人教版八年级数学上册 轴对称解答题专题练习(解析版)
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人教版八年级数学上册 轴对称解答题专题练习(解析版)
一、八年级数学 轴对称解答题压轴题(难)
1.在梯形ABCD 中,//AD BC ,90B ∠=︒,45C ∠=︒,8AB =,14BC =,点E 、F 分别在边AB 、CD 上,//EF AD ,点P 与AD 在直线EF 的两侧,90EPF ∠=︒,PE PF =,射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ,设AE x =,MN y =.
(1)求边AD 的长;
(2)如图,当点P 在梯形ABCD 内部时,求关于x 的函数解析式,并写出定义域; (3)如果MN 的长为2,求梯形AEFD 的面积.
【答案】(1)6;(2)y=-3x+10(1≤x <
103);(2)1769
或32 【解析】
【分析】
(1)如下图,利用等腰直角三角形DHC 可得到HC 的长度,从而得出HB 的长,进而得出AD 的长;
(2)如下图,利用等腰直角三角形的性质,可得PQ 、PR 的长,然后利用EB=PQ+PR 得去x 、y 的函数关系,最后根据图形特点得出取值范围;
(3)存在2种情况,一种是点P 在梯形内,一种是在梯形外,分别根y 的值求出x 的值,然后根据梯形面积求解即可.
【详解】
(1)如下图,过点D 作BC 的垂线,交BC 于点H
∵∠C=45°,DH ⊥BC
∴△DHC 是等腰直角三角形
∵四边形ABCD 是梯形,∠B=90°
∴四边形ABHD 是矩形,∴DH=AB=8
∴HC=8
∴BH=BC -HC=6
∴AD=6
(2)如下图,过点P 作EF 的垂线,交EF 于点Q ,反向延长交BC 于点R ,DH 与EF 交于点G
∵EF ∥AD,∴EF ∥BC
∴∠EFP=∠C=45°
∵EP ⊥PF
∴△EPF 是等腰直角三角形
同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形
∵AE=x
∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x
∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=()162
x + 同理,PR=
12y ∵AB=8,∴EB=8-x
∵EB=QR
∴8-x=
()11622
x y ++ 化简得:y=-3x+10 ∵y >0,∴x <103
当点N 与点B 重合时,x 可取得最小值
则BC=NM+MC=NM+EF=-3x+10+614x +=,解得x=1
∴1≤x <103
(3)情况一:点P 在梯形ABCD 内,即(2)中的图形 ∵MN=2,即y=2,代入(2)中的关系式可得:x=
83=AE
∴188176662339
ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形 情况二:点P 在梯形ABCD 外,图形如下:
与(2)相同,可得y=3x -10
则当y=2时,x=4,即AE=4
∴()16644322
ABCD S =
⨯++⨯=梯形 【点睛】
本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质,难点在于第(2)问中确定x 的取值范围,需要一定的空间想象能力.
2.如图,在△ABC 中,AB =AC ,BD 平分∠ABC 交AC 于点D ,点E 是BC 延长线上的一点,且BD =DE .点G 是线段BC 的中点,连结AG ,交BD 于点F ,过点D 作DH ⊥BC ,垂足为H .
(1)求证:△DCE 为等腰三角形;
(2)若∠CDE =22.5°,DC =2,求GH 的长;
(3)探究线段CE ,GH 的数量关系并用等式表示,并说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(22;(3)CE =2GH ,理由见解析. 【解析】
【分析】
(1)根据题意可得∠CBD=1
2
∠ABC=
1
2
∠ACB,,由BD=DE,可得∠DBC=∠E=
1 2∠ACB,根据三角形的外角性质可得∠CDE=
1
2
∠ACB=∠E,可证△DCE为等腰三角
形;
(2)根据题意可得CH=DH=1,△ABC是等腰直角三角形,由等腰三角形的性质可得BG=GC,BH=HE=2+1,即可求GH的值;
(3)CE=2GH,根据等腰三角形的性可得BG=GC,BH=HE,可得GH=GC﹣HC=GC﹣
(HE﹣CE)=1
2
BC﹣
1
2
BE+CE=
1
2
CE,即CE=2GH
【详解】
证明:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD=1
2
∠ABC=
1
2
∠ACB,
∵BD=DE,
∴∠DBC=∠E=1
2
∠ACB,
∵∠ACB=∠E+∠CDE,
∴∠CDE=1
2
∠ACB=∠E,
∴CD=CE,
∴△DCE是等腰三角形
(2)
∵∠CDE=22.5°,CD=CE2,∴∠DCH=45°,且DH⊥BC,
∴∠HDC=∠DCH=45°
∴DH=CH,
∵DH2+CH2=DC2=2,
∴DH=CH=1,
∵∠ABC=∠DCH=45°