高二解三角形综合练习题
高考大题专练二：解三角形的综合运用
专练27 高考大题专练(二) 解三角形的综合运用1．[2021·全国新高考Ⅰ卷]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b 2＝ac ，点D 在边AC 上，BD sin ∠ABC ＝a sin C .(1)证明：BD ＝ b ；(2)若AD ＝2DC ，求cos ∠ABC .2．[2020·全国卷Ⅱ]△ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sin C .(1)求A ；(2)若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值．3.[2020·新高考Ⅰ卷]在①ac ＝3 ，②c sin A ＝3，③c ＝3 b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝3 sin B ，C ＝π6，________？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．4．[2022·新高考Ⅰ卷，18]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A 1＋sin A＝sin 2B 1＋cos 2B. (1)若C ＝2π3，求B ； (2)求a 2＋b 2c 2 的最小值．5.[2022·山东新高考质量测评联合调研监测]在①cos ⎝⎛⎭⎫π3－B ＝12＋cos B ，②a sin A ＋c (sin C －sin A )＝b sin B ，③3c b cos A＝tan A ＋tan B 这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中．问题：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b ＝23 ，________．(1)求角B ；(2)求a ＋2c 的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．6．[2022·河北石家庄模拟]在①cos C ＝217，②a sin C ＝c cos ⎝⎛⎭⎫A －π6 ，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答．问题：△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，D 是边BC 上一点，BD ＝5，AD ＝7，且________，试判断CD 和BD 的大小关系________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．7．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C .(1)求A ；(2)若2 a ＋b ＝2c ，求sin C ．8．[2022·全国乙卷(理)，17]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinC sin (A －B )＝sin B sin (C －A ).(1)证明：2a 2＝b 2＋c 2；(2)若a ＝5，cos A ＝2531，求△ABC 的周长．。
高二数学解三角形试题
高二数学解三角形试题1.某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行30 nmile后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 .【答案】10【解析】设船开始为位置为原点O，灯塔的位置为A，船沿南60°东的方向航行30n mile后的位置为B，则依题意可知∠AOB=∠ABO=30°∴∠BAO=120°由正弦定理得=∴AB=sin∠AOB=10nmile即船与灯塔的距离是10nmile。
【考点】本题主要考查正弦定理的应用。
点评：解题的关键是正确理解“角”的概念，从而构建三角形，利用正弦定理求解。
2.甲舰在A处，乙舰在A的南偏东45°方向，距A有9 nmile，并以20 nmile/h的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲舰以28 nmile/h的速度行驶，应沿什么方向，用多少时间，能尽快追上乙舰？【答案】甲舰沿南偏东－arcsin的方向用0.75 h可追上乙舰.【解析】设th甲舰可追上乙舰，相遇点记为C则在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝120°由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosABC(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×(－)整理得128t2－60t－27＝0解得t＝ (t＝－舍去)故BC＝15（nmile），AC＝21( nmile)由正弦定理∴sinBAC＝×＝∠BAC＝arcsin故甲舰沿南偏东－arcsin的方向用0.75 h可追上乙舰.【考点】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用。
点评：综合性较强的典型题。
分析问题的背景，理解题意，灵活选用正余弦定理。
各种角的概念要把握准确。
3.如图所示，已知在梯形ABCD中AB∥CD，CD＝2, AC＝，∠BAD＝，求梯形的高.【答案】【解析】试题分析;解:作DE⊥AB于E，则DE就是梯形的高.∵∠BAD＝，∴在Rt△AED中，有DE="AD" ＝，即 DE＝AD. ①下面求AD(关键)：∵ AB∥CD，∠BAD＝，∴在△ACD中，∠ADC＝，又∵ CD＝2, AC＝，∴即解得AD＝3，(AD＝-5，舍).将AD＝3代入①，梯形的高考点 :本题主要考查余弦定理的应用，直角三角形中的边角关系。
高二数学解三角形试题答案及解析
高二数学解三角形试题答案及解析1.的内角的对边分别为，若，则=______.【答案】【解析】先利用正弦定理化简sinC=2sinB，得到c与b的关系式，代入a2−b2＝bc中得到a2与b2的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．【考点】解三角形.2.有一长为100米的斜坡，它的倾斜角为45°，现要把其倾斜角改为30°，而坡高不变，则坡长需伸长_____________米.【答案】100(－1)【解析】因为坡高为，所以倾斜角为30°时坡长为，因此需伸长100(－1) 米【考点】解直角三角形3.在中，，，，则 .【答案】4【解析】解法一：由正弦定理，,,所以答案应填：4.解法二：由余弦定理：整理得：解得：(舍去) ,. 所以答案应填：4.【考点】1、正弦定理、余弦定理；2、解三角形.4.在平面直角坐标系中，已知三角形顶点和，顶点在椭圆上，则 .【答案】【解析】由椭圆的标准方程，可知，此时恰好是椭圆的左、右焦点，由正弦定理可知，而由椭圆的定义可知，所以.【考点】1.正弦定理；2.椭圆的标准方程及其性质.5.在中，角所对的边分别为，且，.（1）求的值；（2）若，，求三角形ABC的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先用正弦定理将条件中的所有边换成角得到，然后再利用两角和的正弦公式、三角形的内角和定理进行化简可得的值；（2）利用（1）中求得的结果，结合及余弦定理，可计算出的值，然后由（1）中的值，利用同角三角函数的基本关系式求出，最后利用三角形的面积计算公式即可算出三角形的面积.试题解析：（1）由已知及正弦定理可得 2分由两角和的正弦公式得 4分由三角形的内角和可得 5分因为，所以 6分(2)由余弦定理得：9分由（1）知 10分所以 12分.【考点】1.正弦定理与余弦定理；2.两角和的正弦公式；3.三角形的面积计算公式.6.在中，角的对边分别为，且满足.（1）求角；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）或.【解析】本试题主要是考查了解三角形中正弦定理和余弦定理的综合运用，求解边和角的关系，同时也考查了三角形面积公式的运用.(1)根据已知中的边角关系可以用正弦定理将边化为角，得到角的关系式，得到角；(2)结合（1）中求出的角，运用余弦定理，求出的值，然后利用正弦面积公式可得所求.试题解析：（1）2分即4分6分（2）由余弦定理，得：即 8分即，解得或 10分∴由或 12分.【考点】1.解斜三角形；2.正、余弦定理；3.两角和差公式；4.三角形的面积计算公式.7.设是锐角三角形，分别是内角A，B，C所对边长，并且（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若，求（其中）．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数对等式的右端进行变形化简,既然目标求的是,则必可最终消去．（Ⅱ）根据及的值，可得关于的一个等式；在等式中，代入和可得关于的另一个等式，两式联立解方程组即得．试题解析：（Ⅰ）因为（Ⅱ）由可得①由（I）知所以②由余弦定理知及①代入，得③③+②×2，得，所以因此，c，b是一元二次方程的两个根．解此方程并由【考点】1．三角形内的三角恒等变换;2．向量的数量积;3．余弦定理．8.在面积为的△ABC中，角A、B、C所对应的边为成等差数列，B＝30°.（1）求；（2）求．【答案】（1）6 （2）【解析】(1)∵，又，∴，∴。
高二解三角形练习题及答案
高二解三角形练习题及答案一、选择题1. 已知∠ABC=60°，边AB=5，边AC=8，求∠ACB的大小。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2. 已知∠ABC=90°，边AB=15，边BC=20，求∠ACB的大小。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，底边AC=10，求∠C的大小。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4. 在△ABC中，∠A=45°，边AB=7，边AC=7，求∠C的大小。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题1. 在等腰三角形ABC中，∠C的度数是_____。
2. 在直角三角形ABC中，边AB的边长是12，边BC的边长是___，边AC的边长是___。
3. 在△ABC中，边AB的边长是6，∠A的度数是60°，∠B的度数是____，边AC的边长是___。
三、解答题1. 已知△ABC中，∠C=90°，边AB=5，边BC=12，求边AC的边长和∠ACB的大小。
解：根据勾股定理，我们可以得到AC的边长为13。
由于∠ACB是直角三角形的一个内角，所以必然等于90°。
所以，边AC的边长为13，∠ACB的大小为90°。
2. 已知△ABC中，边AB=8，边BC=10，边AC=12，求∠ACB的大小。
解：根据余弦定理，我们可以得到：cos∠ACB = (AB² + BC² - AC²) / (2 × AB × BC)cos∠ACB = (8² + 10² - 12²) / (2 × 8 × 10)cos∠ACB = 156 / 160cos∠ACB = 0.975∠ACB = arccos(0.975)使用计算器计算，得到∠ACB约为 12.68°。
高二数学解三角形试题
高二数学解三角形试题1.一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔距离为__________km.【答案】30【解析】解：如图，依题意有AB=15×4=60，∠MAB=30°，∠AMB=45°，在△AMB中，由正弦定理得，解得BMsin450=60sin300,BM=30,故可知船与灯塔距离为30 km.2.本题满分12分）设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, a=2bsinA(1)求B的大小;(2)求cosA+sinC的取值范围.【答案】（1）．（2）的取值范围为．【解析】本题是中档题，考查三角函数的化简求值，正弦定理与两角和与差的正弦函数的应用，考查计算能力（Ⅰ）结合已知表达式，利用正弦定理直接求出B的值．（Ⅱ）利用（Ⅰ）得到A+C的值，化简cosA+cosC为一个角的三角函数，结合角的范围即可求出表达式的取值范围1）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得．（2）．由为锐角三角形知，，．解得所以，所以．由此有，所以，的取值范围为．3.（本小题满分12分）在中，内角对边的边长分别是，已知，．（1）若的面积等于，求；（2）若，求的面积．【答案】（1），．（2）的面积．【解析】本试题主要是考查了解三角形的运用。
（1）先根据题意由余弦定理得得到ab的值，，进而结合面积公式得到a,b的值。
（2）因为正弦定理，已知条件化为b=2a 联立方程组得到a,b的值，进而求解面积。
解：（1）由余弦定理得，，又因为的面积等于，所以，得．联立方程组解得，．（2）由正弦定理，已知条件化为联立方程组解得，．所以的面积．4.在中，已知，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】5.在中,,则此三角形解的情况是( )A．一解B．两解C．一解或两解D．无解【答案】B【解析】由正弦定理可知,并且因为,所以有两解.6.(本小题满分12分)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，C=2A,，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求b的值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）b=5.【解析】(I)由正弦定理.(II)由a+c=10,,得到a=4,c=6,再由余弦定理,可建立关于b的方程，求出b的值.（Ⅰ）.（Ⅱ）由及可解得a=4,c=6.由化简得，.解得b=4或b=5.经检验知b=4不合题意，舍去.所以b=5.7.如图，在山脚测得出山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，求证：山高．【答案】【解析】主要考查正弦定理的应用。
高二数学解三角形练习题
高二数学解三角形练习题解三角形是高中数学中的重要内容，通过解题练习可以帮助我们巩固和拓展解三角形的知识。
下面将为大家提供一些高二数学解三角形的练习题，希望大家能够认真思考和解答。
练习题一：已知三角形ABC，其中∠B = 90°，AB = 5cm，BC = 12cm。
求∠A和∠C的大小。
解答：由于∠B = 90°，所以三角形ABC是直角三角形。
根据勾股定理，AC² = AB² + BC²。
代入已知数据，可得AC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169，即AC = 13cm。
应用正弦定理，sinA = BC / AC = 12 / 13，sinC = AB / AC = 5 / 13。
通过计算可以得到sinA ≈ 0.923，sinC ≈ 0.385。
由反三角函数可得∠A ≈ 69.3°，∠C ≈ 23.6°。
练习题二：已知三角形ABC，其中∠A = 60°，BC = 6cm，AC = 8cm。
求∠B和∠C的大小。
解答：应用余弦定理，BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cosA。
代入已知数据，可得36 = AB² + 64 - 16 * AB * AC * 0.5。
化简后得到AB² - 2 * AB * AC + 28 = 0。
通过解一元二次方程，可以得到AB ≈ 5.135cm 或AB ≈ 1.865cm。
由于AB和BC的长度之和必须大于AC，所以排除AB ≈ 1.865cm 的情况。
因此，AB ≈ 5.135cm。
应用正弦定理，sinB = AB / AC = 5.135 / 8，sinC = BC / AC = 6 / 8。
通过计算可以得到sinB ≈ 0.642，sinC ≈ 0.75。
由反三角函数可得∠B ≈ 40.9°，∠C ≈ 48.6°。
高二数学解三角形试题
高二数学解三角形试题1.中，，则形状是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】，，所以是直角三角形.故选B.【考点】1、倍角公式；2、余弦定理；3、勾股定理.2.在中，，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦定理可知即，而，且均为三角形的内角，故，所以，故选B.【考点】1.三角形的边角关系；2.正弦定理.3.在中，，AB=2，且的面积为，则BC的长为( )A．B．3C．D．7【答案】C【解析】因为在中，，AB=2，且的面积为，所以可得.所以求得.由余弦定理可得.故选C.本小题主要考查余弦定理的使用.【考点】1.三角形的面积公式.2.余弦定理.3.解方程的能力.4.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，.(Ⅰ)求的值； (Ⅱ)若，求ABC的面积．【答案】（1）（2）【解析】(1)的值，所以将式子中变为,又因为，所以，将代入就能求出的值.(2)利用第一问=求得再利用正弦定理求出C边为，在由余弦定理cosA＝．求出b 边为.因为可以求出所以.利用三角形面积公式可以得出试题解析：(Ⅰ)∵cosA＝＞0，∴sinA＝，又cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝cosC＋sinC．整理得：tanC＝． 6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知 sinC＝．又由正弦定理知：，故． (1)由余弦定理得：cosA＝． (2)解(1)(2)得：orb＝(舍去)．∴ABC的面积为：S＝． 12分【考点】解三角形5.已知函数（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是，，，若且，试判断△ABC的形状．【答案】（1）（2）等边三角形【解析】解：（Ⅰ），周期为 6分（Ⅱ）因为所以因为所以所以所以整理得所以三角形ABC为等边三角形 13分【考点】两角和差的公式，余弦定理点评：主要是考查了解三角形以及两角和差公式，三角函数性质的综合运用，属于中档题。
千题百炼- 三角恒等与解三角形综合必刷大题100题(原卷版)
专题11 三角恒等与解三角形综合必刷大题100题任务一:善良模式(基础)1-40题1．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C 的度数成等差数列，b = （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值．2．已知函数()22sin cos 6f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的最小正周期；（2）当,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域．3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222sin b A c a +=. （1）求角A ；（2）若a =2tan tan tan a b cA B C=+，求ABC 的面积.4．在ABC 中，120BAC ∠=︒，sin ABC ∠=D 是CA 延长线上一点，且24AD AC ==. （1）求sin ACB ∠的值； （2）求BD 的长.5．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222sin sin sin b c a B Abc C +--=． ．1．求角C 的值；（2）若4a b +=，当边c 取最小值时，求ABC 的面积．6．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2cos c b b A -=⋅.（1）若a =3b =，求c ； （2）若角2C π=，求角B .7．已知△ABC 中，C ∠为钝角，而且8AB =，3BC =，AB （1）求B 的大小；（2）求cos 3cos AC A B +的值.8．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且()sin cos 0a B B C ++=． （1）若sin 2a A b =，求sin B ；（2）若a =2sin sin B C =，求ABC 的面积．9．在ABC 中，三内角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，cos cos 2cos 0b C c B A ++=，且1a =. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若ABC ABC 的周长.10．已知函数()()()cos sin f x x x x x =∈R . （1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若2B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭6b =，求ABC 的面积的取值范围.11．在ABC 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b = （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值12．在ABC 中，已知2cos S bc A =，其中S 为ABC 的面积，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边. （1）求角A 的值；（2）若6tan 5B =，求sin 2C 的值.13．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足3sin c a B =，cos B =， （．）求证：4A π=；（．）若边AB 上中线CD ABC 的面积．14．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin (2cos )A a B =+． （1）求B ；（2）若△ABC △ABC 的周长的最小值．15．已知平面向量(sin cos ,2sin )a x x x =+，(sin cos ,)b x x x =-，函数()(R)f x a b x =⋅∈． （1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2）若(0,)m π∈，223m f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求sin m 的值．16．在ABC 中，4ABC π∠=，D 是边BC 上一点，且5AD =，3cos 5ADC ∠=.（1）求BD 的长；（2）若ABC 的面积为14，求AC 的长.17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)cos cos 0a c B b A ++=． （1）求B ；（2）若4b =，求ABC 的面积的最大值．18．如图，在ABC ∆中，2AC =，3A π∠=，点D 在线段AB 上.（1）若1cos 3CDB ∠=-，求CD 的长；（2）若2AD DB =，sin ACD BCD ∠=∠，求ABC ∆的面积.19．已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2cos cos cos A b C c B a +=． （1）求角A ；（2）在ABC 中，D 为BC 边上一点，且()12AD AB AC =+，2AD =，求ABC 面积的最大值．20．已知函数()21sin sin 22f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值.21．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin sin 2sin cos 0A B C B --=. （1）求内角C 的大小；（2）若ABC ∆的周长为6+c 的长度.22．ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足 ()()cos 2cos b A c a B π=+-. (1)求角B 的大小;(2)若b =ABC ∆a c +的值.23．已知函数()23sin cos f x x x x =x ∈R . （1）求函数()f x 的最小正周期;（2）若2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，263a ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，求3cos 2a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.24．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足sin 4sin b B a A =，()2222bc b a c =--.（1）求角B 的大小； （2）求()sin 2A B -的值.25．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为,,,cos 23cos()1a b c C A B ++=. (1)求角C ；(2)若2c =，求ABC 面积的最大值.26．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足cos cos 2cos ca Bb A C+=，且BC 边上一点P 使得PA PC =. （1）求角C 的大小；（2）若3PB =，sin BAP ∠=ABC 的面积.27．已知向量()2cos ,sin a x x =,()cos ,b x x =-,且()1f x a b =⋅-． (1)求()f x 的单调递增区间；(2)先将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移12π个单位,得到函数()y g x =的图象,求方程()1g x =在区间0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上所有根之和．28．已知函数443()2sin cos 224x x f x x =++-. （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上对称轴、对称中心及其最值.29．函数()()2sin f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，02πϕ<<），且()y f x =的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点()1,2. （1）求ϕ；（2）计算()()12f f ++…()2019f .30．设函数2()sin(2)2cos 16f x x x π=-+-．（Ⅰ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的值域；（Ⅱ）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1()2f A =，2223a b =，1c =，求ABC ∆的面积．31．已知通数()cos()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图像经过点1,62π⎛⎫- ⎪⎝⎭，图像与x 轴两个相邻交点的距离为π．（．）求()f x 的解析式：（．）若335f πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求sin θ的值．32．已知向量()3sin ,2cos a x x =-，()2cos ,cos b x x =，函数()1()f x a b x =⋅+∈R ．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，若()2f A =，4C π，2c =，求ABC∆的面积ABC S ∆.33．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足：()2222sin sin b c a C c B +-=.（．）求角A 的大小；（Ⅱ）若1a =，求b c +的最大值.34．在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC .如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .35．在①sinsin 2A Bb c B +=)cos sin c A b a C -=-，③cos cos cos c a b C A B+=+这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________. （1）求C ；（2）若ABC 的面积为AC 的中点为D ，求BD 的最小值.36．在①22cos a b c B -=（A +B ）＝1+22sin 2C这两个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，已知___． （1）求角C 的值；（2）若b ＝4，点D 在边AB 上，CD 为∠ACB 的平分线，△CDB ，求边长a 的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.37．在①2cos (cos cos )A c B b C a +=，②222sin sin sin sin sin B C A B C +-=cos b cC C a++=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________． （1）求角A ；（2）若O 是ABC 内一点，120AOB ∠=︒，150AOC ∠=︒，1b =，3c =，求tan ABO ∠． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 38．在①cos cos 2B b C a c=-+，②sin sin sin A b cB C a c +=-+，③23S BA BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，若2a =，4c =，求AC 边上的垂线长.39．在．cos cos 2B b C a c=-+，．sin sin sin A b cB C a c +=-+，．2S BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，7b =，5c =，求a 的值.40．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．请在下列三个条件中任选一个作为已知条件，解答问题．①()sin sin()sin a c A c A B b B -++=；②2S AB CB =⋅（其中S 为ABC 的面积）；③sin cos c B C -=．（1）若4,3b ac ==，求a c +的值；c ，求a的取值范围．（2）若ABC为锐角三角形，且2任务二:中立模式(中档)1-40题1．在．2sin tan a B b A =；．cos sin b a C A =；．()22222cos a c b bc A +-=-三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：已知ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且a =___________. （1）求角A 的大小； （2）求ABC 面积的最大值.2．已知函数2()2cos 1cos (01)f x x x x ωωωω=-+<<，直线3x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）令()22263g x f x f x m ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若12,x x 是函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的零点，求()12cos x x +的值.3．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c sin cos c B C +=. （1）求角B 的大小；（2）若b =D 为AC 边上一点，1BD =，且___________，求ABC 的面积.（从①BD 为ABC ∠的平分线，②D 为AC 的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答）4．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC 面积的大小为S 32AB AC S ⋅=. （1）求A 的值；（2）若ABC 的外接圆直径为1，求22b c +的取值范围.5．在ABC 中，1a =，2b =．（1）若边c =ABC 的面积S ；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求出sin A ． ①2B A =； ②π3A B +=； ③2C B =6．已知(1,2)m x ω=，2(2sin 1,cos )n x x ωω=-，令().f x m n =⋅其中01ω<<，满足()43f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，()1f B =且1c =，求ABC 的面积的取值范围．7．在①()()()sin sin sin sin A B a b C B c +-=-，②sin sin 2B C b a B +=，③2tan tan tan B bA B c=+中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________． （1）求角A 的大小；（2）已知2AB =，D 为AB 中点，且2CD ab =，求ABC 面积．8．如图，D 是直角ABC 斜边上一点（不含端点），AB AD =，记BAD ∠=α，ADC β∠=．（1sin 2αβ-的最大值；（2）若AC =，求角β的值．9．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点M 在边BC 上，已知2cos 2a C b c =+． （1）求A ；（2）若AM 是角A 的平分线，且2AM =，求ABC 的面积的最小值．10．1.已知a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，()()3cos cos 4cos cos a b A a B c A a C c +=+，再从下面条件①与②中任选1个作为已知条件，完成以下问题．（1）证明：ABC 为锐角三角形；（2）若8CA CB ⋅=，CD 为ABC 的内角平分线，且与AB 边交于D ，求CD 的长． ①2cos 3C =；②1cos 9A =．11．在①2cos (cos cos )A c B b C a +=cos b cC C a++=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________．（1）求角A ；（2）若O 是ABC 内一点，120,150,1,3∠=︒∠=︒==AOB AOC b c ，求tan ABO ∠．12．在“①2cos a B c =；②(),m a c b =-，(),n c b a b =++，//m n ”这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B ，C 的对边，已知4b =，D 是AB 边上的点，且3AD DB =，()211sin sin 2cos sin224C A B C -=+，若_______________，求CD 的长度.13．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2sin B C A +=，3sin 4sin =b C c A ，点D 在射线AC 上，满足cos 2cos ABD B ∠=. （1）求ABD ∠；（2）设ABD ∠的角平分线与直线AC 交于点E ，求证：111BA BD BE+=.14．在ABC 中，内角、、A B C 所对边分别为a b c 、、，若2222sin sin sin cos cos C A B A B -=++. （1）求C ；（2）若ABC 为锐角三角形，且4b =，求ABC 面积的取值范围.15．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =cos (cos )+-C B B cos 0A =.（1）求角A 的大小；（2）求2b c +的取值范围.16．已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，7cos 25c B a b =-. （1）求cos C ；（2）若点A ，B 是函数()2sin 133f x x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象在某个周期内的最高点与最低点，求ABC 面积的最大值.17．在平面四边形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝CD ＝2，AD ＝3． （1）证明：3cos A －4cos C ＝1；（2）记△ABD 与△BCD 的面积分别为S 1，S 2，求S 12＋S 22的最大值．18．在锐角ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos c b a B b A -=-. （1）求角A 的大小；（2）若1a =，求ABC 周长的范围.19．在．cos cos 2B b C a c -=+，．sin sin sin A b cB C a c+=-+，．2S BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，若2a =，4c =，AB 边上的中垂线交AC 于D 点，求BD 的长.20．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且满足2a =，()cos 2cos a B c b A =-． （1）求角A 的大小； （2）求ABC 周长的范围．21．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2b cC a-=． （1）求角A 的大小；（2）若ABC 的周长为6，求ABC 面积S 的最大值．22．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2A Bc B b +=． （1）求角C 的大小；（2）若8b =，cos B D 为边BC 上一点，且7AD =，求BD DC 的值．23．如图，在ABC 中，AB AC >，AD 、AE 分别为BC 边上的高和中线，4=AD ，3DE =（1）若90BAC ∠=︒，求AB 的长；（2）是否存在这样的ABC ，使得射线AE 和AD 三等分BAC ∠?24．已知函数2())2sin 1,(0,0)2x f x x ωϕωϕωϕπ+⎛⎫=++-><< ⎪⎝⎭为奇函数，且()f x 图像相邻的对称轴之间的距离为2π（1）求函数()f x 的解析式及其减区间；（2）在ABC 中，角A 、B 、C 对应的边为a 、b 、c ，且a =26f A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ABC 的周长的取值范围．25．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足sin (1cos )3sin cos cos sin B C A C A C +=+ 且π2C ≠. （1）求证：2b a =；（2）若2c =，求ABC 的面积的最大值.26．在ABC 中，AC AB >，31cos 32A =，8AB =.（1）若ABC S =△BC ；（2）若()1cos 8B C -=，求ABC S ∆.27．1.已知向量()cos ,sin m x x →=，()cos x n x →=，设()12f x m n →→=⋅-，π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求()f x 的值域； （2）若方程()23f x =有两个不相等的实数根1x ，2x ，求()12cos x x +，()12cos x x -的值.28．如图，ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c =，且cos (2)cos -=-a c B c b C .（1）求角C 的大小；（2）在ABC 内有点M ，CMA CMB ∠=∠，且3BM AM =，直线CM 交AB 于点Q ，求cos CQA ∠.29．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，且满足22,c a ab =+记ABC 的面积为S. （1）求证：2C A =；（2）若ABC 为锐角三角形，4b =，且S λ<恒成立，求实数λ的范围.30．已知a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，并完成下列问题： （1）求B ；（2）若4AC =，求ABC 的周长的最大值．条件①：cos (2)cos 0b C a c B --=；条件②：()(sin sin )()sin a b A B a c C +-=-． 注：如果选择不同的条件分别解答，按照第一种选择的解答计分． 31．在①cos cos 2B b C a c =-+，②sin sin sin A b cB C a c+=-+，③23S BA BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，BD 是ABC ∠的平分线交AC 于点D ，若1BD =，求4a c +的最小值.32．在①cos cos 2B b C a c=-+，②sin sin sin A b cB C a c +=-+，③23S BA BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，作AB AD ⊥，使得四边形ABCD 满足3ACD π∠=，AD =ACDS的最值33．在．cos cos 2B b C a c=-+，．sin sin sin A b c B C a c +=-+，．2S BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，若b =2-c a 的取值范围.34．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos c a b A -=，3b =.（1）求B 的大小；（2）若a =ABC 的面积；（3）求ac a c+的最大值.35．如图，在四边形ABCD 中，34ABC π∠=，AB AD ⊥，AB =（1）若AC =ABC ∆的面积；（2）若6ADC π∠=，CD =AD 的长.36．在．cos cos 2B b C a c=-+，．sin sin sin A b c B C a c +=-+，．2S BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，求a c b+的取值范围.37．在ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++． （1）求A 的大小；（2）若sin sin 1B C +=，试判断ABC 的形状；（3）若3a =，求ABC 周长的最大值．38．如图，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且1AD =，3CD =，cos B =（1）求AC 的长；（2）求四边形ABCD 面积的最大值.39．现给出三个条件：①a sin 2A C +＝b sin A ，②a cos C ＋c cos A ＝2b cosB ，③2c －a ＝2b cos A .从中选出一个补充在下面的问题中，并解答问题．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，________．（1）求角B 的大小；（2）若b ＝2，求△ABC 周长的取值范围．40．目前，中国已经建成全球最大的5G 网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G 基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G 基站AB ，已知基站高50m AB =，该同学眼高1.5m （眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C 处（眼睛所在位置）测得基站底部B 的仰角为37°，测得基站顶端A 的仰角为45°．（1）求出山高BE （结果保留整数）；（2）如图，当该同学面向基站AB 前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M 处（眼睛所在位置）到基站AB 所在直线的距离m MD x =，且记在M 处观测基站底部B 的仰角为α，观测基站顶端A 的仰角为β.试问当x 多大时，观测基站的视角AMB ∠最大?参考数据：sin80.14︒≈，sin370.6︒≈，sin 450.7︒≈，sin1270.8︒≈．任务三:邪恶模式(困难)1-20题1.ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC 面积的2倍．（1）求sin sin B C∠∠的值；（2）从①1AD =，②DC =cos C =这三个条件中选择两个条件作为已知，求BD 和AC 的长．2．已知函数()()1sin sin cos 2f x x x x ωωω=+-（0>ω）图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π． （1）求()f x 的单调递增区间以及()f x 图象的对称中心坐标；（2）是否存在锐角α，β，使2π23αβ+=，3ππ222f f αβ⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭α，β的值；若不存在，请说明理由．3．已知函数()2()2sin 1(0,0 )2x f x x ωϕωϕωϕπ+⎛⎫++-><< ⎪⎝⎭为奇函数，且()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为 2π. （1）求()f x 的解析式与单调递减区间；（2）将函数()f x 的图象向右平移 6π个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求方程()22()30g x x +-=的所有根的和.4．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>.（1）当03ω<<时，函数()()3y f x f x πω=--的图象关于直线512x π=对称，求()f x 在[]0,π上的单调递增区间；（2）若()f x 的图像向右平移3π个单位得到的函数()g x 在[,]2ππ上仅有一个零点，求ω的取值范围．5．在平面四边形ABCD 中，3AB =，5AD =，120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒（1）求BD 的长；（2）求AD BC AB CD ⋅+⋅的最大值．6．在．cos cos 2B b C a c=-+，．sin sin sin A b c B C a c +=-+，．2S BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，作AB AD ⊥，使得四边形ABCD 满足3ACD π∠=，AD = 求BC 的取值范围.7．已知A ∠是ABC 的内角，函数()()3cos sin 2f x x x A π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最大值为14．（1）求A ∠的大小；（2）若()()124g x f x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，关于x 的方程()()2410g x m g x -+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦在,33x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭内有两个不同的解，求实数m 的取值范围．8．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O 为圆心，直径AB 的长为2km ，C ，D 两点在半圆弧上，且BC CD =，设COB θ∠=；（1）当π12θ=时，求四边形ABCD 的面积. （2）若要在景区内铺设一条由线段AB ，BC ，CD 和DA 组成的观光道路，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求出l 的最大值.9．某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB 为地面，CD ，CE 为路灯灯杆，CD AB ⊥，2π3DCE ∠=，在E 处安装路灯，且路灯的照明张角π3MEN ∠=，已知4CD =m ，2CE =m ．（1）当M ，D 重合时，求路灯在路面的照明宽度MN ；（2）求此路灯在路面上的照明宽度MN 的最小值．10．已知向量1(sin ,1),3cos ,2m x n x ⎛⎫==- ⎪⎭．令函数()()f x m n m =+⋅． （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ACB ∠的角平分线交AB 于D ．其中，函数()f C 恰好为函数()f x 的最大值，且此时()CD f C =，求3a b +的最小值．11．如图，在四边形ABCD 中，CD =BC =cos 14CBD ∠=.（1）求BDC ∠；（2）若3A π∠=，求ABD △周长的最大值.12．已知函数()cos 14f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （1）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域； （2）是否同时存在实数a 和正整数n ，使得函数()()g x f x a =-在[]0,x n π∈上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的a 和n 的值；若不存在，请说明理由.1360°的扇形的弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点N ，M 在OB 上，设矩形PNMQ 的面积为y .（1）按下列要求写出函数的关系式：①设PN ＝x ，将y 表示成x 的函数关系式；②设△POB ＝θ，将y 表示成θ的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y 的最大值.14．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，5CD =，23ABC π∠=．(1)若AC =ABCD 的面积；(2)若AC BD ⊥，求tan ABD ∠．15．已知a ，b ，c 是ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且ABC 的面积214S c =.（1）记(2,1)m c =，(2,cos )n a B =-，若//m n . （i ）求角C ， （ii ）求a b的值；（2）求a b的取值范围.16．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD 的池底水平铺设污水净化管道（Rt FHE ∆三条边，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口H 是AB 的中点，,E F 分别落在线段,BC AD 上，已知20AB =米，AD =BHE θ∠=.(1)试将污水净化管道的总长度L （即Rt FHE ∆的周长）表示为θ的函数，并求出定义域；(2)问θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.17．某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以AB 为直径的圆，且300AB =米，景观湖边界CD 与AB 平行且它们间的距离为A 点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作PQ ．设2AOP θ∠=．（1）用θ表示线段,PQ 并确定sin 2θ的范围；（2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将PQ 的长度设计到最长，求PQ 的最大值．18．随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼，“日行一万步，健康一辈子”.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，A B C A ---为某市的一条健康步道，AB ，AC 为线段，BC 是以BC 为直径的半圆，AB =，4km AC =，6BAC π∠=.（1）求BC 的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新增健康步道A D C --（B ，D在AC 两侧），AD ，CD 为线段.若3ADC π∠=，A 到健康步道B C D --的最短距离为，求D 到直线AB 距离的取值范围.19．已知函数()21cos 2sin 222xxxf x ωωω=+-（0>ω）在一个周期内的图象如图所示，A 为()f x 图象的最高点，B ，C 为()f x 图象与x 轴的交点，且ABC 为等腰直角三角形.（1）求ω的值及函数()f x 的值域；（2）若()85f α=，且84,33α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()1f α+的值；（3）已知函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，然后再向左平移1个单位长度得到的，若存在()0,2x ∈，使()()24g 12g x a x ⎡⎤+=⋅-⎣⎦成立，求a 的取值范围.20．已知△ABC 中，函数3()cos()sin()2f x x A x π=+⋅-的最大值为14. （1）求△A 的大小；（2）若1()2(())4g x f x =+，方程24[()][()]10g x m g x -+=在[,]33x ππ∈-内有两个不同的解，求实数m 取值范围.。
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解三角形
一、选择题
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝60°，c＝2，b＝1，则a＝()
A．1 B. 3
C．2 D．3
2．设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线l1：sin A·x＋ay＋c ＝0与l2：bx－sin B·y＋sin C＝0的位置关系是()
A．平行B．重合
C．垂直D．相交但不垂直
3．在△ABC中，若2cos B sin A＝sin C，则△ABC的形状一定是()
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
4．在△ABC中，已知A∶B＝1∶2，∠ACB的平分线CD把三角形分成面积为3∶2的两部分，则cos A等于()
A.1
3 B.
1
2
C.3
4D．0
5．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()
A.
3
2 B.
33
2
C.3＋6
2 D.
3＋39
4
6．已知锐角三角形三边长分别为3,4，a，则a的取值范围为()
A．1<a<5 B．1<a<7
C.7<a<5
D.7<a<7
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A＝60°，b＝1，且
A ．43－1 B.37 C.13
D ．1
8．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A ．(0，π
6] B ．[π
6，π) C ．(0，π
3]
D ．[π
3，π)
9．如图，△ADC 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 与AC 交于E 点．若AB ＝2，则AE 的长为( )
A.6－ 2
B.1
2(6－2) C.6＋ 2
D.1
2(6＋2)
10．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( )
A.31010
B.1010
C.510
D.515
11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝π
3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )
A ．1
B ．2
12．符合下列条件的三角形有且只有一个的是( ) A ．a ＝1，b ＝2，c ＝3 B ．a ＝1，b ＝2，A ＝30° C ．a ＝1，b ＝2，A ＝100° D ．b ＝c ＝1，B ＝45°
13．在△ABC 中，若B ＝120°，则a 2＋ac ＋c 2－b 2的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0
D ．不确定
14．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )
A.43 B ．8－4 3 C ．1
D.23
15．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，且关于x 的方程(a 2＋bc )x 2＋2b 2＋c 2x ＋1＝0有两个相等的实数根，则A 的度数是( )
A ．120°
B ．90°
C ．60°
D ．30°
16．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对应边，C ＝60°，则b a ＋c ＋a b ＋c 的
值为( )
A.12
B.22 C ．1
D. 2
17．海上有两个小岛A 、B 相距10海里，从A 岛望B 岛和C 岛成60°视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°视角，则B 、C 间的距离是( )
A ．5海里
B ．56海里
C ．10海里
D ．106海里
A ．(0,2)
B ．(2，2)
C ．(2，3)
D ．(3，2)
19．在△ABC 中，若(a －a cos B )sin B ＝(b －c cos C )sin A ，则这个三角形是( ) A ．底角不等于45°的等腰三角形 B ．锐角不等于45°的直角三角形 C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
20．某人站在山顶看见一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车和第二辆车之间的距离d 1与第二辆车和第三辆车之间的距离d 2之间的关系为( )
A ．d 1>d 2
B ．d 1＝d 2
C ．d 1<d 2
D ．不能确定大小
二、填空题
21.在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________. 22．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－1
4，则b ＝________.
23.如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向，海上停泊着两艘货轮，甲船位于灯塔A 的北偏西75°方向，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处，则两货轮的距离为________海里．
24．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝8∶9∶10，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝________.
25．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①若a >b ，则函数f (x )＝(sin A －sin B )x 在R 上是增函数；②若sin2A ＝sin2B ，则A ＝B ；③若cos2A ＝cos2B ，则A ＝B ；④若ab >c 2，则0<C <π3.
26．在相距2 km 的A 、B 两点处测量目标点C .若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离是________km.
27．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，a ＝2(3＋1)，则S △ABC ＝________. 28．已知在△ABC 中，7sin A ＝8sin B ＝13
sin C ，则C 的度数为________．
29．在△ABC 中，已知b ＝a sin C 且c ＝a sin(90°－B )，则△ABC 的形状为________．
30．如图，要在山坡上A 、B 两处测量与地面垂直的铁塔CD 的高，由A 、B 两处测得塔顶C 的仰角分别为60°和45°，AB 长为40 m ，斜坡与水平面成30°角，则铁塔CD 的高为________m.
三、解答题
31．解答下列各题：
(1)在△ABC 中，已知C ＝45°，A ＝60°，b ＝2，求此三角形最小边的长及a 与B 的值；
(2)在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝120°，b ＝5，求C 及a 与c 的值．
32．在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积．
33．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．
34．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .
(1)求证：b 2＝ac ；
(2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .
35．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －
c sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4＋B ＝a .
(1)求证：B －C ＝π2；
(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．
36．已知a，b，c是△ABC中A，B，C的对边，S是△ABC的面积，若a＝4，b ＝5，S＝53，求c的长度．
37．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．
38．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且3a＝2c sin A.
(1)确定角C的大小；
(2)若c＝7，且△ABC的面积为33
2，求a＋b的值．
39．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A＋c sin C－2a sin C ＝b sin B.
(1)求B；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.
40.如图，在南沙某海岛有一观察哨A，上午11时测得一船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B处，12时40分船到达位于海岛正西方向且距海岛5海里的E港口．如果船始终匀速直线航行，求船的速度(单位：海里/小时)．
41．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1°)?。