第8讲 二次函数应用题——实际建模.提高班
1．将一元二次方程3x 2＋1＝6x 化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A ．3，－6B ．3，6C ．3，1D ．3x 2，－6x2．已知x ＝1是一元二次方程ax 2＋bx ＋c －3＝0的解，则a ＋b ＋c 的值为（）A ．－1B ．1C ．3D ．－33．方程x 2＋3＝2x 的根的情况为（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有一个实数根D ．没有实数根4.(2010·日照)如果关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是（）A ．－3，2B ．3，－2C ．2，－3D ．2，35.(2008·兰州)根据下列表格中二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围是（）D ．6.19＜x ＜6.206.(2012·兰州)抛物线y ＝(x ＋2)2－3可以由抛物线y ＝x 2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A ．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B ．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C ．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D ．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位7．为迎接“2011李娜和朋友们国际网球精英赛”，某款桑普拉斯网球包原价168元，连续两次降价a %后售价为128元．下列所列方程中正确的是（）A ．168(1＋a %)2＝128B ．168(1－a 2%)＝128C ．168(1－2a %)＝128D ．168(1－a %)2＝1288．当ab ＞0时，y ＝ax 2与y ＝ax ＋b 的图象大致是（）9．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （0＜2a ＜b ），点A (1，y A )、B (0，y B )、C (－1，y C )在该抛物线上，下列正确的是（）A ．yB ＜yC ＜y A B ．y B ＜y A ＜y C C ．y A ＜y B ＜y CD ．y C ＜y B ＜y A08二次函数应用——实际建模模块一课前检测这类问题对于解析式的确定通常采用顶点式：1.球类问题分为篮球问题、足球问题及羽毛球问题。
篮球问题会考察“球是否入篮”，即看篮筐所在点是否在抛物线上；“足球是否进球门”即看球到达球门所在位置时纵坐标是比球门高还是低；羽毛球涉及过网越界问题，即计算在过网位置纵坐标比网高还是低，越界考察在界限位置纵坐标是正数还是负数。
2.跳水问题考察的是动作是否在规定范围内规范，同样考察在指定位置的纵坐标与限定高度的大小比较。
3.喷泉问题考察的比较多的是圆形水池的半径，需要计算抛物线与水池水平面的交点坐标。
【例1】如图，羽毛球运动员甲站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方23m 的P 处发出，把球勘察点，其运行路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点时，其高度为617m ，离甲站立地点O 的水平距离为4m ，球网BA 离O 点的水平距离为5m ，以O 为坐标原点建立如图所示的坐标系，乙站立地点C 的坐标为（m ，0）①求出抛物线的解析式；（不写自变量的取值范围）②求排球落地点N 离球网的水平距离；③乙原地起跳可接球的最大高度为49米，若乙因为接球高度不够而失球，求m的取值范围．知识点睛典型例题模块二球类、跳水、喷泉问题（2）某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面323米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．①求这条抛物线的解析式．②在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是①中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3.6米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．（3）如图所示，公园要建造圆形的喷水池，水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O 恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m．①若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不能落到池外？②若水流喷出的抛物线形状与①相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？20m，与篮【巩固】（1）一场篮球赛中，球员甲跳起投篮，已知球在A处出手时离地面9筐中心C的水平距离为7m，当球运行的水平距离是4m时，达到最大高度4m（B处），篮筐距地面3m，篮球运行的路线为抛物线（如图所示）．①建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式；②判断此球能否投中？（2）（2015•武汉模拟）如图，小区中央公园要修建一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰好在水面的中心，OA=1.25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计水流在离OA距离为1米处达到距水面的最大高度2.25米．①建立适当的平面直角坐标系，使A点的坐标为（0，1.25），水流的最高点的坐标为（1，2.25），求水流的抛物线路线在第一象限内对应的函数关系式（不要求写取值范围）；②若不计其他因素，则水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？③若水流喷出的抛物线形状与①相同，水池半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流距水面的最大高度就达到多少米？隧道、过桥问题通常采用的是y=ax 2+c 的形式，通常考察的是车或者船是否能够通过，考察的是车或者船的高度比车或者船边缘对应纵坐标的数值大小比较。
注意抛物线的对称性，及该问题考察的是单隧道问题或者双隧道问题。
【例2】有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ．①在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；②设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．【巩固】如图，隧道的截面由抛物线AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为8m ，宽AB 为2m ，以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系（如图1），y 轴是抛物线的对称轴，顶点E 到坐标原点O 的距离为6m．①求抛物线的解析式；②现有一辆货运卡车，高4.4m ，宽2.4m ，它能通过该隧道吗？③如果该隧道内设双向道（如图2），为了安全起见，在隧道正中间设有0.4m 的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？知识点睛模块三隧道、过桥问题典型例题模块四几何问题知识点睛1.面积问题与面积计算公式相关，无需建模，可以直接得到解析式；2.面积问题需要注意自变量取值范围，取值范围需要计算；3.配成顶点式求最大值。
典型例题【例3】如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成一个长方形的花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．①求S与x的函数关系式；写出自变量x的取值范围．②怎样围才能使长方形花圃的面积最大？最大值为多少？【巩固】（2015秋•武汉校级期末）用一段长32m的篱笆和长8m的墙，围成一个矩形的菜园．①如图1，如果矩形菜园的一边靠墙AB，另三边由篱笆CDEF围成Ⅰ.设DE等于x m，直接写出菜园面积y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；Ⅱ.菜园的面积能不能等于110m2？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由；②如图2，如果矩形菜园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，求菜园面积的最大值．【例4】如图，足球上守门员在O 处开出一高球．球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），把球看成点．其运行的高度y （单位：m ）与运行的水平距离x （单位：m ）满足关系式y=a （x ﹣6）2+h ．（1）①当此球开出后．飞行的最高点距离地面4米时．求y 与x 满足的关系式．②在①的情况下，足球落地点C 距守门员多少米？（取43≈7）③如图所示，若在①的情况下，求落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．求：站在距离O 点6米的B 处的球员甲要抢到第二个落点D 处的球．他应再向前跑多少米？（取26=5）（2）球员乙升高为1.75米．在距O 点11米的H 处．试图原地跃起用头拦截．守门员调整开球高度．若保证足球下落至H 正上方时低于球员乙的身高．同时落地点在距O 点15米之内．求h的取值范围．能力提升【例8】如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE 、ED 、DB 组成，已知河底ED 是水平的，16ED =米，8AE =米，抛物线的顶点C 到ED 的距离是11米，以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式．（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED 的距离h （单位：米）随时间t （单位：时）的变化满足函数关系()21198128h t =--+（040t ≤≤），且当水面到顶点C 的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？【习题1】如图，一位篮球运动员甲在距篮球筐下4米处跳起投篮，球的运行线路为抛物线，当球运行到水平距离为2.5米时达到最高高度为3.5米，然后准确地落入篮筐，已知篮圈中心到地面的高度为3.05米，该运动员的身高为1.8米．（1）在这次投篮中，球在该运动员的头顶上方0.25米处出手，则当球出手时，该运动员离地面的高度为米．（2）运动员乙跳离地面时，最高能摸到3.3米运动员乙在运动员甲与篮板之间的什么范围内能在空中截住球？真题解析课后作业【习题2】如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状．抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10cm．桥洞与水面的最大距离是5m．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．求：（1）抛物线的解析式；（2）两盏景观灯P1、P2之间的水平距离．【习题3】用长为32米的篱笆围成一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y 平方米．（1）求y关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？（3）能否围成面积最大的养鸡场？如果能，请求出其边长及最大面积；如果不能，请说明理由．【习题4】工人师傅用8米长的铝合金材料制作一个如图所示的矩形窗框，图中的①、②、③区域都是矩形，且BE=2AE，M，N分别是AD、EF的中点．（说明：图中黑线部分均需要使用铝合金材料制作，铝合金材料宽度忽略不计）．（1）当矩形窗框ABCD的透光面积是2.25平方米时，求AE的长度．（2）当AE为多长时，矩形窗框ABCD的透光面积最大？最大面积是多少？【习题5】在2014年仁川亚运会上中国队包揽了跳水所有项目的金牌．过去十一届亚运会的跳水金牌也全部归于中国跳水队！优秀成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行一次跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD高BC为3米，为安全和空中姿势优美，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．（1）求这条抛物线的解析式；（2）图中CE=4.5米，CF=5.5米，若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到训练要求，试通过计算说明这次跳水是否能达到要求．。
中考数学专题：二次函数应用专题(共17张ppt)
解：当S＝288时
s
－2(x－15)2＋450＝288
500
450
∴x1＝6，x2＝24
400 300
288
当S≥288时，
200
由图象可知 6≤x≤24. 又∵墙长为36m，
100
6
24
O 5 10 15 20 25 30 x
∴ 12≤x<30
综上所述：12≤x≤24.
变式5.如图，若将60m的篱笆改为79m，墙长为36m， 为了方便进出，在平行于墙的一边开一个1m宽的门. (1)求菜园的最大面积；(2)若菜园面积不小于750m2，求 x的取值范围.
解：设矩形垂直墙的一边为xm，
则平行墙的一边为(60－2x)m.
S＝(60－2x)x＝－2x2＋60x
s
＝－2(x－15)2＋450
500
450
400
∵x>0且60－2x>0，∴ 0<x<30 300
Hale Waihona Puke ∵a＝－2<0， ∴S有最大值
200 100
当x＝15时，S的最大值是450m2 O
则：60－2x＝30(m)
墙20m
解：S＝(60－2x) x＝－2x2＋60x
＝－2(x－15)2＋450
s
∵x>0且0<60－2x≤20
500
450
∴ 20≤x<30
400 300
∵a＝－2<0，对称轴x=15.
200
∴当x>15时，S随x的增大而减小. 100
∵20≤x<30，
O 5 10 15 20 25 30 x
∴当x＝20时，S的最大值是400m2.
二次函数综合应用题(有答案)中考23题必练经典
函数综合应用题题目分析及题目对学生的要求1.求解析式：要求学生能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。
需要注意的是：(1) 不能忘记写自变量的取值范围(2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。
2. 求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求学生能够熟练地对二次三项式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。
最值的求法：(1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。
(2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。
3. 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起来。
推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求出x的取值范围。
备选思路一：先将不等号看做等号，求出x的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后x的取值范围；备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。
这一问里需要注意的是在注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。
1/ 182 / 18一、求利润的最值（2010·武汉）23. (本题满分10分) 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。
当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。
宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。
根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。
设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)。
(1) 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2) 设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？解：(1) y=50-101x (0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)。
(2) W=(50-101x)(180+x -20)= -101x 2+34x +8000； (3) W= -101x 2+34x +8000= -101(x -170)2+10890，当x<170时，W 随x 增大而增大，但0≤x ≤160，∴当x=160时，W 最大=10880，当x=160时，y=50-101x=34。
二次函数培优专题
.二次函数提高训练（12）一、二次函数的定义例 1、已知函数 y=(m－ 1)x m2 +1+5x－ 3 是二次函数，求m的值。
22是关于 x 的二次函数，则m的取值范围为。
若函数 y=(m +2m－ 7)x+4x+5二、图像的应用例 2. 已知抛物线y1x x，25232（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、 B，求线段 AB的长．1、抛物线y 2 x28x1的顶点坐标为（）（ A）（ -2 ， 7）（ B）（ -2 ， -25 ）（ C）（ 2， 7）（D）（ 2，-9 ）2、抛物线y a( x1)(x3)(a 0) 的对称轴是直线（）A．x 1B．x1C．x3D．x 33、把二次函数y1x2x 3用配方法化成 y a x h 2k 的形式4三、 a， b， c 及b24ac 的符号确定例 3. 已知抛物线y ax2bx c 如图，试确定：（ 1）a，b，c及b24ac 的符号；（2） a b c 与 a b c 的符号。
1、已知二次函数y ax2bx c（a0 ）的图象如图所示，有下列四个结论：①b0② c0③ b24ac0④ a b c0 ，其中正确的个数有（）A．1 个B．2 个C．3个D．4个y111 O x2、已知二次函数y ax2bx c 的图象如图所示，有以下结论：①a b c0；② a b c1；③ abc0 ；.A ．①②B ． ①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤3、 二次函数y ax 2bx c 的图象如图所示，则下列关系式中错误 ．．的是（） yA ． a ＜ 0B ． c ＞0C ． b24ac ＞ 0 D ． a b c ＞ 04、图 12 为二次函数 y ax2bx c 的图象，给出下列说法：－1O1 x① ab0 ；②方程2的根为，；③ a b c 0；④当 x 1时， y 随 x 值的增大而ax bx c 0x 131 x 2增大；⑤当 y 0时， 1 x 3 ．其中，正确的说法有．（请写出所有正确说法的序号）5、已知 =次函数 y ＝ ax 2+bx+c 的图象如图．则下列 5 个代数式： ac ，a+b+c ，4a － 2b+c ， 2a+b ，2a － b 中，其值大于 0 的个数为（）A ．2B3C 、4D 、5四、二次函数解析式的确定例 4. 求二次函数解析式：（ 1）抛物线过（ 0，2），（ 1， 1），（ 3， 5）；（ 2）顶点 M （ -1 ， 2），且过 N （ 2， 1）；（ 3）已知抛物线过 A （ 1， 0）和 B （ 4，0）两点，交 y 轴于 C 点且 BC ＝ 5，求该二次函数的解析式。
九年级二次函数应用题
解：（1）y是x的一次函数，设y=kx+b，
图象过点（10，300），（12，240），
，
解得 ，
∴y=-30x+600，
当x=14时，y=180；当x=16时，y=120，
即点（14，180），（16，120）均在函数y=-30x+600图象上．
设t=a%，整理得：10t2+17t-13=0，
解得：t= ，
∵ ≈28.4，
∴t1≈0.57，t2≈-2.27（舍去），
∴a≈57，
答：a的值是57．
点评：此题主要考查了二次函数的应用和根据实际问题列反比例函数关系式和二次函数关系式、求二次函数最值等知识．此题阅读量较大，得出正确关于a%的等式方程是解题关键．
分析：（1）利用表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出即可，再根据点的分布得出y与x的函数关系式，求出即可；
（2）根据利润=销售总价-成本总价，由（1）中函数关系式得出W=（x-10）（-10x+700），，进而利用二次函数最值求法得出即可；
（3）利用二次函数的增减性，结合对称轴即可得出答案．
（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；
（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a-30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．
用二次函数解决实际问题》优质课课件
某商店销售一种商品，进价为每件8元，售价为每件10元，每天可售出100件。为了增加 利润，商店决定降价销售，经过调查发现，每降价0.5元，每天可多售出20件。求该商店 的最大利润。
最短路径问题的案例
总结词
利用二次函数求最短距离
详细描述
通过建立二次函数模型，利用函数的性质求出最短路径。
案例
某村计划修建一条水渠，从A点到河边的直线距离为30米，河宽为40米。由于地形限制，水渠必须沿A点 的切线方向修建。求水渠的最短长度。
抛物线运动问题的案例
总结词
利用二次函数描述抛物线运动轨 迹
详细描述
通过建立二次函数模型，描述物体 在垂直方向上的运动轨迹，并利用 函数的性质分析运动规律。
案例
一个物体从高处自由下落，其运动 轨迹可以近似地看作是抛物线。已 知物体下落的高度为10米，求物体 下落的时间和速度。
05
练习与思考
基础练习题
综合思考题
总结词
综合运用知识
思考题1
已知二次函数$f(x) = x^2 - 2x$在区间$[0,n]$上的值域为 $[0,3]$，求实数$n$的取值范围。
思考题2
求二次函数$f(x) = x^2 - 2x$在区间$[0,4]$上的极值点 。
思考题3
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$经过点$(0,1)$和 $(3,5)$，且在区间$[0,3]$上单调递减，求$a, b, c$的值。
01 02 03 04
总结词：巩固基础
练习题1：求二次函数$f(x) = x^2 - 2x$在区间$[-1,3]$的最大值和最小 值。
练习题2：已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的顶点坐标为$(2, -1)$， 求$a, b, c$的值。
九年级数学(下)提高班讲义(三) 二次函数的实际应用
九年级数学（下）提高班讲义（三）二次函数的实际应用九年级数学（下）提高班讲义（三）-二次函数的实际应用九年级数学改进课堂讲义（III）第1页，共8页九年级数学（下）提高班讲义（三）二次函数的实际应用班级：姓名：例1：一家公司生产的健身产品在市场上普遍很受欢迎，每年都能在国内外市场上销售一空。
该公司年产量为6000件。
如果在国内市场销售，每个产品的平均利润Y1（元）与国内销售数量x（1000件）之间的关系如下：（1）用x的代数式表示t为：t＝；当0＜x≤4时，y2与x的函数关系为y2＝；什么时候≤ x＜y2=100；（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内的销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；（3）公司在国内外的年销售额是多少，这能使公司每年的总利润最大化？最大值是多少？同步练习：某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元．则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．（1）找出Y和X之间的函数关系，直接写出自变量X的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?（3）当每种商品的价格定在多少元时，每月的利润只有2200元？根据以上结论，请直接写下销售价格范围，每月利润不低于2200元？例2：知识迁移：当a?0且x?0时，因为(x?aa2)≥0,所以x?2a?≥0,从而xxx？AA≥ 2A（x？A时取等号）还记得函数y吗？十、（a？0，x？0）。
从以上结论可以看出，当XXX？A、该函数的最小值为2A直接应用：已知函数Y1？X（X？0）和函数Y2？最小值为____变形应用：已知函数y1?x?1(x??1)与函数y2?(x?1)2?4(x??1),求指出取得该最小值时相应的x的值.实际应用：据了解，一辆车的一次性运输成本包括以下三部分：一是固定成本，共计360元；第二，燃料成本为每公里1.6元；第三个是折旧成本，它与距离的平方成正比，假设一次运输的车辆距离为x公里，比例系数为0.001。
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专题提升（八）二次函数在实际生活中的应用【经典母题】某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元,经市场调查表明,当售价在１0元到14元之间（含1０元，14元）浮动时，每瓶售价每增加0．５元，日均销量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶。
问销售价格定为每瓶多少元时,所得日均毛利润（每瓶毛利润=每瓶售价－每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？解：设售价为每瓶x元时,日均毛利润为y元，由题意，得日均销售量为4００－４0［（x-12)÷0．5］=1 360—８0x，ｙ＝（ｘ—9）（1 3６０－80ｘ)=－８0x2＋2 080x-１2 ２４0(10≤x≤14）．-=—０８０，2×（－8０)）＝1３，∵１0≤１3≤１4,∴当x＝1３时，y取最大值，ｙ=—８0×132+２ 080×１３-1２ 240＝1 280(元）．最大答:售价定为每瓶1３元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1 ２80元。
【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题,在建立函数关系式时，应注意自变量的取值范围，在这个取值范围内,需了解函数的性质（最大最小值，变化情况，对称性，特殊点等)和图象，然后依据这些性质作出结论．【中考变形】１．[2０１7·锦州]某商店购进一批进价为20元／件的日用商品，第一个月,按进价提高５0％的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y（件)与销售单价ｘ（元）的关系如图Ｚ8—1所示.(1）图中点P所表示的实际意义是当售价定为３5元/件时,销售量为3０0件；销售单价每提高1元时,销售量相应减少2０件;（2)请直接写出ｙ与x之间的函数表达式：＝2０图Z8－1x+1_000；自变量x的取值范围为３０≤x≤5０；（３）第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？解:（１)图中点P所表示的实际意义是：当售价定为３5元／件时，销售量为300件;第一个月的该商品的售价为20×（１＋5０％)=3０（元），销售单价每提高1元时,销售量相应减少数量为(4０0－300）÷(35—3０)＝２０(件)．（2)设y与x之间的函数表达式为y=+b，将点（30,4００）,（35，300）代入,得解得0００，））∴y与x之间的函数表达式为y=－20x+１ 000.当ｙ＝０时，x=50,∴自变量x的取值范围为３０≤x≤５0。
二次函数应用题有答案
二次函数应用题一、引言数学源于实际，数学的发展主要依赖于生产实践。
从数学应用的角度来处理数学、阐释数学、呈现数学，可以提高理论知识的可利用水平，增强理论知识可辨别性程度。
数学概念多是由实际问题抽象而来的，大多数都有实际背景。
尽管应用的广泛性是数学的一大特征，但常常被数学教材的严谨性和抽象性所掩盖，导致学生应用数学的意识薄弱，应用能力不强。
数学的“语言”供世界各民族所共有，是迄今为止惟一的世界通用的语言，是一种科学的语言。
科学数学化，社会数学化的过程，乃是数学语言的运用过程；科学成果也是用数学语言表述的，正如伽利略所说“自然界的伟大的书是用数学语言写成的”。
从而端正并加深对数学的认识，激发我们应用数学的自觉性、主动性。
二、例题例1、一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈。
已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。
(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？简解：(1)由于抛物线的顶点是 (0，3.5)，故可设其解析式为y=ax2+3.5。
又由于抛物线过(1.5，3.05)，于是求得a=-0.2。
∴抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5。
(2)当x=-2.5时，y=2.25。
∴球出手时，他距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.20(米)。
评析：运用投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹，抛物线形桥孔等设计的二次函数应用问题屡见不鲜。
解这类问题一般分为以下四个步骤：(1)建立适当的直角坐标系(若题目中给出，不用重建)；(2)根据给定的条件，找出抛物线上已知的点，并写出坐标；(3)利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式。
①当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c求其解析式；②当已知顶点坐标为(k，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式y=a(x-k)2+h求其解析式；③当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(x1，0)、(x2，0)时，可用双根式y=a(x-x1)(x-x2)求其解析式；(4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解。
实际问题中的二次函数建模训练
实际问题中的二次函数建模训练1．弹力球游戏规则：弹力球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成功．弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线．如图16，甲站在原点处，从离地面高度为1m的点A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2．（1）a的值为；点B的横坐标为；（2）若弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半．①求弹力球第一次着地后抛物线解析式；②求弹力球第二次着地点到点O的距离；③如果摆放一个底面半径为0.5m，高0.5m的圆柱形筐，且筐的最左端距离原点9m，若要甲能投球成功，需将筐沿x轴向左移动bm，直接写出b的取值范围．2．图1的小山丘是科研部门的小球弹射实验场地，在小山丘一侧的山坡上建有小球弹射发射装置，另一侧建有圆柱形小球接收装置．图2为实验场地的纵截面示意图，小山丘纵截面的外部轮廓线近似为抛物线的一部分，以小山丘纵截面与地面的交线为x轴，以过发射装置所在的直线AB为y轴，建立平面直角坐标系．发射装置底部在轮廓线的点A 处，距离地面为1米，在发射装置3米的点B处是发射点，已知小山丘纵截面的外部轮廓线为C1：y＝﹣x2+x+1，从发射装置的发射点弹射一个小球（忽略空气阻力）时，小球的飞行路线为一段抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c．（1）直接写出c的值，当小球离B处的水平距离和竖直距离都为4米时，求b的值，并求小球到小山丘的竖直距离为1米时，小球离B处的水平距离；（2）若小球最远着陆点到y轴的距离为15米，当小球飞行到小山丘顶的正上方，且与顶部距离不小于米时，求b的取值范围，并求小球飞行路线的顶点到x轴距离的最小值；（3）圆柱形小球接收装置的最大截面为矩形CDEF，已知点E在C1上，其横坐标为14，CF∥x轴，CD＝1.5，DE＝1，若小球恰好落入该装置内（不触碰装置侧壁），请直接写出b的取值范围．3．如图是小智用数学软件模拟弹球运动轨迹的部分示意图，已知弹球P从x轴上的点A向右上方弹射出去，沿抛物线l1：y＝﹣x2+2x+15运动，落到图示的台阶S1﹣S5某点Q处后，又立即向右上方弹起，运动轨迹形成另一条与L1，形状相同的抛物线L2，抛物线L2的顶点N与点Q的垂直距离为4，点A到台阶底部O的距离为3，最高一是台阶S1到x 轴的距离为9，S1～S5每层台阶的高和宽均分别为1和1.5．台阶的各拐角均为直角．（1）求弹球P上升到最高点M时，弹球到x轴的距离；（2）①指出落点Q在哪一层台阶上，并求出点Q的坐标；②求出抛物线L2的解析式；（3）已知△BCD的BC边紧贴x轴，∠C＝90°，BC＝1，CD＝2，当弹球沿抛物线L2下落能击中△BCD时，求点C的横坐标的最大值与最小值．4．图1是运动员训练使用的带有乒乓球发射机的乒乓球台示意图．水平台面的长和宽分别为2.8m和1.6m，中间球网高度为0.15m，发射机安装于台面左侧边缘，能以不同速度向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为0.4m，乒乓球（看成点）在发射点P获得水平速度v（单位：m/s）后，从发射点向右下飞向台面，点Q是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：P，Q的竖直距离h（单位：m）与飞出时间t（单位：s）的平方成正比，且当t＝1时，h＝5；P，Q的水平距离是vt（单位：m）．（1）设v＝10m/s，用t表示点Q的横坐标x和纵坐标y，并求出y与x的函数关系式；（不必写x的取值范围）（2）在（1）的条件下，①若发球机垂直于底线向正前方发球，根据（1）中的函数关系式及题目中的数据，判断这次发球能否过网？是否出界？并说明理由；②若球过网后的落点是右侧台面内的点M（如图3，点M距底线0.3m，边线0.3m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：≈2.6）（3）将乒乓球发射机安装于台面左侧底线的中点，若乒乓球的发射速度v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上（不接触中网和底线），请直接出v的取值范围．（结果保留根号）5．将小球（看作一点））以速度v1竖直上抛，上升速度随时间推移逐渐减少直至为0，此时小球达到最大高度．小球相对于抛出点的高度y（m）与时间t（s）的函数解析式为两部分之和，其中一部分为速度v1（m/s）与时间t（s）的积，另一部分与时间t（s）的平方成正比．若上升的初始速度v1＝10m/s，且当y＝5m时，小球达到最大高度．（1）求小球上升的高度y与时间t的函数关系式（不必写范围），并写出小球上升到最大高度时的时间；（2）如图，向上抛出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度v2（m/s），发现小球运动的路线为一抛物线，其相对于抛出点的高度y（m）与时间t（s）的函数解析式与（1）中的解析式相同．①若v2＝5m/s，当t＝s时，小球的坐标为，小球上升的最高点坐标为；求小球上升的高度y与小球距抛出点的水平距离x之间的函数关系式；②在小球的正前方的墙上有一高m的小窗户PQ，其上沿P的坐标为（6，），若小球恰好从窗户中穿过（不包括恰好击中点P，Q，墙厚度不计），请直接写出小球的水平速度v2的取值范围．6．如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为（﹣，﹣10）．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为（1，），正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；（3）在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM＝，EN＝，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围．。
二次函数的建模运用
二次函数的应用 1.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正确水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ）A ．2.76米B ．6.76米C ．6米D ．7米考点：二次函数的应用．专题：应用题；压轴题．分析：根据已知，假设解析式为y=ax 2，把（10，-4）代入求出解析式．假设在水面宽度18米时，能顺利通过，即可把x=9代入解析式，求出此时水面距拱顶的高度，然后和正常水位相比较即可解答．解答：解：设该抛物线的解析式为y=ax 2，在正常水位下x=10，代入解析式可得-4=a×102 ∴ 故此抛物线的解析式为：因为桥下水面宽度不得小于18米，所以令x=9时可得：此时水深6+4-3.24=6.76米即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则不能通过．故选B ．点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题．难度中上，首先要知道水面宽度与水位上升高度的关系才能求解．2.林书豪身高1.91m ，在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=−51-x 2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离约为（ ）A ．3.2mB ．4mC ．4.5mD ．考点：二次函数的应用．专题：数形结合．分析：把y=3.05代入所给二次函数解析式，求得相应的x 的值，加上2.5即为所求的数值．2251-y x =251-a =米24.381251-y -=⨯=解答：解：由题意得：3.05=−51-x 2+3.5， x 2=2.25，∵篮圈中心在第一象限，∴x=1.5， ∴他与篮底的距离约为1.5+2.5=4m ，故选B ．点评：考查二次函数的应用；建立数学模型，求得篮圈中心与原点的水平距离是解决本题的关键．3.如图是江夏宁港灵山脚下古河道上一座已有了400年历史的古拱桥的截面图，这座拱桥桥洞上沿是抛物线形状，若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，则抛物线两端点与水面的距离都是1m ，拱桥的跨度为10m ，桥洞与水面的最大距离是5m ，如果在桥洞两侧壁上各安装一盏距离水面4m 的景观灯，则两盏景观灯之间的水平距离是（ ）A ．3mB ．4mC ．5mD ．6m 考点：二次函数的应用．分析：根据抛物线在坐标系的位置，可知抛物线的顶点坐标为（5，5），抛物线的左端点坐标为（0，1），可设抛物线的顶点式求解析式，再根据两灯的纵坐标值，求横坐标，作差即可．解答：解：抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点（0，1），设抛物线解析式为y=a （x-5）2+5，把点（0，1）代入得：1=a （0-5）2+5，即∴抛物线解析式为令y=4，得∴盏景观灯之间的水平距离是： 故选C ．点评：根据抛物线在坐标系中的位置及点的坐标特点，合理地设抛物线解析式，再运用解析式解答题目的问题．4.如图，在“江夏杯”钓鱼比赛中，选手甲钓到了一条大鱼，鱼竿被拉弯近似可看作以A 为最高点的一条抛物线，已知鱼线AB 长6m ，鱼隐约在水面了，估计鱼离鱼竿支点有8m ，254-a =5)5(254-y 2+-=x 215x 1=m 525-215=25x 2=此时鱼竿鱼线呈一个平面，且与水平面夹脚α恰好为60°，以鱼竿支点为原点，则鱼竿所在抛物线的解析式为考点：二次函数的应用．分析：过点A 作AC⊥OB，交OB 于点C ，在RT△ABC 中，可求出AC 、BC ，然后根据OB=8米，可得出点A 的坐标，根据二次函数过原点及二次函数的顶点坐标即可确定二次函数解析式．解答：解：过点A 作AC⊥OB，交OB 于点C ，∵AB=6米，OB=8米，α=60°，∴AC=ABsin∠α=米BC=ACcos∠α=3米，∴OC=OB -BC=5米，故可得点A 的坐标为设函数解析式为y=a （x-5）2+ 又∵函数经过原点， ∴0=a （0-5）2 +解得：故函数解析为： 故答案为：点评：此题考查了二次函数的应用，关键是利用几何知识求出点A 的坐标，另外要掌握二次函数的一般式及顶点式的特点，有一定难度．33）（33,533332533-a =33)5(2533-y 2+-=x 33)5(2533-y 2+-=x5.如图，AB 是自动喷灌设备的水管，点A 在地面，点B 高出地面1.5米．在B 处有一自动旋转的喷水头，在每一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B 与水流最高点C 的连线与水平线成45°角，水流的最高点C 与喷头B 高出2米，在如图的坐标系中，水流的落地点D 到点A 的距离是 米．考点：二次函数的应用．分析：根据所建坐标系，易知B 点坐标和顶点C 的坐标，设抛物线解析式为顶点式，可求表达式，求AD 长就是求y=0是x 的值．解答：解：如图，建立直角坐标系，过C 点作CE⊥y 轴于E ，过C 点作CF⊥x 轴于F ， ∴B（0，1.5），∴∠CBE=45°，∴EC=EB=2米，∵CF=AB+BE=2+1.5=3.5，∴C（2，3.5）设抛物线解析式为：y=a （x-2）2+3.5，又∵抛物线过点B ，∴1.5=a（0-2）2+3.5 ∴∴ ∴所求抛物线解析式为： ∵抛物线与x 轴相交时，y=0， ∴（舍去）727221-=+=x x∴点D 坐标为）（0,72+水流落点D 到A 点的距离为：米72+点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据所建坐标系的特点设合适的函数表达式形式进而求出二次函数解析式是解决问题的关键．6.我市某工艺厂设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：（注：利润=销售总价-成本总价）销售单价x （元∕件） … 30 40 50 60 …21-a =23221-5.3)2(21-y 22++=+-=x x x 23221-y 2++=x x 23221-02++=x x每天销售量y（件）…500 400 300 200 …（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；（2）在（1）的条件下，设工艺厂试销该工艺品每天所得利润为P元；①当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润P为8000元？②工艺厂自身发展要求试销单价不低于35元/件，同时，当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过55元，写出在此情况下每天获利P的取值范围．考点：二次函数的应用．分析：（1）描点，由图可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；（2）①根据利润=销售总价-成本总价=单件利润×销售量；②据①中表达式，运用性质求P的取值范围．解答：解：（1）如图所示是一次函数解析式，设一次函数解析式为：y=ax+b30a+b＝500.........①40a+b＝400.........②解得：a＝−10 b＝800∴函数解析式为：y=-10x+800；（2）①由题意得出：P=yx=（-10x+800）（x-20）=8000，解得：x1=40，x2=60，∴当销售单价定为40元或60元时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润P为8000元；②∵P=yx=（-10x+800）（x-20）=-10x2+1000x-16000=-10（x-50）2+9000，∴当x=50时，P=9000元，当x=35时，P=6750元，∴P的取值范围是：6750≤P≤9000．点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，根据已知得出y与x的函数关系式是解题7.某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？解答：解：（1）设y=kx+b，由题意得，55k+b＝450...........①60k+b＝400...........②解得：k＝−10 b＝1000则函数关系式为：y=-10x+1000；（2）由题意得，S=（x-40）y=（x-40）（-10x+1000）=-10x2+1400x-40000=-10（x-70）2+9000，∵-10＜0，∴函数图象开口向下，对称轴为x=70，∴当50≤x≤70时，销售利润随着销售单价的增大而增大；（3）∵由40（-10x+1000）≤10000解得x≥75∴当x=75时，利润最大，为8750元．点评：本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．8.如图，是江夏广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O 落在水平面上，对称轴是水平线OC ．点A 、B 在抛物线造型上，且点A 到水平面的距离AC=4米，点B 到水平面距离为2米，OC=8米．（1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2）为了安全美观，现需在水平线OC 上找一点P ，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA 、PB 对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P ？（无需证明）（3）为了施工方便，现需计算出点O 、P 之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O 、P 之间的距离是多少？（请写出求解过程）考点：二次函数的应用．专题：压轴题． 分析：（1）以点O 为原点、射线OC 为y 轴的正半轴建立直角坐标系，可设抛物线的函数解析式为y=ax 2，又由点A 在抛物线上，即可求得此抛物线的函数解析式；（2）延长AC ，交建筑物造型所在抛物线于点D ，连接BD 交OC 于点P ，则点P 即为所求；（3）首先根据题意求得点B 与D 的坐标，设直线BD 的函数解析式为y=kx+b ，利用待定系数法即可求得直线BD 的函数解析式，把x=0代入y=-x+4，即可求得点P 的坐标． 解答：解：（1）以点O 为原点、射线OC 为y 轴的正半轴建立直角坐标系，设抛物线的函数解析式为y=ax 2，由题意知点A 的坐标为（4，8）． ∵点A 在抛物线上，∴8=a×42， 解得:21=a 221y x =∴所求抛物线的函数解析式为：（2）找法：延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，则点A、D关于OC对称．连接BD交OC于点P，则点P即为所求．（3）由题意知点B的横坐标为2，∵点B在抛物线上，∴点B的坐标为（2，2），又∵点A的坐标为（4，8），∴点D的坐标为（-4，8），设直线BD的函数解析式为y=kx+b，2k+b＝2..........①−4k+b＝8........②解得：k=-1，b=4．∴直线BD的函数解析式为y=-x+4，把x=0代入y=-x+4，得点P的坐标为（0，4），两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米．点评：此题考查了二次函数的实际应用问题．解此题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数解题．。