绝对值的性质及运用
初一数学绝对值典型例题精讲
初一数学精讲——绝对值第三讲绝对值绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。
绝对值的定义及性质绝对值简单的绝对值方程化简绝对值式，分类讨论（零点分段法）绝对值几何意义的使用绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。
绝对值的性质：（1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a＞0）（2） |a|= 0 （a=0）（代数意义）-a (a＜0)（3）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0；（4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a，且|a|≥-a；（5）若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义）（6） |ab|=|a|·|b|；|a|a||=（b≠0）； b|b|（7） |a|=|a|=a；（8）|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b| 222第 1 页共 10 页初一数学精讲——绝对值[例1]（1）绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？（2）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（）A.a＜0，b＜0B.a＞0，b＜0C.a＜0，b＞0D.ab＜0（3）下列各组判断中，正确的是（）A．若|a|=b，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a＞bC. 若|a|＞b，则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b，则一定有a=(-b) 22（4）设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？分析：（1）结合数轴画图分析。
绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个（2）答案C不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。
（3）选择D。
（4）根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9[巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？<分析>：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。
数的绝对值知识点
数的绝对值知识点数的绝对值是数学中一个基本的概念，它可以用来表示一个数与零的距离，而不考虑这个数的实际取值是正数还是负数。
在数学中，数的绝对值常常和绝对值函数一起讨论。
本文将介绍数的绝对值的定义、性质以及在不同数学领域中的应用。
一、数的绝对值的定义数的绝对值的定义非常简单，即一个数的绝对值等于这个数的绝对值函数所得到的值。
当一个数为正数或者零时，它的绝对值等于本身；当一个数为负数时，它的绝对值等于它的相反数。
绝对值可以用一个竖线 "|" 来表示。
例如：-5的绝对值为|-5| = 50的绝对值为|0| = 07的绝对值为|7| = 7二、数的绝对值的性质数的绝对值有以下几个基本的性质：1. 非负性：任何一个数的绝对值都是非负数，即对于任意实数x，|x| ≥ 0。
2. 正数的绝对值为本身：对于任意正数x，|x| = x。
3. 负数的绝对值为相反数：对于任意负数x，|x| = -x。
4. 零的绝对值为零：|0| = 0。
5. 三角不等式：对于任意实数x和y，有|xy| = |x| |y|。
三、数的绝对值的应用1. 绝对值的意义：绝对值可以用来衡量一个数与零的距离，而不考虑这个数的符号。
在实际应用中，我们常常使用绝对值来表示误差、距离、温度差等概念。
2. 绝对值的运算：绝对值也可以进行加减乘除运算。
当进行加减运算时，只需考虑数的绝对值，不用考虑它们的符号。
当进行乘除运算时，需要将数的绝对值进行运算，并根据原数的符号来确定结果的符号。
3. 不等式的解：绝对值在不等式的求解中经常出现。
当我们需要求解一个绝对值不等式时，可以将它转化为两个简单的不等式来求解，分别考虑被绝对值函数包围的正负部分。
4. 函数的图像：绝对值函数的图像可以帮助我们更直观地理解绝对值的性质。
绝对值函数的图像是一条以原点为对称中心的折线，当自变量为正数时，函数值等于自变量；当自变量为负数时，函数值等于自变量的相反数。
5. 复数的模：复数的模也是一种绝对值的概念。
绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
绝对值的计算
绝对值的计算绝对值，简称“绝对数”，是数学中常见的概念之一。
它表示一个数与0的距离，无论这个数是正数、负数还是零，其绝对值都是非负数。
在数学运算和问题求解中，绝对值的计算是非常重要的。
本文将介绍绝对值的定义、性质及其在实际生活中的运用。
一、绝对值的定义绝对值的定义非常简单，表示一个数与0的距离。
对于任意一个实数x，它的绝对值可以表示为：| x | =-x， (x < 0)x，(x ≥ 0)这个定义告诉我们，当x为正数或零时，它的绝对值就是它本身；当x为负数时，它的绝对值就是x的相反数。
例如，| 5 | = 5，| -3 | = 3，| 0 | = 0。
二、绝对值的性质1. 非负性质：绝对值是非负数，即对于任意实数x，有| x | ≥ 0。
2. 唯一性质：绝对值是唯一确定的，即对于任意实数x，| x | = |-x |。
3. 三角不等式：对于任意实数x和y，有| x + y | ≤ | x | + | y |。
这条性质在实际问题中经常使用，可以帮助我们简化计算和推导过程。
三、绝对值的运用1. 简化运算：绝对值可以帮助我们简化复杂的运算。
例如，计算 |-3 + 5|，我们可以先计算出-3 + 5的结果为2，再取其绝对值，即 | 2 | = 2。
这样，我们就可以简化计算过程，得到最终结果。
2. 解决不等式：绝对值在不等式的求解中起着重要的作用。
例如，对于不等式 | x - 1 | ≤ 3，我们可以分别考虑两种情况：x - 1 ≥ 0和x - 1< 0。
当x - 1 ≥ 0时，不等式可以化简为 x - 1 ≤ 3，解得x ≤ 4；当x - 1< 0时，不等式可以化简为 -(x - 1) ≤ 3，解得x ≥ -2。
综合两种情况，我们可以得到 -2 ≤ x ≤ 4。
3. 表示数的范围：绝对值可以帮助我们表示一个数的范围。
例如，表示一个数x的绝对值小于等于5的范围可以写成 -5 ≤ x ≤ 5的形式。
绝对值——绝对值的定义及性质PPT授课课件
知3－练
1
15
=
__1_5___，2.5
=
__2_.5__ ，2 3
=
2 __3___ ；
2
－15
=
___1_5__，－2.5
=
_2__.5__ ，－
2
=
2 ___3__ ；
3
3由以上可以看出：当a 是正数时，a ___＞___ 0 ；
当a是负数时，a ___＞____ 0 ；
当a为任意有理数时，a ___≥____ 0 .
数的绝对值为唯一非负数． 用式子表示为：
（a a＞0）；
a
（0 a＝0）；
－（a a＜0）.
感悟新知
知2－讲
特别提醒 绝对值的非负性是绝对值的一个重要性质，即
对于任意有理数a，都有| a | ≥ 0. 1. 当a ≠ 0 时，| a | ＞ 0，当a=0 时，| a |=0. 2. 当| a | ＞ 0 时，a ≠ 0，当| a |=0 时，a=0.
练拔高
1．【大同一中阶段检测】我国的地理位置十分优越，下列说法 不可信的是( B ) A．我国海陆兼备，背靠亚欧大陆，面朝太平洋 B．我国地理位置优越，大部分位于北温带，少部分在寒带 C．我国有着辽阔的海域，便于发展海洋事业和对外贸易 D．我国陆上邻国较多，有漫长的大陆海岸线
【点拨】我国大部分位于北温带，没有地区位于寒带。
感悟新知
知识点 1 绝对值的意义
知1－讲
两辆汽车从同一处O出发，分别向东、西方向行驶 10 km，到达A，B两处(下图).它们的行驶路线相同吗？ 它们的行驶路程相等吗？说说你的想法.
感悟新知
观察下图，回答问题：
知1－讲
大象距原点几 个单位长度?
数的绝对值知识点
数的绝对值知识点在数学中，绝对值是一个重要的概念。
它可以帮助我们计算和描述数的大小，同时也有一些独特的性质和运算规则。
在本文中，我们将探讨数的绝对值的定义、性质以及一些常见应用。
一、绝对值的定义绝对值（也称绝对数）表示一个数离零点（原点）的距离，它忽略了数的正负号。
对于任意实数x，它的绝对值用符号“|x|”表示。
绝对值的计算方法是将给定的数去掉负号，如果该数本身就是正数或零，则绝对值与原数相等；如果该数是负数，则求其相反数作为绝对值。
例如，|-5| = 5，|3| = 3，|0| = 0。
二、绝对值的性质1. 非负性：对于任意实数x，|x| ≥ 0。
2. 保号性：对于任意实数x，如果x > 0，则|x| = x；如果x < 0，则|x| = -x。
3. 三角不等式：对于任意实数x和y，|x + y| ≤ |x| + |y|。
这个性质表示两个数的绝对值之和大于等于它们的和的绝对值。
4. 乘法性质：对于任意实数x和y，|xy| = |x|·|y|。
这个性质表示两个数的乘积的绝对值等于它们的绝对值的乘积。
5. 平方性质：对于任意实数x，|x^2| = x^2。
绝对值具有这些性质，方便我们进行数学计算和推理。
三、绝对值的应用绝对值在我们的日常生活和数学问题中有着广泛的应用。
下面列举几个常见的应用：1. 距离计算：在几何学和物理学中，绝对值可用于计算两个点之间的距离。
通过将点的坐标代入坐标系中，可以得到两点间的横坐标和纵坐标差的绝对值之和，即得到两点间的距离。
2. 不等式求解：对于给定的不等式，绝对值可以帮助我们求解不等式的解集。
通过引入绝对值，可以把复杂的不等式转化为简单的不等式，从而更容易求解。
3. 取模运算：在计算机科学和密码学中，绝对值被广泛用于取模运算。
例如，对于一个整数x，可以利用绝对值计算x对某个正整数n的模。
4. 函数图像分析：绝对值函数y = |x|的图像是一个V字形状的折线，它在x = 0的左右两侧的函数值相等。
绝对值的性质与计算
几何法
定义：绝对值表示距离，即数轴上 两点间的距离
举例：例如 |-3| = 3，|3| = 3， |-5| = 5，|5| = 5
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计算方法：根据数轴上数的位置， 确定绝对值的大小
适用范围：适用于任何实数
三角不等式法
定义：对于任意实数x，有|x| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b| 推导：根据绝对值的三角不等式性质，即|x - a| + |x - b| ≥ |a - b| 应用：在解决绝对值不等式问题时，可以将问题转化为求解两个绝对值不等式的交集问题 举例：对于不等式|x - 3| + |x + 2| ≥ 5，可以通过三角不等式法求解
04 绝对值的应用
在不等式中的应用
绝对值在不等式 中的性质：|x| ≥ 0，|x| = 0当且 仅当x = 0
绝对值在不等式 中的运算规则： |a| ± |b| ≥ |a ± b|
绝对值在不等式 中的性质应用： 利用绝对值的性 质化简不等式
绝对值在不等式 中的运算应用： 利用绝对值的运 算规则求解不等 式
绝对值的性质与计算
XX,a click to unlimited possibilities
汇报人：XX
目录 /目录
01
绝对值的定义
ห้องสมุดไป่ตู้02
绝对值的性质
03
绝对值的计算 方法
04
绝对值的应用
01 绝对值的定义
绝对值的数学定义
绝对值是非负数，即|x| ≥ 0 绝对值的定义：如果x是一个实数，那么|x| = x，当x ≥ 0；|x| = -x， 当x < 0 绝对值的几何意义：表示数轴上某点到原点的距离
绝对值的性质与计算
绝对值的性质与计算绝对值是初中数学中常见的概念之一，它具有一些特殊的性质和计算方法。
在本文中，我将为大家详细介绍绝对值的性质与计算方法，并通过实例进行说明，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这一概念。
一、绝对值的定义与性质绝对值是一个数的非负值，用两个竖线表示。
对于任意实数x，其绝对值记作|x |，表示x到原点的距离。
绝对值有以下几个重要性质：1. 非负性：对于任意实数x，| x | ≥ 0。
2. 正负性：如果x > 0，则| x | = x；如果x < 0，则| x | = -x。
3. 非零性：如果x ≠ 0，则| x | ≠ 0。
4. 三角不等式：对于任意实数x和y，有| x + y | ≤ | x | + | y |。
这些性质是我们理解和运用绝对值的基础，可以帮助我们解决一些数学问题。
二、绝对值的计算方法1. 绝对值的计算：当一个数x不为0时，其绝对值等于x本身；当x为0时，其绝对值为0。
例如，| 5 | = 5，| -3 | = 3，| 0 | = 0。
2. 绝对值的运算法则：（1）绝对值的加法：| x + y | ≤ | x | + | y |。
例如，| 3 + 4 | ≤ | 3 | + | 4 |，即7 ≤ 7。
（2）绝对值的减法：| x - y | ≥ | | x | - | y | |。
例如，| 5 - 2 | ≥ | | 5 | - | 2 | |，即3 ≥ 3。
（3）绝对值的乘法：| x * y | = | x | * | y |。
例如，| 2 * 3 | = | 2 | * | 3 |，即6 = 6。
三、绝对值的应用举例1. 求解绝对值方程：绝对值方程是含有绝对值符号的方程。
例如，| x - 3 | = 5。
我们可以通过以下步骤求解：（1）根据绝对值的定义，将方程分为两个情况：x - 3 = 5 或 x - 3 = -5。
（2）求解两个方程，得到x的值：x = 8 或 x = -2。
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知识精讲
绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.
绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值号.
②一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.
④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a的绝对值：
①
(0)
0(0)
(0)
a a
a a
a a
>
⎧
⎪
==
⎨
⎪-<
⎩
②(0)
(0)
a a
a
a a
≥
⎧
=⎨
-<
⎩
③(0)
(0)
a a
a
a a
>
⎧
=⎨
-≤
⎩
利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.
绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.
例如：若0
a b c
++=，则0
a=，0
b=，0
c=
绝对值的其它重要性质：
（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a
≥，且a a
≥-；（2）若a b
=，则a b
=或a b
=-；
（3）ab a b
=⋅；
a
a
b b
=(0)
b≠；
（4）222
||||
a a a
==；
a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．
a b
-的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】
模块一、绝对值的性质
【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）
A．±2 B．2 C．-2 D．4
绝对值
【例2】下列说法正确的有（ ）
①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．
A ．②④⑤⑥
B ．③⑤
C ．③④⑤
D ．③⑤⑥
【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）
A ．2
B ．-2
C ．±2
D ．1
2±
【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）
A ．11a
B ．-11a
C ．-3a
D ．3a
【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）
A ．1，0
B ．正数
C ．非正数
D ．非负数
【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）
A ．7或-7
B ．7或3
C ．3或-3
D ．-7或-3
【例7】若1-=x x
，则x 是（ ）
A ．正数
B ．负数
C ．非负数
D ．非正数
【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）
A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞a
B ．1+a ＞a ＞1-b ＞-b
C ．1+a ＞1-b ＞a ＞-b
D ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a
【例9】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）
A ．2
B ．2或3
C ．4
D ．2或4
【例10】a ＜0，ab ＜0，计算|b -a +1|-|a -b -5|，结果为（ ）
A ．6
B ．-4
C ．-2a +2b +6
D ．2a-2b-6
【例11】若|x +y |=y -x ，则有（ ）
A ．y ＞0，x ＜0
B ．y ＜0，x ＞0
C ．y ＜0，x ＜0
D ．x =0，y ≥0或y =0，x ≤0
【例12】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y |＞|z |＞|x |，那么|x +z |+|y +z |-|x -y |的值（
） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号
⑤b
+
-
-
-．其中正确的有．（请填写番号）
=
+
b
a
c
b
c
a2
-
模块二 绝对值的非负性 1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0
2. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =
【例1】 若42a b -=-+，则_______a b +=
【巩固】若7322102
m n p ++-
+-=，则23_______p n m +=＋
【例2】()2120a b ++-=，分别求a b ，的值
模块三 零点分段法
1. 零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．
【例1】阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()
0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：
⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+
⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=
⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-
综上讨论，原式()()()
211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥
通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：
（1）别求出2x +和4x -的零点值
（2）化简代数式24x x ++-
【巩固】化简12x x +++
【巩固】化简12
m m m
+-+-的值
【巩固】化简523
x x
++-．
【课堂检测】
1.若a的绝对值是1
2
，则a的值是（）
A．2 B．-2 C．1
2D．1
2
±
2.若|x|=-x，则x一定是（）
A．负数B．负数或零C．零D．正数3.如果|x-1|=1-x，那么（）
A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1D．x≥1
4.若|a-3|=2，则a+3的值为（）
A．5 B．8 C．5或1 D．8或4
【家庭作业】
1.-19的绝对值是________
2.如果|-a|=-a，则a的取值范围是（
A．a＞0 B．a≥0C．a≤0D．a＜0
7.若3230
x y
-++=，则y
x
的值是多少？。