2018-2019年人教A版高中数学必修二同步学习：第一章 空间几何体复习 章末复习课PPT课件
1 V ＝ (上 S 下 ) h ＝ 3
2 π(r2 ＋ r 1 2＋r1r2)h
转
体
在直线为旋转轴，
半圆面 旋转一周形
S球面＝4πR2，
R为球的半径
4 3 V＝ πR 3
成的旋转体
2.空间几何体的三视图与直观图 (1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；
要步骤：
①画轴；②画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x′、y′、z′轴的线段；
③截线段：平行于 x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变
为原来的一半.
三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化.
(3)转化思想在本章应用较多，主要体现在以下几个方面
①曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线(折线)化为线段.
π r 2h
锥 其余两边旋转形成的面
所围成的旋转体
S侧＝πrl，r为 V＝1Sh 3 底面半径，h 为高
1 2 ＝3πr h
平行于圆锥底面 用______________
圆 的平面去截圆锥， 旋 台 底面和截面 之间的 部分 以 半圆的直径 所 球
S侧＝π(r1＋ r2)l，r1，r2为 底面半径，l 为母线
几何体. 解 如图③，过直角梯形 ABCD的顶点 A作 AO⊥CD于点 O，将直角梯形
分为一个直角三角形AOD和一个矩形AOCB，绕CD旋转一周形成一个组
合体，该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成.
解答
反思与感悟
与空间几何体结构特征有关问题的解题技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件
第一章
空间几何体
章末复习课
学习目标
1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.
2.能熟练画出几何体的直观图或三视图，能熟练地计算空间几何体
的表面积和体积，体会通过展开图、截面化空间为平面的方法.
内容索引
知识梳理
题型探究 当堂训练
知识梳理
1.空间几何体的结构特征及其侧面积和体积 名称 定义
②等积变换，如三棱锥转移顶点等.
③复杂化简单，把不规则几何体通过分割，补体化为规则的几何体等.
题型探究
类型一
空间几何体的结构特征
例1 根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称. (1)由六个面围成，其中一个面是凸五边形，其余各面是有公共顶点的三 角形； 解 如图①，因为该几何体的五个面是有公共顶点的三角形，所以是棱
解析 该三棱锥的直观图如图所示，
并且PB⊥平面ABC，
PB＝2，AB＝2，AC＝BC＝ 2，
PA＝ 22＋22＝2 2，
PC＝ 22＋ 22＝ 6，
故PA最长.
解析 答案
(2)如图，四边形ABCD是一水平放置的平面图形的斜二
测直观图， AB∥CD ， AD⊥CD ，且 BC 与 y 轴平行，若
它包括正视图、侧视图、俯视图三种.画图时要遵循“长对正、高平齐、
宽相等”的原则.注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见
轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出.熟记常见几何体的三视
图.画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验.
(2)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法 .它的主
跟踪训练 2
若某几何体的三视图如图所示，则这个
几何体的直观图可以是
锥，又其底面是凸五边形，所以是五棱锥.
解答
(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转 180°形成的封 闭曲面所围成的图形； 解 如图②，等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形， 每个直角梯形旋转180°形成半个圆台，故该几何体为圆台.
解答
(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的
构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、
面等基本元素，然后再依据题意判定.
(2)通过举反例对结构特征进行辨析，要说明一个命题是错误的，只要举
出一个反例即可.
跟踪训练1 给出下列四种说法： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②底面为正多边形，且相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱； ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.
有两个面 互相平行，其 棱柱
图形
侧面积 S侧＝Ch，C为底
面的周长，h为高
体积
余各面都是 四边形 ，
并且每相邻两个四边形 互相平行 的公共边都________
V＝Sh
多
面
体
有一个面是 多边形 ，
棱锥 其余各面都是有一个公 ________ 共顶点的三角形 ______
1 S正棱锥侧＝ Ch′ ， 2
AB＝6，CD＝4，BC＝2 2， 则原平面图形的实际面积是
20 2 ______.
解析 将直观图中四边形ABCD还原为原图形四边形A′B′C′D′， 由斜二测画法知B′C′⊥C′D′，B′C′＝ 4 2， C′D′＝4，A′B′＝6，
1 ∴平面图形的实际面积为 ×4 2×(4＋6)＝20 2. 2
C为底面的周长， h′为斜高
多
面 棱台
平行于棱锥 用一个__________ 底面 的平面去截 _____ 棱锥，底面与截面 之间的部分
体
S上S下
以 矩形的一边 所在直线
圆 为旋转轴，其余三边旋 旋 转 体
S侧＝2πrh，r 为底面半径， h为高
V＝Sh＝
柱 转形成的面所围成的旋
转体 一条直 以直角三角形的______ 圆 角边 ____所在直线为旋转轴，
其中正确的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
解析
①连接上、下底面的圆周上两点连线要与轴平行才是母线；
③直角三角形绕着直角边所在直线旋转一周才能形成圆锥；
④棱台的上、下底面，相似.
故只有②正确.
解析 答案
类型二
三视图与斜二测画法
例2
(1) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱
2 2 锥最长棱的棱长为_____.
解析 答案
反思与感悟
(1)空间几何体的三视图遵循 “长对正，高平齐，宽相等”的原则，同 时还要注意被挡住的轮廓线用虚线表示. (2)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图画法或立体图形的画法.它 的主要步骤：①画轴；②画平行于x，y，z轴的线段分别为平行于x′， y′，z′轴的线段；③截线段，平行于x，z轴的线段的长度不变，平行 于y轴的线段的长度变为原来的一半.
【小初高学习】2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第一章 空间几何体复习 疑难规律方法
1学习空间几何体要“三会”1．会辨别例1如图，甲、乙、丙是不是棱柱、棱锥、棱台？为什么？分析切实理解棱柱、棱锥和棱台的定义是解答此类问题的关键．解图甲这个几何体不是棱柱，这是因为虽然上、下面平行，但是四边形ABB1A1与四边形A1B1B2A2不在一个平面内，所以多边形ABB1B2A2A1不是一个平面图形，它更不是一个平行四边形，因此这个几何体不是一个棱柱；图乙中的六个三角形没有一个公共点，故不是棱锥，只是一个多面体；图丙也不是棱台，因为侧棱的延长线不能相交于同一点．评注要准确辨别各种几何体，可从轴、侧面、底面、母线、平行于底面的截面等方面入手，当然掌握定义是大前提．2．会折展例2纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“Δ”的面的方位是________．分析将平面展开图按要求折叠成正方体，根据方位判断即可．解析将平面展开图折叠成正方体，如图所示，标“Δ”的面的方位应为北．故填北．答案北评注将空间几何体展开成平面图形，或将展开图折叠成空间几何体，在后面的计算或证明中经常用到，应引起重视．解决这类问题的关键是充分发挥空间想象能力或亲自动手制作模型进行实践．3．会割补例3如图所示是一个三棱台ABC－A1B1C1.(1)试用一个平面把这个三棱台分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示；(2)试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．分析(1)三棱柱要求两个底面为平行且全等的三角形，其余三个面为四边形，且相邻两个四边形的公共边都相互平行；(2)三棱锥要求底面为三角形，且其余各面为有一个公共顶点的三角形．解(1)作A1D∥BB1，C1E∥BB1，连接DE，则三棱柱为A1B1C1－DBE，多面体为ADECC1A1(如图所示)．(2)连接A1B，A1C，C1B，就能把三棱台分成三部分，形成的三个三棱锥分别是三棱锥A1－ABC、三棱锥B－A1B1C1、三棱锥A1－BCC1(如图所示)．评注正确理解各类几何体的概念是将几何体进行割补的前提，在后面的空间几何体的体积或面积计算中经常要通过线、面，将不规则的几何体通过割补的方法转化为规则的几何体，从而可以利用公式求解．2三视图易错点剖析1．棱锥的视图易出错我们在画正三棱锥、正四棱锥时要注意从不同角度得到的三视图．实际上，在上述几何体的三视图中，侧视图最容易出错，在画这些常见锥体的三视图时，可做出几何体的高线，有了高线的衬托，自然就可以得到正确的三视图．如图，对于正三棱锥P－ABC来说，它的正视图中，从前面向后面看，点B到了点D的位置，点P到了点P′的位置，故正视图为等腰三角形P′AC(包含高线P′D)，从左侧向右侧看，点A到了点D的位置，故侧视图为三角形PBD，从上面向下面看，俯视图中，点P 到了点O的位置，故俯视图为等边三角形ABC(外加三条线段OA、OB、OC)．如图，对于正四棱锥P－ABCD来说，它的正视图和侧视图分别为等腰三角形PEF和等腰三角形PGH，俯视图为正方形ABCD(包含两条对角线AC和BD)．对于此三视图，侧视图和正视图易出错，但有了高线PO的衬托，便可降低出错率．2．画三视图时，没有把不可见的轮廓线用虚线表示而出错作几何体的三视图的过程中，可见的边界轮廓线用实线表示，不可见的边界轮廓线用虚线表示．这一点不能忽视，否则易出错．例1画出如图所示零件的三视图．错解如图零件可看作是一个半圆柱、一个柱体、一个圆柱的组合，其三视图如图所示．剖析错误原因是图中各视图都没有画出中间的柱体和圆柱的交线，画图时应画出其交线．正解3．不能由三视图还原正确的直观图而出错当已知几何体的三视图，而需要我们去还原成直观图时，要充分关注图形中关键点的投影，重要的垂直关系等，综合三个视图，想象出直观图，然后画出直观图，再通过已知的三视图验证直观图的正确性．例2如图，通过三视图还原物体的直观图．解通过三视图可以画出直观图，如图所示：注其中PC为垂直于底面ABCD的直线．变式训练由下面的三视图还原物体的直观图．解 通过三视图可以看出直观图如图所示：3 直观图与原图形的互化知多少在高考中常借助于求平面图或直观图的面积来考查斜二测画法中角度和长度的变化，也实现了原图形与直观图的互化．关于两者的互化，关键是要抓住它们之间的转化规则——“斜”和“二测”．“斜”也即是直角坐标系到斜45°坐标系之间的相互转化，“二测”也即是两者在转化时，要做到“水平长不变，垂直倍半化”．现通过例题讲述一下两者之间的具体转化策略． 1．原图形到直观图的转化例1 已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( ) A.34a 2 B.38a 2 C.68a 2 D.616a 2 分析 先根据题意，在原图形中建立平面直角坐标系(以AB 所在直线为x 轴，以AB 边上的高所在直线为y 轴)，然后完成由原图形到直观图的转化，然后根据直观图△A ′B ′C ′的边长及夹角求解．解析 根据题意，建立如图①所示的平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出其直观图，如图②所示．易知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a .作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a . S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12a ×68a ＝616a 2.答案 D评注 通过斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积与实物图的面积之比为24∶1.在求解中注意面积中的水平方向与垂直方向的选择与定位． 2．直观图到原图形的转化例2 一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形．求原四边形的面积．解 方法一 如图(1)是四边形的直观图，取B ′C ′所在直线为x ′轴． 因为∠A ′B ′C ′＝45°，所以取B ′A ′所在直线为y ′轴． 过点D ′作D ′E ′∥A ′B ′，D ′E ′交B ′C ′于E ′， 则B ′E ′＝A ′D ′＝1.又因为梯形为等腰梯形，所以△E ′D ′C ′为等腰直角三角形， 所以E ′C ′＝ 2.再建立一个直角坐标系xBy ，如图(2)，在x 轴上截取线段BC ＝B ′C ′＝1＋2， 在y 轴上截取线段BA ＝2B ′A ′＝2. 过A 作AD ∥BC ，截取AD ＝A ′D ′＝1.连接CD ，则四边形ABCD 就是四边形A ′B ′C ′D ′的原平面图形． 四边形ABCD 为直角梯形，上底AD ＝1，下底BC ＝1＋2，高AB ＝2， 所以S 梯形ABCD ＝12AB ·(AD ＋BC )＝12×2×(1＋1＋2)＝2＋ 2.方法二 四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，其面积为S ′＝(1＋1＋2)×222＝2＋12.所以原四边形的面积为2＋1224＝2×(2＋1)＝2＋ 2.点评 (1)只由直观图很难发现所求与已知的关系，当根据直观图画出原平面图形时，原平面图形的形状及数量关系很容易发现，体现了数形结合思想的应用． (2)一个平面图形与其斜二测画法所画直观图的面积间的关系是S 直观图S 原图形＝24.4 柱、锥、台的表面积求法精析由于柱、锥、台的表面积是各个面的面积之和，因此计算的关键在于对几何体各个面的正确认识以及对表面积公式的正确运用． 1．锥体的表面积例1 正三棱锥的底面边长为4 cm ，它的侧棱与高所成的角为45°，求正三棱锥的表面积． 分析 本题的关键在于求正三棱锥的斜高．解 如图所示，过S 点作SO ⊥平面ABC 于O 点，则O 为△ABC 的中心，连接AO 并延长与BC 相交于D 点．由正三角形的性质得D 为BC 的中点，连接SD ，则SD 为正三棱锥的斜高．在Rt △ASO 中，∠ASO ＝45°， AO ＝33×4＝433(cm)，∴SO ＝AO ＝433(cm)． 在Rt △SOD 中，OD ＝36×4＝233(cm)， 故SD ＝SO 2＋OD 2＝163＋43＝203＝2153(cm)． 令SD ＝h ′，根据正三棱锥的侧面积公式： S 侧＝12×3×4×2153＝415(cm 2)，又△ABC 的面积为4 3 cm 2，故正三棱锥的表面积为(415＋43) cm 2.评注 有关棱锥、棱台的表面积问题，常常涉及到侧棱、高、斜高、边心距和底面外接圆半径五个量之间的关系．解决问题时，往往把它们转化为平面图形，即由侧棱、高、底面外接圆半径所组成的直角三角形或由高、斜高、边心距所组成的直角三角形，求出所需要的量，从而使问题得以解决． 2．柱体的表面积例2 如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，其底面是等腰直角三角形，且AB ＝BC ＝2，AC ＝A 1A ＝2.(1)求该几何体的表面积；(2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求拼得的棱柱表面积的最小值．解 (1)该几何体有5个面，两个底面的面积均为12×2×2＝1，三个侧面面积和为2×(2＋2＋2)＝4(2＋1)，故其表面积S ＝6＋4 2.(2)设两个这样的直三棱柱重合的面的面积为S 1，则组合后的直棱柱的表面积为2S －2S 1，故当且仅当重合的面的面积最大时，拼得的棱柱的表面积最小．又侧面AA 1C 1C 的面积最大，此时拼得的棱柱的表面积最小值为2S －2S 四边形AA 1C 1C ＝4＋8 2.评注 本例中(1)的关键在于准确识别几何体的各个面的形状；(2)的关键在于找到影响拼合后的面积变化量，当然也可以分类讨论，列举出各种拼合的办法，一一计算表面积，再进行比较．3．台体的表面积例3 已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm 和20 cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．分析 求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台中的特殊直角梯形，转化为平面问题来求解所需的几何元素．解 如图所示，正三棱台ABC －A 1B 1C 1中，O ，O 1分别为两底面中心，D ，D 1分别为BC 和B 1C 1中点，则DD 1为棱台的斜高．∵A 1B 1＝20 cm ，AB ＝30 cm ， 则OD ＝5 3 cm ，O 1D 1＝1033 cm ，由S 侧＝S 上＋S 下，得12(20＋30)×3×DD 1＝34(202＋302)， ∴DD 1＝1333 cm.∴棱台的斜高为1333 cm.在直角梯形O 1ODD 1中， O 1O ＝DD 21－(OD －O 1D 1)2＝43(cm)．∴棱台的高为4 3 cm.评注 本题的关键是找到正棱台中的特殊直角梯形．5 空间几何体体积的求法精析空间几何体的体积公式在实际生活中有着广泛的应用，但在具体求解过程中，仅仅记住公式是远远不够的，还要把握图形的内在因素，掌握一些常见的求解策略，灵活选择恰当的方法进行求解． 1．直接用公式求解根据柱体、锥体、台体、球体的体积公式，明确公式中各几何量的值，把未知的逐个求出，再代入公式进行求解．例1 已知圆锥的表面积为15π cm 2，侧面展开图的圆心角为60°，求该圆锥的体积． 分析 根据锥体的体积公式V ＝13Sh ，知应分别求出圆锥的底面半径和高，代入公式计算．解 设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧πr 2＋πrl ＝15π，2πr ＝60×2πl360.解得⎩⎨⎧r ＝157，l ＝6r ＝6157.所以h ＝l 2－r 2＝(6r )2－r 2＝35r 2＝35r ＝35×157＝5 3. 所以V ＝13π×⎝⎛⎭⎫1572×53＝2537π(cm 3)．故该圆锥体积为2537π cm 3.评注 直接利用几何体的体积公式求体积时，需牢固掌握公式，明确各几何量之间的关系，准确进行计算． 2．分割补形求解当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用时，可以采用“分割”或“补形”的方法，化复杂的几何体为简单的几何体(柱、锥、台、球)，利用各简单几何体的体积和或差求解．例2 如图所示，在三棱台ABC －A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1－ABC 、三棱锥B －A 1B 1C 、三棱锥C －A 1B 1C 1的体积之比．分析 如图，三棱锥B －A 1B 1C 可以看作棱台减去三棱锥A 1－ABC 和三棱锥C －A 1B 1C 1后剩余的几何体，然后相比即可．解 设三棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则111A B C S ＝4S .所以1三棱锥－A ABC V ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，111三棱锥－C A B C V ＝13111A B C S·h ＝43Sh . 又111三棱台－ABC A B C V ＝73Sh ，所以111111111三棱锥－三棱台－三棱锥－三棱锥－＝－－B A B C ABC A B C A ABC C A B C V V V V ＝73Sh －13Sh －43Sh ＝23Sh .所以111111三棱锥－三棱锥－三棱锥－∶∶A ABC B A B C C A B C V V V ＝1∶2∶4.评注 三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可由锥体的体积求柱体和台体的体积．在立体几何中，通过分割或补形，将原几何体割成或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这是求体积的重要思路与方法． 3．等积转换求解对于一个几何体，可以从不同的角度去看待它，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，求原几何体的体积．例3 如图所示的三棱锥O －ABC 为长方体的一角，其中OA ，OB ，OC 两两垂直，三个侧面OAB ，OAC ，OBC 的面积分别为1.5 cm 2，1 cm 2,3 cm 2，求三棱锥O －ABC 的体积．分析 三棱锥O －ABC 的底面和高不易求解，可以转换视角，将三棱锥O －ABC 看作C 为顶点，△OAB 为底面．由三棱锥C －OAB 的体积得出三棱锥O －ABC 的体积．解设OA ，OB ，OC 的长分别为x cm ，y cm ，z cm ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧12xy ＝1.5，12xz ＝1，12yz ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，z ＝2.于是V 三棱锥O －ABC ＝V 三棱锥C －OAB ＝13S △OAB ·OC ＝13×12×1×3×2＝1(cm 3)．6 三视图求解空间几何体的表面积和体积攻略空间几何体的三视图的考查主要有两个方面：一是由几何体考查三视图，二是由三视图还原几何体后求表面积与体积，题型多为选择题、填空题，主要考查空间想象能力．在解决三视图问题时一定要遵循“长对正、高平齐、宽相等”，看清三视图的实虚线，还原几何体时，几何体的摆放位置，求表面积时注意组合体中衔接面的处理，求体积时要注意体积分割、转化求法的应用，对于三棱锥的体积还要注意等积转换法的应用．例1 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)则该几何体的体积V ＝________. (2)则该几何体的侧面积S ＝________.解析 由题设可知，该几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长为8、宽为6的矩形，正侧面及其相对的侧面均为底边长为8、高为h 1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h 2的等腰三角形，如图所示．(1)该几何体的体积V ＝13×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对的侧面的底边上的高h 1＝42＋32＝5，左、右侧面的底边上的高h 2＝42＋42＝4 2.故几何体的侧面面积S ＝2×(12×8×5＋12×6×42)＝40＋24 2.答案 (1)64 (2)40＋24 2例2 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋12 5解析 由三棱锥的三视图可得三棱锥的直观图如图(1)所示． S △ACD ＝12×AC ×DM ＝12×5×4＝10.S △ABC ＝12×AC ×BC ＝12×5×4＝10.在△CMB 中，∠C ＝90°，∴BM ＝5. ∵DM ⊥平面ABC ，∴∠DMB ＝90°， ∴DB ＝42＋52＝41，∴△BCD 为直角三角形，∠DCB ＝90°，∴S △BCD ＝12×5×4＝10.在△ABD 中，如图(2)，S △ABD ＝12×25×6＝65，∴S 表＝10＋10＋10＋65＝30＋6 5.答案 B7 巧解空间几何体中的最值问题在空间求最值问题时，一般思路是将空间图形展开转化为平面图形的问题．例1 如图，侧棱长为23的正三棱锥V －ABC 中，∠AVB ＝∠BVC ＝∠CVA ＝40°，过A 作截面AEF ，求截面△AEF 周长的最小值．解题流程 正三棱锥→沿一条侧棱将侧面展开→解三角形解 将三棱锥沿侧棱VA 剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA 1的长为所求△AEF 周长的最小值，取AA 1的中点D ，则VD ⊥AA 1，∠AVD ＝60°，可求AD ＝3，则AA 1＝6.例2 如图所示，圆柱体的底面半径为1，母线长为2，M ，N 是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M 点绕圆柱体的侧面到达N 点，求其最短长度．解题流程 圆柱→沿一条母线将侧面展开→长方形解 如图所示，从M 点绕圆柱体的侧面到达N 点，实际上是以侧面展开图的长方形的一个顶点M 到达不相邻的另一个顶点N ，而两点间以线段的长度最短，故最短长度为(2π×1)2＋22＝4π2＋4＝2π2＋1.例3 已知圆锥底面半径为1，高为22，轴截面为PAB ，如图，从A 点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A 点，求最短绳长．解题流程 圆锥→沿一条母线将侧面展开→扇形 解 圆锥沿PA 将其两侧面展开为平面扇形如图．∵OA ＝1，PO ＝22，∴PA ＝3， ∴∠APA ′＝2π2π·3×360°＝120°.作PD ⊥AA ′，则∠APD ＝60°. ∴AA ′＝2AD ＝2×3×sin 60°＝33，∴最短绳长为3 3.评注在立体几何中常通过转化的方法将立体几何问题转化为平面几何问题来解决．常考的转化与化归思想有“化曲为直”“化体为面”等．有关几何体的距离的最值问题，通常办法是将其转化为平面图形，利用两点间的线段距离最小来求解，这也是解立体图形的常用方法，将立体问题(空间问题)转化为平面问题，从而将未知问题转化为已知问题，而且降低了难度．对点练习长方体ABCD－A1B1C1D1的长，宽，高分别为3,2,1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为()A．1＋ 3 B．2＋10C．3 2 D．2 3解析求表面上最短距离可把几何体展开成平面图形，如图(1)所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1.如图(2)所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开，则有AC1＝52＋12＝26，即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是26；如图(3)所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝32＋32＝32，即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是32；如图(4)所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝42＋22＝25，即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2 5.由于32<25，32<26，所以由A到C1沿长方体表面的最短距离是3 2.答案 C。
2018-2019学年人教A版高中数学必修二《空间几何体》全章复习与巩固(知识讲解+例题演练)
空间几何体结构及其三视图【学习目标】（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.（2）能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图表示的立体模型，会用材料(如纸板)制作模型，并会用斜二测法画出它们的直观图.（3）通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.（4）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.【知识网络】【要点梳理】要点一．空间几何体的结构及其三视图和直观图1．多面体的结构特征（1）棱柱（以三棱柱为例）如图：平面ABC与平面A1B1C1间的关系是平行，ΔABC与ΔA1B1C1的关系是全等．各侧棱之间的关系是：A1A∥B1B∥C1C，且A1A=B1B=C1C．（2）棱锥（以四棱锥为例）如图：一个面是四边形，四个侧面是有一个公共顶点的三角形．（3）棱台棱台可以由棱锥截得，其方法是用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分为棱台．2．旋转体的结构特征旋转体都可以由平面图形旋转得到，画出旋转出下列几何体的平面图形及旋转轴．要点二．空间几何体的三视图和直观图1．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的开关和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．2．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：（1）原图形中x轴．y轴．z轴两两垂直，直观图中，x’轴．y’轴的夹角为45o（或135o），z’轴与x’轴和y’轴所在平面垂直；（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行、平行于x轴和z轴的线段长度在直观图不变，平行于y轴的线段长度在直观图中减半．3．平行投影与中心投影平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点．要点诠释：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是：（1）观察角度：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形；（2）投影效果：三视图是正投影下的平面图形，直观图是在平行投影下画出的空间图形．要点三．空间几何体的表面积和体积1．旋转体的表面积名称图形表面积圆柱S=2πr（r+l）圆锥S=πr（r+l）圆台22()S r r r l rrl π''=+++球24S R π=2．几何体的体积公式 （1）设棱（圆）柱的底面积为S ，高为h ，则体积V =Sh ；（2）设棱（圆）锥的底面积为S ，高为h ，则体积V =13Sh ； （3）设棱（圆）台的上．下底面积分别为S '，S ，高为h ，则体积V =13（'S 'S S S ）h ；（4）设球半径为R ，则球的体积V =43π3R ． 要点诠释：1．对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体进行解决．2．重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型．3．要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长（正）方体、三棱锥等几何体的三视图．【典型例题】 类型一．空间几何体的结构特征例1．若沿△ABC 三条边的中位线折起能拼成一个三棱锥，则△ABC （ ）A ．一定是等边三角形B ．一定是锐角三角形C ．可以是直角三角形D ．可以是钝角三角形【思路点拨】在三棱锥的展开图中：过底面任意一个顶点的三个角，应满足∠1+∠2＞∠3，其中∠3为底面三角形的内角，进而逐一分析△ABC 为不同形状时沿△ABC 三条边的中位线能否拼成一个三棱锥，最后结合讨论结果，可得答案．【答案】B【解析】在三棱锥的展开图中：过底面任意一个顶点的三个角，应满足∠1+∠2＞∠3，当△ABC为锐角三角形时，三个顶点处均满足此条件，故能拼成一个三棱锥，当△ABC为为直角三角形时，在斜边中点E处不满足条件，故不能拼成一个三棱锥，同理当△ABC为钝角三角形时，在钝角所对边中点处不满足条件，故不能拼成一个三棱锥，综上可得：△ABC一定是锐角三角形，故选B．【总结升华】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，三角形形状的判断，其中正确理解：三棱锥的展开图中，过底面任意一个顶点的三个角，应满足∠1+∠2＞∠3，其中∠3为底面三角形的内角，是解答的关键．举一反三：【变式】如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD 为底面，则四边形EFGH的形状为（）A．梯形B．平行四边形C．可能是梯形也可能是平行四边形D．不确定【思路点拨】根据平面ABFE∥平面DCGH和面面平行的限制定理得EF∥GH，再由FG∥EH 得四边形EFGH为平行四边形【答案】B【解析】∵平面ABFE∥平面DCGH，且平面EFGH分别截平面ABFE与平面DCGH得直线EF与GH，∴EF∥GH．同理，FG∥EH，∴四边形EFGH为平行四边形．故答案为B例2．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是（）A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形【思路点拨】根据几何体的直观图，得出该几何体的结构特征，由此判断选项A、B、C正确，选项D错误．【答案】D【解析】根据几何体的直观图，得该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体，且有棱MA、MB、MC、MD、AB、BC、CD、DA、NA、NB、NC和ND，共12条；顶点是M、A、B、C、D和N共6个；且有面MAB、面MBC、面MCD、面MDA、面NAB、面NBC、面NCD和面NDA共8个，且每个面都是三角形．所以选项A、B、C正确，选项D错误．故选D．【总结升华】本题考查了利用空间几何体的直观图判断几何体结构特征的应用问题．举一反三：【变式】用一个平面去截正面体，使它成为形状，大小都相同的两个几何体，则这样的平面的个数有（）A．6个B．7个C．10个D．无数个【思路点拨】根据几何体的性质判断正四面体是中心对称几何体，利用中心对称几何体的性质判断即可．【答案】D【解析】∵正四面体是中心对称图形，∴平面过正四面体的中心，则分成为形状，大小都相同的两个几何体，可判断这样的平面有无数个，故选D．类型二．空间几何体的三视图例3．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）．【思路点拨】由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥．【解析】由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面（与半圆锥的轴截面为同一三角形）垂直于底面的三棱锥的组合体，故其侧视图应为D．【总结升华】（1）空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．（2）在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．举一反三：【变式】若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（）【答案】A【解析】A中，的三视图：，满足条件；B中，的侧视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；C中，的侧视图和俯图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；D中，的三视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；故选A例4．将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）【思路点拨】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图，找出所切棱锥的位置，得出答案．【解析】由主视图和俯视图可知切去的棱锥为1D AD C -，棱1CD 在左侧面的投影为1BA ，故选B ．举一反三：【变式1】某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．332πB ．3π+C ．32πD ．532π+【思路点拨】三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积．【答案】A【解析】由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和．又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为1122ππ⨯⨯⨯=，底面积为12π，观察三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为132232⨯⨯⨯=，则该几何体的表面积为332π+．故选A．【变式2】一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可．【答案】B【解析】由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为14112 2⨯⨯⨯=由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形13222(13)23-=此棱锥的体积为1232 3⨯⨯=故选B【总结升华】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是四棱锥的体积，其公式为13×底面积×高．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．类型三．几何体的直观图例5．如图所示，正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 （ ）A ．6B ．8C ．2＋3 2D ．2＋2 3【思路点拨】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于x '轴，长度保持不变，已知图形平行于y 轴的线段，在直观图中画成平行于y '轴，且长度为原来一半．【答案】B【解析】根据水平放置平面图形的直观图的画法，可得原图形是一个平行四边形，如图，对角线OB ＝22，OA ＝1，∴AB ＝3，所以周长为8．故选B【总结升华】本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够帮助我们快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化．举一反三：【变式】对于一个底边在x 轴上的正三角形ABC ，边长AB =2，采用斜二测画法做出其直观图，则其直观图的面积是________．【思路点拨】如图所示，A ＇B ＇=AB =2，13''22O C OC ==，作C ＇D ＇⊥x ＇，可得26''''2C D O C ==．因此其直观图的面积1''''2C D A B =⋅⋅． 【答案】6 【解析】如图所示，A ＇B ＇=AB =2，13''22OC OC ==， 作C ＇D ＇⊥x ＇，则26''''C D O C ==． ∴其直观图的面积1166''''22244C D A B =⋅⋅=⨯⨯=． 故答案为：64． 类型四．空间几何体的表面积与体积例6．有一根长为3πcm ,底面半径为1cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？【思路点拨】把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面上两点间的最短距离．【解析】把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD （如图），由题意知BC =3πcm ，AB =4πcm ，点A 与点C 分别是铁丝的起．止位置，故线段AC 的长度即为铁丝的最短长度．AC 22AB BC +5πcm ，故铁丝的最短长度为5πcm ．【总结升华】把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法，所以几何体的展开与折叠是高考的一个热点．举一反三：【变式】如图是某个圆锥的三视图，请根据正视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为__________，圆锥母线长为______．【答案】圆半径r =10，面积S =100π，圆锥母线2230101010l =+=．例7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3．【思路点拨】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2 cm 的小正方体所构成的，代入体积公式和面积公式计算即可．【答案】72，32【解析】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2 cm 的小正方体所构成的，则其表面积为22×(24－6)=72 cm 2，其体积为4×23=32，故答案为：72，32【总结升华】本题考查了由三视图求几何体的体积和表面积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象力．举一反三：【变式】如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（ ）A ．363(2)π+B ．363(2)π+C ．1083πD ．108(32)π+ 【思路点拨】几何体是一个简单的空间组合体，前面是半个圆锥，圆锥的底面是半径为6的圆，母线长是12，后面是一个三棱锥，三棱锥的底边长是12、高为6的等腰三角形，三棱锥的高是12，求出两个几何体的体积，求和得到结果．【答案】B【解析】由三视图知，几何体是一个简单的空间组合体，前面是半个圆锥，圆锥的底面是半径为6的圆，母线长是12， ∴根据勾股定理知圆锥的高是63， ∴半个圆锥的体积是21166336323ππ⨯⨯⨯⨯=，后面是一个三棱锥，三棱锥的底是边长12、高为6的等腰三角形，三棱锥的高是63，∴三棱锥的体积是111266372332⨯⨯⨯⨯=，∴几何体的体积是363723363(2)ππ+=+，故选B ．。
(完整word版)人教A版高中数学必修2知识点
必修2知识点归纳第一章 空间几何体1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。
简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图1.1-11中（1）（2）物体表示的几何体； 一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图1.1-11中（3）（4）物体表示的几何体。
⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
1、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。
（1）定义：正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图； 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图； 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.3、斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''xOy∠=450（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半；一般地，原图的面积是其直观图面积的22倍，即22S S 原图直观＝4、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面⑶圆台侧面积：l R lr S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面⑷体积公式：h S V ⋅=柱体；h S V ⋅=31锥体；()13V h S S S S =+⋅+下下台体上上⑸球的表面积和体积：32344R V R S ππ==球球，.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。
2018_2019学年度高中数学第一章空间几何体章末总结课件新人教A版必修2
7.圆台的侧面积公式是π (r+R)l,其中r和R分别是圆台的上、下底面半径,l
是其母线长.( √ )
主题串讲
一、空间几何体的结构特征
方法提炼·总结升华
【典例1】 根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称. (1) 由六个面围成 , 其中一个面是正五边形 , 其余各面是有公共顶点的三 角形;
解析:正四棱锥P-ABCD外接球的球心在它的高PO1上,记为O,OP=OA=R,
PO1=4,OO1=4-R, 或OO1=R-4(此时O在PO1的延长线上).
在Rt△AO1O中,R2=8+(R-4)2得R=3,
所以球的表面积S=36π. 答案:36π
规律方法 (1)与球有关的组合体,一种是内切,一种是外接,解题时要认
1 (6+8)× 17 =7 17 . 2
从而此正四棱台的侧面积是 28 17 .
【典例6】 一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的表面积为 m3.
错解:由三视图可以得到原几何体是一个圆柱与圆锥的组合体,其表面积是
2 2 S=2π×1×4+π×1 +π×2×2 2 +π×2
=8π+π+4 2 π+4π =(13π+4 2 π)(m3).
1 13 26 于是仓库的容积 V=V 柱+V 锥=a2·4h+ a2·h= a2h= (36h-h3), 3 3 3
0<h<6,从而 V′=
26 2 2 (36-3h )=26(12-h ). 3
高中数学必修2(人教A版)第一章几何空间体1.1知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构一、学习任务认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．二、知识清单典型空间几何体空间几何体的结构特征 组合体展开图 截面分析三、知识讲解1.典型空间几何体空间几何体的概念只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2.空间几何体的结构特征多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．按多面体的面数可把多面体分为四面体、五面体、六面体．其中，四个面均为全等的正三角形的四面体叫做正四面体．旋转体由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．棱柱的结构特征一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱（prism）．棱柱中，两个互相平行的面叫做底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是______，另一个是______．解：棱锥；棱台．⋯⋯余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱，可以用表示底面各顶点的字母或一条对角线端点的字母表示棱柱，如下图的六棱柱可以表示为棱柱或棱柱 ．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．棱锥的结构特征一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥（pyramid）．这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥其中三棱锥又叫四面体．棱锥也用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面一条对角线端点的字母来表示，如下图的四棱锥表示为棱锥 或者棱锥 ．棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高．⋯⋯⋯⋯ABCDEF−A′B′C′D′E′F′DA′⋯⋯⋯⋯S−ABCD S−AC棱台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台（frustum of a pyramid）．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面的距离叫做棱台的高．由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱（circular cylinder）．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥（circular cone）．圆台的结构特征例题：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台（frustum of a cone）．棱台与圆台统称为台体．球的结构特征以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球（solid sphere）．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．球常用表示球心的字母 表示．O下列命题中，正确的是（ ）A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱长相等，侧面是平行四边形解：D如图(1)，满足 A 选项条件，但不是棱柱；对于 B 选项，如图(2)，构造四棱柱，令四边形 是梯形，可知 ，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，若棱柱是平行六面体，则它的底面是平行四边形．ABCD−A1B1C1D1ABCD面AB∥面DCB1A1C1D1若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ）A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥解：D如下图，正六边形 中，，那么正六棱锥中，，即侧棱长大于底面边长．ABCDEF OA=OB=⋯=AB S−ABCDEF SA>OA=AB描述：3.组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．如图所示的几何体中，是台体的是（ ）A．①② B．①③ C．③ D．②③解：C利用棱台的定义求解．①中各侧棱的延长线不能交于一点；②中的截面不平行于底面；③中各侧棱的延长线能交于一点且截面与底面平行．有下列四种说法：①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②以直角三角形的一直角边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．其中错误的有（ ）A．个 B． 个 C． 个 D． 个解：D圆柱是矩形绕其一条边所在直线旋转形成的几何体，故①错；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，旋转一周，才能构成圆锥，②错；圆台是由圆锥截得，故其任意两条母线延长后一定交于一点，③错；半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的是球面，故④错误．1234例题：描述：4.展开图空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形，是画法几何研究的一项内容．描述图中几何体的结构特征．解：图（1）所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图（2）所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图（3）所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（ ）解：D）不在同一平面内的有______对．3内．解：C描述：例题：5.截面分析截面用平面截立体图形所得的封闭平面几何图形称为截面．平行截面、中截面与立体图形底面平行的截面称为平行截面，等分立体图形的高的平行截面称为中截面．轴截面包含立体图形的轴线的截面称为轴截面．球截面球的截面称为球截面．球的任意截面都是圆，其中通过球心的截面称为球的大圆，不过球心的截面称为球的小圆．球心与球的截面的圆心连线垂直于截面，并且有 ，其中 为球的半径， 为截面圆的半径， 为球心到截面的距离．+=r 2d 2R 2R r d 下面几何体的截面一定是圆面的是（ ）A．圆台 B．球 C．圆柱 D．棱柱解：B如图所示，是一个三棱台 ，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解：如图，过 ，， 三点作一个平面，再过 ，， 作一个平面，就把三棱台分成三部分，形成的三个三棱锥分别是 ，，．ABC −A ′B ′C ′A ′B C A ′B C ′ABC −A ′B ′C ′−ABC A ′−B B ′A ′C ′−BC A ′C ′如图，正方体 中，，， 分别是 ，， 的中点，那么正方体中过点 ，， 的截面形状是（ ）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形ABCD −A 1B 1C 1D 1P Q R AB AD B 1C 1P QR作截面图如图所示，可知是六边形．ii）若两平行截面在球心的两侧，如图(2)所示，则 解：四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）答案：1.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是 ．A ．B ．C ．D ．C ()=2,AB =3,=3,BC =4A 1B 1B 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =3A 1B 1B 1C 1A 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =4A 1B 1B 1C 1A 1C 1AB =,BC =,CA =A 1B 1B 1C 1C 1A 1答案：2. 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标" "的面的方位是 ．A ．南B ．北C ．西D ．下B △()3. 向高为 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 与水深 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是．A ．H V h ()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
2018-2019数学人教A版必修2通用版：第一章空间几何体1.3.2
[ 解析] 方体组成
由三视图知，此几何体是一个半径为 1 的半球和一个棱长为 2 的正
(1)S＝S 半球＋S 正方体表面积－S 圆 1 ＝2×4π×12＋6×2×2－π×12 ＝24＋π(m2) (2)V＝V 半球＋V 正方体
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1 4π ＝2× 3 ×13＋23 2π 3 ＝8＋ 3 (m )
[ 解析]
设球的半径为 R，体积扩大到原来的 27 倍后，其半径为 R′．
4 3 4 4 3 3 V＝3πR ，V′＝3πR′ ＝27V＝27×3πR
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∴R′＝3R.∴S′＝4πR′2＝36πR2． 又 S＝4πR2 ∴S′＝9S，故选 C．
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第一章 空间几何体
m) 导学号 09024180 (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积．
[思路分析]
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本题条件中给出的是几何体的三视图
及数据，解题时要先根据俯视图来确定几何体的上、
下部分形状，然后根据侧视图与正视图确定几何体的
形状，并根据有关数据计算．
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第一章 空间几何体
OO1⊥AO1，OO2⊥BO2．
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设球的半径为R ∵πO2B2＝49π，∴O2B＝7 cm．
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第一章 空间几何体
同理，得O1A＝20 cm．
设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9)cm． 在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202， 在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2， 联立①②可得x＝15，R＝25． ① ②
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高中数学必修2(人教A版)第一章几何空间体1.3知识点总结含同步练习及答案
第一章 空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积
一、学习任务 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆 锥、圆台和球的表面积和体积． 二、知识清单
表面积与体积 表面距离
三、知识讲解
1.表面积与体积 描述： 多面体的表面积 多面体的表面积等于各个面的面积之和，也就是展开图的面积． 表面积公式 直棱柱 S 侧 = ch ，S 全 = ch + 2S 底 （其中 c 为底面周长， h 为棱柱的高）． 正棱锥
− 解：√− 10 将三棱柱沿着 AA 1 展开如图所示，则线段 AD 1 即为最短路线，即 − − − − − −− − − − − −． AD 1 = √AD 2 + DD 2 1 = √10
如图，在圆锥中，其母线长为 2 ，底面半径为
面爬行一周后又回到 A 点，则这只虫子爬行的最短路程是多少？
PA = PB = PC = 2 ，求三棱锥 P − ABC 的表面积 S 与体积 V ．
P A 、P B 、P C 两两互相垂直，且 P A = P B = P C = 2，所以 AB = AC = BC = 2√2 ，可得 △ABC 的高为 √6 ．所以
解：因为
S = S △PAC + S △PAB + S △PBC + S △ABC 1 1 = 3 × × 2 × 2 + × 2√2 × √6 2 2 = 6 + 2√3 ;
四、课后作业
（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）
1. 正方体的内切球与其外接球的体积之比为 (
)
A．1 : √3
答案： C
人教新课标A版高一数学《必修2》第一章 章末复习
(2)对于“内切”和“外接”等问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，
主要是指特殊的点、线、面之间的关系，然后把相关的元素放到这些关系
中来解决．
专题突破
例4 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相 切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
转化思想在解立体几何题经常用到，主要是通过图形的分割、补形， 将原几何体分割或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的 体积；在展开方面也常常用到，主要是将立体几何图形展开成平面图 形，利用图形知识解几何中面积或线段的长度等这些体现了转化思 想．
专题突破
[分析]
本题有两种证法，即利用“分割”和“补形”
知识结构 柱体的体积公式：V柱体=_________________.特别地，
圆柱的体积：V圆柱=___________.
体积 锥体的体积公式：V锥体=__________________.特别地， 圆锥的体积：V圆锥=__________. 台体的体积公式：V台体=__________________.特别地， 圆台的体积：V圆台=____________________.
球体的体积公式：V球体=___________________.
专题突破
专题一 几何体的三视图和直观图
空间几何体的三视图、直观图以及两者之间的转化是本章的难点，也是
重点．解题需要依据它们的概念及画法规则，同时还要注意空间想象能力的
运用．三视图和直观图是空间几何体的两种不同的表现形式．这两种不同的
表现形式能够帮助我们从不同侧面、不同角度认识几何体的结构特征，进而 研究几何体的有关性质．三视图和直观图联系密切，由空间几何体的直观图 可以画出它的三视图，同样由空间几何体的三视图可以想象并画出这个几何
2018-2019年高中数学新课标人教A版《必修二》《第一章 空间几何体》课后练习试卷【5】含答案考
2018-2019年高中数学新课标人教A版《必修二》《第一章空间几何体》课后练习试卷【5】含答案考点及解析班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________ 题号一二三总分得分注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、选择题 1.某几何体三视图如图所示，该几何体的体积为 ( ) A．B．C．D．【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为一个正方体挖去两个圆柱，其底面积为，高为，所以该几何体的体积为，故选B.考点：1.三视图；2.柱体体积公式.2.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（） A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：由题意得，根据给定的三视图可知，该几何体为如图所示的几何体，是一个三棱锥与三棱柱的组合体，其中三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，所以该几何体的体积为，故选B．考点：几何体的三视图及几何体的体积．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，根据给定的三视图，得出该几何体是一个三棱锥与三棱柱的组合体，即可求解该组合体的体积． 3.三棱锥中，，则该三棱镜外接球的表面积为（）A． B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：，∴是三棱锥的外接球直径；中，，∴，可得外接球半径，∴外接球的表面积，故选A.考点：几何体表面积.【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: . 4.A．4D．8B．C．【答案】B【解析】试题分析：由三视图可得到几何体的直观图如图所示，该几何体是由一个四棱锥和一个三棱锥组成，四棱锥的底面面积为，高为，所以体积是；三棱锥的底面积为，高为，故体积是，所以该几何体的体积为，故选B. 考点：三视图与几何体的体积.【方法点睛】三视图问题几乎是各地的必考题目，通常考查考生的空间想象能力，最常见的题型是结合三视图考查几何体的体积、表面积或其与球的组合体问题.若考查体积，只需要确定几何体的形状，哪是底面，哪是高，根据三视图之间的关系“主俯同长，左俯同宽，主左同高”求出底面积和高，根据各多面体的体积公式即可求解；若研究其表面积往往就需要还原几何体，通常的做法是从一个明显的视图沿相反的方向“拉出”，在利用另外两个几何体进行验证；研究多面体与球的组合体最重要的是确定其与球的关系，确定球心的位置. 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B． C．D．【答案】A【解析】该几何体为长方体挖去了一个圆锥，圆锥的底面半径为1，母线长为2，所以几何体的表面积由长方体的表面积减圆锥底面圆的面积，还要加上圆锥的侧面积，所以几何体的表面积为，故选A. 6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】该几何体是切掉了四分之一个球之后剩下的几何体，选B. 7.过点且与直线平行的直线方程是（） A．B．C．D．【答案】A 【解析】试题分析：根据题意设所求直线方程为，将点代入，得，解得，所以所求方程为，故选A．考点：两条直线平行的充要条件．8.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是（）A．B． C．D．【答案】D【解析】画图知道圆的半径为，要想圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，，需要求圆心到直线的距离的范围为代入公式得，化简为，等式两边同除得到 .直线的斜率为，结合的图像得到.故选D.点睛：先由数形结合得到，有三个交点时直线的变化范围，得到圆心到直线的距离的范围为，转化为圆心到直线的距离，得到，而直线的斜率为因此，在解方程时用到了同除，得到，最终再结合正切的图像得到结果. 9.四面体ABCD的棱长AB=CD=6，其余棱长均为，则该四面体外接球半径为（）C．D．A．B．【答案】C【解析】如图，将四面体还原长方体，其棱长分别为，则该四面体外接球半径 10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）C．D．A．B．【答案】A【解析】试题分析：该几何体可以看作是个圆柱体和一个三棱锥组合而成，故体积．考点：三视图.【思路点睛】由该几何体的三视图可知，该几何体可以看作是个圆柱体和一个三棱锥组合而成，然后再，根据柱体和锥体的体积公式，即可求出结果.评卷人得分二、填空题11.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是．【答案】【解析】解：：由已知易得该几何体是一个以侧视图为底面，以4为高的四棱锥由于侧视图是一个上底为3，下底为5，高为2的直角梯形故棱锥的底面面积S="1" /2 •(5+3)•1=4则V="1" /3 •S•h="1" /3 •4 •4="16/3"故选A 12.直径为的球内接正方体的表面积是【答案】6 【解析】略13.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是。
2018-2019学年人教A版必修二第一章空间几何体章末复习提升课件(29张)
4 3 (4)若球的半径为 R，则表面积为 S＝4πR ，体积为 V＝3πR . (5)求解棱锥、棱台的表面积或体积时，注意棱锥中两个直角三 角形，棱台中两个直角梯形的应用.
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热点考点例析 专题一 空间几何体的结构特征 空间几何体的结构特征再解读 (1)类比记忆棱柱、棱锥、棱台等多面体的概念、性质． (2)圆柱、圆锥和圆台都是旋转体，其轴截面其实为旋转的平面 图形及其关于旋转轴对称的图形的组合，它反映了这三类几何体基 本量之间的关系，因此轴截面是解决这三类几何体问题的关键． (3)球是比较特殊的旋转体，球的对称性是解题的突破口． (4)对于简单组合体的性质的研究多采用分割法， 将其分解为几 个规则的几何体再进行研究．
定义Biblioteka 结构特征(3)多面体是由若干个平面多边形围成的几何体，棱柱、棱锥、 棱台都是多面体；旋转体是由一个平面图形绕轴(定直线)旋转所形 成的封闭几何体，圆柱、圆锥、圆台、球都是旋转体． (4)简单组合体是由简单几何体(柱体、锥体、台体、球)组合而 成，有两种基本形式：一是由简单几何体拼接而成，二是由简单几 何体截去或挖去一部分而成．
专题二 空间几何体的三视图 空间几何体的三视图再透析 三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画 出的图形． 正视图：物体前后方向投影所得到的投影图，它能反映物体的 高度和长度． 侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图，它能反映物体的 高度和宽度． 俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，它能反映物体的 长度和宽度． 注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线 都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．熟记常见几何体的三视 图．画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验.
能力挑战 1 以长方体的各顶点为顶点，能构成四棱锥的个数 是( ) A．4 B．8 C．12 D．48