公式化简最小项表达式
逻辑函数的卡诺图化简法
① 3变量的卡诺图 有23个小方块；
相邻 相邻
② 几何相邻的必须
逻辑相邻：变量的 取值按00、01、11、 10的顺序（循环码 ） 排列 。
图1-11 三变量卡诺图的画法
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11
不 相邻
相邻
相邻
图1-12 四变量卡诺图的画法
正确认识卡诺 图的“逻辑相邻”： 上下相邻，左右相 邻，并呈现“循环 相邻”的特性，它 类似于一个封闭的 球面，如同展开了 的世界地图一样。
A因BB此C是N个三变变量量共函有数2的N个最最小小项项吗。？
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4
最小项的定义:对于N个变量，如果P是一个含有N 个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反 变量的形式，作为一个因子在P中出现且仅出现一次， 那么就称P是这N个变量的一个最小项。
表1-17 三变量最小项真值表
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5
（2）最小项的性质
①对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它 的值为1，而变量取其余各组值时，该最小项均为0；
②任意两个不同的最小项之积恒为0； ③变量全部最小项之和恒为1。
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6
最小项也可用“mi” 表示，下标“i”即最小 项的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的 那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十 进制数，就是该最小项的编号。
ABC ABC AC
(A B)C ABC AC
AC BC ABC AC
（2） 根据与或表达式画出卡诺图，如下
图所示。
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17
BC
A
00 01 11 10
0
11 1
逻辑函数的卡诺图
公式法化简： 公式法化简：
F = A BC + A BC
= ( A + A) BC = BC
再如： 再如：
A BCD + ABCD = BCD( A + A) = BCD
AB C D + AB CD = AB D (C + C ) = AB D
ABD
B CD
性质2 卡诺图中四个相邻1格的最小项可以合并成一个与项， 消去两个变量。 性质2：卡诺图中四个相邻1格的最小项可以合并成一个与项，并 消去两个变量。
表 1-2
A B
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
C
0 1 0 1 0 1 0 1
F
0 1 0 0 1 1 0 0
解：由表可写出其最小项表达式为
F ( A, B, C ) = ABC + ABC + ABC
或写成
m1
m4
m5
F ( A, B, C ) = m1 + m 4 + m5
逻辑函数的卡诺图化简法
作者：杜运珍 时间：90分钟 时间：90分钟
1. 预备知识：最小项和最小项表达式 预备知识：
三变量（A、B、C）表达式： 表达式： 三变量（
0 1 2 3 4 5 6 7 000 001 010 011 100 101 110 111
A BC , A BC , ABC , ABC , A BC , A BC , ABC , ABC ,
将这七个最小项填入四变量卡诺图内 化简得
F = BC + B D + AC D
提
示
（1）列出逻辑函数的最小项表达式，由最小项表达式确定变量 列出逻辑函数的最小项表达式， 的个数（如果最小项中缺少变量，应按例1.5的方法补齐 的方法补齐）。 的个数（如果最小项中缺少变量，应按例1.5的方法补齐）。 画出最小项表达式对应的卡诺图。 （2）画出最小项表达式对应的卡诺图。 将卡诺图中的1格画圈，一个也不能漏圈， （3）将卡诺图中的1格画圈，一个也不能漏圈，否则最后得到的 表达式就会与所给函数不等； 格允许被一个以上的圈所包围。 表达式就会与所给函数不等；1格允许被一个以上的圈所包围。 （4）圈的个数应尽可能得少。即在保证1格一个也不漏圈的前 圈的个数应尽可能得少。即在保证1 提下，圈的个数越少越好。因为一个圈和一个与项相对应， 提下，圈的个数越少越好。因为一个圈和一个与项相对应，圈 数越少，与或表达式的与项就越少。 数越少，与或表达式的与项就越少。 （5）按照2k个方格来组合（即圈内的1格数必须为1，2，4，8 按照2k个方格来组合 即圈内的1格数必须为1 个方格来组合（ ），圈的面积越大越好 因为圈越大，可消去的变量就越多， 圈的面积越大越好。 等），圈的面积越大越好。因为圈越大，可消去的变量就越多， 与项中的变量就越少。 与项中的变量就越少。 （6）每个圈应至少包含一个新的1格，否则这个圈是多余的。 每个圈应至少包含一个新的1 否则这个圈是多余的。 （7）用卡诺图化简所得到的最简与或式不是唯一的。 用卡诺图化简所得到的最简与或式不是唯一的。
逻辑函数的卡诺图化简法
逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法由前面的学习得知，利用代数法可以使逻辑函数变成较简单的形式。
但要求熟练掌握逻辑代数的基本定律，而且需要一些技巧，特别是经化简后得到的逻辑表达式是否是最简式较难确定。
运用卡诺图法可以较简便的方法得到最简表达式。
但首先需要了解最小项的概念。
一、最小项的定义及其性质1.最小项的基本概念由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是1. 每项都只有三个因子2. 每个变量都是它的一个因子3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n ＝3时，最小项有23＝8个2.最小项的性质为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最小项的真值表。
由此可见，最小项具有下列性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。
（2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。
（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。
（4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。
3.最小项的编号最小项通常用mi表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。
以ABC为例，因为它和011相对应，所以就称ABC是和变量取值011相对应的最小项，而011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m3按此原则，3个变量的最小项二、逻辑函数的最小项表达式利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式。
下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。
例如，要将化成最小项表达式,这时可利用的基本运算关系,将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A、B、C的项，然后再用最小项下标编号来代表最小项，即又如，要将化成最小项表达式，可经下列几步：（1）多次利用摩根定律去掉非号，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式；（2）利用分配律除去括号，直至得到一个与或表达式；（3）在以上第5个等式中，有一项AB不是最小项（缺少变量C），可用乘此项，正如第6个等式所示。
数电公式法化简
数电公式法化简
在数字电路中，使用布尔代数的基本法则可以对逻辑表达式进行化简。
下面介绍几个常见的数电公式化简的方法：
1.代数法：利用布尔代数的基本规则（如分配律、结合律、德摩根定律等）对逻辑表达式中的项进行展开和合并，以简化逻辑电路。
2.卡诺图法：卡诺图是一种将逻辑表达式可视化的方法。
通过将逻辑函数的真值表转化为卡诺图，可以直观地找出逻辑表达式中的最简形式。
3.真值表法：列出逻辑函数的真值表，并找出其中的规律，通过观察真值表中的1的分布情况，判断哪些项可以合并，从而得到最简形式。
4.极小项与极大项法：将逻辑函数表示为与或表达式后，利用极小项（逻辑函数为1的最小项）和极大项（逻辑函数为0的最大项）来化简逻辑函数。
将重复出现的项进行合并和消去。
需要注意的是，在化简过程中，应注意遵循布尔代数的基本规则，并要合理利用化简后的逻辑表达式的特点，例如选择合适的公式展开
顺序、尽量合并重复的项等。
除了以上方法外，还可以使用电路分解、电路索引和逻辑运算性
质等技巧来帮助化简逻辑表达式。
需要根据具体题目的要求和逻辑表
达式的复杂程度选择适合的方法进行化简。
逻辑函数的化简方法
一、公式法化简：是利用逻辑代数的基本公式，对函数进行消项、消因子。
常用方法有：①并项法利用公式AB+AB’=A 将两个与项合并为一个，消去其中的一个变量。
②吸收法利用公式A+AB=A 吸收多余的与项。
③消因子法利用公式A+A’B=A+B 消去与项多余的因子④消项法利用公式AB+A’C=AB+A’C+BC 进行配项，以消去更多的与项。
⑤配项法利用公式A+A=A，A+A’=1配项，简化表达式。
二、卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图表示法将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上相邻排列，得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。
逻辑相邻项：仅有一个变量不同其余变量均相同的两个最小项，称为逻辑相邻项。
1.表示最小项的卡诺图将逻辑变量分成两组，分别在两个方向用循环码形式排列出各组变量的所有取值组合，构成一个有2n个方格的图形，每一个方格对应变量的一个取值组合。
具有逻辑相邻性的最小项在位置上也相邻地排列。
用卡诺图表示逻辑函数：方法一：1、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。
2、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应的方格中填1，其余方格中填0。
方法二：根据函数式直接填卡诺图。
用卡诺图化简逻辑函数：化简依据：逻辑相邻性的最小项可以合并，并消去因子。
化简规则：能够合并在一起的最小项是2n个。
如何最简：圈数越少越简；圈内的最小项越多越简。
注意：卡诺图中所有的1 都必须圈到，不能合并的1 单独画圈。
说明，一逻辑函数的化简结果可能不唯一。
合并最小项的原则：1）任何两个相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量。
2）任何4个相邻的最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。
3）任何8个相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。
卡诺图化简法的步骤：画出函数的卡诺图;画圈（先圈孤立1格；再圈只有一个方向的最小项（1格）组合）；画圈的原则：合并个数为2n；圈尽可能大（乘积项中含因子数最少）；圈尽可能少（乘积项个数最少）；每个圈中至少有一个最小项仅被圈过一次，以免出现多余项。
6、逻辑代数的化简（公式法和卡诺图法）
6、逻辑代数的化简（公式法和卡诺图法）⼀、逻辑函数的化简将⼀个逻辑表达式变得最简单、运算量最少的形式就叫做化简。
由于运算量越少，实现逻辑关系所需要的门电路就越少，成本越低，可靠性相对较⾼，因此在设计逻辑电路时，需要求出逻辑函数的最简表达式。
由此可以看到，函数化简是为了简化电路，以便⽤最少的门实现它们，从⽽降低系统的成本，提⾼电路的可靠性。
通常来说，我们化简的结果会有以下五种形式为什么是这五种情况，这个跟我们实现的逻辑电路的元器件是有关系的。
在所有的逻辑电路中，都是通过与、或、⾮三种逻辑电路来实现的，之前说过逻辑“与或”、“或与”、“与或⾮”组合逻辑电路是具有完备性的，也就是说能够通过它们不同数量的组合能够实现任何电路。
通过不同的“与或”电路组成的电路，最后化简的表达式就是“与或”表达式，其他同理。
⼆、将使⽤“与或”表达式的化简表达式中乘积项的个数应该是最少的表达了最后要⽤到的与门是最少的，因为每⼀个乘积项都需要⼀个与门来实现。
同时也对应了或门输⼊端的个数变少，有2个与项或门就有2个输⼊端，有3个与项或门就有3个输⼊端。
所以第⼀个条件是为了我们的与门和或门最少。
每⼀个乘积项中所含的变量个数最少它是解决每⼀个与门的输⼊端最少。
逻辑函授的化简有三种⽅法三、逻辑函数的代数化简法3.1 并项法并项法就是将两个逻辑相邻（互补）的项合并成⼀个项，这⾥就⽤到了“合并律”将公因⼦A提取出来合并成⼀项，b和b⾮相或的结果就等于1，所以最后的结果就是A。
吸收法是利⽤公式“吸收律”来消去多余的项3.3 消项法消项法⼜称为吸收律消项法3.4 消因⼦法（消元法）3.4 配项法左边的例⼦⽤到了⽅法1，右边的例⼦⽤到了⽅法2。
3.5 逻辑函数的代数法化简的优缺点优点：对变量的个数没有限制。
在对定律掌控熟练的情况下，能把⽆穷多变量的函数化成最简。
缺点：需要掌握多个定律，在使⽤时需要能够灵活应⽤，才能把函数化到最简，使⽤门槛较⾼。
逻辑函数化简方法
01 1
11
11
10 1
11
Y A B AC A C D B D
[例] 用图形法求反函数的最简与或表达式
Y AB BC AC
[解] (1) 画函数的卡诺图
(2) 合并函数值为 0 的最小项
(3) 写出 Y 的反函数的 最简与或表达式
BC A 00
00
10
01 11 10 010 11 1
对应规律：原变量 1 反变量 0
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
000 001 010 011 100 101 110 111
0123456
7
m0
m1 m2 m3 m4
m5
m6 m7
4. 最小项是组成逻辑函数的基本单元
任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成， 都可以表示成为最小项之和的形式。
卡诺图的缺点：函数的变量个数不宜超过 6 个。
4. 卡诺图中最小项合并规律：
(1) 两个相邻最小项合并可以消去一个因子
BC
A 00 01 11 10
00
32
CD AB 00 01 11 10
00
1
01 4
6
14
11
10
9
ABC ABC BC ABCD ABCD BCD
ABC ABC AB ABC D ABC D ABD
[例] 利用图形法化简函数
F( A , B , C , D ) m ( 1 , 4 , 5 , 6 , 8 , 12 , 13 , 15 )
[解] 注意：先圈孤立项
(1) 画函数的卡诺图 (2) 合并最小项：
画包围圈 (3) 写出最简与或表达式
电工电子技术-逻辑函数的化简
（2）吸收法
运用公式 A AB A 消去多余的项，其中，A、B可以是
任意一个复杂的逻辑式。例如：
Y1 AB AC DEB AB
Y2 AB ABC ABD AB D E AB AB C D D E AB
（3）消去法
运用公式 A AB A B 消去多余的因子。例如：
例如：逻辑函数Y的卡诺图。 Y ABCD ABCD ABCD ABCD
ABCD ABCD ABCD ABCD
（3）用卡诺图化简逻辑函数式 使用卡诺图化简逻辑函数所依据的原理是：具有相邻性 的最小项可以合并消去不同的因子。 ①2个相邻的最小项结合（用一个包围圈表示），可以消 去1个取值不同的变量而合并为1项，如下图所示。
00 01 11 10 00
01 11 10
②4个相邻的最小项结合（用一个包围圈表示），可以消 去2个取值不同的变量而合并为l项，如下图所示。
00 01 11 10 00
01 11 10
③8个相邻的最小项结合（用一个包围圈表示），可以消 去3个取值不同的变量而合并为l项，如下图所示。
00 01 11 10 00
②化简具有无关项的逻辑函数 在卡诺图中用×表示无关项。使用卡诺图化简逻辑函数 式时，要充分利用无关项可以当0也可以当1的特点，尽量扩 大卡诺圈，使逻辑函数式更简。
（2）卡诺图
卡诺图就是将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，
并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻的排列起 来所得的图形。下图所示为2到4变量最小项的卡诺图。
若要画出某一逻辑函数的卡诺图，只需将该逻辑函数式 化为最小项之和的标准形式后，在卡诺图中这些最小项对应 的位置上填入1，在其余的位置上填入0即可。
1．公式化简法
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公
例1
解法1
F ABC ABC ABC ABC
F=ABC+ABC+AB (吸收律1 ABC+ABC=AB) =ABC+A（BC+B） （分配律） =ABC+A（C+B） （吸收律3） =ABC+AC+AB （ 分配律） =（AB+A）C+AB （分配律） =（B+A）C+AB （吸收律3）
2019年5月21日星期二
第二章 逻辑代数基础
5
例 3： F = A B + A C + B C =AB+ABC =AB+ C 例 4： F = A B + A B + A B C D + A B C D =AB+AB+C D(AB+AB) =AB+AB+C D
2019年5月21日星期二
第二章 逻辑代数基础
2019年5月21日星期二
第二章 逻辑代数基础
10
练习：
Y3 AB BC BC AB
Y3 AB BC BC AB AB BC ( BC AB AC ) ( AB BC AC ) ( BC AB AC ) ( AB AC ) ( BC AC ) AB AC BC
AB+AC =AB AC =A(B+C) =A＋B+C
与或式 与非与非式 或与式 或非或非式 两次取反 两次取反
与或式使用最多，因此只讨论与或 式的最简标准. 3.最简的标准 ：
(1)含的与项最少； －－门最少 (2)各与项中的变量数最少。 －－门的输入端最少 (3)要求电路的工作速度较高时，优先考虑级数最少
2019年5月21日星期二 第二章 逻辑代数基础 3
练习：
Y( A, B, C) ABC ABC ABC ABC
Y ABC ABC ABC ABC A[(BC BC ) ( BC BC)] A[ B C B ⊙ C ] A 1 ＝A
2019年5月21日星期二 第二章 逻辑代数基础 4
2. 消项法
利用消项公式 A + AB = A或A + AB = A + B
或A B + A C + B C = A B + A C
例 1： F = A B + A B C + A B D
=AB+AB(C+ D) =AB 例 2： F = A C + C D + A D E + A D G =AC+C D
=BC+AC+AB （分配律）
2019年5月21日星期二 第二章 逻辑代数基础 13
例1
解法2
F ABC ABC ABC ABC
6
练习：
Y1 AB AC BC
Y1 AB AC BC AB ( A B )C A B A BC AB C
Y2 AC B C AB Y2 AC B C AB
AC BC AB AC BC
2019年5月21日星期二 第二章 逻辑代数基础 7
2019年5月21日星期二 第二章 逻辑代数基础 11
(4) 综合法
公式名称 1.0-1律 2.自等律 3.等幂律 4.互补律 5.交换律 6.结合律 7.分配律 8.吸收律1 9 .吸收律2 10 .吸收律3 11.多余项定律 12.求反律 13.否否律
2019年5月21日星期二
先找公共因子，再找互补因子
第二章 逻辑代数基础
8
(3) 配项法 利用消项公式 A=A + A或1=A + A
或A B + A C =A B + A C + B C 配出多余项，再
与其它项合并 例： Y1 ABC ABC ABC 解： Y1 ABC ABC ABC
( ABC ABC ) ( ABC ABC ) BC ( A A) AC ( B B) BC AC
2019年5月21日星期二 第二章 逻辑代数基础 1
二、公式法
相邻项合并法
利用合并相邻项公式: A B + A B = A
例 1： F = A B + C D + A B + C D =(AB+ AB)+( CD+CD) =A+ D 例 2： F = A ( B C + B C ) + A ( B C + B C )
Y3 AB C ACD BCD
Y3 AB C ACD BCD AB C C ( AD BD ) AB C ( AD BD ) AB C ( A B) D AB C ABD AB C D
2019年5月21日星期二
2019年5月21日星期二 第二章 逻辑代数基础 9
练习：
Y2 AB AB BC BC
Y2 AB AB BC BC AB AB(C C ) ( A A) BC BC AB ABC ABC ABC ABC BC AB(1 C ) BC ( A 1) AC ( B B) AB BC AC
式 A· 0=0 A+1=1 A· 1=A A+0=A A· A=A A+A=A A· A=0 A+A=1 A· B= B· A A+B=B+A A· (B· C)= (A· B)· C A+(B+C)=(A+B)+C A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C) (A+B)(A+B)=A AB+AB=A A(A+B)=A A+AB=A A(A+B)=AB A+AB=A+B (A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C) AB+AC+BC=AB+AC AB=A+B A+B=A· B A=A
=A
2019年5月21日星期二
第二章 逻辑代数基础
2
练习：用并项法化简下列逻辑函数
Y( A, B, C) ABC ABC ABC ABC
Y ABC ABC ABC ABC AB(C C) AB(C C) AB AB B(A A) B