上海市普陀区2018届高三一模数学试卷(官方答案版)解答题有过程
普陀区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
普陀区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，若f （x ）=，则关于x 的方程f （x ）+a=0（0＜a ＜1）的所有根之和为（ ） A ．1﹣（）a B．（）a ﹣1C ．1﹣2aD ．2a ﹣12． P是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）右支上一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为（ ）A ．aB ．bC ．cD ．a+b ﹣c3． “a ≠1”是“a 2≠1”的（ ） A ．充分不必条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4． 在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）1111] A ．(0,]6πB ．[,)6ππ C. (0,]3π D ．[,)3ππ 5． 已知f （x ）在R 上是奇函数，且满足f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （2015）=（ ） A ．2 B ．﹣2C ．8D ．﹣86．定义运算，例如．若已知，则=（ ）A． B． C．D．7． 由两个1，两个2，两个3组成的6位数的个数为（ ） A ．45B ．90C ．120D ．3608． 高三年上学期期末考试中，某班级数学成绩的频率分布直方图如图所示，数据分组依次如下：[70，90），[90，110），[100，130），[130，150），估计该班级数学成绩的平均分等于（ ）A ．112B ．114C ．116D ．120班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________9． 设函数f （x ）满足f （x+π）=f （x ）+cosx ，当0≤x ≤π时，f （x ）=0，则f （）=（ ）A ．B ．C ．0D ．﹣10．已知函数()x e f x x=，关于x 的方程2()2()10f x af x a -+-=（a R Î）有3个相异的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．21(,)21e e -+?-B ．21(,)21e e --?-C ．21(0,)21e e --D ．2121e e 禳-镲睚-镲铪【命题意图】本题考查函数和方程、导数的应用等基础知识，意在考查数形结合思想、综合分析问题解决问题的能力．11．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数f （x ）=2x ﹣2，则函数y=|f （x ）|的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知双曲线的一条渐近线方程为y=x ，则实数m 等于 ．14．函数y=f （x ）的图象在点M （1，f （1））处的切线方程是y=3x ﹣2，则f （1）+f ′（1）= ．15．函数f （x ）=log a （x ﹣1）+2（a ＞0且a ≠1）过定点A ，则点A 的坐标为 ．16．从等边三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC=3+，则这两个正方形的面积之和的最小值为 ．17．已知θ是第四象限角，且sin （θ+）=，则tan （θ﹣）= ．18．已知偶函数f （x ）的图象关于直线x=3对称，且f （5）=1，则f （﹣1）= ．三、解答题19．设函数f （x ）=|x ﹣a|﹣2|x ﹣1|． （Ⅰ）当a=3时，解不等式f （x ）≥1；（Ⅱ）若f （x ）﹣|2x ﹣5|≤0对任意的x ∈[1，2]恒成立，求实数a 的取值范围．20．已知定义在[]3,2-的一次函数()f x 为单调增函数，且值域为[]2,7． （1）求()f x 的解析式；（2）求函数[()]f f x 的解析式并确定其定义域．21．已知函数f （x ）=．（1）求f （f （﹣2））；（2）画出函数f （x ）的图象，根据图象写出函数的单调增区间并求出函数f （x ）在区间（﹣4，0）上的值域．22．若{a n }的前n 项和为S n ，点（n ，S n ）均在函数y=的图象上．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设，T n 是数列{b n }的前n项和，求：使得对所有n ∈N *都成立的最大正整数m ．23．（14分）已知函数1()ln ,()ex x f x mx a x m g x -=--=，其中m ，a 均为实数．（1）求()g x 的极值； 3分（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立，求a 的最小值； 5分（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成立，求m 的取值范围． 6分24．已知集合A={x|x 2﹣5x ﹣6＜0}，集合B={x|6x 2﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x ﹣m ）（m+9﹣x ）＞0} （1）求A ∩B（2）若A ∪C=C ，求实数m 的取值范围．普陀区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：由题意，关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）共有5个根，从左向右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则x≥1，f（x）=，对称轴为x=3，根据对称性，x≤﹣1时，函数的对称轴为x=﹣3，∴x1+x2=﹣6，x4+x5=6，∵0＜x＜1，f（x）=log2（x+1），∴﹣1＜x＜0时，0＜﹣x＜1，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x+1），∴﹣log2（1﹣x3）=﹣a，∴x3=1﹣2a，∴x1+x2+x3+x4+x5=﹣6+1﹣2a+6=1﹣2a，故选：C．2．【答案】A【解析】解：如图设切点分别为M，N，Q，则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与Q横坐标相同．由双曲线的定义，PF1﹣PF2=2a．由圆的切线性质PF1﹣PF2=F I M﹣F2N=F1Q﹣F2Q=2a，∵F1Q+F2Q=F1F2=2c，∴F2Q=c﹣a，OQ=a，Q横坐标为a．故选A．【点评】本题巧妙地借助于圆的切线的性质，强调了双曲线的定义．3．【答案】B【解析】解：由a2≠1，解得a≠±1．∴“a≠1”推不出“a2≠1”，反之由a2≠1，解得a≠1．∴“a≠1”是“a2≠1”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．【答案】C【解析】考点：三角形中正余弦定理的运用.5．【答案】B【解析】解：∵f（x+4）=f（x），∴f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1），又∵f（x）在R上是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故选B．【点评】本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题．6．【答案】D【解析】解：由新定义可得，====．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了两角和与差的三角函数，是基础题．7．【答案】B【解析】解：问题等价于从6个位置中各选出2个位置填上相同的1，2，3，所以由分步计数原理有：C62C42C22=90个不同的六位数，故选：B．【点评】本题考查了分步计数原理，关键是转化，属于中档题．8．【答案】B【解析】解：根据频率分布直方图，得；该班级数学成绩的平均分是=80×0.005×20+100×0.015×20+120×0.02×20+140×0.01×20=114．故选：B．【点评】本题考查了根据频率分布直方图，求数据的平均数的应用问题，是基础题目．9．【答案】D【解析】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+cosx，当0≤x＜π时，f（x）=1，∴f（）=f（）=f（）+cos=f（）+cos+cos=f（）+cos+cos=f（）+cos+cos=f（）+cos+cos+cos=0+cos﹣cos+cos=﹣．故选：D．【点评】本题考查抽象函数以及函数值的求法，诱导公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．10．【答案】D第Ⅱ卷（共90分）11．【答案】A【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个，取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=．故选：A．【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件．12．【答案】B【解析】解：先做出y=2x的图象，在向下平移两个单位，得到y=f（x）的图象，再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f（x）|的图象．故选B【点评】本题考查含有绝对值的函数的图象问题，先作出y=f（x）的图象，再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f（x）|的图象．二、填空题13．【答案】4．【解析】解：∵双曲线的渐近线方程为y=x，又已知一条渐近线方程为y=x，∴=2，m=4，故答案为4．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得渐近线方程为y=x，是解题的关键．14．【答案】4．【解析】解：由题意得f′（1）=3，且f（1）=3×1﹣2=1所以f（1）+f′（1）=3+1=4．故答案为4．【点评】本题主要考查导数的几何意义，要注意分清f（a）与f′（a）．15．【答案】（2，2）．【解析】解：∵log a1=0，∴当x﹣1=1，即x=2时，y=2，则函数y=log a（x﹣1）+2的图象恒过定点（2，2）．故答案为：（2，2）．【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用log a1=0，属于基础题．16．【答案】．【解析】解：设大小正方形的边长分别为x，y，（x，y＞0）．则+x+y+=3+，化为：x+y=3．则x2+y2=，当且仅当x=y=时取等号．∴这两个正方形的面积之和的最小值为．故答案为：．17．【答案】．【解析】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin （θ+）=，∴cos （θ+）=．∴cos （）=sin （θ+）=，sin （）=cos （θ+）=．则tan （θ﹣）=﹣tan （）=﹣=．故答案为：﹣．18．【答案】 1 ．【解析】解：f （x ）的图象关于直线x=3对称，且f （5）=1，则f （1）=f （5）=1， f （x ）是偶函数，所以f （﹣1）=f （1）=1． 故答案为：1．三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）f （x ）≥1，即|x ﹣3|﹣|2x ﹣2|≥1 x时，3﹣x+2x ﹣2≥1，∴x ≥0，∴0≤x ≤1；1＜x ＜3时，3﹣x ﹣2x+2≥1，∴x ≤，∴1＜x ≤；x ≥3时，x ﹣3﹣2x+2≥1，∴x ≤﹣2∴1＜x ≤，无解，…所以f （x ）≥1解集为[0，]．…（Ⅱ）当x ∈[1，2]时，f （x ）﹣|2x ﹣5|≤0可化为|x ﹣a|≤3， ∴a ﹣3≤x ≤a+3，…∴，…∴﹣1≤a ≤4．…20．【答案】（1）()5f x x =+，[]3,2x ∈-；（2）[]()10f f x x =+，{}3x ∈-. 【解析】试题解析：（1）设()(0)f x kx b k =+>，111] 由题意有：32,27,k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得1,5,k b =⎧⎨=⎩∴()5f x x =+，[]3,2x ∈-． （2）(())(5)10f f x f x x =+=+，{}3x ∈-．考点：待定系数法． 21．【答案】【解析】解：（1）函数f （x ）=．f （﹣2）=﹣2+2=0， f （f （﹣2））=f （0）=0.3分 （2）函数的图象如图：…单调增区间为（﹣∞，﹣1），（0，+∞）（开区间，闭区间都给分）… 由图可知：f （﹣4）=﹣2，f （﹣1）=1，函数f （x ）在区间（﹣4，0）上的值域（﹣2，1]．…12分．22．【答案】【解析】解：（1）由题意知：S n=n 2﹣n ，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=3n ﹣2， 当n=1时，a 1=1，适合上式， 则a n =3n ﹣2； （2）根据题意得：b n===﹣，T n =b 1+b 2+…+b n =1﹣+﹣+…+﹣=1﹣，∴{T n }在n ∈N *上是增函数，∴（T n ）min =T 1=，要使T n＞对所有n ∈N *都成立，只需＜，即m ＜15，则最大的正整数m 为14．23．【答案】解：（1）e(1)()e xx g x -'=，令()0g x '=，得x = 1． 列表如下：∵g （1） = 1，∴y =()g x 的极大值为1，无极小值． 3分（2）当1,0m a =<时，()ln 1f x x a x =--，(0,)x ∈+∞．∵()0x af x x -'=>在[3,4]恒成立，∴()f x 在[3,4]上为增函数． 设1e ()()e x h xg x x ==，∵12e (1)()x x h x x--'=> 0在[3,4]恒成立，∴()h x 在[3,4]上为增函数． 设21x x >，则212111()()()()f x f xg x g x -<-等价于2121()()()()f x f x h x h x -<-， 即2211()()()()f x h x f x h x -<-．设1e ()()()ln 1e xu x f x h x x a x x=-=---⋅，则u （x ）在[3,4]为减函数．∴21e (1)()10e xa x u x x x -'=--⋅≤在（3，4）上恒成立． ∴11e e x x a x x---+≥恒成立． 设11e ()e x x v x x x --=-+，∵112e (1)()1e x x x v x x ---'=-+=121131e [()]24x x ---+，x ∈[3，4]，∴1221133e [()]e 1244x x --+>>，∴()v x '< 0，()v x 为减函数．∴()v x 在[3，4]上的最大值为v （3） = 3 -22e 3．∴a ≥3 -22e 3，∴a 的最小值为3 -22e 3． 8分（3）由（1）知()g x 在(0,e]上的值域为(0,1]．∵()2ln f x mx x m =--，(0,)x ∈+∞，当0m =时，()2ln f x x =-在(0,e]为减函数，不合题意．当0m ≠时，2()()m x m f x x-'=，由题意知()f x 在(0,e]不单调， 所以20e m <<，即2em >．①此时()f x 在2(0,)m 上递减，在2(,e)m上递增，∴(e)1f ≥，即(e)e 21f m m =--≥，解得3e 1m -≥．②由①②，得3e 1m -≥．∵1(0,e]∈，∴2()(1)0f f m =≤成立．下证存在2(0,]t m∈，使得()f t ≥1．取e m t -=，先证e 2m m-<，即证2e 0m m ->．③设()2e x w x x =-，则()2e 10x w x '=->在3[,)e 1+∞-时恒成立．∴()w x 在3[,)e 1+∞-时为增函数．∴3e ))01((w x w ->≥，∴③成立．再证()e m f -≥1．∵e e 3()1e 1m m f m m m --+=>>-≥，∴3e 1m -≥时，命题成立． 综上所述，m 的取值范围为3[,)e 1+∞-． 14分24．【答案】【解析】解：由合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x﹣m）（m+9﹣x）＞0}．∴A={x|﹣1＜x＜6}，，C={x|m＜x＜m+9}．（1），（2）由A∪C=C，可得A⊆C．即，解得﹣3≤m≤﹣1．。
2018年上海市普陀区高考数学一模试卷
2018年上海市普陀区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 设全集U ={1, 2, 3, 4, 5}，若集合A ={3, 4, 5}，则∁U A =________． 【答案】 {1, 2} 【考点】 补集及其运算 【解析】利用补集定义直接求解． 【解答】∵ 全集U ={1, 2, 3, 4, 5}， 集合A ={3, 4, 5}， ∴ ∁U A ={1, 2}．2. 若sinθ=14，则cos(3π2+θ)=________． 【答案】14【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】由已知利用诱导公式即可化简求值得解． 【解答】 sinθ=14，∴ cos(3π2+θ)=sinθ=14．3. 方程log 2(2−x)+log 2(3−x)=log 212的解x =________． 【答案】 −1【考点】对数的运算性质 【解析】利用对数的性质、运算法则直接求解． 【解答】∵ 方程log 2(2−x)+log 2(3−x)=log 212， ∴ {2−x >03−x >0(2−x)(3−x)=12 ，即{x <2x 2−5x −6=0 ，解得x =−1．4. (√x −1x )9的二项展开式中的常数项的值为________．【考点】二项式定理的应用 【解析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得r 值，则答案可求． 【解答】二项展开式的通项T r+1=C 9r ∗(√x)9−r∗(−1x )r=(−1)r∗C 9r ∗x9−3r 2，由9−3r 2=0，得r =3．∴ (√x −1x )9的二项展开式中的常数项为T 4=(−1)3∗C 93=−84．5. 不等式1|x−1|≥1的解集为________． 【答案】[0, 1)∪(1, 2] 【考点】其他不等式的解法 【解析】去绝对值求出不等式的解集即可． 【解答】 由题意得：{x −1≠0|x −1|≤1 ，解得：0≤x <1或1<x ≤2，6. 函数f(x)=√3sinx +2cos 2x2的值域为________．【答案】 [−1, 3] 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】由二倍角的余弦函数公式，两角和的正弦函数公式化简函数解析式，利用正弦函数的图象和性质即可得解． 【解答】∵ f(x)=√3sinx +2cos 2x2=√3sinx +cosx +1=2sin(x +π6)+1， ∵ sin(x +π6)∈[−1, 1]，∴ f(x)=2sin(x +π6)+1∈[−1, 3]．7. 已知i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若|z 1+i12i |=0，则z 在复平面内所对应的点所在的象限为第________象限．【考点】二阶矩阵【解析】根据二阶行列的展开式，求得z×2i−(1+i)=0，设z=a+bi，代入即可求得a和b 的值，求得z，即可判断z在复平面内所对应的点所在的象限．【解答】|z1+i12i|=0，设z=a+bi，则z×2i−(1+i)=0，即(a+bi)×2i−1−i=0，则2ai−2b−1−i=0，∴−2b−1+(2a−1)i=0，则{2a−1=0−2b−1=0，则{a=12b=−12，∴z=12−12i，则z=12+12i，∴则z在复平面内所对应的点位于第一象限，8. 若数列{a n}的前n项和S n=−3n2+2n+1(n∈N∗)，则limn→∞a n3n=________．【答案】−2【考点】数列的极限【解析】由数列的递推式：n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n−S n−1，可得通项a n，再由数列的极限的求法，即可得到所求极限．【解答】数列{a n}的前n项和S n=−3n2+2n+1(n∈N∗)，可得n=1时，a1=S1=−3+2+1=0；当n≥2时，a n=S n−S n−1=−3n2+2n+1+3(n−1)2−2n+2−1=−6n+5，则limn→∞a n3n=limn→∞5−6n3n=limn→∞(−2+53n)=−2+0=−2．9. 若直线l:x+y=5与曲线C:x2+y2=16交于两点A(x1, y1)、B(x2, y2)，则x1y2+x2y1的值为________．【答案】16【考点】直线与圆的位置关系【解析】直接利用圆与直线的位置关系，建立一元二次方程根与系数的关系，进一步求出结果．【解答】直线l:x+y=5与曲线C:x2+y2=16交于两点A(x1, y1)、B(x2, y2)，则：{x +y =5x 2+y 2=16，所以：2x 2−10x +9=0， 则：x 1+x 2=5，x 1x 2=92，则：x 1y 2+x 2y 1=x 1(5−x 2)+x 2(5−x 1)， =5(x 1+x 2)−2x 1x 2， =25−9， =16．10. 设a 1、a 2、a 3、a 4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i(i =1, 2, 3, 4)使得a i =i 成立，则满足此条件的不同排列的个数为________． 【答案】 15【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】根据题意，用间接法分析：先a 1、a 2、a 3、a 4计算所有的排列数，再用分步计数原理计算不存在i(i =1, 2, 3, 4)使得a i =i 成立的情况数，两者相减即可得答案． 【解答】根据题意，a 1、a 2、a 3、a 4是1，2，3，4的一个排列， 则所有的排列有A 44=24个，假设不存在i(i =1, 2, 3, 4)使得a i =i 成立，则a 1可以在第2、3、4位置，有3种情况， 假设a 1在第二个位置，则a 1可以在第1、3、4位置，也有3种情况， 此时a 3、a 4只有1种排法，剩余的两个数在其余两个位置，有1种情况，则不存在i(i =1, 2, 3, 4)使得a i =i 成立的情况有3×3=9种，则至少有一个i(i =1, 2, 3, 4)使得a i =i 成立排列数有24−9=15个；11. 已知正三角形ABC 的边长为√3，点M 是△ABC 所在平面内的任一动点，若|MA →|=1，则|MA →+MB →+MC →|的取值范围为________． 【答案】 [0, 6] 【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】以A 点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设M(cosθ, sinθ)，根据向量的坐标运算和向量的模可得|MA →+MB →+MC →|2=18−18sin(θ+π3)，再根据三角函数的性质即可求出范围 【解答】以A 点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0, 0)，B(√3, 0)，C(√32, 32)，∵ |MA →|=1，不妨设M(cosθ, sinθ)，∴MA→+MB→+MC→=(−cosθ, −sinθ)+(√3−cosθ, −sinθ)+(√32−cosθ, 32−sinθ)=(3√32−3cosθ, 32−3sinθ)，∴|MA→+MB→+MC→|2=(3√32−3cosθ)2+(32−3sinθ)2=9(2−√3cosθ−sinθ)=18−18sin(θ+π3)，∵−1≤sin(θ+π3)≤1，∴0≤18−18sin(θ+π3)≤36，∴|MA→+MB→+MC→|的取值范围为[0, 6]，12. 双曲线x23−y2=1绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f(x)的图象，关于此函数f(x)有如下四个命题：①f(x)是奇函数；②f(x)的图象过点(√32,32)或(√32,−32)；③f(x)的值域是(−∞,−32brack∪[32,+∞)；④函数y=f(x)−x有两个零点；则其中所有真命题的序号为________．【答案】①②【考点】双曲线的特性【解析】求出双曲线的对称中心和顶点坐标和渐近线方程，画出f(x)的图象（位于一三象限），对选项一一判断，由对称性可得f(x)的图象在二四象限的情况，即可得到答案．【解答】双曲线x23−y2=1关于坐标原点对称，可得旋转后得到的函数f(x)的图象关于原点对称，即有f(x)为奇函数，故①对；由双曲线的顶点为(±√3, 0)，渐近线方程为y=±√33x，可得f(x)的图象的渐近线为x=0和y=±√33x，图象关于直线y=√3x对称，可得f(x)的图象过点(√32,32)，或(√32,−32)，由对称性可得f(x)的图象按逆时针60∘旋转位于一三象限；按顺时针旋转60∘位于二四象限；故②对；f(x)的图象按逆时针旋转60∘位于一三象限， 由图象可得顶点为点(√32,32)，或(√32,−32)，不是极值点，则f(x)的值域不是(−∞,−32brack ∪[32,+∞)； f(x)的图象按顺时针旋转60∘位于二四象限，由对称性可得f(x)的值域也不是(−∞,−32brack ∪[32,+∞)．故③不对；当f(x)的图象位于一三象限时，f(x)的图象与直线y =x 有两个交点， 函数y =f(x)−x 有两个零点；当f(x)的图象位于二四象限时，f(x)的图象与直线y =x 没有交点， 函数y =f(x)−x 没有零点． 故④错．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）若数列{a n }(n ∈N ∗)是等比数列，则矩阵(a 1a 2a 4a 5a 6a 8)所表示方程组的解的个数是（ ）A.0个B.1个C.无数个D.不确定【答案】 C【考点】等比数列的性质 等比数列的通项公式线性方程组解的存在性，唯一性 【解析】根据题意，分析矩阵所表示的方程组为{a 1x +a 2y =a4a 5x +a 6y =a 8，进而由等比数列的性质可得a 1a 5=a 2a 6=a 4a 8=1q 4，进而分析可得方程组的解的个数，即可得答案．【解答】根据题意，矩阵(a 1a 2a 4a5a 6a 8)所表示方程组为{a 1x +a 2y =a 4a 5x +a 6y =a 8 ，又由数列{a n }(n ∈N ∗)是等比数列，则有a1a 5=a2a 6=a4a 8=1q 4，则方程组{a 1x +a 2y =a4a 5x +a 6y =a 8的解有无数个；“m >0”是“函数f(x)=|x(mx +2)|在区间(0, +∞)上为增函数”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件 【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】m >0，函数f(x)=|x(mx +2)|=|mx 2+2x|，由f(0)=0，得到f(x)在区间(0, +∞)上为增函数”；由函数f(x)=|x(mx +2)|=|mx 2+2x|在区间(0, +∞)上为增函数，得到m ∈R ，由此能求出结果． 【解答】 ∵ m >0，∴ 函数f(x)=|x(mx +2)|=|mx 2+2x|，∵ f(0)=0，∴ f(x)在区间(0, +∞)上为增函数”；∵ 函数f(x)=|x(mx +2)|=|mx 2+2x|在区间(0, +∞)上为增函数， f(0)=0， ∴ m ∈R ，∴ “m >0”是“函数f(x)=|x(mx +2)|在区间(0, +∞)上为增函数”的充分非必要条件．用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm ）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（ ） A.258cm 2 B.414cm 2 C.416cm 2 D.418cm 2 【答案】 C【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】设长方体的三条棱分别为a ，b ，c ，则长方体的表面积S =2(ab +bc +ac)，由不等式的基本性质可知，当a ，b ，c 最接近时能够得到的长方体的表面积最大，由此可得用2、6连接，3、5连接各为一条棱，第三条棱为9组成长方体，则最大表面积可求． 【解答】设长方体的三条棱分别为a ，b ，c ，则长方体的表面积S =2(ab +bc +ac)≤(a +b)2+(b +c)2+(a +c)2， 当且仅当a =b =c 时上式“=”成立． 由题意可知，a ，b ，c 不可能相等，故考虑当a ，b ，c 三边长最接近时面积最大，此时三边长为8，8，9， 用2、6连接，3、5连接各为一条棱，第三条棱为9组成长方体，此时能够得到的长方体的最大表面积为2(8×8+8×9+8×9)=416(cm 2)．定义在R 上的函数f(x)满足f(x)={2x +20≤x <14−2−x −1≤x <0 ，且f(x −1)=f(x +1)，则函数g(x)=f(x)−3x−5x−2在区间[−1, 5]上的所有零点之和为（ ）A.4B.5C.7D.8 【答案】 B【考点】函数零点的判定定理 【解析】把方程f(x)=g(x)在区间[−1, 5]上的根转化为函数y =f(x)和y =g(x)的交点横坐标，画出函数图象，数形结合得答案． 【解答】∵ 函数f(x)={2x +20≤x <14−2−x −1≤x <0 ，且f(x −1)=f(x +1)，函数的周期为2，函数g(x)=f(x)−3x−5x−2，的零点，就是y =f(x)与y =3x−5x−2图象的交点的横坐标，∴ y =f(x)关于点(0, 3)中心对称，将函数两次向右平移2个单位，得到函数y =f(x)在[−1, 5]上的图象，每段曲线不包含右端点（如下图），去掉端点后关于(2, 3)中心对称． 又∵ y =3x−5x−2=3+1x−2关于(2, 3)中心对称，故方程f(x)=g(x)在区间[−1, 5]上的根就是函数y =f(x)和y =g(x)的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为x 1，x 2，x 3，其中x 1和x 3关于(2, 3)中心对称， ∴ x 1+x 3=4，x 2=1， 故x 1+x 2+x 3=5．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）如图所示的圆锥的体积为√33π，底面直径AB =2，点C 是弧AB^的中点，点D 是母线PA 的中点．（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB 与CD 所成角的大小．【答案】∵ 圆锥的体积为√33π，底面直径AB =2，∴ 13π×12×PO =√33π，解得PO =√3，∴ PA =√(√3)2+12=2，∴ 该圆锥的侧面积S =πrl =π×1×2=2π． ∵ 圆锥的体积为√33π，底面直径AB =2，点C 是弧AB^的中点，点D 是母线PA 的中点． ∴ PO ⊥平面ABC ，OC ⊥AB ，∴ 以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，则A(0, −1, 0)，P(0, 0, √3)，D(0, −12, √32)，B(0, 1, 0)，C(1, 0, 0)，PB →=(0, 1, −√3)，CD →=(−1, −12, √32)， 设异面直线PB 与CD 所成角为θ， 则cosθ=|PB →∗CD →||PB →|∗|CD →|=2√2=√22， ∴ θ=π4．∴ 异面直线PB 与CD 所成角为π4．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 异面直线及其所成的角 【解析】（1）由圆锥的体积为√33π，底面直径AB =2，求出PO =√3，从而PA =2，由此能求出该圆锥的侧面积．（2）以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PB 与CD 所成角． 【解答】∵ 圆锥的体积为√33π，底面直径AB =2，∴ 13π×12×PO =√33π，解得PO =√3，∴ PA =√(√3)2+12=2，∴ 该圆锥的侧面积S =πrl =π×1×2=2π． ∵ 圆锥的体积为√33π，底面直径AB =2，点C 是弧AB^的中点，点D 是母线PA 的中点． ∴ PO ⊥平面ABC ，OC ⊥AB ，∴ 以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，则A(0, −1, 0)，P(0, 0, √3)，D(0, −12, √32)，B(0, 1, 0)，C(1, 0, 0)，PB →=(0, 1, −√3)，CD →=(−1, −12, √32)， 设异面直线PB 与CD 所成角为θ， 则cosθ=|PB →∗CD →||PB →|∗|CD →|=2√2=√22， ∴ θ=π4．∴ 异面直线PB 与CD 所成角为π4．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p(x)=1600x 2+x +150万元．(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q(m)={815m(60−m),(1≤m ≤30),480,(m >30)（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时， 用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？【答案】解：(1)由总成本p(x)=1600x 2+x +150万元，可得每台机器人的平均成本y=p(x)x =1600x2+x+150x=1600x+150x+1≥2√1600x⋅150x+1=2．当且仅当1600x=150x，即x=300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台；(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q(m)={815m(60−m),(1≤m≤30), 480,(m>30),当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m(60−m)=−160m2+9600m，∴当m=30时，日平均分拣量有最大值144000．当m>30时，日平均分拣量为480×300=144000．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为1440001200=120人．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少120−30120=75%．【考点】基本不等式在最值问题中的应用根据实际问题选择函数类型【解析】（1）由总成本p(x)=1600x2+x+150万元，可得每台机器人的平均成本y=p(x)x，然后利用基本不等式求最值；（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q(m)={815m(60−m)(1≤m≤30)480(m>30)，分段求出300台机器人的日平均分拣量的最大值及所用人数，再由最大值除以1200，可得分拣量达最大值时所需传统分拣需要人数，则答案可求．【解答】解：(1)由总成本p(x)=1600x2+x+150万元，可得每台机器人的平均成本y=p(x)x =1600x2+x+150x=1600x+150x+1≥2√1600x⋅150x+1=2．当且仅当1600x=150x，即x=300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台；(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q(m)={815m(60−m),(1≤m≤30), 480,(m>30),当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m(60−m)=−160m2+9600m，∴当m=30时，日平均分拣量有最大值144000．当m>30时，日平均分拣量为480×300=144000．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为1440001200=120人．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少120−30120=75%．设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)，已知角φ的终边经过点(1,−√3)，点M(x1, y1)、N(x2, y2)是函数f(x)图象上的任意两点，当|f(x1)−f(x2)|=2时，|x1−x2|的最小值是π2．（1）求函数y=f(x)的解析式；（2）已知△ABC面积为5√3，角C所对的边c=2√5，cosC=f(π4)，求△ABC的周长．【答案】已知角φ的终边经过点(1,−√3)，且|ϕ|<π2，则：φ=−π3，点M(x1, y1)、N(x2, y2)是函数f(x)图象上的任意两点，当|f(x1)−f(x2)|=2时，|x1−x2|的最小值是π2．则：T=π，所以：ω=2ππ=2，所以：f(x)=sin(2x−π3)；由于：cosC=f(π4)=sin(π2−π3)=12，且0<C<π，解得：C=π3，△ABC面积为5√3，所以：12absinC=5√3，解得：ab=20．由于：c2=a2+b2−2abcosC，c=2√5，所以：20=(a+b)2−3ab，解得：a+b=4√5，所以：C△ABC=a+b+c=6√5．【考点】正弦函数的图象【解析】（1）直接利用已知条件和函数的图象求出函数的解析式，（2）利用函数的解析式求出C的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果． 【解答】已知角φ的终边经过点(1,−√3)，且|ϕ|<π2， 则：φ=−π3，点M(x 1, y 1)、N(x 2, y 2)是函数f(x)图象上的任意两点， 当|f(x 1)−f(x 2)|=2时，|x 1−x 2|的最小值是π2． 则：T =π， 所以：ω=2ππ=2，所以：f(x)=sin(2x −π3)；由于：cosC =f(π4)=sin(π2−π3)=12， 且0<C <π， 解得：C =π3， △ABC 面积为5√3， 所以：12absinC =5√3，解得：ab =20．由于：c 2=a 2+b 2−2abcosC ，c =2√5， 所以：20=(a +b)2−3ab ， 解得：a +b =4√5，所以：C △ABC =a +b +c =6√5．设点F 1、F 2分别是椭圆C:x 22t 2+y 2t 2=1(t >0)的左、右焦点，且椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为2√2−2，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且向量F 1M →与向量F 2N →平行．（1）求椭圆C 的方程；（2）当F 1N →∗F 2N →=0时，求△F 1MN 的面积；（3）当|F 2N →|−|F 1M →|=√6时，求直线F 2N 的方程． 【答案】点F 1、F 2分别是椭圆C:x 22t 2+y 2t 2=1(t >0)的左、右焦点，∴ a =√2t ，c =t ，∵ 椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为2√2−2， ∴ a −c =√2t −t =2√2−2，解得t =2， ∴ 椭圆的方程为x 28+y 24=1，由（1）可得F 1(−2, 0)，F 2(2, 0)，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点， 可设N(2√2cosθ, 2sinθ)，∴ F 1N →=(2√2cosθ+2, 2sinθ)，F 2N →=(2√2cosθ−2, 2sinθ)， ∵ F 1N →∗F 2N →=0，∴ (2√2cosθ+2)(2√2cosθ−2)+4sin 2θ=0， 解得cosθ=0，sinθ=1， ∴ N(0, 2)， ∴ F 2N →=(−2, 2)， ∴ kF 2N =22=−1，∵ 向量F 1M →与向量F 2N →平行， ∴ 直线F 1M 的斜率为−1， ∴ 直线方程为y =−x −2，联立方程组{y =−x −2x 28+y 24=1，解得x =0，y =−2（舍去），或x =−83，y =23，∴ M(−83, 23)，∴ |F 1M|=√(−83+2)2+(23)2=2√23，点N 到直线直线y =−x −2的距离为d =√2=2√2， ∴ △F 1MN 的面积=12|F 1M|⋅d =12×2√23×2√2=43，∵ 向量F 1M →与向量F 2N →平行， ∴ λF 1M →=F 2N →， ∴ |F 2N →|−|F 1M →|=√6， ∴ (λ−1)|F 1M →|=√6，即λ>1， 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，∴ λ(x 1+2)=x 2−2，y 2=λy 1， ∴ x 2=λx 1+2(λ+1) ∵x 28+y 24=1，∴ x 22+2y 22=8，∴ [λx 1+2(λ+1)]2+2λ2y 12=12λ2+8λ+4+4λ(λ+1)x 1=8，∴ 4λ(λ+1)x 1=(1−3λ)(λ+1)， ∴ x 1=1−3λλ=1λ−3，∴ y 12=4−(1−3λ)22λ，∴ |F 1M →|2=(x 1+2)2+y 12=(1λ−3+2)2+4−(1−3λ)22λ=(λ+1)22λ2，∴ |F 1M →|=√2λ， ∴ (λ−1)2λ=√6，∴ λ2−2√3λ−1=0解得λ=2+√3，或λ=2−√3（舍去） ∴ x 1=1λ−3=2+√33=−1−√3，∴ y 12=4−(−1−√3)22=2−√3=4−2√32=(√3−1)22， ∴ y 1=√3−1√2，∴ kF 1M=√3−1√2−0−1−√3+2=−√22， ∴ 直线F 2N 的方程为y −0=−√22(x −2)，即为x +√2y −2=0 【考点】 椭圆的定义 【解析】（1）根据椭圆的简单性质可得a −c =√2t −t =2√2−2，解得即可，（2）可设N(2√2cosθ, 2sinθ)，根据向量的数量积求出点N 的坐标，再根据直线平行，求出M 的坐标，利用两点间的距离公式和点到直线的距离公式和三角形的面积公式计算即可， （3）向量F 1M →与向量F 2N →平行，不妨设λF 1M →=F 2N →，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，根据坐标之间的关系，求得M 的坐标，再根据向量的模，即可求出λ的值，根据斜率公式求出直线的斜率，根据直线平行和点斜式即可求出直线方程． 【解答】点F 1、F 2分别是椭圆C:x 22t 2+y 2t 2=1(t >0)的左、右焦点，∴ a =√2t ，c =t ，∵ 椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为2√2−2， ∴ a −c =√2t −t =2√2−2， 解得t =2， ∴ 椭圆的方程为x 28+y 24=1，由（1）可得F 1(−2, 0)，F 2(2, 0)，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点， 可设N(2√2cosθ, 2sinθ)，∴ F 1N →=(2√2cosθ+2, 2sinθ)，F 2N →=(2√2cosθ−2, 2sinθ)， ∵ F 1N →∗F 2N →=0，∴ (2√2cosθ+2)(2√2cosθ−2)+4sin 2θ=0， 解得cosθ=0，sinθ=1， ∴ N(0, 2)， ∴ F 2N →=(−2, 2)， ∴ kF 2N =22=−1，∵ 向量F 1M →与向量F 2N →平行， ∴ 直线F 1M 的斜率为−1， ∴ 直线方程为y =−x −2，联立方程组{y =−x −2x 28+y 24=1 ，解得x =0，y =−2（舍去），或x =−83，y =23，∴ M(−83, 23)，∴ |F 1M|=√(−83+2)2+(23)2=2√23， 点N 到直线直线y =−x −2的距离为d =√2=2√2， ∴ △F 1MN 的面积=12|F 1M|⋅d =12×2√23×2√2=43，∵ 向量F 1M →与向量F 2N →平行， ∴ λF 1M →=F 2N →， ∴ |F 2N →|−|F 1M →|=√6， ∴ (λ−1)|F 1M →|=√6，即λ>1， 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，∴ λ(x 1+2)=x 2−2，y 2=λy 1， ∴ x 2=λx 1+2(λ+1) ∵x 28+y 24=1，∴ x 22+2y 22=8，∴ [λx 1+2(λ+1)]2+2λ2y 12=12λ2+8λ+4+4λ(λ+1)x 1=8，∴ 4λ(λ+1)x 1=(1−3λ)(λ+1)，∴ x 1=1−3λλ=1λ−3，∴ y 12=4−(1−3λ)22λ，∴ |F 1M →|2=(x 1+2)2+y 12=(1λ−3+2)2+4−(1−3λ)22λ=(λ+1)22λ2，∴ |F 1M →|=√2λ， ∴ (λ−1)√2λ=√6，∴ λ2−2√3λ−1=0解得λ=2+√3，或λ=2−√3（舍去） ∴ x 1=1λ−3=2+√33=−1−√3，∴ y 12=4−(−1−√3)22=2−√3=4−2√32=(√3−1)22， ∴ y 1=√3−1√2，∴ kF 1M=√3−1√2−0−1−√3+2=−√22，∴ 直线F 2N 的方程为y −0=−√22(x −2)，即为x +√2y −2=0设d 为等差数列{a n }的公差，数列{b n }的前n 项和T n ，满足T n +12n =(−1)n b n (n ∈N ∗)，且d =a 5=b 2，若实数m ∈P k ={x|a k−2<x <a k+3}(k ∈N ∗, k ≥3)，则称m 具有性质P k ．（1）请判断b 1、b 2是否具有性质P 6，并说明理由；（2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n −2λa n }是单调递增数列，求证：对任意的k(k ∈N ∗, k ≥3)，实数λ都不具有性质P k ；（3）设H n 是数列{T n }的前n 项和，若对任意的n ∈N ∗，H 2n−1都具有性质P k ，求所有满足条件的k 的值． 【答案】T n +12n =(−1)n b n (n ∈N ∗)， 可得n =1时，T 1+12=−b 1=−T 1， 解得b 1=−14，T 2+14=b 2=−14+b 2+14=b 2，T 3+18=−b 3=−14+b 2+b 3+18，即b 2+2b 3=18， T 4+116=b 4=−14+b 2+b 3+b 4+116，即b 2+b 3=316， 解得b 2=14，b 3=−116， 同理可得b 4=116，b 5=−164， b 6=164，b 7=−1256，…，b 2n−1=−14n ，d =a 5=b 2，可得d =a 1+4d =14， 解得a 1=−34，d =14，a n =n−44，P 6={x|a 4<x <a 9}(k ∈N ∗, k ≥3)={x|0<x <54}，则b 1不具有性质P 6，b 2具有性质P 6；证明：设S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n −2λa n }是单调递增数列， 可得S n+1−2λa n+1≥S n −2λa n ， 即为(n+1)2−7(n+1)−4λ(n+1)+16λ8≥n 2−7n−4λn+16λ8，化为4λ+6≤2n 对n 为一切自然数成立， 即有4λ+6≤2，可得λ≤−1，又P k ={x|a k−2<x <a k+3}(k ∈N ∗, k ≥3)， 且a 1=−34，d >0，可得P k 中的元素大于−1，则对任意的k(k ∈N ∗, k ≥3)，实数λ都不具有性质P k ；设H n 是数列{T n }的前n 项和，若对任意的n ∈N ∗，H 2n−1都具有性质P k ，由于H 1=T 1=b 1=−14，H 3=T 1+T 2+T 3=−516，H 5=T 1+T 2+T 3+T 4+T 5=−2164， H 7=−2164+0−1256=−85256，…，H 2n−1=H 2n−3+b 2n−1，(n ≥2)，当k =3时，P 3={x|a 1<x <a 6}={x|−34<x <12}， 当k =4时，P 4={x|a 2<x <a 7}={x|−12<x <34}， 当k =5时，P 5={x|a 3<x <a 8}={x|−14<x <1}， 当k =6时，P 3={x|a 4<x <a 9}={x|0<x <54}，显然k =5，6不成立，故所有满足条件的k 的值为3，4． 【考点】 数列的求和 【解析】（1）求得n =1，2，3，4，5，6，7时，数列{b n }的前7项，可得d 和首项a 1，得到等差数列{a n }的通项，即可判断b 1、b 2是否具有性质P 6；（2）由题意可得S n+1−2λa n+1≥S n −2λa n ，代入等差数列{a n }的通项公式和求和公式，化简整理可得λ≤−1，结合集合中元素的特点，即可得证；（3）求得n =1，2，3，4，H 2n−1的特点，结合k =3，4，5，6，集合的特点，即可得到所求取值． 【解答】T n +12n =(−1)n b n (n ∈N ∗)，可得n =1时，T 1+12=−b 1=−T 1， 解得b 1=−14，T 2+14=b 2=−14+b 2+14=b 2，T 3+18=−b 3=−14+b 2+b 3+18，即b 2+2b 3=18，T 4+116=b 4=−14+b 2+b 3+b 4+116，即b 2+b 3=316， 解得b 2=14，b 3=−116， 同理可得b 4=116，b 5=−164， b 6=164，b 7=−1256， …，b 2n−1=−14n ，d =a 5=b 2，可得d =a 1+4d =14， 解得a 1=−34，d =14，a n =n−44，P 6={x|a 4<x <a 9}(k ∈N ∗, k ≥3)={x|0<x <54}，则b 1不具有性质P 6，b 2具有性质P 6；证明：设S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n −2λa n }是单调递增数列， 可得S n+1−2λa n+1≥S n −2λa n ， 即为(n+1)2−7(n+1)−4λ(n+1)+16λ8≥n 2−7n−4λn+16λ8，化为4λ+6≤2n 对n 为一切自然数成立， 即有4λ+6≤2，可得λ≤−1，又P k ={x|a k−2<x <a k+3}(k ∈N ∗, k ≥3)， 且a 1=−34，d >0，可得P k 中的元素大于−1，则对任意的k(k ∈N ∗, k ≥3)，实数λ都不具有性质P k ；设H n 是数列{T n }的前n 项和，若对任意的n ∈N ∗，H 2n−1都具有性质P k ，由于H 1=T 1=b 1=−14，H 3=T 1+T 2+T 3=−516，H 5=T 1+T 2+T 3+T 4+T 5=−2164，H 7=−2164+0−1256=−85256，…，H 2n−1=H 2n−3+b 2n−1，(n ≥2)， 当k =3时，P 3={x|a 1<x <a 6}={x|−34<x <12}， 当k =4时，P 4={x|a 2<x <a 7}={x|−12<x <34}， 当k =5时，P 5={x|a 3<x <a 8}={x|−14<x <1}，}，当k=6时，P3={x|a4<x<a9}={x|0<x<54显然k=5，6不成立，故所有满足条件的k的值为3，4．。
普陀区一中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
普陀区一中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 已知集合{}{2|5,x |y ,A y y x B A B ==-+===（ ）A ．[)1,+∞B ．[]1,3C ．(]3,5D ．[]3,5【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力．2． 已知a n=（n ∈N *），则在数列{a n }的前30项中最大项和最小项分别是（ ）A ．a 1，a 30B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 10，a 303． 两个随机变量x ，y 的取值表为若x ，y 具有线性相关关系，且y ^＝bx ＋2.6，则下列四个结论错误的是（ ）A ．x 与y 是正相关B ．当y 的估计值为8.3时，x ＝6C ．随机误差e 的均值为0D ．样本点（3，4.8）的残差为0.654． 已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（a －x ），x ＜12x ，x ≥1若f （－6）＋f （log 26）＝9，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15． 已知双曲线kx 2﹣y 2=1（k ＞0）的一条渐近线与直线2x+y ﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（ ） A ．B ．C ．4D ．6． 已知△ABC 中，a=1，b=，B=45°，则角A 等于（ ）A ．150°B ．90°C ．60°D ．30° 7． 已知直线mx ﹣y+1=0交抛物线y=x 2于A 、B 两点，则△AOB （ ）A ．为直角三角形B ．为锐角三角形C ．为钝角三角形D ．前三种形状都有可能8．三个数a=0.52，b=log 20.5，c=20.5之间的大小关系是（） A ．b ＜a ＜c B ．a＜c ＜b C ．a ＜b ＜c D ．b ＜c ＜a 9． 已知向量=（﹣1，3），=（x ，2），且，则x=（ ）A ．B ．C ．D ．班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________10．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F 1MF 2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A ．2B ．C ．D ．411．若，，且，则λ与μ的值分别为（ ）A ．B ．5，2C ．D ．﹣5，﹣212．（2011辽宁）设sin （+θ）=，则sin2θ=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．二、填空题13．已知a=（cosx ﹣sinx ）dx ，则二项式（x 2﹣）6展开式中的常数项是 ．14．（sinx+1）dx 的值为 ．15．已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +2n ，则数列的通项a n = ．16．已知z 是复数，且|z|=1，则|z ﹣3+4i|的最大值为 ．17．一组数据2，x ，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．18．分别在区间[0,1]、[1,]e 上任意选取一个实数a b 、，则随机事件“ln a b ”的概率为_________.三、解答题19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ⊥PA ，BC=2AB=2AD=4BE ，平面PAB ⊥平面ABCD ，（Ⅰ）求证：平面PED ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若直线PE 与平面PAC 所成的角的正弦值为，求二面角A ﹣PC ﹣D 的平面角的余弦值．20．已知矩阵M所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标．21．已知f（x）=x2﹣（a+b）x+3a．（1）若不等式f（x）≤0的解集为[1，3]，求实数a，b的值；（2）若b=3，求不等式f（x）＞0的解集．22．已知函数f（x）=|x﹣m|，关于x的不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，5]．（1）求实数m的值；（2）已知a，b，c∈R，且a﹣2b+2c=m，求a2+b2+c2的最小值．23．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（）=f（x1）﹣f（x2）．（1）求f（1）的值；（2）若当x＞1时，有f（x）＜0．求证：f（x）为单调递减函数；（3）在（2）的条件下，若f（5）=﹣1，求f（x）在[3，25]上的最小值．24．已知函数．（1）求f（x）的周期和及其图象的对称中心；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．普陀区一中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题13．240．14．2．15．2n﹣1．16．6．17．2．18．1 ee三、解答题19．20．21．22．23．24．。
年普陀区高考数学一模试卷含答案
2018年普陀区高考数学一模试卷含答案2017.１２一. 填空题(本大题共12题,1-６每题４分,７-12每题5分，共54分） 1. 设全集{1,2,3,4,5}U =，若集合{3,4,5}A =,则U C A = 2. 若1sin 4θ=,则3cos()2πθ+= 3. 方程222log (2)log (3)log 12x x -+-=的解x =4. 91)x的二项展开式中的常数项的值为5. 不等式11|1|x ≥-的解集为6. 函数2()2cos 2xf x x =+的值域为7. 已知i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数,若1012z ii+=，则z 在复平面内所对应的点所在的象限为第 象限8． 若数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-++(*n N ∈)，则lim3nn a n→∞=9. 若直线:5l x y +=与曲线22:16C x y +=交于两点11(,)A x y 、22(,)B x y ,则1221x y x y +的值为１0． 设1a 、2a 、3a 、4a 是1,2,3，４的一个排列,若至少有一个i (1,2,3,4i =）使得i a i =成立，则满足此条件的不同排列的个数为11. 已知正三角形ABC 点M 是ABC ∆所在平面内的任一动点,若||1MA =, 则||MA MB MC ++的取值范围为1２. 双曲线2213x y -=绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数()f x 的图像，关于此函 数()f x 有如下四个命题：① ()f x 是奇函数；② ()f x 的图像过点3()22或3)22-； ③ ()f x 的值域是33(,][,)22-∞-+∞；④ 函数()y f x x =-有两个零点； 则其中所有真命题的序号为二． 选择题（本大题共4题,每题５分,共20分) 13. 若数列{}n a （*n N ∈)是等比数列,则矩阵124568a a a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭所表示方程组的解的个数 是( ）A ． 0个 B. 1个 Ｃ． 无数个 D. 不确定 １４． “0m >”是“函数()|(2)|f x x mx =+在区间(0,)+∞上为增函数”的（ ） Ａ． 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C ． 充要条件 Ｄ． 既非充分也非必要条件1５. 用长度分别为2、３、5、6、9(单位:cm )的五根木棒连接（只允许连接,不允许折断)，组成共顶点的长方体的三条棱,则能够得到的长方体的最大表面积为（ ）A. 2582cm Ｂ. 4142cm C. ４162cm D ． 41８2cm1６. 定义在R 上的函数()f x 满足2201()4210x xx f x x -⎧+≤<=⎨--≤<⎩，且(1)(1)f x f x -=+,则 函数35()()2x g x f x x -=--在区间[1,5]-上的所有零点之和为( ）A. ４ Ｂ. 5 Ｃ. 7 D. 8三. 解答题(本大题共5题,共14+14＋14+1６+1８＝76分) １7.,底面直径2AB =,点C 是弧AB 的中点，点D 是母 线PA 的中点. (１)求该圆锥的侧面积;(2）求异面直线PB 与CD 所成角的大小.18. 某快递公司在某市的货物转运中心,拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降 低物流成本,已知购买x 台机器人的总成本21()150600p x x x =++万元. (１）若使每台机器人的平均成本最低,问应买多少台？（2)现按（1）中的数量购买机器人,需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件 送达指定落袋格口完成分拣(如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量8(60)(130)()15480(30)m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩(单位：件）,已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为120０ 件，问引进机器人后,日平均分拣量达最大值时， 用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少 百分之几?１9. 设函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>,||2πϕ<)，已知角ϕ的终边经过点(1,3)-,点11(,)M x y 、22(,)N x y 是函数()f x 图像上的任意两点，当12|()()|2f x f x -=时,12||x x -的最小值是2π. （1）求函数()y f x =的解析式;（２)已知ABC ∆面积为53，角C 所对的边25c =,cos ()4C f π=,求ABC ∆的周长.20. 设点1F 、2F 分别是椭圆2222:12x y C t t+=（0t >）的左、右焦点，且椭圆C 上的点到点2F 的距离的最小值为2-,点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点,且向量1F M 与向量2F N 平行. (1)求椭圆C 的方程;（２）当120F N F N ⋅=时，求1F MN ∆的面积； (3）当21||||6F N F M -=时，求直线2F N 的方程.21. 设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前n 项和n T ，满足1(1)2nn n n T b +=- （*n N ∈),且52d a b ==,若实数23{|}k k k m P x a x a -+∈=<<(*k N ∈，3k ≥)，则称m 具有性质k P .（1）请判断1b 、2b 是否具有性质6P ，并说明理由；(2)设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若{2}n n S a λ-是单调递增数列,求证：对任意的k (*k N ∈，3k ≥),实数λ都不具有性质k P ;(3)设n H 是数列{}n T 的前n 项和，若对任意的*n N ∈,21n H -都具有性质k P ,求所有满足条件的k 的值.参考答案一． 填空题１． {1,2} 2.143. 1-4. 84-5. [0,1)(1,2]6. [1,3]- ７. 一 8. 2- 9. １6 10． １511. [0,6] 12. ①②二． 选择题13． C 14. A １５. C 16. B三. 解答题 17.(1)2π;(２)4π. 18.(1）３00;(２）75%.1９.（1)()sin(2)3f x x π=-;（２）ABC C ∆=２0.（１)22184x y +=；(２)43;（3）2x =+. 21.（1）2b 具有性质6P ，1b 不具有性质6P ；（２）证明略；(3)3和4.。
普陀区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
普陀区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年级的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配或分配多个名额，则不同的分配方案共有（ ）A ．20种B ．24种C ．26种D ．30种2． 函数f （x ）=sin ωx （ω＞0）在恰有11个零点，则ω的取值范围（ ） A ． C ． D ．时，函数f （x ）的最大值与最小值的和为（ ）A ．a+3B ．6C ．2D ．3﹣a3． 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） A ．0.35 B ．0.25 C ．0.20 D ．0.154． 设f （x ）与g （x ）是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若函数y=f （x ）﹣g （x ）在x ∈[a ，b]上有两个不同的零点，则称f （x ）和g （x ）在[a ，b]上是“关联函数”，区间[a ，b]称为“关联区间”．若f （x ）=x 2﹣3x+4与g （x ）=2x+m 在[0，3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为（ ）A．（﹣，﹣2]B ．[﹣1，0]C ．（﹣∞，﹣2]D．（﹣，+∞）5． 设m 、n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ；④若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α； 其中正确命题的序号是（ ） A ．①②③④ B ．①②③ C ．②④D ．①③6． 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（ ） A．B．C．D． =0.08x+1.237． 已知函数y=x 3+ax 2+（a+6）x ﹣1有极大值和极小值，则a 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜a ＜2B ．﹣3＜a ＜6C ．a ＜﹣3或a ＞6D ．a ＜﹣1或a ＞28． 已知i z 311-=，i z +=32，其中i 是虚数单位，则21z z 的虚部为（ ） A ．1- B ．54 C ．i - D ．i 54 【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题.班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________9． 已知全集为R ，集合{}|23A x x x =<->或，{}2,0,2,4B =-，则()R A B =ð（ ）A ．{}2,0,2-B ．{}2,2,4-C ．{}2,0,3-D ．{}0,2,410．若复数满足71i i z+=（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ． D ．i -11．已知函数f （x ）=2x ，则f ′（x ）=（ ）A ．2xB ．2x ln2C ．2x +ln2D ．12．已知函数f （x ）=x 3+（1﹣b ）x 2﹣a （b ﹣3）x+b ﹣2的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，则不等式组所确定的平面区域在x 2+y 2=4内的面积为（ ）A ．B ．C ．πD ．2π二、填空题13．若函数f （x ）=x 2﹣2x （x ∈[2，4]），则f （x ）的最小值是 ．14．若与共线，则y= ． 15．已知函数21()sin cos sin 2f x a x x x =-+的一条对称轴方程为6x π=，则函数()f x 的最大值为（ ）A ．1B ．±1CD ．【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想． 16．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为__________17．已知圆O ：x 2+y 2=1和双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）．若对双曲线C 上任意一点A （点A 在圆O外），均存在与圆O 外切且顶点都在双曲线C 上的菱形ABCD ，则﹣= ．18．已知条件p ：{x||x ﹣a|＜3}，条件q ：{x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ．三、解答题19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若PA=AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长．20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=，AC=3，BC=2，P 是△ABC 内一点．（1）若P 是等腰三角形PBC 的直角顶角，求PA 的长；（2）若∠BPC=，设∠PCB=θ，求△PBC 的面积S （θ）的解析式，并求S （θ）的最大值．21．（本小题满分12分） 在等比数列{}n a 中，3339,22a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2216log n n b a +=，且{}n b 为递增数列，若11n n n c b b +=，求证：12314n c c c c ++++<．22．已知函数且f （1）=2．（1）求实数k 的值及函数的定义域；（2）判断函数在（1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．23．数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足*2120()n n n a a a n N ++-+=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12||||||n n S a a a =++，求n S .24．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC=PD=2，E 为PC 的中点，．求证：PC ⊥BC ；（Ⅱ）求三棱锥C ﹣DEG 的体积；（Ⅲ）AD 边上是否存在一点M ，使得PA ∥平面MEG ．若存在，求AM 的长；否则，说明理由．普陀区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：甲班级分配2个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有1+6+3=10种不同的分配方案；甲班级分配3个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3+3=6种不同的分配方案；甲班级分配4个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3种不同的分配方案；甲班级分配5个名额，有1种不同的分配方案．故共有10+6+3+1=20种不同的分配方案，故选：A．【点评】本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，是一个中档题，解题时容易出错，本题应用分类讨论思想．2．【答案】A【解析】A． C． D．恰有11个零点，可得5π≤ω•＜6π，求得10≤ω＜12，故选：A．3．【答案】B【解析】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，∴所求概率为．故选B．4．【答案】A【解析】解：∵f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，故选A．【点评】本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．5．【答案】B【解析】解：由m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面：在①中：若m ⊥α，n ∥α，则由直线与平面垂直得m ⊥n ，故①正确； 在②中：若α∥β，β∥γ，则α∥γ，∵m ⊥α，∴由直线垂直于平面的性质定理得m ⊥γ，故②正确；在③中：若m ⊥α，n ⊥α，则由直线与平面垂直的性质定理得m ∥n ，故③正确； 在④中：若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α或m ⊂α，故④错误． 故选：B ．6． 【答案】C【解析】解：法一：由回归直线的斜率的估计值为1.23，可排除D 由线性回归直线方程样本点的中心为（4，5）， 将x=4分别代入A 、B 、C ，其值依次为8.92、9.92、5，排除A 、B法二：因为回归直线方程一定过样本中心点，将样本点的中心（4，5）分别代入各个选项，只有C 满足，故选C【点评】本题提供的两种方法，其实原理都是一样的，都是运用了样本中心点的坐标满足回归直线方程．7． 【答案】C【解析】解：由于f （x ）=x 3+ax 2+（a+6）x ﹣1，有f ′（x ）=3x 2+2ax+（a+6）．若f （x ）有极大值和极小值，则△=4a 2﹣12（a+6）＞0，从而有a ＞6或a ＜﹣3， 故选：C ．【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件．属基础题．8． 【答案】B【解析】由复数的除法运算法则得，i i i i i i i i z z 54531086)3)(3()3)(31(33121+=+=-+-+=++=，所以21z z 的虚部为54.9． 【答案】A 【解析】考点：1、集合的表示方法；2、集合的补集及交集. 10．【答案】A 【解析】试题分析：42731,1i i i i i ==-∴==-,因为复数满足71i i z +=,所以()1,1i i i i z i z+=-∴=-，所以复数的虚部为,故选A.考点：1、复数的基本概念；2、复数代数形式的乘除运算. 11．【答案】B【解析】解：f （x ）=2x ，则f'（x ）=2xln2， 故选：B ．【点评】本题考查了导数运算法则，属于基础题．12．【答案】 B 【解析】解：因为函数f （x ）的图象过原点，所以f （0）=0，即b=2．则f （x ）=x 3﹣x 2+ax ，函数的导数f ′（x ）=x 2﹣2x+a ，因为原点处的切线斜率是﹣3， 即f ′（0）=﹣3， 所以f ′（0）=a=﹣3， 故a=﹣3，b=2，所以不等式组为则不等式组确定的平面区域在圆x 2+y 2=4内的面积，如图阴影部分表示，所以圆内的阴影部分扇形即为所求．∵k OB =﹣，k OA =，∴tan ∠BOA==1，∴∠BOA=，∴扇形的圆心角为，扇形的面积是圆的面积的八分之一，∴圆x 2+y 2=4在区域D 内的面积为×4×π=，故选：B【点评】本题主要考查导数的应用，以及线性规划的应用，根据条件求出参数a，b的是值，然后借助不等式区域求解面积是解决本题的关键．二、填空题13．【答案】0．【解析】解：f（x））=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，其图象开口向上，对称抽为：x=1，所以函数f（x）在[2，4]上单调递增，所以f（x）的最小值为：f（2）=22﹣2×2=0．故答案为：0．【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，一般运用数形结合思想进行处理．14．【答案】﹣6．【解析】解：若与共线，则2y﹣3×（﹣4）=0解得y=﹣6故答案为：﹣6【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据“两个向量若平行，交叉相乘差为零”的原则，构造关于y的方程，是解答本题的关键．15．【答案】A【解析】16．【答案】【解析】【知识点】抛物线双曲线【试题解析】抛物线的准线方程为：x=2;双曲线的两条渐近线方程为：所以故答案为：17．【答案】1．【解析】解：若对双曲线C上任意一点A（点A在圆O外），均存在与圆O外切且顶点都在双曲线C上的菱形ABCD，可通过特殊点，取A（﹣1，t），则B（﹣1，﹣t），C（1，﹣t），D（1，t），由直线和圆相切的条件可得，t=1．将A（﹣1，1）代入双曲线方程，可得﹣=1．故答案为：1．【点评】本题考查双曲线的方程和运用，同时考查直线和圆相切的条件，属于基础题．18．【答案】[0，2]．【解析】解：命题p：||x﹣a|＜3，解得a﹣3＜x＜a+3，即p=（a﹣3，a+3）；命题q：x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，即q=（﹣1，3）．∵q是p的充分不必要条件，∴q⊊p，∴，解得0≤a≤2，则实数a的取值范围是[0，2]．故答案为：[0，2]．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法、充分必要条件的判定与应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题19．【答案】【解析】解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A所以BD⊥平面PAC（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，所以BO=1，AO=OC=，以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，﹣，2），A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（0，，0）所以=（1，，﹣2），设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|（III）由（II）知，设，则设平面PBC的法向量=（x，y，z）则=0，所以令，平面PBC的法向量所以，同理平面PDC的法向量，因为平面PBC⊥平面PDC，所以=0，即﹣6+=0，解得t=，所以PA=．【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力20．【答案】【解析】解：（1）∵P为等腰直角三角形PBC的直角顶点，且BC=2，∴∠PCB=，PC=，∵∠ACB=，∴∠ACP=，在△PAC中，由余弦定理得：PA2=AC2+PC2﹣2AC•PC•cos=5，整理得：PA=；（2）在△PBC中，∠BPC=，∠PCB=θ，∴∠PBC=﹣θ，由正弦定理得：==，∴PB=sinθ，PC=sin（﹣θ），∴△PBC的面积S（θ）=PB•PCsin=sin（﹣θ）sinθ=sin（2θ+）﹣，θ∈（0，），则当θ=时，△PBC面积的最大值为．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21．【答案】（1）131622n n n a a -⎛⎫==- ⎪⎝⎭或；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）将3339,22a S ==化为1,a q ，联立方程组，求出1,a q ，可得131622n n n a a -⎛⎫==- ⎪⎝⎭或；（2）由于{}n b 为递增数列，所以取1162n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，化简得2n b n =，()1111114141n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，其前项和为()1114414n -<+.考点：数列与裂项求和法．122．【答案】【解析】解：（1）f （1）=1+k=2； ∴k=1，，定义域为{x ∈R|x ≠0}；（2）为增函数；证明：设x 1＞x 2＞1，则：==；∵x 1＞x 2＞1；∴x 1﹣x 2＞0，，；∴f （x 1）＞f （x 2）；∴f （x ）在（1，+∞）上为增函数．23．【答案】（1）102n a n =-；（2）229(5)940(5)n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩．【解析】试题分析：（1）由2120n n n a a a ++-+=，所以{}n a 是等差数列且18a =，42a =，即可求解数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）令0n a =，得5n =，当5n >时，0n a <；当5n =时，0n a =；当5n <时，0n a >，即可分类讨论求解数列n S ．当5n ≤时，12||||||n n S a a a =++2129n a a a n n =+++=-∴229(5)940(5)n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩.1考点：等差数列的通项公式；数列的求和．24．【答案】【解析】解：（I）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，∵PDICE=D，∴BC⊥平面PCD，又∵PC⊂面PBC，∴PC⊥BC．（II）解：∵BC⊥平面PCD，∴GC是三棱锥G﹣DEC的高．∵E是PC的中点，∴．∴．（III）连接AC，取AC中点O，连接EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．下面证明之：∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥平面PA，又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，∴PA∥平面MEG，在正方形ABCD中，∵O是AC中点，∴△OCG≌△OAM，∴，∴所求AM的长为．【点评】本题主要考查线面平行与垂直关系、多面体体积计算等基础知识，考查空间想象能、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力、考查数形结合思想、化归与转化思想．。
普陀区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案(1)
普陀区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1．将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（ ）A． B． C．D．2． 函数f （x ）=（）x2﹣9的单调递减区间为（ ） A ．（﹣∞，0） B ．（0，+∞）C ．（﹣9，+∞）D ．（﹣∞，﹣9）3． 设函数()()()21ln 31f x g x ax x ==-+，，若对任意1[0)x ∈+∞，，都存在2x ∈R ，使得()()12f x f x =，则实数的最大值为（ ）A ．94B ． C.92 D ．4 4． 曲线y=x 3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°5． 定义某种运算S=a ⊗b ，运算原理如图所示，则式子+的值为（）A ．4B ．8C ．10D ．136． 已知命题:()(0xp f x a a =>且1)a ≠是单调增函数；命题5:(,)44q x ππ∀∈，sin cos x x >.则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨⌝ C. p q ⌝∧⌝ D ．p q ⌝∧7． 若复数满足71i i z+=（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ． D ．i -8． 数列{a n }满足a 1=3，a n ﹣a n •a n+1=1，A n 表示{a n }前n 项之积，则A 2016的值为（ ） A．﹣ B．C ．﹣1D ．19． 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A 、()f x =x 与()f x =2x xB 、()1f x x =-与()f x =C 、()f x x =与()f x = D 、()f x x =与2()f x =10．已知表示数列的前项和，若对任意的满足，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．11．若f （x ）=﹣x 2+2ax 与g （x ）=在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，1]B ．[0，1]C ．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，1]D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]12．自圆C ：22(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则点P 轨迹方程为（ ）A ．86210x y --=B ．86210x y +-=C ．68210x y +-=D ．68210x y --=【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力．二、填空题13．已知函数()f x 23(2)5x =-+，且12|2||2|x x ->-，则1()f x ，2()f x 的大小关系是 ．14．正六棱台的两底面边长分别为1cm ，2cm ，高是1cm ，它的侧面积为 ．15．下列结论正确的是①在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.35，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.7；②以模型y=ce kx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny ，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4，则c=e 4；③已知命题“若函数f （x ）=e x ﹣mx 在（0，+∞）上是增函数，则m ≤1”的逆否命题是“若m ＞1，则函数f （x ）=e x ﹣mx 在（0，+∞）上是减函数”是真命题；④设常数a ，b ∈R ，则不等式ax 2﹣（a+b ﹣1）x+b ＞0对∀x ＞1恒成立的充要条件是a ≥b ﹣1．16．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意∈n N *，均有n a 、n S 、2n a 成等差数列，则=n a ．17．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若﹣1＜a 3＜1，0＜a 6＜3，则S 9的取值范围是 ．18．已知1sin cos 3αα+=，(0,)απ∈，则sin cos 7sin 12ααπ-的值为 ．三、解答题19．已知△ABC 的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍，求△ABC 的面积．20．（本小题满分12分）设函数()()2741201x x f x a a a --=->≠且.（1）当a =()0f x <的解集； （2）当[]01x ∈，时，()0f x <恒成立，求实数的取值范围．21．已知二次函数f （x ）=x 2+2bx+c （b ，c ∈R ）．（1）若函数y=f （x ）的零点为﹣1和1，求实数b ，c 的值；（2）若f （x ）满足f （1）=0，且关于x 的方程f （x ）+x+b=0的两个实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，1）内，求实数b 的取值范围．22．已知f （）=﹣x ﹣1．（1）求f （x ）；（2）求f （x ）在区间[2，6]上的最大值和最小值．23．（本小题满分12分）已知函数()23cos cos 2f x x x x =++. （1）当63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，求函数()y f x =的值域；（2）已知0ω>，函数()212x g x f ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，若函数()g x 在区间236ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，求ω的最大值．24．【南师附中2017届高三模拟一】已知,a b 是正实数，设函数()()ln ,ln f x x x g x a x b ==-+. （1）设()()()h x f x g x =- ，求 ()h x 的单调区间； （2）若存在0x ，使03,45a b a b x ++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且()()00f x g x ≤成立，求b a 的取值范围.普陀区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题1． 【答案】B【解析】解：将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数．故选B ．【点评】本题是基础题，考查函数的图象的平移与图象的伸缩变换，注意先平移后伸缩时，初相不变化，考查计算能力．2． 【答案】B【解析】解：原函数是由t=x 2与y=（）t﹣9复合而成，∵t=x 2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数； 又y=（）t﹣9其定义域上为减函数，∴f （x ）=（）x2﹣9在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，+∞）为减函数，∴函数ff （x ）=（）x2﹣9的单调递减区间是（0，+∞）．故选：B ．【点评】本题考查复合函数的单调性，讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断是关键．3． 【答案】] 【解析】试题分析：设()()2ln 31g x ax x =-+的值域为A ，因为函数()1f x =[0)+∞，上的值域为(0]-∞，，所以(0]A -∞⊆，，因此()231h x ax x =-+至少要取遍(01]，中的每一个数，又()01h =，于是，实数需要满足0a ≤或0940a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得94a ≤．考点：函数的性质.【方法点晴】本题主要考查函数的性质用，涉及数形结合思想、函数与方程思想、转和化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型。
普陀区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案(1)
普陀区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 函数y=f ′（x ）是函数y=f （x ）的导函数，且函数y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线为l ：y=g （x ）=f ′（x 0）（x ﹣x 0）+f （x 0），F （x ）=f （x ）﹣g （x ），如果函数y=f （x ）在区间[a ，b]上的图象如图所示，且a ＜x 0＜b ，那么（ ）A ．F ′（x 0）=0，x=x 0是F （x ）的极大值点B ．F ′（x 0）=0，x=x 0是F （x ）的极小值点C ．F ′（x 0）≠0，x=x 0不是F （x ）极值点D ．F ′（x 0）≠0，x=x 0是F （x ）极值点2． 集合{}5,4,3,2,1,0=S ,A 是S 的一个子集,当A x ∈时,若有A x A x ∉+∉-11且,则称x 为A 的一个“孤立元素”.集合B 是S 的一个子集, B 中含4个元素且B 中无“孤立元素”,这样的集合B 共有个 A.4 B. 5 C.6 D.73． 已知全集为R ，集合A={x|（）x ≤1}，B={x|x 2﹣6x+8≤0}，则A ∩（∁R B ）=（ ） A ．{x|x ≤0} B ．{x|2≤x ≤4} C ．{x|0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x|0＜x ≤2或x ≥4}4． 已知直线x+ay ﹣1=0是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ ） A ．2B ．6C ．4D ．25． 已知定义在实数集R 上的函数f （x ）满足f （1）=3，且f （x ）的导数f ′（x ）在R 上恒有f ′（x ）＜2（x ∈R ），则不等式f （x ）＜2x+1的解集为（ ） A ．（1，+∞） B ．（﹣∞，﹣1） C ．（﹣1，1）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）6． 给出下列命题：①在区间（0，+∞）上，函数y=x ﹣1，y=，y=（x ﹣1）2，y=x 3中有三个是增函数；②若log m 3＜log n 3＜0，则0＜n ＜m ＜1；③若函数f （x ）是奇函数，则f （x ﹣1）的图象关于点A （1，0）对称；④若函数f （x ）=3x ﹣2x ﹣3，则方程f （x ）=0有2个实数根．其中假命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________7． 高三（1）班从4名男生和3名女生中推荐4人参加学校组织社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）A ．34种B ．35种C ．120种D ．140种8． 设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S ﹣ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S ﹣ABC 的体积为V ，则r=（ ） A． B． C．D．9． 下列哪组中的两个函数是相等函数（ ） A ．()()4f x x =g B ．()()24=,22x f x g x x x -=-+ C ．()()1,01,1,0x f x g x x >⎧==⎨<⎩ D ．()()=f x x x =，g 10．已知函数[)[)1(1)sin 2,2,212()(1)sin 22,21,222nn x n x n n f x x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=⎨⎪-++∈++⎪⎩（n N ∈），若数列{}m a 满足*()()m a f m m N =∈，数列{}m a 的前m 项和为m S ，则10596S S -=（ ） A.909 B.910 C.911 D.912【命题意图】本题考查数列求和等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力. 11．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是（ ）A ．①②B ．①C ．③④D ．①②③④ 12．已知条件p ：|x+1|≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ．a ≤1 C ．a ≥﹣1D ．a ≤﹣3二、填空题13．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考的好．” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．” 丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的 两人说对了．14．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2﹣5x+4=0的两个根，则S 6= ．15．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，6=-b a ，向量c a -，c b -的夹角为23π，23c a -=，则a 与c的夹角为__________，a c ⋅的最大值为 ．【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力.16．已知=1﹣bi ，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则|a ﹣bi|= ．17．直线l ：（t 为参数）与圆C ：（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围是 ．18．函数f （x ）=log a （x ﹣1）+2（a ＞0且a ≠1）过定点A ，则点A 的坐标为 ．三、解答题19．已知数列a 1，a 2，…a 30，其中a 1，a 2，…a 10，是首项为1，公差为1的等差数列；列a 10，a 11，…a 20，是公差为d 的等差数列；a 20，a 21，…a 30，是公差为d 2的等差数列（d ≠0）．（1）若a 20=40，求d ；（2）试写出a 30关于d 的关系式，并求a 30的取值范围；（3）续写已知数列，使得a 30，a 31，…a 40，是公差为d 3的等差数列，…，依此类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，PA=AB=BC=CD=2，PD=2，PA ⊥PD ，Q 为PD 的中点． （Ⅰ）证明：CQ ∥平面PAB ；（Ⅱ）若平面PAD ⊥底面ABCD ，求直线PD 与平面AQC 所成角的正弦值．21．已知矩阵M=的一个属于特质值3的特征向量=，正方形区域OABC在矩阵N应对的变换作用下得到矩形区域OA′B′C′，如图所示．（1）求矩阵M；（2）求矩阵N及矩阵（MN）﹣1．22．在等比数列{a n}中，a1a2a3=27，a2+a4=30试求：（1）a1和公比q；（2）前6项的和S6．23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切钱EP交CB 的延长线于P，己知∠PAB=25°．（1）若BC是⊙O的直径，求∠D的大小；（2）若∠DAE=25°，求证：DA2=DC•BP．24．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0，a1=，且﹣，，成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n•log3（1﹣S n+1）=1，求适合方程b1b2+b2b3+…+b n b n+1=的正整数n的值．普陀区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题1． 【答案】 B【解析】解：∵F （x ）=f （x ）﹣g （x ）=f （x ）﹣f ′（x 0）（x ﹣x 0）﹣f （x 0）， ∴F'（x ）=f'（x ）﹣f ′（x 0） ∴F'（x 0）=0， 又由a ＜x 0＜b ，得出当a ＜x ＜x 0时，f'（x ）＜f ′（x 0），F'（x ）＜0， 当x 0＜x ＜b 时，f'（x ）＜f ′（x 0），F'（x ）＞0， ∴x=x 0是F （x ）的极小值点 故选B ．【点评】本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，即当函数取到极值时导函数一定等于0，反之当导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定是否有极值．2． 【答案】C 【解析】试题分析：根据题中“孤立元素”定义可知，若集合B 中不含孤立元素，则必须没有三个连续的自然数存在，所有B 的可能情况为：{}0,1,3,4，{}0,1,3,5，{}0,1,4,5，{}0,2,3,5，{}0,2,4,5，{}1,2,4,5共6个。
2018年上海市15区高考高三一模数学试卷合集 带答案
8
第 2 卷 2018 年崇明区一模
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，其中 1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分）
1、已知集合 A {1, 2, 5}, B {2, a} ，若 A B {1, 2, 3, 5} ，则 a
；
2、抛物线 y2 4x 的焦点坐标是
Sn ，首项 a1
1，公比为
a
3 2
，且
lim
n
S
n
a
，则
a ________.
11.从 5 男 3 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人志愿者服
务，要求服务队中至少有 1 名女生，共有
种不同的选法.（用数字作答）
12.在 ABC 中， BC 边上的中垂线分别交 BC, AC 于点 D, E .若 AE BC 6 ， AB 2 ，
f (C) 1 ，求 ABC 面积的最大值，并指出此时 ABC 为何种类型的三角形. 2
19. 设数列{an} ，{bn} 及函数 f (x) （ x R ）， bn f (an ) （ n N * ）. （1）若等比数列{an} 满足 a1 1， a2 3 ， f (x) 2x ，求数列{bnbn1} 的前 n （ n N * ） 项和； （2）已知等差数列{an} 满足 a1 2 ， a2 4 ， f (x) (q x 1) （ 、 q 均为常数， q 0 且 q 1）， cn 3 n (b1 b2 bn ) （ n N * ），试求实数对 (, q) ，使得{cn} 成等比 数列.
x 1 5. 若 z 2 3i （其中 i 为虚数单位），则 Im z
i 6. 若从五个数 1 ，0，1，2，3 中任选一个数 m ，则使得函数 f (x) (m2 1)x 1 在 R 上
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上海市普陀区2018届高三一模数学试卷
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 设全集，若集合，则
2. 若，则
3. 方程的解
4. 的二项展开式中的常数项的值为
5. 不等式的解集为
6. 函数的值域为
7. 已知是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点
所在的象限为第象限
8. 若数列的前项和（），则
9. 若直线与曲线交于两点、，则的值为
10. 设、、、是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个（）使得成立，则满足此条件的不同排列的个数为
11. 已知正三角形的边长为，点是所在平面内的任一动点，若，
则的取值范围为
12. 双曲线绕坐标原点旋转适当角度可以成为函数的图像，关于此函
数有如下四个命题：
①是奇函数；
②的图像过点或；
③的值域是；
④函数有两个零点；
则其中所有真命题的序号为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 若数列（）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数
是（）
A. 0个
B. 1个
C. 无数个
D. 不确定
14. “”是“函数在区间上为增函数”的（）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
15. 用长度分别为2、3、5、6、9（单位：）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）
A. 258
B.
C. 416
D. 418
16. 定义在上的函数满足，且，则
函数在区间上的所有零点之和为（）
A. 4
B. . 7 D. 8
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图所示的圆锥的体积为，底面直径，点是弧的中点，点是母
线的中点.
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）求异面直线与所成角的大小.
18. 某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买台机器人的总成本万元.
（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？
（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件
送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量
（单位：件），
已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200
件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，
用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少
百分之几？
19. 设函数（，），已知角的终边经过点，点
、是函数图像上的任意两点，当时，的
最小值是.
（1）求函数的解析式；
（2）已知面积为，角所对的边，，求的周长.
20. 设点、分别是椭圆（）的左、右焦点，且椭圆上的点到点
的距离的最小值为，点、是椭圆上位于轴上方的两点，且向量与
向量平行.
（1）求椭圆的方程；
（2）当时，求的面积；
（3）当时，求直线的方程.
21. 设为等差数列的公差，数列的前项和，满足
（），且，若实数（，），则称
具有性质.
（1）请判断、是否具有性质，并说明理由；
（2）设为数列的前项和，若是单调递增数列，求证：对任意的（，），实数都不具有性质；（3）设是数列的前项和，若对任意的，都具有性质，求所有满足条件的的值.
普陀区2017学年第一学期高三数学质量调研评分标准
一、填空题
1 2 3 4 5 6
{} 1,21
4
1-84
-[0,1)(1,2]
U[1,3]
-
7 8 9 10 11 12
一2
-1615[0,6]①②
二、选择题
13 14 15 16
C A C B
三、解答题
17.（1）由圆锥的体积，…………………………… 2分
得，即, …………………………………………… 4分
则该圆锥的侧面积为. …………………… 6分
（2）联结，由条件得，即是异面直线与所成角或其补角，…………………………………… 2分
点是弧的中点，则,又为该圆锥的高，
则,即平面，…………………………… 4分
在平面内，则，即为直角三角形，
又，则，…………………… 7分
即异面直线与所成角的大小为.……………………… 8分
18.（1）由题意得每台机器人的平均成本为…………………2分
……………………4分
当且仅当，即时取等号，
则要使每台机器人的平均成本最低，应买台. ………………………………………6分（2）当时，每台机器人日平均分拣量
，当时，每台机器人的日平均分拣量最大值为……2分
当时，每台机器人的日平均分拣量仍为，则引进台机器人后，日平均分拣量的最大值为. …………………………………………4分
若用传统人工分拣件，则需要人，…………………………6分
因此，引进机器人后要降低物流成本，用人数量比引进机器人前的用人数量
最多可减少. ……………………………………………………8分
19.（1）由角的终边经过点得，
又，则，………………………………………………………………3分
当时，的最小值是，则，即，………………………………………………………………………………5分
则所求函数的解析式为. ………………………………………6分
（2）由（1）得，
又△的面积为，则，即，……………………4分
由余弦定理得，即,即………7分
则所求的△的周长为. …………………………………………………………8分
20．（1）由得点，又椭圆上的点到点的距离的最小值为，则，………………………………………………3分
即，故椭圆的方程为.………………………………4分
（2）设，，则，且，
由（1）得，，即，，
又，即，联立，
解得，即. ………………………………………………………………2分
又且，则是直线的一个法向量，即直线的
点法向式方程为，即.联立消去整理
化简得，即或（舍），
得，即. ………………………………………………………………4分
则，即的面积为.………………………………6分
说明：三角形面积的求法不唯一，可以图形分割，用面积求差来解；也可以用点到直线的距离求出高，再用两点之间的距离公式求出底，用底与高乘积的一半来求等；也可等面积转换求解，请相应给分.
（3）延长线段交椭圆于点，向量与向量平行，根据椭圆的中心对称性得且，即 (2)
分
又，则直线的斜率一定存在且值为负，可设直线的方程为：，点，，且，联立方程，
整理化简得，则.
则
，
即，整理得，即……………5分
又，则，故直线的方程为. ……………………6分
21.（1）由得，………………………………1分
又，得………………………………3分
可得
从而
故不具有性质，具有性质. …………………………………………4分
说明：求是难点，第（1）问不必这样求解，可以直接用等差数列单调性判断下结论，可相应的评分，求以及数列的通项公式的评分可在第（2）问解答过程中体现.
（2），
………………………………………2分
因为数列单调递增，所以，即，…………………4分
又数列单调递增，则数列的最小项为，
则对任意，都有，
故实数都不具有性质. ……………………………………………………6分（3）因为，所以，
两式相减得，
即，
当为偶数时，，即，此时为奇数；
当为奇数时，，即，则，
此时为偶数；
则，. ……………………………………3分
则
故
……………5分
因为对于一切递增，所以，
所以 .
若对任意的，都具有性质，则，
即，解得，又，则或，
即所有满足条件的正整数的值为和.………………………………………8分
说明：此处可不求，直接用求和定义得
请相应评分.。