数形结合思想在函数方程与不等式中的简单应用(一)
数形结合巧运用,零点分布妙化解--浅谈对二次函数零点分布问题解题教学的研究
解题探索数形结合巧运用，零点分布妙化解一浅谈对二次函数零点分布问题解题教学的研究张程燕(山东省济南中学，250001)一元二次函数是中学数学中最基本、最重要的 函数之一，也是高考考查的重要内容之一，是高考的 高频考点.高中数学教学中一元二次函数的零点分 布问题即初中数学教学中一元二次方程根的分布问 题，是二次函数部分的重点知识与内容，既是学生学 习的重点，也是学习的难点，因此对二次函数零点分 布问题的解题教学研究十分必要.目前，高中生对二 次函数零点分布问题的解题方法偏重于借助对二次 方程根的判别式和韦达定理的运用，能够解决的零 点分布问题有限且易出错，解题方法尚不够系统和 完善，针对这一学情，结合高中所学的零点存在定理 以及数形结合这一重要的数学思想方法，笔者将系 统地分析一元二次函数的零点分布问题，力求将解 题方法系统化、模式化、巧妙化，从而提高数学解题 教学的效率和质量，优化学生的思维品质，发展学生 的数学核心素养.1熟悉知识背景，理解方法本质学生对同一类数学题的解答与掌握，需要的不 仅仅是理解并掌握这类题目的解题方法与技巧，更 需要知晓题目所涉及的知识背景.从知识背景出发， 联系解题所需要的数学知识和方法，将知识与方法 有机融合在一起，构建起数学解题模型，既加深了学 生对数学知识的熟悉程度，也有助于学生理解数学 方法的本质，从而达到学以致用、举一反三的学习效 果，这也是数学解题教学的期望所在.本文所涉及的 数学知识与方法如下所述：1.函数零点存在定理:如果函数y =/(%)在区 间[a ，]上的图像是一^条连续不断的曲线，且有/ (a )/() <0,那么函数y =/()在区间（a ，)内至少 有一个零点，即存在c e (a ，)，使得/(C) = 0，这个c 也就是方程/() =0的解[1].特别地，对于一次函数y = h +&(�)和二次 函数y = a / +心+c (a #0)而言，若/(幻在区间（a ， 6)上满足零点存在定理，则在（a ，)上有且仅有一个零点.2.数形结合的思想方法——从四个方面将二次函数图像与代数不等式之间建立联系:①开口方向， ②对称轴，③判别式4，④特殊点函数值的符号.2探究典型例题，把握解题方法数学解题教学是数学教师根据教学需要选择合 适的试题，以学生的学情为起点，以自身的解题经 历、经验和研究为基础，通过师生间对话交互，促进 学生深度思考，优化学生思维品质的教学活动[2].本文选取四道典型例题，从思路分析、解答过程和 方法指导三个方面对二次函数零点分布问题进行解题 教学探究，全方位、多角度的对例题进行剖析，帮助学 生理解问题本质、建立解题模型以及掌握解题方法.例1如果方程尤2 + (^i -1)) +爪2 -2=0的两个 实根一个小于1，另一个大于1，求实数m 的取值范围.思路分析：（1)方程尤2 + (爪-1)尤+爪2-2=0根的分布问题0函数/(%) =%2 + (m - 1)% +m 2 -2的零点分布问题，完成方程的根与函数零点的转化；(2) 函数/() =% + (m -1)%+m 2 - 2 开口上，其与％轴的交点一个在1的左侧、一个在1的右 侧，易画出草图，熟悉题设，理清思路；(3)利用数形结合的思想方法，从四个方面二次函数图像与代数不等式之间建立联系：开口向 上是确定的;对称轴可以在1的左侧、右侧或者对称 轴为1;判别式4 = ( m - 1)2 - 4 ( m - 2 ) > 0;特殊 点函数值/(1) <0.解题过程1法一:数形结合由已知可列方程组:• 62•r 4 = (m -1)2 - A i m 1 - 2 ) >0, |/( 1) =1 + m — 1 + m 2 —2 <0.r 3m 2 + 2m -9 <0, m 2 + m - 2 <0.1 +2 槡 -1 +2 槡----;---< m <---------,33-2 < m < 1.%，^2满足0<% < 1<%2 <6,求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口向上，过定点（0,4)，其 与X 轴有两个交点％，2满足0<%<1<% <6,易 画出草图，熟悉题设，理清思路；(2)利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系.解题过程：-2 < m < 1. m e ( - ，1）方法指导：因为/(X )开口向上，所以X —± ^ 时，/(X )— + (即/( -) >0，/( + ) >0),再有/(1) <0,则在区间（-^ ,1)和（1，+1)上都满足 零点存在定理，所以在两个区间都各有一个零点，从而满足题意.因此，判别式4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0可省略不解，解答过程十分简单.解题过程1 :法一（简化）：数形结合 由已知得:/(1) <0....1 + m - 1 + m 2 - 2 < 0. ... m 2 + m - 2 < 0..-2 < m < 1. .m e (-2,1).我们再来看一下第二种解题方法/昔助对二次 方程根的判别式和韦达定理的运用，来解决二次函 数零点分布问题.解题过程2:法二:韦达定理4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0,xt - 1 )(%2 - 1) <0.4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0，%1%2 _ (xt +X 2 ) +1 <0.4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0，一2) -（1 一 m ) +1 <0.由已知，得{.{.{3m 2 + 2m -9<0，m 2 + m - <01 +2 槡 -1+2 槡...|-^^<m < ^3^，-2 < m < 1..- 2 < m < 1. .m e (-2,1).方法指导:韦达定理使用的前提是一元二次方 程的两根存在，即判别式4^0.因此在利用判别式 和韦达定理解决二次函数的零点分布问题时，判别 式4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0不可以省略，必须 要求解.显然，在解决二次函数零点分布问题时，利 用韦达定理解题比利用数形结合解题计算量要大. 也就是说，数形结合方法解决零点分布问题更简易、 更巧妙、更通用.例2已知函数/(X ) =X 2 -2ax +4有两个零点由已知可列方程组：,/(0) =4>0， |/(1)=5-2a <0，...1/(6) =40 -12a >0.a >10a < —5 10 5 10.T <a <T .a E (T ’y ).方法指导：因为/(X )开口向上，且由图像可得， /(0) >0，(1) <0，(6) >0,则在区间(0,1)和(1,6)上 都满足零点存在定理，所以在区间(0，1 )和（1，）上各 有一个零点，满足题意“/(X )两个零点X i ，2且0 <X 1 < 1 <X 2 <6”，故而有关对称轴0 <a <6和判别式4 = (-2a )2 -4 x 1 x 4的不等式可省略.例3已知函数/(X ) =X 2 - 2aX +4有两个零点，且都大于1，求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口向上，过定点（0，4 )，且 两个零点X 1，2都大于1，易画出草图，熟悉题设，理 清思路；()利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系解题过程：• 63•由已知可列方程组：/(1) =5 -2a >0, a >1,轴=—2a2x 1=a > 1a <52,，4 =4a 2 - 16 >0. La >2 或 a <-2.2 < a <52a g5)•方法指导：因为/()开口向上，所以/( - 〇〇) > 0，/( + 〇〇 ) > 0，且由图像可得/(1) > 0，但仅仅凭借 特殊点函数值/(1) >0并不能满足零点存在定理， 这就需要其它三个方面加以限制，即开口方向、对称轴-冬>1和4>0.La例4函数/(*) =a *2 -*-1在区间（0,1)内恰有一个零点，求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口方向不确定，过定点 (0，_1)；()首项系数含参且在(0，1)内恰有一个零点， 满足条件的草图有很多，因此需要分类讨论，而分类 讨论的依据可以是首项系数的符号.亦或者，我们可 以利用前面的解题思路，按照端点函数值/(0)/( 1) 的符号来讨论；(3)利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系.解题过程:分类讨论法一:按首项系数分类讨论(1) 若a =0,则/() = -*-1为一次函数，令/(*) =0,得 *= -1.此时/(*)只有*=-1这一个零点，在区间（0, 1)内无零点.(2)若 a >0,则/(*) = a *2 - * - 1 为一兀二次函数，开口向上，过定点（0, -1).由已知可列方程组：f (0) = ―1:0, .a >2.[/(1) =a - 2 >0.(3)若 a <0,则/(*) =a *2-*-1 为一兀二次 函数，开口向下，过定点（0, -1).由已知可列方程组：a <0，1 a <0,0 <^<1， ,、2a 或{ A =1 + 4a >0，4=1 +4a =0, |/(1) =a 一 2>0./(1) =a -2<0a <0，、a <2a <0，或a >a >2••.均无解.综上所述：的取值范围为(2，+ ^ )•方法指导:与例1例2、例3 —样，需要画出函 数草图，从开口方向、对称轴、判别式A 和特殊点函 数值的符号四个方面建立起函数图像与不等式之间 的关系.但由于函数首项系数含参，具有不确定性， 因此依据首项系数的符号进行分类讨论，进而求解 参数的范围.需要说明的是:在情形（2)中，二次函 数/(*) =a *2 -* - 1区间（0,1)上满足零点存在定 理，则在(0，1 )上有且仅有一个零点.法二:按特殊点函数值符号分类讨论：()当/(0)/(1) <0,由/(0) = -1，得/(1) =a-2 >0,即 a >2 时；此时满足零点存在定理，二次函数/(*) =a *2 -* -1在区间(0，）内必恰有一-零点.(2)当/(0)/(1) >0,由/(0) = -1，得/(1) =a-2 <0,即 a <2 时；由图可列方程组得:• 64•a<0,0 <2a<1,A-4a+1=0,/(0) = -1 <0,/(1) =a-2<0.a<0,a无解.、a<2.()当/(0)/() =0,由/(0) = -1，得/(1) -a -2=0,即a=2 时；v/(x) =ax2-x-1=22-x-1= (2+1) (-1)，...令/(x) =(2x+1)(x- 1) =0.得 X1 =-+送（0，1)，2 =1 送（0，1).■■■/(x) =ax2-X-1在区间（0，1)内没有零点..a=2不符合题意，舍去.综上所述：的取值范围为(2，+ 1X1 ).方法指导：1)当/(0)/() <0时，满足函数零 点存在定理，则对于二次函数而言在区间（0，1)有 且只有一个零点，满足题意；⑵当/(0)/(1) >0时，函数/(X)端点值同号，不满足零点存在定理，所以结合图像，还得添加其它 三个条件:开口方向、对称轴、判别式A;(3)当/(0)/(1)=0时，可直接求得a=2，此时 函数解析式确定，直接求出零点的值，再判断零点是 否在区间（0，1)内即可.通过对比按首项系数分类讨论和按特殊点函数 值符号（即是否满足零点存在定理）分类讨论两种 方法，我们发现:虽同为利用数形结合与分类讨论的 数学思想方法解题，但显然方法二比方法一简单许 多，再次验证了函数零点存在定理在零点分布问题 求解中的优势所在.3研究零点分布，归纳解题结论通过对典型例题的深度探究，我们发现:二次函 数的零点分布问题，可以从开口方向、对称轴、判别 式和特殊点函数值符号四个方面找寻二次函数图像 与代数不等式之间的关系，从而建立起数学解题模型.我们还发现，当特殊点的函数值符号异号时，即在某区间上函数满足零点存在定理时，那就只需要 列特殊点函数值符号的不等式即可，其它三个不等 式不用列也无需解；当不满足零点存在定理时，就需 要其它三个方面的不等式加以限制，此时不能省略.因此，从四个方面将二次函数图像与代数不等式之 间建立联系，利用数形结合解决二次函数的零点分 布问题时，要注意四个方面研究的顺序性，优先考虑 特殊点函数值的符号情况，若满足零点存在定理，则可简化解题步骤，巧妙解决二次函数的零点分布问 题.此外，对于需要分类讨论的二次函数零点存在问 题，以/( a)/( 6 )的符号为切入点展开分类讨论，显然思路比较清晰，便于求解.数形结合巧运用，零点分布妙化解.利用一个简单的数学知识——零点存在定理和一个常用的数学 思想方法——数形结合，把二次函数零点分布问题 的解题方法系统化、直观化和形象化，在题目的诸多变化中找到了数学解题的“不变性”，达到“以不变 应万变”的解题教学效果，从而能够促进学生的深 度思考，提升学生的解题能力，优化学生的数学思维 品质，发展学生的数学核心素养.(说明：本文中出现的函数图像，都是在假设存 在的前提下依据题意画出的草图，并不代表此函数 图像一定存在.尤其在涉及分类讨论求参数范围时，满足条件的函数图像是否真实存在取决于解题的结果是否有解.）参考文献：[1] 中学数学课程教材研究开发中心.普通中教科书数学必修第一册（2019年A版）[M].北 京:人民教育出版社，2019.[2] 安学保.讲在学生需要处，讲在思维深处——例谈高中数学解题教学中的问题驱动[J].中学数学教学参考，2019,（22) :54 -57.[3] 江春莲，胡玲.基于APOS理论和R M I原的二次函数图象平移教学实验研究[J].数学教育学报，2020,29(6) ：2 -39.[4] 葛丽婷，旆梦媛，于国文.基于UbD理论单元教学设计——以平面解析几何为例[J].数学 教育学报，2020,29(5) :5 -31.• 65•。
数形结合在解题中的应用(毕业论文)
数形结合在解题中的应用摘要：数形结合思想是一种非常重要的数学解题方法，是数学学习普遍适用的方法，把知识的学习、能力的提升和智力的发展有效结合.形与数常常结合在一起，在内容上相互联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化.本文在概述数形结合思想的基础上，分析了数形结合在中学数学解题中的应用，主要体现在处理集合问题、方程根的存在性问题、不等式问题、三角函数问题、求极值问题、线性规划问题和复数问题等，并针对解决不同类型的数学题目给出了详细的例题分析，最终给出了在培养学生利用数形结合思想时需注意的问题，以激发学生的学习兴趣，提高学生的解题能力和思维能力.关键词：数形结合；集合；方程；极值The combination of number and shape in the problem solving application（Mathematics and statistics of Jishou University College，Jishou Hunan 416000）Abstract: The number shape union thinking is a very important mathematical method of solving problems, is a generally applicable method of mathematics learning, to enhance the development of effective combination of intelligence and knowledge learning, ability. Form and number often together, communicate with each other in the content, permeate each other in method, transform each other under certain conditions. In this paper, based on the number and shape of thought, analysis the number shape union application in middle school mathematics, mainly set problem, in dealing with the existence of root of an equation,inequality, triangle function extremum problems, problems, linear programming problems and complex problems, and to solve different types of mathematics the title gives a detailed analysis of the example, the need to pay attention to combine ideas in training students to use number shape when the problem is given, to stimulate students' interest in learning, improve student's problem solving ability and thinking ability.Key words: The combination of number and shape,set, equation, extreme1引言我们学习数学，不仅仅是数的计算和形的研究，还有着数学思想和数学方法.好的数学思想能够引导学生使用正确的数学方法，从而准确、快速地解决数学问题，增强学生学习数学的兴趣.数形结合既是一种思想，也是一种方法.它的本质就是抽象思维与形象思维的结合，以“形”助“数”，或以“数”助“形”，使复杂问题简单化，使抽象问题直观化.所以，本文在概况数形结合思想方法的基础上，详细分析了数形结合在中学数学解题中的应用，并主要从下面几个方面进行了讨论：集合问题、方程根的存在性问题、不等式问题、三角函数问题、求极值问题、线性规划问题和复数问题等，而且还给出了各种类型对应的实际例题及其详细的求解过程.2数形结合思想方法概述主要概述数形结合的思想方法，并在此的基础上介绍数形结合思想的价值，为后面的内容“数形结合在中学数学解题中的应用”做铺垫.2.1 数形结合的思想方法中学数学研究的对象是现实世界的数量关系（数）和空间形式（形），数是数量关系的体现，而形则是空间形式的体现.数形结合思想就是通过“数”与”形”相结合来解决题目，在中学解题中有着广泛的应用，通过这个方法，我们常常能很容易的解决问题.2.2 数形结合思想的价值数形结合这种思维方法的运用，有助于我们解决中学许多数学问题，同时加深我们对数学问题本质的认识，使数学更具有创造性.数形结合在中学数学解题的整个过程中发挥着重要的作用.它有下面这些优点：第一，在解决相关的题目时，数形结合方法在思路上比较灵活，过程上很简便，方法上多样化；第二，数形结合思想方法为我们提供了很多种解决问题的道路，使我们解决问题更加灵活，也具有创造性；第三，数形结合丰富的思想内涵，能是引起大家的联想，启迪同学们的思维，拓宽解题的思路；第四，数形结合思想能提高学生数形转化能力，提高学生迁移思维的能力.3数形结合在中学数学解题中的应用接来下我主要讲述数形结合在解决集合、不等式、方程、三角函数、极值、线性规划和复数问题中的应用，并且给出了例题及详细解答过程，说明了数形结合在中学数学解题中应用非常广泛，是一种重要的解题方法.3.1 利用数形结合解决集合问题在中学数学中，集合问题是一类比较简单的题目，我们常常可以借助韦恩图或者数轴来解决这些问题，它的关键是怎么样准确将集合问题转化为图形.3.1．1利用韦恩图解决集合题目例1 有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？分析我们可用圆、、分别表示参加数理化小组的人数（如图1），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数.解用表示集合的元素，则有：即:所以：答：即同时参加数理化小组的有1人.图1例2 例若集合且,,试求与.分析利用韦恩图把元素放入相应位置，从而写出所求集合.解如图2，我们可得：.图23.1.2 利用数轴来解决集合问题例3 已知，.（1）若,求的取值范围；（2）若,求的取值范围.分析在数轴上标出集合、所含的元素的范围，利用、的位置关系确定参数的取值范围.解（1），利用数轴得到满足的不等式组，如图三，所以实数的取值范围是.图3（2）由知，利用数轴得到满足的不等式，，或，所以实数的取值范围是.图4从上面三个实际的例题可以看出，合理、灵活、巧妙地运用数形结合来解题，可以将复杂问题简单化，化难为易，有事半功倍之效.所以，平时应该注意培养数形结合思想.3.2利用数形结合解决方程问题数形集合思想在方程的题目中经常用到，尤其是含有一次式、二次式、对数式和指数式方程，下面就是几种常见的题型中用到了数形结合.3.2.1 数形结合在含有一次、二次式的方程中的应用下面两个例题将把方程进行变换再求解，再根据相对应图形的性质来解答，这样可以加深我们对基本概念的理解，加强对基本知识与基本技能的灵活运用.例4[5] 当时，关于的方程的解的个数是多少？图5函数图像分析这道题原方程中包含有绝对值运算符号，我们直接求解比较困难，所以，我们能想到求方程解的个数等价于就其相对应函数图形的交点.解由于则令和如图5示我们把函数和的图像画出来其交点个数就是我们方程所以求得的解的个数即原方程解的个数是三个例5 当取何值时，方程有唯一解？有两解？无解？分析用换元法，令，再转化为求解二次函数与一次函数的交点的个数问题.O图6解原方程即令.则有,再令及.则方程解的个数等于直线与抛物线的交点的个数由图6可知当或时，原方程有唯一解；当时，原方程有两个不同的实数解；当或时，原方程无解.3.2.2数形结合在含对数、指数的方程的应用由于对数式、指数式形式比较特殊，所以在解决一些含对数、指数方程时，我们时常可以根据它们性质画图来解.例6.. 1个. 2个. 3个. 1个或2个或3个解出两个函数图象，由图7易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根,选（）.图7例7 方程lgx+x=3的解所在区间为（）．(0，1)．(1，2)．(2，3)．(3，+∞)分析我们可以把原方程拆分成函数与，求原方程解所在的区间也就是求这2个函数的交点所在区间.y=-x+3y=lgx图8解如图8所示，函数y=lgx与y=-x+3它们图像交点的横坐标显然在区间(1，3)内，由此可排除，至于选还是选，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较与2的大小．当x=2时 lgx=lg2 3-x=1．由于lg2＜1因此＞2 从而判定∈(2，3)，故本题应选在上面四个例题中，我们可以知道利用数和形的各自优势，往往能使我们尽快地找到解题途径或简化解题过程，给解题带来极大的方便.3.3 数形结合在求不等式问题中的应用不等式在中学数学有着重要地位，而不等式的证明又是个难题，它的题型广泛、灵活.下面我将从运用代数式的几何意义或借助函数的图象构造几何图形入手，利用数形结合的思想来巧妙地求解不等式问题.3.3．1 构造适当的平面图形，利用三角形三边的关系来证明不等式我将举常见的两个证明题，并且给出详细解答步骤，来说明不等式和数形结合思想的巧妙结合.例8 已知实数，请证明如下不等式成立.分析：我们可以构造一个四边形，在利用勾股定理来解.证明：如图9所示，作以,为上、下底，为高的直角梯形，在图中有.图9 直角梯形BCDE则根据勾股定理有又因为，则有如下不等式的成立对上述不等式的两边平方可得到即原不等式成立得到证明.例9 已知都是正数，且，求证：.分析要从不等式的结构上观察，可以联想到三角形相似比的问题，因此我们可以构造图形来进行证明.证明如右图10所示，构造一个直角三角形，在边上取一点，并且使得，过点作，垂足为令.由于即图103.3.2 构造适当的函数，利用函数图象性质证明不等式。
(完整版)数形结合思想例题分析(最新整理)
数形结合思想例题分析
一、构造几何图形解决代数与三角问题： 1、证明恒等式：
例 1 已知 x 、 y 、 z 、 r 均为正数，且 x2 y2 z2 , z
求证： rz xy.
C
x2 r2 x2
y A
r
x
B z
分析：由 x2 y2 z2 , 自然联想到勾股定理。由 z x2 r 2 x2. 可以联想到
则 G、E、D 三点共线时，GE+ED=DG 最短。作出图形，延长 DB 至 F，使 BF//AG 且
BF=AG，连接 GF.
2
则在 Rt△DGF 中，DF=1+2=3，GF=AB=2
D
1 a Eb B
2
DG DF 2 GF 2 32 22 13
G
2
F
CE+DE 的最小值是 13.
即 a2 4 b2 1 的最小值是 13.
AB CF ＞ AC BE
当A 90时 , AB CF = AC BE .
3 /5
数形结合思想例题分析
综上： AB CF AC BE.
小结：以上两种证明方法，分别采用了三角法与代数法，较之纯几何证法来，易于想到。
例 7 如图，在正△ABC 的三边 AB、BC、CA 上分别有点 D、E、F.若 DE BC，EF AC，FD AB 同时成立，
射影定理。从而可以作出符合题设条件的图形（如图）。对照图形，由直角三角形面积的两种 算法，结论的正确性一目了然。
证明：（略） 小结：涉及到与平方有关的恒等式证明问题，可构造出与之对应的直角三角形或圆，然 后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。
2、证明不等式：
例 2 已知：0＜ a ＜1，0＜ b ＜1. 求证
高中数学数形结合思想必考题型全梳理（附例题）
⾼中数学数形结合思想必考题型全梳理（附例题）数学好教师2020-07-17⼀数形结合的三个原则⼀等价性原则在数形结合时，代数性质和⼏何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．⾸先，由代数式、⽅程、不等式构造函数时⼀要注意变量(包括⾃变量和因变量)的取值范围。
⼆双向性原则既要进⾏⼏何直观分析，⼜要进⾏相应的代数抽象探求，直观的⼏何说明不能代替严谨的代数推理.另⼀⽅⾯，仅⽤直观分析，有时反倒使问题变得复杂，⽐如在⼆次曲线中的最值问题，有时使⽤三⾓换元，反倒简单轻松.三简单性原则不要为了“数形结合”⽽数形结合．具体运⽤时，⼀要考虑是否可⾏和是否有利；⼆要选择好突破⼝，确定好主元；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运⽤函数图象时应设法选择动直线(直线中含有参数)与定⼆次曲线．⼆数形结合的应⽤⼀利⽤数轴、韦恩图求集合利⽤数形结合的思想解决集合问题，常⽤的⽅法有数轴法、韦恩图法等。
当所给问题的数量关系⽐较复杂，不好找线索时，⽤韦恩图法能达到事半功倍的效果。
⼆数形结合在解析⼏何中的应⽤解析⼏何问题往往综合许多知识点，在知识⽹络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的⾓度把抽象的数学语⾔与直观的⼏何图形结合起来，达到研究、解决问题的⽬的.构建解析⼏何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；如果等式、代数式的结构蕴含着明显的⼏何特征，就要考虑⽤数形结合的⽅法来解题，即所谓的⼏何法求解，⽐较常见的对应有：（⼀）与斜率有关的问题（⼆）与距离有关的问题三数形结合在函数中的应⽤（⼀）利⽤数形结合解决与⽅程的根有关的问题【点拨】数形结合可⽤于解决⽅程的根的问题，准确合理地作出满⾜题意的图象是解决这类问题的前提.（⼆）利⽤数形结合解决函数的单调性问题（三）利⽤数形结合解决⽐较数值⼤⼩的问题（四）函数的最值问题（五）利⽤数形结合解决抽象函数问题四运⽤数形结合思想解不等式（⼀） 解不等式（⼆）求参数的取值范围五运⽤数形结合思想解决三⾓函数问题纵观近三年的⾼考试题，巧妙地运⽤数形结合的思想⽅法来解决⼀些问题，可以简化计算，节省时间，提⾼考试效率，起到事半功倍的效果.六解决⼏何问题图象解决⼏何问题借助向量的借助向量的图象利⽤向量可以解决线段相等，直线垂直，⽴体⼏何中空间⾓（异⾯直线的⾓、线⾯⾓、⼆⾯⾓）和空间距离（点线距、线线距、线⾯距、⾯⾯距），利⽤空间向量解决⽴体⼏何问题，将抽象的逻辑论证转化为代数计算，以数助形，⼤⼤降低了空间想象能⼒，是数形结合的深化。
第二讲数形结合的思想
3|≥10的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．
答案 D
2．设函数 f(x)(x∈R)满足 f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－ x)，且当 x∈[0,1]时，f(x)＝x3.又函数 g(x)＝xcos πx，
则函数
1 3 h(x)＝g(x)－f(x)在－2，2上的零点个数为
第二讲
数形结合思想
自主学习导引
1．不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是 A．[－5,7] B．[－4,6] C．(－∞，－5]∪[7，＋∞) D．(－∞，－4]∪[6，＋∞)
解析 令y＝|x－5|＋|x＋3|， 则函数对应的图象为
令y＝10，即|x－5|＋|x＋3|＝10， 得x＝－4或x＝6，结合图象可知|x－5|＋|x＋
【变式训练】
1．已知函数
x2＋1，x≥0， f(x)＝ 1， x＜0，
则满足不等式
f(1－x2)＞f(2x)的 x 的取值范围是________．
解析 作出函数f(x)的图象如图所示．
由图象可知不等式 f(1－x )＞f(2x)可化为 1－x ≥0， 1－x2＞0， 2x≥0， 或 2x＜0. 1－x2＞2x，
则函数y＝f(x)－log5|x－1|的零点个数是 A．8 [审题导引] B．9 C．10 D．11 利用函数的性质作出函数f(x)与y＝log5|x
－1|的图象，两图象交点的个数即为零点的个数．
[规范解答] 由题意知偶函数f(x)的周期T＝2. 在同一坐标系下作出函数 f(x)及函数φ(x)＝ log5|x－1|的图象如图所示：
1．数形结合的思想
所谓数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内 在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量 关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种 “结合”，寻找解题思路，使问题得到解决．数形结合是 根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化 来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过 “以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题 具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了 解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．
利用数形结合思想解决数学问题
利用数形结合思想解决数学问题摘要：数形结合思想作为一种将代数知识与几何知识紧密结合起来的思想被学生广泛的应用到数学解题中。
本文围绕数形结合思想应用于初中数学解题中的有效方法进行分析，以期为其他同学运用数形结合思想成功解题提供参考和帮助。
关键词：数形结合初中数学数学思想数形结合思想是初中数学中一种重要的数学思想。
在近几年中考数学试卷中，利用数形结合思想解决问题的题目屡见不鲜，而且有逐年加强的趋势，可见其重要性。
数学中的数量关系很多都可以用直观的图像来表示，所有图形当中也都包含了一定程度的数量关系，“数”与“形”都是组成数学的重要基础。
因此，将“数”“形”结合起来更能全面直观的解决数学问题，数形结合是一种重要的解题思想，主要方法是将“数”与“形”联系在一起，以数解形，以形助数。
在《义务教育数学新课程标准》中提到：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如：数形结合思想等.”所谓数形结合，就是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。
利用它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，很多难题便迎刃而解，而且解法简便易懂。
数与形是密切相关的两个数学表象，在解决数学问题时，我们要把它们有机的结合起来，并相互转化，即把几何图形转化为数量关系问题, 应用代数、三角函数等知识进行讨论, 或者把数量关系问题转化为图形问题, 借助几何知识加以解决, 使学生看到“形”能想到“数”, 而看到“数”则能想到“形”，最终达到优化解题途径的目的。
一、以形助数，化难为易。
“形”具有直观、形象等优点，同时能简便的表达复杂的思维，能将枯燥的数学理论趣味化，能将算理变清晰，能把复杂的数学问题变得简单化，但数学图形在平面几何中，要画出想要的图形则必须借助数值的变化和计算，因而要真正的认识形的变化，必须联系到数中来认识形，借助数理，找出图形中所包含的相应的数量关系，即用数学的方法放在图形上去解决几何问题，特别是对于题型比较复杂的“形”，我们不仅要能正确的把图形进行数字化，同时还必须要仔细的观察图形的结构特点，找出所给题目中隐含的已知条件，利用好题目中数与形之间的关系，把“形的问题”正确的转化为“数的问题”，具体的把图形的位置关系转化为数量关系，再对所得的数进行分析和计算，达到解决图形问题的目的。
中考数学专题之数形结合
中考数学专题 数形结合知识梳理数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．另外,由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的．华罗庚先生曾指出:“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．”这充分说明了数形结合数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想．典型例题一、在数与式中的应用【例1】实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简2a ab +-=_________．【分析】 由数轴上a ，b 的位置可以得到a 〈0，b>0且a <b ．∴2a a =-，a b b a -=-．【解】()22a a b a b a a b +-=-+-=-+【例2】 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……,则搭n 条“金鱼”需要火柴_________根．【分析】 由图形可知，搭1条金鱼需要8根火柴棒，后面每多一条就多6根火柴棒，所以搭n 条金鱼共需8+6（n －1）=(6n+2)根火柴棒． 【解】6n+2二、在方程、不等式中的应用【例3】 （08聊城）已知关于x 的不等式组020x a x ->⎧⎨->⎩的整数解共有2个，则a 的取值范围是___________．【分析】解不等式组得解集为2x ax >⎧⎨<⎩，我们可以将x<2标注在数轴上，要使得不等式组有2个整数解，由图象可知整数解为0，1，则a 应在－1～0之间，且可以等于－1，但不能为0，所以以的取值范围是－l ≤a <0．【解】 1≤n 〈0【例4】(08南通)用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示)，则所解的二元一次方程组是（）A．203210x yx y+-=⎧⎨--=⎩B．2103210x yx y--=⎧⎨--=⎩C．2103250x yx y--=⎧⎨+-=⎩D．20210x yx y+-=⎧⎨--=⎩【分析】根据图象我们可以知道这个方程组的解为11xy=⎧⎨=⎩,只要将解进行代入检验即可．【解】D【例5】已知二次函数y=a x2+bx+c的图象如图所示，若关于x的方程a x2+bx+c－k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）A．k〉3 B．k=3 C．k<3 D．无法确定【分析】如果根据b2－4a c的符号来判别解的情况，本题将无从入手，可将原方程变形为a x2+bx+c=k,从而理解成是两个函数的交点问题，即2y ax bx cy k⎧=++⎨=⎩，由图象可知只要y=k〈3就一定定与抛物线有两个不同的交点，所以答案选C．【解】C三、在函数中的应用【例6】(08安徽)如图为二次函数y=a x2+bx+c的图象，在下列说法中：①a c<0 ②方程a x2+bx+c=0的根是x1=－1,x2=3 ③a+b+c>0 ④当x>1时，y随x的增大而增大正确的说法有__________．(把正确的答案的序号都填在横线上）【分析】由图象可知，开口向上，与x轴交于－1和3两点,与y轴交于负半轴，则a>0，c〈0；由对称性知对称轴x=1,所以结论①②④正确．【解】①②④【例7】某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线如图所示，为经过原点O 的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)．要跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面2103米，入水处距池边的距离为4米，同时,运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势，否则就会出现失误， (1）求这条抛物线的解析式；（2)在某次试跳中，测得运动员在空中运动路线是如图抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3导米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．【分析】（1)在给出的直角坐标系中,要确定抛物线的解析式,就要确定抛物线上三个点的坐标，如起跳点O(0,0),入水点（2,－10),最高点的纵点标为23． （2)求出抛物线的解析式后，要判断此次跳水会不会失误， 就是要看当该运动员在距池边水平距离为335米，3332155x =-=时, 该运动员距水面高度与5米的关系．【解】(1）在给定的直角坐标系下,设最高点为A ，入水点为B ，抛物线的解析式为y=a x 2+bx+c ，由图可知，O ，B 两点的坐标依次为（0，0)(2，－10），且顶点A 的纵坐标为23,则2042104243c a b c ac b a ⎧⎪=⎪⎪++=-⎨⎪-⎪=⎪⎩,解得2561030a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩或3220a b c ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩抛物线的对称轴在y 轴右侧，∴02b a ->．又抛物线开口向下，∴256a =-,103b =,c=0，∴2251063y x x =-+．（2）当运动员在空中距池边距离为335米时,即383255x=-=时，63y=-，∴此时运动员距水面高为16410533-=<．因此，试跳会出现失误．四、在概率统计中的应用【例8】(05江西)某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况,对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图所示的条形统计图:（1）请写出从条形统计图中获得的一条信息;(2）请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图，并说明这两幅统计图各有什么特点；(3)请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议．【分析】观察条形统计图可以计算出调查总人数，画扇形统计图需计算出第一版、第二版的百分比和圆心角,分别为15003601085000⨯︒=︒，500360365000⨯︒=︒,建议可从不足的方面提出．【解】(1）参加调查的人数为5000人；（2)如图所示：条形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数．扇形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数占所调查的总人数的百分比．(3）如：建议改进第二版的内容,提高文章质量，内容更贴近生活,形式更活泼些．综合训练1．“数轴上的点并不都表示有理数,如图中数轴上的点P 所表示的数是2"，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做( )A ．代入法B ．数形结合C ．换元法D ．分类讨论2．（08大连）如图,两温度计读数分别为我国某地今年2月份某天的最低气温与最高气温，那么这天的最高气温比最低气温高 （ ）A ．5℃B ．7℃C ．12℃D ．－12℃3．某人从A 地向B 地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟以内收费2．4元,此后每加1分钟加收1元，则表示电话费y(元）与通话时间（分)之间的关系的图象正确的是（ ）4．若M 112y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，N 214y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，312y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，三点都在函数ky x=(k<0）的图象上，则y 1，y 2,y 3的大小关系为（ ）A ．y 2>y 3>y 1B ．y 2〉y 1>y 3C ．y 3>y 1〉y 2D ．y 3〉y 2〉y 15．关于x 的一元二次方程x 2－x －n=0没有实数根，则抛物线y=x 2－x －n 的顶点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限( )6．(08临沂）若不等式组302741x a x x +<⎧⎨+>-⎩的解集为x 〈0，则a 的取值范围为 ( ）A ．a 〉0B ．a =0C ．a >4D ．a =47．(08镇江)福娃们在一起探讨研究下面的题目：函数y=x 2－x+m （m 为常数)的图象如图所示，如果x=a 时，y<0;那么x=a －1时,函数值（ )下面是福娃们的讨论,请你解答该题．贝贝:我注意到当x=0时，y=m〉0．晶晶：我发现图象的对称轴为x=1 2欢欢：我判断出x1<a〈x2．迎迎:我认为关键要判断a－1的符号．妮妮：m可以取一个特殊的值．A．y<0 B．0<y<m C．y〉m D．y=m8．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=150°,OA=OB=2，则点A、B的坐标分别是_________和_________．9．在边长为a的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形（a>b）如图1，把余下的部分剪拼成一个矩形如图2，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是_______________．10．（08绍兴）如图，已知函数y=x+b和y=a x+3的图象交点为P,则不等式x+b>a x+3的解集为__________．11．方程组211y xy x=-⎧⎨=--⎩的解是__________．12．（08广州)如图，为实数a 、b 在数轴上的位置，化简()222a b a b ---．13．(02南京）（1)阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b,A 、B 两点之间的距离表示为AB ．当A 、B 两点中有一点在原点时,不妨设点A 在原点，如图1，AB OB b a b ===-； 当A 、B 两点都不在原点时，①如图2,点A 、B 都在原点的右边AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-; ②如图3，点A 、B 都在原点的左边,()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=-； ③如图4,点A 、B 在原点的两边，()AB OB OA a b a b a b =+=+=+-=-．(2)回答下列问题:①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______,数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是_______,数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________；②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是_________，如果2AB =，那么x 为__________; ③当代数式12x x ++-取最小值时，相应的x 的取值范围是____________．14．(08苏州）某厂生产一种产品,图①是该厂第一季度三个月产量的统计图，图②是这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图,统计员在制作图①、图②时漏填了部分数据．根据上述信息,回答下列问题：(1)该厂第一季度_________月份的产量最高．（2）该厂一月份产量占第一季度总产量的_______％．(3)该厂质检科从第一季度的产品中随机抽样，抽检结果发现样品的合格率为98％．请你估计：该厂第一季度大约生产了多少件合格的产品？（写出解答过程)15．(08恩施）如图所示,C 为线段BD 上一动点,分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC ．已知AB=5,DE=1，BD=8；设CD=x ．（1)用含x 的代数式表示AC+CE 的长；(2）请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小？(3）根据(2）中的规律和结论，请构图求出代数式()224129x x ++-+的最小值．16．如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0)、B （3,0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。
函数中的数形结合思想
函数中的数形结合思想“数少形时缺直观，形少数时难入微”，它准确地告诉我们：数形结合，相得益彰；利用数、式进行深入细致的分析；利用图形直观又可以看出数、式的内在关系；数形结合思想是重要的数学思想，它是分析问题的思路基础. 因此，每年高考一定会重点考查，本文主要谈一下函数中的数形结合思想.一、函数中的由数到形由数到形是函数中数形结合的第一步，面对一个函数可以思考到其图形的特征，并能抓住这个特征进行深入分析，只有如此，才可能在函数中应用到数形结合思想.例1．设a＜b，函数y=（x-a）2（x-b）的图像可能是（）解析：看看函数式，可以发现x→+∞时，y→+∞，再看图形特征，立即排除A、B；再看a<x<b时，y<0，再看图形，排除D，于是选C.点评：本题将函数式的特征与图形特征对照分析，很快排除了干扰支，产生正确结论.例2．函数y=的图像大致为（）解析：首先由函数的定义域可得ex≠e-x?圯x≠-x?圯x ≠0，看看图形，立即排除C、D.再由y′==-<0，即函数递减，选A.点评：本题若是想先作出图形，再对照选项选出结论的话，可能永远无法达到目的，由数到形，为我们求解此类问题开辟新的通道.二、初等函数图形的应用初等函数是我们接触到最为基础的函数，也是最为重要的函数，高考对其考查也相当频繁，因此，掌握初等函数的图形应用是在函数中应用数形结合思想的重要基础.例3．当a>1时，函数y=ax与函数y=logax的图像的交点个数（）A．可能是0个、1个或2个B．只可能是2个C．只可能是0个D．可以是3个解析：假定y=ax与y=x相切于（x0，y0），则切线方程为y-a=a（lna）•（x-x0），因为过原点，得x0=，而x0=y0=a，所以=a，从而a=e，那么：（1）若a>e时，y=ax与y=x没有交点，故函数y=ax与函数y=logax的图像的交点个数为0；（2）若a=e时，y=ax与y=x相切，故函数y=ax与函数y=logax的图像的交点个数为1；（3）若1于是，正确的答案为A.点评：本题凭主观易错选答案C，当我们对图形能够深入的分析以后会发现真正的正确答案却是A.例4．设函数f（x）定义在实数集上，它的图像关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x-1，则有（）Ａ．f（）< f（）< f（）Ｂ．f（）< f（）< f（）Ｃ．f（）< f（）< f（）Ｄ．f（）< f（）< f（）解析：建立在x≥1时，f（x）=3x-1，且f（x）的图像关于直线x=1对称的基础上可得f（x）的图像如右.欲比较f（），f（），f（）大小，主要看，，与对称轴的距离，易得f（）< f（）< f（），选B.点评：本题借助图像会很轻松地产生结论，倘若没有图像，可能要在“黑暗”中摸索更长一段时间.三、抽象函数图形的应用只有函数符号而没有具体函数式的函数，我们称为抽象函数.对于抽象函数，我们要根据所给出的条件对其图形进行分析、判断，可以发现图形的特征，并利用这些特征.例5．设f ′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f ′（x）的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）解析：由于y=f（x）的单调性决定了f ′（x）是否大小零，可以看出A有可能正确，其中直线是y=f ′（x）的图像；B、C都有可能正确，x轴上方的是y=f ′（x）的图像；D不可能正确，故选D.点评：本题要将函数与其对应的图像性质紧密结合在一起，通过函数与导函数图像之间的关系产生结论.例6．若函数f（x）的反函数为f-1（x），则函数f （x-1）与f -1 （x-1）的图像可能是（）解析：由于f（x）与f -1（x）的图像关于y=x对称，而f （x-1）与f -1 （x-1）的图像是分别将f（x）与f -1（x）的图像向右平移一个单位而得到，显然，对称性不改变，观察选项知正确答案为C.点评：“数”与“形”的关系是十分微妙的，本题如果你追求先作出图形再产生结论的话，此题你将永远无法完成.通过“数”的关系，产生“形”的关系，再利用“形”的关系产生结论，“数”与“形”的转化非常完美.四、函数图形性质的应用函数的图像性质主要指单调性、奇偶性、对称性及图形的平移换等.这些性质是函数的重要性质也是各类考试经常命题考查的性质，因此，我们必须能够将这些性质灵活应用.例7．已知函数f（x）=x2+4x，x≥04x-x2，xf（a），则实数a的取值范围是（）A．（-∞，-1）∪（2，+∞）B．（-1，2）C．（-2，1）D．（-∞，-2）∪（1，+∞）解析：作出f（x）=x2+4x，x≥04x-x2，x<0的图像，如下图：由图像可知f（x）在定义域内是增函数于是，由f（2-a2）>f（a），得2-a2>a?圯-2点评：本题通过图形，立即发现函数是增函数，从而将函数值的不等关系转化为二次不等式，方便、快捷地产生了结论.例8．把函数f（x）=x3-3x的图像C1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图像C2．若对任意的u>0，曲线C1与C2至多只有一个交点，则v的最小值为（）A．2B．4C．6D．8解析：设曲线C2的解析式为y=（x-u）3-3（x-u）-v则方程（x-u）3-3（x-u）-v=x3-3x，即3ux2（u3-3u+v）≤0，即v≥-u3+3u对任意u>0恒成立，于是v≥-u3+3u的最大值，令g（u）=-u3+3u（u>0），则g（u）=-u2+3=-（u-2）（u+2）. 由此知函数g（u）在（0，2）上为增函数，在（2，+∞）上为减函数，所以当u=2时，函数g（u）取最大值，即为4，于是v≥4.点评：本题通过函数的单调性，顺利产生函灵敏的最大值，结合最大值产生结论.函数性质的利用为求解辅平了道路.五、注重函数图形的变换函数图形的对称变换、平移变换等，是函数图形变换的常用技法.有些函数问题的求解，其重心就在于图形的这些变换，抓到了，可求.否则，望题兴叹.例9．若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x-1）=5，x1+x2＝（）A．B．3C．D． 4解析：由２x+2x=5?圯2x-1=-x，令y1=2x-1，y2=-x，则x1是两函数图像交点的横坐标.又由2x+2log2（x-1）=5?圯log2（x-1）=-x，再令y3=log2（x-1），则x2两函数y1，y3图像交点的横坐标.由于y1=2x-1与y3=log2（x-1）的图像关于y=x-1对称，结合图像，易知x1+x2=2x0，联立y=x-1与y=-x得2x0=，选C.点评：本题不仅要会画图，更重要的是善于分析图形的关系，若你能得到两个图像关于对称，结论也就基本产生了.例10．设函数f0（x）=x，f1（x）=f0（x）-1，f2（x）=f1（x）-2，则函数y=f2（x）的图像与x轴所围成的图形中的封闭部分的面积为.解析：若想一下子作出y=f2（x）的图像很不容易，当我们了解了y=f（x）及y=f（x）的图像之间的关系以后按照顺序f0（x）=x→y= f0（x）-1→f1（x）=f0（x）-1→f0（x）=x →y=f0（x）-1→f1（x）=f0（x）-1→y=f1（x）-2→f2（x）=f1（x）-2作图形变换，就容易作出y= f2（x）的图像.易得答案为7.点评：本题又是如何利用图形的呢？只须按要求一步一步地进行变换，很快就可以得到了图形，有了图形再产生结论，真是易如反掌.六、合理构造，巧妙应用图形不是说每一题的图形都是十分清楚的，很多时候是要根据题中的条件进行构造，当构造成功时，结论自然也就产生了.例11．若f（x）是奇函数，且在（-∞，０）上是增函数，又f（－２）＝０，则满足（x+1）f（x-1）>0的x范围为.解析：注意到奇函数，同时注意到在（-∞，０）上是增函数，又f（－２）＝０，于是，构造一个草图，结合草图转化不等式.由（x+1）f（x-1）>0?圯x+1>0，f（x-1）>0或x+1-1，-22或x2，即x的范围为{x|x2}.点评：本题的求解草图提供了很大帮助，草图是如何构造的呢？奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称，这是我们必须知道的.例12．函数f（x）=-的最大值为.解析：对已知函数进行变形，得f（x）=-可以构造为动点（x，x2）到两定点（3，2），（0，1）的距离之差，由于动点（x，x2）的轨迹为抛物线y=x2，如图易得连结（3，2），（0，1）并延长交抛物线于点A，此时，两点（3，2），（0，1）之间的距离，即为所求的最大值，其值为.点评：本题的构造构造难度较大、灵活性也较大，当完成这种构造之后，结论也就差不多产生了，当然，没有这种构造想产生结论真的相当难.七、数形结合的隐性应用数形结合的高级阶段是数形结合的隐性应用，整个求解过程并未看见图形在哪里？但结论的产生还真的离不开图形.例13．若x∈[0，1]时，22x-7解析：由22x-7设f（x）=x•lg+lg，由x∈[0，1]时，f（x）<0恒成立得：f（1）<0，f（0）<0?圯lg+lg<0，lg<0?圯lg<0，01，0点评：建立在f（x）<0恒成立的基础上，如何能产生f（1）<0，f（0）<0呢？是抓住了线段的特点，利用了线段的这一特点促使结论产生.例14．设f（x）是定义在[0，1]上的函数，若存在x*∈（0，1），使f（x）在[0，x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f（x）为[0，1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意[0，1]的上的单峰函数f（x），下面研究缩短其含峰区间长度的方法．（Ⅰ）证明：对任意的x1，x2∈（0，1），x1<x2，若f （x1）≥f（x2），则（0，x2）为含峰区间；若f（x1）≤f（x2），则（x1，1）为含峰区间；(Ⅱ)对给定的r（0<r<0.5），证明：存在x1，x2∈（0，1），满足x2-x1≥2r，使得由(Ⅰ)所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r；(Ⅲ)选取x1，x2∈（0，1），x1<x2，由(Ⅰ)可确定含峰区间为（0，x2）或（x1，1），在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为（0，x2）的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34(区间长度等于区间的右端点与左端点之差).解析：（I）当f（x1）≥f（x2）时，假设x*?埸（0，x2），则x1f（x1），这与f（x1）≥f（x2）矛盾，所以x*∈（0，x2），即（0，x2）是含峰区间.同理可证：当f（x1）≤f（x2）时，（x1，1）是含峰区间.（II）当f（x1）≥f（x2）时，含峰区间的长度为l1=x2；当f（x1）≤f（x2）时，含峰区间的长度为l2=1-x1；由题意得x2≤0.5+r，1-x1≤0.5+r，于是1+x2-x1≤1+2r，即x2-x1≤2r.又x2-x1≥2r，所以x2-x1=2r，那么x1=0.5-r，x2=0.5+r.显然，存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r.（III）对先选择的x1，x2，x1<x2，由（II）可知x1+x2=1.在第一次确定的含峰区间为（0，x2）的情况下，x3的取值应满足x3+x1=x2，x2=1-x1，x3=1-2x1，当x1>x3时，含峰区间的长度为x1；由条件x1-x3≥0.02，得x1≥0.34. 因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x1=0.34，x2=0.66，x3=0.32.点评：本题设计的是一道研究性实验题，求解过程中始终将函数的图形联系在一起，为了缩短含峰区间的长度，始终要注意到“峰”的位置，必须注意函数图形的隐形应用.没有数形结合，就不可能产生本题中的三个结果.数形结合思想作为数学中的重要思想方法在函数中的体现远非就这么一点，这里只是起到“点睛”作用，更丰富、更精彩的应用还待同学们留心观察和总结.（作者单位：中山市第一中学）责任编校徐国坚“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”。
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± 2
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x
小
结
本节讲了方程、函数、不等式中 的数形结合问题，在解题时既要由 数想形，又要以形助数。常见的 “以形助数”的方法有：
（1）借助于数轴，运用数轴的有关概念， 解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、 并、补、运算等问题是非常有效的。
（2）借助于函数图象，利用函数图象 分析问题和解决问题是数形结合的基本 方法。
例1、设函数f(x)是函数y=1-x与函数 y = x+1 中的较 小者，则函数f(x)的最大值为 。
分析： y = x + 1即y2 = x + 1( y ? 0), 其 图象为抛物线的一部分，y=1-x表示一条直 y = x+ 1 线，在同一坐标系中作出y=1-x与 图象可知f(x)的图象应为图中实线部分。故
华罗庚先生曾指出：
数缺形时少直觉， 形少数时难入微。 数形结合百般好， 隔裂分家万事非。
作业：
1.求函数 y = | log |x- 1| | 2 区间 2.已知关于x的方程 x
x
2
的单调递增
- 4| x |+ 5= m
的根的个数
有4个不相等的实根，则实数m的取值范围 3. 求方程
lg = sin x
为_________。
2 2 ( x ， y ) | x + y = 9， 0 < y ? 3} 集合M可化为 { 分析：
表示以(0,0)为圆心,以3为半径 的圆在x轴上方的部分。 集合N则表示一组平行直线,如图, 欲使 M∩N≠φ 即,直线与半 圆有公共点,则直线向上平移与圆 相切向下平移过点(3,0) 易知 -3<b≤ 3 2
y
5 2
3 4
如图
-1
0
-9 16
1 - 2
x
-1
析 ：问题可转化为抛物线
3 3 2 9 y1 = x - x = ( x - ) 2 4 16
2
与直线 y2 = k 的交点个数问题 。 y
5 2
3 4
如图
1 2
-1
0
-9 16
1 - 2
x
≤ k ＜
5 2
-1
例3：
对一切实数x不等式 |x+1|+|x-2|>m 恒 成立，则实数m的取值范围是________.
数形结合在函数、方程与不等式中的
简单应用（一）
执教：龚光勇
安乡五中数学组
2005年11月
数形结合:就是把抽象的数学语
言与直观的图形结合起来进行思索， 使抽象思维与形象思维结合，通过 “以形助数”或“以数解形”，从而 利用数形的辩证统一，使复杂问题 简单化，抽象问题具体化，从而起 到优化解题途径的目的。数形结合 是历年高考重点内容之一。
y
2
y=2
O
X
y=-2
x=a
作函数
1 y= x
1 y= x
，y=-3,y=2的图象，观察
的图象夹在两直线之间的部分。易知，
y
1 2
1 3
1 1 x < - 或x > 3 2
y=2
o
x
y=-3
练习：
2.在同一坐标系中,y =
y
ax2 + bx 与y=ax+b (ab ¹ 0) 的图象可能是( D
y O y y
X X
)
O
x
O
X
O
A
B
C
D
1 1 x < - 或x > 1 3 2 4、若-3< <2，则x的取值范围是____________________________.
3、要使不等式 - 2 ? x 2 2ax + 6 ? 2 恰有一解，则a=
此题中应注意抛物线过原 点，直线与抛物线在X轴上的 一个交点重合。直线的斜率为 a在Y轴上的截距为b。
作函数 y = x - 2ax + 6 及y=2，y=-2的图象，要使 2 y = x - 2ax &方程 x 2 - 2ax + 6 = 2 两个相等实根,据此可求 a的值。
y
3 2
b o 3 x
-3
练习：
2 y = ax + bx + c 的系数满 １.如图已知二次函数 足abc<0,则 该二次函数的图象可能是（ C ）
y o X
y
y
y X o X
o
X
O
A B C D 说明：本题考查读图视图能力，要求能准确理解图形中所包含的信 息，由形想数。
分析：由开口方向确定a的正负，由与y轴交点 的纵坐标判断C的正负，结合对称轴的位置可确 定b的符号。
思路一：根据绝对值的几何意义可知, 分析：
|x+1|+|x-2|表示数轴上的点到－1与2两点的距离之 和, 如图
|x+1|+|x-2|≥3，所以
|x-2| |x+1|
m<3
2 ｘ
x
●
-1
0
1
1-2x (x≤-1) 思路2：设f(x)=|x+1|+|x-2|，则 f(x)= 3 (-1＜x＜2), 2x-1 (x≥2 ) 易知 f(x)min=3,所以 m<3 y 3
●
思路3：利用|a|+|b|≥|a±b|,则 |x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 所以 m<3
y=m
●
-1
o
●
x
2
例4：
2 M = {( x , y ) | y = 9 x , y > 0} ,集合 若集合
N = {( x，y) | y = x + b} ,且
M
N¹ f
, 则b的取值范围
y
1 1
-1 o 1 x
f (x)max = 1
例２、关于x的方程
3 x - x= k 2
2
在（-1, 1）内只有一个实根，则k的取值范围 _______ （相等的根按两个计）
析 ：问题可转化为抛物线
与直线
3 3 2 9 y1 = x - x = ( x - ) 2 4 16
2
y2 = k 的交点个数问题。