中考数学专题复习《二次函数综合题》知识点梳理及典例讲解课件
初中数学中考复习 二次函数 专题讲义(含解析)
二次函数 专题讲义
考点回顾
一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果)0,,(2acbacbxaxy是常数，，那么y叫做x 的二次函数。
)0,,(2acbacbxaxy是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于abx2对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
3、二次函数图像的画法
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线cbxaxy2与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
二、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：)0,,(2acbacbxaxy是常数，
（2）顶点式：)0,,()(2akhakhxay是常数，
（3）当抛物线cbxaxy2与x轴有交点时，即对应二次好方程02cbxax有实根1x和2x存在时，根据二次三项式的分解因式))((212xxxxacbxax，二次函数cbxaxy2可转化为两根式))((21xxxxay。如果没有交点，则不能这样表示。
三、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx2时，abacy442最值。 如果自变量的取值范围是21xxx，那么，首先要看ab2是否在自变量取值范围21xxx内，若在此范围内，则当x=ab2时，abacy442最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21xxx范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当2xx时，cbxaxy222最大，当1xx时，cbxaxy121最小；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当1xx时，cbxaxy121最大，当2xx时，cbxaxy222最小。
中考数学专题复习二次函数的综合题及答案解析
中考数学专题复习二次函数的综合题及答案解析
一、二次函数
1．如图，对称轴为直线x1的抛物线2yaxbxca0与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（－3，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）已知a1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且POCBOCS4S，求点P的坐标；
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
【答案】（1）点B的坐标为（1，0）.
（2）①点P的坐标为（4，21）或（－4，5）.
②线段QD长度的最大值为94.
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的对称性直接得点B的坐标．
（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C的坐标，得到BOCS，设出点P
的坐标，根据POCBOCS4S列式求解即可求得点P的坐标．
②用待定系数法求出直线AC的解析式，由点Q在线段AC上，可设点Q的坐标为(q,-q-3)，从而由QD⊥x轴交抛物线于点D，得点D的坐标为(q,q2+2q-3)，从而线段QD等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.
【详解】
解：（1）∵A、B两点关于对称轴x1对称 ，且A点的坐标为（－3，0），
∴点B的坐标为（1，0）.
（2）①∵抛物线a1，对称轴为x1，经过点A（－3，0），
∴2a1b12a9a3bc0，解得a1b2c3. ∴抛物线的解析式为2yx2x3.
∴B点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC13S1322.
设点P的坐标为(p,p2+2p-3)，则POC13S3pp22.
∵POCBOCS4S，∴3p62，解得p4.
当p4时2p2p321；当p4时，2p2p35，
∴点P的坐标为（4，21）或（－4，5）.
②设直线AC的解析式为ykxb，将点A，C的坐标代入，得：
九年级中考数学专题复习：二次函数综合题(特殊三角形问题)含答案
试卷第1页，共10页 中考数学专题复习：二次函数综合题（特殊三角形问题）
1．如图，已知抛物线经过点A(-1，0)，B(4，0)，C(0，2)三点，点D与点C关于x轴对称，点P是线段AB上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
(2)在点P运动过程中，是否存在点Q，使得△BQM是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接AC，将△AOC绕平面内某点H顺时针旋转90°，得到111AOC△，点A、O、C的对应点分别是点1A、1O、1C、若111AOC△的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点1A的横坐标．
2．如图，已知A（﹣2，0）、B（3，0），抛物线y＝ax2＋bx＋4经过A、B两点，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一动点，点P的横坐标为m．过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．过点P作PN⊥BC，垂足为点N．
(1)直接写出抛物线的函数关系式 ； 试卷第2页，共10页 (2)请用含m的代数式表示线段PN的长 ；
(3)连接PC，在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得⊥BCO＋2⊥PCN＝90°？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由；
(4)连接AQ，若△ACQ为等腰三角形，请直接写出m的值 ．
3．如图，抛物线2yaxbx过4,0A，1,3B两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BHx轴，交x轴于点H．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求ABC的面积；
(3)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当CMN△为等腰直角三角形时，点N的坐标为______．
4．如图，已知二次函数的图象经过点3,3A、4,0B和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为,0Dm，并与直线OA交于点C．
中考数学综合题专题复习【二次函数】专题解析附答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出C、D两点的坐标
（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3;（2）C（0，﹣3）,D（0，﹣1）;（3）P（1+2，﹣2）.
【解析】
【分析】
（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得抛物线解析式．
（2）当x＝0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x＝0可求D点坐标．
（3）由题意可知P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P点横坐标．
【详解】
解：（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入
y＝ax2+bx﹣3可得 304233abab
解得12ab
∴y＝x2﹣2x﹣3
（2）把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3中可得y＝﹣3∴C（0，﹣3）
设y＝kx+b，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入
023kbkb
解得11kb
∴y＝﹣x﹣1
∴D（0，﹣1）
（3）由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分线经过（0，﹣2）
∴P点纵坐标为﹣2，
∴x2﹣2x﹣3＝﹣2
解得：x＝1±2，∵x＞0∴x＝1+2． ∴P（1+2，﹣2）
【点睛】
本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y轴交点坐标，知道点P纵坐标带入抛物线解析式可求点P的横坐标．
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设x1，x2是方程两根，且121111xxk，求k的值．
中考数学专题题库∶二次函数的综合题及详细答案
中考数学专题题库∶⼆次函数的综合题及详细答案
⼀、⼆次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有⼀个公共点M（1，0），且a＜b．
（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（⽤a的代数式表⽰）；
（2）直线与抛物线的另外⼀个交点记为N，求△DMN的⾯积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第⼆象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．
【答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣12
，﹣9
4
a）；（2）
27327
48
a
a
--；（3）
2≤t＜9
4
．
【解析】
【分析】
（1）把M点坐标代⼊抛物线解析式可得到b与a的关系，可⽤a表⽰出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；
（2）把点M（1，0）代⼊直线解析式可先求得m的值，联⽴直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的⼀元⼆次⽅程，可求得另⼀交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据⾯积和可得△DMN的⾯积即可；
（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联⽴⽅程组可求得当GH与抛物线只有⼀个公共点时，t的值，再确定当线段⼀个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有⼀个公共点M（1，0），
∴a+a+b=0，即b=-2a，
∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+1
2
）2-94
a
，
∴抛物线顶点D 的坐标为（-
1
2
，-94a ）； （2）∵直线y=2x+m 经过点M （1，0）， ∴0=2×1+m ，解得m=-2， ∴y=2x-2，
则2222y x y ax ax a -??+-?
＝＝， 得ax 2+（a-2）x-2a+2=0， ∴（x-1）（ax+2a-2）=0， 解得x=1或x=2
2024年中考数学专题复习—二次函数面积定值比例问题以及米勒角
2024年中考数学专题复习—⼆次函数⾯积定值、比例问题以及米勒⾓
⼀、⾯积定值与等值问题
1 .定值问题
【问题描述】
如图，抛物线223yxx
与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛
物线在线段BC上⽅部分取⼀点P，连接PB、PC，若△PBC⾯积为3，求点P坐标．
P
OABC
xy
思路1：铅垂法列⽅程解．
根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=-x+3，设点P坐标为
2,23mmm
，
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，则点Q坐标为（m，-m+3），
222333PQmmmmm
，21
333
2PBCSmm
V
，分类讨论去绝对值解⽅
程即可得m的值．
思路2：构造等积变形
PQABC
Q
2Q
1
P
4P
3P
2y
xC
BAOP
1
同底等⾼三⾓形⾯积相等．
取BC作⽔平宽可知⽔平宽为3，根据△PBC⾯积为3，可知铅垂⾼为2，
在y轴上取点Q使得CQ=2，过点Q作BC的平⾏线，交点即为满⾜条件的P点．
当点Q坐标为（0,5）时，PQ解析式为：y=-x+5，联⽴⽅程：2235xxx
，解之即可．
当点Q坐标为（0,1）时，PQ解析式为：y=-x+1，联⽴⽅程：2231xxx
，解之即可．
2 . 等值问题
【问题描述】
如图，抛物线223yxx
与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛
物线上存在⼀点P使得△PBC的⾯积等于△BOC的⾯积，求点P坐标．
P
OABC
xy
思路1：铅垂法
计算出△BOC⾯积，将“等积问题”转化为“定积问题”，⽤铅垂法可解．
思路2：构造等积变形
过点O作BC的平⾏线，与抛物线交点即为所求P点，另外作点O关于点C的对称点M，过点M作BC平⾏线与抛物线的交点亦为所求P点．
先求直线解析式，再联⽴⽅程即可求得P点坐标．
y
xC
BAOP
⼆、⾯积比例问题
1、⽅法突破
除了三⾓形、四边形⾯积计算之外，⾯积⽐例也是中考题中常见的条件或结论，对⾯积⽐例的分
2023年九年级中考数学复习：二次函数(特殊四边形问题)综合题(Word版,含答案)
第 1 页 共 14
页 2023年九年级中考数学复习：二次函数（特殊四边形问题）综合题
1．已知抛物线21=++4(0)2yaxmmam过点0,4A
(1)若=2m，求a的值；
(2)如图，顶点M在第一象限内，B、C是抛物线对称轴l上的两点，且MBMC，在直线l右侧以BC为边作正方形BCDE，点E恰好在抛物线上．
①求am的值；
①试判断点E和点A是否关于直线l对称，如果对称，请说明理由，如果不对称，请举出反例．
2．如图，抛物线y＝ax2-2x+c(a≠0)与直线y＝x+3交于A，C两点，与x轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是抛物线上一动点，且在直线AC下方，当①ACP的面积为6时，求点P的坐标．
（3）D为抛物线上一点，E为抛物线的对称轴上一点，请直接写出以A，C，D，E为顶点 第 2 页 共 14
页 的四边形为平行四边形时点D的坐标．
3．如图1，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接AC和BC，①OAC＝60°．
（1）求二次函数的表达式．
（2）如图2，线段BC上有M、N两动点（N在M上方），且MN＝32，P是直线BC下方抛物线上一动点，连接PC、PB，当①PBC面积最大时，连接PM、AN，当MN运动到某一位置时，PM+MN+NA的值最小，求出该最小值．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AP，将AP绕着点A逆时针旋转60°至AQ．点E为二次函数对称轴上一动点，点F为平面内任意一点，是否存在这样的点E、F，使得四边形AEFQ为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
4．直线3yx与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线2yax2xc经过点A，B，与x轴的另一个交点为C． 第 3 页 共 14
页
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P为直线AB上方的抛物线上的一动点，求四边形APBO的面积的最大值；
中考数学专题复习二次函数综合(四)
试卷第1页，共7页 中考数学专题复习二次函数综合（四）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、解答题
1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线21:Cyxbxc与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点B的坐标为3,0，将直线ykx沿y轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B、C两点．
（1）求k的值和点C的坐标；
（2）求抛物线1C的表达式及顶点D的坐标；
（3）已知点E是点D关于原点的对称点，若抛物线22:2(0)Cyaxa与线段AE恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
试卷第2页，共7页 2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线24(0)yaxaxa与x轴交于点,AB（A在B的左侧）．
（1）求点,AB的坐标及抛物线的对称轴；
（2）已知点(2,2),(22,5)PQaa，若抛物线与线段PQ有公共点，请结合函数图象，求a的取值范围．
3．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(6,4)，抛物线252yxxa的顶点为C．
（1）若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标；
（2）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围；
（3）若满足不等式2520xxa的x的最大值为3，直接写出实数a的值．
4．在平面直角坐标系中，已知抛物线22yaxaxc与x轴交于点,AB，且4AB．抛物线与y轴交于点C，将点C向上移动1个单位得到点D．
（1）求抛物线对称轴；
（2）求点D纵坐标（用含有a的代数式表示）；
（3）已知点(4,4)P，若抛物线与线段PD只有一个公共点，求a的取值范围．
试卷第3页，共7页 5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与y轴交于点A．
(1)求点A的坐标（用含a的式子表示）；
人教中考数学专题复习分类练习 二次函数综合解答题含答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【解析】
【分析】
（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；
（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；
（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=12×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB最大面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【详解】
解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，
103bcc
解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0， 解得：x=1或x=3，
∴B（3，0），
中考数学总复习之二次函数专题复习
中考数学总复习之二次函数专题复习
一．选择题（共8小题）
1．二次函数y＝2x2+8x+5的图象的顶点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．把二次函数y＝x2+2x﹣6配方成顶点式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣7 B．y＝（x+1）2﹣7
C．y＝（x+2）2﹣10 D．y＝（x﹣3）2+3
3．已知二次函数y＝（a﹣2）x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＞2 C．a≠2 D．a＜2
4．关于抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，以下说法正确的是（ ）
A．抛物线在直线x＝﹣1右侧的部分是上升的
B．抛物线在直线x＝﹣1右侧的部分是下降的
C．抛物线在直线x＝1右侧的部分是上升的
D．抛物线在直线x＝1右侧的部分是下降的
5．2019年在武汉市举行了军运会，在军运会比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝x2+x+的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是米，球落点的距离是（ ）
A．1米 B．3米 C．5米 D．米
6．二次函数y＝x2﹣3x+1的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．无论k为何值，直线y＝kx﹣2k+2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a总有公共点，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B． C．或a＞0 D．
8．如图，已知开口向上的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③若关于x的方程ax2+bx+c+1＝0一定有两个不相等的实数根；④a＞．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题）
9．如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为38m，门宽为2m．这个矩形花圃的最大面积是 ．