2015年高考数学创新设计精品试题专题训练1-1-4
【创新设计】(江西专用)2015高考数学二轮复习 专题训练 突破练1 理
突破练一1．已知函数f (x )＝sin x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos 2x －12.(1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝12，b ＋c ＝3.求a 的最小值．解 (1)f (x )＝sin x ⎝⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＋cos 2x －12＝32sin x cos x ＋12cos 2x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＋14＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋14. ∴函数f (x )的最大值为34.当f (x )取最大值时sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1， ∴2x ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π＋π6，k ∈Z .故x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π6，k ∈Z .(2)由题意f (A )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋14＝12， 化简得sin (2A ＋π6)＝12.∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈(π6，13π6)，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，根据余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝3，知bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝94，即a 2≥94.∴当b ＝c ＝32时，a 取最小值32.2．某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下(不包括90分)的被淘汰，若有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图．(1)求获得参赛资格的人数；(2)根据频率分布直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；(3)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为19，求甲在初赛中答题个数ξ的分布列及数学期望E (ξ)．解 (1)由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为500×(0.005 0＋0.004 3＋0.003 2)×20＝125人．(2)设500名学生的平均成绩为x ，则x ＝[(30＋50)×0.0 065＋(50＋70)× 0.0 140＋(70＋90)×0.0 170＋(90＋110)×0.0 050＋(110＋130)×0.0 043＋(130＋150)×0.0 032]×12×20＝74.84分．(3)设学生甲答对每道题的概率为P (A )，则[1－P (A )]2＝19，P (A )＝23.学生甲答题个数ξ的可能值为3,4,5.则P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝13，P (ξ＝4)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝1027， P (ξ＝5)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.所以ξ的分布列为E (ξ)＝3×13＋4×1027＋5×27＝27. 3．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋1＝－4S n ＋1，a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)当n ≥2时，a n ＝－4S n －1＋1， 又a n ＋1＝－4S n ＋1， ∴a n ＋1－a n ＝－4a n ，即a n ＋1a n＝－3，n ≥2， 又a 2＝－4a 1＋1＝－3，a 1＝1，∴数列{a n }是首项为a 1＝1，公比为q ＝－3的等比数列， ∴a n ＝(－3)n －1.(2)由(1)可得b n ＝n ·(－3)n －1，T n ＝1·(－3)0＋2·(－3)1＋3·(－3)2＋…＋(n －1)·(－3)n －2＋n ·(－3)n －1，－3T n ＝1·(－3)1＋2·(－3)2＋…＋(n －2)·(－3)n －2＋(n －1)·(－3)n －1＋n (－3)n，∴4T n ＝1＋(－3)1＋(－3)2＋…＋(－3)n －1－n ·(－3)n，所以，T n ＝1－n ＋－n16.4．如图，在直角梯形ABCP 中，AP ∥BC ，AP ⊥AB ，AB ＝BC ＝12AP ＝2，D 是AP 的中点，E 、G分别为PC 、CB 的中点，F 是PD 上的点，将△PCD 沿CD 折起，使得PD ⊥平面ABCD . (1)若F 是PD 的中点，求证：AP ∥平面EFG ；(2)当二面角G －EF －D 的大小为π4时，求FG 与平面PBC 所成角的余弦值．(1)证明 F 是PD 的中点时，EF ∥CD ∥AB ，EG ∥PB ，∴AB ∥平面EFG ，PB ∥平面EFG ，AB ∩PB ＝B ，∴平面PAB ∥平面EFG ，AP ⊂平面PAB ，∴AP ∥平面EFG .(2)解 建立如图所示的坐标系，则有G (1,2,0)，C (0,2,0)，P (0,0,2)，E (0,1,1)，B (2,2,0)，设F (0,0，a )，GF →＝(－1，－2，a )，GE →＝(－1，－1,1)，设平面EFG 的法向量n 1＝(x ，y,1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－x －2y ＋a ＝0，－x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－a ，y ＝a －1，∴n 1＝(2－a ，a －1,1)．取平面EFD 的法向量n 2＝(1,0,0)，依题意， cos 〈n 1，n 2〉＝2－a －a2＋a －2＋1＝22， ∴a ＝1，于是GF →＝(－1，－2,1)．设平面PBC 的法向量n 3＝(m ，n,1)，PC →＝(0,2，－2)，BC →＝(－2,0,0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧2n －2＝0，－2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝1.∴n 3＝(0,1,1)．设FG 与平面PBC 所成角为θ，则有sin θ＝|cos 〈GF →，n 3〉|＝16·2＝36，故有cos θ＝336. 5．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为锐角的直线l ，l 与抛物线的一个交点为A ，与抛物线的准线交于点B ，且AF →＝FB →.(1)求以AB 为直径的圆被抛物线的准线截得的弦长；(2)平行于AB 的直线与抛物线相交于C 、D 两点，若在抛物线上存在一点P ，使得直线PC 与PD 的斜率之积为－4，求直线CD 在y 轴上截距的最大值．解 (1)过A 作y 2＝4x 准线的垂线AH ，垂足为H ，则|AH |＝|AF |＝12|AB |，所以直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，所以B (－1，－23)，|BF |＝4，所以，以AB 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝16，所以，截得的弦长为4 3.(2)设直线CD ：y ＝3x ＋m ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，把y ＝3x ＋m 代入y 2＝4x ，消去x 得，3y 2－4y ＋4m ＝0，则y 1＋y 2＝43，y 1·y 2＝4m 3，Δ＝16－163m ＞0，所以m ＜33， 所以，k PC ·k PD ＝4y 1＋y 0·4y 2＋y 0＝－4， 所以y 1·y 2＋y 0(y 1＋y 2)＋y 20＝－4， 所以y 20＋4y 03＋4m3＝－4， 所以3y 20＋4y 0＋(4m ＋43)＝0.所以Δ＝16－43(4m ＋43)≥0，所以m ≤－233当m ＝－233时，直线CD ：y ＝3x －233，所以直线在y 轴上截距最大值为－23 3.6．已知函数f (x )＝ln x .(1)求证：当0＜x ＜1时，f (1＋x )＜x －x 36；(2)设g (x )＝ax －(x ＋1)f (x ＋1)，若g (x )的最大值不大于0，求a 的取值集合； (3)求证：(1＋1)(1＋12) (1)1n)＞e n －25(n ∈N *)．(1)证明 要证f (x ＋1)＜x －16x 3(0＜x ＜1)，即证：ln(x ＋1)＜x －16x 3(0＜x ＜1)，设u (x )＝x －16x 3－ln(x ＋1)(0＜x ＜1)，则u ′(x )＝－x x ＋x －x ＋＞0，所以，u (x )在(0,1)递增，即u (x )＞u (0)＝0. 从而f (x ＋1)＜x －16x 3(0＜x ＜1)成立．(2)解 g (x )＝ax －(x ＋1)ln(x ＋1)，∴g ′(x )＝a －[1＋ln(x ＋1)]，令g ′(x 0)＝0，则x 0＝ea －1－1.∴g (x )max ＝g 极大值0x ，则a ＝x ＋1，∴g (x )max ＝e x－(x ＋1)，设h (x )＝e x －(x ＋1)，则h ′(x )＝e x－1.令h ′(x )＝0，则x ＝0.所以，h (x )又因为g (x )max ＝ea －1－a ≤0，所以，e a －1－a ＝0，即：a ＝1.(3)证明 要证(1＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋12…＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ＞e ，即证：ln(1＋1)＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ＞n －25， 由(2)可知ln(x ＋1)≥xx ＋1，令x ＝1n， 当n ≥3时，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ≥11＋n ＞1n －1＋n ＝n －n －1， 所以，ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋12≥2－1，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＞3－2，…，ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ＞n －n －1， 所以，ln(1＋1)＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＞n －1＋ln 2＞n －25，即：(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12…(1＋1n )＞e成立．。
2015年高考数学创新设计精品试题专题训练1-6-2
4．(2014· 合肥模拟)从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和 m 个黑球的布袋中随 机摸取一球，有放回的摸取 5 次，设摸得白球数为 X，已知 E(X)＝3，则 D(X) 等于 8 A.5 4 C.5 解析 6 B.5 2 D.5 根据题目条件，每次摸到白球的概率都是 p＝ 3 ，满足二项分布， 3＋m ( )．
因此可求得期望 E(ξ)＝1. 答案 D
3 3．(2014· 温州模拟)某人射击一次击中的概率为5，经过 3 次射击，此人至少有两 次击中目标的概率为 54 A.125 81 C.125 解析 27 B.125 108 D.125 该人 3 次射击，恰有两次击中目标的概率是 ( )．
32 2 5 · ， P1＝C2 3· 5 33 5 . 三次全部击中目标的概率是 P2＝C3 3· 所以此人至少有两次击中目标的概率是 33 81 2 32 2 5 · ＋C3 P＝P1＋P2＝C3 · . 35 ＝ 5 125 答案 C
P(ξ＝0)＝0.5×(1－a)×(1－a)＝0.5(1－a)2； P(ξ＝1)＝0.5×(1－a)×(1－a)＋2×0.5×a×(1－a)＝0.5(1－a2)； P(ξ＝2)＝0.5×a2＋2×0.5×a×(1－a)＝0.5a(2－a)； P(ξ＝3)＝0.5×a×a＝0.5a2. 7 ∴E(ξ)＝P(ξ＝0)×0＋P(ξ＝1)×1＋P(ξ＝2)×2＋P(ξ＝3)×3＝6. 7 1 即 0.5(1－a2)＋a(2－a)＋1.5a2＝6，解得 a＝3. 答案 1 3
8．袋中有大小、质地相同的 5 个球，2 白 3 黑，现从中摸球，规定：每次从袋
中随机摸取一球，若摸到的是白球，则将此球放回袋中，并再放同样的一个 白球入袋；若摸到的是黑球，则将球放回袋中，并再放同样的一个黑球入袋， 连续摸两次球且按规定操作后袋中白球的个数记为 X，则 X 的数学期望为 __________． 解析 首先，连续摸两次球且按规定操作后袋中白球的个数可能为 2,3,4.
【创新设计】(人教通用)2015高考数学二轮复习 专题整合限时练1 理(含最新原创题,含解析)
【创新设计】（人教通用）2015高考数学二轮复习 专题整合限时练1理（含最新原创题，含解析）(建议用时：40分钟) 一、选择题1．若A ＝{x |2＜2x＜16，x ∈Z }，B ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则A ∩B 中元素个数为 ( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 因为A ＝{x |2＜2x＜16，x ∈Z }＝{x |1＜x ＜4，x ∈Z }＝{2,3}，B ＝{x |x 2－2x －3＜0}＝{x |－1＜x ＜3}，所以A ∩B ＝{2}． 答案 B2．若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋b i|＝( )．A.12＋i B ． 5 C.52D ．54解析 因为(1＋2a i)i ＝1－b i ，所以－2a ＋i ＝1－b i ，a ＝－12，b ＝－1，|a ＋b i|＝|－12－i|＝52. 答案 C3．我校要从4名男生和2名女生中选出2人担任H 7N 9禽流感防御宣传工作，则在选出的宣传者中男、女都有的概率为( )． A.815B ．12 C.25D ．415解析 从4名男生和2名女生中选出2人担任H 7N 9禽流感防御宣传工作，总的方法数为C 04C 22＋C 14C 12＋C 24C 02＝15，其中选出的宣传者中男、女都有的方法数为C 14C 12＝8，所以，所求概率为815.答案 A4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6＝12，则S 7的值是( )．A ．21B ．24C ．28D ．7解析 ∵a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝12， ∴a 4＝4， ∴S 7＝a 1＋a 72×7＝7a 4＝28.答案 C5．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的( )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 由(a －b )·a 2＜0得，a ≠0且a ＜b ；反之，由a ＜b ，不能推出(a －b )·a 2＜0，即“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的充分非必要条件． 答案 A6．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )．A.12 B ．32C ．1D ． 3解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线为x ±33y ＝0，所以抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是|1±33×0|1＋332＝32. 答案 B7.已知a 为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6的展开式中含x 2项的系数是( )．A ．192B ．32C ．96D ．－192解析 由程序框图可知，a 计算的结果依次为2，－1，12，2，…，成周期性变化，周期为3；当i ＝2 011时运行结束，2 011＝3×670＋1，所以a ＝2.所以，⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6，T r ＋1＝C r 6(2x )6－r⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 6·26－r x 3－r， 令3－r ＝2，得r ＝1，所以，含x 2项的系数是(－1)C 1625＝－192. 答案 D8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，则f (x )的解析式为( )．A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析 由图象可知A ＝1，且14T ＝14×2πω＝7π12－π3＝π4，∴ω＝2，f (x )＝sin (2x ＋φ)． 把⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入得：－1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ，又∵|φ|＜π2，∴7π6＋φ＝3π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin (2x ＋π3)．答案 A9．已知O 是坐标原点，点A (－2,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则O A →·O M →的取值X 围是( )． A ．[－1,0]B ．[－1,2]C ．[0,1]D ．[0,2]解析 ∵A (－2,1)，M (x ，y )，∴z ＝O A →·O M →＝－2x ＋y ，作出不等式组对应的平面区域及直线－2x ＋y ＝0，如图所示．平移直线－2x ＋y ＝0，由图象可知当直线经过点N (1,1)时，z min ＝－2＋1＝ －1；经过点M (0,2)时，z max ＝2. 答案 B10．如图F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是( )．A.13 B ．23 C.15D ．25解析 由题意知，|F 1F 2|＝|F 1A |＝4，∵|F 1A |－|F 2A |＝2，∴|F 2A |＝2，∴|F 1A |＋|F 2A |＝6，∵|F 1F 2|＝4，∴C 2的离心率是46＝23. 答案 B11．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形正视图为直角梯形，则此几何体的体积V 为( )．A.323 B ．403C.163D ．40解析 观察三视图可知，该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，两个侧面与底面垂直，棱锥的高为4，由图中数据得该几何体的体积为13×4＋12×4×4＝403.答案 B12．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )，f (－2)＝－3，数列{a n }满足a 1＝－1，且S n n ＝2×a n n＋1(其中S n 为{a n }的前n 项和)，则f (a 5)＋f (a 6)＝( )． A ．－3 B ．－2 C ．3D ．2解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∵f (32－x )＝f (x )，∴f (32－x )＝－f (－x )，∴f (3＋x )＝f (x )，∴f (x )是以3为周期的周期函数． ∵S n n ＝2×a n n＋1，∴S n ＝2a n ＋n ，S n －1＝2a n －1＋(n －1)(n ≥2)． 两式相减并整理得出a n ＝2a n －1－1， 即a n －1＝2(a n －1－1)，∴数列{a n －1}是以2为公比的等比数列，首项为a 1－1＝－2，∴a n －1＝－2·2n －1＝－2n ，a n ＝－2n＋1，∴a 5＝－31，a 6＝－63.∴f (a 5)＋f (a 6)＝f (－31)＋f (－63)＝f (2)＋f (0)＝f (2)＝－f (－2)＝3. 答案 C 二、填空题13．已知向量p ＝(2，－1)，q ＝(x,2)，且p ⊥q ，则|p ＋λq |的最小值为__________．解析 ∵p ·q ＝2x －2＝0，∴x ＝1， ∴p ＋λq ＝(2＋λ，2λ－1)， ∴|p ＋λq |＝2＋λ2＋2λ－12＝5λ2＋5≥ 5.答案514．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析 由sin B ＋cos B ＝2得，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝1，而B ∈(0，π)，所以B ＝π4.由正弦定理得，sin A ＝a sin B b ＝12，又A ＋B ＋C ＝π，A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4，∴A ＝π6.答案π615．若曲线y ＝x 在点(m ，m)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18，则m ＝________. 解析 由y ＝x ，得y ′＝－12x，所以，曲线y ＝x在点(m ，m)处的切线方程为y －m＝－12m(x －m )，由已知，得12×32m×3m ＝18(m ＞0)，m ＝64.答案 6416．已知a ＞0，b ＞0，方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的曲线关于直线ax －by －1＝0对称，则3a ＋2bab的最小值为________．解析 该曲线表示圆心为(2，－1)的圆，直线ax －by －1＝0经过圆心，则2a ＋b －1＝0，即2a ＋b ＝1，所以 3a ＋2b ab ＝3b ＋2a ＝(3b ＋2a )(2a ＋b )＝6a b ＋2b a＋7≥26a b ·2ba＋7＝7＋43(当且仅当a ＝2－3，b ＝23－3时等号成立)． 答案 7＋4 3。
2015年高考数学创新设计精品试题专题训练1-6-1
答案96
7．(2014·德州模拟)在区间[－2,3]上任取一个数a，则函数f(x)＝x3－ax2＋(a＋2)x有极值的概率为________．
专题六概率与统计
第1讲 统计与概率拟)从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为()．
A．224B.112
C．56D.28
解析根据分层抽样，应抽取男生1名，女生2名，抽取2名女生1名男生的方法有CC＝112.
B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
解析因为4.762＞3.841，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”，或者认为有95%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，因此，只能选A.
④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．
其中真命题的有____________(填序号)．
解析①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，不是分层抽样．故①是假命题；
②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1.故②是真命题；
答案B
2．(2014·北京顺义区统练)某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为()．
2015年高考数学创新设计精品试题专题训练1-5-2
答案
A
x2 4．(2014· 福建卷)设 P，Q 分别为圆 x2＋(y－6)2＝2 和椭圆10＋y2＝1 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是 A．5 2 C．7＋ 2 解析 B. 46＋ 2 D.6 2 ( )．
设圆的圆心为 C，则 C(0,6)，半径为 r＝ 2，
点 C 到椭圆上的点 Q( 10cos α， sin α)的距离|CQ|＝ 10cos α2＋sin α－62 ＝ 46－9sin2 α－12sin α ＝ 2 50－9sin α＋32≤ 50＝5 2，
x2 2)＝0，即 x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1 为半径的圆．又双曲线a2－ y2 b 2a b ＞ 0) 的渐近线方程为 y ＝ ± x ， 即 bx ± ay ＝ 0 ， 由题意， 可得 2＝1(a＞0， b a a2＋b2 2a c ＞1，即 c ＞1，所以 e＝a＜2，又 e＞1，故 1＜e＜2. 答案 (1,2)
＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，由椭圆的性质，可知过椭圆 2b2 焦点的弦中，通径最短，即 a ＝3，可求得 b2＝3，即 b＝ 3. 答案 D
3．(2014· 湖北卷)已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共 π 点， 且∠F1PF2＝3， 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ( )．
b 则直线 y＝ 3x 应在两渐近线之间，所以有a≤ 3， 即 b≤ 3a，所以 b2≤3a2， c2－a2≤3a2，即 c2≤4a2，e2≤4，所以 1＜e≤2. 答案 B
x2 y2 2．已知椭圆 4 ＋b2＝1(0＜b＜2)，左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线 l 交椭 圆于 A，B 两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为 5，则 b 的值是 A．1 3 C.2 解析 B. 2 D. 3 由椭圆的方程， 可知长半轴长为 a＝2； 由椭圆的定义， 可知|AF2|＋|BF2| ( )．
2015年高考数学创新设计精品试题专题训练1-1-3
二、填空题
5．(2014·盐城模拟)已知f(x)＝x2＋2xf′(2 014)＋2 014lnx，则f′(2 014)＝_____.
解析因为f′(x)＝x＋2f′(2 014)＋，
所以f′(2 014)＝2 014＋2f′(பைடு நூலகம் 014)＋，
即f′(2 014)＝－(2 014＋1)＝－2 015.
答案－2 015
6．函数f(x)＝2mcos2＋1的导函数的最大值等于1，则实数m的值为________．
解析显然m≠0，所以f(x)＝2mcos2＋1
＝m＋m＋1＝mcosx＋m＋1，
因此f′(x)＝－msinx，其最大值为1，故有m＝±1.
答案±1
7．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－alnx在(1,2)上为增函数，则a的值等于________．
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x>0)，
f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x＝2或3.
当0<x<2或x>3时，f′(x)>0，
故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；
当2<x<3时，f′(x)<0，
故f(x)在(2,3)上为减函数．
由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.
解析∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，
∴≥1，得a≥2.
又∵g′(x)＝2x－，依题意g′(x)≥0在x∈(1,2)上恒成立，得2x2≥a在x∈(1,2)上恒成立，有a≤2，∴a＝2.
答案2
8．(2014·绍兴模拟)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．
【创新设计】(江苏专用)2015高考数学二轮复习 专题整合突破练1 理(含最新原创题,含解析)
又CD⊂平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD.
(2)取AE中点G，连接FG，BG.
因为F为ED的中点，所以FG∥AD且FG＝ AD.
在△ACD中，AC⊥CD，∠DAC＝60°，
所以AC＝ AD，所以BC＝ AD.
在△ABC中，AB＝BC＝AC，所以∠ACB＝60°，
T6＝T5b6＝T3b4b5b6＝T3b1b2b3＝ T3，
……
T3n＋1＋T3n＋2＋T3n＋3＝T3n－2b3n－1b3nb3n＋1＋
T3n－1b3nb3n＋1b3n＋2＋T3nb3n＋1b3n＋2b3n＋3
＝T3n－2b1b2b3＋T3n－1b1b2b3＋T3nb1b2b3
＝ (T3n－2＋T3n－1＋T3n)，
代入上式可得2x1x2＋2m－(m＋1)(x1＋x2)＝0，
∴2× ＋2m－(m＋1)× ＝0，即2m－6＝0，∴m＝3，
∴存在Q(3,0)使得直线QA，QB的倾斜角互为补角．
4．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数y＝f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求，并分析函数y＝ ＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；
(2)若该公司采用模型函数y＝ 作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．
解(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，按公司对函数模型的基本要求，函数y＝f(x)满足：
故该函数模型不符合公司要求．
2015年高考数学创新设计精品习题专题训练1-2-2
7．(2014·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．
解析∵2sinB＝3sinC，由正弦定理得2b＝3c，∴b＝c，
又b－c＝a，∴a＝4(b－c)，∴a＝2c.
∴cosA＝＝＝－.
答案－
8．(2014·江苏卷)若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．
答案A
2．(2014·益阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若asinA＋bsinB－csinC＝asinB，则角C等于()．
A.B．
C.D．
解析由正弦定理，得a2＋b2－c2＝ab，
所以cosC＝＝，又0＜C＜π，所以C＝.
答案A
3．(2014·吉林省实验中学一模)在△ABC中，sin(A＋B)·sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的形状是()．
答案A
二、填空题
6．(2014·福建卷)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．
解析由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，
∴12＝AB2＋16－2×AB×4×cos 60°，解得AB＝2，
∴S△ABC＝·AB·AC·sinA＝×2×4×sin 60°＝2.
第2讲 解三角形问题
一、选择题
1．(2014·西安模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
asinAsinB＋bcos2A＝a，则因为asinAsinB＋bcos2A＝a，所以由正弦定理，得sinAsinAsinB＋sinB＝sinA，即sinB＝sinA，所以＝.
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则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，
即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立，
即aห้องสมุดไป่ตู้－x2在[1,2]上恒成立．
令h(x)＝－x2，
在[1,2]上h′(x)＝－－2x＝－＜0，
所以h(x)在[1,2]上为减函数，h(x)min＝h(2)＝－.
所以a≤－.
10．(2014·北京西城区一模)已知函数f(x)＝lnx－，其中a∈R.
解析f′(x)＝x2－4x，由f′(x)>0，得x>4或x<0.
∴f(x)在(0,4)上递减，在(4，＋∞)上递增，∴当x∈[0，＋∞)时，f(x)min＝f(4)．∴要使f(x)＋5≥0恒成立，只需f(4)＋5≥0恒成立即可，代入解之得m≥.
答案A
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x＋1有两个极值点，则实数a的取值范围是()．
A．(，＋∞)B．(－∞，－)
C．(－，)D．(－∞，－)∪(，＋∞)
解析f′(x)＝x2＋2ax＋3.
由题意知方程f′(x)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4a2－12＞0，
解得：a＞或a＜－.
答案D
二、填空题
5．已知函数f(x)＝x2＋mx＋lnx是单调递增函数，则m的取值范围是________．
(2)由f(x)＞－x＋2，得lnx－＞－x＋2，
即a＜xlnx＋x2－2x.
设函数g(x)＝xlnx＋x2－2x，
则g′(x)＝lnx＋2x－1.
因为x∈(1，＋∞)，
所以lnx＞0,2x－1＞0，
所以当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝lnx＋2x－1＞0，
故函数g(x)在x∈(1，＋∞)上单调递增，
所以当x∈(1，＋∞)时，g(x)＞g(1)＝－1.
因为对于任意x∈(1，＋∞)，都有f(x)＞－x＋2成立，
即对于任意x∈(1，＋∞)，都有a＜g(x)成立，
所以a≤－1.
11．(2014·山西临汾四校联考)已知函数f(x)＝.
解析f′(x)＝3x2－6(m＋1)x＋12m＝3(x－2)(x－2m)．由于f(x)在[0,3]上无极值点，则2m＝2，所以m＝1.
答案1
8．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝x2－2ax＋4，若任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是______．
第4讲 利用导数求参数的取值范围
一、选择题
1．已知函数f(x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是
()．
A．[－1,1]B．[－1，＋∞)
C．[1，＋∞)D．(－∞，1]
解析f′(x)＝mx＋－2≥0对一切x＞0恒成立，
∴m≥－2＋.
令g(x)＝－2＋，则当＝1，即x＝1时，函数g(x)取最大值1.故m≥1.
当x∈(－∞，－)和(，＋∞)时，f(x)单调递增；
当x∈(－，)时，f(x)单调递减．
所以当＜1，即0＜a＜1时，f(x)在(0,1)内有最小值．
答案D
3．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3m，x∈[0，＋∞)，若f(x)＋5≥0恒成立，则实数m的取值范围是()．
A.B．
C．(－∞，2]D．(－∞，2)
答案
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x2＋2alnx.
(1)若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为1，为求实数a的值；
(2)若函数g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围．
解(1)f′(x)＝2x＋＝.
由已知f′(2)＝1，解得a＝－3.
(2)由g(x)＝＋x2＋2alnx，得g′(x)＝－＋2x＋.
解析依题意知，x＞0，f′(x)＝.
令g(x)＝2x2＋mx＋1，x∈(0，＋∞)，
当－≤0时，g(0)＝1＞0恒成立，∴m≥0成立；
当－＞0时，则Δ＝m2－8≤0，∴－2≤m＜0.
综上，m的取值范围是m≥－2.
答案[－2，＋∞)
6．若函数f(x)＝－x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是______．
答案C
2．(2014·广州调研)函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是
()．
A．[0,1)B．(－1,1)
C.D．(0,1)
解析f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．
当a≤0时，f′(x)＞0，
∴f(x)在(0,1)内单调递增，无最小值．
当a＞0时，f′(x)＝3(x－)(x＋)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)如果对于任意x∈(1，＋∞)，都有f(x)＞－x＋2，求a的取值范围．
解(1)由f(x)＝lnx－，得f′(x)＝＋，
所以f′(1)＝3.又因为f(1)＝－2，
所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－5＝0.
解析对f(x)求导，得f′(x)＝－x＋4－＝＝－.由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，所以t<1<t＋1或t<3<t＋1，解得0<t<1或2<t<3.
答案(0,1)∪(2,3)
7．(2014·浙江考试院抽测)已知m∈R，若函数f(x)＝x3－3(m＋1)x2＋12mx＋1在[0,3]上无极值点，则m的值为________．
解析由于f′(x)＝1＋>0，因此函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以x∈[0,1]时，f(x)min＝f(0)＝－1.根据题意可知存在x∈[1,2]，使得g(x)＝x2－2ax＋4≤－1，即x2－2ax＋5≤0，即a≥＋能成立，令h(x)＝＋，则要使a≥h(x)在x∈[1,2]能成立，只需使a≥h(x)min，又函数h(x)＝＋在x∈[1,2]上单调递减(可利用导数判断)，所以h(x)min＝h(2)＝，故只需a≥.