五年级奥数第2讲 整除问题进阶
高斯小学奥数五年级上册含答案_整除问题进阶
第二讲整除问题进阶例题1. 答案：120087详解：能被9和11整除可以看作是能被99整除，可以两位截断求数段和，那么有□2 0 O是99的倍数，只能是99 •两个空中先后要填1和7.例题2. 答案：123483789详解：设这个九位数为1234ab789，两位截断求和1 23 b7 89 160 ba是99 的倍数，只能是198 .所以a=8, b=3.例题3.答案：6详解：利用7的整除特性，口89 59 □30能被7整除，只能填6.例题4.答案：5详解：555555、999999能被13整除，前面依次去掉555555，后面一次去掉999999后仍然是13的倍数.所以只需要满足13|兀帀就可以了.空格中要填5.例题5. 答案：768768详解：形如abcabc一定能被7整除，可以考虑由两个相同的三位数来组成这个六位数，三位数由6、7、8组成.又可知这个六位数一定能被3整除，所以只要保证后三位能被8整除就可以了.答案不唯一.例题6. 答案：20999详解：利用数字谜，从后往前逐位确定.313913 232323239 f39 f 739626269 999 99999999练习1. 答案：6237简答：两位截断后的和是99 .练习2. 答案：12327678简答：两位截断后的和是198.练习3.答案：5712 或5782简答：利用7的整除特性，右2与5的差是7的倍数，空格中可以填1或8.练习4. 答案：0简答：前面依次去掉111111,后面依次去掉333333，最后剩下匚•它是13的倍数, 那么空格中只能填0.作业1.答案：7 的倍数有7315, 58674, 360360; 13 的倍数有325702, 360360简答：牢记7和13的判断方法.作业2.答案：6336简答：这个四位数是99的倍数，两位截断后求和即可.作业3. 答案：2758简答：应用三位截断法，可知和6能被7整除，框中填5满足条件.作业4.答案：9简答：应用三位截断，可知8C 能被7和13整除，即8C 是91的倍数，框中填9 满足条件.作业5.答案：3简答：应用三位截断，可知口3能被7整除，框中填3满足条件.第二讲整除问题进阶厂我只能填在中同、怎样才能保证是11的倍数呢7 /"我翌填在白位和、个位上+怎么填才好呢?墨莫和小高在黑板前玩一个填三位数的游戏.如果填岀的三位数是H的倍数，那么小高就ST, 如果不是11的倍数则墨莫嬴.观察小高和墨英的话，逆冇必胜的策略上次课我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用数字和判断等•现在我们再来学习一些新的判断方法.一、截断作和六位数L_l2003LJ能冋时被9和11整除.这个六位数是多少？皿U 能被99整除的数的特征:从个位开始每两位一截,得到的所有两位数（最前面的可以是一位【分析】能同时被9和11整除，说明这个六位数能被99整除.想一想，99的整除特性是什么？四位数23 能同时被9和11整除，这个四位数是多少?【分析】这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数.这个99的倍数可能是多少呢？已知八位数123口口678能被99整除，这个八位数是多少?、截断作差阿呆写了一个两位数59,阿瓜写了一个两位数89,他们让小咼写一个一位数放在59与89之间辩需一金右佶豹kal I PQ估徂仪金右佶貓■台次朮7敕阵洁白•小直官的貓■具虫/卜：【分析】根据能被7整除的数的特征：末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之差能被7整除，我们可以由此将问题简化.四位数5^[2能被7整除，那么这个四位数可能是多少?接下来我们处理一些较复杂的问题.25个5 25个9变得简短一些.因为 1001是13的倍数，而555555、999999分别是555、999与1001的乘 积，说明它们都是13的倍数.那我们是不是可以去掉这个 51位数上的一些5和9,并仍然 保证它能被13整除？已知多位数[1L 1 {33L 3能被13整除，那么中间方格内的数字是多少?2010 个 12010 个 3【分析】能被6, 7, 8整除的数有什么特点呢？最难把握的在于这个六位数能被 7整除, 我们应该怎样安排数字才能使得它的前三位与后三位的差能被 7整除呢？题目只要求我们 写出一个满足要求的六位数，所以只需要找出一种特殊情况即可.【分析】在本题中，55L 35^992L39能被13整除.这个数的位数太多，我们可以想办法使它用数字6, 7, 8各两个，要组成能同时被6, 7, 8整除的六位数.请写出一个满足要求的六位数.【分析】我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘积，因此不可能根据整除特征来考虑•我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数能被23整除，就是说它能写成23与另一个数的乘积•接下来，大家想到该怎么办了吗？枚举法和尝试法在解决数论问题时经常使用.当看到一个问题很难下手时，不妨先从简单情形出发试一试，也许能找出规律和思路.胡适（学者，诗人，1946〜1948年任北京大学校长），在他的作品《尝试集》的序言中写到：“尝试成功自古无，放翁这话未必是.我今为下一转语，自古成功在尝试”这首诗中第一句为陆游所说，但他所说的尝试只是简单的浅尝辄止，当然不能成功.而最后一句则是胡适对第一句的改编：如果尝试是大胆的，深入的，那么一定能够成功.我们在解决某些数学问题时，需要的正是胡适所说的这种尝试.作业i1. 在7315, 58674, 325702 , 96723 , 360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些?2. 四位数33 能同时被9和11整除，这个四位数是多少?3. 四位数2^8能被7整除，那么这个四位数是多少?4. 已知多位数81口154258切2l§8 （2012个258）能同时被7和13整除，方格内的数字是2012 个258多少？5. 已知多位数［1L 1 03L 3能被7整除，那么中间方格内的数字是多少?2011 个1 2011 个3。
五年级奥数 整除问题
整除(一):拆除数关键词与关键策略:一、整除的含义：如果一个整数a除以一个非零整数b的商是整数，且没有余数(或余数为零)，我们就叫做b能整除a, a能被b整除；a是b的倍数，b是a 的约数。
记作: b∣a1、0是任何非零整数的倍数，但不是任何整数的约数；1是任何数的约数。
2、0是最小的自然数，但不是最小的一位数；最小的一位数是1。
二、整除的性质：如果一个数能被两个互质数中的每一个整除，那么这个数也能被这两个数的乘积整除；反过来，一个数能被两个互质数的乘积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。
三、特殊数整除的特征:1、尾数判断法：(1)能被2（或5）整除的数的特征:个位数字能被2、5整除。
看个位 2 (2:个位为偶数； 5:个位为0或5)（2）能被4（或25）整除的数的特征: 末两位数字能被4、25整除。
看末两位425= 100 25: 未两位为00、25、50、75)例：1864=1800+64,1800是4与25的倍数，64能被4整除，但是不能被25整除。
（3）能被8（或125）整除的数的特征: 末三位数字能被8、125整除。
看末三位8125 = 10002、数字求和法：能被3或9整除的数的特征: 各个数位数之和是3或9的倍数(弃三法或弃九法)。
例1：判断下面数的整除性：23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407（1）这些数中，有哪些数能被4整除，哪些数能被8整除？（2）哪些数能被25整除，哪些数能被125整除？（3）哪些数能被3整除？（4）哪些数能被9整除？练习：（1）判断33333333468675能不能被125整除？（2）1234567891011121314能不能被3和9整除？例2、有一个四位数是45ab, 同时能被2、3、4、5、9整除，求出这个四位数。
练习：（1）四位数841口能被2和3整除，口中应填。
(2)同时能被3、4、5整除的最小四位数是。
高思奥数导引小学五年级含详解答案第02讲：整除
第2讲：数的整除内容概述：掌握整除的概念和基本性质，掌握能被某些特殊数整除的数的特征。
通过分析整除特征解决数的补填问题，以及多位数的构成问题等。
典型问题：兴趣篇1.下面有9个自然数：14,35，80,152，650,434,4375，9064，24125。
在这些自然数中，请问：（1）有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？（2）有哪些数能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？2.有如下9个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837。
这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？3.一个三位数64的十位数字未知。
请分别根据下列要求找出“”中合适的取值：（1）如果要求这个三位数能被3整除，“”可能等于多少？（2）如果要求这个三位数能被4整除，“”可能等于多少？（3）这个三位数有没有可能同时被3和4整除，如果有可能，“”可能等于多少？4.新学年开学了，同学们要改穿新的校服。
雯雯收了9位同学的校服费（每人交的钱一样多）交给老师。
老师给了雯雯一张纸条，上面写着“交来校服费238元”其中有一滴墨水，把方格处的数字污染得看不清了。
牛牛看了看，很快就算出了方格处的数字。
聪明的读者们，你们能算出这个数字是多少吗？5.四位数29能同时被3和5整除，求出所有满足要求的四位数。
6.四位偶数64能被11整除，求出所有满足要求的四位数。
7.多位数323232321n 个能被11整除，满足条件的n 最小是多少？8.一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话。
服务人员告诉他，目前只有形如“123468”的号码可以申请。
也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动。
王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码。
请问：他申请的号码可能是多少？9.一个各位数字互不相同的四位数能被9整除，把它的个位数字去掉后剩下一个三位数，这个三位数能被4整除。
五年级上奥数第2讲 整除问题(二)
五秋第2讲 整除问题（二）一、教学目标倍数特征：11的倍数特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数，这个数就是11的倍数。
7、11、13的倍数特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(大数减小数)是7(或11或13)的倍数，那么这个数就是7、11、13的倍数。
整除性质：1、如果b 、c 都能整除a ，且b 和c 互质，那么b 、c 的积能整除a 。
2、如果c 能整除b ，b 能整除a ，那么c 能整除a 。
二、例题精选【例1】 判断下面11个数中，能被11整除的有几个？23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407。
【巩固1】判断3546725能否被13整除？（用倍数特征）【例2】 已知整数a a a a a 54321能被11整除，求所有能满足这个条件的a 是多少？【巩固2】六位数456a 12能被7整除，求a 的值。
【例3】 某个七位数1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？【巩固3】在245□□的方框处填上适当的数字，使其能同时被2、3、5、7整除，共有几种填法？【例4】 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是多少？【巩固4】若六位数2010□□恰好是99的倍数，则这个六位数是几？【例5】 在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？【巩固5】由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【例6】 如果200520052005200501n L 144424443个能被11整除，那么n 的最小值是几？四、回家作业【作业1】下面有9个自然数：23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，哪些能被11整除？【作业2】在□里填上适当的数字，使得七位数2018□□能分别被2，3，4，5整除，并判断该数能不能被11整除。
小学五年级奥数题数的整除问题
2019年小学五年级奥数题数的整除问题做奥数题有助于我们能力的提升，不仅在数学方面，其他方面也是很有帮助的，主要是让我们多动脑思考。
下面是查字典数学网为大家分享的五年级奥数题数的整除问题，希望对大家有帮助！奥数题数的整除问题从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行，从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的留下，其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数，报到11的同学留下，其余同学出列，那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是()号。
分析：第一次报数留下的同学，最初编号都是11的倍数;这些留下的继续报数，那么再留下的学生最初编号就是11×11=121的倍数，依次类推即可得出最后留下的学生的最初编号.解：第一次报数后留下的同学最初编号都是11倍数;第二次报数后留下的同学最初编号都是121的倍数;第三次报数后留下的同学最初编号都是1331的倍数;所以最后留下的只有一位同学，他的最初编号是1331;其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。
不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。
这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。
日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。
答：从左边数第一个人的最初编号是1331号.家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。
我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。
小学五年级奥数题：整除问题
小学五年级奥数题：整除问题
整除问题是五年级奥数的一个重点知识，同学们对于这个知识点的练习掌握的如何呢?一起来看下吧!希望对大家有所帮助!
一
判断123456789这九位数能否被11整除?
解：这个数奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25，偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20.因为25—20=5，又因为115，所以11123456789。
二
判断13574是否是11的倍数?
解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：(4+5+1)-(7+3)=0.因为0是任何整数的倍数，所以11|0.因此13574是11的倍数。
⑦能被7(11或13)整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(以大减小)能被7(11或13)整除。
三
判断3546725能否被13整除?
解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2=819，又13|819，所以13|2821，进而13|3546725.。
五年级奥数整除问题进阶
（5）已知多位数11...1 33...3，能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？
2011个1 2011个3
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例题六：
有一个五位数，它的末三位为999。如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小 是多少？ 分析：我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘 积，因此不可能根据整除特征来考虑，我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数 能被23整除，就是说，它能写成23与另一个数的乘积，接下来大家想到该怎么办了 吗？
练习一：
四位数 23 ，能同时被9和11整除，这个四位数是多少？
例题二：
已知九位数，1234
789，能被99整除，这个九位数是多少？
分析：这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数。这个99
的倍数可能是多少呢？
练习二：
已知八位数，123
678，能被99整除，这个八位数是多少？
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第二讲
整除问题进阶
• 数论专题第2讲
知识精讲
上一讲我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用 数字和判断等。 1.尾数判断法 （1）能被2、5整除的数的特性：个位数字能被2、5整除. （2）能被4、25整除的数的特性：末两位能被4、25整除。 （3）能被8、125整除的数的特性：末三位能被8、125整除。 2.数字求和法 能被3、9整除得数的特性：各位数字之和能被3、9整除。 3.奇偶位求差法 能被11整除的数的特性：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。
5年级上第2讲整除问题初步
五年级上册1整除问题初步如果整数 a 除以整数 b （ b 0 ），除得的商是整数且没有余数，我们就说a 能被b 整除，也可以说 b 能整除 a ，记作b | a ．如果除得的结果有余数，我们就说 a 不能被 b 整除，也可以说 b 不能整除 a ．能被 3、9 整除的数的特征：各位数字之和能被 3 或 9 整除．第二讲整除初步从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论． 什么是数论呢？人类从学会数数开始，就一直和整数打交道．人们在对整数的应用和研究中，探索出很多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律，吸引了古往今来的许多数学家，于是就出现了数论这门学科．我们就从最基本的性质——整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科．数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇冠。
一、整除的定义二、整除的一些基本性质1. 尾数判断法（1）（2）（3）2. 数字求和法3. 奇偶位求差法我们把一个数从右往左数的第 1 位、第 3 位、第 5 位，⋯⋯统称为奇数位，把一个数从右往左数的第 2 位、第 4 位、第 6 位，⋯⋯统称为偶数位．我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和”，把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”．下面我们来看一下如何运用这些性质． 能被 11 整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被 11 整除．能被 8、125 整除的数的特征：末三位能被 8 或 125 整除． 能被 4、25 整除的数的特征：末两位能被 4 或 25 整除． 能被 2、5 整除的数的特征：个位数字能被 2 或 5 整除．五年级上册例题1：:判断下面11 个数的整除性：23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407（1）这些数中，有哪些数能被4 整除？哪些数能被8 整除？（2）哪些数能被25 整除？哪些数能被125 整除？（3）哪些数能被 3 整除？哪些数能被9 整除？（4）哪些数能被11 整除？分析关于4、8、25、125 以及3、9、11 的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不妨根据整除特性判断一下．随堂练习1. 在3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314 中哪些数能被 4 整除？哪些数能被3 整除？哪些数能被11 整除？如果将例题1 中能被 3 整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被 3 整除；同样的，如果其中能被11 整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被11 整除．从中我们可以总结出如下规律：和整除性与差整除性：两个数如果都能被自然数a 整除，那它们的和与差也都能被a 整除．例题2： 173□是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内先后填入3 个数字，得到的3 个四位数依次能被9、11、8 整除．”问：数学老师先后填入的3 个数字之和是多少？分析本题包括三个小问题，我们逐个分析：第一个数字使得173□能被9 整除，由9 的整除特征，我们只要考虑数字和即可；第二个数字使得173□能被11 整除，由11 的整除特征，需要考虑奇位和与偶位和之差；第三个数字使得173□能被8 整除，由8 的整除特征，需要考虑它的末三位73□．随堂练习2：在23□的方框内先后填入3 个数字，分别组成3 个三位数，使它们依次能被3、4、5 整除．上面我们已经学习了如何利用“整除特征”解决单个数的整除问题．下面我们再来看一看涉及多个数的整除问题应该如何解决．整除问题初步例题3：刘经理给45 名员工发完工资后，将总钱数记在一张纸上．不知为何，记帐的这张纸破了两个洞，上面只剩下“67□8□”，其中方框是破的两个洞．刘经理记得每名员工的工资都一样，并且都是整数元，那么这45 名员工的总工资可能是多少元呢？分析这45 名员工的工资都一样，所以总工资能被45 整除．即67□8□能被45整除．我们没有学过被45 整除的数的特征．但注意到45 5 9 ，于是67□8□应该能同时被5 和9 整除，那么先考虑哪一个数的整除特征比较好呢？随堂练习3：七位数22□333□能被44 整除，那么这个七位数是多少？在例 3 中，我们并不知道45 的整除特征，但是45 5 9 ，能被45 整除的数，也能被 5 和9 整除，那么只需考虑5 和9 的整除特征即可．请同学们注意，虽然45 3 15 ，但是在考虑能否被45 整除时，不能考虑被3 和15整除．你能想明白为什么吗？小幽默——天才未必事事都聪明牛顿小时候的一个故事告诉我们，天才有时也傻乎乎的．一次，粮仓里闹鼠灾了，大人让牛顿在粮仓的门底开一个洞让猫进出．结果他开了两个洞——大的给老猫，小的给小猫．在整除性的问题当中也有类似情况．比如要在200□□的方框中填入两个数字使得这个五位数同时能被 4、5、8 整除，实际根本不用考虑 4，只要考虑 5 和 8 即可，因为能被 8整除的数也必然能被 4 整除．如果你还要再考虑 4 的整除性，那就多此一举了还有一些数的整除特征具有特殊规律．2.三位截断法能被7、11、13 整除的数的特征：“末三位数字组成的数”与“末三位以前的数字组成的数”之差能被7 或11 或13 整除．例如：29071 的末三位是 071，前面是 29．它们的差为71 29 42 ，42 能被 7 整除，所以29071 能被7 整除．而42 不能被13 整除，所以29071 不能被13 整除．例题4：卡莉娅写了一个两位数59，墨莫写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59 与89 之间拼成一个五位数59□89 ，使得这个五位数能被7 整除，那么小高写的数应该是几？分析根据能被7 整除的数的特征：末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之差能被7 整除，我们可以由此将问题简化．五年级上册随堂练习4：五位数73□29 能被13 整除，那么这个五位数除以13 等于多少？例题5：小高写了一个五位数，用方格盖住了两个数字后变成：3□6□5 ，并告诉墨莫说这个五位数既是7 的倍数，又是125 的倍数．那么小高写的五位数可能是多少？分析能被7 整除的数的特征是末三位与末三位以前的数之差也能被7 整除，随堂练习5：如果六位数73□37□既是13 的倍数，又是125 的倍数，那么这个六位数可能是多少？思考题：如果九位数1234□□789 能被99 整除，那么这样的九位数有多少个？本课知识点总结：一、尾数判定法：适用于2、5；4、25；8、125；⋯二、数字和判定法：适用于3、9、99 等．三、奇偶位求差法：适用于11 等．四、三位截断法：适用于7、11、13．课后作业1.（1）四位数7 A2 A 能被5 整除，那么A 可以代表哪个数字？（2）六位数12F 45G 能被8 整除，那么这个六位数最小是多少？2.（1）四位数7BB1 能被9 整除，那么 B代表哪个数字？（2）五位数2D656 能被7 整除，那么 D代表哪个数字？整除问题初步3、萱萱买了14 支铅笔、4 支圆珠笔和7 块橡皮．已知圆珠笔每支售价2 元8 角，橡皮每块售价6 角，售货员让萱萱一共付款12 元5 角，售货员是否算错了呢？4、阿呆买了72 支同样的钢笔，可是发票不慎被水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：□11.4□元（□表示不明数字）．你能帮助阿呆找出不明数字吗？5、现有一个六位数87x32 y （x、y 允许相同）：（1）如果它能同时被5 和11 整除，这个六位数可能是什么？（2）如果它能被56 整除，这个六位数可能是什么？五年级上册。
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（4）已知多位数81
258258...258，能同时被7和13整除，方格内的数字是多少?
33...3，能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？
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第二讲
整除问题进阶
• 数论专题第2讲
知识精讲
上一讲我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用 数字和判断等。
1.尾数判断法
（1）能被2、5整除的数的特性：个位数字能被2、5整除. （2）能被4、25整除的数的特性：末两位能被4、25整除。
89，使得这个五位数能被7整除，请问小高写的是
多少？ 分析：根据能被7整除的数的特征，末三位组成的数与末三位之前的数组成的数之 差能被7整除，我们可以由此将问题简化。
练习三：
四位数57 2，能被7整除，那么这个四位数可能是多少？
例题四：
{
25个5
分析:这个数的位数太多，我们可以想办法使它变得简短一些，因为1001是13的倍 数，而555555、999999分别是555、999与1001的乘积，说明他们都是13的倍数， 那我们是不是可以去掉这个51位数上的一些5和9，并仍然保证它能被13整除？
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25个9
已知51位数 55...5
99...9能被13整除，中间方框内的数字是多少?
练习四：
{
2010个1
{
已知多位数11...1
33...3能被13整除，那么中间方框内的数字是多少？
2010个3
挑战极限 例题五：
有数字6、7、8各两个，要组成能同时被6、7、8整除的六位数。请写出一个满足要 求的六位数。 分析：能被6、7、8整除的数有什么特点呢？最难把握的在于这个六位数能被7整除， 我们应该怎样安排数字才能使得它的前三位与后三位的差能被7整除呢？题目只要 求我们写出一个满足要求的六位数，所以只需要找出一种特殊情况即可。
练习二：
已知八位数，123 678，能被99整除，这个八位数是多少？
知识精讲
二、阶段做差
能被7、11、13整除的数的特征：从个位开始，每三位一截，奇数段之和与偶数 段之和的差能被7、11或13整除。
例题三：
阿呆写了一个两位数59，阿瓜写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59
与89之间，拼成一个五位数59
例题一：
六位数 2008 ，能同时被9和11整除，这个六位数是多少？ 分析：能同时被9和11整除，说明这个6位数能被99整除。想一想，99的整除特性是 什么？
练习一：
四位数 23 ，能同时被9和11整除，这个四位数是多少？
例题二：
已知九位数，1234 789，能被99整除，这个九位数是多少？ 分析：这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数。这个99 的倍数可能是多少呢？
（3）能被8、125整除的数的特性：末三位能被8、125整除。
2.数字求和法 能被3、9整除得数的特性：各位数字之和能被3、9整除。
3.奇偶位求差法
能被11整除的数的特性：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。
现在我们再来学习一些新的判断方法。
知识精讲
一、截断作和
能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的 可以是一位数）之和，能被99整除。
课堂检测
（1）在7315、58674、325702、96723、360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些？ （2）四位数 （3）四位数27 能同时被9和11整除，这个四位数是多少？
33
8能被7整除，那么这个四位数是多少？
2012个258
（5）已知多位数11...1
{ {
2011个1 2011个3
挑战极限 例题六：
有一个五位数，它的末三位为999。如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小 是多少？ 分析：我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘 积，因此不可能根据整除特征来考虑，我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数 能被23整除，就是说，它能写成23与另一个数的乘积，接下来大家想到该怎么办了 吗？