(02199)复变函数与积分变换A
复变函数与积分变换全教程绝对完整经典考试复习必备
4月全国自考复变函数与积分变换试题及答案解析
1全国2018年4月自学考试复变函数与积分变换试题课程代码：02199一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.arg(-1+i 3)=( ) A.-3π B.3π C.π23 D.π23+2n π 2.w =|z |2在z =0( ) A.不连续 B.可导 C.不可导D.解析3.设z =x +iy ，则下列函数为解析函数的是( ) A.f (z )=x 2-y 2+i 2xy B.f (z )=x -iy C.f (z )=x +i 2yD.f (z )=2x +iy4.设C 为由z =-1到z =l 的上半圆周|z |=1，则⎰Cz z d ||=( )A.2πiB.0C.1D.25.设C 为正向圆周|z |=1，则⎰-Cz z z)2(d =( )A.-πiB.0C.πiD.2πi6.设C 为正向圆周|z |=2，则⎰-Ciz i z z e 3)(d z =( )A.0B.e -1C.2πiD.-πe -1i2 7.z =0是3sin z z 的极点，其阶数为( )A.1B.2C.3D.48.以z=0为本性奇点的函数是( ) A.zzsin B.2)1(1-z zC.z1eD.1e 1-z9.设f (z )的罗朗展开式为-11)1(22---z z +(z -1)+2(z -l)2+…+n (z -1)n +…则Res[f (z ),1]=( ) A.-2 B.-1C.1D.2 10.设z =a 为解析函数f (z )的m 阶零点，则函数)()(z f z f '在z =a 的留数为( )A.-mB.-m +lC.m -1D.m二、填空题(本大题共6小题，每小题2分,共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.|z -i |=|z -1|的图形是_______________. 12.设z =i i ，则Im z =_______________.13.设C 为由点z =-l-i 到点z =l+i 的直线段，则⎰Cz 3 d z =_______________.14.设C 是顶点为z=±21,z=±i 56的菱形的正向边界，则⎰-Ciz e 2dz=______________. 15.设C 为正向圆周|z|=1，则⎰Cz cos z d z =_________.16.函数21-z 在点z =4的泰勒级数的收敛半径为_________. 三、计算题（本大题共8小题，共52分） 17.设z =x +iy ,求复数11+-z z 的实部与虚部.（6分） 18.求复数i 8-4i 25+i 的模.(6分)19.求f (z )=(z -1)2e z 在z =1的泰勒展开式.(6分)3 20.求f (z )=)2)(1(2--z z 在圆环域1<|z|<2内的罗朗展开式.(6分)21.求解方程cos z =2.（7分）22.设z =x +iy ,试证v (x ,y )=x 2+2xy -y 2为调和函数，并求解析函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y ).(7分) 23.设C 为正向圆周|z-2|=1,求⎰-Cz z z 2)2(e d z .(7分)24.设C 为正向圆周|z|=1，求⎰Cz1sind z .(7分) 四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。
复变函数与积分变换复数与复变函数PPT课件
将它们代入所给的直线方程ax+bx=c，有
化简得
记α=a+ib，β=2c，便得结论.
（3）方程|z-i|=|z+2i|表示到点i和-2i的距离相等的点z的轨迹，
即连接复数i和-2i的线段的垂直平分线.
(4) 方程
表示一个圆周.
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1.1.5无穷远点与扩充复平面 取一个与 相切于坐标原点O的球面S. 过O作与复平面相垂直的直线，该直线 与球面S交于另一点N，O和N分别称为 球面的南极和北极（图1.7）.
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1.1.1复数域 形如
1.1复数
的数称为复数，其中x和y是任意的实数，分别称为复数z的实部与虚
部，记作x=Re z，y=lm z；而i(也可记为 )称为纯虚数单位.
当Im z=0时，z=Re z可视为实数；而当Re z=0,Im z≠0时，z称
为纯虚数；特别地，当Re z=Im z=0时，记z=0+i0=0.
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1.1.2复平面、复数的模与辐角 由于一个复数z=x+iy可以由有序实数对(x,y)唯一确定，而有序实 数对(x,y)与平面直角坐标系xOy中的点一一对应，因此可以用坐标 为(x,y)的点P来表示复数z=x+iy (图1.1)，此时x轴上的点与实数 对应，称x轴为实轴，y轴上的点（除原点外）与纯虚数对应，称y轴 为虚轴.像这样表示复数的平面称为复平面，或按照表示复数的字母 是z,w,…,而称为z平面、w平面，等等.
图1.5
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例1.5设n为自然数，证明等式
证明令
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1.1.4共轭复数 设复数z=x+iy，称复数x-iy为z的共轭复数，记为 于实轴对称的（图1.6）. 由定义，容易验证下列关系成立：
复变函数与积分变换课件
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案详解(可打印修改)
给出 C-R 条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。
（2）．计算
C
(z
ez 1)2
z
dz
其中
C
是正向圆周：
解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算， 仅给出用前者计算过程
因为函数
f
(z)
(z
ez 1)2
z
在复平面内只有两个奇点
z1
0, z 2
1，分别以
z15
（3）．
dz
z 3 (1 z 2 )2 (2 z 4 )3
解：设 f (z) 在有限复平面内所有奇点均在： z 3 内，由留数定理
z15
dz 2i Re s[ f (z), ]
z 3 (1 z 2 )2 (2 z 4 )3
-----（5 分）
2i Re s[ f (1) 1 ] z z2
f (1) 1
( 1 )15 z
1
z z 2 (1 1 )2 (2 (1 )4 )3 z 2
z2
z
----（8 分）
1 f( )
1
1
有唯一的孤立奇点z 0,
z z 2 z(1 z 2 )2 (2z 4 1)3
lim lim Re s[ f
1 ()
1
,0]
1 zf ( )
1
1
1
z z2
z 0
（4） z 2,3,4L ，为f (z)的三级极点；
：
f
(z)
z(z2
1)(z 2)3 (z (sin z)3
3)2
的奇点为z
k, k
0,1,2,3,L
，
（1） z k,k 0,1,2,3,L 。。 sinz。 3 0。。。。。。
10月自考复变函数与积分变换(02199)试题及答案解析与评分标准
广告文案
很多企业中，都有了的专职的文案人员，只有当需要搞一些大型推广活动、做商业策划案、写可行性分析报告等需求量大的项目时，才需要对外寻求合作。以往一般企业都会找广告、文化传媒等公司合作。这些公司一般都有专业的文案、设计团队，经验也相对丰富，但因为业务量大，范围广泛，在针对性方面会较为薄弱。随着社会经济不断发展，对专业文案的要求更加严格，逐渐衍生了一些专注于文字服务的文案策划公司。这类企业发展速度很快，大多数都是从工作室形式转型而来，也有从文化传播机构独立出来的。
文案来源于广告行业，是"广告文案"的简称，由copy writer翻译而来。多指以语辞进行广告信息内容表现的形式，有广义和狭义之分，广义的广告文案包括标题、正文、口号的撰写和对广告形象的选择搭配;狭义的广告文案包括标题、正文、口号的撰写。
在中国，由于各个行业发展都相对不够成熟，人员素质也参差不齐，这使得"文案"的概念常常被错误引用和理解。最典型的就是把文案等同于"策划"，其实这是两种差别很大，有着本质区别的工作。只是由于文案人员常常需要和策划人员、设计人员配合工作，且策划人员也需要撰写一些方案，这使得很多人误认为文案和策划就是一回事，甚至常常把策划与文案的工作会混淆在一起(这也和发源于中国的"策划学"发展不够成熟有关)。
折叠编辑本段主要工作
撰写报纸广告、杂志广告、海报;撰写企业样本、品牌样本、产品目录;撰写日常宣传文案白领一族
文案白领一族
单页、各类宣传小册子;撰写DM直邮广告，包括信封、邮件正文;撰写电视广告脚本，包括分镜头、旁白、字幕;撰写电视专题片脚本;撰写电视广告的拍摄清单;撰写广播广告;将海外版广告文案作汉化(翻译);撰写广告歌词，或汉化(翻译)外文歌词;撰写各种形式的网络广告;为网站栏目命名;撰写网站内部文案;撰写手机短信广告;撰写各类广告作品的创意阐述;撰写广告口号;撰写产品包装文案，包括:品牌名、使用说明、产品成分等;为产品或品牌命名，并作创意阐述;为路演或活动命名，并作创意阐述;撰写活动请柬及活动现场宣传品上的文字;为各种礼品命名，并作创意阐述;为专卖店命名，并作创意阐述;撰写商店的橱窗或店内POP物料文案;撰写软文、新闻式、故事式、评论式;撰写策划书，或协助策划人员优化、润色方案文字;协助客户企业内刊的编辑，提供主题方向，审核文字。不同的环境对文案撰稿人有着不同的锤炼和要求。
全国2002年4月高等教育自学考试 复变函数与积分变换试题 课程代码02199
全国2002年4月高等教育自学考试复变函数与积分变换试题课程代码：02199第一部分 选择题 (共40分)一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.复数z=1625825-i 的辐角为（ ） A.arctan 12B.-arctan12 C.π-arctan 12D. π+arctan122.方程Rez 2=1所表示的平面曲线为（ ） A.圆 B.直线 C.椭圆 D.双曲线3.复数z=--355(cossin )ππi 的三角表示式为（ ） A.-+34545(cos sin )ππi B.34545(cos sin )ππ-i C. 34545(cos sin )ππ+iD.--34545(cos sin )ππi4.设z=cosi ，则（ ） A.Imz=0B.Rez=πC.|z|=0D.argz=π 5.复数e 3+i 所对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限6.设w=Ln(1-i)，则Imw 等于（ ） A.-π4B.2401k k ππ-=±⋅⋅⋅,,, C.π4D.2401k k ππ+=±⋅⋅⋅,,, 7.函数w=z 2把Z 平面上的扇形区域：0<argz<π3，0<|z|<2映射成W 平面上的区域（ ） A.0<argw<23π，0<|w|<4 B.0<argw<π3，0<|w|<4 C.0<argw<23π，0<|w|<2D.0<argw<π3，0<|w|<2 8.若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分f z z a dz n C ()()-+⎰1等于（ ）A.211πin f a n ()!()()++ B.2πin f a !()C.2πif a n ()()D.2πi n f a n !()()9.设C 为正向圆周|z+1|=2，n 为正整数，则积分dz z i n C()-+⎰1等于（ ）A.1B.2πiC.0D.12πi10.设C 为正向圆周|z|=1，则积分dzz C ||⎰等于（ ） A.0 B.2πi C.2πD.-2π11.设函数f z e d z()=⎰ξξξ0，则f(z)等于（ ）A.ze z +e z +1B.ze z +e z -1C.-ze z +e z -1D.ze z -e z +112.设积分路线C 是由点z=-1到z=1的上半单位圆周，则z z dz C +⎰12等于（ ）A.2+πiB.2-πiC.--2πiD.-+2πi13.幂级数z n n n -=∞∑11!的收敛区域为（ ） A.0<|z|<+∞ B.|z|<+∞ C.0<|z|<1 D.|z|<114.z=π3是函数f(z)=sin()z z --ππ33的（ ） A.一阶极点 B.可去奇点 C.一阶零点D.本性奇点15.z=-1是函数cot ()πzz +14的（ ）A.3阶极点B.4阶极点C.5阶极点D.6阶极点16.幂级数()!()!n n z n n+=∞∑120的收敛半径为（ ） A.0 B.1 C.2D.+∞ 17.设Q(z)在点z=0处解析，f(z)=Q z z z ()()-1，则Res[f(z),0]等于（ ）A.Q(0)B.-Q(0)C.'Q ()0D.-'Q ()018.下列积分中，积分值不为零的是（ ）A.()z z dz C 323++⎰，其中C 为正向圆周|z -1|=2B.e dz z C ⎰，其中C 为正向圆周|z|=5C.zzdz C sin ⎰，其中C 为正向圆周|z|=1 D.cos zz dz C -⎰1，其中C 为正向圆周|z|=2 19.映射w=z 2+2z 在下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（ ） A.|z+1|>12B.|z+1|<12C.|z|>12D.|z|<1220.下列映射中，把角形域0<argz<π4保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ） A.w=z z 4411+- B.w=z z 4411-+ C.w=z i z i44-+D.w=z i z i44+-第二部分 非选择题 (共60分)二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
复变函数与积分变换复变函数
复变函数的极限具有与实数函数类似的性质，如唯一性、局部有界性、局部保号性等。这些性质在研究复变函数 的性质和行为时非常重要。
复变函数的连续性
连续性的定义
如果对于复数域内的任意一点，其周围的函数值都存在且相等，则称复变函数 在该点连续。
连续性的性质
连续性在复变函数中具有一些重要性质，如闭区间上的连续函数一定存在最大 值和最小值，以及一致连续性等。这些性质在解决一些积分和微分问题时非常 有用。
积分与路径无关
如果函数$f(z)$在由$z_1$到$z_2$的曲线上是可积的，且在由 任意两点确定的直线上也是可积的，那么该函数在由这两点确
定的直线上也是可积的，且积分值相等。
柯西积分公式
柯西积分公式是复变函数中的一个基本公式，它给出了在单连通区域内的一个解析函数$f(z)$的积分表示。 具体来说，如果函数$f(z)$在区域D内解析，且在D的边界上除有限个点外均有定义，那么对于D内的任意 点$z_0$，有$int_{C} f(z)/(z-z_0) dz = f(z_0)$，其中C是围绕$z_0$的任意简单闭曲线。
复变函数与积分变换
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的极限与连续性 • 复变函数的积分 • 复变函数的级数与幂级数展开 • 积分变换 • 应用实例
01 复数与复变函数
复数的定义与性质
定义
复数是由实部和虚部组成的数，表示为 $z = a + bi$，其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
电磁散射和辐射问题
通过复变函数中的积分方程方法和谱方法等，可以研究电磁散射和 辐射问题，应用于雷达散射截面计算和天线设计等领域。
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一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1．下列复数中，位于第Ⅱ象限的复数是 （ ）
A ．1+i
B ．1-i
C ．-1+i
D ．-1-i 2．当i
i z -+=
11时，50
75100z z z ++的值等于 （ ） A ． i B ．-i C ．1 D ．-1 3．方程232=
-+i z 所代表的曲线是 （ ）
A ．中心为i 32-，半径为2的圆周
B ．中心为i 32+-，半径为2的圆周
C ．中心为i 32+-，半径为2的圆周
D ．中心为i 32-，半径为2的圆周 4．一个向量顺时针旋转
3
π
，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数为 （ ）
A ． 2
B ．i 31+
C ．i -3
D ．i +3 5．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．即非充分也非必要条件
6．设2
2)(y i x z f ⋅+=，则=+')1(i f （ ）
A ． 2
B ．2 i
C ．1 + i
D ．2 + 2 i 7．设C 为正向圆周|z|=2，则
()dz z z
c
⎰-2
1cos （ ）
A ．1sin -
B ．sin1
C ．1sin 2i ⋅-π
D ．1sin 2i ⋅π
8．设c 是t i z )1(+=，t 从1到2线段，则=⎰
zdz c
arg （ ）
A ．
4π B ．4πi C ．4
π
(1+ i ) D ．1 + i 9．幂级数∑
∞
=+-1
n 22z )1n (n )2(在点z=41
处 （ ）
A ．发散
B ．条件收敛
C ．绝对收敛
D ．不绝对收敛
10．幂级数n
n z n ⎪⎭⎫
⎝⎛∑∞
=22sin 1
π的收敛半径R = （ ）
得分 评卷人
复查人
A ． 1
B ．2
C ．2
D ．∞+ 11．设函数())
4)(1(1
++=
z z z z f 在以原点为中心的圆环内的罗朗展开式有 （ ）
A ． 4 个
B ．3个
C ．2 个
D ．1个 12．z=
π
3
是函数f(z)=sin()
z z -
-ππ
33的 （ ） A ．一阶极点
B ．可去奇点
C ．一阶零点
D ．本性奇点
13．在下列函数中[]00),(Re =z f s 的是 （ ）
A ．2
1
)(z e z f z -=
B ．z
z z z f 1
sin )(-=
C ．z z z z f cos sin )(+=
D ．z e z f z
1
11)(--= 14．分式线性变换z
z w --=21
2把圆周1=z 映射为 （ ）
A ．1=w
B ．2=w
C ．11=-w
D ．21=-w
15．把单位圆1<z 映射成单位圆1<w 且满足0)0(,0)2
(>'=w i
w 的分式线性变换)(z w 为 （ ）
A ．iz i
z --22 B ．
iz z
i --22 C ．iz
i
z +-22
D ．iz
z i +-22
第二部分 非选择题（共70分）
二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
16．设)
2)(3()
3)(2)(1(i i i i i z ++--+=
，则=z ；
17．设1)0(=f ，i f +='1)0(，则=-→z z f z 1
)(lim
0 ； 18．设C 为正向圆周|z|=3，则dz z z
z c
⎰+= ；
得分 评卷人 复查人
19．函数z
z
e e 1+在+∞<<z 0内的罗朗展开式为 ；
20．对数函数w=ln z 的解析区域为_______ ____；
三、计算题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 21． 解关于z 的二次方程 0)1(2)1(2=-+-+i z z i
22．设)(2323lxy x i y nx my +++为解析函数，试确定n m l ,,的值。
23．求u=x 2+2xy -y 2
的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)=1
得分 评卷人 复查人
24．计算积分⎰
+++c
dz i
z z )2314(
，其中C: 4=z 为正向
25．求幂级数∑∞
=+0
)
1(n n n
z i 的收敛半径
26．求函数1
1
+-z z 在10=z 处的泰勒展开式，并指出其收敛半径
27．把函数收敛半径2
)
1(1
z z -， 10<<z ；110<-<z ；展开成罗朗级数
28．沿自原点至i +3的直线段计算积分⎰
+i
dz z 30
2。