2017年北京中考数学一模28题“几何综合题”

2017年北京中考数学一模28题“几何综合题”

西城28．在△ABC 中，AB =BC ，BD ⊥AC 于点D ．

（1）如图1，当∠ABC =90°时，若CE 平分∠ACB ，交AB 于点E ，交BD 于点F .

①求证：△BEF 是等腰三角形； ②求证：()BF BC BD +=

2

1

； （2）点E 在AB 边上，连接CE . 若()BF BC BD +=

2

1

，在图2.中补全图形，判断∠ACE 与∠ABC 之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解∠ACE 与∠ABC 关系的思路

图1 图2

朝阳28.在△ABC 中，∠ACB =90°，AC ＜BC ，点D 在AC 的延长线上，点E 在BC 边上，且BE =AD ， (1) 如图1，连接AE ，DE ，当∠AEB =110°时，求∠DAE 的度数；

(2) 在图2中，点D 是AC 延长线上的一个动点，点E 在BC 边上（不与点C 重合），且BE =AD ，连接AE ，

DE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°得到线段EF ，连接BF ,DE . ①依题意补全图形； ②求证：BF =DE .

F

E

B

D

A

C D A C

B

图1

图2

东城28. 在等腰△ABC中，

（1）如图1，若△ABC为等边三角形，D为线段BC中点，线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE，连接DE，则∠BDE的度数为___________；

（2）若△ABC为等边三角形，点D为线段BC上一动点（不与B，C重合），连接AD并将线段AD绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，连接BE.

①根据题意在图2中补全图形；

②小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D运动的过程中，恒有CD=BE.经过与同学们的充分讨论，

形成了几种证明的思路：

思路1：要证明CD=BE，只需要连接AE，并证明△ADC≌△AEB；

思路2：要证明CD=BE，只需要过点D作DF∥AB，交AC于F，证明△ADF≌△DEB；

思路3：要证明CD=BE，只需要延长CB至点G，使得BG=CD，证明△ADC≌△DEG；

……

请参考以上思路，帮助小玉证明CD=BE.（只需要用一种方法证明即可）

（3）小玉的发现启发了小明：如图3，若AB=AC=kBC，AD=kDE，且∠ADE=∠C，此时小明发现BE，BD，AC三者之间满足一定的的数量关系，这个数量关系是______________________.（直接给出结论无须证明）

图1 图2 图3

A

B

D

C

图1

图2

房山28. 在△ABC 中，AB=BC ，∠B=90°，点D 为直线BC 上一个动点（不与B 、C 重合），连结AD ，将线段AD 绕点D 按顺时针方向旋转90°，使点A 旋转到点E ，连结EC . （1）如果点D 在线段BC 上运动，如图1： ①依题意补全图1； ②求证：∠BAD=∠EDC

③通过观察、实验，小明得出结论：在点D

运动的过程中，总有∠DCE=135°.小明与同学讨论后，形成了证明这个结论的几种想法：

想法一：在AB 上取一点F ，使得BF=BD ，要证∠DCE =135°，只需证△ADF ≌△DEC . 想法二：以点D 为圆心，DC 为半径画弧交AC 于点F. 要证∠DCE=135°，只需证

△AFD ≌△ECD .

想法三：过点E 作BC 所在直线的垂线段EF ，要证∠DCE=135°，只需证EF=CF . ……

请你参考上面的想法，证明∠DCE=135°.

（2）如果点D 在线段CB 的延长线上运动，利用图2画图分析，∠DCE 的度数还是确定的值吗？如果是，直接写出∠DCE 的度数；如果不是，说明你的理由.

顺义28．在正方形ABCD 和正方形DEFG 中，顶点B 、D 、F 在同一直线上，H 是BF 的中点．

（1）如图1，若AB =1，DG =2，求BH 的长； （2）如图2，连接AH ，GH ．

图2

图1

B

B

小宇观察图2，提出猜想：AH =GH ，AH ⊥GH ．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：延长AH 交EF 于点M ，连接AG ，GM ，要证明结论成立只需证△GAM 是等腰直角三角形； 想法2：连接AC ，GE 分别交BF 于点M ，N ，要证明结论成立只需证△AMH ≌△HNG . ……

请你参考上面的想法，帮助小宇证明AH =GH ，AH ⊥GH ．（一种方法即可）

平谷28．在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，射线DE 绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F．

（1）依题意将图1补全；

（2）小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE=DF．小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE=DF；

想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED 与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE=DF；

想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的角平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC 的高，利用全等三角形，可证DE=DF…….

请你参考上面的想法，帮助小华证明DE=DF（选一种方法即可）；

（3）在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系．

图1 备用图