五年级奥数 整除问题
高斯小学奥数五年级上册含答案_整除问题进阶
第二讲整除问题进阶例题1. 答案：120087详解：能被9和11整除可以看作是能被99整除，可以两位截断求数段和，那么有□2 0 O是99的倍数，只能是99 •两个空中先后要填1和7.例题2. 答案：123483789详解：设这个九位数为1234ab789，两位截断求和1 23 b7 89 160 ba是99 的倍数，只能是198 .所以a=8, b=3.例题3.答案：6详解：利用7的整除特性，口89 59 □30能被7整除，只能填6.例题4.答案：5详解：555555、999999能被13整除，前面依次去掉555555，后面一次去掉999999后仍然是13的倍数.所以只需要满足13|兀帀就可以了.空格中要填5.例题5. 答案：768768详解：形如abcabc一定能被7整除，可以考虑由两个相同的三位数来组成这个六位数，三位数由6、7、8组成.又可知这个六位数一定能被3整除，所以只要保证后三位能被8整除就可以了.答案不唯一.例题6. 答案：20999详解：利用数字谜，从后往前逐位确定.313913 232323239 f39 f 739626269 999 99999999练习1. 答案：6237简答：两位截断后的和是99 .练习2. 答案：12327678简答：两位截断后的和是198.练习3.答案：5712 或5782简答：利用7的整除特性，右2与5的差是7的倍数，空格中可以填1或8.练习4. 答案：0简答：前面依次去掉111111,后面依次去掉333333，最后剩下匚•它是13的倍数, 那么空格中只能填0.作业1.答案：7 的倍数有7315, 58674, 360360; 13 的倍数有325702, 360360简答：牢记7和13的判断方法.作业2.答案：6336简答：这个四位数是99的倍数，两位截断后求和即可.作业3. 答案：2758简答：应用三位截断法，可知和6能被7整除，框中填5满足条件.作业4.答案：9简答：应用三位截断，可知8C 能被7和13整除，即8C 是91的倍数，框中填9 满足条件.作业5.答案：3简答：应用三位截断，可知口3能被7整除，框中填3满足条件.第二讲整除问题进阶厂我只能填在中同、怎样才能保证是11的倍数呢7 /"我翌填在白位和、个位上+怎么填才好呢?墨莫和小高在黑板前玩一个填三位数的游戏.如果填岀的三位数是H的倍数，那么小高就ST, 如果不是11的倍数则墨莫嬴.观察小高和墨英的话，逆冇必胜的策略上次课我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用数字和判断等•现在我们再来学习一些新的判断方法.一、截断作和六位数L_l2003LJ能冋时被9和11整除.这个六位数是多少？皿U 能被99整除的数的特征:从个位开始每两位一截,得到的所有两位数（最前面的可以是一位【分析】能同时被9和11整除，说明这个六位数能被99整除.想一想，99的整除特性是什么？四位数23 能同时被9和11整除，这个四位数是多少?【分析】这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数.这个99的倍数可能是多少呢？已知八位数123口口678能被99整除，这个八位数是多少?、截断作差阿呆写了一个两位数59,阿瓜写了一个两位数89,他们让小咼写一个一位数放在59与89之间辩需一金右佶豹kal I PQ估徂仪金右佶貓■台次朮7敕阵洁白•小直官的貓■具虫/卜：【分析】根据能被7整除的数的特征：末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之差能被7整除，我们可以由此将问题简化.四位数5^[2能被7整除，那么这个四位数可能是多少?接下来我们处理一些较复杂的问题.25个5 25个9变得简短一些.因为 1001是13的倍数，而555555、999999分别是555、999与1001的乘 积，说明它们都是13的倍数.那我们是不是可以去掉这个 51位数上的一些5和9,并仍然 保证它能被13整除？已知多位数[1L 1 {33L 3能被13整除，那么中间方格内的数字是多少?2010 个 12010 个 3【分析】能被6, 7, 8整除的数有什么特点呢？最难把握的在于这个六位数能被 7整除, 我们应该怎样安排数字才能使得它的前三位与后三位的差能被 7整除呢？题目只要求我们 写出一个满足要求的六位数，所以只需要找出一种特殊情况即可.【分析】在本题中，55L 35^992L39能被13整除.这个数的位数太多，我们可以想办法使它用数字6, 7, 8各两个，要组成能同时被6, 7, 8整除的六位数.请写出一个满足要求的六位数.【分析】我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘积，因此不可能根据整除特征来考虑•我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数能被23整除，就是说它能写成23与另一个数的乘积•接下来，大家想到该怎么办了吗？枚举法和尝试法在解决数论问题时经常使用.当看到一个问题很难下手时，不妨先从简单情形出发试一试，也许能找出规律和思路.胡适（学者，诗人，1946〜1948年任北京大学校长），在他的作品《尝试集》的序言中写到：“尝试成功自古无，放翁这话未必是.我今为下一转语，自古成功在尝试”这首诗中第一句为陆游所说，但他所说的尝试只是简单的浅尝辄止，当然不能成功.而最后一句则是胡适对第一句的改编：如果尝试是大胆的，深入的，那么一定能够成功.我们在解决某些数学问题时，需要的正是胡适所说的这种尝试.作业i1. 在7315, 58674, 325702 , 96723 , 360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些?2. 四位数33 能同时被9和11整除，这个四位数是多少?3. 四位数2^8能被7整除，那么这个四位数是多少?4. 已知多位数81口154258切2l§8 （2012个258）能同时被7和13整除，方格内的数字是2012 个258多少？5. 已知多位数［1L 1 03L 3能被7整除，那么中间方格内的数字是多少?2011 个1 2011 个3。
小学五年级奥数题数的整除问题
2019年小学五年级奥数题数的整除问题做奥数题有助于我们能力的提升，不仅在数学方面，其他方面也是很有帮助的，主要是让我们多动脑思考。
下面是查字典数学网为大家分享的五年级奥数题数的整除问题，希望对大家有帮助！奥数题数的整除问题从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行，从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的留下，其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数，报到11的同学留下，其余同学出列，那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是()号。
分析：第一次报数留下的同学，最初编号都是11的倍数;这些留下的继续报数，那么再留下的学生最初编号就是11×11=121的倍数，依次类推即可得出最后留下的学生的最初编号.解：第一次报数后留下的同学最初编号都是11倍数;第二次报数后留下的同学最初编号都是121的倍数;第三次报数后留下的同学最初编号都是1331的倍数;所以最后留下的只有一位同学，他的最初编号是1331;其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。
不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。
这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。
日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。
答：从左边数第一个人的最初编号是1331号.家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。
我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。
五年级奥数第一讲：整除初步
五年级奥数第一讲：整除初步例题1，判断下面12个数的整除性。
23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407，91301301。
（1）哪些数能被4整除？--末尾2位数。
分析：3568、5880、198954、6512、864都是4的倍数，因为末尾2位数都是4的倍数。
（2）哪些数能被8整除？--末尾3位数。
分析：3568、5880、6512、864都是8的倍数，末尾三位数是8的倍数即可。
（3）哪些数能被25整除？---末尾2位数。
分析：8875、93625都是25的倍数，因为末尾2位数是25倍数。
（4）哪些数能被125整除？---末尾3位数。
分析：8875、93625，末尾三位数都是125的倍数。
（5）哪些数能被3整除？-----数字和是3的倍数。
分析：23487、6765、5880、198954、864、91301301都是3的倍数，因为数字和都是3的倍数。
（6）哪些数能被9整除？---数字和是9的倍数。
分析：198954、864，因为数字和是9的倍数。
（7）哪些数能被11整除？--截位判别法或奇偶位和差分析法。
分析：6765、6512、407是11的倍数。
（8）哪些数能被13整除？-截位判别法。
分析：91301301，末尾三位数和末尾三位数之前的数的差是13的倍数。
练习1：在数列3124，312，3823，45235，5289，5588，661，7314中。
（1）哪些数能被4整除？--末尾2位数。
分析：3124、312、5588的末尾两位数都是4的倍数，所以是4的倍数。
（2）哪些数能被3整除？---数字和。
分析：312、5289、7314都是3的倍数，因为数字和是3的倍数。
（3）哪些数能11整除？--截位判别法或奇偶位和差分析法。
分析：3124、5588是11的倍数。
例题2，173（）是一个四位数，在括号内依次输入三个数字，分别得到三个四位数，依次分别能被9，11，8整除。
高斯小学奥数五年级上册含答案_整除问题初步
第一讲整除问题初步从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论.什么是数论呢？人类从学会数数开始，就一直和整数打交道.人们在对整数的应用和研究中，探索出很多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律，吸引了古往今来的许多数学家，于是就出现了数论这门学科.确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科.我们就从最基本的性质一一整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧.X:: 数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数;论是数学的皇冠” ?整除的定义如果整数a 除以整数 b ( b 0 ),除得的商是整数且没有余数，我们就说a 能被b 整除,也可以说b 能整除a,记作b | a .「丁M 丄［EfiAI邑九牛城帀，琴百捨吧円样的方式冉境OOOKH3C01B.以G 、乩出卞城布可胯号毀離00001 'oooowjja 序谏次脫锂A- B- C,懵快.軒iHflt 反应境闻瞭面丈旳埠茶逾稲伸只记聲车壇忙￥2.鼻、4. $、隔一亍？貝侔的推列浚记件yrmir =Flf 面丈谥氓功了毡豪酊r.舌方境出了颯珂停!* w<?帀的T/如果除得的结果有余数，我们就说a 不能被b 整除，也可以说b 不能整除 a.整除的一些基本性质:1. 尾数判断法3.奇偶位求差法|能被ii 整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被ii 整除HI我们把一个数从右往左数的第1、3、5位，……，统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2、4、6位，，统称为偶数位.我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和” 把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”．F 面我们来看一下如何运用这些性质.例题1.判断下面11个数的整除性：23487, 3568, 8875, 6765, 5880, 7538, 198954, 6512, 93625, 864, 407 (1)这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？(2)哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？(3)哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？(4)哪些数能被11整除？【分析】关于4、8、25、125以及3、9、11的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不妨根据整除特性判断一下.练习 1.在数列3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314 中哪些数能被4 整除,哪些数能被3整除，哪些数能被11整除？如果将例题1中能被3整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被3整除；同样的，如果将其中能被11整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被11整除.从中我们可以总结出如下规律:和整除性与差整除性：两个数如果都能被自然数a 整除，那它们的和与差也都能被a|能被2, 5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除.||能被4, 25整除的数的特征：末两位能被4或25整除. 1［能被8, 125整除的数的特征：末三位能被8或125整除.1数字求和法能被3, 9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除.|(1) (2) (3)2.整除.例题2. 17石是一个四位数?文老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9, 11, 8整除问：文老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？【分析】本题包括三个小问题，我们逐个分析.需要分别用到9、11和8的整除特性.练习2.在2S 的方框内先后填上3个数字，分别组成3个三位数，使它们依次被3、4、5整除.上面我们已经学习了如何利用“整除特征”，解决单个数的整除问题?下面我们再来看一看，涉及多个数的整除问题应该如何解决.例题3.牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上?但是记账的那张纸破了两个洞，上面只剩下“ 6dd ”，其中方框表示破了的洞. 牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元.请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？【分析】这45名员工的工资都一样，所以总工资就能被45整除?我们没有学过被45整除的数的特征.但注意到45 5 9，于是6dd应该能同时被5和9整除，那么先考虑哪一个数的整除特征比较好呢？练习3.四位数CC 能被36整除，那么这个四位数可能是多少?在例3中，我们并不知道45的整除特征，但是45 5 9，能被45整除的数，也能被5和9整除，那么只需考虑5和9的整除特征即可.请同学们注意，虽然45 3 15，但是在考虑能否被45整除时，不能只考虑被3和15 整除?你能想明白为什么吗？例题4. 一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话. 服务人员告诉他，目前只有形如“ 1234 口6口8 ”的号码可以申请?也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动. 王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码.请问：他申请的号码可能是多少？【分析】要被8整除，说明号码的后三位Q8是8的倍数?想一下，这样的三位数是唯一的吗？练习4.七位数22 333 能被44整除，那么这个七位数是多少?有时候满足题目条件的答案会非常多. 如果只要求找出最大的或最小的，我们只需要从极端情况考虑即可.例题5.在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？最大是多少？【分析】要想让五位数最大且数字不重复，每个数位上的数字应该依次是9、&….如果想让五位数尽量小，是不是应该依次是1、2、…呢？例题6.由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【分析】要想能被11整除，奇位和与偶位和的差应该是11的倍数.那么奇位和与偶位和的和又是什么呢？天才未必事事都聪明牛顿小时候的一个故事告诉我们，天才有时也傻乎乎的.一次，粮仓里闹鼠灾了，大人让牛顿在粮仓的门底开一个洞让猫进出.结果他开了两个洞一一大的给老猫，小的给小猫.其实在整除性的问题当中也有类似情况. 比如要在200 □匚的方框中填入两个数字使得这个五位数同时能被4、5、8整除，实际根本不用考虑4,只要考虑5和8即可，因为能被8整除的也必然能被4整除.如果你还要再考虑4的整除性，那就多此一举了.作业1. 下面有9 个自然数：48, 75, 90, 122, 650, 594, 4305, 7836, 4100 .其中能被 4 整除的有哪些？能被25整除的有哪些？2. 有如下5个自然数：12345, 189, 72457821, 333666, 54289?其中能被9整除的有哪些？3. 有如下5个自然数：3124, 3823, 45235, 5289, 5588 ?其中能被11整除的有哪些？4. 是一个四位数?王老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9, 11, 8整除? ”问：王老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？5. 阿呆买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：匚111.C 元（表示不明数字）.请问总价应该是多少？第一讲整除问题初步例题1. 答案：(1)能被4整除的有3568、5880、6512、864;能被8整除的有3568、5880、6512、864 .(2)能被25 整除的有8875、93625 ;能被125 整除的有8875、93625 . ( 3) 能被 3 整除的有23487、6765、5880、198954、864;能被9 整除的有198954、864. (4) 能被11整除的有407、6765、6512.例题2.答案：21详解：要想让四位数能被9整除，数字和得是9的倍数，空格中要填7 ?要想让四位数能被11整除，奇位和与偶位和的差得是11的倍数，空格中要填8?要想让四位数能被8整除，需要后三位即7C 是8的倍数，空格中要填 6 .三个数字之和是21 .例题3. 答案：67680或67185详解：根据题意，这个数能被45整除，即能同时被5和9整除，个位只能是0或5,对应的百位是6或1 .例题 4. 答案：12345608、12341648、12348688详解：末三位被8整除，十位数字只能是0、4、8 .要满足号码能被11整除对应的千位数字只能是5、1、&例题 5. 答案：10395; 98730详解：要被45整除，五位数既得是5的倍数，也得是9的倍数.那么五位数的末尾只能是0或5 ?先来看最小的数?要让前面数位上的数字尽量小，可以是1CD5 ?要满足它是9的倍数且最小，应该是10395 ?再来看最大，要让前面数位上的数字尽量大，可以是98口口5或9CD0 ?要满足它是9的倍数且最大，应该是98730.例题6. 答案：875413详解：要想是11的倍数，奇位和与偶位和的差得是11的倍数.这六个数字的和是28 , 而最大的三个数的和是20,也就是说无论是奇位还是偶位之和都不会超过20,所以只能把28分成两个14，偶位为& 5、1，奇位为7、4、3.练习1. 答案：能被4整除的数有3124、312、5588;能被3整除的数有312、5289、7314 ; 能被11整除的数有3124、5588.练习2. 答案：本题的答案不止一种,要想被3整除,空格中可以填1、4、7.要想被 4 整除,空格中可填 2 或 6.要想被 5 整除,空格中可填0或 5.练习 3. 答案：3132 或3636简答：要想被36整除,这个四位数要既是4的倍数, 也是9的倍数. 要想是 4 的倍数, 个位上的空格中可填 2 或6.要想满足四位数是9的倍数,百位上的空格对应要填1或6.练习 4. 答案：2213332 或2283336简答：这个七位数既是4的倍数,也是11的倍数.要想是 4 的倍数,个位上的空格中可填2或6,剩下的空格中对应可填1或8.作业 1. 答案：48, 7836, 4100；75, 650, 4100简答： 4 和25 看末两位.作业 2. 答案：189, 72457821, 333666简答：被9 整除看数字和.作业 3. 答案：3124, 5588简答：被11 整除看奇位和与偶位和的差.作业4. 答案：11简答：填入的三个数字分别为1, 4, 6,数字和为11.作业 5. 答案：811.44 元简答：72 8 9 ,分别考虑8和9的整除特性.。
小学五年级奥数数的整除问题例题
小学五年级奥数数的整除问题例题奥数注重学生分析、解决问题能力的培养，有它独特的解题思路和方法，快来做做奥数题来锻炼自己吧!下面是为大家收集到的五年级奥数数的整除问题例题，供大家参考。
试问，能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除?如果回答：“可以”，则只要举出一种排法;如果回答：“不能”，则需给出说明.
点：数的整除特征.
分析：根据题意，可采用假设的方法进行分析，100个自然数任意的5个数相连，可以分成20个组，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除，那么会有40个数是3的倍数，事实上在1至100的自然数中只有33个是3倍数，所以不能.
解答：假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数，按所排列顺序将它们每5个分为一组，可得20组，
其中每两组都没有共同的数，于是，在每一组的5个数中都至少有两个数是3的倍数.
从而一共会有不少于40个数是3的倍数.但事实上在1至100的这100个自然数中只有33个数是3的倍数，
以上是查字典数学网为大家准备的五年级奥数数的整除问
题例题，希望对大家有所帮助。
小学五年级奥数整除练习题
小学五年级奥数整除练习题1.能被2整除的书的特征：个位上的数字是0.2.4.6.8的整数，“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数，包括0的整数，必能被2整除；另一方面：能被2整除的数，其个位上的数字只能是偶数。
2.能被5整除的数的特征是：个位是0或53.可以被3或9除的数字的特征是每个数字的总和可以被3或9除。
可以被4或25除的数字的特征是最后两个数字可以被4或25除例：1864=1800+64因为100是4与25的倍数，所以1800是4和25的倍数。
又因为64能被4整除，数以1864能被4整除。
但因为64不能被25整除，所以1864不能被25整除。
5.可以被8或125除的数字的特点是最后三位数字可以被8除。
例：29375=29000+375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8和125的倍数。
又因为375能被125整除，所以29375能被125整除。
但因为375不能被8整除，所以8不能被29375整除。
6.一个可被11整除的数的特点是，该数的奇数和偶数之和之间的差（大减法）是11的倍数例：判断123456789这九位数能否被11整除解决方案：该数字的奇数之和为9+7+5+3+1=25，偶数之和为8+6+4+2=20。
因为25-20=5，因为11不能被5除，所以123456789不能被11除再例如：判断13574能否是11的倍数？解决方案：这个数字的奇数位数和偶数位数之和的差值为：（4+5+1）-（7+3）=0。
因为0是任何整数的倍数，所以11可以被0除。
因此，13574是11的倍数。
7.可被7（11或13）整除的数字的特征：整数的最后三位数字与前三位数字（大大减少）组成的数字之间的差可以被7（11或13）整除例如：判断1059282是否是7的倍数？解决方案：将1059282分成两个数字：1059和282。
因为1059-282=777，777可以被7除，所以1059282可以被7除。
高斯小学奥数五年级上册含答案_整除问题进阶
第二讲整除问题进阶例题1.答案：120087详解：能被9和11整除可以看作是能被99整除，可以两位截断求数段和，那么有208++是99的倍数，只能是99．两个空中先后要填1和7．例题2.答案：123483789详解：设这个九位数为1234789++++=+是99a b baab，两位截断求和1234789160的倍数，只能是198．所以a=8，b=3．例题3.答案：6详解：利用7的整除特性，895930-=能被7整除，只能填6．例题4.答案：5详解：555555、999999能被13整除，前面依次去掉555555，后面一次去掉999999后仍然是13的倍数．所以只需要满足13|59就可以了．空格中要填5．例题5.答案：768768详解：形如abcabc一定能被7整除，可以考虑由两个相同的三位数来组成这个六位数，三位数由6、7、8组成．又可知这个六位数一定能被3整除，所以只要保证后三位能被8整除就可以了．答案不唯一．例题6.答案：20999详解：利用数字谜，从后往前逐位确定．练习1.答案：6237简答：两位截断后的和是99．练习2.答案：12327678简答：两位截断后的和是198． 练习3. 答案：5712或5782简答：利用7的整除特性，72与5的差是7的倍数，空格中可以填1或8．练习4. 答案：0简答：前面依次去掉111111，后面依次去掉333333，最后剩下．它是13的倍数，那么空格中只能填0．作业1. 答案：7的倍数有7315，58674，360360；13的倍数有325702，360360简答：牢记7和13的判断方法．作业2. 答案：6336简答：这个四位数是99的倍数，两位截断后求和即可．作业3. 答案：2758简答：应用三位截断法，可知能被7整除，框中填5满足条件．作业4. 答案：9简答：应用三位截断，可知能被7和13整除，即是91的倍数，框中填9满足条件．作业5. 答案：3简答：应用三位截断，可知能被7整除，框中填3满足条件． 第二讲 整除问题进阶13 81 81 76上次课我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用数字和判断等．现在我们再来学习一些新的判断方法．一、截断作和能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的可以是一位数）之和能被99整除．六位数2008能同时被9和11整除．这个六位数是多少？【分析】能同时被9和11整除，说明这个六位数能被99整除．想一想，99的整除特性是什么？四位数能同时被9和11整除，这个四位数是多少？【分析】这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数．这个99的倍数可能是多少呢？已知八位数能被99整除，这个八位数是多少？二、截断作差能被7、11、13整除的数的特征：从个位开始，每三位一截，奇数段之和与偶数段之和的差能被7或11或13整除．【分析】根据能被7整除的数的特征：末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之差能被7整除，我们可以由此将问题简化．阿呆写了一个两位数59，阿瓜写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59与89之间拼成一个五位数5989，使得这个五位数能被7整除．请问：小高写的数是多少？123678 已知九位数1234789能被99整除，这个九位数是多少？23四位数572能被7整除，那么这个四位数可能是多少？接下来我们处理一些较复杂的问题．【分析】在本题中，255259555999□个个能被13整除．这个数的位数太多，我们可以想办法使它变得简短一些．因为1001是13的倍数，而555555、999999分别是555、999与1001的乘积，说明它们都是13的倍数．那我们是不是可以去掉这个51位数上的一些5和9，并仍然保证它能被13整除？已知多位数2010120103111333个个能被13整除，那么中间方格内的数字是多少？【分析】能被6，7，8整除的数有什么特点呢？最难把握的在于这个六位数能被7整除，我们应该怎样安排数字才能使得它的前三位与后三位的差能被7整除呢？题目只要求我们写出一个满足要求的六位数，所以只需要找出一种特殊情况即可．用数字6，7，8各两个，要组成能同时被6，7，8整除的六位数．请写出一个满足要求的六位数．已知51位数255259555999个个能被13整除，中间方格内的数字是多少？一个五位数，它的末三位为999．如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？【分析】我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘积，因此不可能根据整除特征来考虑．我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数能被23整除，就是说它能写成23与另一个数的乘积．接下来，大家想到该怎么办了吗？课堂内外自古成功在尝试枚举法和尝试法在解决数论问题时经常使用．当看到一个问题很难下手时，不妨先从简单情形出发试一试，也许能找出规律和思路．胡适（学者，诗人，1946～1948年任北京大学校长），在他的作品《尝试集》的序言中写到：“尝试成功自古无，放翁这话未必是．我今为下一转语，自古成功在尝试”．这首诗中第一句为陆游所说，但他所说的尝试只是简单的浅尝辄止，当然不能成功．而最后一句则是胡适对第一句的改编：如果尝试是大胆的，深入的，那么一定能够成功．我们在解决某些数学问题时，需要的正是胡适所说的这种尝试．作业1. 在7315，58674，325702，96723，360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些？2. 四位数33能同时被9和11整除，这个四位数是多少？3. 四位数278能被7整除，那么这个四位数是多少？4. 已知多位数201225881258258258□个（2012个258）能同时被7和13整除，方格内的数字是多少？5. 已知多位数2011120113111333个个能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？。
五年级奥数第2讲-整除问题进阶
课堂检测
（1）在7315、58674、325702、96723、360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些？
（2）四位数 33 能同时被9和11整除，这个四位数是多少？
（3）四位数27 8能被7整除，那么这个四位数是多少？
（4）已知多位数81 258258...258，能同时被7和13整除，方格内的数字是多少?
五年级奥数第2讲-整除问题进阶
第二讲
整除问题进阶
• 数论专题第2讲
知识精讲
上一讲我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用 数字和判断等。 1.尾数判断法 （1）能被2、5整除的数的特性：个位数字能被2、5整除. （2）能被4、25整除的数的特性：末两位能被4、25整除。 （3）能被8、125整除的数的特性：末三位能被8、125整除。 2.数字求和法 能被3、9整除得数的特性：各位数字之和能被3、9整除。 3.奇偶位求差法 能被11整除的数的特性：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。
2012个258
（5）已知多位数11...1 33...3，能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？
2011个1020/11/5
18
挑战极限
例题六：
有一个五位数，它的末三位为999。如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小 是多少？ 分析：我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘 积，因此不可能根据整除特征来考虑，我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数 能被23整除，就是说，它能写成23与另一个数的乘积，接下来大家想到该怎么办了 吗？
现在我们再来学习一些新的判断方法。
知识精讲
一、截断作和
能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的 可以是一位数）之和，能被99整除。
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整除(一):拆除数
关键词与关键策略:
一、整除的含义：如果一个整数a除以一个非零整数b的商是整数，且没有余数(或余数为零)，我们就叫做b能整除a, a能被b整除；a是b的倍数，b是a 的约数。
记作: b∣a
1、0是任何非零整数的倍数，但不是任何整数的约数；1是任何数的约数。
2、0是最小的自然数，但不是最小的一位数；最小的一位数是1。
二、整除的性质：如果一个数能被两个互质数中的每一个整除，那么这个数也能被这两个数的乘积整除；反过来，一个数能被两个互质数的乘积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。
三、特殊数整除的特征:
1、尾数判断法：
(1)能被2（或5）整除的数的特征:个位数字能被2、5整除。
看个位 2 (2:个位为偶数； 5:个位为0或5)
（2）能被4（或25）整除的数的特征: 末两位数字能被4、25整除。
看末两位425= 100 25: 未两位为00、25、50、75)
例：1864=1800+64,1800是4与25的倍数，64能被4整除，但是不能被25整除。
（3）能被8（或125）整除的数的特征: 末三位数字能被8、125整除。
看末三位8125 = 1000
2、数字求和法：
能被3或9整除的数的特征: 各个数位数之和是3或9的倍数(弃三法或弃九法)。
例1：判断下面数的整除性：23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407
（1）这些数中，有哪些数能被4整除，哪些数能被8整除？
（2）哪些数能被25整除，哪些数能被125整除？
（3）哪些数能被3整除？
（4）哪些数能被9整除？
练习：（1）判断33333333468675能不能被125整除？
（2）1234567891011121314能不能被3和9整除？
例2、有一个四位数是45ab, 同时能被2、3、4、5、9整除，求出这个四位数。
练习：（1）四位数841口能被2和3整除，口中应填。
(2)同时能被3、4、5整除的最小四位数是。
例3、小马虎在一张纸上写了无重复数字的五位数字3□6□5，其中十位数字和千位数字被小马虎喝水时打湿看不清了，但是小马虎知道这个五位数是75的倍数，那么满足上述条件的五位数有哪些?
练习：（1）六位数1803*6能被12整除，其中十位数字是。
（2）四位数8A1B能同时被5、6整除，这个四位数是。
(3)一个六位数43口57口能被72整除，这个六位数是。
(4)四位数2口2口能同时被8, 9整除，那么这个四位数是。