2018上海高三一模难题

2018年上海市高三一模数学考试客观题难题解析2017.12一. 宝山区11. 给出函数2()g x x bx =-+，2()4h x mx x =-+-，这里,,b m x R ∈，若不等式()10g x b ++≤（x R ∈）恒成立，()4h x +为奇函数，且函数()()()()()g x x t f x h x x t ≤⎧=⎨>⎩恰有 两个零点，则实数t 的取值范围为【解析】根据题意，210x bx b -+++≤恒成立，∴24(1)0b b ∆=++≤，即2b =-.2mx x -+为奇函数，∴0m =，即22,()4,x x x t f x x x t⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩. 分零点讨论，如图所示，当 (,2)t ∈-∞-，1个零点；当[2,0)t ∈-，2个零点；当[0,4)t ∈，3个零点，当[4,)t ∈+∞， 2个零点. 综上，t 的取值范围为[2,0)[4,)-+∞.12. 若n （3n ≥，*n N ∈）个不同的点111(,)Q a b 、222(,)Q a b 、⋅⋅⋅、(,)n n n Q a b 满足： 12n a a a <<⋅⋅⋅<，则称点1Q 、2Q 、⋅⋅⋅、n Q 按横序排列，设四个实数k 、1x 、2x 、3x使得312()k x x -，23x ，222x 成等差数列，且两函数2y x =、13y x=+图像的所有交点 111(,)P x y 、222(,)P x y 、333(,)Px y 按横序排列，则实数k 的值为 【解析】根据题意，312()k x x -，23x ，222x 成等差数列，∴223231x x k x x -=-，1x 、2x 、3x 为 方程3310x x --=的三个解，且123x x x <<.解法一：3313104()3()222x x x x --=⇔-=，∵3cos34cos 3cos θθθ=-，设cos 2x θ=， 即1cos32θ=，360360n θ︒︒=+，20120n θ︒︒=+，n ∈Z .∵cos140cos260cos20︒︒︒<<， ∴12cos140x ︒=，22cos260x ︒=，32cos 20x ︒=，222232314cos 204cos 802cos 202cos 40x x k x x ︒︒︒︒--===-+ 22(2cos 201)(2cos 801)cos40cos160cos40cos201cos20cos40cos20cos40cos20cos40︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒----+===+++，即1k =. 解法二：结合图像可知，123x x x <<，213y y y <<，两函数2y x =、13y x=+消去y 可得方程3310x x --=（解分别为123x x x <<），消去x 得方程326910y y y -+-=（解分别 为213y y y <<），设3()31f x x x =--，32()691g y y y y =-+-3(2)3(2)1y y =---+， 根据平移性质可知，函数()g y 图像可由()f x 图像按向量(2,2)平移得到，且()f x 对称中心 为(0,1)-，∴()g y 的对称中心为(2,1)，∴()f x 与()g y 的图像关于(1,0)对称，如图所示，即AB CD =，∴3132x x y y -=-，∴22323231311x x y y k x x x x --===--解法三：利用计算器，求解三次方程3310x x --=，求出1x 、2x 、3x ，代入求出1k =.16. 称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积，设：数列甲：1x 、2x 、3x 、4x 、5x 为递增数列，且i x ∈*N （1,2,,5i =⋅⋅⋅⋅）；数列乙：1y 、2y 、3y 、4y 、5y 满足{1,1}i y ∈-（1,2,,5i =⋅⋅⋅⋅）则在甲、乙的所有内积中（ ）A. 当且仅当11x =，23x =，35x =，47x =，59x =时，存在16个不同的整数，它们同为奇数B. 当且仅当12x =，24x =，36x =，48x =，510x =时，存在16个不同的整数，它们同为偶数C. 不存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数D. 存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数【解析】取特例，数列甲：1、2、3、4、5，此时内积可能为15-、13-、11-、……、11、13、15，16个数均为奇数，排除A 、C 选项；再取特例，数列甲：1、2、3、4、6，可以排除B 选项，所以选D.二. 徐汇区11. 若不等式1(1)(1)31n na n +--⋅<++对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 【解析】当n 为奇数，不等式为131a n -<++，即131a n >--+对一切奇数恒成立，∵1331n --<-+，∴3a ≥-；当n 为偶数，不等式为131a n <-+，对一切偶数恒成立， ∵1133121n -≥-++，∴83a <；综上所述，a 的取值范围是8[3,)3-. 12. 已知函数()y f x =与()y g x =的图像关于y 轴对称，当函数()y f x =与()y g x =在区 间[,]ab 上同时递增或同时递减时，把区间[,]a b 叫做函数()y f x =的“不动区间”，若区 间[1,2]为函数|2|x y t =-的“不动区间”，则实数t 的取值范围是【解析】结合图像，|2|x y t =-的零点2log x t =应满足2log [1,1]t ∈-，解得1[,2]2t ∈.16. 如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，E 为1CC 的中点，点P 、Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上动点，求PEQ ∆周长的最小值（ ）A. B. C. D.【解析】作11PG B C ⊥，取BC 的中点F ，∴QE QF =，作E 关于11B C 的对称点H ，∴GH GE =，∴PQ QE ++PE GQ QF GE GQ QF GH FH ≥++=++≥=所以选B.三. 普陀区11. 已知正三角形ABC M 是ABC ∆所在平面内的任一动点，若||1MA =，则||MA MB MC ++的取值范围为【解析】根据题意，作出示意图||||MA MB MC MA MA AB MA AC ++=++++|3||3|MA AB AC MA AD =++=+，||1MA =，||3AD =当MA 与AD 反向时，有最小值0，当MA 与AD 同向时，有最大值6，所以||MA MB MC ++的取值范围为[0,6].12. 双曲线2213x y -=绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数()f x 的图像，关于此函 数()f x 有如下四个命题：① ()f x 是奇函数；② ()f x的图像过点3)2或3)2-；③ ()f x 的值域是33(,][,)22-∞-+∞； ④ 函数()y f x x =-有两个零点；则其中所有真命题的序号为【解析】作出双曲线图像，旋转适当角度，使得其中一条渐近线垂直于x 轴，如图中红色 实线或红色虚线所示，结合图像，可知①②正确.16. 定义在R 上的函数()f x 满足2201()4210x x x f x x -⎧+≤<=⎨--≤<⎩，且(1)(1)f x f x -=+，则 函数35()()2x g x f x x -=--在区间[1,5]-上的所有零点之和为（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8【解析】作出()f x 图像如图所示，周期为2，设351()322x h x x x -==+--，即求()f x 与()h x 交点 横坐标之和. 结合图像可知，共有3个交点，其中两个交点关于(2,3)点对称，另一个交点的横坐标为1，所以交点的横坐标之和为2215⨯+=，即所有零点之和为5四. 长宁区/嘉定区11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，12n n n S a a +=（*n N ∈），若121(1)nn n n n b a a ++=-， 则数列{}n b 的前n 项和n T =【解析】11a =，112222S a a a =⇒=，1111122()22n n n n n n n n S S a a a a a a -+-+--=-=⇒-=， ∴奇数项1、3、5、…、成等差数列，偶数项2、4、6、…、成等差数列，综上n a n =，2111(1)(1)()(1)1n n n n b n n n n +=-=-+++，∴1112b =--，21123b =+，31134b =--，……， 11(1)(1)1n nn b n n =-+-+，消项求和，11(1)1n n T n =-+-+. 12. 若不等式222()x y cx y x -≤-对满足0x y >>的任意实数x 、y 恒成立，则实数c 的 最大值为【解析】典型恒成立问题，∵()0x y x -<，∴参变分离得222212()21y x y x c y xy x x--≤=--， (0,1)y t x =∈，即求212()1t f t t -=-的最小值，22122(1)4(1)1()11t t t f t t t ------===--12(1)441t t-+-≥-，当且仅当12t =-时等号成立，∴c的最大值为4. 15. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义||cos ||ααβθβ⊗=，其中θ为α和β的夹角， 若两个非零的平面向量a 和b 满足：① ||||a b ≥；② a 和b 的夹角(0,)4πθ∈；③ a b ⊗和 b a ⊗的值都在集合{|,}2n x x n N =∈中，则a b ⊗的值为（ ） A. 52 B. 32C. 1D. 12 【解析】根据题意，||1||b a ≤，cos (2θ∈，∴||cos 1||b b a a θ⊗=<，∵b a ⊗的值在集合{|,}2n x x n N =∈中，∴||1cos 2||bb a a θ⊗==，∴||2cos ||a b θ=∈，∴a b ⊗= 2||cos 2cos (1,2)||a b θθ=∈，∵a b ⊗的值在集合{|,}2n x x n N =∈中，∴32a b ⊗=. 选B. 16. 已知函数1202()12212x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，且1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=， 1,2,3,n =⋅⋅⋅，则满足方程()n f x x =的根的个数为（ ）A. 2n 个B. 22n 个C. 2n 个D. 2(21)n -个【解析】画出1()f x 、2()f x 、3()f x 的图像，如图所示，由图可知，1()f x x =有2个根，2()f x x =有22个根，3()f x x =有32个根，…，归纳可得，()n f x x =有2n 个根.五. 金山区10. 向量i 、j 是平面直角坐标系x 轴、y 轴的基本单位向量，且|||2|5a i a j -+-=，则|2|a i +的取值范围为【解析】本题与2016年虹口一模17题几乎一样， 根据题意，(1,0)i =，(0,1)j =，设(,)a x y =，根据|||2|5a i a j -+-=的几何意义，(,)x y 轨迹是一条线段（图中AB ），|2|a i +的几何意义为(,)x y 到点(2,0)-的距离，由图可知，距离最短为CD =3AD =，范围为 11. 某地区原有森林木材存有量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要，每年年末要砍伐的木材量为110a ，设n a 为第n 年末后该地区森林木材存量，则n a = 【解析】根据题意，15410n n a a a -=-，待定系数，15()4n n a a λλ--=-，可得25a λ=， ∴2{}5n a a -是首项为23232054a a a -=，公比为54的等比数列，∴1235()544n n a a a --=⋅= 35()54n a ⋅，即352()545n n a a a =⋅+. 本题要注意1a a ≠，152341020a a a a =-=. 12. 关于函数||()|||1|x f x x =-，给出以下四个命题：① 当0x >时，()y f x =单调递减且没 有最值；② 方程()f x kx b =+（0k ≠）一定有实数解；③ 如果方程()f x m =（m 为常 数）有解，则解的个数一定是偶数；④ ()y f x =是偶函数且有最小值；其中假命题的序号 是【解析】根据图像可得，① 在(0,1)单调递增，错误；② 正确；③ ()0f x =只有一个解，错误；④ 为偶函数，最小值为0，正确；∴假命题是①③.16. 给出下列四个命题：（1）函数arccos y x =（11x -≤≤）的反函数为cos y x =（x ∈R ）；（2）函数21m m y x +-=（m ∈N ）为奇函数；（3）参数方程2221121t x t ty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t R ∈）所表示的曲线是圆；（4）函数221()sin ()32x f x x =-+，当2017x >时，1()2f x >恒成立；其中真 命题的个数为（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【解析】① cos y x =定义域为R ，arccos y x =的值域不为R ，不能互为反函数，错误； ② ∵m ∈N ，∴(1)m m +为偶数，∴21m m +-为奇数，∴21m m y x +-=为奇函数，正确； ③ 消参可得方程为221x y +=，1x ≠-，不是一个完整的圆，错误；④ 1()2f x >恒成立， 即22sin ()3x x >在(2017,)+∞上恒成立，因为2sin [0,1]x ∈且有周期性，2()(0,)3x ∈+∞，结 合图像性质可知，不能恒成立，错误. 正确的只有②，所以选D.六. 青浦区10. 已知函数22log ()0()30x a x f x x ax a x +≤⎧=⎨-+>⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是【解析】由题意，当0x ≤，2log ()y x a =+有一个零点，∴0a >且(0)0f ≥，∴1a ≥；当0x >时，23y x ax a =-+有两个不同的零点，2940a a ∆=->，49a >；综上，1a ≥. 11. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，121a a ==，平面内三个不共线的向量OA 、OB 、OC 满足11()(1)n n n OC a a OA a OB -+=++-，2n ≥，*n N ∈，若A 、B 、C 在同一直线上，则2018S =【解析】由题意，A 、B 、C 在同一直线上，∴1111n n n a a a -+++-=，即11n n n a a a -++=， 121a a ==，30a =，451a a ==-，60a =，781a a ==，90a =，……，可知周期为6， 且每6项之和为0，∵201863362=⨯+，∴20181233602S a a =++⨯=.12. 已知函数()()(2)f x m x m x m =-++和()33x g x =-同时满足以下两个条件：① 对任意实数x 都有()0f x <或()0g x <；② 总存在0(,2)x ∈-∞-，使00()()0f x g x <成立；则m 的取值范围是【解析】由题意，根据① 对任意实数x 都有()0f x <或()0g x <，可得0m <，(1)0f <，解得30m -<<；根据② 总存在0(,2)x ∈-∞-，使00()()0f x g x <成立，可得(2)0f ->，解得2m <-；综上，(3,2)m ∈--16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆221:12C x y +=和222:14C x y +=，又点A 坐标为(3,1)-，M 、N 是1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（ ）A. 0个B. 2个C. 4个D. 无数个【解析】数形结合，如图所示，选D七. 虹口区10. 设椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过焦点1F 的直线交椭圆于M 、N 两 点，若△2MNF 的内切圆的面积为π，则2MNF S ∆=【解析】设内切圆半径为r ，△2MNF 的周长为C ，根据题意，1r =，48C a ==，2142MNF S C r ∆=⨯⨯= 11. 在ABC ∆中，D 是BC 的中点，点列n P （*n N ∈）在直线AC 上，且满足1n n n n n P A a P B a P D +=⋅+，若11a =，则数列{}n a 的通项公式n a = 【解析】2n n n P B P C P D +=，11()222n n n n n n n n n n n P B P C a a P A a P B a a P B P C +++=⋅+⋅=+⋅+⋅， ∵n P A 与n P C 共线，但不与n P B 共线，∴102n n a a ++=，112n n a a +=-，11()2n n a -=-. 12. 设2()22x f x x a x b =+⋅+⋅，其中,a b N ∈，x R ∈，如果函数()y f x =与函数 (())y f f x =都有零点且它们的零点完全相同，则(,)a b 为【解析】设零点0x ，0()0f x =，0(())0(0)0f f x f =⇒=，∴0b =，∴2()2f x x ax =+， 当0a =，2()f x x =，4(())f f x x =，有唯一零点0x =，符合；当0a ≠，()(2)f x x x a =+， 有两个零点10x =和22x a =-，(())()[()2]0()0f f x f x f x a f x =+=⇒=和()2f x a =-， ∵()0f x =已满足有两个相同的零点10x =和22x a =-，∴方程()2f x a =-无解， 即2220x ax a ++=无解，248002a a a ∆=-<⇒<<，∴1a =；综上，(,)a b 为(0,0)或(1,0).16. 已知Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，4AB =，6AC =，在三角形所在的平面内有两个动点M 和N ，满足||2AM =，MN NC =，则||BN 的取值范围是（ ）A. B. [4,6]C. D. 【解析】以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系，根据题意，M 点的轨迹为224x y +=，设N 点坐标为(,)m n ，∵N 为MC 中点，则M 点为(2,26)m n -，代入方程224x y +=可得到N 点轨迹22(3)1m n +-=，是一个以(0,3)为圆心，1为半径的圆，设圆心(0,3)为D ，可得5BD =，∴||BN 的最小值为14BD -=，最大值为16BD +=，选B.八. 杨浦区11. 已知函数()cos (sin )f x x x x =+x R ∈，设0α>，若函数()()g x f x α=+ 为奇函数，则α的值为【解析】()cos (sin )sin(2)3f x x x x x π=+=+，()sin(22)3g x x πα=++为奇 函数，且0α>，∴23k παπ+=，26k ππα=-，k ∈*N . 12. 已知点C 、D 是椭圆2214x y +=上的两个动点，且点(0,2)M ，若MD MC λ=，则实 数λ的取值范围为【解析】数形结合，取极端情况.作CE ⊥y 轴，DF ⊥y 轴，3MD MF MB MC ME MA λ==≤=，同理13λ≥ 当D 点位于(0,1)-，C 点位于(0,1)时，λ等于3； 当D 点位于(0,1)，C 点位于(0,1)-时，λ等于13，∴1[,3]3λ∈. 16. 设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用1S 、2S 、3S 分别表示ABC ∆、ACD ∆、ABD ∆的面积，则123S S S ++的 最大值是（ ）A. 12B. 2C. 4D. 8 【解析】构造如图所示的长方体，根据题意，该长方体的体对角线长度等于球的直径，为2，设AD a =，AC b =，AB c =，∴2224a b c ++=，1232ab bc ac S S S ++++=≤ 22222222211[()()()][2()]244a b b c a c a b c +++++=++=， ∴选B.九. 松江区10. 已知函数()|2|1f x x x a =--有三个零点，则实数a 的取值范围为【解析】分类讨论，设()|2|g x x x a =-，可以看作()g x 与1y =有三个交点， 当0a <，()g x 图像如图所示，易知与1y =只有1个交点，不符；当0a >，()g x 图像如图所示，要与1y =有3个交点，需满足()14af >，即a >.11. 定义(,)a a b F a b b a b≤⎧=⎨>⎩，已知函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，则下列四个命题中为真命题的是 （写出所有真命题的序号）① 若()f x 、()g x 都是奇函数，则函数((),())F f x g x 为奇函数；② 若()f x 、()g x 都是偶函数，则函数((),())F f x g x 为偶函数；③ 若()f x 、()g x 都是增函数，则函数((),())F f x g x 为增函数；④ 若()f x 、()g x 都是减函数，则函数((),())F f x g x 为减函数.【解析】①的反例如图所示，②③④为真命题12. 已知数列{}n a 的通项公式为2n n a q q =+（0q <，*n N ∈），若对任意*,m n N ∈都有 1(,6)6m n a a ∈，则实数q 的取值范围为 【解析】0q <，130a q =<，11(,6)6n a a ∈，∴0n a <，2220a q q =+<，1(,0)2q ∈-. ∴1a 最小，2a 最大，121(,6)6a a ∈，213662q q q <<+，解得14q >-，即1(,0)4q ∈-. 16. 已知曲线1:||2C y x -=与曲线222:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）A. (,1][0,1)-∞-B. (1,1]-C. [1,1)-D. [1,0](1,)-+∞【解析】分类讨论，当0λ=，2y =±，符合题意；当0λ≠，22144x y λ+=. 当0λ>，表示椭圆，根据题意，44λ>，01λ<<；当0λ<，表示双曲线，渐近线斜率小于等于11≤，10λ-≤<，综上所述，[1,1)λ∈-，选C.（分析整理 谭峰）。