高三上学期联考(数学文)
2022-2023学年新高考基地学校高三上学期12月第三次大联考 文科数学试题(含答案) 解析版
2023届新高考基地学校高三第三次大联考文科数学试题一、单选题1．已知复数i z =，则1z zz z +=⋅+（ ） A ．1i 2B．C ．i - D． 【答案】B【分析】若i z a b =+，则2z z a +=，222z z z a b ⋅==+.【详解】i z =，则(i)+(i)=z z +=-(i)(i)3z z ⋅==，故1z z z z +==⋅+. 故选：B.2．已知集合{}20A x x =-，集合{}0,1,2,3B =，集合{}11C x x =-<<，则()A B C =（ ） A ．(]1,1- B ．(]{}1,12-⋃ C ．(]1,2- D ．{}0【答案】B【分析】求出集合A ，然后根据交集、并集的定义求解即可．【详解】{2}A xx =∣，所以{0,1,2}A B ⋂=，所以()(1,1]{2}A B C ⋂⋃=-⋃． 故选：B ．3．已知数列{}n a ，{}n b 均为公差不为0的等差数列，且满足32a b =，64a b =，则4132a ab b -=-（ ） A ．2 B ．1C ．32D ．3【答案】A【分析】根据等差数列性质：()m n a a m n d -=-，运算求解. 【详解】设数列{}n a ，{}n b 的公差分别为12,d d ∵32a b =，64a b =，则6432a b a b =-- ∴1232d d =，则41123222322a a d d b b d d -===- 故选：A.4．函数()()22241x x x x f x -+=-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】判断函数的奇偶性，再确定0x >时函数值的正负，利用排除法得正确结论．【详解】定义域是{|0}x x ≠，222(2)2(2)()()4114x x x xx x x x f x f x ---+-+-===---，函数为奇函数，排除A ，0x >时，410->x ，20x >，2221722()024x x x x x -+=-+=-+>，所以()0f x >，排除CD ．故选：B ．5．若x ，y 满足约束条件37,321,321,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥-⎩则z ＝y －3x 的最大值为（ ）A ．4311-B ．32-C ．－1D ．3111-【答案】C【分析】根据约束条件画出可行域，根据目标函数的几何意义即可求解最值.【详解】根据约束条件画出可行域（如图），联立3713212x y x x y y +≥=⎧⎧⇒⎨⎨-≥-=⎩⎩，故(1,2)A ，当直线=3y x z +经过点(1,2)A 时，z 最大，此时1z =- ， 故选：C6．记n S 为各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和，378S =，312a =，则5a =（ ）A ．14B ．18C ．1D ．2【答案】D【分析】根据题意求出数列的首项和公比，即可根据通项公式求得答案.【详解】由{}n a 为各项均为正数的等比数列，且378S =，312a =,设数列公比为0q > ,可得211178a a q a q ++= ，且2112a q =，则1138a a q +=，解得112,8q a == ，故451228a =⨯= ,故选：D.7．在ABC 中，点F 为AB 的中点，2,AE EC BE =与CF 交于点P ，且满足BP BE λ=，则λ的值为（ ）A ．35B ．47C ．34D ．23【答案】C【分析】把AP 用,AF AC 表示，然后由,,F P C 三点共线定理得出结论． 【详解】由题意()(1)AP AB BP AB BE AB AE AB AB AEλλλ=+=+=+-=-+22(1)2(22)33AF AC AF AC λλλλ=-⋅+⋅=-+，因为,,F P C 三点共线，所以22213λλ-+=，解得34λ=．故选：C ．8．《天才引导的过程——数学中的伟大定理》的作者威廉·邓纳姆曾写道：“如果你想要做加法你需要0，如果你想要做乘法你需要1，如果你想要做微积分你需要e ，如果你想要做几何你需要π，如果你想要做复分析你需要i ，这是数学的梦之队，他们都在这个方程里”.这里指的方程就是：()i e e cos isin x y x y y +=+，令0x =，πy =，则i πe 1=-，令0x =，πy n ，则i πe cos πisin πn n n =+，若数列{}n a 满足i πe n n a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的个数是（ ）①{}n a 是等比数列 ②22n n a a = ③211S = ④2n n a a +=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据题意可知1,1n n a n ⎧=⎨-⎩为偶数，为奇数，进而即可根据所给式子逐一判断.【详解】i π1,e cos πisin π=cos π=1n n n a n n n n ⎧==+⎨-⎩为偶数，为奇数，故{}n a 是公比为1-的等比数列，A 正确，2222=1=1n n n n a a a a ，，∴=，B 正确，2111S a ==-，故C 错误，由{}n a 的定义可知2n n a a +=，故D 正确， 故选：C9．已知点O 为ABC 的外心，2340,OA OB OC ABC ++=的外接圆的半径为1，则OA 与OB 的夹角的正弦值为（ ）A B ．14C ．14-D 【答案】A【分析】由已知可得：234OA OB OC +=-，两边同时平方利用数量积运算和已知条件1OA OB OC ===，即可得出结果；【详解】2340OA OB OC ++=，∴234OA OB OC +=-， ∴222164912OC OA OB OA OB =++⋅，又1OA OB OC ===，164912cos ,OA OB ∴=++，∴1cos ,4OA OB =， 而[],0,πOA OB ∈，故sin ,415OA OB =故选：A10．已知函数()32f x x x =-，若过点()2,A a 能作三条直线与()f x 的图像相切，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]4,4- B ．[)4,+∞ C ．(),4-∞ D ．()4,4-【答案】D【分析】根据已知条件有三条直线相切，得两函数图像有三个交点，利用函数的单调性即可得到a 的取值范围.【详解】由已知：()32f x x x =-，故()232f x x '=-，设切点为()3,2m m m -所以切线斜率为2=32k m -，切线方程为()()()32232y m m m x m --=--,将A 点坐标代入切线方程可得()()()322322a m m m m --=--化简可得 ()()32322322=264a m m m m m m =-----+-即函数()g x a =与函数32264y m m =-+-有三个不同的交点. 故2612y m m '=-+，当(),0m -∞时，0'<y ，函数y 单调递减 当()0,2m 时，0'>y ，函数y 单调递增 当()2,m +∞时，0'<y ，函数y 单调递减 且0m =时，4y =-,，且2m =时，4y = 所以a 的取值范围为()4,4a ∈- 故选：D11．设2021202220231ln ,,e 20222022a b c -===，则（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．a b c <<【答案】D【分析】构造两个函数()ln(1)f x x x =-+，01x <<，与1()e x g x x -=-，01x <<，利用导数确定单调性后可得．【详解】设()ln(1)f x x x =-+，01x <<，则1()1011xf x x x'=-=>++，所以()f x 在(0,1)上单调递增，()(0)0f x f >=，ln(1)x x >+，1012022<<，所以112023ln(1)ln 202220222022>+=， 设1()e x g x x -=-，01x <<，则1()e 10x g x -'=-<，()g x 在(0,1)上递减， ()(1)0g x g >=，1ex x ->，1120221e2022->，即202120221e 2022->， 所以c b a >>． 故选：D ．12．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，若()1y f x =+的最小正周期为2，则下列说法一定正确的是（ ）A ．()()11f x f x +=-+B ．1是()f x 的一个周期C ．()()110f f =-=D ．13122f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【分析】由函数(1)y f x =+与()y f x =的关系得其最小正周期，判断B ，利用周期性与奇偶性求得(1)f -和(1)f 判断C ，假若A 成立，结合周期性得出函数为偶函数，从而判断A ，利用周期性与奇偶性得出1()2f 与3()2f 的关系判断D ．【详解】(1)y f x =+的最小正周期是2，则()y f x =的最小正周期是2，B 错； ∴(1)(1)f f -=-又(1)(1)f f -=，∴(1)(1)0f f =-=，C 正确；若()()11f x f x +=-+，又(1)(1)f x f x +=-，则(1)(1)f x f x -=-+，令1x t -=，则有()()f t f t =-，因此()f x 是偶函数，与题意不符，A 错；311()()()222f f f =-=-，∴31()()022f f +=，D 错． 故选：C ．二、填空题13．若向量,a b 满足2,21,b a b a =+=与a b +垂直，则a =__________．【分析】由向量垂直得22a b a a ⋅=-=-，然后由已知模等式21a b +=平方后可得． 【详解】a 与a b +垂直，则2()0a a b a a b ⋅+=+⋅=，22a b a a ⋅=-=-， 22222(2)441a b a b a a b b +=+=+⋅+=，即2224421a a -+⨯=，5a =，14．若πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度得到cos 2y x =的图象，则ϕ的值可以是______．（写出满足条件的一个值即可）【答案】π6（答案不唯一，满足ππ,N 6k k ϕ=+∈均可）【分析】根据图象平移得平移后的函数，从而可得π22π,Z 3k k ϕ-+=∈，再根据0ϕ>，取合适的一个ϕ的值即可.【详解】解：πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>后得到的函数为()ππcos 2cos 22cos 233y x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭则π22π,Z 3k k ϕ-+=∈，解得ππ,Z 6k k ϕ=-∈，又0ϕ> 所以ϕ的值可以是当0k =时，π6ϕ=. 故答案为：π6（答案不唯一，满足ππ,N 6k k ϕ=+∈均可）15．已知点P （m ，n ）是函数()11f x x =-图象上的点，当1m >时，2m ＋n 的最小值为______．【答案】2【分析】根据基本不等式即可求解最小值. 【详解】P （m ，n ）是函数()11f x x =-图象上的点，所以1111n mm n，因为1m >，所以0n >，所以122=212222m n nn nn，当且仅当n =故2m n +的最小值为2.故答案为：216．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若113tan tan sin B C bc A +=⋅，且()1sin sin 2C B A -=，则22c b -=__________． 【答案】32【分析】已知条件113tan tan sin B C bc A+=⋅，利用切化弦，两角和的正弦公式，正弦定理化简可得23a =，已知条件()1sin sin 2C B A -=，利用和差角的正弦公式和正弦定理，解得43cos ab C =，最后用余弦定理解得22c b -. 【详解】ABC 中，1cos tan sin B B B =，1cos tan sin CC C=，sin cos cos sin sin()sin(π)sin C B C B C B A A +=+=-=，由正弦定理有sin sin A B ba=，sin sin c A a C =， 由113tan tan sin B C bc A +=⋅，得cos cos 3sin sin sin B C B C bc A +=⋅， 有sin cos cos sin 3sin sin sin C B C B B C bc A +=⋅，即sin 3sin sin sin A B C bc A=⋅，3sin sin a b C ba C=，得23a =， 由()1sin sin 2C B A -=，可得2sin cos 2cos sin sin cos cos sin C B C B C B C B -=+，即sin cos 3cos sin C B C B =，代入sin cos cos sin 3sin sin sin C B C B B C bc A+=⋅，得4cos 33sin sin sin C C bc A ab C ==⋅，∴43cos ab C =， 由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-22332c b =+-，得2232c b -=，故答案为：32三、解答题17．已知公比的绝对值大于1的等比数列{}n a 中的前三项恰为32,2,3,8--中的三个数，n S 为数列(){}21nn a +的前n 项和．(1)求n a ； (2)求n S ．【答案】(1)()2112nn n a -=-⋅； (2)()2110714122525nn n S n ++=-⋅⋅-.【分析】（1）根据题意确定前三项，结合等比数列通项公式可得结果； （2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）根据题意可知，1232,8,32a a a =-==-， 所以公比214a q a ==-，所以()()()112112412n n n n n a a q ---==--=-⋅； （2）由（1）知，()2112nn n a -=-⋅，()()()21212112n n nn b n a n -=+=+-⋅⋅，所以()()135213*********nn n n S -=-⨯+⨯-⨯+-⋅+⋅+， 所以()()51213732527214122n n n n S ++=⨯-⨯+⨯+-⋅+⋅+-，所以()()()1135212153222222122112nn n n n S n +-+=-⨯+⨯-⨯++-⋅-+⋅-⋅，()()()12116142112614n n n n -+⎡⎤--⎣⎦=++⋅-⋅-+ ()()()212121412211255n nn n n ++=⋅-⋅++⋅-⋅- ()21107141255nn n ++=-⋅⋅-， 所以()2110714122525nn n S n ++=-⋅⋅-. 18．已知()()22662,2cos ,cos sin ,sin ,3,422a b c θθθθ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭． (1)若a 与c 的夹角为钝角,()0,θπ∈,求cos θ的取值范围；(2)若函数()1f a b θ=⋅-在[]0,m θ∈上有10个零点,求m 的取值范围． 【答案】(1)1,⎛⎛-⋃ ⎝⎭⎝⎭(2)5921124ππ≤<m【分析】(1)根据a 与c 的夹角为钝角,可得a 与c 数量积小于零,且a 与c 不共线,化简求出cos θ范围即可.(2)根据()1f a b θ=⋅-的解析式及[]0,m θ∈进行换元,转化为2sin 1,=-y t 在,233ππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦t m 上有10个零点的问题,画图像进行分析,求出m的取值范围.【详解】（1）解:由题知,a 与c 的夹角为钝角,所以0a c ⋅<且a 与c 不共线,则有()()2,2cos 3,48cos 0,cos θθθ⋅=⋅-=-<a c 且6cos 0,cos θθ≠≠因为()0,θπ∈,故222232cos 1,,338θ⎛⎫⎛⎫∈--⋃- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, （2）由题知,()2213cos 3sin 2cos sin 12sin(2)13πθθθθθθ=⋅-=-+-=+-f a b ,令2,,2333πππθ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦t t m , 则()f θ在[]0,m θ∈上有10个零点,即2sin 1,=-y t 在,233ππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦t m 上有10个零点,画出2sin 1=-y t 的图像如下所示故只需61652636πππ≤+<m ,解得5921124ππ≤<m , 故5921124ππ≤<m . 19．已知数列{}n a 满足11,2,n n na n a a n ++⎧=⎨-⎩为奇数时为偶数时，11a =(1)若数列{}n b 为数列{}n a 的奇数项组成的数列，{}n c 为数列{}n a 的偶数项组成的数列，求出123,,c c c ，并证明：数列{}n b 为等差数列； (2)求数列{}n a 的前10项和． 【答案】(1)答案见解析； (2)105S =-．【分析】（1）由已知递推关系求出数列{}n a 前几项，易得123,,c c c ，利用已知递推关系得出21n a +与21n a -的关系即得1n b +与n b 的关系，从而证明{}n b 是等差数列； （2）用分组求和法求10S ．【详解】（1）由定义，11a =，22a =，30a =，41a =，51a =-，60a =，72a =-，81a =-，93a =-，102a =-，所以12c =，21c =，30c =，1212212121211n n n n n n b a a a a b ++--==-=+-=-=-，所以11n n b b ，所以{}n b 是等差数列，公差为1-；（2）由（1）1n n c b =+，111b a ==，1255451(1)52b b b ⨯+++=⨯+⨯-=-， 10125125()()S b b b c c c =+++++++1252()52(5)55b b b =++++=⨯-+=-．20．如图，ABC 中，点D 为边BC 上一点，且满足AD CD AB BC =．(1)证明：sin sin BAC DAC ∠∠=；(2)若2,1,7AB AC BC ===ABD △的面积．【答案】(1)证明见解析；3【分析】（1）利用正弦定理，结合已知条件进行证明.（2）结合第（1）问的结论，利用余弦定理、三角形的面积公式求解.【详解】（1）因为AD CD AB BC =，所以BC CD AB AD =， 在ABC 中，由正弦定理有：sin sin BAC C BC AB ∠=， 在ACD 中，由正弦定理有：sin sin DAC C DC AD ∠=， 所以sin sin sin sin BC CD AB A BAC C C CD DA ==∠=∠， 所以sin sin ∠=∠BAC DAC ，而BAC DAC ∠≠∠，所以πBAC DAC ∠+∠=，所以sin sin BAC DAC ∠∠=.（2）因为2,1,7AB AC BC ===ABC 中，由余弦定理有：222222171cos 22212AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===-⋅⨯⨯， 因为BAC ∠是三角形的内角，所以2π3BAC ∠=， 由（1）有：πBAC DAC ∠+∠=，所以π3DAC ∠=， 所以AD 是BAC ∠的角平分线，所以21BD AB DC AC ==，所以BD CD ==，又AD CD AB BC =，所以23AD =，所以112sin 2223ABD S AB AD BAD =⋅⋅∠=⨯⨯=. 21．已知函数()()2e 24x f x x a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦有两个极值点()1212,x x x x <．(1)若120x x <<，求a 的取值范围；(2)当4a 时，求()()12f x f x ⋅的最大值．【答案】(1)a >(2)4e -．【分析】（1）求出导函数()f x '，由()0f x '=有两个不等正根（转化为一元二次方程有两个不等正根）可得参数范围；（2）由（1）得出极值点12,x x 满足12x x a +=，122x x =，计算12()()f x f x 化为a 的函数，然后引入新函数，利用导数求得其最大值．【详解】（1）2()e (2)x f x x ax '=-+，由题意220x ax -+=有两个不等的正根，所以21212Δ80020a x x a x x ⎧=->⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得a >（2）由（1）知12x x a +=，122x x =，1222121122()()e [(2)4]e [(2)4]x x f x f x x a x x a x =-++⋅-++12e [x x +=22222121212121212(2)16(2)()4()4(2)()]x x a x x a x x x x x x a x x +++-++++-++ 22e [42(2)162(2)4(4)4(2)a a a a a a a =+++-++--+]4e (3)a a =--，设()e (3),4x g x x x =--≥，则()e (2)x g x x '=--，4x ≥时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以4()(4)e g x g ≤=-，从而412()()e f x f x ≤-，所以12()()f x f x 的最大值是4e -．【点睛】思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值点问题，求与极值点有关的最值．解题关键是理解极值点的定义，第一小问极值点的存在性转化为一元二次方程有两个不等的正根，由此可得参数范围，第二小问求二元函数的最值，关键是利用极值点与参数a 的关系把二元函数转化为一元函数，从而再利用导数求最值．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为5cos 2sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数）． (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线2C 的极坐标方程与1C 的普通方程；(2)若A B ， 分别为曲线1C ，曲线2C 上的动点，求AB 的最小值．【答案】(1)1C 的普通方程为21,(0)y x x =-≥，曲线2C 的极坐标方程为210cos 4sin 280ρθθ-++=.(2)1.【分析】（1）根据消参法可求得1C 的普通方程，利用直角坐标与极坐标的转化公式可求得曲线2C 的极坐标方程；（2）设1),0A t t -≥，求得其与点(5,2)P -距离的表达式，利用导数求得其最小值，结合几何意义即可求得AB 的最小值．【详解】（1）由题意曲线1C 的参数方程为1x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）。
2021年高三上学期联考数学(文)试题 含答案
2021年高三上学期联考数学（文）试题含答案一、选择题（5×10=50分）1. 若数列｛a n｝的前n项和为S n＝kq n－k(k≠0)，则这个数列的特征是( )(A)等比数列(B)等差数列(C)等比或等差数列 (D)非等差数列2. 已知，则的值为(A) (B) (C) (D)3. 数在点处的切线方程为（）(A) (B) (C) (D)4. 设是等差数列的前项和，若，则＝( )(A)1 (B)－1 (C)2 D.5.若变量满足约束条件，则的最大值为(A) (B) (C) (D)6. 在A B C中，a，B，c分别是角A，B，C的对边，若，B=A．45°或135° (B)45° (C)135°(D) 以上答案都不对7. 已知等比数列的前三项依次为，，，则（）(A) (B) (C) (D)8. 设是正实数，以下不等式恒成立的序号为（）① ，② ，③ ，④(A) ②③ (B) ①④(C) ②④ (D) ①③9. 若曲线处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为9，则a=(A)16 (B)8 (C)32 (D)6410. 已知向量()()ABC,cos30120cos的形状为,120,sin45sin︒∆=︒,=则︒︒(A)直角三角形(B)等腰三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角三角形二、填空题（5×5=25分）11. 在等比数列中，为其前项和，已知，，则此数列的公比为.12. 若数列满足，，则它的通项．到．其中正确命题的序号是_______(把你认为正确的都填上)15. 设G 是△ABC 的重心，若∠A =120°，,则的最小值= ．三、解答题（4×12+13+14=75分）16. 中，分别为内角的对边且，2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++（1）求的大小；（2）若，试判断的形状．17. （12分）在中，已知．（1）求证：tanB=3tanA （2）若求A 的值．18．（12分）已知,)sin ,cos sin (),cos 32,cos sin (x x x b x x x a ωωωωωω+-=--=设函数f (x )=的图像关于 对称,其中，为常数,且∈ （1）求函数f (x )的最小正周期T ； （2）函数过求函数在上取值范围。
陕西省商洛市山阳中学等校2023届高三上学期第一次联考文科数学试题
例如当
x
=
1 5
，
y
=
1 10
时，
lg
(
x
-
y)
=
lg
æ çè
1 5
-
1 10
ö ÷ø
=
lg 1 10
=
-1
<
0
，故选项
D
不正确.
故选：C. 5．B
【分析】根据正余弦函数的取值范围，分别求解 sina
=（
）
A． -2
B．0
C． 4 5
D．
-
14 3
10．已知
a
，
b
，
c
都是正实数，且
a
+
b
+
c
=
2
，则当
2 2
+ -
b c
+
b b
+ +
a c
取得最小值时，
ab
的最大值为（ ）
A．
1 2
B．1
C．2
D．3
11．已知函数 f ( x) = 1+ lnx ， g ( x) = ex ，若 f ( x1 ) = g ( x2 ) 成立，则 x1 - x2 的最小值为
{ } 15．设集合 A = 0,1, a2 ，若 a -1Î A ，则实数 a = ______．
16．已知a ， b 满足(1+ tana )(1- tanb ) = 2 ，则 b -a = ______．
河南省新未来联盟2022-2023学年高三上学期12月联考试题 数学(文)含解析
绝密★启用前2023年普通高等学校全国统一模拟招生考试新未来12月联考 文科数学（答案在最后）全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.3.回答选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}1,3,5,7,9,{25}M N xx ==-<<∣，则M N ⋂=（ ） A.{}1,3 B.{}1,3,5 C.{}1,2,3,4 D.{}1,2,5,7,9 2.设()12i 2i a b ++=-，其中,a b 为实数，则（ ） A.1,1a b ==- B.1,1a b == C.1,1a b =-=- D.1,1a b =-=3.2022年5月，居民消费价格走势为113.52点，同比增长率为2.01%，增速高于平均值1.105%，增速乐观.下表统计了近6年的消费价格走势，令2015年12月时，0x =；2016年6月时，1x =，依次类推，得到x与居民消费价格y （点）的线性回归方程为ˆ99.5 1.1yx =+.由此可估计，2022年6月份的消费价格约为（ ）A.113.5点B.113.8点C.117.3点D.119.1点 4.设向量,a b的夹角的余弦值为4，且2,25a b ==，则()2a b b -⋅=（ ） A.3 B.4 C.10- D.6 5.函数()22sin x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像大致为（ ） A. B.C. D.6.若曲线()()2cos f x x k x =+在点()()π,πf 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则k =（）B.± C.2±D.2π7.已知数列{}n a 中，12a =，()*122n n n a a n a +=∈+N ，则数列1n a a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和10S =（ ）A.1611 B.1811C.2011 D.28.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）A.463 B.212 C.493D.129.已知椭圆222:1(0)4x y C b b +=>，直线:l y x =+C 相切，则椭圆的离心率为（ ）A.13 B.12 D.210.在正方体1111ABCD A B C D -中，已知17AA =，点O 在棱1AA 上，且4AO =，则正方体表面上到点O 距离为5的点的轨迹的总长度为（ ）A.15π2 B.(4π+ C.17π2D.(4π+ 11.已知函数()()πcos 2sin 206f x x x ωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有且仅有1个零点，则ω的取值范围是（ ） A.25,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.25,33⎛⎫⎪⎝⎭ C.17,66⎛⎫ ⎪⎝⎭D.17,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 12.柏拉图多面体并不是由柏拉图所发明，但却是由柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名，由于它们具有高度的对称性及次序感，因而通常被称为正多面体.柏拉图视“四古典元素”中的火元素为正四而体，空气为正八面体，水为正二十面体，土为正六面体.如图，在一个棱长为4dm 的正八面体（正八面体是每个面都是正三角形的八面体）内有一个内切圆柱（圆柱的底面与构成正八面体的两个正四棱锥的底面平行），则这个圆柱的体积的最大值为（ ）3 3 3 3 二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若,x y 满足约束条件2,2,24,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+⎩则3z x y =-的最大值是__________.14.设点M 在直线10x y +-=上，M 与y 轴相切，且经过点()2,2-，则M 的半径为__________.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足24n n S a n =+-，则5a =__________.16.已知直线l 经过双曲线22:13y C x -=的右焦点F ，并与双曲线C 的右支交于,A B 两点，且2FA FB =.若点A 关于原点的对称点为P ，则PAB 的面积为__________.三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，全科免费下载公众号《高中僧课堂》考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）国内某奶茶店以茶饮和甜品为主打，运用复合创新思维顺势推出最新一代立体复合型餐饮业态，在武汉､重庆､南京都有分布，该公司现对两款畅销茶饮进行推广调查，得到下面的列联表；（1）根据上表，分别估计男､女购买这款茶饮，选购A 款的概率； （2）能否有99%的把握认为选购哪款茶饮与性别有关？参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：)2n k0.152.07218.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知122AD AA AB ===，E 为BC 中点，连接1D E ，F 为线段1D E 上的一点，且12D F EF =.（1）证明：DF ⊥平面1AD E ； （2）求三棱锥1D ADD F -的体积. 19.（本小题满分12分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 1cos b B a A+=. （1）证明：2B A =； （2）若3(02),22b a ac =<<=，求,a b 的值. 20.（本小题满分12分） 已知函数()21ln 2f x a x ax =+.其中0a ≠. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设0a <，如果对任意的1x ，()20,x ∈+∞，()()12122f x f x x x -≥-，求实数a 的取值范围. 21.（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过动点,2p M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭作抛物线的两条切线，切点为,P Q ，直线PQ 交x 轴于点A ，且当0m =时，2PA =. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）证明：点A 为定点，并求出其坐标.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是,2x y ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数）.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为π2cos 103ρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 分别交于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()261f x x x =---. （1）求不等式()f x x ≥的解集；（2）若函数()31y f x x =+-的最小值为m ，正实数a ，b 满足12m a b+=，求2a b +的最小值. 2023年普通高等学校全国统一模拟招生考试新未来12月联考·文科数学 参考答案､提示及评分细则1.【答案】A 【解析】{}{1,3,5,7,9},{|25},1,3M N x x M N ==-<<∴⋂=.故选A.2.【答案】D【解析】()0,12i 2i,22,a b a b a +=⎧++=-∴⎨=-⎩解得1,1.a b =-⎧⎨=⎩故选D.3.【答案】B【解析】把13x =代入，得99.5 1.113113.8y =+⨯=.故选B. 4.【答案】C【解析】由题意可得()2252255,20,22104a b b a b b a b b ⋅=⨯>==∴-⋅=⋅-=-.故选C. 5.【答案】A【解析】由()()22sin xxf x x -=-，可知()()()()()22sin 22sin xx x x f x x x f x ---=--=-=，函数是偶函数，排除选项C.又()00f =，ππ22π2202f -⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，排除选项B ，D.故A.6.【答案】B【解析】∵()()2cos f x x k x =+，∵()()2cos 2sin f x x x k x '=-+，∵()π2f '=-. ∵()()π2πf k =-+，∵切线方程为()()2π2πy k x ++=--，可化为2y x k =--. 令0x =，得y k =-；令0y =，得2k x =-.∵1222k k ⨯-⨯-=，解得k =±.故选B. 7.【答案】C 【解析】∵122n n n a a a +=+，∵1211122n n n n a a a a ++==+，∵11112n n a a +-=. ∵数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为12的等差数列，∵()1111222n n n a =+-⨯=，∵2na n =. ∵()2112111n a n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭， ∵数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和1011111202122223101111S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C. 8.【答案】D【解析】由三视图还原该几何体，得几何体如图所示.则该几何体的体积为1422421122⨯⨯-⨯⨯⨯=.故选D.9.【答案】B【解析】联立2221,4x y b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22242840b x b +++-=.()422Δ16470b b b ∴=+-=，即22223. 1.b c a b =∴=-=∴离心率为12c a =.故选B. 10.【答案】C【解析】依题意，∵4OA =，17AA =，5OE OF ==，∵13AE OA ==，14A F OA ==， 且OE OF ⊥.在平面11AA B B 内满足条件的点的轨迹为EF ，长度为5π2； 同理，在平面11AA D D 内满足条件的点轨迹长度为5π2； 在平面1111A B C D 内满足条件的点的轨迹为以1A 为圆心，1A F 为半径的圆弧，长度为2π； 同理，在平面ABCD 内满足条件的点的轨迹为以A 为圆心，AE 为半径的圆弧，长度为3π2. 故轨迹的总长度为17π2.故选C. 11.【答案】D【解析】()πππcos 2sin 2cos 2sin 2cos cos 2sin 666f x x x x x x ωωωω⎛⎫=-+=-⋅-⋅ ⎪⎝⎭1cos 222x x ωω= πcos 23x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，πππ2,π333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦.∵()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有且仅有1个零点，∵ππ3ππ232ω≤+<，∵1766ω≤<.故选D. 12.【答案】C【解析】如图，设该圆柱的底面半径为r BE =，高2h BC =. 由题可知，2CD =，AD =AC =又AB BEAC CD=，2hr =，)2h r =-. ∵圆柱的体积()22V π2r h rr ==⋅-，()243V r r '=-.可知，当40,3r ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0V '>；当4,23r ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，V 0'<. ∵当43r =时，max 27V =. 故选：C13.【答案】2【解析】作出可行域如图所示，则由图可知，当(),x y 取点()2,0时，z 取最大值为2.14.【答案】1或5【解析】由点M 在直线10x y +-=上，设(),1M a a -. 又M 与y 轴相切，且经过点()2,2-，∴半径r a ==0a <.解得1a =-或5a =-.则M 的半径为1或5.15.【答案】33 【解析】1124,23n n n n S a n S a n ++=+-∴=+-.两式相减，得111221,12n n n n n a a a a a +++=-+∴+=.()111121, 2.1n n n n a a a a ++-∴-=-∴=-又当1n =时，1123a a =-，即112,a -=∴数列{}1n a -是以2为首项，2为公比的等比数列.12n n a ∴-=，即552 1.2133n n a a =+∴=+=.16.【解析】设直线l 的方程为()()11222,,,,x my A x y B x y =+.联立221,32,y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩化简，得()22121222129311290.,1331m m y my y y y y m m -++=∴+==--. 2FA FB =，即122y y =-，则22222129,21313m y y m m -==--，即222212912,131335m m m m⎛⎫=∴= ⎪--⎝⎭.12222134PAB OABSSy y m ∴==-===-17.【答案】（1）男性：45；女性：35（2）有99%的把握认为选购哪款茶饮与性别有关 【解析】（1）男性中，购买A 款茶饮的概率为80480205=+，.女性中，购买A 款茶饮的概率为60360405=+；（2）由题意，得22200(80402060)2009.52381406010010021K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，9.52386.635,>∴有99%的把握认为选购哪款茶饮与性别有关.18.【答案】（1）略（2）49【解析】（1）证明：连接DE .依题意，可知DE AE ==∵222AD DE AE =+，即AE DE ⊥，∵1D D ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∵1D D AE ⊥.又1D D DE D ⋂=，∵1D D ⊂平面1D DE ，DE ⊂平面1D DE ，AE ⊥平面1D DE . ∵DF ⊂平面1D DE ，∵AE DF ⊥，同理，可知1D E ==EF =， ∵1ED ED EF ED=，即1DEF D ED △∽△，∵190DFE D DE ∠=∠=︒.∵1DF D E ⊥. ∵AE ⊂平面1AD E ，1D E ⊂平面1AD E ，且1AE D E E ⋂=，∵DF ⊥平面1AD E ；（2）由题可知111-? 2 3D AD FF ADD E ADD V V V --===三椎三椎三椎棱棱棱 21142213329⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭19.【答案】（1）略（2）812,55a b == 【解析】（1）证明：由正弦定理有sin cos 1sin cos B B A A +=， 可得sin cos sin cos sin B A A B A -=，.可得()sin sin B A A -=，又由0,0A B ππ<<<<，可得B A ππ-<-<，由sin 0A >，可得0B A ->，有0B A π<-<，可得B A A -=或B A A π-+=（舍去），可得2B A =；（2）由2B A =，有sin sin2B A =，可得sin 2sin cos B A A =，有2cos b a A =，又由32b a =，可得3cos 4A =， 在ABC 中，2222cos a b c bc A =+-，有2299442a a a =+-，解得85a =或2a =（舍去）， 可得8,512.5ab ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩20.【答案】（1）详解见解析（2）(],1-∞-【解析】（1）()()21a x a f x ax x x+'=+=，当0a >时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a <时，()0f x '<，()f x 在()0,+∞上单调递减；（2）假设12x x ≥，而0a <，由（1）知，()f x 在()0,+∞上单调递减，∵()()12f x f x ≤， ∵()()12122f x f x x x -≥-化简为()()112222f x x f x x +≤+， 令()()2g x f x x =+，则()g x 在()0,+∞上单调递减，∵()20a g x ax x '=++≤，即()22222121211111x x x x a x x x--+-≤=-=-+++， ∵1a ≤-，故实数a 的取值范围是(],1-∞-.21.【答案】（1）24y x =（2）点A 为定点，其坐标为()1,0，证明略 【解析】（1）设过点P 且与抛物线相切的直线为():2p l x k y m =--， 联立()22,,2y px p x k y m ⎧=⎪⎨=--⎪⎩化简得22220y pky pkm p -++=， ()22Δ(2)420pk pkm p ∴=-⨯+=，化简得220pk km p --=， 当0m =时，1k =±.此时， 2.1,22p PA MA PB p ===∴==， ∴抛物线C 的标准方程为24y x =；（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PM 的斜率为PM k ，直线QM 的斜率为QM k ， 由（1）可知，122,2,,1PM QM PM QM PM QM y k y k k k m k k ==+=⋅=-，∴直线PQ 的方程为112121y y x x y y x x --=--.令0y =，得211222121444y x y y y y y --=--， 整理得1222144PM QM k k y y x ⋅=-=-=.故点A 为定点，坐标为()1,0.22.【答案】（1）直线l：10x -=；曲线C ：22430x y y +--=（2）2【解析】（1）∵π2cos 103ρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，∵cos sin 10ρθθ--=， ∵cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩∵直线l的直角坐标方程为10x --=， ∵曲线C的参数方程是,2x y ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数），消去参数ϕ，得()2227x y +-=. ∵曲线C 的普通方程为22430x y y +--=；（2）在直线10x -=中，令0y =，得()1,0P ，可设直线l的参数方程为1,2,2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入22430x y y +--=中，代简，整理可得)2220t t +-=，则)2280∆=+>， 令方程的两个根为1t ，2t ，∵122t t =-，∵122PA PB t t ⋅==. 23.【答案】（1）74x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭（2）94【解析】（1）()()5,1,26137,13,5, 3.x x f x x x x x x x -+≤⎧⎪=---=-+<<⎨⎪-≥⎩当()f x x ≥时，1,5x x x ≤⎧⎨-+≥⎩或13,37x x x <<⎧⎨-+≥⎩或3,5,x x x ≥⎧⎨-≥⎩解得74x ≤，则解集为74x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭； （2）()312621y f x x x x =+-=-+-()262226224x x x x =-+-≥---=，∵4m =，124a b+=，∵a ，b 为正实数，∵()1121229225444a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22,124,a b b a a b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即3,434a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立.。
2021年9月河南省九师联盟2022届高三毕业班教学质量联考检测数学(文)试题及答案解析
绝密★启用前河南省九师联盟2022届高三毕业班上学期9月教学质量联考检测数学(文)试题2021年9月考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，．在试题卷、草稿纸．．．．．．．．上作答无效．．．．．。
4.本试卷主要命题范围：集合、常用逻辑用语、函数、导数及其应用。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设命题p：∀x>0，x2>0，则¬p为A.∃x0≤0，x02≤0B.∀x≤0，x2>0C.∀x>0，x2≤0D.∃x0>0，x02≤02.已知集合A＝{x|x2－x－6<0}，B＝{0，1，2，3，4}，则A∩B＝A.{0，1，2，3}B.{0，1，2}C.{1，2}D.{－1，0，1，2}3.函数f(x)x1-＋ln(x＋1)的定义域是A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)C.(0，1)∪(1，＋∞)D.(0，1)4.“x＋y>>2”是“x1y1>⎧⎨>⎩”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知命题p：∃x0>0，lnx0<0；命题q：∀x∈R，e x>1，则下列命题为真命题的是A.¬p∨qB.p∧qC.p∧¬qD.¬(p∨q)6.若a＝log20.2，b＝20.2，c＝log0.20.3，则下列结论正确的是A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.c>b>a7.函数f(x)＝x2(2x＋2－x)的图象大致为8.甲、乙、丙、丁四位学生中，其中有一位做了一件好事，但不知道是哪一位学生。
河南省豫南九校2022-2023学年高三上学期第二次联考文科数学试题
豫南九校2022-2023学年上期第二次联考高三数学（文）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的娃名、准考证号．考场号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}22610A x x =∈<+≤N ，{}04B x x =<<，则A B ⋂=（）A ．{}1,2,3B ．{}0,2,3C ．{}1,2D ．{}2,32．已知i 为虚数单位，则43i1i -=+（）A ．17i 22+B ．17i22-C ．53i 22+D ．53i 22-3．已知“24x x >”是“2x m <”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为（）A ．()2,2-B ．[]2,2-C ．()(),22,⋃-∞-+∞D ．(][),22,-∞-⋃+∞4．已知圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，若6cos 4BOC ∠=，则OA OC ⋅= （）A ．BC ．D 5．已知函数()1xf x ax x =++，若()02f '=，则()2f =（）A ．83B ．2C ．53D ．36．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b ==，且12CA CB ⋅=- ，则c =（）A ．2B ．C D7．已知sin18m ︒=，则cos 2424︒+︒=（）A ．242m-B ．224m-C ．4D ．4-8．已知{}n a 为等差数列，公差为黄金分割比512（约等于0.618），前n 项和为n S ，则()2106842a a S S -+-=（）A 1-B 1+C ．16D ．49．2022年8月26日，河南平顶山抽干湖水成功抓捕了两只鳄雀鳝，这一话题迅速冲上热搜榜．与此同吋，关于外来物种泛滥的有害性受到了热议．为了研究某池塘里某种植物生长面积S （单位：m 2）与时间t （单位：月）之间的关系，通过观察建立了函数模型()tS t ka =（t ∈Z ，0k >，0a >且1a ≠）．已知第一个月该植物的生长面积为1m 2，第3个月该植物的生长面积为4m 2，则该植物的生长面积达到100m 2，至少要经过（）A ．6个月B ．8个月C ．9个月D ．11个月10．已知()e xf x x =，过1,02P ⎛⎫⎪⎝⎭作曲线()y f x =的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（）A ．3e2B ．23e C ．2e D11．已知函数()()sin 034f x A x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，若4T f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 的图象向左平移2π个单位长度，得到奇函数()g x 的图象，则2f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．2-B ．2C ．D 12．已知数列{}n a 的通项公式为()2(1)n n a n n =--，前n 项和为n S ，则满足212023n S +≤-的最小正整数n 的值为（）A ．28B ．30C ．31D ．32二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知点()1,2A ，()2,3B -，则与AB垂直的单位向量的坐标为______．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若945S =，且8996a a +=，则123a a +=______．15．已知函数()2sin f x x =的导函数为()f x '，()()()g x f x f x =+'，则函数()g x 图象的对称中心为______．16．已知函数()231sin 3e 12xf x x π⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()f x 在[],ππ-上的最大值与最小值之和为______．三、解答题，本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知复数z 的共轭复数为z ，()()2i 3i zm m -=+∈R （其中i 为虚数单位）．（1）若6z z +=，求z ；（2）若3z z ⋅<，求m 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知命题p ：()21,02,0x a x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪+≤⎩的最小值为1-，命题q ：x ∀∈R ，2420x x a -+≥恒成立．（1）若p ⌝为真，求实数a 的取值范围；（2）若()p q ∧⌝为真，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且sin cos a B A =．（1）若2c b =，求证：ABC △为直角三角形；（2）若ABC △的面积为6a =，求ABC △的周长．20．（本小题满分12分）已知向量()cos ,sin a x x =，()cos ,cos sin b x x x =- ，向量b 在a 上的投影记为()f x ．（1）若()a ab ⊥-，求()f x 的值；（2）若()2f x =，求b ．21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n s a =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若()()1122n n n n a b a a ++=+⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）若()10nn c n a =-，数列{}n c 的前n 项和为n A ，求n A 的最大值．22．（本小题满分12分）已知函数()()2ln exf x x k k =+∈R ．（1）若1x =是()f x 的一个极值点，求()f x 的极值；（2）设()ln e x x h x =的极大值为()0h x ，且()f x 有零点，求证：02e x kx ≥-．豫南九校2022-2023学年上期第二次联考高三数学（文）参考答案123456789101112CBDAADBCBCAD1．【答案】C【解析】由题意，得{}{}220,1,2A x x =∈-<≤=N ，又{}04B x x =<<，故{}1,2A B ⋂=．故选C ．2．【答案】B【解析】()()()()43i 1i 43i 17i 17i 1i 1i 1i 222----===-++-．故选B ．3．【答案】D【解析】由24x x >，得04x <<，由题意，得24m≥，即(][),22,m ∈-∞-⋃+∞．故选D ．4．【答案】A【解析】由cos 4BOC ∠=，得cos 4AOC ∠=-，故6224OA OC ⎛⎫⋅=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭．故选A ．5．【答案】A 【解析】由()1x f x ax x =++，得()()211f x a x +'=+，故()012f a ='+=，故1a =，故()1x f x x x =++，故()282233f =+=．故选A ．6．【答案】D【解析】由12CA CB ⋅=- ，得1cos 2ab C =-．又22a b ==，故1cos 4C =-，由余弦定理，得22212cos 4122164c a bab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故c =D ．7．【答案】B 【解析】()1cos 24242cos 24sin 242cos 60242cos3622⎛⎫︒+︒=⨯︒+︒=︒-︒=︒ ⎪ ⎪⎝⎭()()222212sin 1821224m m =⨯-︒=⨯-=-．故选B ．8．【答案】C 【解析】设{}n a 的公差为d ，则d 是方程210x x +-=的一个解，则21d d +=，故()()()2221068424161616a a S S d d d d -+-=+=+=．故选C ．9．【答案】B【解析】由题意，得()()31134S ka S ka ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得122k a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故()11222t t S t -=⨯=．令()12100t S t -=>，结合t ∈Z ，解得8t ≥，即该植物的生长面积达到100m 2时，至少要经过8个月．故选B ．10．【答案】C 【解析】由()e x f x x =，得()()1e x f x x +'=，设切点坐标为()000,e x x x ，则切线方程为()()00000e 1e x x y x x x x -=+-，把点1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入并整理，得()000112x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，解得01x =或012x =-（舍去），故切线斜率为()12e f '=．故选C ．11．【答案】A 【解析】∵2T πω=，∴3sin 44T f A π⎛⎫==⎪⎝⎭2A =，∴()2sin 24g x x ππω⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∵()g x 为奇函数，∴()00g =，即()24k k ωπππ+=∈Z ，∴()122k k ω=-∈Z ．又03ω<<，∴32ω=，∴()32sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴2sin 222f ππ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选A ．12．【答案】D 【解析】由题意，得()()()()222222212143221n S n n +⎡⎤=-+-++---⎣⎦ ()()22112345221n n n ⎡⎤+--+-+-+⋅⋅⋅+-+⎣⎦()()()()()()()221124334221212(21)21n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯++-⨯++⋅⋅⋅+---+-+--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()2222121234221121122n n n n n n n n n +=++++⋅⋅⋅+-+++=+++=-+，由212023n S +≤-，得()222023n n -+≤-，即220232n n +≥，结合*n ∈N ，解得32n ≥，故n 的最小值为32．故选D ．13．【答案】10310,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10310,1010⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】由题意，得()3,1AB =- ．设与AB 垂直的向量为(),a x y =，由0AB a ⋅= ，得30x y -+=，即3y x =，当a的坐标是()1,3时，可得与AB 垂直的单位向量为a a ± ，即10310,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10310,1010⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：10310,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10310,1010⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭．14．【答案】182【解析】因为945S =，所以()19599452a a a +==，解得55a =．又8951296a a a a +=+=，所以1291a =，所以123122182a a a +==．故答案为：182．15．【答案】(),04k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z【解析】由()2sin f x x =，得()2cos f x x ='，故()2sin 2cos 4g x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令()4x k k ππ+=∈Z ，得()4x k k ππ=-+∈Z ．故答案为：(),04k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ．16．【答案】-6【解析】由题意，得()2321sin 31cos 3e 12e 1xx f x x x π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=---⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，把()f x 的图象向上平移3个单位长度，可得函数()21cos e 1x g x x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭的图象．当[],x ππ∈-时，()()()221cos 1cos e 1e 1x x g x x x g x -⎛⎫⎫-=---=-=- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，即()g x 为奇函数，在[],ππ-上的最大值与最小值之和为0，故()f x 在[],ππ-上的最大值与最小值之和为6-．故答案为：6-．17．【解析】由()2i 3i z m -=+，得()()()()3i 2i 3i 236i 2i 2i 2i 55m m m m z +++-+===+--+．（2分）∴236i 55m m z -+=-．（3分）（1）由6z z +=，得23265m -⨯=，解得9m =，∴33i z =+，故z ==．（6分）（2）由3z z ⋅<，得22236355m m -+⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（8分）即26m<，解得m <<∴m 的取值范围是(．（10分）18．（1）对于命题p ，当0x >时，()12f x x a a x=++≥+，当且仅当1x =时取等号，故当0x >时，()f x 的最小值为2a +．（2分）当0x ≤时，()()22211f x x x x =+=+-，当1x =-时，()f x 的最小值为1-．（4分）由()f x 的最小值为1-，得21a +≥-，即3a ≥-．即若命题p 为真，则3a ≥-．（5分）故若命题p ⌝为真，则3a <-，即实数a 的取值范围是(),3-∞-．（6分）（2）对于命题q ，由x ∀∈R ，2420xx a -+≥，得Δ1680a =-≤，解得2a ≥．即若命题q 为真，则2a ≥．（9分）故若q ⌝为真，则2a <．由()p q ∧⌝为真，得32a -≤<，即实数a 的取值范围为[)3,2-．（12分）19．【解析】由sin cos a B A =及正弦定理，得sin sin cos A B B A =，又sin 0B >，故tan A =()0,A π∈，故3A π=．（3分）（1）因为2c b =，所以结合余弦定理，得22222222cos 423a b c bc A b b b b =+-=+-=，所以22224ab bc +==，所以ABC △是以C 为直角的直角三角形．（6分）（2）由ABC △的面积为1sin 2bc A =8bc =，（8分）由6a =，结合余弦定理，得()()222222cos 32436a b c bc A b c bc b c =+-=+-=+-=，所以b c +=（11分）故ABC △的周长为6．（12分）20．【解析】（1）由题意，得()a b f x a b a⋅==⋅，由()a ab ⊥-，得()0a a b ⋅-=，（2分）即20a a b -⋅= ，21a b a ⋅== ，∴()1f x =．（4分）（2）由（1），得()()2215cos sin cos sin sin 2cos 2sin 222f x a b x x x x x x x ϕ=⋅=+-=+=+ （其中25sin 5ϕ=，5cos 5ϕ=）．（6分）令()()55sin 222f x x ϕ=+=，得()sin 21x ϕ+=，∴()222x k k πϕπ+=+∈Z ，（8分）∴()222x k k ππϕ=+-∈Z ，（8分）∴sin 2sin 2cos 25x k ππϕϕ⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭，cos 2cos 2sin 25x k ππϕϕ⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭．（10分）∴b ===．（12分）21．【解析】（1）由22n n S a =-，得1122S a =，得12a =，当2n ≥时，()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12n n a a -=，（2分）∴{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴{}n a 的通项公式为2n n a =．（4分）（2）由（1），得()()111211222222222n n n n n n b +++⎛⎫==- ⎪+++⋅+⎝⎭，（5分）∴11111111124661010182222n n n T +⎛⎫=⨯-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪++⎝⎭111112422221n n+⎛⎫=⨯-=- ⎪++⎝⎭．（7分）（3）∵()()10102n nn c n a n =-=-⋅，∴当9n ≤时，0n c >；当10n =时，0n c =；当11n ≥时，0n c <．∴当9n =或10时，n A 取得最大值，且910A A =．（9分）239992827212A =⨯+⨯+⨯++⨯ ．①∴234109292827212A =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯．②②-①，得()923910941218222218202612A ⨯-=-+++⋅⋅⋅++=-=-，∴n A 的最大值为2026．（12分）22．【解析】（1）解法一：由()2ln e x f x x k =+，得()()2e 0xf x k x x=+>'，由1x =是()f x 的一个极值点，得()10f '=，即2e 0k +=，即2ek =-．（2分）此时，()12ln 2ex f x x -=-，()()1121e 22e x x x f x x x---=-='，设()()11e 0x g x x x -=->，则()()11e 0x g x x -'=-+<，即()g x 在()0,+∞上单调递减．（3分）又()10g=，所以当()0,1x ∈时，()0g x >，即()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x <，即()0f x '<．所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 有极大值()12f =-，无极小值．（5分）解法二：由()2ln e x f x x k =+，得()()2e 0xf x k x x=+>'，由1x =是()f x 的一个极值点，得()10f '=，即2e 0k +=，即2ek =-．（2分）此时，()12ln 2e x f x x -=-，()122e x f x x-=-'，显然()f x '是减函数，又()10f '=，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<．所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 有极大值()12f =-，无极小值．（5分）（2）由()ln e x x h x =，得()()1ln 1ln 0e ex x xx x x h x x x --==>'．（6分）设()1ln x x x ϕ=-，则()ln 1x x ϕ'=--．令()0x ϕ'=，得1ex =．当10e x <<时，()0x ϕ'>，当1e x >时，()0x ϕ'<，故()x ϕ在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()x ϕ的极大值为1110e e ϕ⎛⎫=+>⎪⎝⎭．（8分）当10ex <<时，()0x ϕ>．又()110ϕ=>，()212ln 20ϕ=-<，故()x ϕ存在唯一的零点0x ，且()01,2x ∈．由()0001ln 0x x x ϕ=-=，得001ln x x =．（10分）当()00,x x ∈时，()0x ϕ>，即()0h >，当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ<，即()0h x '<，即()hx 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减．故()hx 的极大值为()00000ln 1e e x x x h x x ==，（11分）令()0f x =，得2ln e 0x x k +=，即1ln 2e x xk -=．由()f x 有零点，得00112e x k x -≤，即02e x kx ≥-．（12分）。
2022-2023学年江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学(文)试卷含答案
高三数学考试（文科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2280A x x x =--<，{}4,2,1,1,2,4B =---，则A B = （）A ．{}1,1,2-B ．{}2,1,1,2,4--C ．{}2,1,1--D ．{}4,2,1,1,2---2．已知复数z 满足i 212i z +=+，则z =（）A ．2i--B ．2i-+C ．2i-D ．2i+3．要得到2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移6π个单位长度B ．向右平移6π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度4．函数()2cos 31xx f x x =+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．若α是第二象限角，且5sin 5α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．3-B ．3C ．13-D ．136．某数学兴趣小组的学生为了了解会议用水的饮用情况，对某单位的某次会议所用矿泉水饮用情况进行调查，会议前每人发一瓶500ml 的矿泉水，会议后了解到所发的矿泉水饮用情况主要有四种：A ．全部喝完；B ．喝剩约13；C ．喝剩约一半；D ．其他情况．该数学兴趣小组的学生将收集到的数据进行整理，并绘制成所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，本次调查中会议所发矿泉水全部喝完的人数是（）A ．40B ．30C ．22D ．147．在四棱雉P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，PA AB =，2PH HC = ，E ，F 分别是棱CD ，PA 的中点，则异面直线BH 与EF 所成角的余弦值是（）A ．13B ．33C ．63D ．2238．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点()2,0A 的直线l 与抛物线C 交于，P ，Q 两点，则4PF QF +的最小值是（）A ．8B ．10C ．13D ．159．当光线入射玻璃时，表现有反射、吸收和透射三种性质．光线透过玻璃的性质，称为“透射”，以透光率表示．已知某玻璃的透光率为90%（即光线强度减弱10%）．若光线强度要减弱到原来的125以下，则至少要通过这样的玻璃的数量是（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.477≈）A ．30块B ．31块C ．32块D ．33块10．已知()f x 是定义在()(),00,-∞+∞ 上的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，当0x >时，()()20xf x f x '+>．若()20f =，则不等式()30x f x >的解集是（）A ．()(),20,2-∞-B ．()(),22,-∞-+∞ C ．()()2,02,-+∞ D ．()()2,00,2- 11．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体1111ABCD A B C D -的上底面1111A B C D 绕着其中心旋转45︒得到如图2所示的十面体ABCD EFGH -．已知2AB AD ==，AE =，则十面体ABCD EFGH -外接球的球心到平面ABE 的距离是（）A ．(51248π-B ．364312+C ．(81248π+D ．(81212π+12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x --=-，()()23g x f x ++=．若()f x 的图象关于直线1x =对称，且()33f =-，则()221k g k ==∑（）A ．80B ．86C ．90D ．96二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知向量(),2AB m = ，()1,3AC = ，()4,2BD =--，若B ，C ，D 三点共线，则m =________．14．已知实数x ，y 满足约束条件230301x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z x y =-的最大值为________．15．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos 14B =，且ABC △的周长和面积分别是10和215b =________．16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线交双曲线C 的右支于点P ，切点为M ．若13PM MF = ，则双曲线C 的离心率为________．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足310a =，2a ，4a ，7a 成等比数列．（1）求{}n a 的前n 项和n S ；（2）记26n n b S =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）某商场在周年庆举行了一场抽奖活动，抽奖箱中所有乒乓球都是质地均匀，大小与颜色相同的，且每个小球上标有1，2，3，4，5，6这6个数字中的一个，每个号都有若干个乒乓球．抽奖顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用x 表示取出的小球上的数字，当5x ≥时，该顾客积分为3分，当35x ≤<时，该顾客积分为2分，当3x <时，该顾客积分为1分．以下是用电脑模拟的抽芕，得到的30组数据如下：131163341241253126316121225345（1）以此样本数据来估计顾客的抽奖情况，分别估计某顾客抽奖1次，积分为3分和2分的概率：（2）某顾客抽奖3次，求该顾客至多有1次的积分大于1的概率．19．（12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，D ，E 分别是棱BC ，1BB 的中点．（1）证明：平面1AC D ⊥平面1A CE ．（2）求点1C 到平面1A CE 的距离．20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率是22，点()0,2M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程．（2）已知()0,1P ，直线():0l y kx m k =+≠与椭圆C 交于A ，B 两点，若直线AP ，BP 的斜率之和为0，试问PAB △的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数()xf x e ax =-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若4a ≥，证明：对于任意[)1,x ∈+∞，()2323f x x ax >-+恒成立．（参考数据：ln10 2.3≈）（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 22sin x y αα=-+=+⎧⎨⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos 2sin 40ρθρθ-+=．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）已知()4,0P -，设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为Q ，求PQ 的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()31f x x =-+．（1）求不等式()82f x x ≤-+的解集；（2）若对任意的0x >，关于x 的不等式()f x ax ≥恒成立，求a 的取值范围．高三数学考试参考答案（文科）1．A 【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养．由题意可得{}24A x x =-<<，则{}1,1,2A B =- ．2．D 【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养．设(),z a bi a b =+∈R ，则()2212a bi i ai b i ++=+-=+，即221a b =⎧⎨-=⎩，解得2a =，1b =，故2z i =+．3．C【解析】本题考查三角函数的图象，考查数学运算的核心素养．因为2sin 22sin 23126y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以要得到2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度．4．B【解析】本题考查函数的图象，考查数学抽象的核心素养．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，则排除A ，D ；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，则排除C ．故选B ．5．D【解析】本题考查三角恒等变换，考查函数与方程的数学思想．因为α是第二象限角，且sin 5α=，所以cos 5α=-，所以1tan 2α=-，故11tan 112tan $141tan 312πααα-++⎛⎫+=== ⎪-⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭．6．C【解析】本题考查统计图表，考查数据分析的核心素养．由题中统计图可知参加这次会议的总人数为4040%100÷=，则所发矿泉水喝剩约一半的人数为10030%30⨯=，故会议所发矿泉水全部喝完的人数为1004030822---=．7．A 【解析】本题考查异面直线所成角，考查直观想象的核心素养．如图，分别取PB ，PH 的中点M ，N ，连接MF ，CM ，MN ．易证四边形CEFM 是平行四边形，则CM EF ∥，CM EF =．因为M ，N 分别是PB ，PH 的中点，所以MN BH ∥，则CMN ∠是异面直线BH 与EF 所成的角（或补角）．设6AB =，则CM EF ==，12PM PB ==，2CN PN ==，MN ==，故1cos 3CMN ==∠．8．C 【解析】本题考查抛物线的性质，考查数学运算的核心素养．设直线:2l x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立224x my y x=+=⎧⎨⎩，整理得2480y my --=，则128y y =-，故()21212416y y x x ==．因为11PF x =+，21QF x =+，所以122244454513PF QF x x x x +=++=++≥，当且仅当21x =时，等号成立．9．B【解析】本题考查指数、对数的运算，考查数学建模的核心素养．设原来的光线强度为()0a a >，则要想通过n 块这样的玻璃之后的光线强度()190%25na a ⨯<，即0.1925n <，即1lg 0.9lg25n <，即()21lg 22lg522033042lg312lg3..1247.071n ----+⨯>==≈--⨯-，故至少要通过31块这样的玻璃，才能使光线强度减弱到原来的125以下．10．B【解析】本题考查导数的运用，考查化归与转化的数学思想．设()()2g x x f x =，则()()()22g x xf x x f x ''=+．当0x >时，因为()()20xf x f x '+>，所以()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增．因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()()22g x x f x x f x g x -=--=-=-，则()g x 是奇函数．()30x f x >，即()0xg x >．因为()20f =，所以()()220g g -=-=，则()0xg x >等价于()00x g x ⎧>>⎪⎨⎪⎩或()00x g x ⎧<<⎪⎨⎪⎩，解得2x <-或2x >．11．B 【解析】本题考查多面体的外接球，考查直观想象的核心素养．由题中数据可知)221114A E =+=-，则11AA ==+．因为十面体ABCD EFGH -是由长方体1111ABCD A B C D -的上底面1111A B C D 绕着其中心旋转45︒得到的，所以长方体1111ABCD A B C D -的外接球就是十面体ABCD EFGH -的外接球．设十面体ABCD EFGH -外接球的半径为R ，则211224R +=．因为AE BE ==，2AB =，所以42sin7BAE =∠=．设ABE △外接圆的半径为r ，则22492sin 24BAE BE r ⎛⎫==⎪∠ ⎝⎭，则该十面体ABCD EFGH -外接球的球心到平面ABE的距离是364312=．12．C【解析】本题考查函数的基本性质，考查逻辑推理的核心素养．因为()y f x =的图象关于直线1x =对称，所以()()2f x f x =-，所以()()2f x f x +=-．因为()()25f x g x --=-．所以()()225f x g x ---=-，所以()()5f x g x ---=-．因为()()23g x f x ++=，所以()()3g x f x +-=，所以()()8g x g x +-=，则()g x 的图象关于点()0,4对称，且()04g =．因为()()25f x g x --=-，所以()()25f x g x --+=-，所以()()28g x g x ++=，所以()()248g x g x +++=，则()()4g x g x =+，即()g x 的周期为4．因为()33f =-，且()()23g x f x ++=，所以()16g =．因为()()28g x g x ++=，所以()32g =．因为()04g =，所以()24g =，则()()()()()()()22151234125161090k g k g g g g g g ==+++++=⨯+=⎡⎤⎣⎦∑．13．1-【解析】本题考查平面向量，考查数学运算的核心素养．由题意可得()1,1BC AC AB m =-=-．因为B ，C ，D 三点共线，所以BC BD ∥，所以()2140m --+=，解得1m =-．14．4【解析】本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想．画出可行域（图略），当直线z x y =-经过()1,5A --时，z 取得最大值，最大值为4．15．3【解析】本题考查余弦定理，考查数学运算的核心素养．因为cos 14B =，所以sin 154B =，所以1158sin 2a ac B c ==16ac =．因为10a b c ++=，所以10a c b +=-，所以222210020a c ac b b ++=-+，所以2226820a c b b +-=-．由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即2228b a c =+-，所以2228a c b +-=，则68208b -=，解得3b =．16．53【解析】本题考查双曲线的性质，考查数形结合的数学思想．如图，取1PF 的中点N ，连接ON ．由题意可知1OM NF ⊥，OM a =，1OF c =．则1MF b =，ON c =．因为13PM MF =，所以14PF b =．因为O ，N 分别是线段11F F ，1PF 的中点，所以222PF ON c ==．由双曲线的定义可知12422PF PF b c a -=-=，即2b a c =+，即22242b a ac c =++．因为222b c a =-，所以223250c ac a --=，即23250e e --=，解得53e =．17．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意可得()()()1211121036a d a d a d a d +=+=++⎧⎪⎨⎪⎩，即121210330a d d a d +=-=⎧⎨⎩，2分因为0d ≠，所以16a =，2d =，4分则()21152n n n dS na n n -=+=+．6分（2）由（1）可知22211265623n n b S n n n n ⎛⎫===- ⎪+++++⎝⎭，9分则1211111111234455623n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，10分故11223339n n T n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭．12分评分细则：（1）第一问中，也可以将2a ，4a ，7a 用3a 和d 表示，从而求出d ，再根据前n 项和公式求出n S ；（2）第二问中，求出2233n T n =-+，不扣分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．18．解：（1）由题意可知某顾客抽奖1次，积分为3分的频率是61305=，则估计某顾客抽奖1次，积分为3分的概率为15．2分某顾客抽奖1次，积分为2分的频率是933010=，则估计某顾客抽奖1次，积分为2分的概率为310．4分（2）由（1）可知某顾客抽奖1次，积分为1分的概率是12，则某顾客抽奖1次，所得积分是1分和所得积分大于1分是等可能事件．6分设某顾客抽奖1次，积分为1分，记为A ，积分大于1分，记为a ，则某顾客抽奖2次，每次所得积分的情况为aaa ，aaA ，aAA ，aAa ，AAa ，AAA ，AaA ，Aaa ，共8种，8分其中符合条件的情况有aAA ，AAa ，AAA ，AaA ，共4种，10分故所求概率4182P ==．12分评分细则：（1）第一问中，直接求出概率，不予扣分；（2）第二问中，也可以先求出有2次和3次的积分大于1的概率，再由对立事件的概率计算公式求出该顾客至多有1次的积分大于1的概率；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．19．（1）证明：由正三棱柱的性质，易证1BCE D CC △≌△，则1BCE D CC ∠∠=，因为1190CC C D DC ∠∠+=︒，所以190C BCE C D ∠=∠+︒，即1CE C D ⊥．1分因为AB AC =，D 是棱BC 的中点，所以AD BC ⊥．由正三棱柱的定义可知1CC ⊥平面ABC ，则1CC AD ⊥．2分因为BC ，1CC ⊂平面11BCC B ，且1BC C CC = ，所以AD ⊥平面11BCC B ．3分因为CE ⊂平面11BCC B ，所以AD CE ⊥．4分因为AD ，1C D ⊂平面1AC D ，且1AD D C D = ，所以CE ⊥平面1AC D ．5分因为CE ⊂平面1A CE ，所以平面1AC D ⊥平面1A CE ．6分（2）解：连接1EC ．因为12AA AB ==，所以1E CC △的面积112222S =⨯⨯=．由正三棱柱的性质可知1AA ∥平面11BCC B ，则点1A 到平面11BCC B 的距离为AD ．因为ABC △是边长为2的等边三角形，所以AD =故三棱锥11A CC E -的体积11233V =⨯=．8分因为12AA AB ==，E 是1BB的中点，所以1A E CE ==，1A E =，则1E A C △的面积212S =⨯=设点1C 到平面1A CE 的距离是d ，则三棱锥11C A CE -的体积21633V d ==．10分因为12V V =，所以62333d =，解得d =12分评分细则：（1）第一问中，证出1CE D C ⊥，得1分，证出AD ⊥平面11BCC B ，得2分；（2）第二问中，也可以记1CE F C D = ，连接1A F ，过1C 作1A F 的垂线，垂足为H ，则1C F 是点1C 到平面1A CE 的距离；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．20．解：（1）由题意可得222222c a b c a b ===-⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，解得28a =，24b =．3分故椭圆C 的标准方程为22184x y +=．4分（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22184y kx mx y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，整理得()222214280k x kmx m +++-=，则122421kmx x k +=-+，21222821m x x k -=+．5分设直线AP ，BP 的斜率分别是1k ，2k ，()()()121212121221212122121111124kx x m x x km m y y kx m kx m k k k x x x x x x m +-+---+-+-+=+=+=--．因为120k k +=，所以()221204km m k m --=-，解得4m =，7分则12AB x =-=，8分因为点P到直线l的距离d=，所以PAB△的面积2112221S AB dk===+．9分设t=，则2223k t=+，从而2626232442St t=≤=+，当且仅当24t=，即2234k-=，即272k=时，等号成立．11分经验证当272k=时，直线l与椭圆C有两个交点，则PAB△的面积存在最大值322．12分评分细则：（1）第一问中，求出b的值得1分，求出a的值得2分；（2）第二问中，没有检验直线l与椭圆C的位置关系，扣1分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．21．（1）解：由题意可得()xf x e a'=-．1分当0a≤时，()0f x'>，则()f x在R上单调递增；2分当0a>时，由()0f x'>，得lnx a>，由()0f x'<，得lnx a<，则()f x在()ln,a-∞上单调递减，在()ln,a+∞上单调递增．4分综上，当0a≤时，()f x在R上单调递增；当0a>时，()f x在()ln,a-∞上单调递减，在()ln,a+∞上单调递增．5分（2）证明:因为4a≥，且1x≥，所以4ax x≥，则要证()2323f x x ax>-+对于任意[)1,x∈+∞恒成立，即证233x e x ax>-+对于任意[)1,x∈+∞恒成立，即证2343x e x x>-+对于任意[)1,x∈+∞恒成立，即证23431xx xe-+<对一切[)1,x∈+∞恒成立．7分设()2343xx xg xe-+=，则()()()23713107x xx xx xg xe e----+-'==．8分当71,3x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x'>，当7,3x⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x'<，则()g x在71,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减．9分故()213777max33773437101000333g x g e e e ⎛⎫⨯-⨯+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．10分因为ln1023.≈，所以ln100067.9≈<，即71000e <，所以710001e<，则()max 1g x <．11分故23431xx x e-+<对一切[)1,x ∈+∞恒成立，即()2323f x x ax >-+对一切[)1,x ∈+∞恒成立．12分评分细则：（1）第一问中，正确求导得1分，判断出0a ≤的单调性，得1分，判断出0a >的单调性，得2分；（2）第二问中，构造出函数()g x 得1分，直接得出()137max 10001g x e ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，扣1分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．22．解：（1）由12cos 22sin x y αα=-+=+⎧⎨⎩，（α为参数），得()()22124x y ++-=，故曲线C 的普通方程为()()22124x y ++-=．3分由cos 2sin 40ρθρθ-+=，得240x y -+=，故直线l 的直角坐标方程为240x y -+=．5分（2）由题意可知点P 在直线l 上，则直线l 的参数方程为254555x y =-+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，（t 为参数），6分将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，整理得25450t -+=．7分设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t，则125t t +=，8分故128525t t PQ +==．10分评分细则:（1）第一问中，曲线C 的普通方程写成222410x y x y ++-+=，不予扣分；（2）第二问中，也可以由点到直线的距离公式求出圆心C 到直线l 的距离d ，再由两点之间的距离公式求出CP 的值，最后根据勾股定理求出PQ 的值；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．23．解：（1）()82f x x ≤-+，即3182x x -+≤-+，等价于23182x x x <--++≤++⎧⎨⎩或232831x x x --++≤-≤-≤⎧⎨⎩或33182x x x >-+≤--⎧⎨⎩，3分解得34x -≤≤，即不等式()82f x x ≤-+的解集是[]3,4-．5分（2）当03x <<时，()f x ax ≥恒成立等价于()31a x x --+≥恒成立，6分则41a x ≤-在()0,3上恒成立，故13a ≤；7分当3x ≥时，()f x ax ≥恒成立等价于31x ax -+≥恒成立，8分则21a x ≤-在[)3,+∞上恒成立，故13a ≤．9分综上，a 的取值范围是1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．10分评分细则：（1）第一问中，也可以按2x <-，23x -≤≤和3x >这三种情况分别求出x 的取值范围，再求它们的并集，即不等式的解集，只要计算正确，不予扣分：（2）第二问中，最后结果没有写成集合或区间的形式，扣1分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．。
辽宁省大连市2011届高三上学期期末联考试题(数学文)
2010—2011学年度上学期期末考试高三年级文科数学试卷命现学校：东北育才学校第I卷（选择题共60分）—、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.7.设/是虚数单位，则复数等于A. B. C. D.8.已知全集U=R，集合，与B=，则正确表示集合A,B 关系的韦恩（Venn)图是9.已知-7, a1, a2 —1四个实数成等差数列，-4，b1 b2, b3-1五个实数成等比数列，则.等于A. 1B. 2C. -1D. 土 110.一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图予可哮为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.其中正确的是A.①②B.②③C. ③④D.①④11.分别在区间和1内任取一个实数，依次记为m和n,则的概率为A. B. C. D.12.若且，则下列不等式恒成立的是A. B. C. D.13.若’在平面区域上取得最小值时的最优解有无穷多个，则Z的最小值是A. -1B. 1C. OD.8 圆.关于直线，成轴对称图形，则a -b的取值范围是A. B. C. D.9.已知，记.，要得到函数的图像，只需将函数.的图像A.向左平移个单位长度B.向右平移.个单位长度C-向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度10.矩形ABCD中，，，沿AC将矩形ABCD折起，使面面DAC，则四面体的外接球的体积为A. B. C. D.11.若<，则方程.在上恰有A. 0个根B. 1个根C. 2个根D.3个根12.已知点P是双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，I为的内心，若成立，则双曲线的离心率为A. 5B.4C.3D. 2第II卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13—第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
第22—24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.定义某种运算，运算原理如图所示，则式子：的值是______14.己知抛物线“的焦点为F，准线与X轴的交点为M,N为抛物线上的一点，且满足，则=______15. 若数列满足为常数），则称数列为调和数列.已知数列为调和数列，且，则=__________________16. 设为钝角三角形的三条边，那么实数G 的取值范围是__________________.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本题满分12分）己知函数的部分图象如图所示.A. 求函数.的解析式；B. 若，求的值.18. (本小题满分12分）甲乙两个学校高三年级分别为1100人，1000人，为了统计两个学校在地区二模考试的数学科目成绩，釆用分层抽样抽取了105名学生的成绩，并作出了部分频率分布表如下：(规定考试成绩在内为优秀）甲校.乙校：(A) 计算x,y 的值，并分别估计两上学校数学成绩的优秀率； (B)由以上统计数据填写下面2X2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.19(本小题满分12分) 已知斜三棱柱的底面是直角三角形，点B 1在底面上射影D落在BC 上.A. 求证：平面；B. 若，且，求证.B. (本小题满分12分）已知椭圆C 过点，两个焦点为.、B (1, 0) ,O 为坐标原点. (I )求椭圆C 的方程；(I I )直线/过点J (一 1, 0),且与椭圆C 交于尸两点，求的内切圆面积的最大值.B. (本题满分12分）己知函数 (I )求函数的图像在处的切线方程；(II )求的最大值；(III)设实数a>0，求函数在上的最小值.请考生在第（22〉、（23)、（24)三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
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南昌一中．南昌十中．新建二中2008—2009学年度高三上学期三校联考数 学 试 题（文科）考试时间：2008.11.14 试卷总分:150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.请将正确选项的序号填写在答题卷相应的表格内） 1．已知集合{||21|3}A x x =+>，2{|60}B x x x =+-≤，则A B =（ ） A ．[3,2)(1,2]-- B ．(3,2](1,)--+∞C ．(3,2][1,2)--D ．(,3)(1,2]-∞-2．函数2()2f x x ax =-定义在区间[]1,1-上，()f x 是单调函数的充要条件是 （ ）A ．[1,0]a ∈-B ．(0,1]a ∈C ．(,1]a ∈-∞-D ．(][),11,a ∈-∞-+∞3．设定义域为R 的函数()y f x =、()y g x =均存在反函数，且函数(1)f x -与1(2)g x -- 的图象关于直线y x =对称，若(6)2007g =，则(5)f =（ ）A ．2007B ．2008C ．2009D ．20104．若对任意x R ∈，不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．1a <-B ．1a ≥C ．||1a <D ．||1a ≤5．已知公差不为0的正项等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若1lg a ，2lg a ，4lg a 也成等差数列，510a =，则5S 等于 （ ）A ．30B ．25C ．20D ．156．等比数列{}n a 中，已知1234a a a ++=，2342a a a ++=-，则34567a a a a a a +++++=（ ）A ．2116B ．1916C ．98D ．787．等差数列{}n a 中，100a <，110a >且1110||a a >，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使0n S >的n 的最小值为（ ）A ．21B ．20C ．10D ．118．设,,a b c 均为正数，且122log aa =，121()log 2bb =，21()log 2cc =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<9．定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是以2为周期的周期函数，若当[0,1)x ∈时，()21xf x =-，则12(log 6)f 的值为（ ）A ．52-B ．5-C ．12-D ．6-10．函数()f x 与1()()2xg x =互为反函数，则2(4)f x x -的单调增区间为 （ ）A ．(,2)-∞B ．(0,2)C ．(2,4)D ．(2,)+∞11．已知数列{}n a 满足10a =，1 ()n a n N ++=∈，则20a =（ ）A ．0 B．CD12．若实数,a b 满足112a b +=，则39a b+的最小值为（ ）A ．18B ．6C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请将答案填在答题卷相应的横线上） 13．设命题2: p c c <和命题: q 对任意2,410x R x cx ∈++>恒成立，若p 或q 为真，p且q 为假，则实数c 的取值范围是___________________。
14．已知数列{}n a 是等差数列，13720a a a ++=，公差2d =，则6812a a a ++=_______ 15．各项均为正数的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若2m S =，314m S =，则4m S =________________。
16．已知函数2()|2| ()f x x ax b x R =-+∈，给出下列命题：①()f x 不可能为偶函数；②当(0)(2)f f =时，()f x 图象必关于直线1x =对称； ③若20a b -≤，则()f x 在区间[,)a +∞上是增函数；④()f x 有最小值2b a -。
其中正确命题的序号是：___________________。
（将你认为正确的命题序号都填上） 三、解答题（共74分）（每题都要有必要的解答或证明过程） 17．（12分）函数22()log 1xf x x -=-的定义域为集合A ，关于x 的不等式2212() (1)2axa x a +<>-的解集为B ，求使A B B =的实数a 的取值范围。
18．（12分）已知函数()f x 的图象与11()(2)22h x x x=-+-的图象关于直线1x =对称，函数1()()2g x f x x=+（1）判断函数()g x 的奇偶性；（2）求函数()g x 在区间[1,4]上的最大值和最小值。
19．（12分）在等差数列{}n a 中，首项11a =，数列{}n b 满足1()2na nb =，123164b b b =（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S 。
20．（12分）已知数列{}n a 中，1a t =，22(0)a t t =>且11(1)(2)n n n a t a ta n +-=+-≥。
（1）若1t ≠，求证：数列1{}n n a a +-是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式。
21．（12分）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，231()3f x x x =- （1）求函数()f x 的解析式；（2）讨论函数()f x 在区间(,0]-∞上的单调性；（3）设()g x 是函数()f x 在区间[0,)+∞上的导函数，问是否存在实数a ，满足1a >，并且使()g x 在区间[1,]a 上的值域为1[,1]a．若存在，求出a ；若不存在，说明理由。
22．（14分）已知二次函数()y f x =的图象经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,) ()n n S n N +∈均在函数()y f x =图象上。
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m 。
参考答案二、填空题（4分4=16分） 13、11(,0][,1)22-; 14、 50； 15、30 ； 16、③ 三、解答题（74分）17．解： A B B A B =∴⊂由 20 {|12}1xA x x x ->⇒=<<- 由 2212() 222axa x ax a x +<⇒<-- 即 2(1)a x a +<- ∵ 1a >-∴ 422(1)2(1)5aa x A B a a a <-⊂∴-≥⇒≤-++ 415a ⇒-<≤-综上，4(1,]5a ∈--18．解：依题意知：11111()(2)() ()22222x x f x h x x g x x x x x=-=+∴=++=+ （1）对于()(,0)(0,)g x x ∈-∞+∞且()() ()g x g x g x -=-∴是奇函数（2）12()()2g x x x=+ 当x ∈时，()g x 单调递减当)x ∈+∞时，()g x 单调递增min 1 [1,4] [()]2x g x g ∈∴===又min 399(1),(4) (1)(4) [()](4)244g g g g g x g ==<∴==19．解：⑴、设数列{}n a 公差为d由12312312322111636264264a a ab b b a a a a a ++⎛⎫=⇒=⇒++=⇒=⇒= ⎪⎝⎭又1 1 1 n a d a n =∴==⑵、由⑴知：11, 22n nn n n n a n b a b n ⎛⎫⎛⎫==∴⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴23111123 2222nn S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①1122n n n +-2341111112322222n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②①－②得：2311111111222222nn n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1122n n n +- ()222n nn S n N ++∴=-∈ 20．（1）证：由已知得：11()(2)n n n n a a t a a n +--=-≥111(2) {}n nn n n n a a t n a a a a ++--∴=≥∴--是首项为2t t -，公比为t 的等比数列（2）解：由（1）得：211() (1)n n n a a t t t t -+-=-≠即11n n n n a a t t ++-=-112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+1122()()()n n n n t t t t t t t ---=-+-++-+(1)n t t =≠又1t =时，11210n n n n a a a a a a +--=-==-= 1n a ∴=综上， (0)n n a t t =>21．：⑴、设0,x <则x ->0()f x 为R 上的奇函数 ()()2313f x f x x x ∴=--=--()f x ∴=23231, 031, x<03x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎨⎪--⎪⎩⑵、当0x <时，()'22f x x x =--由()'0f x > 得 20;x -<< 由()'0f x > 得 2x <-()f x ∴的 增区间为()2, 0-， 减区间为(), 2-∞-⑶、当0x ≥时，()()()2'2211g x f x x x x ==-=--+当[]1,x a ∈时， ()g x 单调递减 又()g x 的值域为1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∴()()()()22111121102g g a a a a a a a==⇒-=⇒---=11 2a a >∴=综上，存在符合题意的实数a，其值为12。
22．⑴、依题意，设()()20f x ax bx a =+≠ 则()'2fx ax b =+而()'62fx x =- ∴()23, 2. 32a b f x x x ==-∴=-∵点(),n n S 在函数()y f x =图象上 ∴232n S n n =-当2n ≥时，()()22132312165n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦又111a S ==也适合 ∴65n a n =-()n N +∈⑵、由⑴知：()()1331112656165615n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+-⎡⎤⎝⎭⎣⎦ 故12n n T b b b =++⋅⋅⋅+ =1111111277136561n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=111261n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭∴()111 2026120n m m T n N n +⎛⎫<⇔-<∈ ⎪+⎝⎭ 从而1202m ≥ ∴10m ≥ 即满足要求的最小正整数m 为10。