数学培优竞赛新方法(九年级)-第22讲 几何最值
数学培优竞赛新方法(九年级)-配方法
配方法把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法。
配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段。
运用配方法解题的关键在于“配凑”，“拆”与“添”是配方中常用的技巧。
熟悉以下基本等式：1.222)(2b a b ab a ±=+±2.2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++； 3.[]222222)()()(21a c cb b a ca bc ab c b a ±+±+±=±±±++ 4.a b ac a b x a c bx ax 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++ 【例1】已知y x ,实数满足0332=-++y x x ，则y x +的最大值为（镇江市中考题）思路点拨 把y 用x 的式子表示，通过配方法求出y x +的最大值。
【例2】已知c b a 、、，满足722=+b a ，122-=-c b ， 1762-=-a c ，则c b a ++的值等于（ ）A.2B.3C.4D.5（河北省竞赛题）思路点拨 由条件等式的特点，从整体叠加配方入手【例3】已知a 是正整数，且a a 20042+是一个正整数的平方，求a 的最大值。
（北京市竞赛题）思路点拨 设222004m a a =+（m 为正整数），解题的关键是把等式左边配成完全平方式。
【例4】已知c b a 、、是整数，且01,422=-+=-c ab b a ，求c b a ++的值（浙江省竞赛题）【例5】若y x 、是实数，且y x y xy x m 446422--+-=，确定m 的最小值（北京市竞赛题）分析与解 选择x 为主元，将条件等式重新整理成x 的二次三项式，利用配方求m 的最小值。
练习1.设mn n m n m 4,022=+>>，则mnn m 22-的值等于（ ）A.32B.3C.6D.3（2011年南通市中考题）2.已知m m Q m P 158,15172-=-=（m 为任意实数），则Q P 、的大小关系为（ ） A.Q P > B.Q P = C.Q P < D.不能确定（泰州市中考题）3.若实数z y x 、、，满足0))((4)(2=----z y y x z x ，则下列式子一定成立的是（ ）A.0=++z y xB.02=-+z y xC.D.02=-+y x z（2011年天津市中考题）4.化简2121722321217223---++的结果是（ ） A.2 B.2- C.2 D.2-（2011年江西省竞赛题）5.已知实数c b a 、、满足016,72=++++=+-c b bc ab c b a ，则ab的值等于 （天津市竞赛题）6.当2>x 时，化简代数式1212--+-+x x x x 得（“希望杯”邀请赛试题）7.已知z y x 、、为实数，且满足52,352-=--=-+z y x z y x ，则222z y x ++的最小值为 。
全品培优-华师九上-第22章
第22章 一元二次方程22．1 一元二次方程22．2 一元二次方程的解法专题一 一元二次方程根的判别式与三角形形状1．已知a 、b 、c 是三角形ABC 的三边长，且方程(c －b )x 2＋2(b －a )x ＋a －b ＝0有两个相等的实数根，那么这个三角形的形状如何？2．设a 、b 、c 是△ABC 的三边长，关于x 的方程x 2＋2bx ＋2c －a ＝0有两个相等的实数根，且方程3cx ＋2b ＝2a 的根为0.(1)求证：△ABC 为等边三角形；(2)若a 、b 为方程x 2＋mx －3m ＝0的两根，求m 的值．3． 已知：a 、b 、c 为△ABC 的三边长，当m >0时，关于x 的方程c (x 2＋m )＋b (x 2－m )axm 2 ＝0有两个相等的实数根．求证：△ABC 为直角三角形．专题二 一元二次方程根的判别式与韦达定理的综合运用4．已知关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋12k 2－2＝0. (1)求证：不论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)设x 1、x 2是方程的两根，且x 21－2kx 1＋2x 1x 2＝5，求k 的值．5．已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2－2mx ＋m 2－4＝0的两个实数根．(1)求证：不论m 取何值时，方程总有实数根；(2)若x 21＋2mx 1＋4mx 2＝3m 2＋8，求m 的值．6．已知关于x 的方程x 2－(m －2)x －m 24＝0. (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异的实数根；(2)若这个方程的两个实数根x 1、x 2满足||x 1＝||x 2＋2，求m 的值及相应的x 1、x 2.答案1．解：(2b －2a )2－4(a －b )(c －b )＝0，4a 2－4ab －4ac ＋4bc ＝0，(a －b )(a －c )＝0，∴a ＝b 或a ＝c ，∴△ABC 是等腰三角形．2．解：(1)证明：方程x 2＋2bx ＋2c －a ＝0有两个相等的实数根，∴(2b )2－4×(2c －a )＝0，即a ＋b ＝2c .方程3cx ＋2b ＝2a 的根为0，则2b ＝2a ，a ＝b ，∴2a ＝2c ，a ＝c ，∴a ＝b ＝c ，故△ABC 为等边三角形．(2)∵a 、b 相等，∴x 2＋mx －3m ＝0有两个相等的实根，∴m 2＋4×1×3m ＝0，解得m 1＝0，m 2＝－12.∵a 、b 为正数，∴m 1＝0(不合题意，合去)，故m ＝－12.3．证明：整理原方程c (x 2＋m )＋b (x 2－m )－2max ＝0.得cx 2＋cm ＋bx 2－bm －2max ＝0，(c ＋b )x 2－2max ＋cm －bm ＝0.∵方程有两个相等的实数根，∴(－2ma )2－4(c ＋b )(cm －bm )＝0，4ma 2－4(c 2m －bcm ＋bcm －b 2m )＝0，ma 2－c 2m ＋b 2m ＝0，∴m (a 2＋b 2－c 2)＝0.又∵m >0，∴a 2＋b 2－c 2＝0，∴a 2＋b 2＝c 2.又∵a 、b 、c 为△ABC 的三边长，∴△ABC 为直角三角形．4．[解析] (2)中给出的条件是一个方程两根的非对称式，要求k 的值，需设法建立起关于k的方程，直接利用根与系数的关系比较困难，而此时利用方程根的定义，就可找到突破口．解：(1)略(2)∵x 1是方程x 2－2kx ＋12k 2－2＝0的一个根， ∴x 21－2kx 1＋12k 2－2＝0， ∴x 21－2kx 1＝2－12k 2.又∵x 1、x 2是x 2－2kx ＋12k 2－2＝0的两个根， 由根与系数的关系得：x 1·x 2＝12k 2－2， ∴2－12k 2＋2⎝⎛⎭⎫12k 2－2＝5， ∴k 2＝14，∴k ＝±14.5．[解析](2)中同样给出的条件是一个方程两根的非对称式，仍需建立起关于k 的方程．解：方法一：类似上题的解法，可以解得：m ＝±1.方法二：利用一元二次方程的求根公式，可以求出两个根为：m ＋2和m －2，把它们分别代人x 21＋2mx 1＋4mx 2＝3m 2＋8中，可以得到一个关于m 的的方程：m 2－1＝0，∴m ＝±1.6．[解析](2)中给出的是带有绝对值的两根关系式，不太容易着手．如何建立关于m 的方程呢？解：(1)略(2)由||x 1＝||x 2＋2得||x 1－||x 2＝2，两边平方得x 21＋x 22－2||x 1·||x 2＝4，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2－2||x 1·||x 2＝4.∵x 1·x 2＝－m 24≤0， ∴||x 1·||x 2＝||x 1·x 2＝m 24， ∴m 2－4m ＝0，∴m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，两根为0和－2；当m ＝4时，两根为1＋5和1－ 5.22．3实践与探索专题一元二次方程在方案设计中的应用1．有100米长的篱笆材料，想围成一个矩形露天仓库，要求面积不小于600平方米，在场地的北面有一堵长为50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40米，宽10米的矩形仓库，但面积只有400平方米，不合要求，现请你设计矩形仓库的长和宽，使它符合要求．2．顾客李某于今年“五·一”期间到电器商场购买空调，与营业员有如下的一段对话：顾客李某：“A品牌的空调去年“国庆”期间价格还挺高，这次便宜多了，一次降价幅度就达到19%，是不是质量有问题？”营业员：“不是一次降价，这是第二次降价，今年春节期间已经降了一次价，两次降价的幅度相同．我们所销售的空调质量都是很好的，尤其是A品牌系列空调的质量是一流的”．顾客李某：“我们单位的同事也想买A品牌的空调，有优惠政策吗？”营业员：“有，请看《购买品牌系列空调的优惠办法》”．以上对话和A品牌系列空调销售的优惠办法，请你回答下列问题：(1)求A品牌系列空调平均每次降价的百分率？( 2)请你为顾客李某决策，选择哪种优惠更合算，并说明为什么？答案1．[解析]由于符合要求的设计方案不唯一，可以有多个设计．方案一：设计为矩形(长和宽均用材料)；方案二：设计为正方形；方案三：利用旧墙的一部分；方案四：利用整个旧墙(50米)．解：(1)如果设矩形的宽为x米，则用于长的材料为(50－x)米，这时面积为S＝x(50－x)，当S＝600时，x(50－x)＝60，整理得x2－50x＋600＝0，解得x1＝20，x2＝30.(2)根据在周长相等的条件下，正方形的面积大于长方形的面积，所以可设计所正方形仓库，它的边长为x米．则4x＝100，x＝25，这时面积达625平方米，符合要求．(3)如果利用场地的旧墙，取矩形的长与旧墙平行，设与墙垂直的边长为x米，则另一边长为(100－2x)米．∵旧墙长50米，∴100－2x≤50，即x≥25米．若S＝600平方米，则x(100－2x)＝600，整理得x2－50x＋300＝0，解得x1＝25＋513，x2＝25－513.∴利用旧墙，可取矩形垂直于旧墙的边长为25＋513米(或约43米)，另一边长约14米时，符合要求．(4)如果充分利用旧墙，即矩形一边长是50米旧墙时，用100米材料围成矩形仓库，则矩形另一边长为25米，这时矩形面积为S＝50×25＝1250(平方米)，即面积可达到1250平方米，符合设计要求．2．解：(1)设A品牌系列空调平均每次降价的百分率为x，原价为a，根据题意，得a(1－x)2＝a(1－19%)，解得x1＝1.9(不合题意，舍去)，x2＝0.1＝10%.(2)若顾客李某现在要买的A品牌系列空调的某一型号的价格为每台x元，按照优惠方案一每台需支付y1元，按照优惠方案二每台需支付y2元，则y1＝0.95x＋90，y2＝0.98x，当y1＞y2时，x＜3000(元)，此时应选方案二；当y1＝y2时，x＝3000(元)，此时选两种方案都一样；当y1＜y2时，x＞3000(元)，此时应选方案一．答：(1)A品牌系列空调平均每次降价的百分率为10%；(2)当A品牌系列空调某一型号的价格小于3000元/台时，应选方案二；当A品牌系列空调某一型号的价格为3000元/台时，两种方案都可以选；当A品牌系列空调某一型号的价格大于3000元/台时，应选方案一．。
人教版九年级上册数学同步培优第二十二章 二次函数 用二次函数求最值问题
(3)当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b＋3的情况 下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函 数的解析式．
解：当c＝b2时，二次函数的解析式为y＝x2＋bx＋b2，
图象开口向上，对称轴为直线x＝－ b .
①当－
b 2
＜b，即b＞0时，
2
在自变量x的值满足b≤x≤b＋3的情况下，y随x的增大而增大，
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2．【教材P49探究1变式】【2021·广东】我国南宋时期数学 家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公
式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角 形的三边长分别为a，b，c，记p＝ a＋b＋c ，则其面积S
2 ＝ p（p－a）（p－b）（p－c）. 这个公式也被称为海伦 －秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大 值为( )
【点思路】设销售价为x元(x≥9)，每天所获利 润为y元，则y＝[20－4(x－9)]·(x－8)＝－4(x－ 11)2＋36，所以将销售价定为11元时，才能使每 天所获销售利润最大.
【答案】11
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5．【2021·鄂州】为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收 入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放 种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植 某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该 作物的成本y(元)与种植面积x(亩)之间满足一次函数关系 ，且当x＝160时，y＝840；当x＝190时，y＝960.
对称轴为直线 x＝1 810000－a， ∵x 只能取整数，且当两公司租出的汽车均为 17 辆时， 月利润之差最大， ∴16.5≤1 810000－a≤17.5.解得 50≤a≤150.
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(1)求y与x之间的函数解析式(不求自变量的取值范围)； 【点方法】根据已知条件用待定系数法即可求出一次
人教2011课标版 初中 数学 九年级上册第22章22.1含参二次函数的最值问题(共21张PPT)
回顾二次函数的图像与性质
x＝－2ba
x＝－2ba
续表
性 质
－2ba，4ac4－a b2
当 x>－2ba时，y 随 x 的 增大而增大
当 x<－2ba时，y 随 x 的 增大而减小
－2ba，4ac4－a b2 x<－2ba
x>－2ba
小 y 最小＝4ac4－a b2
有最大值，即 y 最大＝ 4ac－b2
15
2
4
6
例8 3: 求函数y=x2-2x-3在k≤x≤k+2时 的6 最大值和最小值
4
x=1
2
k
k+2
10
28
当 k ＜1＜ k+2 时 即-1 ＜k ＜1时
①1-k>k+2-1时， 即-1<k<0时
5 由图 10 像 x可 k时 15 y知 最 ， 大 ： k22k3 x1时y最 ，小 -4
46
函数值的较大者是最大值,较小者是最小值；
（3）当x0不在m≤x≤n时，x=m、x=n时函数值 中的较大者是最大值，较小者是最小值.
例2：已知二次y函 x2数 2hxh (1)当-1x1时，函数的最-小 2，值 求 h的 为最大值； (2)当-1x1时，函数的最2小 h，值求 h为 的最大值； (3)当-1x1时，函数的最t小 ，值 求 t的为最大值；
8 8
10
例3:8 求函数y=x2-2x-3在k≤x≤k+2时 的最6大值和最小值
4
2 x=1 k+2
k
当k+2≤1即k ≤-1时
由图像 x可 k时知 y最 ， 大 ： k22k3
初三数学特长生讲义几何最值
初三数学特长生讲义几何最值BOBRB 几何最值求几何最值问题的基本方法： （1）特殊位置与极端位置法 （2）几何定理（公理）法 （3）数形结合法例1、如图，在ABC ∆中，2==BC AB ，︒=∠90ACB ，D 是BC 边的中点，E 是AB 边的一动点，则ED EC +的最小值是例2、如图，︒=∠45AOB ，点P 在角内，10=OP ，Q 、R 分别在OA 和OB 上，PQR ∆周长的最小值是例3、如图，圆锥的主视图是边长为6的正三角形ABC ，P 为母线AC 的中点，从B 沿圆锥面到P 的最短距离是AAM例4、如图，两圆内切于A ，大圆直径为48厘米，小圆直径为30厘米，两只甲虫同时从A 点出发，沿逆时针方向以相同的速度分别沿两个圆爬行，当小圆上的甲虫爬了 圈时，两只甲虫相距最远。
例5、如图，10=AB ，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边APC ∆和等边BPD ∆，求CD 长度的最小值。
例6、设正三角形ABC 边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上任意一点，求PM PA +的最大值和最小值。
例7、如图，已知平行四边形ABCD 中，a AB =，b BC =（b a >),P 为AB 边上一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ，求BQ AP +的最小值例8、如图，已知边长为4的正方形钢板。
有一个角锈蚀，其中2=AF ，1=BF ，在五边形EABCD 内截取一个矩形MDNP ，使点P 在AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。
例9、在有定角A 和定半径r 的内切圆的一切三角形中，确定一个有最小周长的三角形。
例10、已知点A 、B 是圆O 外的两定点，点P 是圆O 上的动点，求22PB PA +的最大值和最小值。
例11、在锐角ABC ∆的AB 边取一点M ，作BC MP ⊥于点P ，AC MQ ⊥于点Q ，求点M 的位置，使线段PQ 最短例12、如图，边长为2的正三角形ABC 内有一点P ，它到三边的距离分别为PD 、PE 、PF ，求：（1）222PF PE PD ++的最小值（2）DEF ∆面积的最大值例13、在A B C ∆中，5=BC ，12=AC ，13=AB 。
初三数学最值问题基本求法
初三数学最值问题基本求法数学最值问题，听起来是不是有点头疼？其实，它并没有你想象中的那么复杂。
咱们可以把这类问题看作是寻找一个“最佳”的答案，也就是最大值或最小值。
接下来，我就来给你讲讲怎么把这些问题搞定，让你也能轻松应对！1. 最值问题的基本概念首先，我们得搞清楚什么是最值问题。
最值问题就是在某些条件下，我们要找到一个最优解。
简单来说，就是在一堆可能的答案里，找到那个最顶尖的、最牛的或者最小的。
1.1 最大值和最小值举个例子吧，假如你要找一个班级里成绩最好的同学，或者找出一个商场里最便宜的商品，这就是在找最大值或最小值。
数学里也是这么回事，我们要在一定的条件下，找到一个变量的最大或最小值。
1.2 设定问题的条件为了找到最值，我们必须明确问题的条件。
这就像是你去打游戏的时候，得知道规则和目标，才能发挥出最好的成绩。
在数学题里，条件就是题目给定的信息，比如函数的范围、限制条件等。
2. 基本求解方法那么，如何求解最值问题呢？这儿有几个常用的方法，跟着我一步步来，保准你能搞定！2.1 代入法代入法是一种最常见的解题技巧。
比如你有一个函数，你可以将已知的条件代入到这个函数里，然后通过计算，找出最大值或最小值。
这就像是你拿到一道数学题，直接把条件带进去，然后一头扎进去计算，结果就会显现出来。
2.2 画图法有时候，画图也是个好方法。
尤其是当你面对的函数比较复杂的时候，画图可以帮助你更直观地看到函数的走势。
就像看风景一样，你能更清楚地看到山峰和谷底，进而找到函数的极值点。
3. 进阶技巧掌握了基本方法之后，咱们可以深入一点，看看更高级的技巧。
3.1 函数的导数法导数法对于那些学过一点微积分的同学来说，可能会有点复杂，但也非常有效。
通过导数，我们可以找出函数的斜率，从而判断函数的极值点。
简单来说，就是通过分析函数的“走势”，来找出它的最大值或最小值。
3.2 二次函数的最值对于二次函数，我们有一种特别的办法来找最值。
2020年九年级数学中考经典几何题讲义系列：几何最值问题
中考经典几何题系列：几何最值问题【知识点】几何中最值问题包括： ①“面积最值” ②“线段（和、差）最值”.（1）求面积的最值方法：需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解；（2）求线段及线段和、差的最值方法：需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理.一般处理方法：常用定理： 两点之间，线段最短（已知两个定点时）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）三角形三边关系下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。
（1） 两点一线的最值问题: （两个定点 + 一个动点）问题特征：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置，使动点与定点线PA +PB 最小， 需转化，使点在线异侧 Bl段和最短。
核心思路：这类最值问题所求的线段和中只有一个动点，解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置。
方法：1.定点过动点所在直线做对称。
2.连结对称点与另一个定点，则直线段长度就是我们所求。
变异类型：实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。
1.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
（2）一点两线的最值问题: （两个动点+一个定点）问题特征：已知一个定点位于平面内两相交直线之间，分别在两直线上确定两个动点使线段和最短。
核心思路：这类问题实际上是两点两线段最值问题的变式，通过做这一定点关于两条线的对称点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同一直线上来解决。
变异类型：1.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。
使△PAB的周长最小。
2.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小。
数学培优竞赛新方法-第22讲 几何最值
例2第22讲几何最值知识纵横几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。
求几何最值问题的基本方式有：1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，在进行一般情况下的推证。
2.几何定理（公理）法：应用几何中的不变量性质、定理.3.数行结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等。
例题求解【例1】如图，在锐角ABC ∆中，24=AB ，45=∠BAC ，BAC ∠的平分线交BC于点D ，点M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BN BM +的最小值。
【例2】如图，在ABC ∆中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与AB 相切的动圆与CB、CA 分别相交于点E、F，则线段EF 的最小值（）。
A.24B.4.75C.5D4.8【例3】如图，正方形ABCD 的边长为4cm，点P 是BC 边上不与点B、C 重合的任意一点，连接AP，过点P 作PQ⊥AP 交DC 于点Q，设BP 的长为x cm，CQ 的长为y cm.(1)求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值；(2)当41=y cm 时，求x 的值.例1例3【例4】如图，已知平行四边形ABCD，AB=a，BC=b（a>b）,P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q，求AP=BQ 的最小值.【例5】如图，在四边形ABCD中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90，BC、AD 的延长线交于P，求AB·S△PAB 的最小值.图形折叠【例6】在等腰ABC ∆中，AB =AC =5，BC =6.动点M 、N 分别在两腰AB 、AC 上（M 不与A、B 重合，N 不与A、C 重合），且MN//BC，将△AMN 沿MN 所在的直线折叠，使点A 的对应点为P.（1）当MN 为何值时，点P 恰好落在BC 上？（2）设x MN =，MNP ∆与等腰ABC ∆重叠部分的面积为y，试写出y 与x 的函数关系式.当x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？.例4例5例6第1题学力训练基础夯实1．如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长为6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_______。
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第22讲 几何最值
知识纵横
几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。
求几何最值问题的基本方式有：
1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，在进行一般情况下的推证。
2.几何定理（公理）法：应用几何中的不变量性质、定理.
3.数行结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等。
例题求解
【例1】 如图，在锐角ABC ∆中，24=AB ，45=∠BAC ，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，点M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BN BM +的最小值 。
（陕西省中考题）
思路点拨 画折线为直线，综合运用轴对称、垂线段最短等知识。
例1
例2
【例2】 如图，在ABC ∆中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与AB 相切的动圆与CB 、CA 分别相交于点E 、F ，则线段EF 的最小值（ ）。
A.24 B.4.75 C.5 D4.8
（兰州市中考题）
思路点拨 设O 与AB 相切与T ，连OC 、OT,EF 为O 直径，则EF=OE+OF=OC+OT,将问题转化为求OC+OT 的最小值。
【例3】 如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B 、C 重合的任意一点，连接AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ，设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm.
(1) 求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值； (2) 当4
1
=
y cm 时，求x 的值. （河南省中考题）
思路点拨 利用相似形建立y 与x 的函数关系式，由此导出y 的最大值
例3
【例4】 如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a ，BC=b （a>b ）,P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ，求AP=BQ 的最小值.
（永州市竞赛题）
思路点拨 设AP=x ，把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式ab b a 22
2
≥+或
ab b a 2≥+（当且仅当a=b 时取等号）来求最小值.
【例5】 如图，在四边形ABCD 中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90，BC 、AD 的延长线交于P ，求AB ·S △PAB 的最小值.
例
4
例5
图形折叠
【例6】 在等腰ABC ∆中，AB =AC =5，BC =6.动点M 、N 分别在两腰AB 、AC 上（M 不与A 、B 重合，N 不与A 、C 重合），且MN//BC ，将△AMN 沿MN 所在的直线折叠，使点A 的对应点为P.
（1）当MN 为何值时，点P 恰好落在BC 上？
（2）设x MN =，MNP ∆与等腰ABC ∆重叠部分的面积为y ，试写出y 与x 的函数关系式.当x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？.
（2011年宁夏中考题）
例6
第1题
学力训练
基础夯实
1．如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长为6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_______。
（荆门市中考题）
2．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是________。
（烟台市中考题）
3．动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB=3，AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A 处，折痕为PQ ．当点A 在BC 边上移动时，折叠的端点P 、Q
也随之移动。
若限
第2题
定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ’在BC 边上可移动的最大距离为_______。
（河南省中考题）
4．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC,AD=DC=4，BC=8。
点N 在上，CN=2,E 是AB 中点，在AC 上找一点M ，使EM+MN 的值最小，此时最小值一定等于（ ）。
A. 6 B.8 C.4 D.34
（呼和浩特市中考题）
5．如图，在等腰ABC RT ∆中，︒=∠90C ，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、边上运动，且保持AD=CE ，连接DE 、DF 、EF.在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF 是等腰三角形；②四边形CDFE 不可能为正方形；③DE 长度的最小值为4；④四边形CDFE 的面积保持不变；⑤△CDE 面积的最大值为8.其中正确的结论是（ ）。
A ．①②③ B ．①④⑤ C ．①③④ D ．③④⑤
（重庆市中考题）
6．如图，已知A(-3,0)，b(0,-4)，P 为双曲线x
y 12
=
（0>x ）上任意一点，过P 作PC ⊥
X 第3题
第4题
第5题
轴于C 点，PD ⊥Y 轴于D 点，则四边形ABCD 面积的最小值为（ ）。
A.22 B.23 C.24 D.26
（杭州市中考题）
7．如图，圆O
的直径为5，在圆O
上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ：CA=4：3，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 重合），过C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．
（1）求证：AC •CD=PC •BC ；
（2）当点P 运动到AB 弧中点时，求CD 的长；
（3）当点P 运动到什么位置时，△PCD 的面积最大？并求这个最大面积S ．
（荆门市中考题）
第6题 第7题
8.工程师有一块长AD为12分米，宽AB为8分米的铁板，截去了长AE=2分米，AF=4分米的直角三角形，在余下的五边形中结的矩形MGCH，M必须在线段EF上．
（1）若截得矩形MGCH的面积为70平方分米，求矩形MGCH的长和宽．
（2）当EM为多少时，矩形MGCH的面积最大？并求此时矩形的周长．
（鄂州市中考题）
第8题。