8年级数学培优竞赛试题1-25题(含详解)

八年级第1题：下列命题：（1）全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；（2）两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；（3）两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；（4）两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等。

其中正确命题的个数有( )A.4个B.3个C.2个D.1个答案：B解析：（1）全等三角形的中线、高、角平分线对应相等，正确（2）可以先证明两边的夹角相等，再证明两三角形全等，正确（3）可以用AAS或ASA判定两个三角形全等，正确（4）参考等高模型，两三角形不一定全等，错误第2题：如图，在△ABC中，IB，IC分别平分∠ABC和∠ACB，过点I作DE ∥BC，分别交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形；②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE周长等于AB＋AC，其中正确的是（）A．①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④答案：C解析：①因为IB 平分ABC ∠所以CBI DBI ∠=∠因为DE 平行BC所以CBI DIB ∠=∠所以DIB DBI ∠=∠所以BD=DI所以DBI ∆是等腰三角形②因为BAC ∠不一定等于ACB ∠所以IAC ∠不一定等于ICA ∠所以ACI ∆不一定是等腰三角形③因为三角形角平分线相交于一点，BI 、CI 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线 所以AI 平分BAC ∠④因为DI BD =,同理可得EC EI =所以ADE ∆的周长AE EC BD AD AE EI DI AD +++=+++第3题：已知△ABC 的三条边长分别为3,4,6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）A ．6条 B.7条 C.8条 D.9条答案：B解析：根据当11AC BC =，2CC AC =，3BC AB =，44CC AC =，5AC AB =6AC AB =，77CC BC =时，都可以得到符合题意的等腰三角形所以共有7条第4题：如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP ＝5cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm ，则∠AOB 的度数是（ ）A.25°B.30°C.35°D.40°答案：B解析：分别作P 点关于OA 、OB 的对称点D 、C ，连接CD ，分别交OA 、OB 与点M 、N 连接OC 、OD 、PM 、PN 、MN因为点P 关于OA 的对称点为D ，关于OB 的对称点为C所以PM=DM ，OP=OD ，POA DOA ∠=∠因为P 关于OB 对称点为C所以PN=CN ，OP=OC ，POB COB ∠=∠所以OC=OP=OD ，COD AOB ∠=∠21 因为三角形PMN 的周长最小值为5cm所以PM+PN+MN=5，DM+CN+MN=5即CD=5=OP所以OC=OD=CD即三角形OCD 是等边三角形所以︒=∠60COD所以︒=∠30AOB第5题：如图，E ，F ，分别是正方形ABCD 的边AD ，DC 上的点，BE ⊥AF ，若图中阴影部分的面积为8，则正方形的面积是（ ）A ．12 B.16 C.20 D.24答案：B解析：因为BE ⊥AF所以︒=∠+∠90BAF ABE因为︒=∠=∠+∠90BAD BAF DAF所以ADF ABE ∠=∠在△ABE 和△DAF 中 ADF ABE ∠=∠AD AB =D B AE ∠=∠所以)(ASA DAF ABE ∆≅∆所以ABCD BCF ADF BCF ABE S S S S S 正方形21=+=+∆∆∆∆ 因为阴影部分面积为8所以正方形ABCD 的面积为16分解因式：10987654322345654321x x x x x x x x x x ++++++++++解析:原式28262422211213121)()()()()(+++++++++=x x x x x x x x x )()(8642223211x x x x x +++++=)()(24648222211x x x x x x ++++++=224211)()(+++=x x x2222211])[()(x x x -++=22222111)()()(x x x x x -++++=第6题：在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（1,0），点B 的坐标是（－3，－3），点C 是y 轴上一动点，要使△ABC 为等腰三角形，则符合要求的点C 的位置共有（ ）A.2B.3C.4D.5答案：D解析)617,0(),7,0(),1,0(),62,0(),62,0(54321---C C C C C第7题：因式分解24+26+9+23x x x答案：2426923+++x x x)16269(2233++++=x x x)89)(2()42)(2(2++++-+=x x x x x)8942)(2(2+++-+=x x x x)127)(2(2+++=x x x)4)(3)(2(+++=x x x第8题：解方程式）（0≠1+1+13=++cb ac b a x b a c x a c b x －－－－－－ 答案：3=--+--+--cb a x b ac x a c b x 3=+-++-++-cb ac x b a c b x a c b a x cb a b ac a c b c x b x a x ++++++=++3 cb a b ac a c b c x b x a x ++++++++=++111 c c b a b c b a a c b a x c b a ++++++++=++)111()111)(()111(cb ac b a x c b a ++++=++ 则c b a x ++=第9题：如图所示，在△ABC 中，∠C=90°+B ∠21，AD 是角平分线，求证：AB=AC+BD答案：在AB 上取AC AE =因为AD 是角平分线所以CAD EAD ∠=∠在ACD ∆和AED ∆中AC AE = （已证）CAD EAD ∠=∠ （已证）AD AD = （公共边）所以AED ACD ∆≅∆ )(SAS所以CD ED =，B C AED ∠+︒=∠=∠2190 所以B B AED BED ∠∠-︒=∠∠+︒-︒=∠-︒=∠21902190180180）（ 因为︒=∠+∠+∠180EDB BED B 所以B B B BED B BDE ∠-︒=∠-︒-∠-︒=∠-∠-︒=∠21902190180180）（ 所以BDE BED ∠=∠所以BD BE =因为BE AE AB +=，AE AC =,BD BE =所以BD AC AB +=第10题：△ ABC 中，AC = BC ，∠C =20°，又点M 在BC 边上，且满足∠BAN =50°， ∠ABM =60°， 求∠NMB 。

答案：在AC 上取一点D ，使BA BD =因为︒=∠=20B BC AC ，所以︒=∠=∠80CBA CAB所以︒=︒-︒-︒=∠-∠-︒=∠505080180180BAN ABN ANB︒=︒-︒-︒=∠-∠-︒=∠406080180180ABM MAB AMB因为︒=∠=∠50BNA BAN所以BN AB =因为BN AB AB BD ==，所以BN BD =因为︒=∠-︒=∠202180CAB ABD所以︒=︒-︒=∠602080DBN所以BDN ∆是等边三角形所以DB DN DBN BDN =︒=∠=∠，60因为︒=︒-︒=∠-∠=∠206080ABM CBA CBM所以︒=∠+∠=∠40CBM C DMB因为︒=︒-︒=-∠=∠402060CBM DBN DBM所以DMB DBM ∠=∠所以DB DM =因为DB DN =，DB DM =D所以DN DM =因为︒=︒-︒-︒=∠-∠-︒=∠406080180180BDN ADB MDN 所以︒=︒=∠-︒=∠7021402180MDN DMN ︒=︒-︒=∠-∠=∠304070BMA NMA NMB如图所示，已知A,B 两点在直线L 的两旁，求作一点O,使直线L 平分∠AOB 。

答案：做A 关于直线l 的对称点A ’，连接A ’B 交直线l 于点O 。

第11题： 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36︒，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，∠ABD 的平分线交AC 于点E ，求证：AE ＝CD 。

（要求：不作辅助线）答案：证明：AC AB = ，︒=∠36A︒=∠=∠∴72C ABCBD 平分︒=∠∠72,ABC ABC︒=∠=∠∴36CBD ABDBE 平分︒=∠∠36,ABD ABD︒=∠=∠∴18DBE ABE︒=∠=∠36ABD ABD AD =∴︒=∠︒=∠72,36C DBC︒=∠=∠∴72BDC CBC BD =∴︒=∠︒=∠7254C EBC ，︒=∠=∠∴54BEC EBCBC EC =∴EC BC BD BD BD AD ===,,EC AD =∴ED EC ED AD -=-∴CD AE =∴第12题：如图，在锐角△ABC 的边上分别作等腰Rt △ABP 和等腰Rt △AQC ，其中∠APB 和∠AQC 都是直角，点M 是BC 中点，连PM 、QM 、PQ ，求证△PMQ为等腰直角三角形。

答案：证明：延长PM 至N ，使得MN=PM ，连接CN ，QN在MPB ∆和MNC ∆中 CM BM =CMN BMP ∠=∠MN MP =∴)(SAS MNC MPB ∆≅∆PA PB NC ==∴，CNM PM Β∠∠=°45=∠=∠=∠=∠=∠//∴ACQ CAQ PAB BAP PBA CN BP ， °135==PAQ NCQ ∠∠∴ 在CNQ ∆和APQ ∆QA QC =PAQ NCQ ∠=∠PA NC =∴)(SAS APQ CNQ ∆≅∆PQ NQ =∴AQP CQN AQ CQ ∠=∠⊥,PQ NQ ⊥∴NPQ ∆∴是等腰直角三角形M 是PN 的中点PMQ ∆∴是等腰直角三角形第13题：如图，设△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且∠EBD=62°，则∠AEB 的度数是_________.答案：122°解析：ABC ∆ 和CDE ∆都是等边三角形︒=∠=∠==∴60,,ECD ACB CD CE BC ACBCD BCE ECD BCE ACE ACB ∠+∠=∠∠+∠=∠,ACE BCD ∠=∠∴在ACE ∆和BCD ∆中BC AC =B C D A C E ∠=∠CD CE =BCD ACE ∆≅∆∴DBC CAE ∠=∠∴BAE EBC ∠－∠－∴°60=°62即BAE ABE ∠-︒=∠-︒-︒606062）（ ︒=︒-︒+︒=∠+∠∴58626060BAE ABE︒=︒-︒=∠+∠-︒=∠∴12258180)(180BAE ABE AEB第14题：数学课上，李老师出示了如下框中的题目.小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下回答：（1）特殊情况，探索结论当点E 为AB 的中点时，如图①，确定线段AE 与DB 的大小关系.请你直接写出结论：AE_________DB （填“˃”“<”或“＝”）答案：DB AE =（2）特例启发，解答题目解：题目中.AE 与DB 的大小关系是：AE _______DB （填“>”“<”或“＝”）理由如下：如图②，过点E 做EF ∥BC ，交AC 于点F （请你完成以下解答过程）答案：DB AE =解析：证明：ABC ∆ 为等边三角形，EF 平行BCAEF ∆∴是等边三角形，EF AF AE ==AF AE AC AB ==,FC BE =∴EF 平行BCECB FEC ∠=∠∴EC ED =ECB D ∠=∠∴FEC D ∠=∠∴在EDB ∆和ECF ∆中FC EB =CEF D ∠=∠CE DE =)(SAS ECF EDB ∆≅∆∴EF DB =∴EF DB =∴（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，且ED=EC .若△ABC 边长为1，AE=2，求CD 的长（请你直接写出结果）答案：1或3第15题：①如图1，在正三角形ABC 中，M 、N 分别是AC 、AB 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON ＝60︒，判断BM 和CN 的数量关系；答案：CN BM =解析：证明：ABC ∆ 是等边三角形︒=∠=∠=∴60,CAN BAM CA BC︒=∠60BON︒=∠+∠∴60BCN CBM︒=∠+∠60ACN BCNACN CBM ∠=∠∴ 在BCM ∆和CAN ∆中A B C M ∠=∠AC BC =A C N CB M ∠=∠)(ASA CAN BCM ∆≅∆∴CN BM =∴②如图2，在正方形ABCD 中，M 、N 分别是CD 、AD 上的点，BM 与CN 相交于O ，若∠BON ＝90︒判断BM 和CN 的数量关系；答案：CN BM =解析：易证CDN BCM ≅∆，则CN BM =③如图3，在正五边形ABCDE 中，M 、N 分别是CD 、DE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON ＝108︒，判断BM 和CN 的数量关系；答案：CN BM =易证CDN BCM ≅∆，则CN BM =④通过上述例子，对于正n （n ≥3）边形ABCDEF …（如图4所示），能否给出一个更一般的猜想？并证明其正确性；答案：CN BM =易证CDN BCM ≅∆，则CN BM =⑤如图5，在正五边形ABCDE 中，M 、N 分别是DE 、AE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，∠BON ＝108︒时，试问结论BM ＝CN 是否还成立，若成立，请给予证明。