初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题10 最优化
初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题10 最优化_答案[精品]
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专题10 最优化例1. 4 提示：原式=112-62-+）（x . 例2. B 提示：由-1≤y ≤1有0≤≤1，则=22+16+3y 2=142+4+3是开口向上，对称轴为71-=x 的抛物线. 例3. 分三种情况讨论：①0≤a <b ，则f ()在a ≤≤b 上单调递减，∴f (a )=2b ，f (b )=2a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b a a b 解得⎩⎨⎧==31b a ②a <b ≤0，则f ()在a ≤≤b 上单调递增，∴f (a )=2a ，f (b )=2b ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b b a a 此时满足条件的（a ，b ）不存在. ③a <0<b ，此时f ()在=0处取得最大值，即2b =f (0)=213,b =413,而f ()在=a 或=b 处取最小值2a .∵a <0，则2a <0，又∵f (b )=f (413)=021341321-2>+⨯）（，∴f (a )=2a ，即2a =2132-2+a ，则⎪⎩⎪⎨⎧=--=413172b a 综上，（a ，b ）=(1，3)或（17-2-，413） 例4. （1）121≤≤x ，y 2 = 21+216143-2+-）（x .当=43时，y 2取得最大值1，a =1； 当21=x 或=1时，y 2取得最小值21，b =22.故a 2+b 2=23. (2) 如图，AB =8，设AC =，则BC =8- ，AD =2，CD =42+x ，BE =4，CE =16)-8(2+xBF =AD =2.10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值.此时△EBC ∽△DAC ，有224===DA EB CA BC , 从而=AC =3831=AB .故原式取最小值时，=38. (3)如图， 原式=[]2222222)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+）（）（=AB +BC +CD ≥AD ，其中A （-2,0），B （0，3）,C (1,2y ),D (3,4),并且当点B ，C 在线段AD 上时，原式取得最小值，此时5423=x ，5432=y .例5. 由S =ay m y n a 2)(22+--，得an -S +2ay =a 22n y -，两边平方，经整理得0)()(4322222=+-+-+m a S an y S an a y a .因为关于y 的一元二次方程有实数解，所以[][]0)(34)(422222≥+-⨯--m a S an a S an a ，可化为2223-m a an S ≥）（.∵S >an ，∴am an S 3-≥，即am an S 3+≥，故S 最小=am an 3+.例6（1）设1≥1，2≥2，≥，于是1+2+…+≤1+2+…+ = 2003，即20032)1(≤+k k (+1)≤4006，∵62×63=3906<4006<4032=63×64，∴≤62. 当1=1，2=2，…61=61，62=112时，原等式成立，故的最大可能值为62.（2） 若取⎩⎨⎧=+=-222ba cb ac ，则2)1(2+=b b c 由小到大考虑b ，使2)1(+b b 为完全平方数.当b =8时，c 2=36，则c =6，从而a =28.下表说明c 没有比6更小的正整数解.显然，表中c 4-3的值均不是完全平方数，故c 的最小值为6.A 级1．7- 11- 2．1 3．14 提示：y =5－,=4－，原式=3(－3)2+14． 4．A 提示：原式=27－(a +b +c )2． 5．D 6．C 7．(1)y =－+1000(500≤≤800) (2)①S =(－500)(－+1000)=－2+1500－500000(500≤≤800);②S －(－750)2+62500,即销售单价定为750时，公司可获最大毛利润62500元，此时销量为250件． 8．（1）－4≤m ≤2 （2）设方程两根为1，2，则12+22=4(m －34)2+1034，由此得12+22最小值为1034，最大值为101． 9．设a 2－ab +b 2=，又a 2+ab +b 2=1②，由①②得ab =12(1－)，于是有（a +b )2=12(3－)≥0，∴≤3，从而a +b =．故a ，b 是方程t 2t +12k -=0的两实根，由Δ≥0，得133k ≤≤． 10．设A （1,0)，B （2，0)，其中 1，2是方程a 2+b +c =0的两根，则有1+2=b a -<0，12=ca >0，得1<0，2<0，由Δ=b 2－4ac >0，得b >|OA |=|1|<1，|OB |=|2|<1，∴－1<1<0，－1<2<0，于是ca=12<1，c <a ．由于a 是正整数，已知抛物线开口向上，且当=－1时，对应的二次函数值大于0，即a－b +c >0，a +c >b ．又a ，b ，c 是正整数，有a +c ≥b +1>2+1，从而a +c >2+1，则212>>≥，于是a >4，即a ≥5，故b b ≥5．因此，取a =5，b =5，c =1，y =52+5+1满足条件，故a +b +c 的最小值为11． 11．（1）该设备投入使用天，每天平均损耗为y =11111[500000(0500)(1500)(2500)(500)]4444x x -+⨯++⨯++⨯++++L =11(1)[500000500x ]42x x x -++⨯=500000749988x x ++． (2)y =500000749988x x ++7749999988≥=．当且仅当5000008xx =，即=2000时，等号成立．故这台设备投入使用2000天后应当报废．B 级 1．20 提示：a 2－8b ≥0，4b 2－4a ≥0，从而a 4≥64b 2≥64a ，a ≥4，b 2≥4． 2．4 提示：构造方程． 3．提示：设经过t 小时后，A ，B 船分别航行到A 1，B 1，设AA 1=，则BB 1=2，B 1A 1=4．D 提示：a 2+b 2≥2ab ，c 2+d 2≥2cd ，∴a 2+b 2+c 2+d 2≥2(ab +cd )≥．∴ab +cd ≥2，同理bc +ad ≥2，ac +bd ≥2． 5．A 提示：=s －2≥0,y =5－43s ≥0，=1－13s ≥0，解得2≤s ≤3，故s 的最大值与最小值的和为5． 6．A 提示：|AB |=C (2125,24k k k -++-），ABC S V 2+2+5=(+1)2+4≥4． 7．设此商品每个售价为元，每日利润为S 元．当≥18时，有S =[60－5（－18)](－10)=－5(－20)2+500，即当商品提价为20元时，每日利润为500元；当≤18时，S =[60+10（18－)](－10)=－10(－17)2+490，即当商品降价为17元时，每日利润最大，最大利润为490元，综上，此商品售价应定为每个20元． 8．设对甲、乙两种商品的资金投入分别为，(3－)万元，设获取利润为s ，则s 15x =s －15x =2+(9－10s )+25s 2－27=0，∵关于的一元二次方程有实数解，∴（9－10s )2－4×（25s 2－27)≥0，解得1891.05180s ≤=，进而得=0.75（万元），3－=2.25(万元）．即甲商品投入0.75万元，乙商品投入2.25万元，获得利润1.05万元为最大． 9．y =5－－，代入y ＋y ＋=3，得2＋(－5)＋(2－5＋3)=0．∵为实数，∴Δ=(－5)2－4(2－5＋3)≥0，解得－1≤≤133,故的最大值为133，最小值为－1． 10．设b c x a b==，则b =a ，c =a 2，于是，a ＋b ＋c =13，化为a (2＋＋1)=13．∵a ≠0，∴2＋＋1－13a =0 ①．又a ，b ，c 为整数，则方程①的解必为有理数，即Δ=52a－3>0，得到1≤a ≤5231≤a ≤16．当a =1时，方程①化为2＋－12=0，解得1=－4，2=3． 故a min =1，b =－4，c =16 或a min =1，b =3，c =9．当a =16时，方程①化为2＋＋316=0．解得1=－34，2=－14．故a min =16，b =－12，c =9；或a min =16，b =－4，c =1． 11．设1，2，…，n 中有r 个－1，s 个1，t 个2，则219499r s t r s t -++=⎧⎨++=⎩，得3t ＋s =59，0≤t ≤19．∴13＋23＋…＋n 3=－r ＋s ＋8t =6t ＋19．∴19≤13＋23＋…＋n3≤6×19＋19=133．∴在t =0，s =59，r =40时，13＋23＋…＋n 3取得最小值19；在t =19，s =2，r =21时，13＋23＋…＋n 3取得最大值133． 12．∵把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，∴12＋22＋…＋402的最大值和最小值存在．不妨设1≤2≤…≤40．若1>1，则1＋2=(1－1)＋(2＋1)，且(1－1)2＋(2＋1)2=12＋22＋2(2－1)＋2>12＋22．于是，当1>1时，可以把1逐步调整到1，此时，12＋22＋…＋402的值将增大．同理可以把2，3，…，39逐步调整到1，此时12＋22＋…＋402的值将增大．从而，当1，2，…，39均为1，40=19时，12＋22＋…＋402取得最大值，即A =22239111+++L 1442443个＋192=400．若存在两个数i ，j ，使得j －i ≥2（1≤i ＜j ≤40），则（i ＋1)2＋(j －1)2=i 2＋j 2－2(i －j －1)<i 2＋j 2．这表明，在 1，2，…，40中，若有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1此时，12＋22＋…＋402的值将减小，因此，当12＋22＋…＋402取得最小值时，1，2，…，40中任意两个数的差都不大于1．故 当1=2=…=22=1，23=24=…=40=2时，12＋22＋…＋402取得最小值，即222111+++L 144244322个222222+++⋯+=94从而，A+B=494.。
初中数学九年级培优教程整理(全)
【例１】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）A. a 2 1B. 12C. 8D. 27初中数学九年级培优目录第1 讲二次根式的性质和运算(P2 --- 7)第2 讲二次根式的化简与求值(P7 --- 12)第3 讲一元二次方程的解法(P13 --- 16)第4 讲根的判别式及根与系数的关系(P16 --- 22)第5 讲一元二次方程的应用(P23 --- 26)第6 讲一元二次方程的整数根(P27 --- 30)第7 讲旋转和旋转变换（一）(P30 --- 38)第8 讲旋转和旋转变换（二）(P38 --- 46)第9 讲圆的基本性质(P47--- 51)第10 讲圆心角和圆周角(P52 --- 61)第11 讲直线与圆的位置关系（P62 --- 69）第12 讲圆内等积证明及变换((P70 --- 76)第13 讲弧长和扇形面积(P76 --- 78)第14 讲概率初步(P78 --- 85)第15 讲二次函数的图像和性质(P85 --- 91)第16 讲二次函数的解析式和综合应用(P92 --- 98)第17 讲二次函数的应用(P99 --- 108)第18 讲相似三角形的性质(P109 --- 117)第19 讲相似三角形的判定(P118---- 124)第20 讲相似三角形的综合应用(P124 ---- 130)考点·方法·破译第1 讲二次根式的性质和运算1. 了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析；2. 掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3. 会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.经典·考题·赏析【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B 中含分母，C、D 含开方数4、9，故选 A.【变式题组】1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（）A. 10B. 8C. 6D. 2⑵①a2b2 ；②x；③5x2 xy ；④27 abc ，最简二次根式是（）A ．①,②B ．③,④C．①,③ D ．①,④【例２】( 黔东南) 方程4x 8x y m 0 ，当y＞0 时，m 的取值范围是（）A ．0＜m＜1 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0 的结论. 由题意得4x－8＝0，x－y－m＝0.化为y ＝2－m，则2－m＞0，故选 C.【变式题组】2．（宁波）若实数x、y 满足x 2 ( y 3) 20 ，则xy 的值是.3．（荆门）若x 1 1 x (x y)2 ，则x－y 的值为（）A ．－ 1B ．1 C．2 D．34．（鄂州）使代数式x 3有意义的x 的取值范围是（）x 4A ．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3 且x≠45. （怀化） a 2 b 3 (c 4) 0 ，则a－b－c＝.【例３】下列二次根式中，与24 是同类二次根式的是（）A ．18 B．30 C．48 D．54【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样.A ．18 3 2 ；B ．30 不能化简； C. 48 4 3 ；D．54 3 6 ，而24 2 6 .故本题应选 D.【变式题组】6. 如果最简二次根式3a 8 与17 2a 是同类二次根式，则a＝．7. 在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）A ． 3 和18B ． 3 和13C．a2 b和ab2 D ． a 1 和 a 18. 已知最简二次根式 b a 3b 和2b a 2 是同类二次根式，则a＝，b＝. 【例４】下列计算正确的是（）A ． 5 3 2B ．8 2 4C．27 3 3 D．(1 2)(1 2) 122 a(a＞0)【解法指导】正确运用二次根式的性质①( a) 2a(a≥0) ；② a 2 a0(a 0) ；③ab a b( a≥0, b≥0) ；④b b(b≥0, a＞0)a aa(a＜0)进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算. A 、 B 中的项不能合并.D.(1 2)(1 2) 1 ( 2) 2【变式题组】1..故本题应选 C.9. （聊城）下列计算正确的是（）A ．2 3 4 2 6 5B ．8 4 2C．27 3 3 D．( 3)2 310. 计算：( 15 4) 2007(4 15) 200711．(2 3 3 2) 2 (2 3 3 2) 212. ( 济宁) 已知 a 为实数，那么a2 ＝（）A ．aB ．－a C．－1 D．013. 已知a＞b＞0，a＋b＝6 ab ，则a ba b的值为（）2 1A ．B ．2 C． 2 D．2 2【例５】已知xy＞0，化简二次根式xy的正确结果为（）x2A ．yB ．y C．y D．y【解法指导】先要判断出y＜0，再根据xy＞0 知x＜0. 故原式xyx【变式题组】y . 选D. 14. 已知a、b、c 为△ ABC三边的长，则化简 a b c ( a b c) 2的结果是.15. 观察下列分母有理化的计算：并利用这一规律计算：1 12 1 ，2 13 213 2 ，4 34 3 ，算果中找出规律，(1 1L1) ( 2006 1) .2 13 2 2006 200516．已知，则0＜x＜1，则( x 1)2 4 ( x1) 2 4 .x x1 1 b 5 1 5 1【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：，其中 a ，b .a b b a(a b) 2 22⑵已知 x3 2 ， 32y3 2 ，那么代数式 32xy (x y)2 xy (x y)2值为 .【解法指导 】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy 、x ＋ y 的值，再代入求值 .ab a( a b) b 2(a b)2a b 5 1 5 1 【解】⑴原式＝，当 a， b时， ab ＝ 1，a ＋ b ＝ 5 ,原式＝ 5 .ab(a b)ab (a b)ab22⑵由题意得： xy ＝ 1， x ＋ y ＝ 10, 原式＝ .【变式题组 】17．（威海）先化简，再求值：(a ＋ b)2＋ (a － b)(2a ＋ b)－ 3a 2，其中 a2 3 , b3 2 .a2a 2a 418．（黄石）已知 a 是 43 的小数部分，那么代数式 ( 22) (a ) 的值为 .a 4a 4 a2a a【例７ 】已知实数 x 、y 满足 ( x x22008)( yy22008) 2008，则 3x 2－2y 2＋ 3x － 3y － 2007 的值为（ ）A ．－ 2008B ．2008C ．－ 1D ． 1【解法指导 】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出 a 、b 的关系，再代入求值 .解: ∵ ( x x 22008)( y y22008) 2008，∴ ( xx22008)2008 yy 2008 ，( yy22008)yy22008 xx220082008xx22008 ，由以上两式可得 x ＝ y.选 D.∴ ( x x22008) 2008, 解得 x 2＝2008，所以 3x 2－ 2y 2＋ 3x － 3y － 2007＝ 3x 2－ 2x 2＋ 3x － 3x － 2007＝x 2－ 2007＝ 1，故 【变式题组 】19．若 a ＞0， b ＞ 0，且a( ab) 3 b( a5 b ) ，求 2a3bab的值 .演练巩固 · 反馈提高a b ab01. 若 m40 4 ，则估计 m 的值所在的范围是（）A ． 1＜ m ＜ 2B ． 2＜ m ＜ 3C ． 3＜m ＜ 4D ． 4＜m ＜ 502．（绵阳）已知12 n 是正整数，则实数 n 的最大值为（）A ． 12B ．11C ． 8D ． 303．（黄石）下列根式中，不是．．最简二次根式的是（）1 A.7 B. 3C.2D. 204．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）1 100 101 1 100992 2A.2 B. 6 C. 8 D. 1005．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A.12B.x233 C.D.2a 2b06．（常德）设 a ＝ 20， b ＝ (－ 3)2, c 9 , d ( 1) 1 2, 则 a 、b 、 c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的是（）A ．c ＜ a ＜ d ＜bB ． b ＜ d ＜ a ＜ cC ． a ＜ c ＜ d ＜bD ． b ＜ c ＜ a ＜ d07．（十堰）下列运算正确的是（） A ． 32 5 B ． 32 6C ． ( 3 1)23 1D ．52325 308．如果把式子 (1 a)1 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（）1 aA ．1 a B ． a 1C ．a 1D ．1 a09．（徐州）如果式子(x 1)2x 2 化简的结果为 2x － 3，则 x 的取值范围是（）A ． x ≤ 1B ．x ≥ 2C ． 1≤ x ≤ 2D ． x ＞ 010．（怀化）函数 yx 中自变量的取值范围是.x 211．（湘西）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算 a ※ b ＝3 2 5 .那么 12※ 4＝ .3 2a21 a 112．（荆州）先化简，再求值：232，其中 a 3 .a2a 1 a a13．（广州）先化简，再求值：( a培优升级3)( a3) a(a 6) ，其中 a51 .201．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x － 2 和 5x ＋ 6，则这个数是 .02．已知 a 、b 是正整数，且满足 2(15 15 ) a b是整数，则这样的有序数对（ a ，b ）共有 对.03．（全国）设 a5 1 ，则aa42a 3a 2a 23.04．（全国）设 x2 aa1, a 是 x 的小数部分 , b 是 x 的小数部 , 则 a 3 ＋b 3＋ 3ab ＝ .2 105．（重庆）已知yx22 x222 ，则 x ＋y ＝ .5x 4 4 5x06．（全国）已知 a2 1 ， a 2 2 6 ， a 6 2 ，那么 a 、b 、c 的大小关系是（）A ． a ＜ b ＜ cB ．b ＜ a ＜ cC ． c ＜ b ＜ aD ．c ＜ a ＜ b35207．（武汉）已知 yx 1 4 x （ x ， y 均为实数），则 y 的最大值与最小值的差为（）A ． 6 3B ．3C ． 5 3D ． 6308．（全国）已知非零实数a 、b 满足 2a 4 b 2(a 3)b 24 2a ，则 a ＋ b 等于（）A ．－ 1B ． 0C ．1D ． 209．（全国） 23 2 2 17 12 2 等于（）A ． 5 4 2B ． 4 2 1C ． 5D ． 110. 已知 x2 xy y 0( x 0, y0) ，则3x xy y的值为（ ）1 1 A ．B ．325x 2 3 C ．D ．343 xy4 y11.已知 a b 2 a 1 4 b 2 3 c 3 1c 5 ，求 a ＋ b ＋ c 的值 . 212. 已知 913 与 913 的小数部分分别是 a 和 b ，求 ab － 3a ＋ 4b ＋ 8 的值 .考点·方法·破译第 2 讲 二次根式的化简与求值1. 会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2. 会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值 .3. 会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.经典· 考题· 赏析【例１ 】（河北）已知x1 2 ，那么x x 的值等于xx3x 12x9 x 1【解法指导 】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用 1x表示或化简变形 .x解：两边平方得，x1 2 4 ， xx1 2 ，两边同乘以 x 得， xx21 2 x ，∵ x 23x 1 5 x ， x29 x 1 11x ，22∴原式 = 1 1 511【变式题组 】5 11 =5111. 若 a1 14 （0＜ a ＜1），则 a a a2. 设x1aa ，则 4x x 2的值为（）A. a1aB.1 aaC. a1 aD ．不能确定【例２ 】（全国）满足等式x y y x2003x2003y 2003xy＝ 2003 的正整数对（ x, y ）的个数是（） A ． 1B ． 2C ． 3D ．4【解法指导 】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解 .解：可化为xy( x y) 2003( x y) 2003( xy 2003) 0 ，∴ (xy 2003)( x y2003) 0∵xy2003 0 ，∴ xy2003 0，则 xy ＝2003，且 2003 是质数，∴正整数对（ x, y ）的个数有 2 对，应选 B. 【变式题组 】3．若 a ＞ 0， b ＞ 0，且 a( a 4 b ) 3 b( a 2 b ) ，求 2a 3b ab 的值 .【例３ 】（四川）已知：xa1 (0 aa 1) ，求代数式a b abx2x 6 x 3 x 2 2x 2 4x 的值 . xx2 x x 2x24x【解法指导 】视 x － 2，x 2-4 x 为整体，把xa约.1 平方，移项用含 a 的代数式表示 x － 2，x 2-4 x ，注意 0＜a ＜1 的制 a解：平方得，x a1 2 ，∴ x 2 aa 1 ， x2a4x 4 a21 2 ，a2x4x a1 2 ，a( x 3)(x 2)x( x 2) x 2x 24x∴化简原式＝g x x 3 x 2 x 24xa 1 ( 1 a)＝ (a 1 )2 a a a 2 2 a a 1 ( 1 a) a a【变式题组 】2， 4．（武汉）已知 xx 31 232 1，求代数式x 3 ( 52 x 4 x 2x 2) 的值.5．（五羊杯）已知 m 12 ， n 12 ，且 (7 m 2 14m a)(3n 26n 7) 8 ，则 a 的值等于（）A ．－ 5B ． 5C ．－ 9D ．9【例４ 】（全国）如图，点 A 、C 都在函数 y等边三角形，则点 D 的坐标为.3 3 ( xx0) 的图像上，点 B 、D 都在 x 轴上，且使得△ OAB 、△ BCD 都是 【解法指导 】解：如图，分别过点 A 、C 作 x 轴的垂线，垂足分别为E 、F. 设OE=a ，BF=b ，则 AE= 3 a ，CF = 3 b ，所以，点 A 、C 的坐标为（ a, 3 a ）、（ 2a ＋ b, 3 b ），所以3a23 3ya 3 ，解得，3b (2 a b) 3 3因此，点 D 的坐标为（ 2 6 ,0） 【变式题组 】6．（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题.b63ACOE BF Dx在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如52 2 ，3 3 3一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 15 5 3 3 33 5 3 ； （一）3 2 2 3 33 36 ； （二）3223 13 3 11 3 13 1 ；（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化，2还可以用以下方法化简：2 3 1 3 13 123 13 3 13 1 1 3 13 13 1；（四）（ 1）请你用不同的方法化简2；53①参照（三）试得：2=；（要有简化过程） 5 3②参照（四）试得： 2 =；（要有简化过程）53 （ 2）化简：1 1 1L1 3 153752n 12 n 1【例５ 】（五羊杯）设 a 、b 、c 、d 为正实数， a ＜ b ， c ＜ d ，bc ＞ ad ，有一个三角形的三边长分别为a2c 2 ， b2d 2，(b a)2(d c)2，求此三角形的面积 .【解法指导 】虽然不能用面积公式求三角形面积 ( 为什么 ?) ，a2边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.c 2的几何意义是以 a 、c 为直角边的直角三角形的斜解：如图，作长方形 ABCD ，使 AB ＝ b － a ， AD ＝c ，延长 DA 至 E ，使 DE ＝d ，延长 DC 至 F ，使 DF ＝ b ，连结 EF 、FB 、EB ， 则BF ＝a2c2， EF ＝b2d2，BE=(b a)2(d c)2，从而D知△ BEF 就是题设的三角形， 而 S △ BEF ＝S 长方形 ABCD ＋ S △ BCF ＋ S △ ABE baCF － S △ DEF ＝ ( b － a) c ＋ 1 2( d －1 1c)( b － a) － bd ＝ ( bc －ad)d 22A cE【变式题组 】7． ( 北京 ) 已知 a 、b 均为正数，且 a ＋b ＝ 2，求 U ＝a24b21演练巩固 · 反馈提高3 2 3 2xy x 2y2 01. 已知 x， y32，那么代数式32xy x2值为y202. 设 a7 1，则 3a312a26a 12 ＝（）A ． 24B ． 25C ． 4 7 10D ． 4 7 1203．（天津）计算 ( 3 1)20012( 3 1)20002( 3 1)1999200104．（北京）若有理数 x 、 y 、z 满足xy 11 z 2( x y z) ，则 2( x yz)205．（北京）正数 m 、 n 满足 m 4 mn 2 m 4 n4n 3 0 ，则m 2 m 2 n n 8200206．（河南）若 x3 1 ，则 x3(2 3) x2(1 2 3) x 3 5 的值是（）A ． 2B ． 4C ． 6D ． 807. 已知实数 a 满足 2000a a 2001 a ，那么 a 20002的值是（）A ． 1999B ． 2000C ． 2001D ． 200208. 设 a1003 997 ， b 1001 999 ， c 2 1000 ，则 a 、b 、c 之间的大小关系是（）A ． a ＜ b ＜ cB ． c ＜ b ＜ aC ． c ＜ a ＜ bD ． a ＜ c ＜ b09. 已知 1 ( x 1)2x ，化简 x21 x x21 x44B3 32003培优升级01．（信利）已知 x1 3 ，那么1x 21 1 x 24 x 202．已知 a 4a 1 5 ，则 6 2 a03．（江苏）已知( xx22002)( yy22002) 2002 ，则 x 23xy 4 y26 x 6 y 5804．（全国）7x 29x 13 7x 25x 13 7x ，则 x ＝05．已知 x3 2 ， y3 2 ，那么 yx32 3 2 x2y206．（武汉）如果a b20022 ， ab2002 2 ， b3c3b3c ，那么 a 3b3c 的值为（）A ． 2002 2002B ． 2001C ． 1D ． 007．（绍兴）当 x12002 2时，代数式 (4 x32005 x2001)的值是（ ）A ． 0B ．－ 1C ． 1D ． 2200308．（全国）设 a 、b 、c 为有理数，且等式a b 2 c 35 26 成立，则 2a 999b 1001c 的值是（）A ． 1999B ． 2000C ． 2001D ．不能确定09．计算：（ 1）6 4 3 3 2( 63)( 32)（ 2）10 14 15 21 10141521（ 3）1 1 1L13 35 3 3 5 7 5 5 749 47 47 49（ 4）3 2 2 5 2 6 7 2 12 9 2 20 11 2 30 13 2 4215 2 5617 2 722210.已知实数 a 、 b 满足条件a bb1 ，化简代数式a (1 1)g a b( a b 1)2，将结果表示成不含 b 的形式 .11.已知 x1 a 2(a a0) ，化简：x 2 x 2x 2 x 212.已知自然数 x 、y 、z 满足等式x 2 6 y z 0 ，求 x ＋ y ＋z 的值 .考点·方法·破译第 3 讲 一元二次方程的解法1. 掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2. 掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；3. 会应用一元二次方程解实际应用题。
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九年级上册数学培优专题01 直角三角形斜边上中线性质的应用 (2)专题02 菱形与矩形的综合应用 (7)专题03 特殊平行四边形中的图形变换 (11)专题04 特殊四边形中的最值问题 (17)专题05 直角三角形斜边上中线性质的应用 (21)专题06 一元二次方程的解法 (25)专题07 一元二次方程根与系数的关系 (32)专题08 一元二次方程的应用 (35)专题09 概率与放回、不放回问题 (43)专题10 概率与方程、不等式、函数的综合 (49)专题11 直角三角形斜边上中线性质的应用 (53)专题12 一线三角模型的应用 (60)专题13 相似构造技巧——作平行线 (65)专题14 相似构造技巧——作垂线 (69)专题15 比例式或等积式证明技巧 (75)专题16 反比例函数的图象与性质的基础应用 (82)专题17 反比例函数与方程、不等式 (86)专题18 反比例函数与一次函数 (91)专题19 反比例函数的图象与几何图形公共点的问题 (97)专题20 反比例函数中k的几何意义 (101)专题21 反比例函数与几何图形的小综合 (113)专题22 反比例函数与相似的综合 (119)九年级数学上册解法技巧思维培优专题01 直角三角形斜边上中线性质的应用题型一直接应用斜边上中线的性质求解【典例1】（2020•许昌二模）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠DHO＝20°，则∠ADC的度数是（）A．120°B．130°C．140°D．150°【典例2】（2020•西湖区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC，D为AB的中点，BE⊥AC，垂足为E．若DE＝4，AE＝6，则BC的长度是．【典例3】（2020•岱岳区期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC 的中点，EF＝6，BM＝5，则△EFM的周长是．【典例4】（2020•沙坪坝区校级月考）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，过点A作∠DAC 的角平分线交BC的延长线于点H，取AH的中点P，连接BP，则S△ABP＝．题型二构造斜边上的中线再利用其性质求解【典例5】（2020•建邺区校级月考）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，若∠FPC＝50°，则∠A＝（）A．100°B．105°C．110°D．120°【典例6】（2020•新北区期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点．（1）请你猜想EF与AC的位置关系，并给予证明；（2）当AC＝16，BD＝20时，求EF的长．题型三构造直角三角形再利用其性质求解【典例7】（2020•长兴县期中）已知：如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD＝AB，E、F分别是AC、BD的中点，AC＝6．求EF的长．【典例8】（2020•丹东期末）在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF 的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．巩固练习1．（2020•呼和浩特）已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为（）A．2√2B．2√5C．4√2D．2√10 2．（2020•深圳期末）已知四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC，BD相交于点O．下列结论一定成立的是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠ABC＝90°D．∠ABC＝∠BAC 3．（2020•建邺区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若∠A＝26°，则∠BDC的度数为．4．（2020•泰兴市校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，AE＝6，DE＝10，点P在边BC上，且△DEP为等腰三角形，则BP的长为．5．（2020•秦都区期末）如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线BE与AD交于点E，∠BED 的平分线EF与DC交于点F，若AB＝12，DF＝2FC，则BC的长是6．（2020•诸暨市期中）如图所示，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CE是边AB上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE（1）证明：CG＝EG；（2）若AD＝6，BD＝8，求CE的长．7．（2020•黄浦区期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边AC、BD的中点．（1）求证：MN⊥BD；（2）当∠BCA＝15°，AC＝10cm，OB＝OM时，求MN的长．8．（2020•红桥区期末）在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A （6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．（I）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；（Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．九年级数学上册解法技巧思维培优专题02 菱形与矩形的综合应用题型一以矩形为背景构造新的菱形【典例1】（2020•河北二模）斜边为2的两个全等30°的直角三角板，如图1所示拼成一个矩形，将一个三角板保持不动，另一个三角板沿斜边向右下方向滑动，当四边形ABCD 是菱形时，如图2，则平移距离AE的长为（）A．1 B．√2C．√3D．2【典例2】（2020•定远县校级一模）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有下列结论：①FC＝HE；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围结论的序号都选上）【典例3】（2020•建平县期末）已知，如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线交于点P．①求证：四边形CODP是菱形．②若AD＝6，AC＝10，求四边形CODP的面积．题型二以菱形为背景构造新的矩形【典例4】（2020•丰台区一模）已知：如图，菱形ABCD，分别延长AB，CB到点F，E，使得BF＝BA，BE＝BC，连接AE，EF，FC，CA．（1）求证：四边形AEFC为矩形；（2）连接DE交AB于点O，如果DE⊥AB，AB＝4，求DE的长．【典例5】（2020•沈阳模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=12AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，求AE的长．巩固练习1．（2020•新华区一模）如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝6，DF＝4，则菱形ABCD的边长为（）A．4√2B．3√2C．5 D．7 2．（2020•番禺区期末）如图，在矩形中ABCD，AB＝3，BC＝5，将矩形ABCD沿EF折叠，3．（2020•腾冲市期末）如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：OE⊥DC．（2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积．4．（2020•成都校级月考）如图，已知菱形ABCD，AB＝AC，E、F分别是BC，AD的中点，连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）若AB＝2，求菱形的面积．5．（2020•章丘区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作AC 的垂线，过点D作BD的垂线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，DE＝2，求四边形的ABCD面积．九年级数学下册解法技巧思维培优专题03 特殊平行四边形中的图形变换题型一以特殊四边形为背景的折叠问题【典例1】（2020•丹东模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，点E在AD上，且AE＝4cm，连接EC，将矩形ABCD沿直线BE翻折，点A恰好落在EC上的点A′处，则BC 的值为（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 2．（2020•泰山区期中）对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B′M＝1.5，则CN的长为（）A．3.5 B．4.5 C．5.5 D．6.5 3．（2020•思明区校级期中）如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的纵坐标为（）A．﹣2 B．﹣2.4 C．−2√2D．−2√34．（2020•益阳模拟）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使D点落在BC边题型二以特殊四边形为背景的旋转问题5．（2020•滕州市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC＝60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA'B'C'，则点B的对应点B'的坐标为（）A．（√6，−√6）B．（2，﹣2）C．（√3，−√3）D．（4，﹣4）6．（2020•临海市期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点M在CD的边上，且DM＝2，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（）A．√34B．√29C．2√7D．3√3 7．（2020•浉河区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣3，0），C（0，√3）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，8．（2020•淅川县一模）如图，将边长为√3的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30o后得到正方形AB′C′D′，求图中阴影部分的面积为多少平方单位？巩固练习1．（2020•曲靖期末）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在AB 上的点E 处，已知BC ＝24，∠B ＝30°，则DE 的长是（ ）A ．12B ．10C ．8D ．62．（2020•沙坪坝区校级月考）如图，在菱形纸片ABCD 中，AB ＝8，∠A ＝60°，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 、O 分别在边A ，AD 上，则EG 的长为（ ）A ．285 B ．145 C ．4 D ．4√33．（2020•太仓市期末）如图，平面直角坐标系中，长方形OABC ，点A ，C 分别在x 轴，y轴的正半轴上，点B （6，3），现将△OAB 沿OB 翻折至△OA ′B 位置，OA ′交BC 于点P ．则点P 的坐标为（ ）A ．（94，3）B ．（32，3）C ．（125，3） D ．（52，3） 4．（2020•历城区二模）如图，菱形OABC 的一条边OA 在x 轴上，将菱形OABC 绕原点O顺时针旋转75°至OA ′B ′C ′的位置，若OA ＝2，∠C ＝120°，则点B ′的坐标为（ ）A．（√6，−√6）B．（√6，√6）C．（3，√3）D．（3，−√3）5．（2020•渠县期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在CD的边上，且DE＝1，△AFE与△ADE关于AE所在的直线对称，将△ADE按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABG，连接FG，则线段FG的长为（）A．4 B．4√2C．5 D．6 6．（2020•浦东新区期末）如图，已知正方形ABCD的边长为2，将正方形ABCD沿直线EF7．（2020•都江堰市模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA＝5，OC＝3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰8．（2020•内乡县期末）如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE 绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连结EF，若∠EBC＝30°，求∠EFD的度数．九年级数学上册解法技巧思维培优专题04 特殊四边形中的最值问题题型一矩形中的最值问题1．（2020•鄂州模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F，G，H分别在矩形2．（2020•泗阳县校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是AB上动点，PQ 平行于BC交CD于Q．M是AD上动点，MN平行于AB交BC于N．则PM+NQ的最小3．（2020•沙坪坝区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AD＝4√3，∠DAC＝30°，点P、题型二菱形中的最值问题4．（2020•西城区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC＝12，面积为24，△ABE是等边三角形，若点P在对角线AC上移动，则PD+PE的最小值为（）A．4 B．4√2C．2√10D．6 5．（2020•蓝田县一模）如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC6．（2020•武昌区期中）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝BC，BC＝10，∠BCD＝60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的题型三正方形中的最值问题7．（2020•洛阳三模）如图，点E、F是边长为4的正方形ABCD边AD、AB上的动点，且AF＝DE，BE交CF于点P，在点E、F运动的过程中，PA的最小值为（）A．2 B．2√2C．4√2−2 D．2√5−2 8．（2020•永登县期中）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正巩固练习1．（2020•鸡泽县期末）如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．n B．n﹣1 C．4（n﹣1）D．4n 2．（2020•庐阳区校级月考）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，E是AB边上一点，且∠A＝∠EDF＝60°，有下列结论：①△DEF是等边三角形；②∠ADE＝∠BEF；③△BEF周长的最小值为4+2√3，④△BEF面积的最小值为√3．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，点P是矩形ABCD对角线BD上的一个动点，已知AB＝2，BC=√3，则PA+PB+PC4．（2020•荔湾区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE＝5，5．如图，在矩形ABCD中，AB长为4，BC长为5，F是CD上的一点，且CF＝1，点E在6．（2020•新城区校级期中）如图，已知，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8，点E，F是边7．（2020•武昌区期中）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝6，且∠ABC＝60°，M是菱形九年级数学上册解法技巧思维培优专题05 直角三角形斜边上中线性质的应用题型一 已知系数直接判断方程根的情况1．（2020•郴州）一元二次方程2x 2+3x ﹣5＝0的根的情况为（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2．（2020•牡丹江期末）下列一元二次方程中没有实数根的方程是（ ） A ．（x ﹣1）2＝1 B ．x 2+2x ﹣10＝0C ．x 2+4＝7D ．x 2+x +1＝0题型二 结合字母系数判断方程根的情况3．（2020•洛川县期末）关于x 的一元二次方程x 2+mx ﹣1＝0的根的情况为（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．不能确定4．（2020•碑林区校级期中）当k ＜−14时，关于x 的一元二次方程（k ﹣2）x 2﹣（2k ﹣1）x +k ＝0的根的情况是（ ）A ．两个相等的实根B ．两个不相等的实根C ．无实根D ．无法判断5．判别下列关于x 的一元二次方程的根的情况． （1）14x 2﹣2mx +5m 2+1＝0；（2）x 2﹣4mx +4m 2＝0； （3）12x 2﹣mx +m −12=0；（4）12x 2﹣mx +m ﹣4＝0．题型三 由根的情况结合0 a 确定字母的取值范围6．（2020•自贡）关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0无实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1 7．（2020•西城区校级期中）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个实数根，则a的取值范围为（）A．a≥0 B．a＜2 C．a≥0且a≠1 D．a≤2且a≠1 8．（2020•武侯区模拟）若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是（）A．k＞3 B．k≥﹣3 C．k＞﹣3且k≠﹣2 D．k≥﹣3且k≠﹣29．（2020•杜尔伯特县一模）已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）写出满足条件的k的最大整数值，并求此时方程的根．10．（2020•青龙县期中）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+（k﹣1）x+14=0有两个相等的实数根，求k的值．巩固练习1．（2020•银海区期末）已知关于x 的一元二次方程3x 2+4x ﹣5＝0，下列说法正确的是（ ） A ．方程有两个相等的实数根 B ．方程有两个不相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定2．（2020•常熟市期末）关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +3）x +2（k +1）＝0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个实数根D ．没有实数根3．（2020•庐阳区校级期中）关于x 的一元二次方程（a +1）x 2﹣2x +2＝0没有实数根，整数a 的最小值为（ ）A ．−12B ．﹣1C ．﹣2D ．04．若关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2﹣4x ﹣1＝0有实数根，则a 的取值范围为（ ） A ．a ≥﹣2B ．a ≠2C ．a ＞﹣2且a ≠2D ．a ≥﹣2且a ≠25．（2020•山亭区期中）下列一元二次方程没有实数根的是（ ） A ．x 2+x +3＝0B ．x 2+2x +1＝0C ．x 2﹣2＝0D ．x 2﹣2x ﹣3＝06．（2020•新安县期末）关于x 的方程（m ﹣3）x 2﹣4x ﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值花围是（ ） A ．m ≥1B ．m ＞1C ．m ≥1且m ≠3D ．m ＞1且m ≠37．（2020•红桥区模拟）关于x 的一元二次方程x 2+√m x +n ＝0（m ≠0）有两个相等的实数根，则nm 的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．14D ．−148．（2020•南平期末）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2+k ＝0．求证：无论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根．9．（2020•亭湖区期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．10．（2020•朝阳区校级一模）已知一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值．九年级数学上册解法技巧思维培优专题06 一元二次方程的解法题型一用配方法解一元二次方程1．（2020•唐县期末）用配方法将方程x2﹣4x﹣1＝0变形为（x﹣2）2＝m，则m的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2020•泉州期末）利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则m、n的值分别为（）A．m＝9，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝0 D．m＝3，n＝2 3．（2020•莱山区期末）已知M＝m﹣4，N＝m2﹣3m，则M与N的大小关系为（）A．M＞N B．M＝N C．M≤N D．M＜N4．（2020•福清市模拟）已知实数m，n，c满足m2﹣m+12c＝0，n＝4m2﹣4m+c2−14，则n的取值范围是（）A．n＞−54B．n≥−54C．n＞﹣1 D．n≥﹣15．（2020•方山县校级月考）设代数式2x2+4x﹣3＝M，用配方法说明无论x取何值，M总不小于一定值，并求出该定值．6．（2020•工业园区期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1＝0，求a﹣b的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC的周长；（3）已知x+y＝2，xy﹣z2﹣4z＝5，求xyz的值．7．（2020•鸡西期末）若√a2−3a+1+b2+2b+1＝0，求a2+1a2+√b3的值．8．（2020•金堂县校级月考）已知a，b，c是△ABC三边，且满足a2+b2+25=6a+8b−√c2−10c+25，试判断△ABC形状．题型二用公式法解一元二次方程9．（2020•肥城市期末）x=2±√(−2)2−4×3×(−1)2×3是下列哪个一元二次方程的根（）A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 10．（2020•合川区期末）一个矩形的长为a，宽为b（a＞0，b＞0），则矩形的面积为a•b．代数式xy（x＞0，y＞0）可以看作是边长为x和y的矩形的面积．我们可以由此解一元二次方程：x2+x﹣6＝0（x＞0）．具体过程如下：①方程变形为x（x+1）＝6；②画四个边长为x+1、x的矩形如图放置；③由面积关系求解方程．∵S ABCD＝（x+x+1）2，又S ABCD＝4x（x+1）+12．∴（x+x+1）2＝4x（x+1）+1，又x（x+1）＝6，∴（2x+1）2＝25，∵x＞0，∴x＝2．参照上述方法求关于x的二次方程x2+mx﹣n＝0的解（x＞0，m＞0，n＞0）．（要求：画出示意图，标注相关线段的长度，写出解题步骤）11．（2020•江阴市期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b．以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E．下列哪条线段的长度是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根（）A．线段BC的长B．线段AD的长C．线段EC的长D．线段AC的长12．（2020•山阳县校级期中）对于一元一次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，根据一元二次方程的解的概念知：ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0．即ax2+bx+c＝a（x ﹣x1）（x﹣x2）这样我们可以在实数范围内分解因式．例：分解因式2x2+2x﹣1解：∵2x2+2x﹣1＝0的根为x=−2±√124即x1=−1+√32，x2=−1−√32∴2x2+2x−1=2(x−−1+√32)(x−−1−√32)=2(x−√3−12)(x+√3+12)试仿照上例在实数范围内分解因式：3x2﹣5x+1．13．（2020•新乐市期中）用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3＝5x，下列叙述正确的是（）A．a＝﹣4，b＝5，c＝3 B．a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3C．a＝4，b＝5，c＝3 D．a＝4，b＝﹣5，c＝﹣3 14．（2020•北海期末）利用公式法解方程：x2﹣x﹣3＝0．15．（2020•武昌区模拟）解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）16．（2020•简阳市月考）用公式法解方程x2﹣x﹣1＝0．题型三用因式分解法解一元二次方程17．（2020•嘉定区期中）解方程：（2x+1）2＝9（x﹣1）2．18．（2020•昆山市期中）我们学习了因式分解之后可以解某些高次方程，例如，一元二次方程x 2+x ﹣2＝0可以通过因式分解化为：（x ﹣1）（x +2）＝0，则方程的两个解为x ＝1和x ＝﹣2．反之，如果x ＝1是某方程ax 2+bx +c ＝0的一个解，则多项式ax 2+bx +c 必有一个因式是 （x ﹣1），在理解上文的基础上，试找出多项式x 3+x 2﹣3x +1的一个因式，并将这个多项式因式分解．19．（2020•白银）附加题：（如果你的全卷得分不足150分，则本题的得分将计入总分，但计入总分后全卷不得超过150分） （1）解方程x （x ﹣1）＝2． 有学生给出如下解法：∵x （x ﹣1）＝2＝1×2＝（﹣1）×（﹣2），∴{x =1x −1=2或{x =2x −1=1或{x =−1x −1=−2或{x =−2x −1=−1解上面第一、四方程组，无解；解第二、三方程组，得x ＝2或x ＝﹣1． ∴x ＝2或x ＝﹣1．请问：这个解法对吗？试说明你的理由．（2）在平面几何中，我们可以证明：周长一定的多边形中，正多边形面积最大． 使用上边的事实，解答下面的问题：用长度分别为2，3，4，5，6（单位：cm ）的五根木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），求能够围成的三角形的最大面积．20．（2020•海淀区）已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x2﹣1＝0，②x2+x﹣2＝0，③x2+2x﹣3＝0，…（n）x2+（n﹣1）x﹣n＝0．（1）请解上述一元二次方程①、②、③、（n）；（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．21．（2020•浙江自主招生）如果满足||x2﹣6x﹣16|﹣10|＝a的实数x恰有6个，那么实数a 的值等于．22．（2020•龙湖区期末）三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣13x+36＝0的根，则三角形的周长为．巩固练习选择合适的方法解一元二次方程（1）x2−√3x＝1；（2）（2x﹣1）2＝9；（3）3y（y﹣1）＝2y﹣2；（4）（x﹣3）2+x2＝9；（5）x2﹣6x﹣2＝0；（6）x2+2√5x+10＝0．（7）x2+10x+21＝0 （8）7x2−√6x﹣5＝0 （9）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2 （10）x2+2x＝0．九年级数学上册解法技巧思维培优专题07 一元二次方程根与系数的关系题型一 已知方程系数直接求代数式的值1．（2020•朝阳模拟）设m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x ﹣2018＝0的两个实数根，则m 2+3m +n ＝（ ）A ．2015B ．2016C ．2017D ．20182．（2020•泰州一模）设m 、n 是方程x 2+x ﹣2020＝0的两个实数根，则m 2+2m +n 的值3．x 1，x 2是方程2x 2﹣5x ﹣1＝0的两根，求下列代数式的值： （1）x 12+x 22﹣3x 2x 2； （2）x 2x 1+x 1x 2；（3）|x 1﹣x 2|题型二 已知方程一根求另一根及未知系数4．（2020•南京月考）关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0的一个根为﹣2，则另一个根5．（2020•大埔县期末）已知关于x 的方程x 2+ax +a ﹣2＝0． （1）当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．题型三 与判别式结合求字母系数的值6．（2020•潮南区期末）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0．（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；（2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值．巩固练习1．（2020•揭阳期末）一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的两根之和为（ ） A ．13B ．2C ．﹣3D ．34．已知关于x 的方程2x 2﹣（4m ﹣3）x +m 2﹣2＝0，根据下列条件分别求出m 的值． （1）两根互为相反数； （2）两根互为倒数； （3）有一根为1．5．（2020•黄石）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +（4m +1）＝0有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x 1、x 2，且|x 1﹣x 2|＝4，求m 的值．6．（2020•北碚区月考）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +2k ＝0 （1）若方程有实数根，求k 的取值范围．（2）如果k 是满足条件的最大的整数，且方程x 2﹣4x +2k ＝0的根是一元二次方程x 2﹣2mx +3m ﹣1＝0的一个根，求m 的值及这个方程的另一个根．九年级数学上册解法技巧思维培优专题08 一元二次方程的应用题型一传播、循环、数字问题1．（2020•利津县期末）有一人患流感，经过两轮传染后，共有121人患上了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数为（）A．8人B．9人C．10人D．11人2．（2020•黑龙江）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（）A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2020•乳山市期末）一个两位数，个位上的数字是十位上数字的2倍，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的两位数比原来的两位数大27，求原来的两位数．题型二面积问题4．（2020•锡山区期中）如图，在长20m、宽18m的矩形草坪上，修筑同样宽的三条（横向一条，纵向两条矩形）道路，要使草坪面积达到306m2，则道路宽度是（）A．27m B．26m C．2m D．1m 5．（2020•郓城县期末）一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．6．（2020•绿园区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P从点A出发沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发沿边CB向点B以每秒a个单位长度的速度运动，过点P作PD⊥AC，交AB于点D，连接PQ．当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）当a＝2时，解答下列问题：①QB＝，PD＝．（用含t的代数式分别表示）②通过计算说明，不存在t的值使得四边形PDBQ为菱形．（2）当a为某个数值时，四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求a的值及四边形PDBQ为菱形时t的值．（3）当t＝2时，在整个运动过程中，恰好存在线段PQ的中点M到△ABC三边距离相等，直接写出此刻a的值．题型三增长率问题7．（2020•宝应县一模）某省为推广新能源汽车，计划连续五年给予财政补贴．补贴开始时间为2017年度，截止时间为2021年度．补贴期间后一年度的补贴额均在前一年度补贴额基础上递增．计划前三年，每年度按固定额度a亿元递增；后两年均在上一年的基础上按相同增长率递增．已知2018年度计划补贴额为19.8亿元．（1）若2019年度计划补贴额比2018年度至少增加15%，求a的取值范围；（2）若预计2017﹣2021这五年补贴总额比2018年度补贴额的5.31倍还多2.31a亿元，求后两年财政补贴的增长率．8．（2020•微山县期中）一件工艺品进价为100元，标价130元售出，每天平均可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出5件，某店为减少库存量，同时使每天平均获得的利润为3000元，每件需降价的钱数为（）A．12元B．10元C．8元D．5元9．（2020•沙坪坝区校级月考）我市某地区大力发展乡村旅游，计划分两期利用当地的闲置土地种植花木和修建鱼塘．（1）第一期预计种植花木和修建鱼塘共计60亩，种植花木的土地面积不低于修建鱼塘的土地面积的5倍，那么种植花木的土地面积最少为多少亩？（2）第一期按计划完成后，共投入了150万元，种植花木的土地面积刚好是计划的最小值，并且种植花木和修建鱼塘每亩所花的平均费用之比为2：5．按计划，第二期将在第一期的基础上扩大规模，投入资金将在第一期的基础上增加4a%，经测算，第二期种植花木和修建鱼塘每亩所花的平均费用将在第一期的基础上分别增加2a%，3a%，种植花木和修建鱼塘的土地面积将在第一期的基础上分别增加a%，2a%．求a的值．题型四营销问题10．（2020•呼和浩特模拟）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司在1﹣6月份每个月生产成本的下降率都相同，请你预测4月份该公司的生产成本．11．（2020•渝中区校级模拟）因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已经成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，在著名“网红打卡地”磁器口，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经过测算知，该小面成本为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天可多售30碗．（1）若该小面店每天至少卖出360碗，则每碗小面的售价不超过多少元？（2）为了更好的维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元．巩固练习1．（2020•曲靖期末）学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有x 个球队参赛，则下列方程中正确的是（ ） A ．x （x +1）＝15 B ．12x(x +1)=15C ．x （x ﹣1）＝15D ．12x(x −1)=152．（2020•兴化市模拟）某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ） A ．20%B ．11%C ．22%D ．44%3．（2020•惠城区期末）如图，幼儿园计划用30m 的围栏靠墙围成一个面积为100m 2的矩形小花园（墙长为15m ），则与墙垂直的边x 为（ ）A ．10m 或5mB ．5m 或8mC ．10mD ．5m4．（2020•自贡期末）某商店现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元利润，应将销售单价定为（ ） A ．56元B ．57元C ．59元D ．57元或59元5．（2020•勃利县期末）某网店准备经销一款儿童玩具，每个进价为35元，经市场预测，包邮单价定为50元时，每周可售出200个，包邮单价每增加1元销售将减少10个，已知每成交一个，店主要承付5元的快递费用，设该店主包邮单价定为x （元）（x ＞50），每周获得的利润为y （元）．（1）求该店主包邮单价定为53元时每周获得的利润； （2）求y 与x 之间的函数关系式；（3）该店主包邮单价定为多少元时，每周获得的利润大？最大值是多少？6．（2020•九龙坡区模拟）幸福水果店计划用12元/盒的进价购进一款水果礼盒以备销售． （1）据调查，当该种水果礼盒的售价为14元/盒时，月销量为980盒，每盒售价每增长1元，月销量就相应减少30盒，若使水果礼盒的月销量不低于800盒，每盒售价应不高于多少元？（2）在实际销售时，由于天气和运输的原因，每盒水果礼盒的进价提高了25%，而每盒水果礼盒的售价比（1）中最高售价减少了15m %，月销量比（1）中最低月销量800盒增加了m %，结果该月水果店销售该水果礼盒的利润达到了4000元，求m 的值．7．（2020•和平区校级月考）某快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本），若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x （元）取整数，用y （元）表示该店每天的利润． （1）若每份套餐售价不超过10元 ①试写出y 与x 的函数关系式；②若要使该店每天的利润不少于800元，则每份套餐的售价应不低于多少元？ （2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价应定为多少元时，既能保证利润，又能吸引顾客？若不能，说明理由．。
九年级数学培优讲义与测试精编版
第一讲 一次函数和反比例函数知识点、重点、难点函数(0)y kx b k =+≠称为一次函数，其函数图像是一条直线。
若0b =时，则称函数y kx =为正比例函数，故正比例函数是一次函数的特殊情况。
当0k >时，函数y kx b =+是单调递增函数，即函数值y 随x 增大（减小）而增大（减小）；当0k <，y kx b =+是递减函数，即函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）。
函数(0)ky k x=≠称为反比例函数，其函数图像是双曲线。
当0k >且0x >时，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）；当0k >且0x <，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大），也就是说：当0k >时，反比例函数ky x=分别在第一或第三象限内是单调递减函数；当0k <时，函数ky x=分别在第二或第四象限内是单调递增函数。
若111222(0),(0).y k x b k y k x b k =+≠=+≠ 当12k k =时，12b b ≠时，两面直线平行。
当12k k =时，12b b =时，两面直线重合。
当12k k ≠时，两直线相交。
当121k k =-时，两直线互相垂直。
求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中的未知数的系数；其次，在解题过程中要重视数形相结合。
例题精讲例1：在直角坐标平面上有点(1,2)A --、(4,2)B 、(1,)C c ，求c 为何值时AC BC +取最小值。
解 显然，当点C 在线段AB 内时，AC BC +最短。
设直线AB 方程为y kx b =+，代入(1,2)A --、(4,2)B得242,k b k b -+=-⎧⎨+=⎩解得456,5k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以线段AB 为46(14),55y x x =--≤≤代入(1,)C c ，得4621.555c =⨯-=-例2：求证：一次函数211022k k y x k k --=-++的图像对一切有意义的k 恒过一定点，并求这个定点。
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初中数学九年级培优目录第1讲二次根式的性质和运算(P2----7)第2讲二次根式的化简与求值(P7----12)第3讲一元二次方程的解法(P13----16)第4讲根的判别式及根与系数的关系(P16----22) 第5讲一元二次方程的应用(P23----26)第6讲一元二次方程的整数根(P27----30)第7讲旋转和旋转变换（一）(P30----38)第8讲旋转和旋转变换（二）(P38----46)第9讲圆的基本性质(P47----51)第10讲圆心角和圆周角(P52----61)第11讲直线与圆的位置关系（P62----69）第12讲圆内等积证明及变换((P70----76)第13讲弧长和扇形面积(P76----78)第14讲概率初步(P78----85)第15讲二次函数的图像和性质(P85----91)第16讲二次函数的解析式和综合应用(P92----98) 第17讲二次函数的应用(P99----108)第18讲相似三角形的性质(P109----117)第19讲相似三角形的判定(P118-----124)第20讲相似三角形的综合应用(P124-----130)每天进步一点点！坚持就是胜利！第1讲 二次根式的性质和运算考点·方法·破译1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析； 2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.经典·考题·赏析【例１】 （荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ）A.【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B 中含分母，C 、D 含开方数4、9，故选A.【变式题组】1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（ ）A.A ．①,②B ．③,④C ．①,③D ．①,④【例２】(黔东南)方程480x -=，当y ＞0时，m 的取值范围是（ ）A ．0＜m ＜1B ．m ≥2C ．m ＜2D ．m ≤2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x －8＝0，x －y －m ＝0.化为y ＝2－m ，则2－m ＞0，故选C.【变式题组】2．（宁波）若实数x 、y 2(0y =，则xy 的值是__________.3．2()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－ 1B ．1C ．2D ．34．（鄂州）使代数式4x -有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ＞3B ．x ≥3C ．x ＞4D ．x ≥3且x ≠45.（怀化）22(4)0a c --=，则a －b －c ＝________.【例３是同类二次根式的是（ ）A BCD 【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样. A=B不能化简；=D==.故本题应选D.【变式题组】6a＝________．7．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）ABCD8．已知最简二次根式ba＝_______，b＝______.【例４】下列计算正确的是（）A=B4=C=D．(11+=【解法指导】正确运用二次根式的性质①2(0)a a=≥；②(0)0(0)(0)a aa aa a⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜；③0,0)a b=≥≥；0,0)b a=≥＞进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A、B中的项不能合并.D. 2(111+=-=-.故本题应选C.【变式题组】9. （聊城）下列计算正确的是（）A．=B=C3=D3=-10．计算：200720074)(4⋅=_____________11．22-=_____________12．(济宁)已知a）A．a B．－a C．－1 D．013．已知a＞b＞0，a＋b＝的值为（）A．2B．2 CD．12【例５】已知xy＞0，化简二次根式的正确结果为（）A BC ．D ．【解法指导】先要判断出y ＜0，再根据xy ＞0知x ＜0. 故原式=选D. 【变式题组】14．已知a 、b 、c 为△AB C 三边的长，则化简a b c --_______.15===中找出规律，并利用这一规律计算：1)++⋅=L _________.16．已知，则0＜x ＜1=_________.【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：11()ba b b a a b ++++，其中a =b =⑵已知x =，y =值为________. 【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy 、x ＋y 的值，再代入求值.【解】⑴原式＝22()()()()ab a a b b a b a b ab a b ab a b ab +++++==++，当12a =，12b =时，ab ＝1，a ＋b⑵由题意得：xy ＝1，x ＋y ＝10, 10199=-. 【变式题组】17．（威海）先化简，再求值：(a ＋b )2＋(a －b)(2a ＋b)－3a 2，其中2a =--2b =.18．（黄石）已知a 是4的小数部分，那么代数式22224()()442a a a a a a a a a+-+⋅-+++的值为________.【例７】已知实数x 、y 满足(2008x y =，则3x 2－2y 2＋3x －3y －2007的值为（ ）A ．－2008B ．2008C ．－1D ．1【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出a 、b 的关系，再代入求值.解:∵(2008x y =，∴(x =y =(y =x =，由以上两式可得x ＝y .∴(2008x =, 解得x 2＝2008，所以3x 2－2y 2＋3x －3y －2007＝3x 2－2x 2＋3x －3x －2007＝x 2－2007＝1，故选D.【变式题组】19．若a ＞0，b ＞0=的值.演练巩固·反馈提高01．若4m =，则估计m 的值所在的范围是（ ）A ．1＜m ＜2B ．2＜m ＜3C ．3＜m ＜4D ．4＜m ＜502．n 的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．8D ．303．（黄石）下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ）A.04．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）A.05．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A.06．（常德）设a ＝20， b ＝(－3)2, c =11()2d -=, 则a 、b 、c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的是（ ）A ．c ＜a ＜d ＜bB ．b ＜d ＜a ＜cC ．a ＜c ＜d ＜bD ．b ＜c ＜a ＜d07．（十堰）下列运算正确的是（ ）A =B =C ．21)31=-D 53=-08．如果把式子(1a -根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）A ．B C ． D ．09．2x -化简的结果为2x －3，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞010．（怀化）函数y =中自变量的取值范围是________.11．（湘西）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算a ※b ＝32=-那么12※4＝________.12．（荆州）先化简，再求值：22321121a a a a a a -+÷-+-，其中a =13．（广州）先化简，再求值：((6)a a a a -+--，其中12a =. 培优升级01．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x －2和5x ＋6，则这个数是________.02．已知a 、b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有________对.03．（全国）设a =5432322a a a a a a a+---+=-________. 04．（全国）设x =a 是x 的小数部分,b 是x 的小数部,则a 3＋b 3＋3ab ＝________.05．（重庆）已知2y =，则x 2＋y 2＝________.06．（全国）已知1a =，a =2a =，那么a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b07．（武汉）已知y =（x ，y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为（ ）A 3B ．3C 3D08．（全国）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -+++=，则a ＋b 等于（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．209．（全国） ）A ．5-B ．1C ．5D ．110．已知0(0,0)x y x y -=>>的值为（ ）A ．13 B ．12C ．23 D ．3411．已知152a b c +-=-，求a ＋b ＋c 的值.12．已知9+9a 和b ，求ab －3a ＋4b ＋8的值.第2讲 二次根式的化简与求值考点·方法·破译1．会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2．会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值. 3．会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.经典·考题·赏析【例１】2=的值等于__________ 【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用1x x+表示或化简变形. 解：两边平方得，124x x ++=，12x x+= ，两边同乘以x 得，212x x += ，∵2315x x x ++=，29111x x x ++=，∴原式【变式题组】1．若14aa +=（0＜a ＜1）=________2=-） A ．1a a -B ．1a a-C ．1a a+D ．不能确定【例２】（全国）满足等式＝2003的正整数对（x ,y ）的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.0=，∴0=0>0=，则xy ＝2003，且2003是质数，∴正整数对（x ,y ）的个数有2对，应选B . 【变式题组】3．若a ＞0，b ＞0=的值.【例３】1)a =<<，求代数式22632x x x x x x +-+÷-. 【解法指导】视x －2，x 2-4x=a 的代数式表示x －2，x 2-4x ，注意0＜a ＜1的制约.解：平方得，12x a a =++，∴12x a a -=+，2221442x x a a-+=++， 222142x x a a-=+-，∴化简原式＝(3)(2)(2)3x x x x x x +--+g ＝2211()1()211()a a a a a a a a a a a++-+-=++--【变式题组】 4．（武汉）已知32x x +=+，求代数式35(2)242x x x x -÷----的值.。
九年级数学培优满分讲义内容（23专题23个word文档150多页）
15直线与圆的位置关系一 16直线与圆的位置关系二 17与圆相关的比例线段
18圆与圆的位置关系 19平面几何的定值问题 20平面几何的最值问题
21分而治之 22数形结合 23顺思逆想
内容截图：
15直线与圆的位置关系一16直线与圆的位置关系二17与圆相关的比例线段
九年级数学培优满分讲义内容（23专题23个word文档150多页）
1、转化与化归一般
5、最优化 6、是偶然还是必然 7、三角函数 8、旋转变换
9、平行线分线段成比例 10、从全等到相似 11、相似三角形的性质
初三数学培优辅导资料(可编辑修改word版)
，；C n的顶点表示) ．2 2 21. 阅读理解：初三数学培优辅导资料（十）如图 1，在平面内选一定点 O ，引一条有方向的射线 Ox ，再选定一个单位长度，那么平面上任一点 M 的位置可由∠MOx 的度数 θ 与 OM 的长度 m 确定，有序数对（θ，m ）称为 M 点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”。
应用：在图 2 的极坐标系下，如果正六边形的边长为 2，有一边 OA 在射线 Ox 上，则正六边形的顶点 C 的极坐标应记为（）A ．（60°，4）B ．（45°，4）C ．（60°，2 ）D ．（50°，2 ） 2. 如图，已知点 A 1，A 2，…，A 2011 在函数 y = x 2 位于第二象限的图象上，点 B 1，B 2，…，B 2011在函数 y = x 2 位于第一象限的图象上，点 C 1，C 2，…，C 2011 在 y 轴的正半轴上，若四边形OA 1C 1B 1 、C 1 A 2C 2 B 2 ，…， C 2010 A 2011C 2011B 2011 都是正方形，则正方形C 2010 A 2011C 2011B 2011 的边长为()A. 2010B. 2011C. 2010D. 2011A第 1 题图第 2 题图第 3 题图3. 如图，点 A 、B 、C 在⊙O 上，OD ⊥AB 于点 D ，OE ⊥CB 于点 E ,弧 AB 度数为 40°，弧 CB 的度数为 50°，且 DE =6，则⊙O 半径的长度是 .4. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y =-x (x -3)（0≤x ≤3）在 x 轴上方部分记作 C 1， 它与 x 轴交于点 O ，A 1，将 C 1 绕点 A 1 旋转 180°得 C 2，C 2 与 x 轴交于另一点 A 2．继续操作并探究：将 C 2 绕点 A 2 旋转 180°得 C 3，与 x 轴交 于另一点 A 3；将 C 3 绕点 A 2 旋转 180°得 C 4，与 x 轴交于另一点 A 4，这样依次得到 x 轴上的点 A 1，A 2，A 3，…，A n …，及抛物线 C 1，C 2，…，C n ，则点 A 4 的坐标为 Cn 的顶点坐标为 (n 为正整数，用含 n 的代数式5. 一张圆心角为 45°的扇形纸板盒圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为 1，则扇形和圆形纸板的面积比是( )A ． 5：4B ． 5：2C ．：2D ．：6. 如图是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一部分，其对称轴为 x =－1，且过点(－3,0)。
九年级数学培优讲义与测试
第一讲 一次函数和反比例函数 知识点、重点、难点函数(0)y kx b k =+≠称为一次函数，其函数图像是一条直线。
若0b =时，则称函数y kx =为正比例函数，故正比例函数是一次函数的特殊情况。
当0k >时，函数y kx b =+是单调递增函数，即函数值y 随x 增大（减小）而增大（减小）；当0k <，y kx b =+是递减函数，即函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）。
函数(0)ky k x=≠称为反比例函数，其函数图像是双曲线。
当0k >且0x >时，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）；当0k >且0x <，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大），也就是说：当0k >时，反比例函数ky x=分别在第一或第三象限内是单调递减函数；当0k <时，函数ky x=分别在第二或第四象限内是单调递增函数。
若111222(0),(0).y k x b k y k x b k =+≠=+≠ 当12k k =时，12b b ≠时，两面直线平行。
当12k k =时，12b b =时，两面直线重合。
当12k k ≠时，两直线相交。
当121k k =-时，两直线互相垂直。
求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中的未知数的系数；其次，在解题过程中要重视数形相结合。
例题精讲例1：在直角坐标平面上有点(1,2)A --、(4,2)B 、(1,)C c ，求c 为何值时AC BC +取最小值。
解 显然，当点C 在线段AB 内时，AC BC +最短。
设直线AB 方程为y kx b =+，代入(1,2)A --、(4,2)B得242,k b k b -+=-⎧⎨+=⎩解得456,5k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以线段AB 为46(14),55y x x =--≤≤代入(1,)C c ，得4621.555c =⨯-=-例2：求证：一次函数211022k k y x k k --=-++的图像对一切有意义的k 恒过一定点，并求这个定点。
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专题10 最优化阅读与思考数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等，这类问题我们称之为最值问题，解最值问题的常见方法有：1．配方法由非负数性质得()02≥±b a ．2．不等分析法通过解不等式（组），在约束条件下求最值． 3．运用函数性质对二次函数()02≠++=a c bx ax y ，若自变量为任意实数值，则取值情况为：（1）当0>a ，a bx 2-=时，a b ac y 442-=最小值 ；（2）当0<a ，abx 2-=时，a b ac y 442-=最大值 ；4．构造二次方程利用二次方程有解的条件，由判别式0≥∆确定变量的取值范围，进而确定变量的最值．例题与求解【例1】当x 变化时，分式12156322++++x x x x 的最小值是 ．（全国初中数学联赛试题）解题思路：因分式中分子、分母的次数相等，故可将原分式用整式、真分式的形式表示，通过配方确定最小值．【例2】已知1≤y ，且12=+y x ，则223162y x x ++的最小值为（ ）A.719 B. 3 C. 727 D. 13 （太原市竞赛试题）解题思路：待求式求表示为关于x (或y )的二次函数，用二次函数的性质求出最小值，需注意的是变量x 、y 的隐含限制．【例3】()21322+-=x x f ，在b x a ≤≤的范围内最小值2a ，最大值2b ，求实数对(a ，b ). 解题思路:本题通过讨论a ，b 与对称轴0=x 的关系得出结论．【例4】（1）已知211-+-=x x y 的最大值为a ，最小值b ，求22b a +的值． （“《数学周报》杯”竞赛试题）（2）求使()168422+-++x x 取得最小值的实数x 的值．（全国初中数学联赛试题）（3）求使2016414129492222+-+++-++y y y xy x x 取得最小值时x ，y 的值． （“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题）解题思路：解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等．【例5】如图，城市A 处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低？（河南省竞赛试题）解题思路：设铁路与公路的交点为C ，AC ＝x 千米，BC ＝y 千米，AD ＝n 千米，BD ＝m 千米，又设铁路每千米的运费为a 元，则从A 到B 的运费()ay m y n a S 222+--=，通过有理化，将式子整理为关于y 的方程．【例6】（1）设r x ，1+r x ，…，k x （r k >），为k －r ＋1个互不相同的正整数，且x r ＋x r ＋1＋…＋x k ＝2003，求k 的最大可能值．（香港中学竞赛试题）（2）a ，b ，c 为正整数，且432c b a =+，求c 的最小值．（全国初中数学联赛试题） 解题思路：对于(1)，因r ＝1，对k －r ＋1＝ k －1＋1＝k 个正整数x 1，x 2，…，x k ，不妨设x 1＜x 2＜…＜x k ＝2013，可见，只有当各项x 1，x 2，…，x k 的值愈小时，才能使k 愈大（项数愈多），通过放缩求k 的最大值；对于（2），从()()222b ac a c =+-入手．能力训练A 级1．已知三个非负数a ，b ，c ，满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，则m 的最小值为___________，最大值为 ．2．多项式p ＝2x 2－4xy ＋5y 2－12y ＋13的最小值为 ．3．已知x ，y ，z 为实数，且x ＋2y －z ＝6，x －y ＋2z ＝3，那么x 2＋y 2＋z 2的最小值为 ．（“希望杯”邀请赛试题）4．若实数a ，b ，c ，满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则代数式(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2的最大值为 ( )（全国初中数学联赛试题）5．已知两点A (3，2)与B (1，－1)，点P 在y 轴上且使P A ＋PB 最短，则P 的坐标是（ ） A.(0，21-) B.(0，0) C.(0，611) D.(0，41-)（盐城市中考试题）6．正实数x ，y 满足1=xy ，那么44411y x +的最小值为（ ） A.21 B. 85 C. 1 D. 45E. 2（黄冈市竞赛试题）7．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元/件)可近似看作一次函数b kx y +=的关系（如图所示）.（1）根据图象，求一次函数b kx y +=的解析式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S 元． ①试用销售单价x 表示毛利润；②试问：销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销量是多少？（南通市中考试题）8．方程()()06122=-+-+m x m x 有一根不大于1-，另一根不小于1，（1）求m 的取值范围；（2）求方程两根平方和的最大值与最小值．（江苏省竞赛试题）9．已知实数a ，b 满足122=++b ab a ，求22b ab a +-的最大值与最小值．（黄冈市竞赛试题）10.已知a ，b ，c 是正整数，且二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个不同的交点A ，B ，若点A ，B 到原点的距离都小于1，求a ＋b ＋c 的最小值．（天津市竞赛试题）11．某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示：该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x 天应付的养护与维修费为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-500141x 元．（1）如果将设备从开始投入使用到报废所需的养护与维修费及购买设备费用的总和均摊到每一天，叫作每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y （元）表示为使用天数x （天）的函数．（2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问：该设备投入使用多少天应当报废？（河北省竞赛试题）B 级1．a ，b 是正数，并且抛物线b ax x y 22++=和a bx x y ++=22都与x 轴有公共点，则22b a +的最小值是 ．2．设x ，y ，z 都是实数，且满足x ＋y ＋z ＝1，xyz ＝2，则z y x ++的最小值为 ． 3．如图，B 船在A 船的西偏北45°处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离为 km ．（全国初中数学竞赛试题）4．若a ，b ，c ，d 是乘积为1的四个正数，则代数式a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋bc ＋ac ＋ad ＋bd ＋cd 的最小值为（ ）A. 0B. 4C. 8D. 10（天津市竞赛试题）5．已知x ，y ，z 为三个非负实数，且满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2. 若s ＝2x ＋y －z ，则s 的最大值与最小值的和为（ ）A. 5B.423 C. 427 D. 435（天津市选拔赛试题）6．如果抛物线()112----=k x k x y 与x 轴的交点为A ，B ，顶点为C ，那么△ABC 的面积的最小值为（ ）A.1B.2C.3D.47．某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低1元，则日销量就增加10个，为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个多少元？（“祖冲之杯”邀请赛试题）8．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p （万元）和q （万元），它们与投入资金x （万元）的关系有经验公式：x q x p 53,51==.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得多大的利润？（绍兴市竞赛试题）9．已知为x ，y ，z 为实数，且5=++z y x ，3=++zx yz xy ，试求z 的最大值与最小值．10．已知三个整数a ，b ，c 之和为13，且bca b =，求a 的最大值和最小值，并求出此时相应的b 与c 值．（四川省竞赛试题）11．设x 1，x 2，…，x n 是整数，并且满足： ① －1≤x i ≤2，i ＝1，2，…，n ② x 1＋x 2＋…＋x n ＝19 ③ x 12＋x 22＋…＋x n 2＝99求x 13＋x 23＋…＋x n 3的最大值和最小值．（国家理科实验班招生试题）12．已知x 1，x 2，…，x 40都是正整数，且x 1＋x 2＋…＋x 40＝58，若x 12＋x 22＋…＋x 402的最大值为A ，最小值为B ，求A ＋B 的值．（全国初中数学竞赛试题）。