第六章共形映射详解
第06章共形映射
即 Arg f (z0 ) Argw(t0 ) Argz(t0)
即 (1)
y (z) C : z z(t)
v
(w)
: w f [z(t)]
z0
o
w f (z)
T
w0
x
o
T'
u
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU
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的不变性.
~~~~~~~~~~~~~
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设Ci (i 1, 2)在点z0 的夹角为 ,Ci (i 1, 2)在
变换w f (z)下映射为相交于点w0 f (z0 )的曲 线i (i 1, 2), 1, 2的夹角为。
《复变函数与积分变换》课程 (70L148Q)
(Complex Functions and Integral Transform)
复变函数与积分变换
Xiaoming Huang
xmhuang@
北京交通大学理学院
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第6章
共形映射
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU
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1. 曲线的切线
设连续曲线 C : z z(t)， t [, ]，它的正向取
t 增大时点 z 移动的方向。
若z(t0 ) 0, t0 (, ),取P0, P C, P0, P对应的参数
(2)若 曲 线C1与 曲 线
第六章 共形映射
z 设曲线C1：= z1(t),(α≤t ≤β)与C2：= z2(t),(α ≤ t ≤ β) z ′ ′ ′ 相交于点z 0 。且 z0 = z1(t0) = z2(t0),z1(t0) ≠ 0, z′(t0) ≠ 0 = 又设映射w= f (z)将C1与C2分别映射为相交 于点 w = f (z0) 的曲线 Γ : w= w(t),(α ≤ t ≤ β) 与 1 1 0 Γ2 : w = w2 (t ),(α ≤ t ≤ β ) 。 故有：
2）令 z = x + iy, w = 1 = u + iv z 将 z = x + iy 代入 w = 1 得： z y x v=− 2 2 u= 2 2 x +y x +y u v y=− 2 2 或 x = u2 + v2 u +v 因此映射将方程 a(x2 + y2 ) + bx+ cy+ d = 0 2 2 变为方程 d(u + v ) + bu− cv+ a = 0 故映射 w = 1 把圆周映射成圆周。 z • 定理：分式线性映射将扩充 平面上的 圆周映射成扩充 w平面上的圆周，即具 有保圆性。
w=z+b
w= az =
cz+d a b 变为映射 w= z+ ，类似于（1）、（2）的简 d d bc ad 1 a − . 单映射。当 c≠0时，分式映射改为：w= + c cz+d c 变为这几种映射的复合。
• 三种映射的几何性质 （1） =z+ ，这是一个平移映射。因为 w b 复数相加可以化为向量相加，所以在映 射 w=z+b 之下， z 沿向量 b 的方向平行移 动一段距离 b 后，就得到 w 。（如图） w w b z ( z) = (w) α z （1） w=z+b （2） w = az w （2） = az , ( a ≠ 0) ，这是一个旋转与伸 z = reiθ , a = λeiα，则w = rλei(θ+α)。 缩映射。设 因此，把 先转一个角度，再将 z 伸缩 到 a = λ 倍，就得到 w 。（如图）
复变函数与积分变换第6章共形映射
定义6.4 设单位圆周C:|z|=1，如果p与p′同时位于以圆心为起点的射线上
，且满足：|op|·|op′|=12，则称p与p′为关于单位圆周的对称点.规定： 无穷远点∞与圆心O是关于单位圆周的对称点.
设p在圆周C内，则过点p作Op的垂线交圆周C于A，再过A作圆周C的切线交射
线Op于p′，那么p与p′即互为对称点（图6.7(a)）.
不少实际问题要求将一个指定的区域共形映射成另一个区域
予以处理，由定理6.3和定理6.5可知，一个单叶解析函数能 够将其单叶性区域共形映射成另一个区域.相反地，在扩充复
平面上任意给定两个单连通区域D与G，是否存在一个单叶解
析函数，使D共形映射成G？下述的黎曼存在与唯一性定理和 边界对应定理（证明从略）肯定地回答了此问题.
的切线与u轴正方向的夹角.于是有
故
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复变函数与积分变换
出版社 理工分社
其中α ′－α 是C和C′在点z0的夹角（经过z0的两条有向曲线C与C′的切线
方向所构成的角，称为两曲线在该点的夹角）（反时针方向为正），β ′－ β 是Γ 和Γ ′在点w0=f(z0)的夹角（反时针方向为正）．式(6.2)表明映射 w=f(z)在点z0既保持了夹角的大小，又保持夹角的方向（图6.2）. 这种性质 称为映射的保角性.
w=z称为关于实轴的对称变换.
图6.7
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6.2.2分式线性映射的性质 (1)保角性
首先讨论映射
由于
因此映射在z≠0与
z≠∞的各处是共形的，从而具有保角性。至于在z=0与z=∞ 处映射是否保角就需要先对两曲线在无穷远点处的夹角进行定义.
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共形映射I.ppt
可见： C 与 C1 的夹角和 与 1 的夹角相等。 其实，C 与 C1 的夹角 和 与 1的夹角不仅相等， 而且方向也保持不变。
z0 z0
这表明：对于相交于点 的任何两条有向曲线，其夹 角大小与方向经过 w f (z) 映射后都保持不变。这时， 称映射 w f (z) 在 点 具有保角性，也称它在该点是保 角的。
如果它在某个区域内处处具有保角性，则称它在该区 域是保角的或者具有保角性。
以上对于解析函数的导数的幅角做了几何的解释。 现
在再来说明它的模 | f '(z0) | 的几何意义。 根据以上假设，有
f
' ( z0 )
lim
zz0
f (z) f (z0) z z0
lim w w0 zz0 z z0
f (D) 是单位圆盘；又若已知在 D 内某点 z0满足：
f (z0 ) 0, f '(z0 ) 0 则映射 w f (z) 是唯一的。
• 唯一性的证明涉及到最大模原理（希瓦茨引理）。 黎曼存在定理指出了可将某些区域保形映射成单位圆
盘。但是：它没有说明已给区域 D 的边界与单位圆的关 系。
二、 保形映射的基本问题
由单叶解析函数所确定的映射称为保形映射. 由定理4.3 知道:一个单叶解析函数将区域保形映射为 另外一区域. (保形映射的基本问题)任给定两个单连通的区域 D
和 G ,是否存在一个单叶解析函数(或者变换)将 D 保
形映射为 G ?
规范化:设U 为一个单位开圆盘.因为如果存在两个单叶
一、曲线的切线方向和两条曲线的夹角
由于任意一段有向曲线 AB可用参数方程表示为
z x(t) y(t)i,
at b
6.2 共形映射的基本问题
5
§6.2 共形映射的基本问题 第 六 章 共 形 映 射
一、问题一
3. 求象区域的一般方法 解析，且为一一映射 一一映射。 设函数 w = f (z ) 在闭域 D = D + C 上解析，且为一一映射。 (1) 令 z = x + i y , w = u+ i v , 则有 x = ϕ (u , v ) , u = u ( x , y) , ⇒ (B) (A) y = ψ (u , v ) . v = v ( x , y); (2) 求边界曲线 C 的象曲线 Γ . 若 C 的方程为 F ( x , y ) = 0 , (方程式) 方程式)
(ξ )
(z ) (w )
(实习) 实习)
w = h−1 ( g ( z ) ) 记为 f (z )
附：关于存在性与唯一性的补充说明。 关于存在性与唯一性的补充说明。
(存在性与唯一性的补充说明) 存在性与唯一性的补充说明)
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§6.2 共形映射的基本问题 第 六 章 共 形 映 射
休息一下 ……
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§6.2 共形映射的基本问题 第 六 章 共 形 映 射
§6.2 共形映射的基本问题
一、问题一 二、问题二(基本问题) 问题二(基本问题)
1
§6.2 共形映射的基本问题 第 六 章 共 形 映 射
一、问题一
对于给定的区域 D 和定义在区域 D 上 的函数 w = f (z ) , 求象集合 G = f (D) . 1. 保域性定理 内解析，且不恒为常数， 定理 设函数 w = f (z ) 在区域 D 内解析，且不恒为常数，
P140 定理 6.2
仍然为区域。 则其象集合 G = f (D) 仍然为区域。
共形映射知识点总结
共形映射知识点总结1. 共形映射的定义共形映射是指一个保角映射，即保持角度不变的映射。
设f(z)是复平面上的一个函数，如果存在一个映射关系g(z)，使得对于任意z1和z2，它们的连线与x轴的夹角相等，则称f(z)是一个共形映射。
一个映射f(z)在z处保持共形，如果它在z处可微且其导数不为0，且满足下面的Cauchy-Riemann条件：\[\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partialu}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\]其中f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是复平面上的一个函数，u和v是实数函数。
2. 共形映射的性质（1）共形映射保持曲线的角度不变。
设f(z)是一个共形映射，若曲线C经过f(z)映射后变为C'，则曲线C与C'在每个点处的切线夹角相等。
（2）共形映射保持比例不变。
设曲线C经过f(z)映射后变为C'，则C'的任意两点之间的距离与C的对应两点之间的距离之比在每个点处相等。
（3）共形映射不存在全纯的双全纯函数。
3. 共形映射的应用共形映射在多个领域有着广泛的应用，包括：（1）在解析几何中，共形映射可以用来描述复平面上的曲线和曲面，它可以将复平面上的各种曲线映射到圆盘上的圆或者半平面上的线段，从而简化对曲线和曲面的研究。
（2）在物理学中，共形映射被广泛应用于流体力学、电磁学和热力学等领域，因为共形映射保持角度和比例不变，它可以帮助研究者简化复杂的物理问题，得到更简洁的物理模型。
（3）在工程领域中，共形映射可以用来处理复杂的结构和材料的问题，比如用共形映射可以将一个复杂结构的材料映射为一个简单的结构，从而方便分析和计算。
（4）在计算机科学和计算机图形学中，共形映射可以用来处理和分析复杂的图形和图像，比如可以利用共形映射将一个图形映射到另一个图形，从而方便比较和分析。
共形映射
与方向不变，称这个性质为保角性 保角性。 与方向不变，称这个性质为保角性。
f ′(z0 ) ≠ 0是必要的，否则保角性 是必要的， 不成立
试求映射w=f(z)=z2 在z0处的旋转角与 例1 试求映射 伸缩率: 伸缩率 (1) 解： f′(z) = 2z (1)z0=1, f′(1) = 2 故w=z2在z0=1处的旋转角 处的旋转角 z0=1 ； (2) z0=1+i
| 例5 设z平面上有两个圆 | z 1 |< 2，z + 1 |< 2 zi 求两个非公共区域在映 射w = 下的像 z+i
y
i Ⅰ 1 x
v o u
Ⅱ 1
i 两圆的交点为( 解：两圆的交点为 i, 0) (i, 0)
ii z = i时 ， w = =∞ i+i
2 +1 i 1 i = 2 +1+ i 2
多项式除法
az + b a b = (z + ) 当c = 0时， w = 时 d d a
az + b a bc ad 当c ≠ 0时， w = 时 = + cz + d c c(cz + d )
a bc ad 例4 将分式线性映射 w = + 分解为四 c c(cz + d )
种形式的复合
z → z1 → z 2 → z 3 → z4
1 处共形， 从而由 z = 知其在 w = ∞处共形， w 1 点处共形。 也即 w = 在z = 0点处共形。 z
反演映射具有保形性
(2) 对于 w = az+b (a≠0) w=az+b(a≠0)在整个扩充复平面上是双方单值的 在整个扩充复平面上是双方单值的 dw 保形 当z ≠ ∞时, w = az + b解析且 =a≠0 dz 1 1 ξ 当z = ∞时, 令ξ = ，η = , 则η = (ξ ) = z w bξ + a ξ 1 ′(0) = ≠ 0 η = (ξ ) = 解析， 解析，且 bξ + a a
复变函数第6章
第六章 共形映射1. 共形映射的概念（1）夹角：如图6.1所示，过z 0点的两条曲线C 1,C 2，它们在交点z 0处的切线分别为T 1，T 2，我们把从T 1到T 2按逆时针方向旋转所得的夹角定义为这两条曲线在交点z 0处 从C 1到C 2的夹角.对于两条曲线的夹角不仅要指出角度的大小，还要指出角的旋转方向.因此在z 0处从C 2到C 1的夹角不等于从C 1到C 2的夹角.图6.1（1）保角映射：若在映射w =f (z )的作用下，过点z 0的任意两条光滑曲线的夹角的大小与旋转方向都是保持不变的，则称这种映射在z 0处是保角的.（2）伸缩率的不变性：若极限00limz z w w z z →--000limz z w w z z →--存在且不等于零，则这个极限称为映射w =f (z )在z 0处的伸缩率.并称w =f (z )在z 0具有伸缩率的不变性.（3）共形映射：定义6.1 设函数w =f (z )在z 0的邻域内是一一的，在z 0具有保角性和伸缩率的不变性，那么称映射w =f (z )在z 0是共形的，或称w =f (z )在z 0是共形映射.如果映射w =f (z )在区域D 内的每一点都是共形的，那么称w =f (z )是区域D 内的共形映射. 2.解析函数与共形映射定理6.1 如果函数w =f (z )在z 0解析，且f '(z 0)≠0，那么映射w =f (z )在z 0是共形的，而且Arg f '(z 0)表示这个映射在z 0的转动角，|f '(z 0)|表示伸缩率.如果解析函数w =f (z )在区域D 内处处有f '(z )≠0,那么 映射w =f (z )是D 内的共形映射.3.分式线性变换（1）定义：形如 , (0).az bw ad bc cz d+=-≠+ (6.3) 的映射称为分式线性变换，其中a ,b ,c ,d 为复常数. （2）逆变换：d , (()()0),w bz a d cb cw a-+=---≠- (6.5)（3）复合：两个分式线性变换复合，仍是一个分式线性变换.事实上，(0),(0).z w z αξβαβαδγβξαδβγγξδγδ''++''''=-≠=-≠''++把后式代入前式得az b w cz d+=+ 其中()()0.ad bc αδγβαδβγ''''-=--≠（4）分解：根据这个事实，我们可以把一个一般形式的分式线性变换分解成一些简单映射的复合.不妨设c ≠0，于是.()az b a bc adw cz d c c cz d +-==+++令,a bc adA B c c-==则上式变为 .Bw A cz d=++ 它由下列三个变换复合而成;1;,z cz d z z w A Bz '=+''='''=+ (6.5) 其中(6.5)中的第一和第三式为整线性变换. 4.分式线性变换性质1° 共形性定理6.2 分式线性变换在扩充复平面上是一一对应的，且是共形的. 2°保圆性定理6.3 分式线性变换将扩充z 平面上的圆映射成扩充w 平面上的圆，即具有保圆性. 在扩充复平面上把直线看成是半径为无穷大的圆周.推论6.1 在分式线性变换下，圆C 映射成圆C '.如果在C 内任取一点z 0，而点z 0的象在C '的内部，那么C 的内部就是映射到C '的内部；如果z 0的象在C '的外部，那么C 的内部就映射成C '的外部.3° 保对称性先引进对称点的概念.定义6.2 设C 为以z 0点为中心，R 为半径的圆周.如果点z ,z *在从z 0出发的射线上，且满足|z -z 0|·|z *-z 0|=R 2, (6.6)则称z ,z *关于圆周C 是对称的.如果C 是直线，则当以z 和z *为端点的线段被C 平分时，称z ,z *关于直线C 为对称的.我们规定： 无穷远点关于圆周的对称点是圆心.定理6.4 设点z ,z *是关于圆周C 的一对对称点，那么在分式线性变换下，它们的象点w 及w *也是关于C 的像曲线C '的一对对称点.5. 确定分式线性变换的条件定理6.5 在z 平面上任意给定三个不同点z 1,z 2,z 3，在w 平面上也任意给定三个不同点w 1,w 2,w 3，那么就存在分式线性变换，将z k 依次映射成w k (k =1,2,3)，且这种变换是唯一的.推论6.2 z 1,z 2,z 3所在的圆C 的象C ′是w 1,w 2,w 3所在的圆.且如果C 依z 1→z 2→z 3 的绕向与C ′依w 1→w 2→w 3的绕向相同时，则C 的内部就映射成C ′的内部（相反时，C 的内部就映射成C ′的外部）图6.8例6.1 求将上半平面映射为单位圆，且将上半平面的定点z 0映射为圆心w =0的分式线性变换.所求映射的一般形式为00, Im 0.i z z w e z z z θ-=>- (6.8) 例6.2 求将单位圆|z |<1映射为单位圆|w |<1的分式线性变换. 所求映射的一般形式为00 (1)1i z z w e z z zθ-=<-. 6. 几个初等函数所构成的映射（1） 幂函数：w =zn(n ≥2)作用： 1° 圆|z |=r 映射成|w |=r n ，即在以原点为中心的圆有保圆性.2°射线0θθ=映射成射线0n ϕθ=，特别地，正实轴θ=0映成正实轴ϕ=0； 3°将角形域02π0()nθθ<<<映射成角形域00n ϕθ<<.(a) 公式图6.10（2）指数函数：w =e z作用： 1° 平面上的直线x =常数，被映射成w 平面上的圆周ρ=常数；而y =常数，被映射成射线ϕ=常数.2° 把水平带形域0Im (2π)z a a <<≤映射成角形域0arg w a <<.（如图6.12(a)） 3° 带形域0Im 2πz <<映射成沿正实轴剪开的w 平面：0arg 2πw <<(如图6.12(b)).3.求2w z =在z =i 处的伸缩率和旋转角，问：2w z =将经过点z =i 且平行于实轴正向的曲线的切线方向映成w 平面 上哪一个方向？并作图.例6.5 求将|z |<1,Im z >0映为|w |>1的一个共形映射.。
复变函数理论中的共形映射及其性质
复变函数理论中的共形映射及其性质复变函数理论是数学中的一个重要分支，研究复平面上的复数函数。
复变函数理论的一个重要概念是共形映射。
共形映射是指保持角度不变的映射关系。
本文将讨论复变函数理论中的共形映射及其性质。
一、共形映射的定义共形映射是指保持角度不变的映射关系。
设f(z)是一个定义在复平面上的复变函数，如果对于平面上任意两条非平行的曲线，这两条曲线在映射f下的对应曲线的切线之间的夹角等于原曲线对应切线的夹角，那么称f(z)是一个共形映射。
二、共形映射的性质1. 保角性质：共形映射保持角度不变。
设z1和z2是复平面上任意两点，w1=f(z1)和w2=f(z2)是它们的映射点，如果z1、z2、w1和w2在同一条直线上，那么它们的夹角相等。
2. 保距性质：共形映射保持距离不变。
设z1和z2是复平面上任意两点，w1=f(z1)和w2=f(z2)是它们的映射点，那么z1和z2之间的距离等于w1和w2之间的距离。
3. 保边界性质：共形映射保持边界不变。
若一个区域的边界曲线在共形映射下映射到另一个区域，那么映射后的曲线仍然是原来区域的边界曲线。
4. 保圆性质：共形映射将圆映射为圆。
具体来说，若一个圆在共形映射下映射为另一个曲线，那么映射后的曲线仍然是圆。
三、常见的共形映射复平面上的共形映射有很多种，下面介绍几种常见的共形映射：1. 线性变换：线性变换是一类共形映射，表达形式为f(z)=az+b，其中a和b是复数，a≠0。
线性变换可以将直线映射为直线或者圆。
2. 幂函数：幂函数是一种共形映射，表达形式为f(z)=z^n，其中n是整数。
幂函数可以将圆映射为圆或者直线。
3. 分式线性变换：分式线性变换是另一类共形映射，表达形式为f(z)=(az+b)/(cz+d)，其中a、b、c和d是复数，ad-bc≠0。
分式线性变换可以将圆、直线或者半平面映射为圆、直线或者半平面。
四、应用领域共形映射在物理学、工程学以及计算机图形学等领域有广泛的应用。
第六章共形映射§6.1共形映射的概念平面内的一条有向连续曲线,若
第六章 共形映射§6.1 共形映射的概念z 平面内的一条有向连续曲线():c z z t t αβ=≤≤，若()00,z t t αβ'≠<<，则向量()0z t '与c 相切于点()00z z t =，正方向为曲线的正方向。
规定：①()0arg z t '就是c 上点0z 处的切线的正向与x 轴正向之间的夹角；②相交于一点的两条曲线1c 和2c 正向之间的夹角就是1c 和2c 在交点处的两条切线正向之间的夹角。
1、解析变换的保角性——解析函数的导数的几何意义：设()w f z =在区域D 内解析，0z D ∈，在点0z 处有导数()00f z '≠，设c 为z 平面内通过0z 的任一条有向光滑曲线，参数方程为()()()000,,0z z t t z z t z t αβ'=≤≤=≠，0t αβ<<。
映射()w f z =将曲线c 映射成w 平面内通过点0z 的对应点()00w f z =的一条有向光滑曲线Γ，参数方程为：()()()()000,0w f z t w t f z z t '''==≠⎡⎤⎣⎦。
所以在Γ上点0w 处有切线存在，切线的正向与轴正向之间的夹角是()()()000Argw t Arg f z z t '''=⎡⎤⎣⎦()()()()()00000,Argf z Argz t Argw t Argz t Argf z '''''=+-=。
将原来的切线的正向与映射过后的切线的正向之间的夹角理解为曲线c 经过()w f z =映射后在0z 处的转动角或旋转角，即有：①导数()00f z '≠的辐角()0Argf z '是曲线c 经过()w f z =映射后在0z 处的旋转角（辐角几何意义）；②旋转角()0Argf z '的大小与方向跟曲线c 的形状与方向无关（所以称这种映射具有旋转角的不变性）。