绝对值不等式6个基本公式证明
绝对值不等式的证明及应用
绝对值不等式的证明及应用一、绝对值有关性质回顾：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②ab a b =,aa b b= (0)b ≠ ③22a a =④0a ≥ ⑤a a a -≤≤⑥x a a x a ≤⇔-≤≤ x a x a a ≥⇔≥≤-或 二、绝对值不等式：定理：绝对值三角不等式：a b a b a b-≤±≤+.(代数形式)a b a b a b -≤±≤+(向量形式)几何解释:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(0b a b ab +≤+≥取等号） 证明:方法一：()22+a b a b +≤, 2222+22a ab b a ab b +≤++, 22ab ab ≤,而22ab ab ≤显然成立,∴(0a b a b ab +≤+≥取等号）||||||a b a b +=====+||||||a b a b +===<==+方法二：（选修4-5证法） 当ab ≥0时, ||,ab ab =||,ab ab =-当ab ＜0时综上，a b a b +≤+ 0ab ≥当时，取等号， 方法三：（原人教版教材证法） ∵a a a -≤≤ ① b b b -≤≤ ②①+②：()a b a b a b -+≤+≤+， 逆用性质x a ≤得：a b a b +≤+推论1：123123.......n a a a a a a a +++≤++ ，当123,,,......n a a a a 都非正或都非负时。
a b a b -≤+.证明:方法一:当0a b -<时显然成立,当0a b -≥时，两边平方,()22a b a b-≤+, 222222a ab b a ab b -+≤++, 22ab ab -≤,而22ab ab -≤显然成立,∴a b a b -≤+,(当0ab <时取等号). 方法二:直接利用定理1a ab b a b b a b b =+-≤++-=++.当()()0a b b +-≥时,取等号.即()00a b b ab +≤⇒≤,取等号. 合在一起得:a b a b a b -≤+≤+.(当0ab ≤时左边取等号,当0ab ≥时右边取等号)(当0ab ≥时左边取等号, 当0ab ≤时左边取等号)证明:只需利用已有结论把a b a b a b -≤+≤+中的b 用b -代替即得到定理3.b ac b c -≤-+-证明：a b a c c b a c c b a c b c-=-+-≤-+-=-+-，（当()()0a c c b --≥时，取等号）几何解释：设A ，B ，C 为数轴上的3个点，分别表示数a ，b ，c ，则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ，B 之间时，等号成立。
第一节 绝对值不等式
故原不等式的解集为 {x|x< 1 ∪ } {x| 1 ≤x< 4 ∪ } ∅
＝{x|x< 4 ． }
突 破 点 一 突 破 点 二 课时达标检测
绝对值不等式
结
束
2． 解 不 等 式 x＋|2x＋3|≥2.
3 3 x<－ ， x≥－ ， 2 2 为 解：原 不 等 式 可 化 或 －x－3≥2 3x＋3≥2 . 1 解得 x≤－5 或 x≥－3. 所以原不等式的
绝对值不等式
结
束
选修 4－5 不等式选讲
第一节 绝对不等 式
本节主要包2 括 个知识点： 1.绝 对 值 不 等 式 的 解 法 ； 2.绝 对 值 三 角 不 等 . 式
突
破
点
一
突
破
点
二
课时达标检测
绝对值不等式
结
束
突破点(一)
基础联通
绝对值不等式的解法
抓 主 干 知 识“ 的 源” 与“ 流”
突
破
点
一
突
破
点
二
课时达标检测
绝对值不等式
结
束
考点贯通
抓 高 考 命 题“ 的 形” 与“ 神”
绝对值不等式的解法
[典例]
解下列不等式：
( 1 )x |＋ 2 1－ | 2x | －1 | > 0 . x (2) x＋ | 3－ | |2 x－ 1 | < 2＋1 .
[解]
2
( 1 法一： ) 原不等式可化为|2x＋1 | > x 2－ | 1， | 两边平方
突 破 点 一 突 破 点 二 课时达标检测
绝对值不等式
绝对值不等式公式
绝对值不等式公式绝对值不等式公式是以一元函数形式表示的绝对值的不等式，比如：|x|<a，它描述的是变量x的值范围在-a到a之间，其中a是一个正实数。
本文将主要介绍绝对值不等式公式的性质、表达式、特点及应用。
首先，让我们来看一下绝对值不等式公式的定义和性质：对于任意正实数a和变量x，绝对值不等式公式有如下形式：|x|<a它的性质是，如果一个变量x的值满足这个不等式，则它取值范围为-a到a之间，即：-a<x<a我们也可以将上述不等式的定义和属性表示为等价的函数形式，即：f(x)=|x|<a同时，我们也可以用一个单调函数来表示绝对值不等式公式：g(x)=x+|x|绝对值不等式公式有两个非常明显的特点：一是它表示的范围是一个确定的正实数a；二是它描述的变量x是一个周期函数，边界点为-a和a之间。
绝对值不等式公式应用十分广泛，在数学中，它可以用来描述一个变量的取值范围，例如，我们可以用它来解决有关刻度尺的问题，如果我们想要测量一个物体的长度，我们可以用它来计算长度的精确值。
此外，它还可以用来解决一些复杂的数学问题，例如求解偏微分方程，求解线性规划等。
绝对值不等式公式定义了变量x的有效取值范围，它可以帮助我们解决许多实际问题，并且这种表达式也被广泛应用于工程领域。
举个例子，在机器学习中，绝对值不等式公式可以用来描述模型衰减率的大小。
当模型学习率减小到一定水平时，绝对值不等式公式可以表达模型学习率减小的趋势。
同样，绝对值不等式公式也可以用来描述图像质量，体现图像质量随时间变化的趋势。
总之，绝对值不等式公式具有显著的作用，它可以用来表达变量x的取值范围，可以应用于数学建模和工程设计，也可以应用于机器学习和图像处理等。
尽管它的表达式很简单，但它对我们的生活和工作有很大的帮助。
绝对值不等式性质及公式
|a|-|b|小于等于|a+b|小于等于|a|+|b|
2.|a|＜|b|可逆a&sup2;＜b&sup2;
另外
|a|-|b|小于等于|a+b|小于等于|a|+|b|，当且仅当ab小于等于0时左边等
号成立，ab≥0时右边等号成立。
|a|-|b|小于等于|a-b|小于等于|a|+|b|，当且仅当ab≥0时左边等号成
立，ab小于等于0时右边等号成立。
几何意义
1.当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹙b的距离等于它
们到原点的距离之和。2.当a，b异号时它们பைடு நூலகம்别位于原点的两边，此时a
与﹙b的距离小于它们到原点的距离之和。
(|a+b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离)
绝对值重要不等式
我们知道
|a|={a，(a＞0)，a，（a=0)，﹙a，（a＜0)，}
因此，有
﹙|a|小于等于a小于等于|a|
﹙|b|小于等于b小于等于|b|
同样地
①，②相加得
﹙﹙|a|+|b|)小于等于a+b小于等于|a|+|b|
即|a+b|小于等于|a|+|b|
显而易见，a，b同号或有一个为0时，③式等号成立。
由③可得
|a|=|(a+b)-b|小于等于|a+b|+|-b|，
即|a|-|b|小于等于|a+b|
绝对值不等式性质及公式
绝对值不等式
简介
在不等式应用中，经常涉及重量、面积、体积等，也涉及某些数学对
绝对值不等式
绝对值不等式1、平均值不等式定理1：如果a,b∈R,那么a²+b²≥= 当且仅当当时，等号成立定理2：（基本不等式）如果a,b>0,那么2ba+≥，当且仅当当时，等号成立，即两个正数的算术平方根不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。
定理3：如果a,b,c大于0，那么3cba++≥，当且仅当当时，等号成立，2、绝对值三角不等式：定理1：如果a,b是实数，则|a+b|≤ ,当且仅当当时，等号成立定理2：如果a,b，c是实数，那么 ,当且仅当当时，等号成立3．绝对值不等式的解法(2)|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：①|ax+b|≤c⇔②|ax+b|≥c⇔(3)|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法：三种解法：思考感悟：1．|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？【提示】||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.2．|x－a|±|x－b|表示的几何意义是什么？【提示】|x－a|±|x－b|表示数轴上的点x到点a、b的距离之和(差)．学情自测：1．(教材改编题)设ab>0，下面四个不等式中，正确的是()C①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|.A．①和②B．①和③C．①和④D．②和④∵ab＞0，即a，b同号，则|a＋b|＝|a|＋|b|，∴①④正确，②③错误．2．(2012·韶关质检)不等式|x－2|＞x－2的解集是()AA．(－∞，2) B．(－∞，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)【解析】|x－2|＞x－2同解于x－2＜0，∴x＜2.3．(2011·陕西高考)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．【解析】因为|x＋1|＋|x－2|≥|x＋1－x＋2|＝3，∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3，因此要使原不等式存在实数解，只需|a|≥3，∴a≥3或a≤－3.【答案】(－∞，－3]∪[3，＋∞)4、（2012广州调研）不等式：|2||1|++x x ≥1的实数解为 |2||1|++x x ≥1⇔|x+1|≥|x+2|且x+2≠0,∴x ≤-23且x ≠-2 绝对值不等式性质的应用 ：例题1：(2011·江西高考)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为．【思路点拨】思路一: 将|x －2y ＋1|变形，设法用x －1与y －2表示，利用绝对值不等式的性质求最值； 思路二: 由|x －1|≤1，|y －2|≤1分别求x 、y 的范围，然后运用不等式的性质和绝对值的意义求解．【尝试解答】法一 |x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋2≤1＋2＋2＝5，当且仅当x ＝0，y ＝3时，|x －2y ＋1|取最大值5.法二 ∵|x －1|≤1，∴－1≤x －1≤1，∴0≤x ≤2.又∵|y －2|≤1，∴－1≤y －2≤1，∴1≤y ≤3，从而－6≤－2y ≤－2. 由同向不等式的可加性可得－6≤x －2y ≤0，∴－5≤x －2y ＋1≤1，∴|x －2y ＋1|的最大值为5.规律与方法：1．(1)法一的关键是把|x －2y ＋1|变形为|(x －1)－2(y －2)－2|，进而利用绝对值不等式性质；(2)法二把求|x －2y ＋1|的最大值问题，转化为求x －2y ＋1的取值范围问题．2．(1)利用绝对值不等式性质定理求最值时，要指明取到等号的条件．(2)注意绝对值不等式性质在不等式证明中的放缩应用．变式训练：若f (x )＝x 2－x ＋c (c 为常数)，|x －a |<1，求证：|f (x )－f (a )|<2(1＋|a |)．【证明】 |f (x )－f (a )|＝|(x 2－x ＋c )－(a 2－a ＋c )|＝|x 2－x －a 2＋a |＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a ||x ＋a －1|＝|x －a ||(x －a )＋(2a －1)|，∵|x －a |<1.∴|x －a ||(x －a )＋(2a －1)|<|(x －a )＋(2a －1)|≤|x －a |＋|2a －1|<1＋|2a |＋1＝2(1＋|a |)． ∴不等式|f (x )－f (a )|<2(1＋|a |)成立含绝对值不等式的解法 ：例题2：(1)(2011·江苏高考)解不等式：x ＋|2x －1|＜3.(2)不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集为________．【思路点拨】 (1)将不等式x ＋|2x －1|＜3化成|2x －1|＜3－x 的形式，然后用公式求解．(2)去|x ＋3|与|x －2|的绝对值，按零点分区间讨论．【尝试解答】1） 由x+|2x-1|<3,得|2x-1|<3-x,∴原不等式化为：⎩⎨⎧-<-≥-x x x 312012或⎩⎨⎧-<-<-x x x 321012， 解得：21≤x<34或-2<x<21,∴原不等式的解集是：{x|-2<x<34} 2） ①当x ≥2时，原不等式化为：x+3-(x-2)≥3,此时恒成立，∴x ≥2,②当x ≤-3时，原不等式化为-x-3-(2-x)≥3,无解，③当-3<x<2时，原不等式化为x+3-(2-x)≥3，解得：x ≥1,因此1≤x<2综合①②③可知，原不等式的解集为：{x|x ≥1}1．第(1)问利用绝对值定义，将其转化为与之等价的不等式组是求解的关键；也可利用|f (x )|＜g (x )⇔－g (x )＜f (x )＜g (x )进行转化；第(2)问易错点：(1)分区间去绝对值时忽视零点的值；(2)误求不等式的解集为交集．2．含有两个或两个以上绝对值号的不等式，常用零点分段法脱去绝对值号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)．但一定注意，最终的不等式的解集是各类情形的并集．其操作程序是：找零点、分区间、分段讨论．变式训练：(2011·山东高考)求不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集．【解】法一：当x ≥5时，原不等式为x －5＋x ＋3≥10，∴x ≥6.不等式的解集为{x |x ≥6}． 当－3＜x ＜5时，原不等式化为－x ＋5＋x ＋3≥10,8≥10，此时原不等式无解；当x ≤－3时，原不等式化为－x ＋5－x －3≥10，x ≤－4.∴原不等式的解集为{x |x ≤－4}． 综上所述，原不等式的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．法二 由绝对值的几何意义，|x －5|＋|x ＋3|≥10表示数轴上的点到两点－3,5的距离之和大于等于10的所有的点集．易知点－4和6到两点－3,5的距离之和都等于10，结合数轴知原不等式的解集为{x |x ≥6或x ≤－4}．利用平均值不等式求最值 ：1）若x>0,求函数f(x)=x+24x的最小值； 2）已知x>0,y>0,且x+y=1,求x 4+y 9的最小值 【思路点拨】：1）将f(x)变形为2x +2x +24x，然后用定理3求解 2）注意x+y=1的应用，运用a+b ≥2ab 求最小值【尝试解答】1）∵x>0,∴f(x)= x+24x =2x +2x +24x ≥332422x x x ∙∙=3,当且仅当2x =24x ，即x=2时取等号，∴x=2时，f(x)min =32)∵x>0,y>0,x+y=1,∴x 4+y 9= (x+y)( x 4+y 9)=13+x y 4+y x 9≥13+2yx x y 94∙=25 当且仅当x y 4=yx 9时等号成立 由⎪⎩⎪⎨⎧==+y x x y y x 941且x>0,y>0,得⎪⎩⎪⎨⎧==5352y x ∴当x=52,y=53时取等号，所以x 4+y 9的最小值为25.1．利用平均值不等式求最值，应明确基本不等式成立的条件，“一正、二定、三相等”缺一不可．2．利用不等式求最值时，常利用添项、拆项、配系数，并注意“1”的代换，创造使用均值不等式的条件.变式训练：若0＜x ＜1，则函数f (x )＝x 2(1－x )的最大值是________．【解】∵0<x<1,∴0<1-x<1,f(x)=x ²(1-x)=4•2x •2x •(1-x)≤4•[3)1(22x x x -++]³=274 当且仅当2x =1-x,即x=32时，等号成立，因此f(x)的最大值f(x)max = 274绝对值不等式的综合问题 ：例题4：(2012·佛山质检)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【思路点拨】 (1)由|x －a |≤3求不等式的解集，与已知比较，求参数a 的值；(2)利用绝对值不等式的性质或函数的单调性，求y ＝f (x )＋f (x ＋5)的最小值，得参数不等式求解．1)由f(x)≤3,得|x-a|≤3,解得a-3≤x ≤a+3,又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x ≤5} 所以5313=+-=-⎩⎨⎧a a 解得a=2.2)法一：由1）知a=2,此时f(x)=|x-2|,设g(x)=f(x)+f(x+5)=|x-2|+|x+3|,于是g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤--<-2,1223,53,12-x x x x x 利用g (x )的单调性，易知g (x )的最小值为5.因此g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立， 知实数m 的取值范围是(－∞，5]．法二 当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)得，g (x )的最小值为5. 因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 恒成立， 应有实数m 的取值范围是(－∞，5]．, 规律方法4：1．第(2)问求解的关键是转化为求f (x )＋f (x ＋5)的最小值，法1是运用分类讨论思想，利用函数的单调性；法2是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件)．2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用．变式训练：已知函数f (x )＝|x －3|－2，g (x )＝－|x ＋1|＋4.(1)若函数f (x )的值不大于1，求x 的取值范围；(2)若不等式f (x )－g (x )≥m ＋1的解集为R ，求m 的取值范围．【解】 (1)依题意，f (x )≤1，即|x －3|≤3.∴－3≤x －3≤3，∴0≤x ≤6，因此实数x 的取值范围是[0,6]．(2)f (x )－g (x )＝|x －3|＋|x ＋1|－6≥|(x －3)－(x ＋1)|－6＝－2，∴f (x )－g (x )的最小值为－2， 要使f (x )－g (x )≥m ＋1的解集为R. 应有m ＋1≤－2，∴m ≤－3，故实数m 的取值范围是(－∞，－3].命题透视：从近两年新课标命题看，含绝对值不等式的解法是选考内容4－5考查的热点，难度为中等，2011年高考命题的突出特点是以函数为载体考查绝对值不等式的解法与证明，预计2013年高考将延续这一命题方向．规范解答之二十二 绝对值不等式中逆向问题的正向求解策略例题：(10分)(2011·新课标卷)设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集．(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．规范解答：1） 当a=1时，f(x)≥3x+2,可化为|x-1|≥2,由此可得x ≥3或x ≤-1,故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x ≥3或x ≤-1}因为a>0,所以不等式组的解集为{x|x ≤-2a },由题设可得-2a =-1，故a=2 【解题程序】 第一步：代入a ，求绝对值不等式|x －1|≥2的解集；第二步：化|x －a |＋3x ≤0为不含绝对值的不等式组，并求解集；第三步：与题设比较，得含a 的方程，求出a 值；第四步：检验，查易错点，规范结论．阅卷心悟：易错提示：(1)不知逆向问题求解方法是思维受阻的主要原因．(2)未注意条件a >0，造成两解．防范措施：(1)逆向问题可正向求解，以本题为例，求出不等式的解集后．与已知不等式的解集作比较，便可建立关于a 的方程；(2)本题不等式f (x )≤0解集的端点－1是方程f (x )＝0的解，利用这一点可得一种巧妙解法． 自主体验：1．(2011·广东高考)不等式|x ＋1|－|x －3|≥0的解集是________．【解析】 由|x ＋1|－|x －3|≥0，得|x ＋1|≥|x －3|，平方得(x ＋1)2≥(x －3)2，解之得x ≥1， ∴不等式的解集为{x |x ≥1}．2．(2011·辽宁高考)已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|.(1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集．1）证明：f(x)=|x-2|-|x-5|=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤5352722,3-x x x x ,当2<x<5时，-3<2x-7<3,所以-3≤f(x)≤3 2)由1）可知：当x ≤2时，f(x)≥x ²-8x+15的解集为空集；当2<x<5时，f(x)≥x ²-8x+15的解集为{x|5-3≤x<5}当X ≥5时，f(x)≥x ²-8x+15的解集为{x|5≤x ≤6}综上所述：不等式f(x)≥x ²-8x+15的解集为{x|5-3≤x ≤6}。
高中绝对值不等式
绝对值不等式绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5即函数的最小值是-5，最大值是5＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x［思路］利用｜f(x)｜<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。
解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x )解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12} (2)原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x 即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或2<x <6所以原不等式的解集是{x |2<x <6}1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234x x -≤1解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解.原不等式等价于：x-x 2-2>x 2-3x-4 ①或x-x 2-2<-(x 2-3x-4) ②解①得：1-2<x<1+2解②得：x>-3故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2-x+2｜而x 2-x+2＝(x-14)2+74>0 所以｜x-x 2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.故原不等式等价于x 2-x+2>x 2-3x-4解得：x>-3∴ 原不等式解集为｛x>-3｝（2）分析 不等式可转化为-1≤234x x -≤1求解，但过程较繁，由于不等式234x x -≤1两边均为正，所以可平方后求解. 原不等式等价于2234x x -≤1⇒9x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) ⇒x 4-17x 2+16≥0⇒x 2≤1或x 2≥16⇒-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程. 第2变 含两个绝对值的不等式［变题2］解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。
绝对值不等式课件
时,|a+b|<|a|+|b|,这些都利用了三角形的性质定理,如三角形的两边之
和大于第三边等.
这样处理,可以形象地描绘绝对值三角不等式,更易于记忆和理解
定理.绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式,但放缩的“尺度”
∴ymax=4,ymin=-4.
4, < -1,
方法二:把此函数看作分段函数.∵y=|x-3|-|x+1|= 2-2,-1 ≤ ≤ 3,
-4, > 3,
∴-4≤y≤4.∴ymax=4,ymin=-4.
迁移与应用
如果关于 x 的不等式|x-3|+|x-4|<a 的解集为或两个以上绝对值的代数式,通常利用分段讨论的
方法转化为分段函数,进而利用分段函数的性质解决相应问题.利用含
绝对值不等式的性质定理进行“放缩”,有时也能产生比较好的效果,但
这需要准确地处理“数”的差或和,以达到所需要的结果.
三、绝对值不等式的其他应用
活动与探究
例 3 已知函数 f(x)=x2-x+13,|x-a|<1,求
要仔细把握,如下面的式子:|a|-|b|≤||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,我们常用的
形式是|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,实质上|a+b|是不小于||a|-|b||的,|a|-|b|不
一定是正数,当然这需要对绝对值不等式有更深的理解,从而使放缩的
“尺度”更为准确.
一、利用绝对值三角不等式证明不等式
迁移与应用
已知 f(x)=x2-2x+7,且|x-m|<3,求证:
绝对值不等式公式大全
绝对值不等式公式大全1.，a，≥0：绝对值永远大于等于0。
这是绝对值函数的基本性质，因为绝对值是表示距离的概念，距离不能为负数。
2.，a，>b或，a，≥b：绝对值大于或大于等于一些数的条件。
当a>b时，a，>b成立；当a≥b时，a，≥b成立。
3.，a，<b或，a，≤b：绝对值小于或小于等于一些数的条件。
当-a<b<a时，a，<b成立；当-a≤b≤a时，a，≤b成立。
4.，a，>0：非零数的绝对值大于0。
任何非零实数a的绝对值都大于0，即，a，>0。
5.，a，^2=a^2：绝对值平方等于平方。
对于任意实数a，a，^2与a^2是等价的表达式。
6.，a，^n=a^n：绝对值的n次方等于数的n次方。
对于任意实数a和正整数n，a，^n与a^n是等价的表达式。
7.，a·b，=，a，·，b，：绝对值的乘积等于数的绝对值的乘积。
对于任意实数a和b，a·b，=，a，·，b。
8.，a+b，≤，a，+，b，：绝对值的和小于等于各数绝对值的和。
对于任意实数a和b，a+b，≤，a，+，b。
9.，a-b，≥，a，-，b，：绝对值差大于等于各数绝对值差的绝对值。
对于任意实数a和b，a-b，≥，a，-，b。
10.，a，-，b，≤，a-b，：各数绝对值差的绝对值小于等于绝对值差。
对于任意实数a和b，a，-，b，≤，a-b。
11.，a，+，b，=，a-b，当且仅当a·b≥0：绝对值和等于绝对值差的条件。
对于任意实数a和b，a，+，b，=，a-b，当且仅当a·b≥0。
12.，a，-，b，≥，a+b，-，b-a，：绝对值差的绝对值大于等于绝对值和的绝对值差。
对于任意实数a和b，a，-，b，≥，a+b，-，b-a。
这些绝对值不等式公式可以用来推导、证明或比较方程的解集，帮助我们更好地理解数学问题。
在解决绝对值不等式时，我们可以运用以上公式进行分析和求解，并根据具体问题的特点选择适用的公式。
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绝对值不等式6个基本公式证明
我们来证明绝对值的非负性质：
1. 对于任意实数x，有|x| ≥ 0.
证明：根据绝对值的定义，如果x ≥ 0，则有|x| = x ≥ 0；若x < 0，则有|x| = -x ≥ 0。
无论x的值如何，都有|x| ≥ 0，即绝对值非负。
接下来，我们证明绝对值的不等性质：
2. 对于任意实数x和y，若x ≤ y，则有|x| ≤ |y|.
证明：根据绝对值的定义，如果x ≤ y，则y - x ≥ 0。
而|x| = x 或 -x，|y| = y 或 -y。
分以下两种情况进行讨论：
a. 若x ≥ 0，则|x| = x，|y| = y。
此时有x ≤ y，即y - x ≥ 0。
由于绝对值的非负性质，可以得到|x| = x ≤ y = |y|。
b. 若x < 0，则|x| = -x，|y| = y 或 -y。
此时有y - x ≥ 0，即y ≥ x。
对于|x| = -x和|y| = y有以下子情况：
i. 若y ≥ 0，则|y| = y。
由于 x < 0，所以-x > 0，即 -x > x。
所以，|x| = -x ≤ -x ≤ y = |y|。
ii. 若y < 0，则|y| = -y。
又因为y ≥ x > 0，所以-y ≥ -x > 0。
由绝对值的非负性质，可以得到|x| = -x ≤ -y = |y|。
3. 对于任意实数x和y，有|x + y| ≤ |x| + |y|.
证明：根据绝对值的定义，有以下两种情况进行讨论：
a. 若x + y ≥ 0，则|x + y| = x + y，并且|x| = x，|y| = y。
由于x + y ≥ 0，所以x + y ≤ |x| + |y|。
即|x + y| ≤ |x| + |y|。
b. 若x + y < 0，则|x + y| = -(x + y)，而|x| = -x，|y| = -y。
此时有：
i. 若x ≥ 0且y ≥ 0，则|x + y| = -(x + y) ≤ -x -y = |x| + |y|。
ii. 若x < 0且y < 0，则|x + y| = -(x + y) ≤ -x - y = |x| + |y|。
iii. 若x < 0且y ≥ 0，则|x + y| = -(x + y) ≤ -x + y = |x| + |y|。
iv. 若x ≥ 0且y < 0，则|x + y| = -(x + y) ≤ x - y = |x| + |y|。
4. 对于任意实数x和y，若|x - y| = 0，则x = y。
证明：根据绝对值的定义，有以下两种情况进行讨论：
a. 若x - y ≥ 0，则|x - y| = x - y。
若|x - y| = 0，则 x - y = 0。
解方程得 x = y。
b. 若x - y < 0，则|x - y| = -(x - y) = y - x。
若|x - y| = 0，则y - x = 0。
解方程得 y = x。
5. 对于任意实数x和y，有|x - y| = |y - x|。
证明：根据绝对值的定义，有以下两种情况进行讨论：
a. 若x - y ≥ 0，则|x - y| = x - y。
而y - x = -(x - y) ≤ 0。
由于绝对值的非负性质，即有|x - y| = x - y = |y - x|。
b. 若x - y < 0，则|x - y| = -(x - y) = y - x。
此时有|y - x| = y - x = -(x - y) = |x - y|。
6. 对于任意实数x和y，有|x · y| = |x| · |y|。
证明：根据绝对值的定义，有以下两种情况进行讨论：
a. 若x · y ≥ 0，则|x · y| = x · y，并且|x| = x，|y| = y。
由于x · y ≥ 0，所以x · y = |x| · |y|。
b. 若x · y < 0，则|x · y| = -(x · y)。
而|x| = -x，|y| = -y。
此时有：
i. 若x ≥ 0且y ≥ 0，则|x · y| = -(x · y) = -xy = (-x)(-y) = |x| · |y|。
ii. 若x < 0且y < 0，则|x · y| = -(x · y) = xy = (-x)(-y) = |x| · |y|。
iii. 若x < 0且y ≥ 0，则|x · y| = -(x · y) = -xy = |x| · |y|。
iv. 若x ≥ 0且y < 0，则|x · y| = -(x · y) = -xy = |x| · |y|。
以上是绝对值不等式的六个基本公式的证明，它们是绝对值不等式的基础，可以应用于更复杂的不等式证明。