③相像与合同之间一般状况不可以递推，但有一下附带条件时能够
Ⅰ、若 A,B 均为实对称矩阵，则有A,B 必定能够合同于对角矩阵当
A ~
B 时，| E A | | E B |二次型 f (x)X T AX 与 g (x)X T BX 有同样的标准型，即两者有同样的正负惯性指数 A ; B A B
即有A ~ B A ; B A B
Ⅱ、存在一个正交矩阵P，即P T P E 使得P T AP B 即 A ; B 则有B P T AP P 1 AP A ~ B 即有 A ; B A ~ B
Ⅲ、若A,B 实对称，且存在一个正交矩阵P，则
A ~
B 时有 A ~ B A ; B A B
Ⅳ、A ~ B r ( A) r (B) 、 A ; B r ( A) r (B) 、A B r ( A) r (B)
下边议论r ( A) r (B) 时 A ~ B, A ; B, A B 建立的条件。
由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的阐述可知
存在正交矩阵P 时，有P T P 1，则
r ( P T AP) r ( A) 记 B P T AP 则r ( A) r (B)
此时 A ; B A ~ B A B
即 P为正交矩阵时，
r ( A) r ( B) A ~ B, A ; B, A B
由
（三）
1、矩阵等价：①同型矩阵而言
②一般与初等变换有关
③秩是矩阵等价的不变量，同次，两同型矩阵相像的
实质是秩相等
2、矩阵相像：①针对方阵而言
②秩相等是必需条件
③实质是两者有相等的不变因子
3、矩阵合同：①针对方阵而言，一般是对称矩阵
②秩相等是必需条件
③实质是秩相等且存在惯性指数相等，即标准型同
由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相像的不变
量；特点值是可对角化矩阵相像的不变量，存在负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价对于最弱、合同与相像是特别的等价关系。
由
相像和合同必定能够推出等价，而反之不建立。
相像与合同不行互推，需要必定的条件。
并且相像不必定会都与对角阵相像，不可以与对角阵可看作赞同线性变换在不一样基下的矩阵。