高等数学定积分可积条件
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定积分的概念和可积条件
的直径。对每一个这样的划分 作如下黎曼和：
n
S() f ( i )xi，i [xi1, xi ], i 1
如果当 0 时极限 lim S() 存在，且与划分 的具 0
体选取无关，也与 i 的选取无关，则称函数 f (x) 在 [a,b]
上是黎曼可积的，并称上述极限为 f (x) 在 [a,b] 上的定积分，
T2
t tn1
n
n
(3) 作和： S si v( i )ti
i 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi 1
n
S (4) 取极限：记
t
max {
1in
ti
},
lim
t 0
i 1
v( i
)ti
二、定积分的定义
设 f (x) 是定义在 [a,b] 上的有界函数，在 [a,b] 上任意取分 点a x0 x1 xn b，我们称之为区间 [a,b] 的一个划分， 记作 ，同时记 xi xi xi1，x m1iaxn {xi}，称之为划分
S( ') S(), S( ') S().
证明： 不是一般性，设 ' 就比 多一个分点 x '，且
不妨设 x ' (xk1, xk ) ，则
n
k 1
n
S() Mixi Mixi Mk xk Mixi
i 1
i 1
ik 1
k 1
S( ') Mixi (x ' xk1) sup f (x)
记作：
b
f (x)dx
，
即
a
b
n
a
f (x)dx
lim S()
0
lim
0 i1
n
S() f ( i )xi，i [xi1, xi ], i 1
如果当 0 时极限 lim S() 存在，且与划分 的具 0
体选取无关，也与 i 的选取无关，则称函数 f (x) 在 [a,b]
上是黎曼可积的，并称上述极限为 f (x) 在 [a,b] 上的定积分，
T2
t tn1
n
n
(3) 作和： S si v( i )ti
i 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi 1
n
S (4) 取极限：记
t
max {
1in
ti
},
lim
t 0
i 1
v( i
)ti
二、定积分的定义
设 f (x) 是定义在 [a,b] 上的有界函数，在 [a,b] 上任意取分 点a x0 x1 xn b，我们称之为区间 [a,b] 的一个划分， 记作 ，同时记 xi xi xi1，x m1iaxn {xi}，称之为划分
S( ') S(), S( ') S().
证明： 不是一般性，设 ' 就比 多一个分点 x '，且
不妨设 x ' (xk1, xk ) ，则
n
k 1
n
S() Mixi Mixi Mk xk Mixi
i 1
i 1
ik 1
k 1
S( ') Mixi (x ' xk1) sup f (x)
记作：
b
f (x)dx
，
即
a
b
n
a
f (x)dx
lim S()
0
lim
0 i1
定积分存在的条件
10
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
Mi Mi1 x'j xi1
Mi Mi2
xi
x
' j
M
m
x
' j
xi 1
xi
x
' j
M m xi xi1 M m p 1
M
m
p
1
2
p
1
M
m
2
另一方面，由定理1有
*
'
S L S L
2
于是将上面的两个不等式相加，得
'
S
L，S '
L
,及
0 S'－L
2
2
固定了p及 xi' 以后, 可取 (分法固定)
2020年4月8日星期三
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
7
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
min x1'
x0' ,
x2'
x1' , L
,
x'p
x
' p1
,
2 p 1 M m
（分法T 对应的小区间中最小的小区间长度）
证明: 设对于a，b有两个独立的分法，
对应的达布和分别记为 s1，s1及s2，s2， 我们来证明 s1 s2. 把两种分法的分点合并在一起，也是一种分法，
对应的达布和分别记为S3 , 及S3，于是由定理1知
S1 S3, S3 S2 . 而S3 S3 , 所以S1 S2.
(证毕)
2020年4月8日星期三
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
5
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
第17讲 可积的充要条件
b
证 (必要性) 设 f 在 [a,b] 上可积,且J
∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 || T ||< δ 时, 有
= ∫a
f (x)dx.
∑n
f (ξi )Δxi − J
i =1
<ε ,
2
即
∑ J
−ε
2
<
n i =1
f (ξi )Δxi
<J
+ε .
2
由性质1,得
J
−
ε 2
≤
s(T
)
≤
S (T
)
上的分割 T ,
使
ω
ϕ k′
≥
δ
的所有小区间
Δ
k′
的总长
∑ ∆ tk′ < ε , 而在其余∆ k′′上的ωkϕ′′ < δ .
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
*§6 可积性理论补叙
上和与下和的性质
设 = F (t) f (ϕ(t)) , t ∈[α , β ].
可积的充要条件
由以上可知：T 中小区间∆ k′′上，ωkF′′ < η, 至多在所 有∆ k′上ωkF′ ≥ η, 而这些小区间总长至多 为
∑ 使 S(T ) − s(T ) < ε , 即 ωiΔxi < ε . i =1
几何意义 由上和与下和的几何意 义知道，上述充
要条件的几何意义为： y 图中包围曲线 y = f ( x)的 一系列小矩形面积之和
∑ωi Δ xi < ε
T
y = f (x)
可以达到任意小,只要对
Oa
bx
[a, b] 的分割 T足够地细.
函数可积性
2020/1/13 s(T1 ) s(T2 ) 同法可证 S(T2 ) S(T114)
s(T2 ) s(T1 ) [mk ( x xk1 ) mk( xk x)] mk ( xk xk1 )
[Mk ( x xk1 ) Mk ( xk x)]
记作:
积分上限
b
n
a
f ( x)dx
lim
0 k 1
f (k ) xk
积分下限
定积分是 :
[a, b] 称为积分区间
积分和式的极限
2020/1/13
4
b
[例如] 曲边梯形的面积 A f ( x)dx a b 变速直线运动的路程 s v(t)dt a 定积分的“ ”定义：
1 D( x) 0
x为 有 理 数 x为 无 理 数
在[0, 1]上 不 可 积
[证]
任给[0,
1]的一个划
分xk
n k0
任 取k [ xk1 , xk ]是 有 理 数 (k 1,, n)
n
n
n
D(k )xk
k 1
xk
k 1
1
lim
0
作业
P44习题2.1: 2. 4. 8. P54习题2.2: 8. 9.
复习：P37—53 预习：P54—60
2020/1/13
1
第五讲 函数可积性
一、定积分的概念 二、可积性条件与可积类
2020/1/13
2
一、定积分的概念
黎曼积分定义：
设 函 数 f : [a, b] R, 对 区 间[a, b]
2020/1/13
s(T2 ) s(T1 ) [mk ( x xk1 ) mk( xk x)] mk ( xk xk1 )
[Mk ( x xk1 ) Mk ( xk x)]
记作:
积分上限
b
n
a
f ( x)dx
lim
0 k 1
f (k ) xk
积分下限
定积分是 :
[a, b] 称为积分区间
积分和式的极限
2020/1/13
4
b
[例如] 曲边梯形的面积 A f ( x)dx a b 变速直线运动的路程 s v(t)dt a 定积分的“ ”定义：
1 D( x) 0
x为 有 理 数 x为 无 理 数
在[0, 1]上 不 可 积
[证]
任给[0,
1]的一个划
分xk
n k0
任 取k [ xk1 , xk ]是 有 理 数 (k 1,, n)
n
n
n
D(k )xk
k 1
xk
k 1
1
lim
0
作业
P44习题2.1: 2. 4. 8. P54习题2.2: 8. 9.
复习：P37—53 预习：P54—60
2020/1/13
1
第五讲 函数可积性
一、定积分的概念 二、可积性条件与可积类
2020/1/13
2
一、定积分的概念
黎曼积分定义：
设 函 数 f : [a, b] R, 对 区 间[a, b]
2020/1/13
定积分是高等数学中占有重要地位的
1
b a
g(x)dx
b
f (x)g(x)dx = f (ε)
a
但若
1
b a
g(x)dx
b
f (x)g(x)dx = Mf
a
则
b
(Mf − f (x))g(x)dx = 0
a
由 (Mf − f (x))g(x) 0 导出 (Mf − f (x))g(x) = 0
从而由
b a
g(x)dx
=
0，存在
ε
∈
(a,
−
h
x0 a
f (t)dt
−
f (x0)|
=|
x0 +h x0
f
(t)dt
−
h
x0 x0
+h
f
(x0
)dt
|
1 h
x0 +h
|f (t) − f (x0)|dt
x0
因为 f(x) 在 x0 连续，从而对 ε > 0，存在 δ > 0，当 |t − x0| δ 时， |f (t) − f (x0)| < ε，从而当 0 < h < δ 时，
1 h
x0 +h
|f (t) − f (x0)|dt < ε
x0
从而
lim
h→+0
x0 +h a
f
(t)dt
−
h
x0 a
f (t)dt
=
f (x0)
同样方法：
lim
h→−0
x0 −h a
f
(t)dt
−
h
x0 a
f (t)dt
=
一、可积的必要条件
显然01对于的任一分割由有理数和无理数在实数中的稠密性在属于取法不同全取有理数或全取无理数积分和有不同极限不可积要判断一个函数是否可积由定义可直接考察积分和是否能无限接近某一常数但由于积分和的复杂性和那个常数不可预知因此这是极其困难的
三
可积条件
一、可积的必要条件 二、可积的充要条件
三、可积函数类
一、 可积的必要条件
a
f ( x)dx lim
||T || 0
M x
i 1 i
n
i
lim
||T || 0
m x
i 1 i i
n
b
a
f ( x)dx
其中： M i sup{ f ( x) : xi 1 x xi }
mi inf{ f ( x) : xi 1 x xi }
记
M i sup f x x xi 1 , xi mi
i 1 i
inf f x x x
n i 1
, x x x x
i i
i 1
作和式 S M i xi
S m i x i
i 1
n
分别称为对于这一分法的达布上和及达布下和， 统称达布和。
Riemann可积的第二充要条 件 其中：
M i sup{ f ( x) : xi 1 x xi } mi inf{ f ( x) : xi 1 x xi }
i M i mi
f(x)在[a,b]上Riemann可积
0, 分割T，使得 i xi
任给 i xi i 1, 2 , n 显然有
S (T ) f ( i )xi S (T )
三
可积条件
一、可积的必要条件 二、可积的充要条件
三、可积函数类
一、 可积的必要条件
a
f ( x)dx lim
||T || 0
M x
i 1 i
n
i
lim
||T || 0
m x
i 1 i i
n
b
a
f ( x)dx
其中： M i sup{ f ( x) : xi 1 x xi }
mi inf{ f ( x) : xi 1 x xi }
记
M i sup f x x xi 1 , xi mi
i 1 i
inf f x x x
n i 1
, x x x x
i i
i 1
作和式 S M i xi
S m i x i
i 1
n
分别称为对于这一分法的达布上和及达布下和， 统称达布和。
Riemann可积的第二充要条 件 其中：
M i sup{ f ( x) : xi 1 x xi } mi inf{ f ( x) : xi 1 x xi }
i M i mi
f(x)在[a,b]上Riemann可积
0, 分割T，使得 i xi
任给 i xi i 1, 2 , n 显然有
S (T ) f ( i )xi S (T )
定积分的可积性和计算
定积分的可积性和计算定积分是数学中的重要概念之一，它可以用于计算物理量、面积、体积等，并且也是微积分的重要部分。
在这篇文章中，我们将探讨定积分的可积性以及如何计算定积分。
一、定积分的可积性在计算定积分之前，我们需要知道一个重要的概念——可积性。
如果一个函数满足黎曼可积的条件，那么它就是可积的。
黎曼可积的定义是：如果函数 f(x) 在区间 [a,b] 上有定义，并且满足以下条件：1. 在区间 [a,b] 上有限个点 x0,x1,x2,...,xn，且 ai<=xi<=bi(i=0,1,2,...,n)；2. 在每个小区间 [xi-1,xi] 上，函数 f(x) 都是有界的；3. 左、右 Darboux 和相等，即：对区间 [a,b] 上的任意分割P，有：upper sum S(P,f)=Σ<sup>n</sup><sub>i=1</sub>(x<sup>*</sup><sub>i</sub>-x<sup>*</sup><sub>i-1</sub>)sup f(x)≥ lower sum L(P,f)=Σ<sup>n</sup><sub>i=1</sub>(x<sup>*</sup><sub>i</sub>-x<sup>*</sup><sub>i-1</sub>)inff(x)=I其中，x<sup>*</sup><sub>i</sub> 是小区间 [xi-1,xi] 上的任一点。
如果函数 f(x) 满足上述条件，那么它就是可积的。
反之，如果不满足上述条件，则函数不可积。
71定积分的概念与可积条件
x x a 轴 与 两 条 直 线 、
y
y f( x )
A ?
a b
x b 所 围 成 .
o
x
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
2 x x f ( ) x i i i i i xi ,
n
n
2
n
i 1
i 1
i 1
1 n 2 1n ( n 1 )( 2 n 1 ) i 1 3 i 3 n n i 1 n 6 i 1 n
n
2
1 1 1 1 , 2 6 n n
[ a , b ] 区 间 上 可 积 .
四、定积分的几何意义
f( x ) 0 , f( x ) 0 ,
f(x ) dx A 曲边梯形的面积 a
b
f(x ) dx A 曲边梯形的面积 a
的负值
b
A1
A2
A3
A4
f ( x ) dx A A A A 1 2 3 4 a
i 1 , 2 , , n [ q , q ] 典 型 小 区 间 为 ， （ ）
i 1 i
小 区 间 的 长 度 , x q q q ( q 1 ) i
i 1 , 2 , , n 取 ， （ ） q i
n 1 1 i1 q (q1 ) f (i )xi x i i 1 i 1 i 1 i i 1q
y
y f( x )
A ?
a b
x b 所 围 成 .
o
x
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
2 x x f ( ) x i i i i i xi ,
n
n
2
n
i 1
i 1
i 1
1 n 2 1n ( n 1 )( 2 n 1 ) i 1 3 i 3 n n i 1 n 6 i 1 n
n
2
1 1 1 1 , 2 6 n n
[ a , b ] 区 间 上 可 积 .
四、定积分的几何意义
f( x ) 0 , f( x ) 0 ,
f(x ) dx A 曲边梯形的面积 a
b
f(x ) dx A 曲边梯形的面积 a
的负值
b
A1
A2
A3
A4
f ( x ) dx A A A A 1 2 3 4 a
i 1 , 2 , , n [ q , q ] 典 型 小 区 间 为 ， （ ）
i 1 i
小 区 间 的 长 度 , x q q q ( q 1 ) i
i 1 , 2 , , n 取 ， （ ） q i
n 1 1 i1 q (q1 ) f (i )xi x i i 1 i 1 i 1 i i 1q
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[ xk 1 , xk ] 上无界. 令
G
ik
f ( i )Δ xi ,
故必存在 k xk 1 , xk , 满足
M G f ( k ) . xk
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于是
i 1
f ( i )Δ xi
ik
f ( k )Δ xk
f ( i )Δ xi
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又任取 i [ xi 1 , xi ]\ Q, i 1, 2,
, n, 则
D(i )Δxi 0.
i 1
n
于是
n
D( i )Δxi D(i )Δxi
i 1 i 1 n i 1
n
n
1, 而这与
D( i )Δxi D(i )Δxi
S (T ) s(T ) ( M i mi )Δxi i Δxi .
i 1 i 1
n
n
此定理将在本章第六节定理 9.15 中证明. 在用它 证明可积性问题时,有多种方法可使
i x i . i 1
n
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常见的有三种方法,下面分别作出介绍. 第一种方法: 每个 i
M G Δ xk G M , xk
矛盾. 以下例子告诉我们, 有界性并不是可积的充分条件.
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例 1 试用反证法证明:狄利克雷函数 D( x ) 在任何
区间 [a , b] 上不可积.
证 若 D(x) 在 [a, b] 上可积 , 则 J R, 0,
i 1
1 1 D( i )Δxi J D(i )Δxi J 1 2 2 i 1 i 1
n n
相矛盾, 所以 D( x ) 在 [a , b] 上不可积.
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定义2 设 f 在 [a , b] 上有界, 对任意分割 称 S (T ) M i Δxi 为 f 关于分割 T 的上和,其中
与 i [ xi 1 , xi ] ( i 1,2,
n i 1
, n ) 如何选取, 都有
1,
f ( i )Δxi J
于是
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f ( i )Δxi
i 1
n
J 1 M.
则必有 k , 使得 f ( x ) 在 倘若 f ( x ) 在 [a, b] 上无界，
n
ba
n i 1
，从而
i Δxi b a Δxi .
i 1
例如, 在 [a, b] 上一致连续的 f ,便属于这种情形.
定理9.4（连续必可积）
若 f 在 [a , b] 上 连续，则 f 在 [a , b] 上 可积. 证 f 在 [a , b] 上连续,从而 在 [a , b] 上 一致连续.于
§3 可积条件
判别一个函数 f (x) 在[a, b]上是否可积,就是判别
极限 lim
f ( i ) xi T 0
i 1
n
是否存在. 在实际应用中，
直接按定义来判定是困难的. 我们希望由函数本身 的性质（例如函数的有界性、连续性等）来判别
函数的可积性. 为此, 先给出可积准则,并以此证明
n
ba
i i
,
Δx ba
i 1
从而
Δx
i 1
n
i
.
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第二种方法: 若 i 有界, 即 M , 对任意分割,
i 1
n
i M , 则当 || T ||
i 1 n i 1
n
M
时,
n
i Δ xi || T || i M M .
称 i M i mi ( i 1, 2,
振幅.
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n;
n) 为 f 在 [ xi 1 , xi ] 上的
振幅反映了函数在区间内的变化范围,是一个与连
续性相关联的概念. 定理9.3（可积准则）函数 f 在[a, b]上可积的充要 条件是： 0, 分割 T , 使
i 1
例如, f 在 [a, b] 上单调时,有
i
i 1
n
f (b) f (a ) ,
从而可证 f 在 [a , b] 上可积.
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定理9.5（单调必可积）
若 f 是 [a , b] 上的单调函数,则 f 在 [a , b] 上可积.
证 不妨设 f 是非常值的增函数，则对任意分割
有界性是可积的必要条件而非充分条件, 连续性是
可积的充分条件而非必要条件.
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定理9.1 (可积必有界） 若函数 f 在 [ a , b ] 上可积，则 f 在 [ a , b ] 上必有界.
证 设
f ( x )dx J . a
b
由定义, 对 1 0 , 0 , 只要 T , 无论 T
M i sup f ( x ) | x [ xi 1 , xi ], i 1, 2,
n i 1 i 1 n
T : a x0 x1 ... xn b,
n;
称 s(T ) mi Δxi 为 f 关于分割 T 的下和,其中
mi inf f ( x ) | x [ xi 1 , xi ] , i 1, 2,
T : a x0 x1 ... xn b,
i f ( xi ) f ( xi 1 ), i 1, 2, , n,
当 T 时 , 对任何 i [ xi 1 , xi ], 有
1 D( i )Δxi J 2 . i 1
现任取 i Q [ xi 1 , xi ], i 1, 2,
n n i 1 i 1
n
, n, 则
D( i )Δxi Δxi 1.
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是 0, 0, x, x [a, b], 若 x x , 则
f ( x) f ( x)
ba
.
因此当 [a , b] 上的分割 T 满足 T 时,
i M i mi
sup{ f ( x) f ( x) ，x, x [ xi 1 , xi ] }