绝对值的非负性及其应用
绝对值的十一种常见特性
绝对值的十一种常见特性
绝对值是一个常见且基本的数学概念，用于计算任意实数的非负值。
下面是绝对值的十一种常见特性：
1. 非负性：绝对值永远是非负数，即绝对值大于等于0。
2. 自反性：任何数的绝对值等于它本身，即绝对值的绝对值等于原数。
3. 三角不等式：对于任意两个实数a和b，绝对值的和大于等于它们的绝对值之和，即|a + b| ≥ |a| + |b|。
4. 乘法特性1：对于任意实数a和b，它们的绝对值的乘积等于它们的乘积的绝对值，即|a * b| = |a| * |b|。
5. 乘法特性2：对于任意实数a，它的绝对值的n次方等于它的n次方的绝对值，即|a^n| = |a|^n。
6. 分段函数特性：对于任意实数a，分段函数f(x) = |a - x|在x = a处不可导，其导数在x < a处为-1，在x > a处为1。
7. 不等式特性：对于任意实数a和b，当且仅当a等于b或-b 时，才有|a| = |b|。
8. 逆元素：对于任意实数a，它的绝对值和它的相反数具有相同的绝对值，即|a| = |-a|。
9. 无曲率特性：绝对值函数f(x) = |x|在x = 0处没有曲率，即其曲率为0。
10.极值特性：绝对值函数f(x) = |x|在x = 0处达到最小值0，但没有最大值。
11.导数特性：绝对值函数f(x) = |x|在x = 0处没有导数，但在其他点有导数。
这些都是绝对值的常见特性，对于理解和应用绝对值函数具有重要的意义。
高考数学中绝对值函数的性质与应用
高考数学中绝对值函数的性质与应用在高考数学中，绝对值函数是一道经典的数学题型，也是许多同学所困扰的难点，今天我来为大家详细讲解绝对值函数的性质与应用。
一、绝对值函数的定义绝对值函数就是一个把自变量转变符号的函数，一般表示为|f(x)|，其中x为自变量，f(x)为函数。
我们可以对绝对值函数进行分类讨论：1.当x>0时，|x| = x；2.当x<0时，|x| = −x；3.当x=0时，|x| = 0。
二、绝对值函数的性质1.非负性：|x|≥0，即绝对值不会小于0。
2.同号性：|ab|=|a|·|b|，当且仅当a和b同号时，成立。
3.三角不等式：|a+b|≤|a|+|b|，a、b为任意实数。
三、绝对值函数的应用现在我们来看几个具体的例子。
1.绝对值函数的应用于解方程首先我们来看一个简单的例子：|x−3|=5，我们需要解出x的值。
首先我们可以根据绝对值的两种情况对原式进行分类讨论：①当x−3≥0时，|x−3|=x−3，则原式变成x−3=5。
解得：x=8②当x−3<0时，|x−3|=−(x−3)，则原式变成−(x−3)=5。
解得：x=−2因此绝对值方程的解法就是把绝对值函数拆分成两条方程，然后求解。
2.绝对值函数的应用于证明不等式题目：设a，b为正实数，证明：(a+b)²≥4ab。
解析：我们先来试着将(a+b)²拆开，得到：(a+b)²= a²+2ab+b²又因为x²≥0，所以a²+b²≥2ab。
将此代入(a+b)²= a²+2ab+b²中，得(a+b)²= (a²+b²)+2ab ≥4ab3.绝对值函数的应用于优化问题考虑一个面积固定的长方形，现在把它分成两个相等的正方形，求它的周长的最小值。
解析：设长为x，宽为y，面积为xy，由题目可知x²=2xy，可得到y=x/2。
绝对值的计算
绝对值的计算绝对值，简称“绝对数”，是数学中常见的概念之一。
它表示一个数与0的距离，无论这个数是正数、负数还是零，其绝对值都是非负数。
在数学运算和问题求解中，绝对值的计算是非常重要的。
本文将介绍绝对值的定义、性质及其在实际生活中的运用。
一、绝对值的定义绝对值的定义非常简单，表示一个数与0的距离。
对于任意一个实数x，它的绝对值可以表示为：| x | =-x， (x < 0)x，(x ≥ 0)这个定义告诉我们，当x为正数或零时，它的绝对值就是它本身；当x为负数时，它的绝对值就是x的相反数。
例如，| 5 | = 5，| -3 | = 3，| 0 | = 0。
二、绝对值的性质1. 非负性质：绝对值是非负数，即对于任意实数x，有| x | ≥ 0。
2. 唯一性质：绝对值是唯一确定的，即对于任意实数x，| x | = |-x |。
3. 三角不等式：对于任意实数x和y，有| x + y | ≤ | x | + | y |。
这条性质在实际问题中经常使用，可以帮助我们简化计算和推导过程。
三、绝对值的运用1. 简化运算：绝对值可以帮助我们简化复杂的运算。
例如，计算 |-3 + 5|，我们可以先计算出-3 + 5的结果为2，再取其绝对值，即 | 2 | = 2。
这样，我们就可以简化计算过程，得到最终结果。
2. 解决不等式：绝对值在不等式的求解中起着重要的作用。
例如，对于不等式 | x - 1 | ≤ 3，我们可以分别考虑两种情况：x - 1 ≥ 0和x - 1< 0。
当x - 1 ≥ 0时，不等式可以化简为 x - 1 ≤ 3，解得x ≤ 4；当x - 1< 0时，不等式可以化简为 -(x - 1) ≤ 3，解得x ≥ -2。
综合两种情况，我们可以得到 -2 ≤ x ≤ 4。
3. 表示数的范围：绝对值可以帮助我们表示一个数的范围。
例如，表示一个数x的绝对值小于等于5的范围可以写成 -5 ≤ x ≤ 5的形式。
绝对值的性质及运用方法
绝对值的性质及运用方法绝对值是我们在数学中经常遇到的一个概念。
它代表了一个数与零的距离，无论这个数是正数还是负数。
在数学中，绝对值的性质和运用方法是非常重要的，它们可以帮助我们解决各种问题。
首先，让我们来讨论绝对值的性质。
绝对值的定义很简单，对于任意实数x，其绝对值记作| x |，它的值可以表示为以下两种情况：当x≥0时，| x | = x；当x<0时，| x | = -x。
这意味着无论x是正数还是负数，它的绝对值都是非负数。
绝对值有一些重要的性质。
首先，绝对值的非负性质指的是绝对值永远大于等于零，即| x | ≥ 0。
其次，绝对值的零性质指的是当且仅当x等于零时，| x | 等于零，即| 0 | = 0。
最后，绝对值的可加性质指的是对于任意实数x和y，| x + y | ≤ | x | + |y |。
这个性质可以帮助我们解决一些复杂的绝对值问题，例如求解绝对值不等式。
接下来，让我们探讨绝对值的运用方法。
绝对值在数学中有许多实际的应用。
首先，它可以用来表示距离。
例如，当我们要计算两个点之间的距离时，可以使用绝对值。
假设有两个点A和B，它们的横坐标分别为x1和x2，纵坐标分别为y1和y2，那么这两个点之间的距离可以表示为√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。
在这个公式中，我们需要计算两个坐标差的平方和，而绝对值正是用来确保差的平方和是非负的。
其次，绝对值可以用来表示误差。
例如，在实验中，我们经常需要计算测量值与真实值之间的误差。
假设我们测量得到的值为x，真实值为y，那么误差可以表示为| x - y |。
通过计算绝对值，我们可以得到一个非负的误差值，这样可以更好地评估我们的测量准确性。
此外，绝对值还可以用来解决一些实际问题。
例如，在生活中，我们经常会遇到金融问题，如计算利润或损失。
假设我们的初始投资为x，最终收益为y，那么我们可以使用绝对值来表示利润或损失的大小，即| y - x |。
中考数学题型之利用绝对值、平方、算术平方根的非负性求值
）.
A. -1
B. 1
C. 22021
D. — 22021
解析：∵ 3a b和 a 2b 7 互为相反数
∴ 3a b a 2b 7 0
3a b 0
a 1
∴
a
2b
7
0
，解之得
b
3
第2页共5页
∴ a b 2021 1 3 2021 2 2021 22021
三、算术平方根非负性的应用
（5）设 a1, a2 ,, an 为实数，若 a1 a2 an 0 ，则 a1 a2 an 0 。 （6）设 A1, A2 ,, An 为代数式，若 A1 A2 An 0 ，则 A1 0, A2 0,, An 0 。
例 3. 若 3a b和 a 2b 7 互为相反数 ，那么 a b 2021 （
例 4. 若 a b 5 2a b 1 0 ，则 b a 2021 （
）.
A. -1
B. 1
C. 52021
D. 52021
解析：根据 a b 5 2a b 1 0 ，可知
a b 5 0
a 2
2a b 1 0 ，∴ b 3
∴ b a 2021 3 2 2021 1
∴ 4x y 4x 2 2 y 5 2 3 11
变式 11. 若
，则 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式 12. 如果
+│b-2│=0，求以 a、b 为边长的等腰三角形的周长.
第4页共5页
绝对值、平方值与二次根式非负性综合运用
例 7. 已知： x y 3 、 2z x2 、 x 2 y 两两互为相反数，求 x 2 y z 2020 的平方
即 x 2 y z2020 的平方根为±1
绝对值的运算公式
绝对值的运算公式绝对值在数学中是一个常见的概念，表示一个数与0之间的距离。
绝对值的运算公式可以用来计算一个数的绝对值。
下面我们来详细介绍绝对值的运算公式及其应用。
一、绝对值的定义绝对值是一个非负数，它表示一个数到0的距离。
对于任意实数x，其绝对值记作|x|，定义如下：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。
二、绝对值的运算公式绝对值的运算公式主要包括以下三种情况：1. 若x≥0，则|x|=x。
当一个数x大于或等于0时，它的绝对值就等于它本身。
例如，|3|=3，|7|=7。
2. 若x<0，则|x|=-x。
当一个数x小于0时，它的绝对值等于它的相反数。
例如，|-4|=4，|-9|=9。
3. 绝对值的性质：（1）|x|≥0，绝对值是一个非负数。
（2）若x≥0，则|x|^2=x^2；若x<0，则|x|^2=(-x)^2。
（3）若x>0，则1/x=1/|x|。
（4）若x>0，则x=|x|；若x<0，则-x=|x|。
三、绝对值的应用1. 数轴上的绝对值绝对值可以用来计算一个数在数轴上的位置。
例如，对于数轴上的点A和点B，它们的坐标分别为x和-x，那么点A和点B的距离是相同的，即|A|=|B|。
2. 解绝对值方程解绝对值方程是指求出满足方程|f(x)|=a的所有解x的值。
其中，a 为非负实数。
解绝对值方程的关键是根据绝对值的定义，将方程拆分为正负两种情况进行求解。
3. 求绝对值函数的图像绝对值函数是指y=|f(x)|形式的函数，它的图像是一条折线。
根据绝对值的定义，当x≥0时，y=f(x)；当x<0时，y=-f(x)。
因此，绝对值函数的图像在x=0处有一个转折点。
4. 求绝对值的和、差、积绝对值的运算公式可以用于计算绝对值的和、差、积。
例如，|a+b|=|a|+|b|，|a-b|=|a|-|b|，|ab|=|a|*|b|。
绝对值的运算公式是一个重要的数学工具，它能够帮助我们计算数的绝对值，解决各种数学问题。
七年级下数学绝对值知识点
七年级下数学绝对值知识点数学中经常会用到绝对值这个概念，它可以将一个数的大小转化为一个非负数。
在七年级下学期的数学中，同学们将深入学习绝对值及其在不同领域中的应用，下面我们就来一一介绍。
一、绝对值的定义在数轴上，点A与原点之间的距离叫做点A的绝对值。
常用符号“| |”表示，如|x|表示x的绝对值。
二、绝对值的性质1.非负性：对于任何实数x，|x|≥0。
2.正定性：当且仅当x=0时，|x|=0；当x≠0时，|x|>0。
3.对称性：对于任何实数x，|x|=|-x|。
4.三角不等式：对于任何实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|。
三、绝对值在代数中的应用1.绝对值的大小比较：对于任何实数a和b，如果|a|>|b|，则a 的大小比b的大小大。
2.解不等式：绝对值可以用来解一元一次不等式。
如|x-2|<3，等价于-3<x-2<3，解得-1<x<5。
3.求模：绝对值可以用来求一个数的模，如固定a是正数，a-b 和a+b的较小值就是|a-b|，较大值就是a+b。
4.求距离：绝对值可以用来求两点之间的距离，如平面上的点A(x1,y1)和点B(x2,y2)之间的距离为|AB|=√(x2-x1)²+(y2-y1)²。
四、绝对值在几何中的应用1.绝对值可以用来表示一个数到原点的距离。
2.绝对值可以用来表示一个数到某一点的距离，例如直线上的点P到点A的距离为|PA|。
3.绝对值可以用来求线段的中点，例如求线段AB的中点C，就有AC=BC，即|AC|=|BC|。
五、绝对值在实际问题中的应用1.绝对值可以用来表示温差，例如今天的温度是10℃，明天变为15℃，温差的绝对值为5℃。
2.绝对值可以用来表示误差，例如A和B两个人的身高分别为1.68米和1.62米，差的绝对值为0.06米，也就是说A的身高比B 的高0.06米。
3.绝对值可以用来表示利润或亏损，例如某商店一件货物的标价是300元，但实际售价只有280元，因此商家的亏损为20元，也就是|20|元。
绝对值的性质与计算
绝对值的性质与计算绝对值是数学中的一种运算符号，它表示一个数与零的距离。
绝对值不仅有着独特的性质，而且在实际计算中也有广泛的应用。
本文将探讨绝对值的性质以及如何进行绝对值的计算。
一、绝对值的性质绝对值有三个主要的性质，它们是：1. 非负性：任何数的绝对值都不会小于零。
无论是正数、负数还是零，它们的绝对值都是非负数。
这是因为绝对值代表距离，而距离不会是负数。
2. 正数的绝对值：正数的绝对值等于它本身。
例如，|3|等于3，|7|等于7。
因为正数到零的距离就是这个正数本身。
3. 负数的绝对值：负数的绝对值等于它的相反数。
例如，|-4|等于4，|-9|等于9。
这是因为负数到零的距离与它的相反数到零的距离相等。
二、绝对值的计算在进行绝对值的计算时，可以根据绝对值的性质进行简化。
下面是一些常见的绝对值计算方法：1. 对于给定的数x，如果x是非负数或者零，那么|x|就等于x本身。
例如，|3|等于3，|7|等于7，|0|等于0。
2. 对于给定的数x，如果x是负数，那么|x|就等于x的相反数。
例如，|-4|等于4，|-9|等于9。
3. 在一些复杂的数学表达式中，可以利用绝对值的性质来简化计算。
例如，计算|3-8|，可以先计算3-8的结果为-5，然后再取它的绝对值，结果为5。
4. 在绝对值的计算中，也可以利用等式来简化计算。
例如，|x| = x或者 |x| = -x，具体取决于x是非负数还是负数。
5. 绝对值还可以与其他运算符一起使用，比如加法、减法、乘法、除法。
例如，|2+3|等于|5|等于5，|2-3|等于|-1|等于1，|2*3|等于|6|等于6。
绝对值的计算方法因具体情况而异，我们需要根据题目要求来灵活运用，以求得正确的结果。
综上所述，绝对值具有非负性、正数的绝对值等于本身、负数的绝对值等于相反数这三个性质。
在进行绝对值的计算时，可以根据数的正负性进行简化，利用绝对值的性质得到准确的结果。
绝对值在数学中有着广泛的应用，同时也是解决实际问题中不可或缺的工具之一。
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一、绝对值的非负性及其应用
引例：(教材17页作业题A组3题)
例题：下面的说法对吗如果不对，应如何改正
(1)一个数的绝对值一定是正数；
(2)一个数的绝对值不可能是负数；
(3)绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数．
知识点归纳：
1、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．
绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．
结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．
2、绝对值是非负数
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即任何一个实数的绝对值是非负数
例题讲解
例1、a，b为实数，下列各式对吗若不对，应附加什么条件请写在题后的横线上。
(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；；
(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；；
(3)｜a-b｜=｜b-a｜；；
(4)若｜a｜=b，则a=b；；
（5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；；
(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜，。
例2? 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于
（? ）．
（A） ? （B） ? （C） ? （D）
归纳点评? 这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清：
1．零点的左边都是负数，右边都是正数．
2．右边点表示的数总大于左边点表示的数．
3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了．
练习：设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．例3：│a│+ │b│=0，求a，b的值。
变式：│a│+ │b│+ │c│=0，求a，b，c 的值。
例4：│a－2│+ │b+3│=0,求a，b的值.
变式练习：
11、任何一个有理数的绝对值一定(D)
A．大于0 B．小于0 C．不大于0 D．不小于0
2已知a为有理数，则下列四个数中一定为非负有理数的是
(C)
A．a B．－a C．|－a | D．－|－a | 3若|x|－|y|＝0，则(D)
A．x＝y B．x＝－y
C．x＝y＝0 D．x＝y或x＝－y
变式训练4对于任意有理数a，下列各式一定成立的是(C)
A．a＞| a | B．a＞|－a | C．a≥－| a | D．a＜| a |
变式训练5若| a |＋|b|＝0，则a与b的大小关系是(A)
A．a＝b＝0 B．a与b互为相反数
C．a与b异号D．a与b不相等
变式训练6若x是有理数，则|x|＋1一定(C)
A．等于1 B．大于1 C．不小于1 D．不大于1
变式训练7如果一个有理数的绝对值等于它的相反数．那么这个数一定是
(B)
A．负数B．负数或零C．正数或零D．正数
变式训练8已知：|2x－3|＋|y＋2|＝0，比较x，y的大小关系，正确的一组是
(B)
A．x＜y B．x＞y
C．x＝y D．与x，y的取值有关，无法比较
变式训练9式子| x－1|＋2取最小值时，x等于(B)
A．0 B．1 C．2 D．3
变式训练10如果|a|＝4，那么a＝__±4__；如果|x|＝|－2.5|，则x＝__±2.5__；若| a－2|＋|b＋5|＝0，则a－b＝__7__．
变式训练11若|a－1|＝－| b＋1|，则－4a b＝__4__．
变式训练12用字母a表示一个有理数，则|a|一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以|a|的最小值为0，而－|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以－|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题：
(1)| a|＋1有最__小__值__1__；
(2)5－|a|有最__大__值__5__；
(3)当a的值为__1__时，|a－1|＋2有最__小__值__2__；
(4)若|a＋2|＋| b－1|＝0，则a b＝__－2__．
变式训练13任意有理数a，式子1－|a|，|a＋1|，|－a|＋|a|，|a|＋1中，值不能为0的是(D)
A．1－|a| B．|a＋1| C．|－a|＋|a| D．|a|＋1
变式训练14满足|a－b |＋a b＝1的非负整数(a，b)的个数是(C)
A．1 B．2 C．3 D．4
变式训练15不论a取什么值，代数式－|a|－2的值总是(B)
A．正数B．负数C．非负数D．不能确定
变式训练16若－|m－n|有最大值，则m与n的关系是__ m＝n__．
变式训练17当式子|x－1|＋| x－2|＋| x－3|＋…＋| x－1997|取得最小值时，实数x的值等于(A)
A．999 B．998 C．1997 D．0
变式训练18已知：|a＋3|＋|b－2|＝0，求a＋b的值．
变式训练19若|2x－4|与|y－3|互为相反数，求2 x－y的值．
解：根据题意得，|2 x－4|＋|y－3|＝0，
∴2 x－4＝0，y－3＝0，
解得x＝2，y＝3，
∴2 x－y＝2×2－3＝4－3＝1.
【方法点拨】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出x，y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
变式训练20若a，b，c都是有理数，且|a－1|＋|b＋2|＋|c－4|＝0，求a＋|b|＋c的值．变式训练21已知|2a－6|与|b＋2|互为相反数．
(1)求a，b的值；
(2)求a－b，ab的值．
变式训练22(1)对于式子|x|＋13，当x等于什么值时，有最小值最小值是多少
(2)对于式子2－|x|，当x等于什么值时，有最大值最大值是多少。