线性代数中的合同关系、正定矩阵
两个矩阵合同
两个矩阵合同
两个矩阵的合同，是指两个矩阵具有相同的阶数，并且每个对应的元素也相等。
下面将分别介绍两个矩阵的合同的定义、性质以及实际应用。
一、合同矩阵的定义：
设A、B是两个n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P，使得PAP^{-1}=B，则称A和B是合同矩阵。
二、合同矩阵的性质：
1. 合同矩阵具有相同的阶数，即两个矩阵的行数和列数相等。
2. 如果A和B是合同矩阵，则B和A也是合同矩阵。
3. 如果A和B是合同矩阵，C是任意矩阵，则C^TAC和
C^TBC也是合同矩阵。
4. 合同矩阵的相等是一个等价关系。
三、合同矩阵的应用：
1. 矩阵的合同在线性代数中经常用于矩阵的相似性判断。
如果两个矩阵是合同矩阵，则它们之间存在一个可逆矩阵，可以用来表示相似关系。
2. 合同矩阵也可以用于矩阵的特征值和特征向量的计算。
通过合同变换，可以将矩阵转化为对角矩阵，便于计算特征值和特征向量。
3. 合同矩阵还可以应用于矩阵的标准型的求解。
通过合同变换，可以将一个矩阵转化为一个特定形式的标准型，进而进行进一步的计算和分析。
4. 合同矩阵在矩阵的相合关系和正定性判断中也具有重要作用。
通过合同矩阵的变换，可以将一个矩阵转化为一个已知的形式，进而判断其性质和特性。
综上所述，合同矩阵在线性代数中具有重要的理论和应用价值。
通过对矩阵的合同性进行研究，可以帮助我们判断矩阵的相似性、特征值和特征向量，以及进行标准型的求解和正定性的判断，对于解决实际问题和推动数学发展都具有重要的意义。
矩阵的合同变换
矩阵的合同变换矩阵的合同变换是一种矩阵变换，它保持矩阵的本征值和本征向量不变。
在讨论矩阵的合同变换之前，我们先来了解一下矩阵的本征值和本征向量。
矩阵的本征值和本征向量是线性代数中非常重要的概念。
给定一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax = λx，其中λ为一个常数，那么λ就是矩阵A的一个本征值，相应的x就是对应于λ的一个本征向量。
矩阵的本征值和本征向量可以用于解决线性方程组、矩阵对角化等问题。
现在我们来讨论矩阵的合同变换。
设A和B是两个n阶矩阵，如果存在一个非奇异矩阵P，使得B = P^(-1)AP，那么称矩阵B是矩阵A的合同变换。
合同变换保持矩阵的本征值和本征向量不变。
接下来我们来证明这一结论。
假设x是矩阵A的一个本征向量，对应的本征值为λ，即Ax = λx。
那么根据矩阵的合同变换定义，我们有Bx = P^(-1)APx = P^(-1)λx = λP^(-1)x。
由于P是非奇异矩阵，所以P^(-1)也是非奇异矩阵，因此λP^(-1)x也是矩阵B的一个本征向量，对应的本征值也是λ。
所以合同变换保持矩阵的本征值和本征向量不变。
矩阵的合同变换可以通过矩阵的相似变换来理解。
如果矩阵A 和B相似，即存在一个非奇异矩阵P，使得B = P^(-1)AP，那么矩阵B是矩阵A的合同变换。
相似变换也保持矩阵的本征值和本征向量不变。
矩阵的合同变换有一些重要的特性。
首先，合同变换保持矩阵的对称性。
如果矩阵A是对称矩阵，即A = A^T，那么矩阵A 的任意合同变换B也是对称矩阵。
其次，合同变换保持矩阵的正定性。
如果矩阵A是正定矩阵，即对于任意非零向量x，都有x^TAx > 0，那么矩阵A的任意合同变换B也是正定矩阵。
最后，合同变换可以用于化简矩阵的计算。
通过矩阵的合同变换，我们可以将矩阵化为更简单的形式，从而方便进行计算。
总结起来，矩阵的合同变换是一种保持矩阵的本征值和本征向量不变的矩阵变换。
合同变换可以通过矩阵的相似变换来理解，并且保持矩阵的对称性和正定性。
线性代数中的几个等价关系
线性代数中的几个等价关系作者：李斐郭卉来源：《课程教育研究·上》2013年第08期【摘要】本文讨论了线性代数之中的四个等价关系：矩阵等价，向量组等价，矩阵相似，矩阵合同；以及和四个等价关系相关的基本性质。
【关键词】等价关系矩阵向量组相似矩阵合同矩阵【中图分类号】O151.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）08-0144-01一、等价关系的定义在一个给定的集合S上，我们可以定义元素之间的某种关系。
如果该关系满足三个性质：（1）自反性（2）对称性（3）传递性，我们称该关系为等价关系（equivalence relation[1]），记为～。
自反性就是S中的任意元素和自身有该种关系，即A～A；对称性是若对于S中两个元素A、B，如果A～B，则有B～A；传递性是指对于S中三个元素A、B、C，如果A～B，则有B～C，则有A～C。
二、等价关系与分类若集合S上具有等价关系～，则按照该等价关系对S中的元素进行分类，就是把具有等价关系的元素归为一类，称为等价类，使得S成为成为各等价类的无交并。
这样当S有一个等价关系，S也就有了一个分类标准。
反之，对于集合S，若给一个分类标准，则可以对S进行分类。
籍于此分类，我们对S中的元素可以定义一个关系～如下：A、BS，A～B当且仅当A和B属于同一类。
易于验证该关系是一个等价关系。
也就是说S上的一个分类标准就会给出一个S上的等价关系。
一般地我们有结论：集合S上的等价关系和分类方法是一一对应的。
三、线性代数中的四个等价关系3.1 矩阵的等价关系不妨设S是实数域上的矩阵组成的集合，对于矩阵A、B，如果A、B同型，即有相同的行数和列数，且A经过有限次初等变换成为B，则称A与B等价[2]。
矩阵等价，这个“等”字之后意味着什么相等呢？该“等”实际是指矩阵的行数和列数相等，同时矩阵的秩相等。
我们有如下关于矩阵等价的定理。
定理1：矩阵A和B等价的充要条件是它们同型且秩相等。
线性代数中的合同关系、正定矩阵
什么是线性代数中的合同？惯性定律？“合同”是矩阵之间的一种关系。
两个n阶方阵A与B叫做合同的，是说存在一个满秩n阶方阵P,使得P′AP＝B.“合同”这种关系，是一种“等价关系”。
按照它可以对n阶方阵的全体进行分类。
对于n阶实对称矩阵而言，线性代数中有两个结果。
①每个n阶实对称矩阵，都一定与实对角矩阵合同，并且此时P也是实的。
②对于一个n阶实对称矩阵A，与它合同的实对角矩阵当然不只一个，（相应的P也变化）。
但是这些实对角矩阵的对角元中，正数的个数是一定的（叫A的正惯性指数），负数的个数也是一定的（叫A的负惯性指数）。
结果②就是“惯性定理”。
一个矩阵是正定矩阵的充要条件是:矩阵的主对角线元素全大于0.这个命题是否正确?不对，反例： 1 22 1只有主对角矩阵才能说对角元素全大与0就正定设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量X=(x_1,...x_n) 都有XMX′>0，就称M正定(Positive Definite)。
正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。
所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。
另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵.正定矩阵的一些判别方法由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n 个特征值全是正数。
证明：若，则有∴λ＞0反之，必存在U使即：A正定由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。
特征值都在主对角线上运算你知道的吧。
行列式小结一、行列式定义行列式归根结底就是一个数值，只不过它是由一大堆数字经过一种特殊运算规则而得出的数而已。
当然这堆数排列成相当规范的n行n列的数表形式了。
所以我们可以把行列式当成一个数值来进行加减乘除等运算。
举个例子：比如说电视机（看做一个行列式），是由很多个小的元件（行列式中的元素）构成的，经过元件的相互作用、联系最终成为一台电视机（行列式）。
线性代数知识点总结(第6章)
线性代数知识点总结（第6章）（一）二次型及其标准形1、二次型：（1）一般形式（2）矩阵形式（常用）2、标准形：如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，x n）=d1x12+d2x22+…+d n x n2这样的二次型称为标准形（对角线）3、二次型化为标准形的方法：（1）配方法：通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。
其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。
★（2）正交变换法：通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λn y n2其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵注:正交矩阵Q不唯一，γi与λi对应即可。
（二）惯性定理及规范形4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；规范形：f=z12+…z p2-z p+12-…-z p+q2称为二次型的规范形。
5、惯性定理：二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。
注：（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。
（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）（三）合同矩阵6、定义：A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=C T AC，称A与B合同△7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值（2）A、B合同（B=C T AC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数（3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价（四）正定二次型与正定矩阵8、正定的定义二次型x T Ax，如果任意x≠0，恒有x T Ax＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。
9、n元二次型x T Ax正定充要条件：（1）A的正惯性指数为n（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=C T C或C T AC=E（3）A的特征值均大于0（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）10、n元二次型x T Ax正定必要条件：（1）a ii＞0（2）|A|＞011、总结：二次型x T Ax正定判定（大题）（1）A为数字：顺序主子式均大于0（2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：A T=A；②再由定义或特征值判定12、重要结论：（1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），A k，A T，A-1，A*正定（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定。
矩阵的三种等价关系
矩阵的三种等价关系摘要本文主要介绍矩阵的三种等价关系的定义及性质、各关系之间的不变量即等价不变量、合同不变量、相似不变量以及它们之间的联系。
同时，也将λ-矩阵的等价关系与矩阵的相似关系加以联系，这样增加了矩阵相似方法的判断也加强了知识的衔接。
关键字矩阵；矩阵的等价关系；矩阵的合同关系；矩阵的相似关系A matrix of three equivalence relationsAbstractThis paper mainly introduces three kinds of equivalent relation matrix and the three equivalence relations with the nature of the property, the connection between them and the three kinds of relations that equivalent invariants, contract invariant, similar invariants. At the same time, will also be equivalent relation of matrix and matrix similarity relation to contact, which increases the matrix similarity method judgment also strengthened the convergence of knowledge.Key wordsmatrix; the equivalence relation of matrix ;the contract relation of matrix ;the similar relation of matrix.0 引言在线性方程组的讨论中我们知道，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这就使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念,因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要的研究对象.我们的目的是讨论矩阵的一些基本性质.另外，新课程标准把矩阵作为高中的一个选修内容，进入教学，是希望通过中学的选修课，使得一部分对于数学有兴趣的学生，能够尽早的了解高等数学中非常重要的一些知识.这也凸显出矩阵在中学数学中的重要性.为了满足中学生对矩阵知识的渴望和矩阵初学者对矩阵基本性质的需求，我们研究了矩阵的三种基本关系即等价关系、合同关系、相似关系.首先，我们给出矩阵三种等价关系的定义及相关知识；其次，我们探究了矩阵三种等价关系所具有的性质、它们之间的联系以及满足这些关系所保持的量的不变性.同时，我们也提出了矩阵相似的几种等价定义，这可以使初学者更好的判断矩阵的相似性.1 矩阵的三种等价关系的定义1.1 矩阵的三种等价关系定义1.1.1 设矩阵A 、B 是数域P 上的矩阵，矩阵A 与B 称为等价的，如果B 可以由A 经过一系列的初等变换得到。
线性代数__69 正定矩阵_
6.9 正定矩阵.A n 设是阶实对称矩阵:下列论断彼此等价8定理(1);A 是正定矩阵(2),n A n I 与阶单位矩阵合同(3),nB 存在阶可逆的实矩阵(4).A 的特征值都大于零T;A B B 使得;A n 即的正惯性指数为证明(1)(2)⇒.A 设是正定矩阵T,X AX 因为实二次型是正定的TX AX 所以的规范形为A 因此与单位矩(2)(3)⇒.n A I 设与单位矩阵合同,根据矩阵合同的定义,n P 存在阶可逆的实矩阵T.n P AP I =使得1,B P -=令T 11T()().n A P I P B B --==则有22212.ny y y +++.n I 阵是合同的,n B 设存在阶可逆的实矩阵T.A B B =使得(3)(4)⇒,A λ设是的特征值,A ξλ是的属于特征值的特征向量.A ξλξ=即因为TA ξξT0,ξξ>于是(1)0.λ>所以由等式得到T()()B B ξξ=0,>TT()()B B ξξ=T A ξξT ()ξλξ=T ()A ξξ=T().λξξ=(1)并且.正定矩阵的行列式大于零推论▌证毕.A 设的特征值都大于零(4)(1) T X AX这时实二次型,n 的正惯性指数为T.X AX 即是正定二次型A 因此是正定.矩阵定义(),i j A a n =设是阶矩阵,t A 第个称的顺序主子式为111212122212t t t t t t t a a a a a a M a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的子矩阵1,2,,.t n =的行列式||t t M ∆=9定理n A 阶实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件,A n 是的个顺序主子式都大于零即1110,a ∆=>1112221220,a a a a ∆=>,||0.n A ∆=>(),i j a n A =设是阶实对称矩阵证明T12(,,,)n f x x x X AX=.A 为矩阵的实二次型12,,,,n x x x 是以为未知数12(,,,,0,,0)t f x x x .是正定二次型8,根据定理的推论0.t t M ∆>的行列式,A n 设是阶实对称矩阵T12(,,,).t t X x x x =记{1,2,,},t n ∈对任意的.必要性,A 因为是正定矩阵12(,,,).n f x x x 所以是正定二次型,因此.充分性A n 并且的个顺序主子.式都大于零T tt tX M X =.t M 于是是正定矩阵1,A n =如果的阶数.A 则显然是正定矩阵1,A n -并且当的阶数为时.结论成立A 现在证明当的阶2,n ≥假设,n 数为时.结论也成立111(1)1(1)1(1)(1)(1)1(1)n nn n n n n n n n nn a a a A a a a a a a ------⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 将按如下方法分块1T.n nn M a αα-⎛⎫= ⎪⎝⎭.A n A 我们对的阶数用数学归纳法证明是正定矩阵。
正定矩阵地性质和判定方法及应用
正定矩阵地性质和判定方法及应用正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在优化问题、最小二乘问题、信号处理、机器学习等领域中都有广泛应用。
在本文中，我将介绍正定矩阵的性质、判定方法以及一些应用。
一、正定矩阵的性质：1.定义：设A是n×n矩阵，如果对于任意非零向量x，都有x^TAx>0，则A是正定矩阵。
2.特征值：正定矩阵的特征值都大于0。
3.对称性：正定矩阵一定是对称矩阵。
4.非奇异性：正定矩阵一定是非奇异矩阵，即其行列式不为0。
5.可逆性：正定矩阵一定是可逆矩阵，即存在逆矩阵A^(-1)，使得AA^(-1)=I。
6.二次型：正定矩阵可以表示为二次型的矩阵形式。
二、正定矩阵的判定方法：1.主子式判定法：设A是n×n矩阵，如果A的所有n阶主子式都大于0，则A是正定矩阵。
2.特征值判定法：设A是对称矩阵，如果A的所有特征值都大于0，则A是正定矩阵。
3.正定矩阵的条件：设A是对称矩阵，则A是正定矩阵的充分必要条件是存在n阶非奇异矩阵B，使得A=B^TB。
三、正定矩阵的应用：1.优化问题：正定矩阵在优化问题中应用广泛。
例如，在最小二乘问题中，正定矩阵可用于求解线性方程组的最优解。
正定矩阵还可以用于确定函数的极小值点。
2.信号处理：正定矩阵在信号处理中有重要应用。
例如，在信号滤波中，通过构造正定矩阵，可以设计出有效的滤波器，对信号进行去噪或增强。
3.机器学习：正定矩阵在机器学习中也起到关键作用。
例如，在支持向量机中，可以使用正定矩阵的核函数来进行非线性分类。
正定矩阵还可以用于降维算法中的线性判别分析，提高分类的准确性。
4.最小二乘问题：正定矩阵可以用于解决最小二乘问题，即寻找一组关系最紧密的数据的最优拟合线。
通过构造正定矩阵，可以求得最小二乘问题的闭合解，提高计算效率。
综上所述，正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，具有许多重要的性质和判定方法。
正定矩阵在优化问题、最小二乘问题、信号处理、机器学习等领域中都有广泛应用。
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什么是线性代数中的合同？惯性定律？
“合同”是矩阵之间的一种关系。
两个n阶方阵A与B叫做合同的，是说存在一个满秩n阶方阵P,使得P′AP＝B.“合同”这种关系，是一种“等价关系”。
按照
它可以对n阶方阵的全体进行分类。
对于n阶实对称矩阵而言，线性代数中有两个结果。
①每个n阶实对称矩阵，都一定与实对角矩阵合同，并且此时P也是实的。
②对于一个n阶实对称矩阵A，与它合同的实对角矩阵当然不只一个，（相应的P也变化）。
但是这些实对角矩阵的对角元中，正数的个数是一定的（叫A的正惯性指数），负数的个数也是一定的（叫A的负惯性指数）。
结果②就是“惯性定理”。
一个矩阵是正定矩阵的充要条件是:矩阵的主对角线元素全大于0.这个命题是否正确?
不对，反例： 1 2
2 1
只有主对角矩阵才能说对角元素全大与0就正定
设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量
X=(x_1,...x_n) 都有XMX′>0，就称M正定(Positive Definite)。
正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。
所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。
另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵.
正定矩阵的一些判别方法
由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：
1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n 个特征值全是正数。
证明：若，则有
∴λ＞0
反之，必存在U使
即：A正定
由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。
特征值都在主对角线上运算你知道的吧。
行列式小结
一、行列式定义
行列式归根结底就是一个数值，只不过它是由一大堆数字经过一种特殊运算规则而得出的数而已。
当然这堆数排列成相当规范的n行n列的数表形式了。
所以我们可以把行列式当成一个数值来进行加减乘除等运算。
举个例子：比如说电视机（看做一个行列式），是由很多个小的元件（行列式中的元素）构成的，经过元件的相互作用、联系最终成为一台电视机（行列式）。
那么这n*n个数字是按照什么规则进行运算的呢？
行列式是不同行、不同列的所有可能元素乘积的代数和（共有n!项）。
（这里面的代数和，表示每个乘积项是带有正负号的，而正负号的确定要根据行列标的逆序数来判断！）对于行列式的这个概念，仅仅是给出了行列式的一种通用定义，它能用来求特殊行列式（比如三角行列式、对角行列式等）的值和做一些证明，而真正要来求行列式的值，需要依据行列式的性质和展开法则。
二、行列式性质
行列式的那几条性质其实也很容易记忆。
1、行列式转置值不变。
这条性质说明行列式行、列等价，凡是对行成立的，对列也成立。
2、互换两行（列），行列式变号。
3、两行（列）相等，则行列式为0。
4、数乘行列式等于该数与行列式某一行（列）所有元素相乘！
5、两行（列）成比例，则行列式为0。
6、行列式加法运算：某一行（列）每个元素都可以看成两项的和的话，可以将行列式展开成两个同阶行列式的和。
7、某行（列）同乘一个数加到另外一行（列）上，行列式值不变。
这7条性质往往组合使用来求行列式的值。
尤其第7条性质，一定要会熟练运用来将一个行列式化为三角行列式（既要会对行使用，也要会对列使用），最好能自己多做点练习。
三、行列式行（列）展开法则
行列式的行（列）展开法则其实是一种降阶求行列式值的方法。
行列式的行（列）展开法则一定注意一点，即一定是某行（列）每个元素同乘以自己对应的代数余子式。
（即我一直强调的：要配套。
）
如果是某行（列）每个元素同乘以另外一行（列）对应位置的代数余子式则值为零。
（即：不配套。
）
矩阵小结
初等矩阵的概念是随着矩阵初等变换的定义而来的。
初等变换有三类：
1、位置变换：矩阵的两行（列）位置交换；
2、数乘变换：数k乘以矩阵某行（列）的每个元素；
3、消元变换：矩阵的某行（列）元素同乘以数k，然后加到另外一行（列）上。
初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换后所得的矩阵。
则根据三类初等变换，可以得到三种不同的初等矩阵。
1、交换阵E(i,j)：单位矩阵第i行与第j行位置交换而得；
2、数乘阵E(i(k))：数k乘以单位矩阵第i行的每个元素（其实就是主对角线的1变成k）；
3、消元阵E(ij(k))：单位矩阵的第i行元素乘以数k，然后加到第j行上。
其上的三种初等矩阵均可看成是单位矩阵的列经过初等变换而得。
初等矩阵的模样其实我们可以尝试写一个3阶或者4阶的单位矩阵，然后进行初等变换来加深一下印象。
首先：初等矩阵都可逆，其次，初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作逆变换）。
最关键的问题是：初等矩阵能用来做什么？
当我们用初等矩阵左乘一个矩阵A的时候，我们发现矩阵A发生变化而成为矩阵B，而这种变化恰好是一个单位矩阵变成该初等矩阵所产生的变化。
具体来说：
左乘的情况：
1、E(i,j)A=B，则矩阵A第i行与第j行位置交换而得到矩阵B；
2、E(i(k))A=B，则矩阵A的第i行的元素乘以数k而得到矩阵B；
3、E(ij(k))A=B，则矩阵A的第i行元素乘以数k，然后加到第j行上而得到矩阵B。
结论1：用初等矩阵左乘一个矩阵A，相当于对矩阵A做了一次相应的行的初等变换。
右乘的情况：
4、AE(i,j)=B，则矩阵A第i列与第j列位置交换而得到矩阵B；
5、AE(i(k))=B，则矩阵A的第i列的元素乘以数k而得到矩阵B；
6、AE(ij(k))=B，则矩阵A的第i列元素乘以数k，然后加到第j列上而得到矩阵B。
结论2：用初等矩阵右乘一个矩阵A，相当于对矩阵A做了一次相应的列的初等变换。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~
请注意并理解结论1和结论2中的“相应”两字。
初等矩阵为由单位矩阵E经过一次初等变换（三种）而来，我们可以把初等矩阵看成是施加到单位矩阵E上的一个变换。
若某初等矩阵左（右）乘矩阵A，则初等矩阵会将原先施加到单位矩阵E上的变换，按照同种形式施加到矩阵A之上。
或者说，我们想对矩阵A做变换，但是不是直接对矩阵A 去做处理，而是通过一种间接方式去实现。