黄东坡数学培优竞赛新方法(答案)
2020-2021中考数学培优(含解析)之相似及答案
2020-2021中考数学培优(含解析)之相似及答案一、相似1．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=4求BN的长；（2）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图2所示，请在BC上画一点D，使C，D 是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）；（3）如图3，正方形ABCD中，M，N分别在BC，DC上，且BM≠DN，∠MAN=45°，AM，AN分别交BD于E，F.求证：①E、F是线段BD的勾股分割点；②△AMN的面积是△AEF面积的两倍．【答案】（1）解：（1）①当MN为最大线段时，∵点M，N是线段AB的勾股分割点，∴BM= = = ，②当BN为最大线段时，∵点M，N是线段AB的勾股分割点，∴BN= = =5，综上，BN= 或5；（2）解：作法：①在AB上截取CE=CA；②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；点D即为所求；如图2所示．（3）解：①如图3中，将△ADF绕点A顺时针性质90°得到△ABH，连接HE．∵∠DAF+∠BAE=90°﹣∠EAF=45°，∠DAF=∠BAH，∴∠EAH=∠EAF=45°，∵EA=EA，AH=AF，∴△EAH≌△EAF，∴EF=HE，∵∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD，∴∠HBE=90°，在Rt△BHE中，HE2=BH2+BE2，∵BH=DF，EF=HE，∵EF2=BE2+DF2，∴E、F是线段BD的勾股分割点．②证明：如图4中，连接FM，EN．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，∠BDC=∠ADB=45°，∵∠MAN=45°，∴∠EAN=∠EDN，∵∠AFE=∠FDN，∴△AFE∽△DFN，∴∠AEF=∠DNF，，∴，∵∠AFD=∠EFN，∴△AFD∽△EFN，∴∠DAF=∠FEN，∵∠DAF+∠DNF=90°，∴∠AEF+∠FEN=90°，∴∠AEN=90°∴△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形；∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，∴AM= AF，AN= AE，∵S△AMN= AM•AN•sin45°，S△AEF= AE•AF•sin45°，∴ =2，∴S△AMN=2S△AEF．【解析】【分析】（1）此题分两种情况：①当MN为最大线段时，②当BN为最大线段时，根据线段的勾股分割点的定义，利用勾股定理分别得出BM的长；（2）利用尺规作图，将线段AC,CD,DB转化到同一个直角三角形中，①在AB上截取CE=CA；②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；这样的作图可以保证直角的出现，及AC 是一条直角边，③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；这样的作图意图利用垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，即BD=DF，从而实现将三条线段转化到同一直角三角形的目的；（3）①如图3中，将△ADF绕点A顺时针性质90°得到△ABH，连接HE．根据正方形的性质及旋转的性质得出∠EAH=∠EAF=45°，AH=AF，利用SAS判断出△EAH≌△EAF，根据全等三角形对应边相等得出EF=HE，根据正方形的每条对角线平分一组对角，及旋转的性质得出∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD，故∠HBE=90°，在Rt△BHE中，HE2=BH2+BE2，根据等量代换得出结论；②证明：如图4中，连接FM，EN．根据正方形的性质及对顶角相等判断出△AFE∽△DFN，根据相似三角形对应角相等，对应边成比例得出∠AEF=∠DNF， AF∶DF =EF∶FN ，根据比例的性质进而得出AF∶EF =DF∶FN,再判断出△AFD∽△EFN，根据相似三角形对应角相等得出∠DAF=∠FEN，根据直角三角形两锐角互余，及等量代换由∠DAF+∠DNF=90°，得出∠AEF+∠FEN=90°，即∠AEN=90°，从而判断出△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形；根据等腰直角三角形的边之间的关系AM= AF，AN= AE，从而分别表示出S△AMN与S△AEF，求出它们的比值即可得出答案。
(完整版)数学培优竞赛新方法(九年级)-第23讲几何定值
第23讲 几何定值知识纵横几何定值，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些集合性质或位置关系不变。
解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量和变量，运用极端位置、特殊位置、直接计算等方法，先探求出定值，再给出一般情形下的证明。
例题求解【例1】 （1）如图1，圆内接ABC ∆中，CA BC AB ==，OE OD ,为圆O 的半径，BC OD ⊥于点F ，AC OE ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC ∆的面积的31. （2）如图2，若DOE ∠保持︒120角度不变，求证：DOE ∠绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC ∆的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC ∆的面积的31．（广东省中考题）思路点拨 对于（1），连OC OA 、，则要证明ABC OAC S S ∆∆=31，只需证明OCF OAG ∆≅∆；对于（2），类比（1）的证明方法证明。
【例2】如图，⊙1O 和⊙2O 外切于点A ，BC 是⊙1O 和⊙2O 的公切线，C B ,为切点． （1）求证：AC AB ⊥；（2）过点A 的直线分别交⊙1O 和⊙2O 于点E D ,，且DE 是连心线时，直线DB 与直线EC 交于点F ．请在图中画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；（3）在（2）的其他条件不变的情况下，将直线DE 绕点A 旋转（DE 不与点C B A ,,重合），请另画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．（沈阳市中考题）思路点拨 按题意画出图形，充分运用角的知识证明若︒=∠90DFE ，则EF DF ⊥这一位置关系不变。
【例3】如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足，求证：不管ST 滑到什么位置，SPM ∠是一定角．（第18届加拿大数学竞赛题）思路点拨 不管ST 滑到什么位置，弧ST 及SOT ∠的度数都是定制，从探寻SPM ∠与SOT ∠的关系入手。
数学培优竞赛新方法(九年级)-配方法
配方法把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法。
配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段。
运用配方法解题的关键在于“配凑”，“拆”与“添”是配方中常用的技巧。
熟悉以下基本等式：1.222)(2b a b ab a ±=+±2.2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++； 3.[]222222)()()(21a c cb b a ca bc ab c b a ±+±+±=±±±++ 4.a b ac a b x a c bx ax 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++ 【例1】已知y x ,实数满足0332=-++y x x ，则y x +的最大值为（镇江市中考题）思路点拨 把y 用x 的式子表示，通过配方法求出y x +的最大值。
【例2】已知c b a 、、，满足722=+b a ，122-=-c b ， 1762-=-a c ，则c b a ++的值等于（ ）A.2B.3C.4D.5（河北省竞赛题）思路点拨 由条件等式的特点，从整体叠加配方入手【例3】已知a 是正整数，且a a 20042+是一个正整数的平方，求a 的最大值。
（北京市竞赛题）思路点拨 设222004m a a =+（m 为正整数），解题的关键是把等式左边配成完全平方式。
【例4】已知c b a 、、是整数，且01,422=-+=-c ab b a ，求c b a ++的值（浙江省竞赛题）【例5】若y x 、是实数，且y x y xy x m 446422--+-=，确定m 的最小值（北京市竞赛题）分析与解 选择x 为主元，将条件等式重新整理成x 的二次三项式，利用配方求m 的最小值。
练习1.设mn n m n m 4,022=+>>，则mnn m 22-的值等于（ ）A.32B.3C.6D.3（2011年南通市中考题）2.已知m m Q m P 158,15172-=-=（m 为任意实数），则Q P 、的大小关系为（ ） A.Q P > B.Q P = C.Q P < D.不能确定（泰州市中考题）3.若实数z y x 、、，满足0))((4)(2=----z y y x z x ，则下列式子一定成立的是（ ）A.0=++z y xB.02=-+z y xC.D.02=-+y x z（2011年天津市中考题）4.化简2121722321217223---++的结果是（ ） A.2 B.2- C.2 D.2-（2011年江西省竞赛题）5.已知实数c b a 、、满足016,72=++++=+-c b bc ab c b a ，则ab的值等于 （天津市竞赛题）6.当2>x 时，化简代数式1212--+-+x x x x 得（“希望杯”邀请赛试题）7.已知z y x 、、为实数，且满足52,352-=--=-+z y x z y x ，则222z y x ++的最小值为 。
黄东坡：2021年中考数学重难点，你必须掌握的“万能代数模型”解题秘器
黄东坡：2021年中考数学重难点，你必须掌握的“万能代数模型”解题秘器近代科学始祖笛卡尔把⽅程思想称为“万能代数模型”，认为⼀切问题最终可化为⽅程求解。
说它万能有些夸张，但它确实能⽤于许多场合，⽜顿、爱因斯坦、杨振宁等⼀众科学家⽆不青睐于它。
⽽⼀元⼆次⽅程作为⽅程家族⾥的重要成员，在各类⽅程中都可能找到它的踪影，它能在全部代数知识的学习中起着承上启下的作⽤，还能⼴泛地应⽤于实际⽣活，是解决各类问题的解题秘器。
数学家研究的是什么？英国著名数学家阿蒂亚指出：“答案应该不会使任何⼈感到惊讶——他研究的是⽅程。
⾸先，在最低层次上，是代数⽅程；然后，在较⾼⽔平上，是微分⽅程。
这个极度的简化⾄少有容易被理解的优点。
”回顾数学史，⽅程犹如⼀条明显的红线贯穿始终，⼀部早期代数史就是研究⽅程、讨论⽅程解的历史。
⽽⼀元⼆次⽅程位于其中有着⽆与伦⽐的奠基地位，堪称初中数学的⼤BOSS，古中国的《九章算术》、古埃及的纸草⽂书、古希腊的欧⼏⾥得等，都研究过特殊的⼀元⼆次⽅程的解法。
它是中学阶段学习各类⽅程的基础，许多⽅程最终都可归结为解⼀元⼆次⽅程。
它在代数学习中起着承上启下的作⽤，即是对已学过的知识(实数、整式、分式、根式和⼀元⼀次⽅程）的巩固和加深，⼜是为今后学习指数、对数、三⾓函数⽅程、不等式、函数等内容奠定基础。
它是解决问题的有⼒武器，很多题⽬与⽣活中许多实际复杂问题的解决都与它有关。
它也是初中数学学习的重难点，中考必考的重要内容，在全国各地的中考数学试卷中所占分数⼤约如下：不管是选择题、填空题，还是解答题都常光临。
纵观近年来与⼀元⼆次⽅程相关的开放题、探索题、阅读理解题更逐渐成为中考命题的热点，多以社会关注点为素材，分值较⾼。
因此，2021年想学好初中数学就⼀定要把⼀元⼆次⽅程学扎实，这对分式⽅程、⼆次函数等综合问题都有很⼤帮助。
⽽在这过程中，如果能掌握这⼀张图涵盖的相关知识点，也就基本意味着能横扫这个初中3年数学的⼤BOSS。
七年级数学培优竞赛二合一讲练教程(共15讲,含答案)
数的整除（一）【知识精读】如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）【分类解析】例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=31234能被12整除，求X。
例2己知五位数x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，84能被4整除时，X＝0，4，8当末两位X∴X＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数。
解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
【实战模拟】1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2若四位数a12X能被11整除，那么X＝__________-3若五位数3435m能被25整除4当m=_________时，59610能被7整除5当n=__________时，n6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________ 88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。
《新思维》、《新方法》对比简测
《新思维》、《新方法》对比简测《新思维》、《新方法》以及《大视野》都是黄东坡老师的著作，作为初中数学拔高类的教辅，一直以来都被老师、家长和学生所推崇。
其中《大视野》因为主要是涉及竞赛内容，在此我们不再赘述，《新思维》和《新方法》则是一直被认为是初中数学拔高类教辅中的佼佼者，有不少名校培优班的数学老师会选择两者之一作为补充练习。
普遍认为，《新思维》偏课内一些，《新方法》偏竞赛一些，难度更高。
但是到底《新思维》与《新方法》有什么区别，我们说《新方法》偏竞赛，到底有多“偏”？我们说《新方法》比《新思维》难，到底难到什么程度？想必朋友们市很好奇这件事情的，正好前一段朋友们打赏我的文章，我用这些钱又购置了一些教辅，其中就有七年级的《新方法》，正好可以和我手头的七年级《新思维》做一个简单的对比评测，为朋友选择教辅提供参考。
关于《新思维》的评测，我在之前已经写过。
见书识人——黄东坡《数学探究应用新思维（七年级数学）》评测所有这里我着重比较两者的区别，更侧重对新方法的分析。
目录一、《新思维》与《新方法》的结构对比二、《新思维》与《新方法》的题目结构与难度对比（一）、知识简析（二）、例题对比（三）、习题对比三、《新思维》与《新方法》到底怎么选？怎么用？（一）、怎么选？（二）、怎么用？四、小结一、《新思维》与《新方法》的结构对比两本书拿到手里，厚薄差不多，《新方法》略厚一些，去掉答案，《新方法》多了大概十几页。
两本书的体例都比较类似，大体都是以七年级数学教材为纲，但是又按照代数、几何、概率统计分别整合成几大块。
不过《新方法》又额外多了一部分拓展内容，这是它与《新思维》的区别。
我将两本书在各部分中的内容对照表整理出来，大家一看便知。
显然可以看出，在代数部分，《新方法》在内容上是包含了《新思维》的内容的，相较于《新思维》，《新方法》多了一些数学思维的拓展——走进美妙的数学世界、跨越——从算术到代数、创造的基石——观察、归纳与猜想；在一些知识上做了细化，比如一元一次方程中专门设置了绝对值与一元一次方程一节；增添了整式的乘法与除法、乘法公式等章节。
初三数学培优新方法练习题
初三数学培优新方法练习题1. 填空题：a) 3.14是圆周率的近似值，它是一个________数。
b) 7的负数是_________。
c) 38÷2的余数是_________。
d) 在数轴上，-2和2之间有________个整数。
e) 4/5是一个_________数。
2. 选择题：a) 下列哪个数是无理数？1) √22) 1.53) -54) 0.25b) 计算：(2 + 3) × 4 ÷ 2 =1) 82) 113) 64) 10c) 下列哪个数是正数？1) -92) 03) 54) -2d) 定义域是实数的函数图像是一条_________。
1) 直线2) 抛物线3) 高尔夫球杆4) 温度计3. 解答题：a) 用计算器验证下列方程是否成立：(2 + 3) × 4 ÷ 2 = 5b) 请列举2个无理数的例子，并说明它们的性质。
c) 如果一个数的绝对值是9，它可能是什么数？d) 请你举例说明正数与负数相加的规律。
4. 应用题：题干：一张圆形纸片的直径为14厘米，如图所示，将此圆形纸片剪成一个扇形，剪掉那一部份，使剩余的部份在对称轴上折上后叠起来刚好封闭形成一个圆锥形纸帽，问剪掉部分的圆心角是多少？(π取近似值3.14)图片部分省略，仅文字描述。
5. 拓展题：某商场进行打折促销，某商品原价100元。
第一天打9折出售，第二天再对折出售，以后每天都再对折出售。
请计算经过多少天后这个商品的售价低于10元？6. 相关题：题干：小明和小华合计有48个糖果，两人约定，将糖果分成若干份，每份4块。
剩下的2块，如果不够每份都分一块，就交给妈妈。
询问：小明和小华最多可得到多少个糖果，妈妈最多可能得到几块糖果？7. 推理题：a) 下列哪个数不是整数？1) -102) -√253) 04) 1/2b) 如果a是一个正数，那么a的相反数是__________。
8. 综合题：题干：某公司在一年内举办了两次员工聚餐，第一次聚餐花费了总预算的3/5，第二次聚餐花费了剩下预算的2/3。
黄东坡数学培优新方法详细解析第十节列方程解应用题有趣的行程问题
七年级 第十节列方程解应用题 有趣的行程问题 24题扫描二维码，下载客户端，随时随地做题支持iPhone/Android手机1.设计方案：学生乙先步行，老师带学生甲乘摩托车走出一定路程，让学生甲步行，老师返回接学生乙，然后老师带乘学生乙，与学生甲步行同时到达博物馆即可要确定摩托车中途接乙的返回点.分）设两个学生为甲、乙二人.学生乙先步行，老师带学生甲乘摩托车走了千米，共用了小时.他们比乙多行了千米)。
这时老师让甲步行前进，而自己返回接乙，中途遇到学生乙时，用了小时)。
乙遇到老师时，已经步行了千米)，离博物馆还有千米)。
如果甲、乙二人搭乘摩托车的路程相同，那么，解得千米分）这样，在路上学生甲共计用的时间为小时），学生乙共计用的时间为小时分）因此，上述方案可使师生人同时出发后只用小时就可同时到达博物馆.设甲每分钟走米，乙每分钟走米，丙每分钟走米，甲出发分钟后追上乙车，由题意，得，老师带着两个学生到离学校千米的博物馆参观.老师开一辆摩托车，速度为千米小时.这辆摩托车后坐可带乘一名学生，带人后速度为千米小时.学生如果步行，速度为千米小时.请你设计一种方案，使得师生人同时出发后用个小时同时到达博物馆.2.甲、乙、丙三辆车都匀速从地驶往地.乙车比丙车晚分钟出发，出发后分钟追上丙车；甲车比乙车晚分钟出发，出发后分钟追上丙车，则甲车出发后＿＿＿＿＿＿分钟追上乙车.3.①②③A. 上设甲的速度是每小时千米，则乙的速度是每小时千米，由题意得.检验：当时，是原方程的解.，，.此时是上午点分.故选.设乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是秒.由题意，有，解得.经检验，是原方程的解.即乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是秒.故答案为：.9.甲、乙两列客车的长分别为米和米，它们相向行驶在平行的轨道上，已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是秒，那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是＿＿＿秒.10.铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度为千11. 3.6设火车的速度是则解得:答:这列火车的车身长为米（1）出发后＿＿＿分钟时，甲乙两人第一次在正方形的顶点处相遇；（1）a=1或a=7；（2）t 的值为0.5、2、8或9.5．正确答案： B DA 边上设、两地之间的距离为千米，若在的上游时：动点Q 从B 出发，以3 cm/s 的速度，按同样的方向运动．设运动时间为t (s)，当t ＝ 5时，动点P 、Q 第一次相遇．(1)求a 的值；(2)若a > 3，在P 、Q 第二次相遇前，当动点P 、Q 在轨道上相距12cm 时，求t 的值．如图，甲、乙两人沿着边长为90米的正方形，按A →B →C →D →A …方向，甲从A 以65米/分的速度，乙从B 以72米/分的速度同时行走，当乙第一次追上甲时在正方形的（ ）A AB 边上B DA 边上C BC 边上D CD 边上23.某人乘船由地顺流而下到地，然后又逆流而上到地，共乘船小时，已知船在静水中的速度为每小时千米，水流速度为每小时千米，若、两地的距离为千米，求、两地的距离.24.。
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∴△BDF、△EFC 均为 RT 三角形
例 2 平行四边形的五种判定方法分别是： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边
分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （4）两组对角分别相
等的四边形是平行四边形； （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，任取两 个进行推理．
解： 根据平行四边形的判定， 符合四边形 ABCD 是平行四边形条件的有九种： （1） （2） ； （3） （4） ； （ 5） （6） ； （1） （3 ） ； （2） （ 4） ； （1 ） （5） ； （ 1） （6） ； （2） （5 ） ； （2） （6）共九种． 例 3 熟记平行四边形的判定，其中对角线互相平分，是平行四边形，延长 AC 后，证明 AD∥BC，然后再
FD=PF+PD=FC， 即 PE+PD+PF=AC=AB，在图 3 中， PE=AF 可证， FD=PF-PD=CF， 即 PF-PD+PE=AC=AB．
9 证明： （1）∵ABCD 平行四边形 ∴OD=OB=1/2BD AD=BC AB=CD 又∵BD=2AD ∴BC=OB 又∵E 是 OC 的中点 ∴BE⊥OC 即 BE⊥AC （2） 由（1）可得△ABE 是直角三角形 又∵G 是 AB 的中点 ∴EG=1/2AB （直角三角形斜边中线等于斜边一半）
证明：设四边形 ABCD，AC，BD 是对角线，AC 与 BD 交点为 O
过 A 作 AE 垂直 BD，过 C 作 CF 垂直 BD，垂足是 E，F 然后根据对角线平分面积，证明 AE＝CF 再根据"角角边”相等，证明三角形 AEO 与三角形 CFO 全等 从而得到 AO＝CO 同理得到 BO＝DO 则 四边形为平行四边形
∵AD= a
∴CD=
1 3 a ，AC= a 2 2
又 AC=2CF，CF=FG ∴AG=
3a
∵四边形 ABEG 为平行四边形 ∴BE=AG=
3a
(3)
∵AC⊥DC，
∴∠G 为 Rt 角， 又∵△EFG≌△DFC
∴SABED=S 正方形 ABEG+S△ACD
1 1 3 1 5 3 2 = 3a a a a = a 2 2 2 2 8
②两组对角的内角平分线分别平行的四边形，证明两组对角相等，故四边形是平行四边形， 故②正确； 证明：∵ AF∥CE，BM∥DN ∴ ∠DGA=∠CHB
∴∠DAG+∠ADG=∠HCB+∠HBC ∠GAE+∠GNA=∠HCM+∠HMC
(1) (2)
(1)+(2)得 ∠ADN+∠AND+∠A =∠BMC+∠MBC+∠C
BE∥AG，那么四边形 ABEG 是平行四边形，就可得，AB=GE=CD，而 GE∥CD，会出现两对内错角相等， 故△EGF≌△DCF，即 EF=DF．
（ 2 ）有 AC ⊥ DC ，∠ ADC=60° ，可得 CD=
1 2
AD=
1 3 a ，利用勾股定理，可求 AC= a ，而 2 2
CF=
1 AC，那么再利用勾股定理，又可求 DF，而由（1）知，DE=2DF，故可求 2
E,F,分别是 OC,OD,的中点 ∴EF=1/2CD ∴EG=EF （3） ∵BG∥EF，BG=EF ∴∠AGF=∠ABE=∠GFE 又∵EG=EF ∴∠GFE=∠FGE ∴∠FGE=∠AGF ③成立 10
11
12
解： ：①一组对边相等，一组对角相等的四边形，不能证明另一组对边也相等或平行，故四 边形不一定是平行四边形（无角边边全等判定定理） ；故①错误；
证明三角形全等，证得对角线互相平分，得到结论．
证明：延长 AC，在 C 上方取 N，A 下方取 M，使 AM=AE，CN=CF，则由已知 可得 PM=PN，易证△PME≌△PNF，且△AME，△CNF 都是等腰三角形． ∴∠M=∠N，MEP=∠NFP ∴∠AEP=∠PFC ∴AD∥BC， 可证得△PAE≌△PCF，得 PA=PC， 再证△PED≌△PFB．得 PB=PD． ∴ABCD 为平行四边形． 例 4（1）先过点 E 作 EG∥CD 交 AF 的延长线于点 G，由 EG∥CD，AB∥CD，可得，CD∥GE，再有
例5 （1）
（2）
（3）
1
2
3
=2×6=12 4 解：由 a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，可整理为(a-c)2+(b-d)2=0，即 a=c，b=d．则这个四 边形一定是平行四边形． 5
6
7
8
在图 2 中， 因为四 边形 PEAF 为平 行四边 形，所 以 PE=AF ，又 三角形 FDC 为等 腰三角 形，所 以
例1 （1）本题先结合平行四边形性质，根据 ASA 得出△ABM≌△CDN，从而得出 DN=BM，AM=CN；再由
三角形中位线得出 CN=MN，BM=DN=2NF，同时推翻 AM=AC、S△AMB=
1 S△ABC． 2
（2）用大五边形面积减去 3 个三角形面积即可求得结果
（三角形 ABD、三角形 ACE、三角形 ABC） ；
∵ 内角平分和平行 ∴∠ADN=∠BMC, ∠AND=∠MBC ∴∠A =∠C 同理 ∠D =∠B ∴ 四边形为平行四边形
③一组对边中点的距离等于另一组对边边长的和的一半的四边形， 梯形中两腰中点的连线也 可以符合等于上下底的一半，故③错误；
④两条对角线都平分四边形的面积的四边形是平行四边形， 可证明两组对边平行， 故④正确；
15 证明：如图所示过 B 作 BM∥AC，过 C 作 CM∥AB， 则四边形 ABMC 为平行四边形， ∴CM=AB，BM=AC=BD，BM∥AC， 又∵∠DOC=60°， ∴∠DBM=∠DOC=60° 即三角形 DBM 为等边三角形， ∴BM=AC=DM 在△CDM 中，CM+CD＞DM， 即 AB+CD＞AC．
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平行四边形有两组分别平行的边，因此只需要在第一组中取两条,在第二组中取两条，就可 以构成平行四边形，共 C 3 ×C 5 =[(3×2)/2]×[(5×4)/2]=30 个
2 2
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证明：过 D，F，B 做 EF，AB，CD 的平行线， ∵BC-EF=DE-AB=AF-CD， ∴△MPN 为正三角形． ∴∠NPM=∠PMN=∠MNP=60°． ∴∠BMD=∠BNF=∠FPD=120°． 又∵AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF， ∴分割构成 3 个平行四边形． ∴六个内角都相等．