2020年浙江高考数学一轮复习： 圆锥曲线的综合问题
2020年高考数学(文科)一轮复习 第43讲立体几何的综合问题
听课手册 第43讲 立体几何的综合问题
1.平行问题的转化
利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而应用性质定理时,其顺序正好相反.在解题过程中,判定定理和性质定理一般要相互结合,灵活运用.
2.垂直问题的转化
在空间垂直关系中,线面垂直是核心,已知线面垂直,既可为证明线线垂直提供依据,又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫.应用面面垂直的性质定理时,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而可转化为线线垂直问题.
探究点一 平行与垂直关系的证明
例1 [2018·北京卷] 如图7-43-1,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.
(1)求证:PE⊥BC;
(2)求证:平面PAB⊥平面PCD;
(3)求证:EF∥平面PCD.
图7-43-1
[总结反思] 证明面面关系的核心是证明线面关系,证明线面关系的核心是证明线线关系.证明线线平行的常用方法:(1)线面平行的性质定理;(2)三角形中位线法;(3)平行四边形法. 证明线线垂直的常用方法:(1)等腰三角形三线合一;(2)勾股定理逆定理;(3)线面垂直的性质定理;(4)菱形对角线互相垂直.
例2 [2018·烟台二模] 如图7-43-2所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形,E,F分别为BC,AP的中点.
(1)求证:EF∥平面PCD;
(2)若平面PAB⊥平面ABCD,AD=AP=1,AB=2,∠PAB=45°,求三棱锥P-DEF的体积.
图7-43-2
[总结反思] 求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题去求解,注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法:求一些不规则几何体的体积时,常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法:等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高(或几何体的高),特别是在求三角形的高(或三棱锥的高)时,这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接计算得到高的数值.
高考数学一轮复习专题训练—圆锥曲线的定值问题
圆锥曲线的定值问题
题型一 长度或距离为定值
【例1】 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的上顶点A与左、右焦点F1，F2构成一个面积为1的直角三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l与椭圆C相切，求证：点F1，F2到直线l的距离之积为定值．
(1)解 ∵椭圆C的上顶点A与左、右焦点F1，F2构成一个面积为1的直角三角形，
∴ b＝c，bc＝1，
∴b＝c＝1，
∴a2＝b2＋c2＝2，
∴椭圆C的方程为x22＋y2＝1.
(2)证明 ①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝±2，
点F1，F2到直线l的距离之积为(2－1)(2＋1)＝1.
②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，
联立 y＝kx＋m，x22＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
Δ＝(4km)2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝－8(m2－2k2－1)＝0，
∴m2＝1＋2k2，
点F1到直线l：y＝kx＋m的距离d1＝|－k＋m|k2＋1，
点F2到直线l：y＝kx＋m的距离d2＝|k＋m|k2＋1.
∴d1d2＝|－k＋m|k2＋1·|k＋m|k2＋1＝|m2－k2|k2＋1
＝|2k2＋1－k2|k2＋1＝1.
综上，可知当直线l与椭圆C相切时，点F1，F2到直线l的距离之积为定值1.
感悟升华 圆锥曲线中的定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的．定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现．
【训练1】 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.设椭圆C2：4x2＋y2＝
1.若M，N分别是C1，C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．
证明 当直线ON垂直于x轴时，|ON|＝1，|OM|＝22，则O到直线MN的距离为33， 当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y＝kx显然|k|>22，则直线OM的方程为y＝－1kx，
圆锥曲线综合大题练 分类题组-2023届高三数学一轮复习
题组：圆锥曲线综合大题练
题型1：定点问题
1.椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率为12，其左焦点到点𝑃(2,1)的距离为√10．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线𝑙:𝑦=𝑘𝑥+𝑚与椭圆C相交于𝐴,𝐵两点（𝐴,𝐵不是左右顶点），且以𝐴𝐵为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线𝑙过定点，并求出该定点的坐标．
2.已知抛物线C：𝑦2=2𝑝𝑥经过点M（2，2），C在点M处的切线交𝑥轴于点N，直
线𝑙1经过点N且垂直于𝑥轴．
（Ⅰ）求线段ON的长；
（Ⅱ）设不经过点M和N的动直线𝑙2：𝑥=𝑚𝑦+𝑏交C于点A和B，交𝑙1于点
E，若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，试问：𝑙2是否过定
点？请说明理由．
3.已知椭圆C：2222=1xyab（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线𝑙不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：𝑙过定点.
4.如图，椭圆𝐸：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左焦点为𝐹1，右焦点为𝐹2，离心率
𝑒=12．过𝐹1的直线交椭圆于A、B两点，且∆𝐴𝐵𝐹2的周
长为8．
（Ⅰ）求椭圆𝐸的方程．
（Ⅱ）设动直线𝑙：𝑦=𝑘𝑥+𝑚与椭圆E有且只有一个
公共点P，且与直线𝑥=4相交于点Q．试探
究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？
若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
5.如图，已知椭圆Γ：𝑥2𝑏2+𝑦2𝑎2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率𝑒=√22，短轴右端点为
𝐴,𝑀(1.0)为线段𝑂𝐴 的中点．
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）过点𝑀任作一条直线与椭圆Γ相交于𝑃,𝑄两点，试问在𝑥轴上是 否存在定点𝑁，使得∠𝑃𝑁𝑀=∠𝑄𝑁𝑀，若存在，求出点𝑁的坐标；若不存在，说明理由．
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案1 直线与圆锥曲线的位置关系1
第九节 圆锥曲线的综合问题
第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题．
(2)理解数形结合的思想．
(3)了解圆锥曲线的简单应用．
2．定值(定点)与最值问题
理解基本几何量，如：斜率、距离、面积等概念，掌握与圆锥曲线有关的定值(定点)、最值问题．
3．存在性问题
能够合理转化，掌握与圆锥曲线有关的存在性问题．
知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
即 Ax＋By＋C＝0，Fx，y＝0，消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
易误提醒 (1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．
(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点． [自测练习]
1．若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，则这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)，故选C.
(浙江版)2018年高考数学一轮复习专题直线与圆锥曲线的位置关系讲
第八节 直线与圆锥曲线的位置关系
【考纲解读】
考
点 考纲内容 5年统计 分析预测
直线与圆锥曲线 （1）会解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的问题。
(2) 了解方程与曲线的对应关系和求曲线方程的基本方法。
（3）理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想。了解圆锥曲线的简单应用。 2013•浙江文22；理15,21；
2014•浙江文17,22；理21；
2015•浙江文19；理19；
2016•浙江文19；理19；
2017•浙江21. 1.考查直线与椭圆的位置关系；
2.考查直线与抛物线的位置关系；
3.考查直线与圆、圆锥曲线的综合问题.
4.备考重点：
(1)掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质；
（2）熟练掌握常见直线与圆锥曲线位置关系题型的解法；
（3）利用数形结合思想，灵活处理综合问题.
【知识清单】
1.直线和圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
对点练习：
【2018届衡水金卷全国高三大联考】抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24yx的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点3,1M射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则ABM的周长为 ( ) A. 712612 B. 926 C. 910 D. 832612
高考数学一轮复习考点知识专题讲解67---圆锥曲线中定点与定值问题
1 / 16 高考数学一轮复习考点知识专题讲解
圆锥曲线中定点与定值问题
题型一 定点问题
例1已知定圆A：(x＋3)2＋y2＝16，动圆M过点B(3，0)，且和圆A相切．
(1)求动圆圆心M的轨迹E的方程；
(2)设不垂直于x轴的直线l与轨迹E交于不同的两点P，Q，点N(4,0)．若P，Q，N三点不共线，且∠ONP＝∠ONQ.证明：动直线PQ经过定点．
(1)解圆A的圆心为A(－3，0)，半径r1＝4.
设动圆M的半径为r2，
依题意有r2＝|MB|.
由|AB|＝23，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，
故|MA|＝r1－r2，即|MA|＋|MB|＝4>23.
所以动点M的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，
其方程为x24＋y2＝1.
(2)证明设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，
联立 y＝kx＋b，x2＋4y2＝4，
消去y得，(1＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，
Δ＝16(4k2－b2＋1)>0，
设P(x1，kx1＋b)，Q(x2，kx2＋b)， 2 / 16 则x1＋x2＝－8kb1＋4k2，x1x2＝4b2－41＋4k2，
于是kPN＋kQN＝kx1＋bx1－4＋kx2＋bx2－4
＝2kx1x2－4k－bx1＋x2－8bx1－4x2－4，
由∠ONP＝∠ONQ知kPN＋kQN＝0.
即2kx1x2－(4k－b)(x1＋x2)－8b＝2k·4b2－41＋4k2－(4k－b)－8kb1＋4k2－8b
＝8kb2－8k1＋4k2＋32k2b－8kb21＋4k2－8b＝0，
得b＝－k，Δ＝16(3k2＋1)>0.
故动直线l的方程为y＝kx－k，过定点(1,0)．
教师备选
在平面直角坐标系中，已知动点M(x，y)(y≥0)到定点F(0,1)的距离比到x轴的距离大1.
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点N(4,4)作斜率为k1，k2的直线分别交曲线C于不同于N的A，B两点，且1k1＋1k2＝1.证明：直线AB恒过定点．
新高考一轮复习人教版 圆锥曲线的综合问题 作业1
9.5 圆锥曲线的综合问题
一、选择题
1.(2021浙江,9,4分)已知a,b∈R,ab>0,函数f(x)=ax2+b(x∈R).若f(s-t),f(s),f(s+t)成等比数列,则平面上点(s,t)的轨迹是( )
A.直线和圆 B.直线和椭圆
C.直线和双曲线 D.直线和抛物线
答案 C 由题意知f(s)=as2+b,f(s-t)=a(s-t)2+b=(as2+b)+at(t-2s),f(s+t)=a(s+t)2+b=(as2+b)+at(t+2s),
∵f(s-t),f(s),f(s+t)成等比数列,∴f(s-t)·f(s+t)=f2(s)⇒[(as2+b)+at(t-2s)][(as2+b)+at(t+2s)]=(as2+b)2⇒at(as2+b)(t-2s+t+2s)+a2t2(t2-4s2)=0⇒2at2(as2+b)+a2t2(t2-4s2)=0,(*)
①当t=0时,s∈R,故(s,t)的轨迹为一条直线;
②当t≠0时,(*)式可化为2as2+2b+at2-4as2=0,
即2as2-at2=2b,因为ab>0,
所以s2-𝑡22=𝑏𝑎>0,故(s,t)的轨迹为双曲线,故选C.
二、解答题
2.(2022届广西开学考,22)设双曲线𝑥23-y2=1的右焦点为F,过F的直线与双曲线C的右支交于A、B两点.
(1)若直线AB与x轴不垂直,求直线的斜率的取值范围;
(2)求AB中点的轨迹方程.
解析 (1)由题知F(2,0),设直线AB的方程为y=k(x-2),代入方程𝑥23-y2=1,得(3k2-1)x2-12k2x+12k2+3=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),
则{ 𝑥1+𝑥2=12𝑘23𝑘2-1>0,𝑥1𝑥2=12𝑘2+33𝑘2-1>0,𝛥=144𝑘4-4(3𝑘2-1)(12𝑘2+3)=12𝑘2+12>0,
所以k∈(-∞,-√33)∪(√33,+∞).
2020年浙江高考数学一轮复习：双曲线
••>必过数材美
1. 双曲线的定义
平面内与两个定点 Fi, F2的距离的差的绝对值等于非零常数 (小于IF1F2I)的点的轨迹叫
做双曲线•这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线白 ____________
集合 P= {M|||MF 1|-|MF2||= 2a}, |FiF2|= 2c,其中 a, c 为常数且 a> 0, c>0.
(1) 当2av |FiF21时，P点的轨迹是双曲线；
(2) 当2a = |FiF 2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3) 当2a > |FiF21时，P点不存在.
2. 双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ---------------- 2 ------- 2 -------------------------------------------------
/— y2= i(a>0, b> 0) ----------- 2 ------- 2--------------------------------------------
字-討 i(a> 0, b> 0)
图形 A
性
质 范围 x< — a 或 x>a, y€ R yw — a 或 y> a, x€ R
对称性 对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点 顶点坐标： Ai( — a,0), A2(a,0) 顶点坐标：
Ai(0, — a), A2(0 , a)
渐近线 y=*x y= ±x
离心率 c e= ", e€ (i ,+s ) a ----
a, b, c
的关系 c2= a2+ b2
实虚轴 线段AiA2叫做双曲线的实轴，它的长 |AiA2| = 2a； 线段BiB2叫做双曲线的虚轴，它的长 |BiB2| = 2b a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 ［小题体验］
2 2 i双曲线x—y2=1的焦距为 __________________________________ •
2020年浙江高考数学一轮复习：函数的单调性与最值
第二节函数的单调性与最值
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数减函数
定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两
个自变量的值x1，x2
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就
说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么
就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有
(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件①对于任意的x∈I，都有
f(x)≤M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意x∈I，都有
f(x)≥M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论M为函数y＝f(x)的最大值M为函数y＝f(x)的最小值
[小题体验]
1．给定函数①y＝x1
2，②y＝log1
2(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1.其中在区间(0,1)上单
调递减的函数序号是()
A．①②B．②③
C．③④D．①④
解析：选B①y＝x1
2在(0,1)上递增；②∵t＝x＋1在(0,1)上递增，且0＜1
2＜1，∴y＝log1
2
(x＋1)在(0,1)上递减；③结合图象(图略)可知y＝|x－1|在(0,1)上递减；④∵u＝x＋1在(0,1)
上递增，且2＞1，∴y＝2x＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.
2．(2019·绍兴调研)函数f(x)＝1
3x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
解析：由于y＝1
3x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f(x)在[－
1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.
答案：3
2020高考新课标数学(文)大一轮复习教师用书：专题研究 圆锥曲线中的范围、最值、证明问题
2020高考新课标数学（文）大一轮复习教师用书：专题研究 圆锥曲线中的范围、最值、证明问题
1 / 16 专题研究(一) 圆锥曲线中的范围、最值、证明问题
专题概述：1.圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值；2.圆锥曲线中的证明问题通常转化为利用坐标容易解决的问题，通过坐标法来解决，合理转化是解决证明问题的关键．
[专题讲解]
题型一 范围问题
【典例1】 (2019·安徽皖西南十校期末联考)已知右焦点为F2(c,0)的椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)过点1，32，且椭圆C关于直线x＝c对称的图形过坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点12，0作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围．
[审题程序]
第一步：由椭圆过定点，确定a，b关系；
第二步：由椭圆C关于直线对称的图形过原点确定a，c关系；
第三步：写出椭圆的方程；
第四步：利用直线l与椭圆方程联立，由根与系数的关系，把斜率k表示利用参数表示；
第五步：利用函数(或均值定理)求范围．
[规范解答] (1)∵椭圆C过点1，32，∴1a2＋94b2＝1，①
∵椭圆C关于直线x＝c对称的图形过坐标原点，∴a＝2c， 2020高考新课标数学（文）大一轮复习教师用书：专题研究 圆锥曲线中的范围、最值、证明问题
2 / 16 ∵a2＝b2＋c2，∴b2＝34a2，②
由①②得a2＝4，b2＝3，
∴椭圆C的方程为x24＋y23＝1.
(2)依题意，直线l过点12，0且斜率不为零，故可设其方程为x＝my＋12.
由方程组 x＝my＋12，x24＋y23＝12消去x，并整理得4(3m2＋4)y2＋12my－45＝0.