考研数学(数学二)模拟试卷418(题后含答案及解析)_0
考研数学（数学二）模拟试卷418 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设函数f(χ)在χ＝a处可导，则( )
A．3a2f′(a)＋2f(a)
B．
C．3a2f′(a)－f(a)
D．
正确答案：D
解析：
2． 设f(χ)在χ＝0处连续，且＝1，则( )
A．f(0)是f(χ)的极大值
B．f(0)是f(χ)的极小值
C．(0，f(0))是曲线y＝f(χ)的拐点
D．f(0)不是f(χ)的极值，(0，f(0))也不是曲线y＝f(χ)的拐点
正确答案：C
解析： 即(0，f(0))为拐点．
3． 设f(χ，y)＝．则f(χ，y)在点(0，0)处( )
A．不存在
B．连续
C．可微
D．不连续
正确答案：C
解析：f′χ(0，0)＝＝0， 同理f′y(0，0)＝0， 故偏导不连续． 显然有(χ，y)＝0＝f(O，0)，所以f(χ，y)在(0，0)连续． 故A，B，D皆排除了。 知f(χ，y)在(0，0)点可微．
4． 积分I＝dχ的值( )
A．小于0
B．大于0
C．等于0
D．发散
正确答案：A
解析：这是无界函数的反常积分． 仅A入选．
5． 用定积分表示曲线(χ2＋y2)2＝χ2－y2所围成的平面区域的面积A为( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：令χ＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入(χ2＋y2)2＝χ2－y2可得ρ2＝cos2θ，再根据对称性，只需计算第一象限部分，即 0＜θ＜cos2θdθ 从而A＝2cos2θdθ
6． y〞－2y′＝χe2χ的特解形式为( )
A．y*＝(aχ＋b)e2χ
B．y*＝aχe2χ
C．y*＝aχ2e2χ
D．y*＝(aχ2＋bχ)e2χ
正确答案：D
解析：λ*－2λ＝00，2． 从而y*＝(aχ＋b)χe2χ．
7． 设A，B是n阶可逆矩阵，满足AB＝A＋
B．则下面命题中正确的个数是( ) ①｜A＋B｜＝｜A｜｜B｜
②(AB)-1＝B-1A-1 ③(A－E)χ＝0只有零解 ④B－E不可逆
A．1
B．2
C．3
D．4
正确答案：C
解析：A，B可逆，A＋B＝AB①｜A＋B｜＝｜AB｜＝｜A｜｜B｜；②(AB)-1＝B-1A-1； ③A＋B＝ABA＝AB－B＝(A－E)BA－E可逆(A－E)χ＝只有零解； ④A＋B＝ABB＝AB－A＝A(B－E)B－E可逆．
8． 设A＝，B是三阶非零矩阵，且AB＝0，则( )
A．当k＝1时，r(B)＝1
B．当k＝－3时，r(B)＝1
C．当k＝1时，r(B)＝2
D．当k＝－2时，r(B)＝2
正确答案：B
解析：A＝，AB＝0r(A)＋r(B)≤3；B≠0r(B)＞0， 从而r(A)＜3｜A｜＝0k＝1或k＝－3． 当k＝1时，r(A)＝1，r(B)≤2；当k＝－3时，r(A)＝2，
r(B)＝1． 从而选
B．
填空题
9． 函数y＝y(χ)由微分方程χ2y′＋y＋χ2＝0及y(1)＝0确定，则曲线y＝y(χ)的斜渐近线方程为_______．
正确答案：y＝－χ．
解析：解微分方程可得y＝(1－χ) 从而斜渐近线为y＝－χ．
10． 已知f(χ)＝，则I＝dχ＝_______．
正确答案：arctan－2π．
解析：
11． 设函数f(χ，y)在点(0，0)处可微，且f′χ(0，0)＝1，f′y(0，0)＝－1，则极限＝_______．
正确答案：1．
解析： 由极限四则运算得，原极限为1．
12． 方程2χ＝χ2＋1有且仅有_______个根．
正确答案：3．
解析：令F(χ)＝2χ－χ2－1，F(0)＝0，F(1)＝0 F(2)＝－1＜0，F(5)＞0． F(χ)＝0至少有三个根， F′(χ)＝2χln2－2χ， F〞(χ)＝2χIn22－2， F″′(χ)＝2χIn32≠0， 由罗尔定理推论逆否命题知F(χ)＝0最多有三个根． 综上所述，F(χ)＝0有且仅有三个根．
13． 已知三阶矩阵A＝，记它的伴随矩阵为A*，则三阶行列式＝_______．
正确答案：－58．
解析：
14． 设y＝y(χ)由确定则y＝y(χ)在任意点处的曲率ρ＝_______．
正确答案：
解析：
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15． 设f(χ)三阶可导，且f″′(a)≠0， f(χ)＝f(a)＋f′(a)(χ－a)＋(χ－a)2 (0＜θ＜1)， 求．
正确答案： 又f″′(a)≠0，所以
16． 设函数f(χ)连续，＝a(a为常数)，又F(χ)＝∫0χf(χy)dy，求F′(χ)并讨论F′(χ)的连续性．
正确答案： 当χ≠0时，F′(χ)＝ 当χ＝0时， 易知χ＝0是F′(χ)的分段点，先讨论F′(χ)在χ＝0的连续性，由于 所以F′(χ)在χ＝0处连续． 当χ≠0时，因为f(χ)连续，所以变上限积分∫0χf(t)dt也是连续的，于是F′(χ)是连续的． 综上：F′(χ)在(－∞，＋∞)上是连续的．
17． 设函数f(χ)＝πlnχ－χsinnχdχ,其中n为正整数，试讨论方程f(χ)＝0根的个数．
正确答案：设a＝sinnχdχ，由奇偶函数的定积分性质得 当n为奇数时，a＝0，f(χ)＝πlnχ，方程f(χ)＝0即lnχ＝0，此时方程f(χ)＝0有唯一实根；
当n为偶数时，a＝，此时f(χ)＝πlnχ－aχ． 由于f′(χ)＝－a，所以 且＝－∞，所以f(χ)在点χ＝处取最大值． fmax＝π[πln－1]， 当n＝2，4时， fmax＝π[πln－1]＜0 方程f(χ)＝0没有实根． 当n＝6，8，…时， fmax＝π[πln－1]＞0 方程f(χ)＝0有两个根．
18． 设f(χ)是区间[0，＋∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)＝1，对任意的t∈[0，＋∞)，直线χ＝0，χ＝t，曲线y＝f(χ)以及χ轴围成的曲边梯形绕χ轴旋转一周形成一旋转体．若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的两倍，求函数f(χ)的表达式．
正确答案：旋转体体积 V(t)＝π∫0ty2dχ， 旋转体的的侧面积
S(t)＝∫0t2πf(χ)dχ． 由题设得 2π∫0tydχ＝2π∫0ty2dχ， 两边求导得 y＝y2， 所以＝y，从而1＋(y′)2＝y2． 由于f(χ)是区间[0，＋∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)＝1，所以 y′＝ 因此方程的通解为y＋＝Ceχ，又f(0)＝1，可得C＝1，所以所求函数表达式为 f(χ)＝
19． 设二元函数u＝u(χ，y)有二阶连续偏导数，并满足方程＝0，且u(χ，2χ)＝χ，u′χ(χ，2χ)＝χ2，求u〞χχ(χ，2χ)，u〞χy(χ，2χ)，u〞yy(χ，2χ)．
正确答案：u(χ，2χ)＝χ两边对χ求导，得 u′χ(χ，2χ)＋u′y(χ，2χ)×2＝1， (1) 又u′χ(χ，2χ)＝χ2， (2) 代人(1)式得
u′y(χ，2χ)＝(1－χ2)． (3) (2)式两端对χ求导，得 u〞χχ(χ，2χ)＋u〞χy(χ，2χ)×2＝2χ， (4) (3)式两端对χ求导得 u′yχ(χ，2χ)＋u′yy(χ，2χ)×2＝－χ (5) 又＝0， (6) 由(4)、(5)、(6)式可得 u〞χχ(χ，2χ)＝u〞yy(χ，2χ)＝
20． 设有微分方程y′＋P(χ)y ＝χ2，其中p(χ)＝，求在(－∞，＋∞)内的连续函数y＝f(χ)，使其满足所给的微分方程，且满足条件y(0)＝2．
正确答案：当χ≤1时，微分方程为y′＋y＝χ2，这是一阶线性微分方程，该方程的通解为 y＝＝e-χ[(χ2－2χ＋2)eχ＋c1]， 当χ＞1时，微分方程为y′＋y＝χ2，这是一阶线性微分方程，该方程的通解为 y＝ 由于方程的解在点χ＝1处连续，所以 从而c2＝＋c1e-1，所以原方程的通解为 由于∥(0)一2，所以C一0，所以满足条件的函数为
21． 求二元函数f(χ，y)＝e-χy在区域D＝{(χ，y)｜χ2＋4y2≤1}上的最大值和最小值．
正确答案：首先由于f′χ(χ，y)＝－ye-χyy，f′y(χ，y)＝－χe-χy，所以在D的内部f(χ，y)有唯一的驻点(0，0)，且f(0，0)＝11． 其次在D的边界χ2＋4y2＝1上，作Lagrange函数 L(χ，y，λ)＝e-χy＋λ(χ2＋4y2－1)， 比较函数值可得f(χ，y)在D上的最大值为 最小值为
22． 设A是n(n＞1)阶方阵，ξ1，ξ2，…，ξn是n维列向量，已知Aξ1＝ξ2，Aξ2＝ξ2…，Aξn-1＝ξn，Aξn＝0，且ξn≠0． (Ⅰ)证明ξ1，ξ2，…，n线性无关； (Ⅱ)求Aχ＝0的通解； (Ⅲ)求出A的全部特征值和特征向量，并证明A不可对角化．
正确答案：(Ⅰ)设k1ξ1＋k2ξ2＋…＋knξn＝0，依次在等式两边左乘A，A2，…，An-2，An-1，分别得 k1ξ2＋k2ξ3＋…＋kn-1ξn＝0， k1ξ3＋k2ξ4＋…＋kn-1ξn＝0， …… k1ξn-1＋k2ξn＝0 k1ξn＝0，
因为ξn≠0，故k1＝0，并依次回代得k2＝…αkn-1＝kn＝0，所以ξ1，ξ2，…，ξn线性无关． (Ⅱ)由题意知 又因为ξ1，ξ2，…，ξn线性无关，故r(A)＝n－1，所以Aχ＝0的基础解系中只有一个解向量，而Aξn＝0，ξn≠0，因此ξn为Aχ＝0的一个基础解系，所以Aχ＝0的通解为kξn，k为任意常数． (Ⅲ)记P＝(ξ1，ξ2，…，ξn)，则P可逆，且 由此可得A的特征值λ1＝λ2…λn＝0，其特征向量为kξn(k≠0)，从而A的属于特征值0的线性无关的特征向量仅有一个，故A不可对角化．
23． 设A为n阶方阵，证明：r(A＋E)＋r(A－E)＝n的充要条件是A2＝E．
正确答案：本题主要考查矩阵秩的性质、特征向量的求法及矩阵的相似对角化，是一道有难度的综合题． 先证充分性：由A2＝E，得(A＋E)(A－E)＝0，从而 r(A＋E)＋r(A－E)≤n， 又r(A＋E)＋r(A－E)＝r(A＋E)＋r(E－A)≥r(2E)＝n． 所以r(A＋E)＋r(A－E)＝n． 再证必要性：设r(A＋E)＝r，则齐次线性方程组(－E－A)χ＝0有n－r个线性无关的解，设为α1，…，αn-r，即α1，…，αn-r是矩阵A属于特征值－1的n－r个线性无关的特征向量． 由r(A＋E)＋(A—E)＝n，知r(A－E)＝n－r，则齐次线性方程组(E－A)χ＝0有r个线性无关的解，设为αn-r+1，…，αn，即αn-r+1，αn，…，αn是矩阵A属于特征值1的r个线性无关的特征向量． 设P＝(α1，αn-r，αn-r+1，…，
考研数学二(概率论与数理统计)模拟试卷4(题后含答案及解析)
考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷4 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设随机变量X与Y都服从正态分布，则( )
A．X与Y一定独立．
B．(X，Y)服从二维正态分布．
C．X与Y未必独立．
D．X+Y服从一维正态分布．
正确答案：C
解析：事实上，X与Y都服从正态分布，二者在已知条件下得不到它们之间的必然联系． (X，Y)服从二维正态分布的充分必要条件是aX+bY服从一维正态分布，其中x，b不同时为0．即使(X，Y)服从二维正态分布，X与Y也未必服从正态分布，因此选项(B)和(D)都不正确． 知识模块：概率论与数理统计
2． 边缘分布均为正态分布的二维随机变量其联合分布( )
A．必为二维正态分布．
B．必为均匀分布．
C．不一定为二维正态分布．
D．由两个边缘分布确定．
正确答案：C
解析：边缘分布可由联合概率分布确定，但联合概率分布需要在诸如独立等条件下才能由边缘分布确定，因此(D)不正确． 例如，如果(X，Y)的概率密度为f(x，y)=(1+sinxsiny)，一∞＜x，y＜+∞．其不服从二维正态分布，但X和Y都服从标准正态分布． 知识模块：概率论与数理统计
3． 设随机变量X，Y，Z相互独立，且X服从N(1，2)，Y服从N(2，2)，Z服从N(3，7)，a=P{X＜Y}，b=P{Y＜Z}，则( )
A．a＞b．
B．a＜b．
C．a=b．
D．a，b大小不能确定．
正确答案：A
解析：由于X服从N(1，2)，Y服从N(2，2)，且X与Y相互独立，从而X一Y服从N(一1，4)，同理Y-Z服从N(一1，9)．从而a＞b． 知识模块：概率论与数理统计
4． 设相互独立的随机变量X1和X2的分布函数分别为F1(x)和F2(x)，概
率密度分别为f1(x)和f2(x)，则随机变量Y=min(X1，X2)的概率密度f(x)=( )
考研数学(数学二)模拟试卷445(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷445 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设f(x)满足f″(x)+x[fˊ(x)]2=sin x，且fˊ(0)=0，则 ( )
A．f(0)是f(x)的极小值．
B．f(0)是f(x)的极大值．
C．曲线y=f(x)在点(0，f(0))左侧邻域是凹的，在右侧邻域是凸的．
D．曲线y= f(x))在点(0，f(0))左侧邻域是凸的，在右侧邻域是凹的．
正确答案：D
解析：由f″(x)+x[fˊ(x)]2=sinx，有f″(0)=0，再求导．得f”‘(x)+ [fˊ(x) 2+2xfˊ(x)f″(0)=cosx，f”‘(0)=1．所以 由极限的局部保号性知．存在x=0的去心邻域且x>0时，f″(x)>0，故应选
D．
2． 下列命题：①设均存在，则f(x)在x=x0处必连续；②设fˊ－( x0)与fˊ+( x0)均存在，则f(x)在x=x0处必连续；③设f(x0－)与f(x0+)均存在，则f(x)在x=x0处必连续；④设中至少有一个不存在，则f(x)在x=x0处必不可导．正确的个数是 ( )
A．1．
B．2．
C．3．
D．4．
正确答案：A
解析：f″(x0)存在，即f(x)在x=x0处左导数存在，推知f(x)在x=x0处左连续；fˊ(x0)存在，推知f(x)在x=x0处右连续．故f(x)在x=x0处连续，②正确．①与③都不正确．因为这两种情形．f (x0)可能没有定义．④也不正确．反例：但f″(0) 却存在．
3． 设区域，其中常数a>b>0．D1是D在第一象限的部分，f(x，y)在D上连续，等式恒成立的充分条件是 ( )
A．f(－x，－y)=f(x，y)．
B．f(－x，－y)=－f(x，y)．
C．f(－x， y)=f(x，－y)=－f(x，y)．
考研数学二(二次型)模拟试卷10(题后含答案及解析)
考研数学二（二次型）模拟试卷10 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，已知r(A)=2，并且A满足A2－2A=0．则下列各标准二次型(1)2y12+2y22． (2)2y12． (3)2y12+2y32． (4)2y22+2y32．中可用正交变换化为f的是( )．
A．(1)．
B．(3)，(4)．
C．(1)，(3)，(4)．
D．(2)．
正确答案：C
解析：两个二次型可以用正交变换互相转化的充要条件是它们的矩阵相似，也就是特征值一样．从条件可知，A的特征值0，2，2．(1)，(3)，(4)这3个标准二次型的矩阵的特征值都是0，2，2．(2)中标准二次型的矩阵的特征值是0，0，2． 知识模块：二次型
2． A=，则( )中矩阵在实数域上与A合同．
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：用特征值看：两个实对称矩阵合同<=>它们的特征值正负性相同．｜A｜=－3，对于2阶实对称矩阵，行列式小于0即两个特征值一正一负，于是只要看哪个矩阵行列式是负数就和A合同．计算得到只有D中的矩阵的行列式是负数． 知识模块：二次型
3． 矩阵A=合同于
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：由矩阵A的特征多项式知矩阵A的特征值为1，3，－2．即二次型正惯性指数p=2，负惯性指数q=1．故应选
B． 知识模块：二次型
4． 设A，B均为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充要条件是
A．A，B有相同的特征值．
B．A，B有相同的秩．
C．A，B有相同的行列式．
D．A，B有相同的正负惯性指数．
正确答案：D
解析：A是充分条件．特征值一样=>有相同的正、负惯性指数=>合同．但不是必要条件．例如，特征值不同，但A
B．B是必要条件．由CTAC=B，C可逆=>r(A)=r(B)，但不是充分条件．例如，虽r(A)=r(B)，但正负惯性指数不同．故A与B不合同．C既不必要也不充分．例如，行列式不同但合同，又如，虽行列式相同但不合同．故应选
2009考研数学(二)真题及参考答案
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2009年研究生入学统一考试
数学二试题与解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）函数3sinxxfxnx的可去间断点的个数为（ ）
A1. B2. C3. D无穷多个.
（2）当0x时，sinfxxax与2ln1gxxbx是等价无穷小，则（ ）
A11,6ab. B11,6ab. C11,6ab. D11,6ab
（3）设函数,zfxy的全微分为dzxdxydy，则点0,0（ ）
A不是,fxy的连续点. B不是,fxy的极值点.
C是,fxy的极大值点. D是,fxy的极小值点.
（4）设函数,fxy连续，则222411,,yxydxfxydydyfxydx（ ）
A2411,xdxfxydy. B241,xxdxfxydy.
C2411,ydyfxydx. D.221,ydyfxydx
（5）若fx不变号，且曲线yfx在点1,1上的曲率圆为222xy，则fx在区间1,2内（ ）
A有极值点，无零点. B无极值点，有零点.
C有极值点，有零点. D无极值点，无零点.
（6）设函数yfx在区间1,3上的图形为
1 ()fx-2 0 2 3 x-1 O 狮子1213 免费为大家分享
则函数0xFxftdt的图形为（ ）
A. B.
C. D.
（7）设A，B均为2阶矩阵，**AB，分别为A，B的伴随矩阵.若23AB，，则分块矩阵OABO的伴随矩阵为（ ）
考研数学二(重积分)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学二（重积分）模拟试卷1 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设f(x，y)连续，且，其中D是由y＝0，y＝x2，x＝1所围区域，则f(x，y)等于
A．xy．
B．2xy．
C．．
D．xy＋1．
正确答案：C 涉及知识点：重积分
2． 设f(x)为连续函数，出，则F’(2)等于
A．2f(2)．
B．f(2)．
C．－f(2)．
D．0
正确答案：B 涉及知识点：重积分
3． 设，其中D＝{(x，y)｜x2＋y2≤1)，则
A．I3＞I2＞I1．
B．I1＞I2＞I3．
C．I2＞I1＞I3．
D．I3＞I1＞I2
正确答案：A 涉及知识点：重积分
4． 设D是xOy平面以上(1，1)，(－1，1)和(－1，－1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则等于
A．．
B．．
C．．
D．0
正确答案：A 涉及知识点：重积分
5． 累次积分可以写成
A．．
B．．
C．．
D．．
正确答案：D 涉及知识点：重积分
填空题
6． 积分的值等于_______．
正确答案： 涉及知识点：重积分
7． 交换积分次序＝_______。
正确答案： 涉及知识点：重积分
8． 交换二次积分的积分次序＝_______。
正确答案： 涉及知识点：重积分
9． 设区域D为x2＋y2≤R2，则＝_______。
正确答案： 涉及知识点：重积分
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
10． 求二重积，其中D是x2＋y2＝1，x＝0和y＝0。所围成的区域在第一象限部分．
正确答案： 涉及知识点：重积分
考研数学二(解答题)模拟试卷46(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷46 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 求
正确答案： 涉及知识点：高等数学
2． (其中ai＞0(i＝1，2，…，n))
正确答案： 所以原式＝a1a2…an． 涉及知识点：函数、极限、连续
3． 讨论方程axex+b=0(a＞0)实根的情况．
正确答案：令f(x)=axex+b，因为=+∞，求函数f(x)=axex+b的极值，并讨论极值的符号及参数b的值． f’(x)=aex+axex=aex(1+x)，驻点为x=一1，
f”(x)=2aex+axex—aex(2+x)，f”(一1)＞0，所以，x=一1是函数的极小值点，极小值为f(一1)=b一． ①当b＞(＞0)时，函数f(x)无零点，即方程无实根； ②当b=(＞0)时，函数f(x)有一个零点，即方程有一个实根； ③当0＜b＜时，函数f(x)有两个不同的零点，即方程有两个不同的实根； ④当b≤0时，函数f(x)有一个零点，即方程有一个实根． 涉及知识点：一元函数微分学
4． 设f(χ)＝χsinχ－∫0χ(χ－t)f(t)dt，其中f(χ)连续，求f(χ)．
正确答案：将原方程改写为 f(χ)＝χsinχ－χ∫0χf(t)dt＋∫0χtf(t)dt． 因为f(χ)连续，所以方程的右端是可微的，因而左端的函数f(χ)也可微．两端对χ求导，又原式中令χ＝0，则原方程等价于 f′(χ)＝χcosχ＋sinχ－∫0χf(t)dt，f(0)＝0． (6．7) 同理，方程右端仍可微，所以f(χ)存在二阶导数，再将(6．7)中的方程两边求导，并令χ＝0，则得(6．7)等价于 f〞(χ)＝－χsinχ＋2cosχ－f(χ)，f′(0)＝0，f(0)＝0． 即y＝f(χ)满足微分方程的初值问题 y〞＋y＝－χsinχ＋2cosχ，y(0)＝0，y′(0)＝0． (6．8) 由于此方程的特征根为±i，所以其特解应具形式y〞(χ)＝χ(Aχ＋B)cosχ＋χ(Cχ＋D)sinχ．代入方程，求出系数A，B，C，D，则得其特解y*(χ)＝χsinχ，进而方程的通解为 y＝f(χ)＝χsinχ＋C1cosχ＋C2sinχ (6．9) 由f(0)＝0可知C1＝0，而由f′(0)＝0又可推出C2＝0，所以f(χ)＝． 涉及知识点：常微分方程
考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编20(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编20 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 函数y=C1ex+C2e一2x+xex满足的一个微分方程是
A．y”一y’一2y=3xex．
B．y”一y’一 2y=3ex．
C．y”+y’一2y=3xex．
D．y”+y’一 2y=3ex．
正确答案：D
解析：由y=C1ex+C2e一2x+xex知，齐次方程的两个特征根分别为1和一2，所以只有(C)和(D)可能是正确的选项，将y=xex代入(D)中方程知其满足该方程，则应选(D)．
2． 在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是
A．y”‘+y”一4y’一4y=0．
B．y”‘+y”+4y’+4y=0．
C．y”‘一y”一4y’+4y=0．
D．y”‘一y”+4y’一4y=0．
正确答案：D
解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1=1，ρ2，3=±2i则其特征方程为 (p一1)(ρ2+4)=0，故所求方程应为 y”‘一 y”+4y’一4y=0故应选(D)．
3． 设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=g(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：由于λy1+μy2为方程y’+p(x)y=q(x)的解，则(λy1+py2)’+p(x) (λy1+μy2)=q(x)即 λ(y1+p(x)y1)+μ(y2’+p(x)y2)=q(x)λq(x)+μp(x)=q(x)λ+μ=1由于λy1一μy2为方程y’+p(x)y=0的解，则(λy1一μy2)’+p(x) (λy1一μy2)=0
λ(y1’+p(x)y1)一μ(y2’+p(x)y2)=0λq(x)一μq(x)=0λ一μ=0由(1)式和(2)式解得λ=μ=．
考研数学二(线性代数)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编1 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 记行列式为f(x)，则方程f(x)=0的根的个数为
A．1
B．2
C．3
D．4
正确答案：B
解析：计算该行列式可以有多种方法．例如，为了便于降阶，先把第1列的(一1)倍分别加到第2、3、4列，得故方程f(x)=0的根为x=0和x=1，于是知(B)正确．
2． 行列式
A．(ad一bc)2
B．一(ad 一bc)2
C．a2d2一b2c2
D．b2c2一a2d2
正确答案：B
解析：按第1列展开，得所求行列式D等于=一ad (ad 一bc)+bc(ad 一bc)=一(ad 一 bc)2.
3． 设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是A的伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*=
A．kA*
B．kn一1A*
C．k一1A*
D．k一1A*
正确答案：B
解析：由于n阶行列式的每个元素的余子式都是一个n一1阶行列式，故|kA|的每个元素的代数余子式等于|A|的对应元素的代数余子式的kn一1倍，于是由伴随矩阵的定义知(kA)*的每个元素等于A*的对应元素的kn一1倍，即(kA)*=kn一1A*．
4． 设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：记交换单位矩阵的第1列与第2列所得初等矩阵为E(1，2)，记将单位矩阵第2列的k倍加到第3列所得初等矩阵为E(3，2(k))，则由题设条件，有AE(1，2)=B，BE(3，2(1))=C，故有 AE(1，2)E(3，2(1))=C于是得所求逆矩阵为Q=E(1，2)E(3，2(1))=所以只有选项(D)正确．
5． 设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则
考研数学二(一元函数微分学)模拟试卷50(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷50 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设f(χ)可导，则当△χ→0时，△y－dy是△χ的( )．
A．高阶无穷小
B．等价无穷小
C．同阶无穷小
D．低阶无穷小
正确答案：A
解析：因为f(χ)可导，所以f(χ)可微分，即△y＝dy＋o(△χ)，所以△y－dy是△χ的高阶无穷小，选A． 知识模块：一元函数微分学
2． 设函数f(χ)＝则在点χ＝0处f(χ)( )．
A．不连续
B．连续但不可导
C．可导但导数不连续
D．导数连续
正确答案：D
解析：因为f(χ)＝0，f(χ)＝f(0)＝0，所以f(χ)在χ＝0处连续； 由 得f(χ)在χ＝0处可导，且f′(0)＝0； 当χ＞0时，f′(χ)＝3χ2sin－χcos；当χ＜0时，f′(χ)＝2χ， 因为＝f′(0)，所以f(χ)在χ＝0处导数连续，选
D． 知识模块：一元函数微分学
3． 设f(χ)＝则在χ＝1处f(χ)( )．
A．不连续
B．连续但不可导
C．可导但不是连续可导
D．连续可导
正确答案：D
解析：因为(χ2＋χ＋1)＝3＝f(1)，所以f(χ)在χ＝1处连续． 因为＝3，所以f(χ)在χ＝1处可导． 当χ≠1时，f′(χ)＝2χ＋1，因为f′(χ)＝3＝f′(1)，所以f(χ)在χ＝1处连续可导，选
D． 知识模块：一元函数微分学
4． 若f(－χ)＝－f(χ)，且在(0，＋∞)内f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0，则在(－∞，0)内( )．
A．f′(χ)＜0，f〞(χ)＜0
B．f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0
C．f′(χ)＞0，f〞(χ)＜0
D．f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0
正确答案：C
解析：因为f(χ)为奇函数，所以f′(χ)为偶函数，故在(－∞，0)内有f′(χ)＞0．因为f〞(χ)为奇函数，所以在(－∞，0)内f〞(χ)＜0，选
考研数学(数学二)模拟试卷470(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷470 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设f(x)连续，且,则（ ）。
A．x=0为极大值点
B．x=0为极小值点
C．(0，f(0))为拐点
D．x=0不是极值点，(0，f(0))也不是拐点
正确答案：B
解析：因为f(x)连续，所以f(0)=0,再由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，f(x)＞0=f(0），即x=0为f(x)的极小值点，应选B.
2． xex+1=1/2,的根的个数为( )．
A．没有根
B．恰有一个根
C．恰有两个根
D．有三个根
正确答案：B
解析：令f(x)=xex+1-1/2,由f’(x)=(x+1)ex+1=0得x=-1,f”(x)=(x+2)ex+1,由f”(-1)=1＞0得x=-1为最小值点，最小值为m=f(-1)=-3/2＜0,由-1/2=-1/2＜0,=+∞得方程xex+1=1/2有且仅有一个根，选B.
3． 设函数f(x)是连续且单调增加的奇函数,φ(x)=(2μ-x)f(x-μ)dμ,则φ（x)是（ ）.
A．单调增加的奇函数
B．单调减少的奇函数
C．单调增加的偶函数
D．单调减少的偶函数
正确答案：B
解析：所以φ（x)为奇函数；所以φ（x)为单调减少的奇函数，选B.
4． 设函数f(x)具有一阶导数，下述结论中正确的是( )．
A．若f(x)只有一个零点，则f’(x)必至少有两个零点
B．若f’(x)至少有一个零点，则f(x)必至少有两个零点
C．若f(x)没有零点，则f’(x)至少有一个零点
D．若f’(x)没有零点，则f(x)至多有一个零点
正确答案：D
解析：若f(x)至少有两个零点，根据罗尔定理，f’(x）至少有一个零点，故若f’(x）没有零点，则f（x)至多一个零点，选D.