高等数学定积分应用
第六章 定积分的应用
本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题,其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式,而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求:
使学生掌握定积分计算基本技巧;使学生用所学的定积分的微元法(元素法)去解决各种领域中的一些实际问题;
掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等)
二、本章各节教学内容及学时分配:
第一节 定积分的元素法 1课时 第二节 定积分在几何学上的应用 3课时 第三节 定积分在物理学上的应用 2课时
三、本章教学内容的重点难点:
找出未知量的元素(微元)的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法
6.1定积分的微小元素法
一、内容要点
1、复习曲边梯形的面积计算方法,定积分的定义
面积A ?∑=?==→b
a
n
i i i dx x f x f )()(lim 1
ξλ
面积元素dA =dx x f )(
2、计算面积的元素法步骤: (1)画出图形;
(2)将这个图形分割成n 个部分,这n 个部分的近似于矩形或者扇形;
(3)计算出面积元素;
(4)在面积元素前面添加积分号,确定上、下限。 二、教学要求与注意点
掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。 三、作业35
6.2定积分在几何中的应用
一、内容要点
1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一
面积元素dA =dx x x )]()([12??-,面积
A =
x x x b
a
d )]()([12??-?
第一步:在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=,)(2x y ?=. 第二步:在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =,b x =;不够时由)(1x ?)(2x ?=解出,
b x a ≤≤,)()(21x y x ??≤≤,面积S =x x x b
a
d )]()([12??-?
方法二
面积元素dA =dy y y )]()([12??-,面积
A =
y y y d
c
d )]()([12??-?
第一步:在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=,)(2y x ?=.
第二步:在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =,d y =;不够时由)(1y ?)(2y ?=解出,
d y c ≤≤,)()(21y x y ??≤≤,面积S =y y y d c
d )]()([12??-?
例1 求22-=x y ,12+=x y 围成的面积
解?????+=-=1
222x y x y ,1222+=-x x ,1-=x ,3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ,于是
面积?--=+-=--+=3
1
313223
210)331
()]2()12[(x x x dx x x
例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积
解 由25.0y x =,4+=y x 得,4,2=-=y y ,当42<<-y 时
45.02+ 面积=?--+4 2 2]5.04[dy y y =18。 2、在曲边梯形)(x f y =、0=y 、a x =、b x =(b a x f <≥,0)() 中,如果曲边)(x f y =的方程为参数方程为? ??==)() (t y t x φ?, 则其面积dx y A b a ?= =dt t t )(')(?φβ α ?,其中)(),(β?α?==b a 例3 求x 轴与摆线? ? ?-=-=)cos 1() sin (t a y t t a x ,π20≤≤t 围成的面积 ) 解 面积??-=π20 2)cos 1(dt t a ?++ -=π 20 2)2 2cos 1cos 21(dt t t a π 202)2 2c o s 1s i n 223(t t t a ++-=23a π= 例4 星形线?????==t a y t a x 3 3sin cos (0>a )围成的面积. 解 面积??-==a dt t t t a ydx 0 223 2)sin )(cos 3(sin 44π =?= -20 3 642 8 3)sin (sin 12π πa dt t t a 3、极坐标系下计算平面图形的面积。 极坐标曲线)(θρρ=围成的面积的计算方法: 解不等式0)(≥θρ,得到βθα≤≤。面积= θθρβ α d 2)]([21? 4、平行截面面积为已知的空间物体的体积 过x 轴一点x 作垂直于x 轴的平面,该平面截空间物体的 截面面积为)(x A ,b x a ≤≤,则该物体的体积dx x A V b a )(?= 例1 一空间物体的底面是长半轴10=a ,短半轴5=b 的椭 圆,垂直于长半轴的截面都是等边三角形,求此空间体的体积。 解 截面面积)1001(2533221)(2 x y y x A -?=?= ?-==10 10325)(dx x A V ?-=-10 10233 100 )1001(dx x 5、旋转体体积 在],[b a 上0)(≥x f , 曲线)(x f y =、直线0,,===y b x a x 围成的曲边梯形 1)绕x 轴旋转一周形成旋转体,其截面面积)()(2x f x A π=, 旋转体体积?=b a dx x f V )(2π。 2)绕y 轴旋转一周形成旋转体: 位于区间[x,x+dx]上的部分绕y 轴旋转一周而形成的旋转体体积 )()()(22x f x x f dx x v ππ-?+≈?dx x xf )(2π≈, 原曲边梯形绕y 轴旋转一周形成的旋转体体积dx x xf V b a )(2?=π。 例2摆线? ? ?-=-=)cos 1() sin (t a y t t a x )20(π≤≤t 与x 轴围成的图形 1)绕x 轴旋转形成的旋转体体积 dx y V a 220 ?=ππdt t a 3320 )cos 1(-=? π π 3 a π = dt t t t )cos cos 3cos 31(3220 -+-?π =225a π 2 ) 绕 y 轴旋转形成的旋转体体积 π ππ2220 =?=? ydx x V a dt t t t a 2320 )cos 1)(sin (--?π = dt t t a 220 3)cos 1( [2-? π π])cos 1(sin 220dt t t -?-?π 336a π= 3)绕a y 2=旋转形成的旋转体的截面面积)4(])2()2[(22y a y y a a -=--ππ。 绕a y 2=旋转形成的旋转体体积 dx y a y V a )4(20 -=? ππdt t t t a )cos 1)(cos 3)(cos 1(320 -+-=? π π dt t t t a )cos cos cos 53(3220 3++-=? ππ327a π= 例3 求心形线)cos 1(4?ρ+=与射线0=?、2/π?=围成的绕极轴旋转形成的旋转体体积 解 心形线的参数方程为x )cos (cos 42??+=,)cos 1(sin 4??+=y ,旋转体体积 dx y V 28 0?=π=?????ππd )cos 21(sin )cos 1(sin 64220 2 /+?+-? =π160 θθθθcos )(sin )(''r r y +=, 弧微分θd y x ds 22''+=θd r r 22'+=。 例1求摆线? ??-=-=)cos 1() sin (t a y t t a x )0)(20(>≤≤a t π的长 解 dt t a dx )cos 1(-=,tdt a dy sin =, a dt t a dy dx ds 2)1cos 21(222=+-=+=dt t 2 sin 。 弧长a t a dt t a s 82cos 42sin 220 20 =-==? π π 例2摆线? ? ?-=-=)cos 1() sin (t a y t t a x 上求分摆线第一拱成1:3的点的坐标 解 设A 点满足要求,此时c t =。根据例2摆线第一拱成弧长a 8, a ds 2=dt t 2sin 。 由条件弧OA 的长为a 2,即a dt t a c 22sin 20=?,3 2π =c ,点A 的坐标为)2 3 ,)2332((a a -π 例3 求星形线323232a y x =+的全长 解 星形线的参数方程为 ?????==t a y t a x 3 3sin cos ,π20≤≤t , tdt t a dx sin cos 32-=,tdt t a dy 2 sin cos 3=, t t t t a ds 4224sin cos sin cos 3+=dt t t a dt |cos sin |3=. 弧长a tdt t a s 6cos sin 3420 ==?π a t 6sin 20 2 =π 。 例4 求对数螺线?ρ2e =上0=?到π?2=的一段弧长 解 ?ρ22'e =,弧长?ρρπd s 2 '220 +=? =??π d e 220 5? = )1(2 54-π e 二、教学要求与注意点 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积 三、作业 同步训练 35、36、37 一直角坐标的情形 定理1:由两条连续曲线)(),(21x f y x f y ==, )()(21x f x f ≤以及直线x=a,x=b 所围平面图形的面积为: dx x f x f A b a ?-=))()((12 证明:有微小元素法:dx x f x f dA ))()((12==,则 ?-=b a dx x f x f A )]()([12 注意: 1. 从几何意义容易看出?? -= b a b a dx x f dx x f A )()(12 2. 若无)()(21x f x f ≤这一条件,则面积?-= b a dx x f x f A |)()(|12 3. 同理,曲线),(),(21y g x y g x ==与y=c,y=d 所围区域的面积为 ?-=d c dy y g y g A )]()([12,其中)()(21y g y g ≤ 例1:求抛物线3x 4x y 2 -+-=及其点)3,0(-和)0,3(处的切线 所围成图形的面积 解:4x 2y K +-='= 在)3,0(-点处,4K 1=,切线方程 3x 4y -= 在)0,3(点处,2K 2 -=,切线方程 6x 2y +-= ?? ?+-=-=6 x 2y 3x 4y 得交点?? ? ??3, 2 3 [] d x x x x S ?-+---= 230 2 )34(34 [] d x x x x ? -+--+-+32 32 )34(62 ?? +-+=3 2 32230 2)96(dx x x dx x 4 98989=+= 定理 2:若平面曲线由参数方程给出, ))((),(21t t t t y t x ≤≤==ψφ且)(),(t t ψφ在[21,t t ]连续, 0)(>'t φ,则曲线与x=a,x=b 以及x 轴所围的曲边梯形的面积为: ??'==b a t t dt t t dx x f A 2 1 )(|)(||)(|φψ 例1. 求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost) (a>0)的一拱与x 轴所为的面 积 解 : 2 2220 20 3)c 1(])s i ()[cos 1(a dt t a dt t t a t a A ππ π =-='--=? ? 二极坐标的情形 定理3:设曲线)(θφ=r 且 )(θφ在[βα,]上连续,非负παβ2≤-则有曲线)(θφ=r 与射线βθαθ==,所围区域(称为曲边扇形)的面积为: θθφβαd A ?= )(2 12 证明:又微小元素法[θθθd +,]上的面积微元是:θθφd dA )(2 12 = ,所以θθφβα d A ?=)(212 例1、 求双纽线θ2cos 2 2 a r =所围的平面图形的面积。 解:4 543, 44 ,02c os ,02 π θπ πθπ θ≤ ≤≤ ≤-≥≥ r 又由图形的对称性以及公式有: 244 2442|2sin 21 2cos 212a a d a A ===--?π πππθθθ 例2、求由曲线θ=γθ=γ2cos , sin 22所围图形公共部分 的面积 解:两曲线的交点??? ? ??π??? ? ? ?π65,22, 6,22 ( ) ??? ???? ?θθ+θθ=?? ππ π6 046 2 d 2cos 21 d sin 2212S =θθ-? π d )2cos 1(60 +? ππθθ46 d 2cos 2 1362sin 2 12sin 2146 6 0--π= θ +??? ???θ-θ=πππ 体积 一. 平行截面面积为已知的立体体积 定理一:设V 是位于[a,b]间的一空间立体,A(x)(b x a ≤≤)是截面积的函数,且在[a,b]上连续,则立体V 的体积为? = b a dx x A V )( 证明:在[x,x+dx]上的体积微元是dV=A(x)dx,则体积为: ?=b a dx x A V )( 例1:求由圆柱面2 22222,a z x a y x =+=+所围立体的体积 解:由于对称性,我们只要求第一卦限立体体积,过x 点(a x ≤≤0)且垂直于x 轴的平面与该立体的截面为边长为22x a -的正方形,则 22)(x a x A -= 30320223 16|)31(8)(8a x x a dx x a V a a =-=-=? 二. 旋转体的体积 旋转体是一种特殊的空间立体,它是一条平面图形饶平面一直线l 旋转一周所得,特别地,直线为x 轴,一般地,设旋转体由曲线 y=f(x),x=a,x=b,以及x 轴所围的曲边梯形饶x 轴旋转一周所得的一个立体,用垂直于x 轴的平面去截立体得到截面面积为A(x)=)(2 x f π,则旋转体的体积为:dx x f V b a ? = )(2π 例1例3、过点)0,1(P 作抛物线2x y -=的切线,求该切线 与抛物线2x y -=及x 轴所围平面图形绕x 轴旋转而成的旋转 体体积 解:设切点为)2x , x (00- 切线方程)1x (2 x 21 y 0--= 切点在切线上, ∴ )1x (2 x 21 2x 000--= - 3x 0= , ∴切线方程:)1x (21 y -= ??π =-π--π=3 1 322x 6 dx )2x (dx )1x (41V 平面曲线的弧长 一直角坐标系 定理1:设y=f(x)在[a,b]上连续,且有一阶连续导数,则 y=f(x) 在[a,b]上的弧长为 dx f S b a ? '+=2][1这由弧微分很容易推导出来。 例1.曲线() 2x 1ln y -=相应于2 1 x 0≤≤的一段 解:1. 2x 1x 2y --= ' 2 22 x 1x 1y 1-+= ' + dx x 1x 1s 210 2 2? -+= dx x 11x 111210 ? ??? ? ? -+++-= 2 1 x 1x 1ln 21-++- = 3ln 2 1 +-= 二参数方程的情形 当曲线以参数方程 () ()? ??==t y y t x x βα≤≤t 给出时要求t 由 βα变化到时的曲线弧长。由弧微分容易知道: dt t t S ? '+'=βα ψφ22)]([)]([ 例1.摆线? ??-=-=t sin t y t cos 1x π2t 0≤≤的一拱 3.()()dt t y t x S ? '+'=π20 22 ()()dt t t ? -+=π20 22cos 1sin ?= π 20 dt 2 t sin 2 ?=π 20 dt 2 t sin 2 π 20 2t cos 4??? ?? -=8= 三极坐标的情形 定理3:若曲线的极坐标方程为)(θφ=r ,那么相应于βθαθ==,的一段弧长为: θθθβ α d r r S ? '+=)()(22 例1:心形线()θcos 1a r +=的全长 ()0a > ()θ θsin a r -=', θθθθθπd a d a a ds ? +=-++=20 22cos 22]sin [)]cos 1([ =8a πθ0|2 sin =8a (3) ()θr r = βθα≤≤ 6.3定积分在物理中的应用 一、内容要点 1、变力沿直线运动所做的功 如左图,设dx 很小,物体在变力 )(x F 的作 用下从点x 移动到点x+dx 所做的功元素为dx x F )(, 从点a 移动到点b, 在变力)(x F 所做的功dx x F w b a )(?= 例1 一物体按规律2ct x =直线运动,所受的阻力与速度的平方成正比,计算物体从 0=x 运动到a x =时,克服 O a x x+dx b x O a x dx b x 力所做的功。 解 位于x 处时物体运动的速度 ct dt dx 2=cx x c c 22=?=,所受的阻力ck x cx k F 44==。如图从点x 运动到点x+dx 所做的功元素ckxdx dw 4=。物体从0运动到a 时,克服力所做的功 kc a kcxdx w a b 224==? 。 例2 一个圆拄形水池,底面半径5米,水深10米,要把池中的水全部抽出来,所做的功等于多少?(水的密度ρ=1) 解 如图,将位于x 处、厚度为dx 的薄层水抽出来,其质量 =?M 密度?体积dx dx πρπρ2552=??=,当薄层水的厚度dx 很小时, 所做的功元素xdx dw πρ25=。要把池中的水全部抽出来,所做的功 )(3846514.38.91252 252510 2 10 kJ x r xdx w ρρρ ππρ=??=== ? 例3 一条均匀的链条长m 28,质量kg 20,悬挂于某建筑物顶部,需做多 少功才能把它全部拉上建筑物顶部 解 如图,将位于x 处、长度为dx 的一小段拉到顶部,其质量为dx dx 7 5 2820=, 所做的功元素x d x dw 75 =。全部拉上建筑物顶部所做的功 )(280145 752802280kJ x xdx w ===? 2、液体的压力 例4 一块矩形木板长10米,宽5米。木板垂直于水平面,沉没于水中,其一宽与水 面一样高,求木板一侧受到的压力。(水的密度ρ=1) 解 如图,木板在x 处所受的压强为ρx 。位于x 处、长为5米、 宽为dx 米的小矩形受到的压力元素xdx dx x dF 55==ρ(吨)。整块木板一侧受到的压力2502 55100 2 100 =? ==? x xdx F (吨) 。 3、引力 例5 如图一质量为m 的质点位于原点,一根密度为ρ、长为l 的均匀细棒区间],[l a a + 上,求细棒对质点的引力 解 位于x 处、长为dx 的小段,其质量为dx ρ,对质点的引力元 素2 x dx m k dF ρ? =。 细棒对质点的引力dx x km F l a a 2 ρ? +=) ()11(l a a ml k l a a m k +=+- ?=ρρ 例6 设星形线t a x 3cos =,t a y 3sin =上每一点处的线密度的大 小等于该点到原点的距离的立方,求星形线在第一象限的弧段对位于原点处的单位质点的引力。 解 如图,位于),(y x 处、长为ds 的小段,到原点的距离22y x r +=,线密度为3r ,其质量为ds r 3,其中22dy dx ds +=tdt t a cos sin 3=。该小段对质点的引力元素 k r d s r ds r k dF =? =23,其水平分量k x d s r x dF dF x =? =,铅直分量kyds r y dF dF y =?=。因 此 23 20 6.0c o s s i n 3c o s ka tdt t a t ka F x =?= ? π ,26.0ka F y = 二、教学要求与注意点 不仅会建立这些几何、物理的公式,而且更重要的还在于会运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 三、作业 同步训练38 第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题,其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式,而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求: 使学生掌握定积分计算基本技巧;使学生用所学的定积分的微元法(元素法)去解决各种领域中的一些实际问题; 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等) 二、本章各节教学内容及学时分配: 第一节 定积分的元素法 1课时 第二节 定积分在几何学上的应用 3课时 第三节 定积分在物理学上的应用 2课时 三、本章教学内容的重点难点: 找出未知量的元素(微元)的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 6.1定积分的微小元素法 一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法,定积分的定义 面积A ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f )()(lim 1 ξλ 面积元素dA =dx x f )( 2、计算面积的元素法步骤: (1)画出图形; (2)将这个图形分割成n 个部分,这n 个部分的近似于矩形或者扇形; (3)计算出面积元素; (4)在面积元素前面添加积分号,确定上、下限。 二、教学要求与注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。 三、作业35 6.2定积分在几何中的应用 一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一 面积元素dA =dx x x )]()([12??-,面积 A = x x x b a d )]()([12??-? 第一步:在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=,)(2x y ?=. 第二步:在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =,b x =;不够时由)(1x ?)(2x ?=解出, b x a ≤≤,)()(21x y x ??≤≤,面积S =x x x b a d )]()([12??-? 方法二 面积元素dA =dy y y )]()([12??-,面积 A = y y y d c d )]()([12??-? 第一步:在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=,)(2y x ?=. 第二步:在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =,d y =;不够时由)(1y ?)(2y ?=解出, d y c ≤≤,)()(21y x y ??≤≤,面积S =y y y d c d )]()([12??-? 例1 求22-=x y ,12+=x y 围成的面积 解?????+=-=1 222x y x y ,1222+=-x x ,1-=x ,3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ,于是 面积?--=+-=--+=3 1 313223 210)331 ()]2()12[(x x x dx x x 例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积 解 由25.0y x =,4+=y x 得,4,2=-=y y ,当42<<-y 时 45.02+ 常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1.d x ax b +? =1 ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ+?=11 ()(1) ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3.d x x ax b +? =21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2d x x ax b +? =22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5.d () x x ax b +?=1ln ax b C b x +-+ 6.2 d () x x ax b +?=21ln a ax b C bx b x +-++ 7.2d ()x x ax b +? =21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8.22 d ()x x ax b +?=2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9.2 d ()x x ax b +? = 211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10.x C + 11.x ?=2 2(3215ax b C a -+ 12.x x ?=2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13.x =22 (23ax b C a - 14.2x =2223 2(34815a x abx b C a -+ 15 . =(0) (0) C b C b ?+>< 16 . 2a b - 17 .x =b +18 .x =2a x -+ (三)含有22x a ±的积分 19.22d x x a +?=1arctan x C a a + 20.22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21.22 d x x a -? =1ln 2x a C a x a -++ (四)含有2(0)ax b a +>的积分 22.2d x ax b +? =(0) (0) C b C b ?+>+< 23.2 d x x ax b +? =2 1ln 2ax b C a ++ 24.22d x x ax b +?=2d x b x a a ax b -+? 25.2d ()x x ax b +?=2 2 1ln 2x C b ax b ++ 26.22d ()x x ax b +? =21d a x bx b ax b --+? 第七章定积分的应用 一、本章提要 1.基本概念 微元法,面积微元,体积微元,弧微元,功微元,转动惯量微元,总量函数. 2.基本公式 平面曲线弧微元分式. 3.基本方法 (1)用定积分的微元法求平面图形的面积, (2)求平行截面面积已知的立体的体积, (3)求曲线的弧长, (4)求变力所作的功, (5)求液体的侧压力, (6)求转动惯量, (7)求连续函数f(x)在[]b a,区间上的平均值, (8)求平面薄片的质心,也称重心. 二、要点解析 问题1什么样的量可以考虑用定积分求解?应用微元法解决这些问题的具体步骤如何? 解析具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解,即所求量Q必须满足条件:(1)Q与变量x和x的变化区间[]b a,以及定义在该区间上某一函数f(x)有关;(2)Q在[]b a, 上具有可加性,微元法是“从分割取近似,求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的,具体步骤如下: (1)选变量定区间:根据实际问题的具体情况先作草图,然后选取适当的坐标系及适当的变量(如x),并确定积分变量的变化区间[]b a,; (2)取近似找微分:在[]b x d ,+,当x d很小时运用“以 x a,内任取一代表性区间[]x 直代曲,以不变代变”的辩证思想,获取微元表达式d=()d Q f x x≈Q ?为量Q在小 ?(Q 区间[]x ,+上所分布的部分量的近似值); x x d (3)对微元进行积分得 =d ()d b b a a Q Q f x x = ?? . 下面举例说明. 例1 用定积分求半径为R 的圆的面积. 解一 选取如图所示的坐标系,取x 为积分变量,其变化区间为[]R R ,-,分割区间 []R R ,-成若干个小区间,其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元 x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=, 于是 ? ? ---== R R R R x x R A A d 2d 2 2=2 πR . 解二 选取如图所示的坐标系, 取θ 为积分变量,其变化区间为[]π2,0.分割区间[]π2,0成若干个小区间,其代表性小区 间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 2 1d 2 R A = ,于是 2 2π20 2 π20 ππ22 1d 2 1d R R R A A =?= = = ? ? θ. 解三 选取r 为积分变量, 其变化区间为[]R ,0,如图,分割[]R ,0成若干个小区间, 授课单元12教案 教学内容 课题1用定积分求平面图形的面积 一、微元法 在本章第1节定积分概念的两个实例(曲边梯形的面积和变速直线运动的路程)中,我们是先把所求整体量进行分割,然后在局部范围内“以不变代变”,求出整体量在局部范围内的f (?)?x 的形式;再把这些近似值加起来,得到整体量的近似值;最近似值,即表成乘积 iinb ??????x ?ff ?xdx ?lim (即整体量) 后,当分割无限加密时取和式的极限得定积分. iia 0??1i ? 事实上,对于求几何上和物理上的许多非均匀分布的整体量都可以用这种方法计算.但在实 ??b ,aQ 的定积分的方法简化成下面的上的某个量际应用时,为了方便,一般把计算在区间 : 两步: x [a ,b ] ,求出积分区间确定积分变量1) ([x ,x ?dx ]]a ,b [ ,并在该小区间上找出所求量Q ) 在区间上,任取一小区间的微分元(2素 dQf (x )dx =b Q 的定积分表达式(3) 写出所求量?dxxQ ?)f (a 用以上两步来解决实际问题的方 法称为元素法或微元法.下面我们就用元素法来讨论定积分在几何、物理和经济学中的一些应用. 二、在直角坐标系下求平面图形的面积 b ? f (?x )dxA oxba ,x ?x ?)(xy ?f 1、 .由 轴所围成图形面积公式 及,a d????(y?)dyA y dy,x??(y),y?c1及、轴所围成图形面积公式c3xy?2x??1,x?例求曲线轴所 ???xxdxs???dx解 围成的图形面积及x与直线172033 40?1??????????xxxy?yyx?yy?yx?a,x?b(a?b)所围2、和由两条连续曲线与直线 ?dxyy?xx?A)的面积成平面图形(如图112a 2211b?????? 1. 求 dx e x ?-2ln 01。5.解:设t e x =-1,即)1ln(2+=t x ,有dt t t dx 122+= 当0=x 时,0=t ;当2ln =x 时,1=t 。 dt t dt t t dx e x )111(21211021 0222ln 0???+-=+=- 22)1arctan 1(2)arctan (210π- =-=-=x t . 2. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积。 .解:两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(,则此区域的面积 31)3132()(1 0323210=-=-=?x x dx x x S 3. 求反常积分 ?+∞-+222x x dx 。 解:dx x x x x dx x x dx b b b b )2111(lim 3 12lim 222222+--=-+=-+???+∞→+∞→+∞ 4ln 3 1)4ln 21(ln lim 31)21ln(lim 312=++-=+-=+∞→+∞→b b x x b b b 5、 4. 设???≤<≤≤-+=20,02,13)(32x x x x x f ,求?-22)(dx x f 解:原式=??-+0 22 0)()(dx x f dx x f ---------5分 =14 ----------5分 6. 求由曲线32,2+==x y x y 所围成的区域绕x 轴旋转而得的旋转体体积。 解:两曲线交点为(-1,1)(3,9)-------2分 面积?--+=3122)32(dx x x S π ---------5分 =17 256 7. 计算定积分2 2π π -? 8. 设()f x 在区间[,]a b 上连续,且()1b a f x dx =?,求() b a f a b x dx +-?。 答案:解:令u a b x =+-,则当x a =时,u b =;当x b =时,u a =,且d x d u =-, 故 ()b a f a b x dx +-?=()a b f u du -? =()1b a f x dx =?。 第五章 定积分 内容:定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求:理解定积分的概念和性质。掌握牛顿-莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法,理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理,理解广义积分的概念和计算方法。 重点:定积分的概念和性质;微积分基本公式;换元积分法、分部积分法。 难点:定积分的概念;变上限积分函数及其导数;换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1.曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积 (1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. 第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i Λ=?=?=∑=→λξλ y =f (x ) x =a x =b y =f (x ) a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b 抛开上述过程的几何意义,将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i ΛΛ=?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间;a :积分下限;b :积分上限; ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量 注: (1) ∑ =?n i i i x f 1 )(ξ与区间的分割法x i 和取点法 i 有关; 而 ? b a dx x f )(与x i 和 i 无 关. (2) ? b a dx x f )(与a 、b 、f 有关,与x 无关,即: [][]???? ===b a b a b a b a d f du u f dt t f dx x f )()()()( 2.定积分存在定理 定理 若)(x f 在[a , b ]上有界且只有有限个间断点,则)(x f 在[a , b ]上可积. 推论 若)(x f 在[a , b ]上连续,则)(x f 在[a , b ]上可积. 例1. 求 ?1 xdx 第六章 定积分的应用 习题 6-2 (A) 1. 求下列函数与 x 轴所围部分的面积: ] 3,0[,86)1(2+-=x x y ] 3,0[, 2)2(2x x y -= 2. 求下列各图中阴影部分的面积: 1. 图 6-1 3.求由下列各曲线围成的图形的面积: ; 1,)1(===-x e y e y x x 与 ; )0(ln ,ln ,0ln )2(>>====a b b y a y x x y 与 ;0,2)3(2==-=y x y x x y 与 ; )1(,2)4(22--==x y x y ;0,2)1(4)5(2=-=-=y x y x y 与 ; 2,)6(2x y x y x y ===与 ; )0(2sin ,sin 2)7(π≤≤==x x y x y ; 8,2 )8(222 (两部分都要计算)=+=y x x y 4.的图形的面积。 所围成与直线求由曲线e x e x y x y ====-,,0ln 1 5.的面积。处的切线所围成的图形和及其在点求抛物线)0,3()3,0(342--+-=x x y 6.的面积。处的法线所围成的图形及其在点求抛物线),2 (22p p px y = 7.形的面积。与两坐标轴所围成的图求曲线a y x =+ 8.所围图形的面积。求椭圆 12 2 2 2 =+ b y a x 9.。与横轴所围图形的面积(的一拱求由摆线)20)cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 10.轴之间的图形的面积。的切线的左方及下方与由该曲线过原点求位于曲线x e y x = 11.求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积: ;)0(sin 2)1(>=a a θρ ; )0()cos 2(2)2(>+=a a θρ ; 2cos 2)3(2(双纽线)θρ= 抛物体的体积。 轴旋转,计算所得旋转 所围成的图形绕及直线把抛物线x x x x ax y )0(4.12002>== 体的体积。 旋转轴旋转,计算所得两个轴及所围成的图形,分别绕由y x y x x y 0,2,.133=== 14.求下列已知曲线所围成的图形,按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积: ;,0,,0)1(轴绕与x y a x x a x ch a y ==== ;,2sin )2(轴绕与x x y x y π = = ; ,)2 0(cos sin )3(轴绕与x x x y x y π ≤≤== ; 0,2,ln )4(轴绕与y y x x y === ;0,2)5(2轴绕与y y x y x x y ==-= ; , 16)5()6(22轴绕y y x =+- 。产生的旋转体的体积旋转 轴绕轴所围的图形处的切线和及其在求由抛物线x x x y )2,0()1(4.152-= 积。轴旋转所得旋转体的体所围图形绕求x y x y x 2223,4.16≥ ≤+ 求其体积。 , 图面都是等边三角形为底,垂直于长轴的截一立体以椭圆)26(125 100.1722 -≤+y x 授课单元12教案 课题1用定积分求平面图形的面积 一、微元法 在本章第1节定积分概念的两个实例(曲边梯形的面积和变速直线运动的路程)中,我们是先把所求整体量进行分割,然后在局部范围内“以不变代变”,求出整体量在局部范围内的近似值,即表成乘积i i x f ?ξ)(的形式;再把这些近似值加起来,得到整体量的近似值;最后,当分割无限加密时取和式的极限得定积分 ()()i n i i b a x f dx x f ?ξ=∑?=→λ1 lim (即整体量) . 事实上,对于求几何上和物理上的许多非均匀分布的整体量都可以用这种方法计算.但在实际应用时,为了方便,一般把计算在区间[]b a ,上的某个量Q 的定积分的方法简化成下面的两步:: (1) 确定积分变量x ,求出积分区间],[b a (2) 在区间],[b a 上,任取一小区间],[dx x x + ,并在该小区间上找出所求量Q 的微分元素 dQ =dx x f )( (3) 写出所求量Q 的定积分表达式 dx x f Q b a ?=)( 用以上两步来解决实际问题的方法称为元素法或微元法.下面我们就用元素法来讨论定积分在几何、物理和经济学中的一些应用. 二、在直角坐标系下求平面图形的面积 1、.由)(x f y =,b x a x ==,及ox 轴所围成图形面积公式 ()b a A f x dx = ? 1'、(),,x y y c y d ?===及y 轴所围成图形面积公式()d c A y dy ?=? 例 求曲线3 x y =与直线2,1=-=x x 及x 轴所围成的图形面积 解 4 17 2 30 1 3= +- =?? -dx x dx x s 2、由两条连续曲线()x y y 2=和()()()()x y x y x y y 211≤=与直线)(,b a b x a x <==所围成平面图形(如图1)的面积()()[]dx x y x y A b a ?-=12 图1 图2 2'、由两条连续曲线()y x x 2=和()()()()y x y x y x x 211≤=与直线)(,d c d y c y <==所 围成平面图形(如图2)的面积 ?-=d c dy y x y x A )]()([12 高等数学教案—定积分的应用 课 时 授 课 计 划 第一课时 教学过程及授课内容 教学过程 i. 一.定积分应用的微元法 用定积分计算的量的特点: (1) 所求量(设为 F )与一个给定区间 [],a b 有关,且在该区间上具有可 加性. 就是说,F 是确定于 [],a b 上的整体量,当把 [],a b 分成许多小区间时,整体量等于各部分量之和,即1 n i i F F == ∑。 (2) 所求量F 在区间[],a b 上的分布是不均匀的,也就是说, F 的值与区间 [],a b 的长不成正比(否则的话,F 使用初等方法即可求得,而勿需用积分方法了). 用定积分概念解决实际问题的四个步骤: 第一步:将所求量 F 分为部分量之和,即: 1Δn i i F F ==∑; 第二步:求出每个部分量的近似值,Δi F ≈()Δ(1,2,,);i i f x i n ξ= 第三步:写出整体量 F 的近似值,1Δn i i F F ==∑≈ 1()Δn i i i f x ξ=∑; 第四步:取max{Δ}0i x λ=→时的 1 ()Δn i i i f x ξ=∑极限,则得 1 lim ()Δ()d n b i i a i F f x f x x λξ→===∑?. 观察上述四步我们发现,第二步最关键,因为最后的被积表达式的形式就是在这一步被确定的,这只要把近似式()Δi i f x ξ中的变量记号改变一下即可( i ξ换为 x ;i x ?换为 d x ). 而第三、第四两步可以合并成一步:在区间 [],a b 上无限累加,即在 [] ,a b 上积分. 至于第一步,它只是指明所求量具有可加性,这是 F 能用定积分计算定积分应用的微元法: (一)在区间 [微小区间 [],d x x x +,然后写出在这个小区间上 ΔF 的近似值,记为d ()d F f x x =(称为F 的微 ); (二)将微元d F 在[],a b 上积分(无 限累加),即得 ()d .b a F f x x =? 微元法中微元的两点说明: (1)()d f x x 作为ΔF 的近似值表达式,应该足够准确,确切的说,就是要求其差是关于Δx 的高阶无穷小. 即 Δ()d (Δ)F f x x o x -=.这样我们就知道了,称作微元的量 ()d f x x ,实际上是所求量的微分d F ; (2)具体怎样求微元呢? 这是问题的关键,这要分析问题的实际意义及数量关系,一般按着在局部 [],d x x x + 上,以“常代变”、“匀代不匀”、“直代曲”的思路(局部线性化),写出局部上所求量的近似值,即为微元 x x f F d )(d = 二、用定积分求平面图形的面积 1. 直角坐标系下的面积计算 用微元法不难将下列图形面积表示为定积分. (1)曲线()(()0),y f x f x =≥,x a x b ==及Ox 轴所围图形,如下左图,面积微元d ()d A f x x =,面积()d b a A f x x =?. (2)由上、下两条曲线(),()(()())y f x y g x f x g x ==≥及,x a x b ==所围成的图形,如下右图,面积微元d [()()]d ,A f x g x x =-,面积 [()()]d b a A f x g x x =-?. 第六章定积分的应用 习题6-2 (A) 1.求下列函数与x 轴所围部分的面积: (1) y x 2 6x 8, [0, 3] ( 2) y 2x x2 , [ 0, 3] 2.求下列各图中阴影部分的面积: 1. 图 6-1 3.求由下列各曲线围成的图形的面积: (1) y e x , y e x与x1; ( 2) y ln x 与 x 0, y ln a, y ln b (b a 0) ; (3) y 2x x2与 y x , y 0 ; ( 4) y 2 2 x , y 2 (x 1) ; (5) y 2 4(1 x) 与 y 2 x , y 0 ; (6) y x2 与 y x , y 2x ; (7) y 2 sin x , y sin 2x (0 x ) ; (8) y x 2 , x 2 y 2 (两部分都要计算) ; 2 8 4.求由曲线y ln x 与直线 y 0, x e 1 , x e 所围成的图形的面积。 5.求抛物线y x 2 4 x 3 及其在点 (0, 3) 和 (3, 0) 处的切线所围成的图形的面积。 6.求抛物线y 2 2 px 及其在点 ( p , p) 处的法线所围成的图形的面积。 2 7.求曲线x y a 与两坐标轴所围成的图形的面积。 x 2 y 2 1 所围图形的面积。 8.求椭圆 2 b 2 a 9.求由摆线x a(t sin t), y a(1 cost ) 的一拱(0 t 2 ) 与横轴所围图形的面积。 10.求位于曲线y e x下方与由该曲线过原点的切线的左方及x 轴之间的图形的面积。 11.求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积: (1) 2a sin (a 0) ; ( 2) 2a (2 cos ) (a 0); (3) 2 2 cos 2 (双纽线) ; 12. 把抛物线y2 4ax 及直线 x x ( x 0 0) 所围成的图形绕x 轴旋转,计算所得旋转抛物体的体积。 13. 由 y x 3 , x 2 , y 0 所围成的图形,分别绕x 轴及 y 轴旋转,计算所得两个旋转 体的体积。 14.求下列已知曲线所围成的图形,按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积: (1) y ach x 0, x a , y 0 , 绕 x 轴 ; 与 x a ( 2) y sin x 与 y 2x , 绕 x 轴 ; (3) y sin x 与 y cos x (0 x ) , 绕 x 轴 ; 2 ( 4) y ln x , 与 x 2 , y 0 绕 y 轴 ; (5) y 2x x2 与 y x , y 0 绕 y 轴 ; (6) ( x 5)2 y 2 16 , 绕 y 轴 ; 15. 求由抛物线y 2 4(1 x) 及其在 (0, 2) 处的切线和x 轴所围的图形绕 x 轴旋转 产生的旋转体的体积。 16. 求 x 2 y 2 4, x 3 y 2所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积。 17. 一立体以椭圆x 2 y2 1 为底,垂直于长轴的截面都是等边三角形( 图 6 2),100 25 求其体积。 第五章 定积分 教学目的: 1、 理解定积分的概念。 2、 掌握定积分的性质及定积分中值定理,掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 3、 理解变上限定积分定义的函数,及其求导数定理,掌握牛顿—莱布尼茨公式。 4、 了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点: 1、定积分的性质及定积分中值定理 2、定积分的换元积分法与分部积分法。 3、牛顿—莱布尼茨公式。 教学难点: 1、 定积分的概念 2、 积分中值定理 3、 定积分的换元积分法分部积分法。 4、 变上限函数的导数。 §5. 1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积 曲边梯形: 设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 由直线x =a 、x =b 、y =0及曲线y =f (x )所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值: 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间[a , b ]中任意插入若干个分点 a =x 0< x 1< x 2< ? ? ?< x n -1< x n = b , 把[a , b ]分成n 个小区间 [x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ? ? ? , [x n -1, x n ], 它们的长度依次为?x 1= x 1-x 0 , ?x 2= x 2-x 1 , ? ? ? , ?x n = x n -x n -1 . 经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形. 在每个小区间 [x i -1, x i ]上任取一点ξ i , 以[x i -1, x i ]为底、f (ξ i )为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形(i =1, 2, ? ? ? , n ) , 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值, 即 A ≈f (ξ 1)?x 1+ f (ξ 2)?x 2+? ? ?+ f (ξ n )?x n ∑=?=n i i i x f 1)(ξ. 求曲边梯形的面积的精确值: 显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A 的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记 λ=max{?x 1, ?x 2,? ? ?, ?x n }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令λ→0. 所以曲边梯形的面积为 ∑=→?=n i i i x f A 1 0)(lim ξλ. 2. 变速直线运动的路程 设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数, 且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S . 求近似路程: 我们把时间间隔[T 1, T 2]分成n 个小的时间间隔?t i , 在每个小的时间间隔?t i 内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔?t i 内某点ξ i 的速度v (τ i ), 物体在时间间隔?t i 内 运动的距离近似为?S i = v (τ i ) ?t i . 把物体在每一小的时间间隔?t i 内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 , T 2]内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是: 在时间间隔[T 1 , T 2]内任意插入若干个分点 T 1=t 0< t 1< t 2 ? ?< t n -1< t n =T 2, 把[T 1 , T 2]分成n 个小段 [t 0, t 1], [t 1, t 2], ? ? ?, [t n -1, t n ] , 各小段时间的长依次为 ?t 1=t 1-t 0, ?t 2=t 2-t 1,? ? ?, ?t n =t n -t n -1. 第5章 不定积分 一、不定积分的概念和性质 若()()F x f x '=,则()d ()f x x F x C =+?, C 为积分常数不可丢! 性质1()d ()f x x f x ' ??=???或 d ()d ()d f x x f x x =?或()d ()d f x x f x dx ??=??? 性质2()d ()F x x F x C '=+?或d ()()F x F x C =+? 性质3[()()]d f x g x x αβ±?()d ()d f x x g x x α β=±?? 或[()()]d ()d ()d f x g x x f x x g x x += +??? ;()d ()d kf x x k f x x =??. 二、基本积分公式或直接积分法 基本积分公式 d k x =?k x C +d x x μ=?111x C μμ+++(μ为常数且1μ≠-) 1d x x =?ln x C + e d x x =?e x C +d x a x =?ln x a C a + cos d x x =?sin x C +sin d x x =?cos x C -+ 2d cos x x =?2sec d x x =?tan x C +2d sin x x =?2csc d x x =?cot x C -+ sec tan d x x x =?sec x C +csc cot d x x x =?csc x C -+ 2d 1x x =+?arctan x C +(arccot x C -+)=arcsin x C +(arccos x C -+) 直接积分法:对被积函数作代数变形或三角变形,化成能直接套用基本积分公式。 代数变形主要是指因式分解、加减拆并等;三角变形主要是指三角恒等式。 三、换元积分法: 1.第一类换元法(凑微分法) ()()()d (())()d (())d () ()d [()]u x u x g x x f x x x f x x f u u F u C ??????=='====+????. 注 (1)常见凑微分: 2111(), (),2), (ln ||) 2dx d ax c xdx d x c d c dx d x c a x =+=+==+ 21(tan )(cot (arcsin )(cos )1+dx d arc x d arc x d x d arc x x ==-==- 第七章 定积分的应用 一、本章提要 1. 基本概念 微元法,面积微元,体积微元,弧微元,功微元,转动惯量微元,总量函数. 2. 基本公式 平面曲线弧微元分式. 3. 基本方法 (1) 用定积分的微元法求平面图形的面积, (2) 求平行截面面积已知的立体的体积, (3) 求曲线的弧长, (4) 求变力所作的功, (5) 求液体的侧压力, (6) 求转动惯量, (7) 求连续函数f (x )在[]b a ,区间上的平均值, (8) 求平面薄片的质心,也称重心. 二、要点解析 问题1 什么样的量可以考虑用定积分求解?应用微元法解决这些问题的具体步骤如何? 解析 具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解,即所求量Q 必须满足条件: (1)Q 与变量x 和x 的变化区间[]b a ,以及定义在该区间上某一函数f (x )有关;(2) Q 在[]b a ,上具有可加性,微元法是“从分割取近似,求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的,具体步骤如下: (1)选变量定区间:根据实际问题的具体情况先作草图,然后选取适当的坐标系及适当的变量(如x ),并确定积分变量的变化区间[]b a ,; (2)取近似找微分:在[]b a ,内任取一代表性区间[]x x x d ,+,当x d 很小时运用“以 直代曲,以不变代变”的辩证思想,获取微元表达式d =()d Q f x x ≈Q ?(Q ?为量Q 在小区间[]x x x d ,+上所分布的部分量的近似值); (3)对微元进行积分得 =d ()d b b a a Q Q f x x =??. 下面举例说明. 例1 用定积分求半径为R 的圆的面积. 解一 选取如图所示的坐标系,取x 为积分变量,其变化区间为[]R R ,-,分割区间[]R R ,-成若干个小区间,其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元 x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=, 于是 ??---==R R R R x x R A A d 2d 22=2πR . 解二 选取如图所示的坐标系, 取θ 为积分变量,其变化区间为[]π2,0.分割区间[]π2,0成若干个小区间,其代表性小区 间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 2 1d 2R A =,于是 22π202π20ππ22 1d 21d R R R A A =?===??θ. 解三 选取r 为积分变量, 其变化区间为[]R ,0,如图,分割[]R ,0成若干个小区间,其代表性小区间[]r r r d ,+所对应的面积微元r r A d π2d =,于是 20 20π2π2d π2R r r r A R R =?==?. 问题2 如何理解连续函数f (x ) 在闭区间[]b a ,上的平均值?-=b a x x f a b u d )(1是有限个数的算术平均值的推广. 解析 首先,我们知道几个数 y y y n 12,,,???的算术平均值为 y y y y n n y n k k n =++???+==∑()/121 1, 对于函数)(x f ,我们把区间[]b a , n 等分,设分点为a =x x x b n 01<??<=.区高等数学定积分应用
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