第一节二次型及其标准型和合同矩阵

（1）自反性（2）对称性(3) 传递性
定理1 任给可逆矩阵C ,令B C T AC ,如果A为对称
矩阵,则B也为对称矩阵,且RB RA.
证明 A为对称矩阵,即有A AT ,于是
BT C T AC T C T AT C C T AC B,
即B为对称矩阵.
B CT AC , RB RAC RA,
X
x2
,
an1 an2 ann
xn
则二次型可记作 f X T AX ,其中A为对称矩阵.
由此可见, 按照上述规则 任给一个二次型，可唯一确定一个对称矩阵；
反之，任给一个对称矩阵，可唯一确定一个二次型。 即二次型与对称矩阵之间是一一对应关系 称对称矩阵 A 为二次型 f 的矩阵，也把 f 称为 对称矩阵 A 的二次型。 对称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩。
3
的矩阵为：
1
1 2
1 1 2
1 2
2
1
0 0 1 以 0 1 0 为矩阵的二次型为
1 0 0
f ( x1, x2 , x3 ) x22 2 x1 x3
三、矩阵的合同
设 有 两 个n阶 矩 阵A和B, 若 存 在 可 逆 定义
矩阵P，使B PT AP，则称B与A合同 矩 阵P称 为 把A变 为B的 合 同 变 换 矩 阵 合同矩阵有一下性质：
又 A CT 1 BC 1 , RA R BC 1 RB.
RA RB.
n
设 有 二 次 型f ( x1, x2 , xn ) aij xi x j X T AX , i , j 1
定 若 存 在 可 逆 变 换X PY,使 义
f ( x1, x2 , xn ) X T AX Y T BY
则称二次型X T AX与二次型Y T BY等价
等价的二次型,它们的矩阵之间是合同的; 反之,以合同的矩阵为矩阵的二次型是等价的.
例1 写出下列二次型的矩阵表达式
f
( x1,
x2 ,
x3 )
x12
2 x22
4
x
2 3
2 x1 x2
x1 x3
6x2 x3
解 按 aij a ji 的要求不改变完全平方项，把
交叉乘积项的系数取半得：
f ( x1, x2 , x3 )
x12
x1 x2
1 2
x1 x3
x2
x1
2 x22
3x2
x3
1 2
称为二次型的标准形． 例如
f x1, x2, x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3 f x1, x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
都为二次型；
f x1, x2 , x3 x12 4x22 4x32
为二次型的标准形.
二、二次型的表示法
1．用和号表示二次型
x3
x1
3x3x2
4 x32
1
x1,
x2 ,
x3
1
1 1 / 2 x1 2 3 x2
1 / 2 3
4
x3
注意 仅当A 满足AT A 时,为二次型的矩阵表示式
二次型 f ( x1, x2, x3 )
3 x12 x22 x32 2 x1 x2 x1 x3 4 x2 x 3
f
x1 ,
x2 ,,
xn
a11 x12
a22 x22
a
nn
x
2 n
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,
于是 f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn
a22 x22 2a23 x2 x3 2a2n x2 xn
a x2 n1,n1 n1
2an1,n xn1 xn
ann xn2 称为二次型. 当aij是复数时, f称为复二次型 ;
当aij是实数时, f称为实二次型 .
只含有平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
第七章 n元实二次型
• n元实二次型的定义及其标准型 • 将n元实二次型化为标准型 • 正定二次型 • 用正交变换化二次型为标准型
一、二次型及其标准形的概念
定义1 含有n个变量x1, x2 ,, xn的二次齐次函数
f ( x1, x2 , , xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 xn
a12 x2
a22 x2
a1n xn a2n xn
an1 x1 an2 x2 ann xn
a11
x1
,
x2
,,
xn
a21
a12
a22
a1n x1 a2n x2
an1 an2 ann xn
记
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
,
x1
a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
nn
aij xi x j
i 1 j1
2．用矩阵表示
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn
a21
x2
x1
a22 x22
a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
x1 (a11 x1 a12 x2 a1n xn )
x2 (a21 x1 a22 x2 a2n xn )
xn (an1 x1 an2 x2 ann xn )( x1,x2 ,,xn)
a11 a21
x1 x1