附加随机模型的GPS高程转换方法

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GPS高程及其转换

高新技术
ＮｅｗＴ２０１４ＮＯ．０９（下
ＧＰＳ高程及其转换
马学良卢自来（四川省交通厅交通勘察设计研究院，四川成都６１００１７）
摘要：本文简要介绍了ＧＰＳ定位的优越性及ＧＰＳ定位采用的地球（地心）坐标系—— ｗＧｓ８４世界大地坐标系统；
１９０５年的平均纬度所确定的平均地极位置作为基准点，这个基．八
征，可以提供高精度、高效率的导航、定位服务，由于其优越的定位性能。ＧＰＳ在各个领域得到广泛应用，手持终端的开发更是将ＧＰＳ的使用范围进一步扩展，人们可以通过相关应用程序方便快捷的查询所需地理坐标的平面位置。ＧＰＳ的精度因此得到了人们的认可。然而对于测量领域而言，ＧＰＳ的高程精度问题一直备受关注，在不断的研究过程中，相关领域的科研工作者一直试图探索ＧＰＳ大地高与正常高之间的转换关系，希望通过这一研究来实现ＧＰＳ测高取代传统水准测量。本文通过对ＧＰＳ定位系统的相关分析，初步验证了ＧＰＳ高程转换在
（１）全球地面连续覆盖，观测点间无需通视，不需造标，只要观测点上空
开阔，就可以进行ＧＰＳ测量。（２）基本不受天气影响，可全天候作业。（３）定位精度高，数十公里内一般可达到１ — ２×１０米。（４）观测时间短。（５）可提供三维坐标。

gps坐标转换常用方法及转换流程

GPS坐标转换常用方法及转换流程GPS（全球定位系统）坐标转换是将地球上的位置坐标从一种表示方式转换为另一种方式的过程。

这种转换是非常常见的，特别是在地图应用、导航系统和地理信息系统中。

本文将介绍常用的GPS坐标转换方法并提供详细的转换流程。

背景知识在讨论GPS坐标转换之前，首先需要了解一些背景知识。

1. GPS坐标系统GPS坐标系统是用于在地球表面定位和导航的一种坐标系统。

它由经度、纬度和海拔高度组成。

经度表示位置在东西方向上的位置，纬度表示位置在南北方向上的位置，海拔高度表示位置相对于平均海平面的高度。

2. 常用的GPS坐标系统常见的GPS坐标系统包括WGS84和GCJ02坐标系统。

•WGS84坐标系统是一种全球通用的坐标系统，由GPS系统使用。

在大多数情况下，来自GPS设备的原始坐标将使用WGS84。

•GCJ02坐标系统是中国国家测绘局制定的一种坐标系统，用于在中国境内的地图应用中。

GCJ02坐标系统是基于WGS84进行了偏移处理，以保护国家安全。

常用的GPS坐标转换方法在进行GPS坐标转换时，常用的方法包括WGS84转GCJ02和GCJ02转WGS84。

1. WGS84转GCJ02WGS84转GCJ02是将WGS84坐标转换为GCJ02坐标的过程。

由于GCJ02坐标系统在WGS84的基础上进行了偏移处理，所以需要经过一些计算来进行转换。

转换的具体步骤如下：1.将WGS84坐标的经度和纬度分别记为lng和lat。

2.如果lat在1.5以外且lng在48.5以外，则直接返回WGS84坐标。

3.否则，计算新的坐标。

具体计算公式请参考相关的算法。

4.将计算得到的新坐标作为GCJ02坐标返回。

2. GCJ02转WGS84GCJ02转WGS84是将GCJ02坐标转换为WGS84坐标的过程。

由于GCJ02坐标系统相对于WGS84进行了偏移处理，所以需要进行逆运算才能得到原始的WGS84坐标。

转换的具体步骤如下：1.将GCJ02坐标的经度和纬度分别记为lng和lat。

gps高程转换的方法

gps高程转换的方法GPS高程转换是一项基本而重要的技能，它在地理信息系统、工程测量和电子导航等领域都有着广泛的应用。

它是将GPS定位坐标转换成对应高程的过程。

在该过程中，为了得到可靠的结果，需要对GPS 高程转换方法有一个清晰的了解。

下面将逐步介绍GPS高程转换的步骤和方法。

第一步：获取GPS坐标数据首先需要获取GPS定位数据，包括经度、纬度和椭球高程。

椭球高程也被称为天球面高程，是指从GPS卫星到地球表面上的点所在的椭球体的中心点（地球质心）的距离。

椭球高程很难被直接应用于实际工程和测量中，因此需要进行高程转换。

第二步：确定大地高程接下来需要确定大地高程。

大地高程是从地球表面到一个特定的水平参考面的垂直距离。

它可以通过测量地球表面上的高程点和水平参考面之间的垂直距离来获得。

通常，大地高程采用海平面作为参考面，即平均海平面。

第三步：计算椭球高程和大地高程的差异一旦测量了大地高程和GPS坐标数据，就可以通过计算椭球高程和大地高程之间的差异来获得高程转换结果。

这个过程被称为高程的正常高差或高差变换。

这些高差数据可以通过使用特定的高程转换模型来进行计算。

第四步：应用高程转换模型现在，需要使用特定的高程转换模型将椭球高程转换为大地高程。

这些模型通常基于椭球体长轴的长度以及地球的极半径和赤道半径。

例如，欧洲和北美采用的高程转换模型是EGM96（Earth Gravitational Model 1996），该模型基于WGS84椭球体。

第五步：校准结果最后需要校准高程转换的结果。

为了保证高程转换的精度，需要采用校准点进行校准。

这些校准点通常是相对于大地高程确定的。

通过校准，可以更准确地将椭球高程转换为大地高程。

综上所述，GPS高程转换是一个复杂的过程，需要严谨的方法和流程。

正确的GPS高程转换方法是确保测量结果准确度和可靠性的关键。

熟悉这些步骤和方法可以使高程转换计算更具准确性。

基于多项式拟合模型的GPS高程转换方法研究

基于多项式拟合模型的GPS高程转换方法研究GPS高程转换是一个在土地测量、建筑工程、环境监测、地质勘探等领域中广泛使用的技术。

GPS测量的高程坐标与标准高程系统（如国家大地水准面）之间存在着误差，因此需要进行高程转换。

本文将介绍一种基于多项式拟合模型的GPS高程转换方法。

多项式拟合模型是一种数学模型，可以用于拟合一组离散数据点，以便获取他们之间的函数关系。

在GPS高程转换中，我们可以采集一组样本点，包括GPS高程坐标和标准高程坐标，然后使用多项式拟合模型来拟合这些数据。

通过拟合后得到的函数关系，我们可以将GPS高程坐标转换为标准高程坐标。

具体来说，我们可以采集一组N个GPS高程坐标和对应的标准高程坐标：(x1,y1),(x2,y2),...,(xN,yN)其中，xi为GPS高程坐标，yi为标准高程坐标。

然后我们可以通过多项式拟合模型来拟合这组数据，得到一个k次多项式：f(x)=a0+a1x+a2x^2+...+akx^k其中，a0,a1,...,ak为多项式系数。

通过求解这些系数，我们可以得到一个拟合函数f(x)。

然后，我们可以将GPS高程坐标x带入这个拟合函数中，得到标准高程坐标y：y=f(x)这样，我们就可以通过多项式拟合模型实现GPS高程转换。

需要注意的是，为了确保拟合的准确性，我们应该选择适当的多项式次数k。

如果k过小，我们可能无法完全拟合样本数据，导致误差较大；如果k过大，我们可能会过度拟合数据，导致模型过于复杂，容易产生过拟合误差。

因此，需要根据数据量和样本特点选择合适的多项式次数。

总之，基于多项式拟合模型的GPS高程转换方法具有简单易操作、精度高等优点。

在实际应用中，可以通过采集一定数量的GPS高程点和标准高程点，建立多项式拟合模型，实现高效精准的GPS高程转换。

GPS高程拟合及转换方法

浅谈GPS高程拟合技术1、前言GPS（Global Positioning System）即全球定位系统，是1973年美国国防部为了满足军事部门对海上、陆地和空中设施进行高精度导航和定位的要求而研究的新一代高精度卫星导航系统。

GPS是以人造卫星为基础的无线电导航系统，它是利用天空中均匀分布的24颗GPS卫星轨道参数及其载波相位信号，通过地面接收设备接收其发射信息，实时地测定地面接收载体的三维位置。

我院从1999年开展了GPS技术在公路勘测中的应用研究。

几年来的生产实践，我们认识到了GPS技术在平面控制测量和路线中桩、边桩放样方面具有传统测量工作不可比拟的优势，可以极大的降低劳动作业强度，提高作业效率，但GPS技术在高程测量方面的应用还一直处于研究状态。

本文结合几年来的生产实践仅就GPS技术在高程拟合方面的应用谈谈自己的观点：2、高程异常GPS测得三维坐标高程为各GPS点在WGS—84坐标系中的大地高H，而公路勘测所用的地面高程是相对于似大地水准面的正常高H正，两者之间的差值称为高程异常，用公式可表示为：ζ=H—H正式中：ζ—为高程异常要将GPS所求的大地高转换成正常高，关键是求得精确的高程异常ζ。

目前通常采用二次曲面函数对高程异常进行曲面拟合，对于GPS水准联测点P K拟合模型可写为ζK=a0+a1Δx k+a2Δy k+a3Δx2k+ a4Δy2k+ a5Δx kΔy k—εk式中Δx k=x k—x0 Δy k=y k—y0x0，y0是参考点的坐标，一般取重心坐标；x k，y k是P k点的平面坐标，也可是大地纬度和大地经度；εk为拟合残差。

按最小二乘法可求得拟合系数a为a=（A T A）-1A Tζ式中a=[ a0 a1…a n]T ζ==[ζ0 ζ1…ζn]T1 Δx1 Δy1 Δx21 Δy21 Δx1Δy11 Δx2 Δy2 Δx22 Δy22 Δx2Δy2A= ………………………………可以看到，在采用二次曲面拟合时，至少应有6人GPS水准联测点，当少于6个时，则应去掉二次项拟合系数σ3，σ4，σ5，即采用平面系数拟合，此时拟合模型为ξk=σ0+σ1Δx k+σ2Δy k-εk求得拟合系数后，任意点P i的高程异常为ξi=σ0+σ1Δx i+σ2Δy i-σ3Δx i2+σ4Δy i2+σ5Δx iΔy i或为ξi=σ0+σ1Δx i+σ2Δy i当然还有基它一些方法：绘等高直线图法、解析内差法、滤波推估法，但这些方法在实际操作中计算量过大。

GPS大地测量坐标系统及高程系统转换

学院：武汉大学班级学号： 7学生姓名：程卫旗指导教师：黄声享武汉大学摘要GPS( Global Positioning System) 测量具有全天候、快速、经济等诸多优点,但是长期以来,工程应用领域只是利用了GPS 测量中的平面位置信息,浪费掉了高程信息,也就是没有充分利用并开发GPS 资源。

如果GPS 水准方法在一定范围内可替代低等级几何水准测量,不仅可以获得可观的经济效益,而且也为通过GPS 测量确定大地水准面的研究提供了参考。

因此, GPS 测定正常高的研究具有一定的科学价值及现实意义。

GPS观测数据经处理后，可以得到两点间基线向量及高精度大地高差，若已知一点大地高，便可求得全网任一点的大地高。

大地高是以椭球面为基准的高程系统，而我国采用的是以似大地水准面为基准的正常高系统，因此，需将大地高转换为正常高。

关键词：GPS,高程系统转换- 1 -目录1 绪论........................................ 错误！未定义书签。

1.1引言 .................................... 错误！未定义书签。

1.2GPS全球定位系统简介 .................... 错误！未定义书签。

1.3GPS系统发展现状 ........................ 错误！未定义书签。

1.4我国高程系统现状........................ 错误！未定义书签。

1.5GPS高程转换概况 ........................ 错误！未定义书签。

1.6本论文所研究的内容...................... 错误！未定义书签。

2 高程基准起算面及其相互关系.................. 错误！未定义书签。

2.1平均海平面与高程基准面.................. 错误！未定义书签。

2.2大地水准面与似大地水准面................ 错误！未定义书签。

第3讲-GPS高程与正常高转换

2019/10/11
大地测量学与测量工程专业
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3.高程异常已知点的数量
零次：最少1个；一次多项式：最少3个；二次多项式：最少6个
4.分区拟合
2019/10/11
大地测量学与测量工程专业
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高等应用测量-GPS高程与正常高转换（第3讲）
七、高程拟合作业 1.高程拟合点分布的情况为
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大地测量学与测量工程专业
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高等应用测量-GPS高程与正常高转换（第3讲）
令 1
B

1
x1 x2
y1 y2
x12 x22
y12 y22
x1 y1 x2 y2

1 xm
ym
xm2
ym2
xm ym

xˆ aˆ0 aˆ1 aˆ2 aˆ3 aˆ4 aˆ5 T V v1 v2 vm T L 1 2 m T
大地测量学与测量工程专业
11
高等应用测量-GPS高程与正常高转换（第3讲）
五、多项式拟合实施步骤（1）一次多项式拟合实施步骤
我们知道，如果有3个GPS/水准重合点，我们就可以得到3个点的高程异常，从而列出以下的3个方程，解出3个系数，得到具体的求高程异常的公式。
1 a0 x1a1 y1a2
高等应用测量-GPS高程与正常高转换（第3讲）
GPS高程与正常高转换
史经俭
西安科技大学测绘学院
2019/10/11
大地测量学与测量工程专业
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高等应用测量-GPS高程与正常高转换（第3讲）
一、问题的产生 GPS能够提供地面点精确的三维坐标值（X，Y，Z和L，B，H）。其精

GPS高程转换方法分析

GPS高程转换方法分析作者：周振新来源：《城市建设理论研究》2013年第06期摘要：文章概述了GPS高程测量原理及GPS高程转换的常用方法，具有一定的科学性和实用性。

关键词：GPS；高程转换；方法Abstract: this paper summarizes the GPS height measurement principle and GPS height conversion of the commonly used method, has the certain scientific and practical.Keywords: GPS; Height conversion; methods.中图分类号：P228.4 文献标识码：A 文章编号：2095-2104（2013）近年来，GPS卫星定位技术已在测绘、交通、城建、国土管理、水电、地质、水运、采矿等部门得到广泛的应用，并取得了可喜成果。

目前GPS定位技术已经能够在10-6~10-9的精度量级上简捷而经济地获得所测点位的平面精度，但未能以相应的精度得到点的高程。

主要原因是，GPS能给出高精度的大地高，由于没有一个具有相应精度的高分辨率的似大地水准面模型，致使GPS大地高到GPS海拔高或正常高的转换中精度严重丢失。

一、GPS高程测量原理GPS测量可以得到相对于WGS-84坐标系的大地高（H），而我国采用的高程是相对于似大地水准面的正常高或正高（h），两者的差值为高程异常（ζ）。

在工程应用中，三者关系为：ζ=H—h（1）由于各GPS点上的高程异常值无法直接测得，目前还无法直接将大地高精确地转换为正常高，传统的几何水准测量方法是测绘领域中测定正常高的主要方法，这种方法虽然精度高，但实施起来费时费力，效率低。

如何利用GPS的精度高、速度快、操作简单等优点来解决高程问题成为测绘科学领域的一个热点，而如何求得精确的高程异常则是测绘技术的关键。

目前大都采用高程拟合的方法来解决这类问题。

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附加随机模型的ＧＰＳ高程转换方法
吴寒姚宜斌
（武汉大学测绘学院，武汉４３００７９）

摘要提出在已有ＧＰＳ高程转换函数模型的基础上，通过增加随机模型以提高ＧＰＳ高程转换精度，并以二阶
多项式拟合函数模型增加随机模型为例，验证了该方法。
大地测量与地球动力学
３０卷
响的权重Ｐ可以表示为：Ｐｉ＝（ｉ＝１，２， …，ｎ）２ｄ＋Ｈ Δ ｉ槡
２ｉ
２实现方法
对于一般的函数模型：Ｌ＝ＢＸ＋（１） Δ 式中，Ｂ为已知系数矩阵，Ｌ和 Δ表示观测向量和观测误差（或噪声）向量，Ｘ是随机量，按照极大验后
表１已知点拟合高程（单位：ｍ）Ｔａｂ．１Ｆｉｔｔｉｎｇｈｅｉｇｈｔｓｏｆｔｈｅｋｎｏｗｎｐｏｉｎｔｓ（ｕｎｉｔ：ｍ）点号０５０７１２１３１５２０２１２３２５２６２７２８２９２３８２４０２４３高程异常（） ξ ｉ１５．４６３１５．５７８１５．８８９１６．０９７１６．３０５１６．６６２１６．８３８１６．５６６１６．３４６１６．２３９１６．２２３１５．７８５１５．７６８１６．８８９１６．５１１１６．１０４拟合的高程异常 ′ （） ξ １５．４５１１５．５４９１５．８９１１６．０８７１６．２９０１６．６４２１６．８３３１６．５５９１６．３２３１６．２１４１６．１９９１５．７７０１５．７５１１６．８７１１６．４７９１６．０９７拟合残差 ′ ）（ ξ ξ ｉｉ－－０．０１２－０．０２９０．００２－０．０１０－０．０１５－０．０２０－０．００５－０．００７－０．０２３－０．０２５－０．０２４－０．０１５－０．０１７－０．０１８－０．０３２－０．００７
８］估计求得的信号估值为［－１＾＝ＸＥ（Ｘ／ｌ）＝ＤＤＬ－） μ μ 珔（Ｘ＋ＸＬＬＬ
１
（６）
根据未知点与已知点的距离和已知点的高程异常拟合残差求未知点高程异常改正数先验期望 μ ： Δ
ｎ
∑Ｐ Δ ｉｉ μ Δ＝ ∑Ｐｉ
ｉ＝１ｎ＝１ｉ
ｔｉｃｍｏｄｅｌｉｓｐｕｔｆｏｒｗａｒｄｔｏｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅａｃｃｕｒａｃｙｏｆＧＰＳｈｅｉｇｈｔｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ｔｈｒｏｕｇｈａｃａｓｅｏｆｉｎｃｒｅａｓｉｎｇｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｍｏｄｅｌｏｎｔｈｅｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｆｉｔｔｉｎｇｍｏｄｅｌ，ｉｔｐｒｏｖｅｄｔｈａｔｗｉｔｈｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｔｈｅａｃｃｕｒａｃｙｏｆＧＰＳｈｅｉｇｈｔｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｃａｎｂｅｉｍｐｒｏｖｅｄｍｏｒｅ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｈｅｉｇｈｔｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ；ｆｕｎｃｔｉｏｎｍｏｄｅｌ；ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｍｏｄｅｌ；ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｆｉｔｔｉｎｇ；ａｃｃｕｒａｃｙ
。由此可知，使用数学拟合法时
已知点的拟合残差一定会对未知点的拟合异常高程偏差有一定的影响，并且距离越近影响越大。针对该问题，主要采用距离定权加以解决。目前常采用的定权方法有平面距离定权，Ｋｒｉｇｉｎｇ定权法和向径
１０］距离定权［，本文采用向径距离定权法求出 μ 。 Δ
［９］
整体趋势面拟合方法采用多项式拟合曲面模型，大量的实验表明二阶多项式拟合拟合精度较高，能满足现实拟合需要。鉴于此，本文以二阶多项式
１１］拟合模型拟合初始高程异常［。选取０５、０７、１２、
１３、１５、２０、２１、２３、２５、２６、２７、２８、２９、３８、２４０、２４３总共１６个点作为已知点求解二阶拟合函数模型，其余已知点作为检核点，采用Ｍａｔｌａｂ软件编程实现其ＧＰＳ高程转换。将１６个已知点代入二阶拟合模型求出拟合的。高程异常值和拟合残差见表１附加随机模型改正后的检核点高程异常以及它们分别与检核点真值之差见表２。由表２可以得出：直接拟合的高程异常中误差ｍ０．０２４ｍ，拟拟合＝合加上随机模型改正得到的高程异常中误差ｍ模型＝０．０１２ｍ。１１个检核点的两种方案对应残差比较如图２所示。方案一表示只经过拟合模型求得的检
ｊ、ｋ表示已知ＧＰＳ水准点号，ｍ表示已知的水式中，准点ＧＰＳ观测次数，、表示ｊ点和ｋ点在ＧＰＳ Δ Δ ｊｒｋｒ第ｒ次观测所求得的高程异常拟合残差，、表 μ μ ｊ Δ Δ ｋ示ｊ号和ｋ号ＧＰＳ水准点平均高程异常拟合残差。由于是平稳随机过程，故已知点高程异常拟合残差的数学期望估值 μ 可认为是ｎ个ＧＰＳ水准点 Δ ｉ１ｎ高程异常拟合残差的平均值，即μ ＝ ∑Δ 。ｉ Δ ｉｉ＝１ｎ实验表明，相邻点之间高程异常值的变化基本为连续渐变过程，两个点相距越近，其高程异常值间的联系就越紧密
第３０卷第３期２０１０年６月
大地测量与地球动力学ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＧＥＯＤＥＳＹＡＮＤＧＥＯＤＹＮＡＭＩＣＳ
Ｖｏｌ．３０Ｎｏ．３Ｊｕｎｅ，２０１０
文章编号：１６７１５９４２（２０１０）０３００６７０４
７］也存在许多缺陷［。综合考虑，本文采用先通过纯
函数模型找出高程异常的整体趋势曲面，然后对未知点的高程异常采用极大验后滤波求定，最终使得未知点的高程异常更加逼近真实值来达到提高ＧＰＳ
［１］
目前可以通过多种方法得到似大地水准面高或高程异常数据，常用的方法有：等值线图法、地球
关键词高程转换；函数模型；随机模型；多项式拟合；精度中图分类号：Ｐ２２７文献标识码：Ａ
ＧＰＳＨＥＩＧＨＴＣＯＮＶＥＲＳＩＯＮＭＥＴＨＯＤＷＩＴＨＡＤＤＩＴＩＯＮＡＬＳＴＯＣＨＡＳＴＩＣＭＯＤＥＬ
（７）
（２）
ＰＳ高程异常转换，根据已知点高程异常针对Ｇ拟合残差与未知点高程异常改正数建立滤波函数模＾型和随机模型，求解高程异常残差改正数为 Δ 。设参与拟合函数计算的ｎ个已知点，其高程异常为 ξ （ｉ＝１，２， …，ｎ），根据解得的拟合函数求出ｎｉ个已知点的拟合高程异常，设为 ξ（ｉ＝１，２， …，ｎ），已知点的高程异常拟合残差为（３） Δ ξ－ ξ ｉ＝ｉ已知点高程异常拟合残差的数学期望Ｅ（）＝ Δ ｉ，未知点高程异常残差改正数 Δ的先验期望为Ｅ μ Δ ｉ（）＝。 Δ μ Δ 已知点 Δ ，未知点 μ ｉ的先验方差为Ｄ Δ Δ 关于已ｉ知点 Δ 。ｉ的协方差为Ｄ μ Δ ｉ Δ ＾为：根据随机模型按照极大验后估计求得 Δ －１＾Ｄ（４） Δ＝ μ Δ μ ｉ－ Δ＋ μ ΔＤ Δ （ Δ）
Δｉｉｉ
设未知点由拟合函数求出的高程异常为 ξ ，所以，经过增加随机模型改正后的未知点高程异常值 ′ ＾－（８） ξ＝ ξ Δ
３试验与结果分析
试验数据来源于安徽某测区，范围为东西３５，南北长２１ｋｍ，测区均匀布设ＧＰＳ水准点２７个ｋｍ（图１），测区最大、最小高程异常为１６．８８９ｍ和１５．４６３ｍ，变化幅度为１．４２６ｍ。该区地势起伏较
２００９１１２６收稿日期：基金项目：国家８６３计划项目（２００６ＡＡ１２Ｚ３２３）；国家自然科学基金（４０７７４００８）；国家９７３计划项目（２００６ＣＢ７０１３０１）作者简介：吴寒，男，１９８５年生，硕士，主要研究方向为测量数据处理理论与方法．Ｅ－ｍａｉｌ：ｈａｎｙｕｓｈｕｉ２００８＠１６３．ｃｏｍ
１２］小［。
′ ｉ
′ ｉ
式中，Ｄ、、 μ μ Δ Δ Δ 的确定如下：ｉｉ１ｍＤ（ｊ，ｋ）＝（）（）｝ ∑｛ Δ μ Δ μ ｊｒ－ｊｋｒ－ Δ Δ Δ ｉｋｒ＝１ｍ－１（５）