2016年山东省高考数学试卷(理科无答案)
二．填空题（共5小题） 11．（2016•山东）执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和 9，则输出的i的值为 ．
12．（2016•山东）若（ax2+
）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a= ．
13．（2016•山东）已知双曲线E：
cosx﹣sinx）的最小正周期是（ ） A．
B．π C．
D．2π 8．（2016•山东）已知非零向量 ， 满足4| |=3| |，cos＜ ， ＞=
．若 ⊥（t + ），则实数t的值为（ ） A．4 B．﹣4 C．
D．﹣
9．（2016•山东）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3
，求数列{cn}的前n项和Tn．
19．（2016•山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动 由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对， 则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是
是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线． （I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC； （Ⅱ）已知EF=FB= AC=2 ，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．
18．（2016•山东）已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数 列，且an=bn+bn+1． （Ⅰ）求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）令cn=
，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的 根，则m的取值范围是 ． 三．解答题（共6小题） 16．（2016•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已 知2（tanA+tanB）=
+
． （Ⅰ）证明：a+b=2c； （Ⅱ）求cosC的最小值．
17．（2016•山东）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF
（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为 S2，求
的最大值及1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为 E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 ． 14．（2016•山东）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与
圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为 ．
15．（2016•山东）已知函数f（x）=
A．56 B．60 C．120 D．140 4．（2016•山东）若变量x，y满足
，则x2+y2的最大值是（ ）
A．4 B．9 C．10 D．12 5．（2016•山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所 示．则该几何体的体积为（ ）
A．
+
π B．
+
π C．
+
π D．1+
π 6．（2016•山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直 线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2016•山东）函数f（x）=（ sinx+cosx）（
；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假 设“星队”参加两轮活动，求： （I）“星队”至少猜对3个成语的概率； （II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
20．（2016•山东）已知f（x）=a（x﹣lnx）+
，a∈R． （I）讨论f（x）的单调性； （II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+ 对于任意的x∈[1，2]成立．
21．（2016•山东）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率是
，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．
（I）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于 不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直 线交于点M． （i）求证：点M在定直线上；
A∪B=（ ） 3．（2016•山东）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小 时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 [17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25）， [25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间 不少于22.5小时的人数是（ ）
﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞
时，f（x+
）=f（x﹣
）．则f（6）=（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 10．（2016•山东）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图 象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中 具有T性质的是（ ）
2016年山东省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题） 1．（2016•山东）若复数z满足2z+
=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（ ） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
2．（2016•山东）设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则
2016年山东省高考理科数学试题及答案
精心整理绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第I卷和第H卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
I / _ ------------ .注意事项：1. 答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2. 第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3. 第H卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)二P(A)+P(B).第I卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的(1)若复数z满足2z其中i为虚数单位，则z=(A) 1+2i (B) 1 -2i (C) -1 2i ( D) -1-2ix 2(2)设集合A二{y|y =2 ,x R}, B 二{X|x -v：：0},则A U B二(B ) (0,1)(C )(胡，--)(D )(0,--)(3)某高校调查了 200名学生每周的自习 (单位：小时)，制成了如图所示的频率分 图，其中自习时间的范围是［17.5,30］，样本方图，这200名学生中每周的自习时间不少 小时的人数是(A ) 56 ( B ) 60 (C ) 120 ( D ) 140 看x+ y? 2, 拿x- 3y ? 9,(4) 若变量x ，y 满足锍0,则x 2+ y2的最大值是(A ) 4 (B ) 9 (C ) 10 (D ) 12(5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为(6) 已知直线a ，b 分别在两个不同的平面 a ，B 内•则“直线a 和直线b 相交”是“平面a 和 平面B 相交”的(A )充分不必要条件(B )必要不充分条件学.科.网 (C )充要条件(D )既不充分也不必要条件 (7) 函数 f (x ) = ( .3sin x+cosx ) ( 3 cosx - sin x )的最小正周期是n 3 n (A ) n ( B )n( C )——(D 2n2 2(8) 已知非零向量 m n 满足4丨ml =3 I n I ，cos<m n>=-.若门丄(tm+ n )，则实数t 的值为3(A ) 4 (B )- 4 (C ) 9 ( D )-9441(9) 已知函数 f (x)的定义域为 R.当 x<0 时，f (x) = x 3 T ;当 -1 _ x -1 时，f (-x) - - f (x);当 x - 1 1时，f (X 2)= f (X -2).则 f (6)=(A ) ?2 (B ) ?1 (C ) 0 (D 2(10) 若函数y=f(x)的图象上存在两点，学科.网使得函数的图象在 这两点处的切线互相垂直，则称y=f (x)具有T 性质.下列函数中具有 T 性质的是(A ) 1 2n 3 3(B )(D )6时间 布直方 数据分根据直 于 22.5x 3 (A) y=sinx ( B) y=lnx (C) y=e ( D y=x第H卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2016年高考山东理科数学试题及答案(word解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试〔##卷〕数学〔理科〕第Ⅰ卷〔共50分〕一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 〔1〕[2016年##,理1,5分]若复数z 满足232i z z +=-,其中i 为虚数为单位,则z =〔〕〔A 〕12i +〔B 〕12i -〔C 〕12i -+〔D 〕12i -- [答案]B[解析]设(),,z a bi a b R =+∈,则2()i 23i 32i z z z z z a b a a b +=++=++=+=-,所以1,2a b ==-,故选B ． [点评]本题考查复数的代数形式混合运算,考查计算能力．〔2〕[2016年##,理2,5分]已知集合{}{}22,,10x A y y x R B x x ==∈=-<,则AB =〔〕〔A 〕()1,1-〔B 〕()0,1〔C 〕()1,-+∞〔D 〕()0,+∞ [答案]C[解析]由题意()0,A =+∞,()1,1B =-,所以()1,AB =-+∞,故选C ．[点评]本题考查并集与其运算,考查了指数函数的值域,考查一元二次不等式的解法,是基础题． 〔3〕[2016年##,理3,5分]某高校调查了200名学生每周的自习时间〔单位：小时〕,制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的X 围是[]17.5,30,样本数据分组为[)17.5,20,[)20,22.5,[)22.5,25,[)25,27.5,[]27.5,30．根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是〔〕 〔A 〕56〔B 〕60〔C 〕120〔D 〕140 [答案]D[解析]由图可知组距为2.5,每周的自习时间少于22.5小时的频率为(0.020.1) 2.50.30+⨯=, 所以,每周自习时间不少于22.5小时的人数是()20010.30140⨯-=人,故选D ． [点评]本题考查的知识点是频率分布直方图,难度不大,属于基础题目．〔4〕[2016年##,理4,5分]若变量x ,y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则22x y +的最大值是〔〕〔A 〕4〔B 〕9〔C 〕10〔D 〕12 [答案]C[解析]由22x y +是点(),x y 到原点距离的平方,故只需求出三直线的交点()()()0,2,0,3,3,1--,所以()3,1-是最优解,22x y +的最大值是10,故选C ．[点评]本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法,是中档题． 〔5〕[2016年##,理5,5分]有一个半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如右图所示,则该几何体的体积为〔〕〔A 〕1233+π〔B 〕1233+π〔C 〕1236+π〔D 〕216+π[答案]C[解析]由三视图可知,半球的体积为26π,四棱锥的体积为13,所以该几何体的体积为1236+π,故选C ．[点评]本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体的形状是解答的关键．〔6〕[2016年##,理6,5分]已知直线,a b 分别在两个不同的平面α,β内,则"直线a 和直线b 相交〞是"平面α和平面β相交〞的〔〕〔A 〕充分不必要条件〔B 〕必要不充分条件〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分也不必要条件 [答案]A[解析]由直线a 和直线b 相交,可知平面αβ、有公共点,所以平面α和平面β相交．又如果平面α和平面β相交,直线a 和直线b 不一定相交,故选A ．[点评]本题考查的知识点是充要条件,空间直线与平面的位置关系,难度不大,属于基础题． 〔7〕[2016年##,理7,5分]函数()()()3sin cos 3cos sin f x x xx x =+-的最小正周期是〔〕〔A 〕2π〔B 〕π〔C 〕32π〔D 〕2π[答案]B[解析]由()2sin cos 3cos 22sin 23f x x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,所以,最小正周期是π,故选B ．[点评]本题考查的知识点是和差角与二倍角公式,三角函数的周期,难度中档．〔8〕[2016年##,理8,5分]已知非零向量,m n 满足143,cos ,3m n m n =<>=,若()n tm n ⊥+则实数t 的值为〔〕〔A 〕4〔B 〕4-〔C 〕94〔D 〕94-[答案]B[解析]因为21cos ,4nm m n m n n =⋅<>=,由()n tm n ⊥+,有()20n tm n tmn n +=+=,即2104t n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,4t =-,故选B ．[点评]本题考查的知识点是平面向量数量积的运算,向量垂直的充要条件,难度不大,属于基础题．〔9〕[2016年##,理9,5分]已知函数()f x 的定义域为R ,当0x <时,3()1f x x =-；当11x -≤≤时,()()f x f x -=-；当12x >时,1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()6f =〔〕〔A 〕2-〔B 〕1-〔C 〕0〔D 〕2 [答案]D[解析]由1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,知当12x >时,()f x 的周期为1,所以()()61f f =．又当11x -≤≤时,()()f x f x -=-,所以()()11f f =--．于是()()()()3611112f f f ⎡⎤==--=---=⎣⎦,故选D ．[点评]本题考查函数值的计算,考查函数的周期性,考查学生的计算能力,属于中档题． 〔10〕[2016年##,理10,5分]若函数()y f x =的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称()y f x =具有T 性质．下列函数具有T 性质的是〔〕〔A 〕sin y x =〔B 〕ln y x =〔C 〕x y e =〔D 〕3y x = [答案]A[解析]因为函数ln y x =,x y e =的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数3y x =的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直,即不具有T 性质,故选A ．[点评]本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程,转化思想,难度中档．第II 卷〔共100分〕二、填空题：本大题共5小题,每小题5分〔11〕[2016年##,理11,5分]执行右边的程序框图,若输入的的值分别为0和9,则输出i 的值为． [答案]3[解析]i 1=时,执行循环体后1,8a b ==,a b >不成立；i 2=时,执行循环体后3,6a b ==,a b >不成立；i 3=时,执行循环体后6,3a b ==,a b >成立；所以i 3=,故填 3.[点评]本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程序法进行解答． 〔12〕[2016年##,理12,5分]若521ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数是80-,则实数a =．[答案]2-[解析]由()23222355551C C 80ax a x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,得2a =-,所以应填2-．[点评]考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数,属常规题型．〔13〕[2016年##,理13,5分]已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>,若矩形ABCD 的四个顶点在E 上,,AB CD 的中点为E 的两个焦点,且23AB BC =,则E 的离心率为．[答案]2[解析]由题意BC 2c =,所以2AB 3BC =,于是点3,2c c ⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线E 上,代入方程,得2222914c c a b -=,在由222a b c +=得E 的离心率为2ce a==．[点评]本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用方程的思想,正确设出A B C D ，，，的坐标是解题的关键,考查运算能力,属于中档题．〔14〕[2016年##,理14,5分]在[]1,1-上随机的取一个数k ,则事件"直线y kx =与圆()2259x y -+=相交〞发生的概率为． [答案]34[解析]首先k 的取值空间的长度为2,由直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交,得事件发生时k 的取值空间为33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,其长度为32,所以所求概率为33224=． [点评]本题主要考查了几何概型的概率,以与直线与圆相交的性质,解题的关键弄清概率类型,同时考查了计算能力,属于基础题．〔15〕[2016年##,理15,5分]在已知函数()2,24,x x mf x x mx m x m⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩,其中0m >,若存在实数b ,使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根,则m 的取值X 围是．[答案]()3,+∞[解析]因为()224g x x mx m =-+的对称轴为x m =,所以x m >时()224f x x mx m =-+单调递增,只要b 大于()224g x x mx m =-+的最小值24m m -时,关于x 的方程()f x b =在x m >时有一根；又()h x x =在x m ≤,0m >时,存在实数b ,使方程()f x b =在x m ≤时有两个根,只需0b m <≤；故只需24m m m -<即可,解之,注意0m >,得3m >,故填()3+∞，． [点评]本题考查根的存在性与根的个数判断,数形结合思想的运用是关键,分析得到24m m m -<是难点,属于中档题．三、解答题：本大题共6题,共75分．〔16〕[2016年##,理16,12分]在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为a,b,c ,已知()tan tan 2tan tan cos cos A BA B B A+=+． 〔1〕证明：2a b c +=； 〔2〕求cos C 的最小值．解：〔1〕由()tan tan 2tan tan cos cos A B A B B A +=+得sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos C A BA B A B A B⨯=+,2sin sin sin C B C =+, 由正弦定理,得2a b c +=．〔2〕由()222222cos 22a b ab ca b c C ab ab +--+-==222333111122222c c ab a b =-≥-=-=+⎛⎫⎪⎝⎭．所以cos C 的最小值为12． [点评]考查切化弦公式,两角和的正弦公式,三角形的内角和为π,以与三角函数的诱导公式,正余弦定理,不等式222a b ab +≥的应用,不等式的性质．〔17〕[2016年##,理17,12分]在如图所示的圆台中,AC 是下底面圆O 的直径,EF 是上底面圆O '的直径,FB 是圆台的一条母线．〔1〕已知,G H 分别为,EC FB 的中点,求证：//GH 平面ABC ；〔2〕已知123,2EF FB AC AB BC ====,求二面角F BC A --的余弦值．解：〔1〕连结FC ,取FC 的中点M ,连结,GM HM ,因为//GM EF ,EF 在上底面内,GM 不在上底面内,所以//GM 上底面,所以//GM 平面ABC ；又因为//MH BC ,BC ⊂平 面ABC ,MH ⊄平面ABC ,所以//MH 平面ABC ；所以平面//GHM 平面ABC ,由GH ⊂平面GHM ,所以//GH 平面ABC ．〔2〕连结OB ,AB BC =OA OB ∴⊥,以为O 原点,分别以,,OA OB OO '为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系．123,2EF FB AC AB BC ====,22()3OO BF BO FO '=--=,于是有()23,0,0A ,()23,0,0C -,()0,23,0B ,()0,3,3F ,可得平面FBC 中的向量()0,3,3BF =-, ()23,23,0CB =,于是得平面FBC 的一个法向量为()13,3,1n =-,又平面ABC 的一个法向量为()20,0,1n =,设二面角F BC A --为θ, 则121217cos 77n n n n θ⋅===⋅．二面角F BC A --的余弦值为77． [点评]本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用．〔18〕[2016年##,理18,12分]已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+,{}n b 是等差数列,且1n n n a b b +=+．〔1〕求数列{}n b 的通项公式；〔2〕令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+．求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：〔1〕因为数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+,所以111a =,当2n ≥时,221383(1)8(1)65n n n a S S n n n n n -=-=+----=+,又65n a n =+对1n =也成立,所以65n a n =+．又因为{}n b 是等差数列,设公差为d ,则12n n n n a b b b d +=+=+．当1n =时,1211b d =-；当2n =时,2217b d =-,解得3d =,所以数列{}n b 的通项公式为312n n a db n -==+． 〔2〕由111(1)(66)(33)2(2)(33)n n n n n n nn a n c n b n +++++===+⋅++,于是23416292122(33)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅,两边同乘以２,得341226292(3)2(33)2n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅,两式相减,得2221232(12)(33)232n n n n T n n ++=-+⋅-++⋅=⋅．[点评]本题考查数列的通项与求和,着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用,考查分析与运算能力,属于中档题．〔19〕[2016年##,理19,12分]甲、乙两人组成"星队〞参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则"星队〞得3分；如果只有一人猜对,则"星队〞得1分；如果两人都没猜对,则"星队〞得0分．已知甲每轮猜对的概率是34,乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响．假设"星队〞参加两轮活动,求： 〔1〕"星队〞至少猜对3个成语的概率；〔2〕"星队〞两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ． 解：〔1〕"至少猜对3个成语〞包括"恰好猜对3个成语〞和"猜对4个成语〞．设"至少猜对3个成语〞为事件A ；"恰好猜对3个成语〞和"猜对4个成语〞分别为事件C B ,,则1122332131225()4433443312P B C C =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=；33221()44334P C =⋅⋅⋅=．所以512()()()1243P A P B P C =+=+=．〔2〕"星队〞两轮得分之和X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,6,于是11111(0)4343144P X ==⋅⋅⋅=；112212*********(1)4343434314472P X C C ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==；1211223311132125(2)443344334433144P X C ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=；123211121(3)434314412P X C ==⋅⋅⋅==； 12321231605(4)()43434314412P X C ==⋅⋅⋅+⋅==；3232361(6)43431444P X ==⋅⋅⋅==； XX 的数学期望01234614472144121241446EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==． [点评]本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,属中档题．〔20〕[2016年##,理20,13分]已知221()(ln ),x f x a x x a R x-=-+∈．〔1〕讨论()f x 的单调性； 〔2〕当1a =时,证明3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立．解：〔1〕求导数3122()(1)x f x a x x'=－－－23(1)(2x ax x =－－),当0a ≤时,x ∈(0,1),()0f x '>,()f x 单调递增,x +∞∈(1,),()0f x '<,()f x 单调递减当0a >时,()()()233112()a x x x x ax f x x x⎛--+ --⎝⎭⎝⎭'== ①当02a<<时,1,x ∈(0,1)或x ⎫+∞⎪⎪⎭∈,()0f x '>,()f x 单调递增,x ⎛ ⎝∈,()0f x '<,、()f x 单调递减；②当a =２时1,x ∈+∞(0,),()0f x '≥,()f x 单调递增, ③当a >２时,01<,x ⎛∈ ⎝或()x ∈+∞1,,()0f x '>,()f x 单调递增,x ⎫∈⎪⎪⎭1,()0f x '<, ()f x 单调递减．〔2〕当1a =时,221()ln x f x x x x=+－－,2323(1)(212()1x x f x x x x x '==+－－)2－－, 于是2232112()()ln 1)x f x f x x x x x x x '=++－2－－－(－－23312ln 1x x x x x =--++-,[1,2]x ∈令()g ln x x x =-,2332h()x x x x=-++-11,[1,2]x ∈,于是()()g(()f x f x x h x '-=+）, 1g ()10x x x x-'=-=≥1,()g x 的最小值为()11g =；又22344326326()x x h x x x x x --+'=--+=, 设()2326x x x θ=--+,[1,2]x ∈,因为()11θ=,()210θ=-,所以必有0[1,2]x ∈,使得()00x θ=,且01x x <<时,()0x θ>,()h x 单调递增；02x x <<时,()0x θ<,()h x 单调递减；又()11h =,()122h =, 所以()h x 的最小值为()122h =．所以13()()g(()g(1(2)122f x f x x h x h '=+>+=+=））－． 即3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立． [点评]本题考查利用导数加以函数的单调性,考查了利用导数求函数的最值,考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法,是压轴题．〔21〕[2016年##,理21,14分]平面直角坐标系xOy 中,椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率是,抛物线2:2E x y =的焦点F 是C 的一个顶点．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点,A B ,线段AB 的中点为D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． 〔i 〕求证：点M 在定直线上；〔ii 〕直线l 与y 轴交于点G ,记PFG ∆的面积为1S ,PDM ∆的面积为2S ,求12SS 的最大值与取得最大值时点P 的坐标．解：〔1,有224a b =,又抛物线22x y =的焦点坐标为10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭,所以12b =,于是1a =,所以椭圆C 的方程为2241x y +=．〔2〕〔i 〕设P 点坐标为()2,02m P m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭,由22x y =得y x '=,所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ,因此切线l 的方程为22m y mx =-,设()()1122,,,A x y B x y ,()00,D x y ,将22m y mx =-代入2241x y +=,得()223214410m x m x m +-+-=．于是3122414m x x m +=+,312022214x x m x m +==+, 又()220022214m m y mx m -=-=+,于是直线OD 的方程为14y x m =-． 联立方程14y x m =-与x m =,得M 的坐标为1,4M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以点M 在定直线14y =-上．〔ii 〕在切线l 的方程为22m y mx =-中,令0x =,得22m y =-,即点G 的坐标为20,2m G ⎛⎫- ⎪⎝⎭,又2,2m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以211(1)24m m S m GF +=⨯=；再由()32222,41241m m D m m ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭,得 ()()22232222112122441841m m m m m S m m +++=⨯⨯=++于是有()()()221222241121m m S S m ++=+．令221t m =+, 得()12221211122t t S S t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==+-,当112t =时,即2t =时,12S S 取得最大值94．此时212m =,m =所以P点的坐标为14P ⎫⎪⎪⎝⎭．所以12S S 的最大值为94,取得最大值时点P的坐标为14P ⎫⎪⎪⎝⎭． [点评]本题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标,考查直线和抛物线斜的条件,以与直线方程的运用,考查三角形的面积的计算,以与化简整理的运算能力,属于难题．。
2016年山东理数高考试题(无答案)
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z 满足232i,z z +=-其中i 为虚数单位，则z =（A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i --（2）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B = （A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A ）56 （B ）60（C ）120 （D ）140（4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A ）1233+π（B ）1233+π（C ）1236+π（D ）216+π （6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）函数f （x ）=（3sin x +cos x ）（3cos x –sin x ）的最小正周期是（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π （8）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为 （A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–94（9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2（10）若函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（A ）y =sin x （B ）y =ln x （C ）y =e x （D ）y =x 3第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)山东卷
2016山东理一、选择题（共10小题；共50分）1. 若复数z满足2z+z=3−2i其中i为虚数单位，则z= A. 1+2iB. 1−2iC. −1+2iD. −1−2i2. 设集合A=y y=2x,x∈R，B=x x2−1<0，则A∪B= A. −1,1B. 0,1C. −1,+∞D. 0,+∞3. 某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20，20,22.5，22.5,25，25,27.5，27.5,30．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 A. 56B. 60C. 120D. 1404. 若变量x，y满足x+y≤2,2x−3y≤9,x≥0,则x2+y2的最大值是 A. 4B. 9C. 10D. 125. 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为 A. 13+23π B. 13+23π C. 13+26π D. 1+26π6. 已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 函数f x=3sin x+cos x 3cos x−sin x 的最小正周期是 A. π2B. π C. 3π2D. 2π8. 已知非零向量m，n满足4m=3n，cos<m,n>=13．若n⊥tm+n，则实数t的值为 A. 4B. −4C. 94D. −949. 已知函数f x的定义域为R．当x<0时，f x=x3−1；当−1≤x≤1时，f−x=−f x；当x>12时，f x+12=f x−12．则f6= A. −2B. −1C. 0D. 210. 若函数y=f x的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f x具有T性质．下列函数中具有T性质的是 A. y=sin xB. y=ln xC. y=e xD. y=x3二、填空题（共5小题；共25分）11. 执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为．12. 若 ax2x 5的展开式中x5的系数是−80，则实数a=．13. 已知双曲线E1:x2a2−y2b2=1a>0,b>0，若矩形ABCD的四个顶点在E1上，AB，CD的中点为E1的两个焦点，且2 AB =3 BC ，则E1的离心率是．14. 在−1,1上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆x−52+y2=9相交”发生的概率为．15. 已知函数f x= x ,x≤m,x2−2mx+4m,x>m,其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f x=b有三个不同的根，则m的取值范围是．三、解答题（共6小题；共78分）16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2tan A+tan B=tan Acos B +tan Bcos A．（1）证明：a+b=2c；（2）求cos C的最小值.17. 在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆Oʹ的直径，FB是圆台的一条母线．（1）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（2）已知EF=FB=12AC=23,AB=BC．求二面角F−BC−A的余弦值．18. 已知数列a n的前n项和S n=3n2+8n，b n是等差数列，且a n=b n+b n+1．（1）求数列b n的通项公式；（2）令c n=a n+1n+1b n+2，求数列c n的前n项和T n．19. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（1）“星队”至少猜对3个成语的概率；（2）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．20. 已知f x=a x−ln x+2x−1x2，a∈R．（1）讨论f x的单调性；（2）当a=1时，证明f x>fʹx+32对于任意的x∈1,2成立．21. 平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2a +y2b=1a>b>0的离心率是32，抛物线E:x2=2y的焦点F是C的一个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB 的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求S1的最大值及取得S2最大值时点P的坐标．答案第一部分 1. B 【解析】设z =a +b i ，则2z +z =3a +b i =3−2i ，故a =1，b =−2，则z =1−2i ． 2. C 【解析】A = y y >0 ，B = x −1<x <1 ，则A ∪B = x x >−1 ．3. D 【解析】由频率分布直方图知，自习时间不少于22.5小时的有200× 0.16+0.08+0.04 ×2.5=140人．4. C 【解析】不等式组表示的可行域是以A 0,−3 ，B 0,2 ，C 3,−1 为顶点的三角形区域，x 2+y 2表示点 x ,y 到原点距离的平方，最大值必在顶点处取到，经验证最大值 OC 2=10．5. C【解析】由三视图可知，上面是半径为 22的半球，体积为V 1=12×43π×223=2π6，下面是底面积为1，高为1得四棱锥，体积V 2=13×1×1=13．6. A 【解析】直线a 与直线b 相交，则α，β一定相交，若α，β相交，则a ，b 可能相交，也可能平行．7. B 【解析】f x =2sin x +π6 ×2cos x +π6 =2sin 2x +π3 ，故最小正周期T =2π2=π．8. B【解析】由4 m =3 n ，可设 m =3k ， n =4k k >0 ，又n ⊥ tm +n ，所以n ⋅ tm +n =n ⋅tm +n ⋅n=t m ⋅ n cos <m ,n >+ n2=t ×3k ×4k ×13+ 4k2=4tk 2+16k 2=0,所以t =−4． 9. D【解析】当x >12时，由f x +12 =f x −12 ，得f x +1 =f x ，所以当x >12时，f x 是周期为1的周期函数， 从而f 6 =f 1 ．又因为当−1≤x ≤1时，f −x =−f x ， 所以f 1 =−f −1 =− −1 3−1 =2． 10. A【解析】当y =sin x 时，yʹ=cos x ，cos0⋅cos π=−1，所以在函数y =sin x 图象存在两点x =0，x =π使条件成立，则 A 正确；函数y =ln x ，y =e x ，y =x 3的导数值均非负，不符合题意． 第二部分 11. 3【解析】第一次循环：a =1，b =8；第二次循环：a =3，b =6；第三次循环：a =6，b =3；满足条件，结束循环，此时，i =3． 12. −2【解析】因为T r+1=C5r ax25−rx r=C5r a5−r x10−5r，所以由10−52r=5⇒r=2，因此C52a5−2=−80⇒a=−2．13. 2【解析】易得A c,b 2a ，B c,−b2a，所以 AB =2b2a， BC =2c，由2 AB =3 BC ，c2=a2+b2得离心率e=2或e=−12（舍去），所以离心率为2．14. 34【解析】直线y=kx与圆x−52+y2=9相交，需要满足圆心到直线的距离小于半径，d=1+k2<3，解得−34<k<34，而k∈−1,1，所以发生的概率322=34．15. 3,+∞【解析】由题意画出函数图象如下图，要满足存在实数b，使得关于x的方程f x=b有三个不同的根则4m−m2<m解得m>3，即3,+∞．第三部分16. （1）由题意知2sin Acos A +sin Bcos B=sin Acos A cos B+sin Bcos A cos B，化简得2sin A cos B+sin B cos A=sin A+sin B，即2sin A+B=sin A+sin B．因为A+B+C=π，所以sin A+B=sinπ−C=sin C．从而sin A+sin B=2sin C．由正弦定理得a+b=2c．（2）由1知c=a+b2，所以cos C=a 2+b2−c22ab=a2+b2− a+b222ab=38ba+ab−14≥12，当且仅当a=b时，等号成立．故cos C的最小值为12．17. （1）设FC的中点为I，连接GI，HI，在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF，又EF∥OB，所以GI∥OB，在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI=I，BC,OB交于点B，所以平面GHI∥平面ABC，因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC．（2）解法一：连接OOʹ，则OOʹ⊥平面ABC，又AB=BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，由题意得B 0,23,0，C −23,0,0，过点F作FM垂直OB于点M，所以FM= FB2−BM2=3，可得F 0,3,3．故BC= −23,−23,0，BF=0,−3,3．设m=x,y,z是平面BCF的一个法向量．由m⋅BC=0, m⋅BF=0,可得−23x−23y=0,−3y+3z=0,可得平面BCF的一个法向量m= −1,1,33．因为平面ABC的一个法向量n=0,0,1，所以cos⟨m,n ⟩=m ⋅nm n =77．所以二面角F−BC−A的余弦值为77．解法二：连接OOʹ，过点F作FM⊥OB于点M，则有FM∥OOʹ，又OOʹ⊥平面ABC，所以FM⊥平面ABC，可得FM=2−BM2=3，过点M作MN垂直BC于点N，连接FN，可得FN⊥BC，从而∠FNM为二面角F−BC−A的平面角．又AB=BC，AC是圆O的直径，所以MN=BM sin45∘=62，从而FN=422，可得cos∠FNM=77．所以二面角F−BC−A的余弦值为77．18. （1）当n≥2时，a n=S n−S n−1=6n+5．当n=1时，a1=S1=11，代入上式适合，所以a n=6n+5n∈N∗；设数列b n的公差为d，则a1=b1+b2, a2=b2+b3,即11=2b1+d, 17=2b1+3d,解得b1=4, d=3,所以b n=3n+1．（2）由1知c n=a n+1n+1b n+2n=3n+1⋅2n+1．由T=c1+c2+c3+⋯+c n，得T n=32×22+3×23+4×24+⋯+n+12n+1，所以2T n=32×23+3×24+4×25+⋯+n+12n+2．以上两式两边相减，得−T n=32×22+23+24+⋯+2n+1−n+12n+2=34+42n−1−n+12n+2=−3n⋅2n+2.所以T n=3n⋅2n+2．19. （1）记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“星队至少猜对3个成语”．由题意，E=ABCD++++由事件的独立性和互斥性，P E=P ABCD+P ABCD +P ABCD +P ABCD +P ABCD=P A P B P C P D+P A P B P C P D+P A P B P C P D+P A P B P C P D+P A P B P C P D=34×23×34×23+2×14×23×34×23+×34×13×34×23=2 3 .所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23．（2）由题意，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，6．由事件的独立性与互斥性得P X=0=14×13×14×13=1144，P X=1=2×34×13×14×13+14×23×14×13=10144=572，P X=2=34×13×34×13+34×13×14×23×+14×23×34×13×+14×23×14×23=25144，P X=3=34×23×14×13+14×13×34×23=112，P X=4=2×34×23×34×13+34×23×14×23=512，P X=6=34×23×34×23=14，可得随机变量X的分布列为x012346P1525151所以数学期望EX=0×1144+1×572+2×25144+3×112+4×512+6×14=236．所以EX=236.20. （1）f x的定义域为0,+∞；fʹx=a−ax −2x+2x=ax2−2⋅x−1x，（1）当a≤0时，若x∈0,1，fʹx>0，函数f x单调递增；x∈1,+∞，fʹx<0，函数f x单调递减．（2）当a>0时，fʹx=a x−1 x+ax−ax3．若0<a<2，则2a >1，所以当x∈0,1或2a,+∞ 时，fʹx>0，函数f x单调递增；当1,2a时，fʹx<0，函数f x单调递减；若a=2时，2a=1，fʹx≥0，函数f x单调递增；若a>2，则0<2a <1，所以当x∈0,2a或1,+∞时，fʹx>0，函数f x单调递增；当2a,1时，fʹx<0，函数f x单调递减．综上所述：当a≤0时，函数f x在0,1上单调递增；函数f x在1,+∞上单调递减．当0<a<2时，函数f x在0,1和2a ,+∞ 上单调递增；函数f x在1,2a上单调递减；当a=2时，函数f x在0,+∞上单调递增；当a>2，函数f x在0,2a 和1,+∞上单调递增；函数f x在2a,1上单调递减．（2）由（1）知a=1时，f x−fʹx=x−ln x+2x−12−1−1−22+23=x−ln x+3x+1x2−2x3−1, x∈1,2,令g x=x−ln x， x=3x +1x2−2x3−1，则f x−fʹx=g x+ x，由gʹx=x−1x≥0，可得g x≥g1=1，当且仅当x=1时取等号；又 ʹx=−3x 2−2x+6x4，设φx=−3x2−2x+6，则φx在1,2上单调递减，且φ1=1，φ2=−10，所以在1,2上存在x0使得x∈1,x0时，φx>0；x∈x0,2时，φx<0；所以函数 x在1,x0上单调递增；在x0,2上单调递减；由于 1=1， 2=12，因此 x≥ 2=12，当且仅当x=2取等号，所以f x−fʹx>g1+ 2=32，即f x>fʹx+32对于任意的x∈1,2恒成立．21. （1）由题意知： a2−b2a =32，解得a=2b．普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解完美版 因为抛物线E 的焦点为F 0,12 ，所以a =1，b =12， 所以椭圆的方程为x 2+4y 2=1．（2）（i ）设P m ,m 22 m >0 ，由x 2=2y 可得yʹ=x ，所以直线l 的斜率为m ，其直线方程为y −m 22=m x −m ，即y =mx −m 22． 设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，D x 0,y 0 ，联立方程组y =mx −m 22,x 2+4y 2=1. 消去y 并整理可得4m 2+1 x 2−4m 3x +m 4−1=0,故由其判别式Δ>0，可得0<m < 2+ 5且x 1+x 2=4m 34m +1， 故x 0=x 1+x 22=2m 34m 2+1，代入y =mx −m 22可得y 0=−m 224m +1， 因为y 0x 0=−14m ，所以直线OD 的方程为y =−14m x ．联立 y =−14m x ,x =m ,可得点M 的纵坐标为y =−14， 即点M 在定直线y =−14上． （ii ）由（i ）知直线l 的方程为y =mx −m 22， 令x =0得y =−m 22，所以G 0,−m 22 ， 又P m ,m 22 ，F 0,12 ，D 2m 34m +1,−m 224m +1 ，所以 S 1=12 GF m =14m m 2+1 , S 2=12 PM ⋅ m −x 0 =m 2m 2+1 28 4m 2+1 , 所以S 12=2 4m 2+1 m 2+1 2 2, 令t =2m 2+1，则S 1S 2= 2t−1 t +1 t 2=−1t 2+1t +2， 因此当1t =12，即t =2时，S1S 2最大，其最大值为94，此时m = 22满足Δ>0， 所以点P 的坐标为22,14 ，因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为 22,14 .。
2016山东省高考理科数学试题与答案
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z满足其中i为虚数单位，则z=（A）1+2i （B）12i （C）（D）（2）设集合则=（A）（B）（C）（D）（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A）56 （B）60（C）120 （D）140（4）若变量x，y满足则的最大值是（A）4 （B）9 （C）10 （D）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A）（B）（C）（D）（6）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件学.科.网（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（7）函数f（x）=（sin x+cos x）（cos x–sin x）的最小正周期是（A）（B）π （C）（D）2π（8）已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos<m，n>=.若n⊥（t m+n），则实数t的值为（A）4 （B）–4 （C）（D）–（9）已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，；当时，；当时，.则f(6)=（A）−2（B）−1（C）0（D）2（10）若函数y=f(x)的图象上存在两点，学科.网使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是（A）y=sin x（B）y=ln x（C）y=e x（D）y=x3第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2016年山东省高考理科数学试题及答案.doc
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注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
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3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
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4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z 满足232i,z z +=-其中i 为虚数单位，则z =（A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i --（2）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =（A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A ）56 （B ）60（C ）120 （D ）140（4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A ）1233+π（B ）1233+π（C ）1236+π（D ）216+π （6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件学.科.网（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）函数f （x ）=（3sin x +cos x ）（3cos x –sin x ）的最小正周期是（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π （8）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为 （A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–94（9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2（10）若函数y =f (x )的图象上存在两点，学科.网使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（A ）y =sin x （B ）y =ln x （C ）y =e x （D ）y =x 3第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
山东省高考理科数学试题及答案
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注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
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3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z 满足232i,zz +=-其中i 为虚数单位，则z =（A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i --（2）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B = （A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A ）56（B ）60 （C ）120（D ）140 （4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x 则22x y 的最大值是（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A ）1233+π（B ）123+π（C ）123+π（D ）216+π （6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件学.科.网（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）函数f （x ）=（3sin x +cos x ）（3cos x –sin x ）的最小正周期是（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π （8）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–94（9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2（10）若函数y =f (x )的图象上存在两点，学科.网使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（A ）y =sin x （B ）y =ln x （C ）y =e x （D ）y =x 3第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2016年高考理数真题试卷(山东卷)
第1页，总17页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2016年高考理数真题试卷（山东卷）考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共10题)1. （2016•山东）设集合A={y|y=2x ， x∈R}，B={x|x 2﹣1＜0}，则A∈B=（ ）A . （﹣1，1）B . （0，1）C . （﹣1，+∞）D . （0，+∞）2. （2016•山东）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）A . 56B . 60C . 120D . 1403. （2016•山东）函数f （x ）=（ sinx+cosx ）（cosx ﹣sinx ）的最小正周期是（ ）A .B . πC .D . 2π4. （2016•山东）已知非零向量 ， 满足4| |=3| |，cos ＜ ， ＞= ．若 ∈（t + ），则实数t 的值为（ ）答案第2页，总17页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A . 4B . ﹣4C .D . ﹣5. （2016•山东）若变量x ，y 满足，则x 2+y 2的最大值是（ ）A . 4B . 9C . 10D . 126. （2016•山东）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2016•山东）若函数y=f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f （x ）具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（ ） A . y=sinx B . y=lnx C . y=e x D . y=x 38. （2016•山东）若复数z 满足2z+ =3﹣2i ，其中i 为虚数单位，则z=（ ） A . 1+2i B . 1﹣2i C . ﹣1+2i D . ﹣1﹣2i9. （2016•山东）已知函数f （x ）的定义域为R ．当x ＜0时，f （x ）=x 3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f （﹣x ）=﹣f （x ）；当x ＞ 时，f （x+ ）=f （x ﹣ ）．则f （6）=（ ）A . ﹣2B . ﹣1C . 0D . 210. （2016•山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（ ）。
2016年高考理科数学试题山东卷答案
2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学答案（1）【解析】通解设z a bi =+(,)a b R ∈，则z a bi =-．故22()z z a bi a bi +=++-=3a bi +=3-2i ，所以错误!未找到引用源。
，解得错误!未找到引用源。
，所以12z i =-．故选B ． 光速解法：设z a bi =+(,)a b R ∈，由复数的性质可得2z z a +=，故2()z z z z z +=++，故2z z +的虚部就是z 的虚部，实部是z 的实部的3倍．故12z i =-，选B ．（2）【解析】集合A 表示函数2x y =的值域，故(0,)A =+∞．由210x -<，得11x -<<，故(1,1)B =-，所以(1,)A B =-+∞．故选C ．（3）【解析】由频率分布直方图可知，这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7，故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7=140．故选D ．（4）【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P (x ,y )为平面区域内任意一点，则22x y +表示2||OP ．显然，当点P 与点A 重合时，2||OP 即22x y +取得最大值．由2239x y x y +=⎧⎨-=⎩错误!未找到引用源。
,解得31x y =⎧⎨=-⎩，错误!未找到引用源。
故A (3，-1)．所以22x y +的最大值为32+2(1)-=10．故选C ．（5）【解析】由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，高为1，其体积21111133V =⨯⨯=．设半球的半径为R ，则22R =2R =，所以半球的体积32142326V π=⨯⨯=．故该几何体的体积12136V V V =+=+．故选C ． （6）【解析】若直线,a b 相交，设交点为P ，则,P a P b ∈∈，又,a b αβ⊂⊂，所以,P P αβ∈∈，故,αβ相交．反之，若,αβ相交，则,a b 可能相交，也可能异面或平行．故“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A ． （7）【解析】由题意得()2sin()2cos()2sin(2)663f x x x x πππ=+⨯+=+，故该函数的最小正周期22T ππ==．故选B ． （8）【解析】由()t ⊥+n m n 可得()0t ⋅+=n m n ，即20t ⋅+=m n n ，所以222||31|cos |||3||t |||<,>|||=-=-=-=-⋅⋅⨯⨯n n n n m n m n m n m m n 4343=-⨯=-．故选B ． （9）【解析】当11x -时，()f x 为奇函数，且当12x >时，(1)()f x f x +=，所以(6)(511)(1)f f f =⨯+=．而3(1)(1)[(1)1]2f f =--=---=，所以(6)2f =，故选D ．（10）【解析】设函数()y f x =的图象上两点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则由导数的几何意义可知，点P ，Q 处切线的斜率分别为11()k f x '=，22()k f x '=若函数具有T 性质,则12k k ⋅=1()f x '2()f x '=-1．对于A 选项，()cos f x x '=，显然12k k ⋅=12cos cos x x =-1有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 选项，1()(0)f x x x'=>，显然12k k ⋅=1211x x ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质；对于C 选项，()x f x e '=>0，显然12k k ⋅=12x x e e ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质；对于D 选项，2()3f x x '=≥0，显然12k k ⋅=221233x x ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质．故选A ．（11）【解析】输入a =0,b =9，第一次循环：a =0+1=1，b =9-1=8，i =1+1=2；第二次循环：a =1+2=3，b =8-2=6，i =2+1=3；第三次循环：a =3+3=6，b =6-3=3，a >b 成立，所以输出i 的值为3．（12）【解析】(ax 2+x错误!未找到引用源。
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(山东卷,正式版解析)
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（某某卷）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的某某、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z满足其中i为虚数单位，则z=（A）1+2i（B）12i（C）（D）【答案】B考点：注意共轭复数的概念.（2）设集合则=（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】试题分析：，，则，选C.考点：本题涉及到求函数值域、解不等式以及集合的运算.（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的X围是，样本数据分组为 .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A）56（B）60（C）120（D）140【答案】D考点：频率分布直方图（4）若变量x，y满足则的最大值是（A）4 （B）9 （C）10 （D）12【答案】C【解析】试题分析：不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值,故选C.考点：线性规划求最值（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A）（B）（C）（D）【答案】C考点：根据三视图求体积.（6）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：直线a与直线b相交,则一定相交,若相交,则a,b可能相交，也可能平行,故选A. 考点：直线与平面的位置关系；充分、必要条件的判断.（7）函数f（x）=（sin x+cos x）（cos x–sin x）的最小正周期是（A）（B）π（C）（D）2π【答案】B【解析】试题分析：,故最小正周期,故选B. 考点：三角函数化简求值，周期公式（8）已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos<m，n>=.若n⊥（t m+n），则实数t的值为（A）4 （B）–4 （C）（D）–【答案】B考点：平面向量的数量积（9）已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，；当时，；当时， .则f(6)=（A）−2（B）−1（C）0（D）2【答案】D【解析】试题分析：当时，,所以当时，函数是周期为的周期函数，所以，又因为函数是奇函数，所以，故选D.考点：本题考查了函数的周期性、奇偶性，灵活变换求得函数性质是解题的关键.（10）若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T 性质.下列函数中具有T性质的是（A）y=sin x（B）y=ln x（C）y=e x（D）y=x3【答案】A【解析】试题分析：当时，，，所以在函数图象存在两点使条件成立，故A正确；函数的导数值均非负，不符合题意，故选A.考点：本题注意实质上是检验函数图像上存在两点的导数值乘积等于-1.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。