【步步高】2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 12.1 合情推理与演绎推理课件 文
1∶8 体积比为__________ ．
解析 ∵两个正三角形是相似的三角形， ∴它们的面积之比是相似比的平方． 同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方， ∴它们的体积比为1∶8.
1
2
3
4
5
解析答案
5.(教材改编)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋„＋an＝a1＋ a2＋„＋a19－n (n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，
m c ________.
解析
设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q.
n－1
因为 an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1q
n －m d n 所以类比得 bm＋n＝ m. c
nb－ma ，am＋n＝ ， n－m
思维升华
解析答案
跟踪训练2
在平面上，设 ha，hb，hc 是三角形 ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一 Pa Pb 点，P 到相应三边的距离分别为 Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：h ＋ h ＋ a b Pa Pb Pc Pd ＋ h ＋ h ＋ h ＝1 Pc h a b c d ＝ 1. 把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为 ____________________. h
n(n∈N*).( × )
(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.( × )
答案
2
考点自测
1.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5
123 ＝11，„，则a10＋b10＝________.
解析 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，
27 x x x 27 a x ＋ x3 ＝ 3 ＋ 3 ＋ 3 ＋ x3 ≥4 ， „ ，类比得 x ＋ xn ≥n ＋ 1(n∈N*) ，则 a ＝
n n ________.
解析
第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；
第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；
第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.
解析答案
2 n 9－9× (2)n级分形图中所有线段长度之和为_____________. 3
解析
1 ∵分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来3的线段，
2 n－1 bn＝3× 3
∴n 级分形图中第 n 级的所有线段的长度和为
∴n 级分形图中所有线段长度之和为
Sn 故 n 是以
1 为首项，2 为公比的等比数列.(结论)
(大前提是等比数列的定义，这里省略了)
解析答案
(2)Sn＋1＝4an.
证明 Sn＋1 Sn－1 由(1)可知 ＝4· (n≥2)， n＋1 n－1
(小前提)
Sn－1 n－1＋2 ∴Sn＋1＝4(n＋1)· ＝4· · Sn－1＝4an(n≥2)， n－1 n－1
1 1 1－2＝2， 1 1 1 1 1 1－2＋3－4＝3＋4， 1 1 1 1 1 1 1 1 1－2＋3－4＋5－6＝4＋5＋6，
„，
据此规律，第n个等式可为_______________________________.
解析答案
命题点2 与不等式有关的推理
例2 1 4 x x 4 已知 x∈(0， ＋∞)， 观察下列各式： x＋x ≥2， x＋x2＝2＋2＋x2≥3，
*) b b b b „ b ( n <17 ， n ∈ N 1 2 3 4 17 － n 若b9＝1，则b1b2b3b4„bn＝____________________________.
1
2
3
4
5
答案
返回题Leabharlann 分类 深度剖析题型一归纳推理
命题点1 与数字有关的等式的推理
例1 (2015· 陕西)观察下列等式：
由题意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)· (n－8)＝0，所以n＝8，故共有8层.
解析答案
题型二
类比推理
已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，
例5
nb－ma 则am＋n＝ .类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn>0， n －m n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到bm＋n＝ n－m dn
③推理形式错误；
②小前提错误；
④非以上错误.
解析
因为大前提的形式 “鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身
正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下
的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推
理形式错误.
解析答案 返回
高频小考点
高频小考点
10.高考中的合情推理问题
解析
由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，
∴“x”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.
解析答案
(2)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)， 第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，„，依此类推，如 果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为________. 8
c
解析
设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥A－BCD四个面上的高，
P为三棱锥A－BCD内任一点,P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd ，
Pa Pb Pc Pd 于是可以得出结论： h ＋ h ＋ h ＋ h ＝1. a b c d
解析答案
题型三
演绎推理
n＋2 数列{an}的前 n 项和记为 Sn，已知 a1＝1，an＋1＝ n Sn (n∈N*).
温馨提醒
解析答案
返回
思想方法 感悟提高
解析答案
(2)设S ， T 是 R的两个非空子集，如果存在一个从 S 到 T的函数y＝f(x)满 足：(1)T＝{f(x)|x∈S}；(2)对任意x1，x2∈S，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2). 那么称这两个集合 “ 保序同构 ”. 以下集合对不是 “ 保序同构 ” 的是 ________. ①A＝N*，B＝N； ②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0<x≤10}； ③A＝{x|0<x<1}，B＝R； ④A＝Z，B＝Q.
解析
由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为
2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，„，
第n(n≥2，n∈N*)层的点数为6(n－1).
设一个点阵有n(n≥2，n∈N*)层，
6＋6n－1 则共有的点数为 1＋6＋6×2＋„＋6(n－1)＝1＋ ×(n－1) 2 ＝3n2－3n＋1，
答案
(3)合情推理 合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及 个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳推理和类比推理都 是数学活动中常用的合情推理. 2.演绎推理 (1)演绎推理 一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理.简言 之，演绎推理是由 一般 到 特殊 的推理.
(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用
典例1
小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3,6,10，„记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小
到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：
①b2 014是数列{an}的第________项；
②b2k－1＝________.(用k表示)
2 2 2 0 1 n－1 Sn＝3×3 ＋3×3 ＋„＋3× ＝ 3 × 3
(n∈N*)，
2 n 1 － 3
2 1－ 3
2 n ＝9－9× . 3
思维升华
解析答案
跟踪训练1
183 (1)观察下图，可推断出“x”处应该填的数字是________.
第十二章 推理与证明、算法、复数
§12.1 合情推理与演绎推理
内容 索引
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析 高频小考点
思想方法 感悟提高 练出高分
基础知识 自主学习
1
知识梳理
1.合情推理 (1)归纳推理 ①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法). ②特点：归纳推理是由 部分 到整体、由 个别 到一般的推理. (2)类比推理 ①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它 们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比 法). ②特点：类比推理是由 特殊 到 特殊 的推理.
解析
错误.
由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式
1
2
3
4
5
解析答案
3.(2014· 福建)已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a≠2，
②b＝2，③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c＝________.
1
2
3
4
5
解析答案
4. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1∶2 ，则它们的面积比为
从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和， 依据此规律，a10＋b10＝123.
1
2
3
4
5
解析答案
2. 命题 “ 有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无 ③ 限循环小数”是假命题，推理错误的原因是________. ①使用了归纳推理； ②使用了类比推理； ③使用了“三段论”，但推理形式错误； ④使用了“三段论”，但小前提错误.
(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合
核按钮(新课标)高考数学一轮复习 第十二章 算法初步、
已知数列1×1 2，2×1 3，3×1 4，…，n（n1＋1），通
过计算得
S1
＝
1 2
，
S2
＝
2 3
，
S3
＝
3 4
，
由
此
可
猜
测
Sn ＝
____________．
解法一：通过变化规律猜测 Sn＝n＋n 1. 解法二：Sn＝1×1 2＋2×1 3＋3×1 4＋…＋n（n1＋1）
＝ 1－12 ＋ 12－13 ＋ 13－14 ＋ … ＋ 1n－n＋1 1 ＝ 1 －
【点拨】用数学归纳法证明与正整数 n 有关的一些等式时，关键在于“先看项”， 弄清从 n＝k 到 n＝k＋1 时等式两边的构成规 律，然后正确写出归纳证明的步骤，即可证 明待证等式．
求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝ －n(2n＋1)(n∈N*)．
证明：①n＝1 时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立． ②假设 n＝k 时，等式成立，即 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)． 当 n＝k＋1 时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2 －(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3) ＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以 n＝k＋1 时，等式也 成立． 由①②得，等式对任何 n∈N*都成立．
类型一 证明等式
证明：1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n(n∈N*)． 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立． (2)假设 n＝k(k∈N*)时等式成立，即 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k， 那么，当 n＝k＋1 时， 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＋2k＋1 1－2k＋1 2 ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1－2k＋1 2 ＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2. 根据(1)和(2)，可知等式对任何 n∈N*都成立．
高中数学一轮复习理数通用版：第十二章 推理与证明、算法、复数 Word版含解析
第十二章⎪⎪⎪推理与证明、算法、复数第一节 合情推理与演绎推理本节主要包括2个知识点： 1.合情推理； 2.演绎推理.突破点(一) 合情推理[基本知识] 类型 定义特点 归纳 推理根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理由部分到整体、 由个别到一般类比 推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊[基本能力]1．判断题(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 2．填空题(1)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是a n ＝________.解析：a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2. 答案：n 2(2)由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是合情推理中的________推理．答案：类比(3)观察下列不等式： ①12<1；②12＋16<2；③12＋16＋112< 3.则第5个不等式为____________________________________________________．答案：12＋16＋112＋120＋130< 5[全析考法]归纳推理运用归纳推理时的一般步骤(1)通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；(2)把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；(3)对所得出的一般性命题进行检验．类型(一)与数字有关的推理[例1](1)给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)……记第i行的第j个数对为a ij，如a43＝(3,2)，则a nm＝()A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)(2)(·兰州模拟)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*，则1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.[解析](1)由前4行的特点，归纳可得：若a nm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴a nm＝(m，n－m＋1)．(2)由1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…，归纳猜想可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.[答案](1)A(2)n2解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等． [易错提醒]类型(二) 与式子有关的推理 [例2] (1)(·山东高考)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________.(2)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x3＋x 3＋27x3≥4，…，类比得x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________. [解析] (1)观察前4个等式，由归纳推理可知⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝43×n ×(n ＋1)＝4n (n ＋1)3.(2)第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n .[答案] (1)4n (n ＋1)3 (2)n n[方法技巧]与式子有关的推理类型及解法(1)与等式有关的推理．观察每个等式的特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解． 类型(三) 与图形有关的推理[例3] 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A．21 B．34C．52 D．55[解析]因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.[答案] D[方法技巧]与图形有关的推理的解法与图形变化相关的归纳推理，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性．类比推理1.类比推理的应用一般分为类比定义、类比性质和类比方法，常用技巧如下：类比定义在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移2．平面中常见的元素与空间中元素的类比：平面点线圆三角形角面积周长…空间线面球三棱锥二面角体积表面积…[例4]如图，在△ABC中，O为其内切圆圆心，过O的直线将三角形面积分为相等的两部分，且该直线与AC，BC分别相交于点F，E，则四边形ABEF与△CEF的周长相等．试将此结论类比到空间，写出一个与其相关的命题，并证明该命题的正确性．[解]如图，截面AEF经过四面体ABCD的内切球(与四个面都相切的球)的球心O，且与BC，DC分别交于点E，F，若截面将四面体分为体积相等的两部分，则四棱锥A -BEFD 与三棱锥A -EFC 的表面积相等．下面证明该结论的正确性， 设内切球半径为R ，则V A -BEFD ＝13(S △ABD ＋S △ABE ＋S △ADF ＋S 四边形BEFD )×R ＝V A -EFC ＝13(S △AEC＋S △ACF ＋S △ECF )×R ，即S △ABD ＋S △ABE ＋S △ADF ＋S 四边形BEFD ＝S △AEC ＋S △ACF ＋S △ECF ，两边同加S △AEF 可得结论．[方法技巧]类比推理的步骤和方法(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为： ①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)． (2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．[全练题点]1.[考点二]由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ①②正确，③④⑤⑥错误．2.[考点二]在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P -ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( ) A.18B.19C.164D.127解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127.3.[考点一·类型(一)]将正奇数排成如图所示的三角形数阵(第k 行有k 个奇数)，其中第i 行第j 个数表示为a ij ，例如a 42＝15，若a ij ＝2 017，则i －j ＝( )1 3 5 7 9 11 13 15 17 19…A ．26B ．27C ．28D ．29解析：选A 前k 行共有奇数为1＋2＋3＋…＋k ＝k (1＋k )2个，所以第k 行的最后一个数为2·k (1＋k )2－1＝k 2＋k －1，第k ＋1行的第一个数为k (k ＋1)＋1，当k ＋1＝45时，k (k＋1)＋1＝44×45＋1＝1 981，即第45行的第一个数为1 981，因为2 017－1 9812＝18，所以2 017是第45行的第19个数，即i ＝45，j ＝19，所以i －j ＝45－19＝26.故选A.4．[考点一·类型(二)]观察下列各等式：55－4＋33－4＝2，22－4＋66－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( ) A.nn －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 解析：选A 各等式可化为55－4＋8－5(8－5)－4＝2，22－4＋8－2(8－2)－4＝2；77－4＋8－7(8－7)－4＝2，1010－4＋8－10(8－10)－4＝2，可归纳得一般等式：n n －4＋8－n (8－n )－4＝2，故选A.5.[考点一·类型(三)]蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．则f(4)＝________，f(n)＝________.解析：因为f(1)＝1，f(2)＝7＝1＋6，f(3)＝19＝1＋6＋12，所以f(4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f(n)＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n－1)＝3n2－3n＋1.答案：373n2－3n＋1突破点(二)演绎推理[基本知识](1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(3)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．[基本能力]1．判断题(1)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．()(2)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．()答案：(1)√(2)×2．填空题(1)下列说法：①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略．其中正确的有________个．解析：易知①③④正确．答案：3(2)推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形”中的小前提是________(填序号)．答案：②[全析考法]演绎推理[典例] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )， 即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列，(大前提)所以S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，即S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) 所以对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)[方法技巧]演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本例中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．[全练题点]1．已知a ，b ，m 均为正实数，b ＜a ，用三段论形式证明b a ＜b ＋ma ＋m .证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提) b ＜a ，m ＞0，(小前提) 所以mb ＜ma .(结论)因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提) mb ＜ma ，(小前提)所以mb ＋ab ＜ma ＋ab ，即b (a ＋m )＜a (b ＋m )．(结论)因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提) b (a ＋m )＜a (b ＋m )，a (a ＋m )＞0，(小前提) 所以b (a ＋m )a (a ＋m )＜a (b ＋m )a (a ＋m )，即b a ＜b ＋m a ＋m .(结论)2．已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调递增函数．证明：设任意x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2， 则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，所以x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0， 因为x 1<x 2，即x 2－x 1>0，所以f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)．(小前提) 所以y ＝f (x )为R 上的单调递增函数．(结论)[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D 依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.2．(·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：由丙所言可能有两种情况．一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言情况．故甲持有“1和3”．答案：1和33．(·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三个去过同一城市． 由此判断乙去过的城市为________．解析：由于甲、乙、丙三人去过同一城市，而甲没有去过B 城市，乙没有去过C 城市，因此三人去过的同一城市应为A ，而甲去过的城市比乙多，但没去过B 城市，所以甲去过A ，C 城市，乙去过的城市应为A.答案：A[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一) 合情推理1．(1)已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是12ah ，如果把扇形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12lr ；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2，则(1)(2)两个推理过程分别属于( )A ．类比推理、归纳推理B ．类比推理、演绎推理C ．归纳推理、类比推理D ．归纳推理、演绎推理解析：选A (1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.2．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．121B ．123C ．231D ．211解析：选B 令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…，得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123.3．下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是( )A ．n (n ＋1) B.n (n －1)2C.n (n ＋1)2D ．n (n －1)解析：选C 由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 4．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，则52 018的末四位数字为( )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125解析：选B 55＝3 125 ,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m＋4k与5m (k ∈N *，m ＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 018＝4×503＋6，所以52 018与56的后四位数字相同，为5 625，故选B.5．(·山西孝义期末)我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离为( )A ．3B ．5 C.5217D ．3 5解析：选B 类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2，则所求距离d ＝|2＋2×4＋2×1＋3|12＋22＋22＝5，故选B.6.如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是________．解析：由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个……由此可得第n次操作后，三角形共有4＋3(n－1)＝3n＋1个．当3n＋1＝100时，解得n＝33.答案：337．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.12345…3579…81216…2028…2 013 2 014 2 015 2 0164 027 4 029 4 0318 0568 06016 116……该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为____________．解析：观察数列，可以发现规律：每一行都是一个等差数列，且第一行的公差为1，第二行的公差为2，第三行的公差为4，第四行的公差为8，…，第2 015行的公差为22 014，故第一行的第一个数为2×2－1，第二行的第一个数为3×20，第三行的第一个数为4×21，第四行的第一个数为5×22，…，第n行的第一个数为(n＋1)·2n－2，故第2 016行(最后一行)仅有一个数为(1＋2 016)×22 014＝2 017×22 014.答案：2 017×22 0148.如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为2 0172的格点的坐标为____________．解析：因为点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32，点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得点(1 009，1 008)处标2 0172.答案：(1 009,1 008)对点练(二)演绎推理1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：选B对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，大前提均错误．故选B.2．某人进行了如下的“三段论”：如果f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．你认为以上推理的()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确解析：选A若f′(x0)＝0，则x＝x0不一定是函数f(x)的极值点，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，故大前提错误．3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确解析：选C因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.4．(·湖北八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选D若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名；若乙猜测正确，则3号不可能得第一名，即1,2,4,5,6号选手中有一位获得第一名，那么甲和丙中有一人也猜对比赛结果，与题意不符，故乙猜测错误；若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故仅有丁猜测正确，所以选D.5．在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和．那么这四名同学按阅读量从大到小排序依次为____________．解析：因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，所以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和，所以这四名同学按阅读量从大到小排序依次为甲、丁、乙、丙．答案：甲、丁、乙、丙[大题综合练——迁移贯通]1．给出下面的数表序列：其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3,5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．解：表4为13574 81212 2032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．2．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于点D，求证：1AD2＝1AB2＋1AC2.在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．解：如图所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴1AD2＝1BD·DC＝BC2 BD·BC·DC·BC＝BC2AB2·AC2.又BC2＝AB2＋AC2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想，在四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 证明：如图，连接BE 并延长交CD 于点F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD .∵AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. ∵AB ⊥平面ACD ，∴AB ⊥CD .∵AE ⊥平面BCD ，∴AE ⊥CD .又AB ∩AE ＝A ， ∴CD ⊥平面ABF ，∴CD ⊥AF . ∴在Rt △ACD 中1AF 2＝1AC 2＋1AD2， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2. 3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋34cos2α＋32sin αcos α＋14sin2α－32sin αcos α－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34.第二节直接证明与间接证明、数学归纳法本节主要包括3个知识点： 1.直接证明； 2.间接证明； 3.数学归纳法.突破点(一)直接证明[基本知识]内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止思维过程由因导果执果索因框图表示P(已知)⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Q n⇒Q(结论)Q(结论)⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显成立的条件书写格式“因为…，所以…”或“由…，得…”“要证…，只需证…，即证…”[基本能力]1．判断题(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．()(4)证明不等式2＋7<3＋6最合适的方法是分析法．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．填空题(1)6－22与5－7的大小关系是________．解析：假设6－22>5－7，由分析法可得，要证6－22>5－7，只需证6＋7>5＋22，即证13＋242>13＋410，即42>210.因为42>40，所以6－22>5－7成立．答案：6－22>5－7(2)已知a，b是不相等的正数，x＝a＋b2，y＝a＋b，则x、y的大小关系是________．解析：x2＝12(a＋b＋2ab)，y2＝a＋b＝12(a＋b＋a＋b)>12(a＋b＋2ab)＝x2，又∵x>0，y>0，∴y>x.答案：y>x(3)设a>b>0，m＝a－b，n＝a－b，则m，n的大小关系是________．解析：∵a>b>0，∴a>b，a－b>0，∴n2－m2＝a－b－(a＋b－2ab)＝2ab－2b>2b2－2b＝0，∴n2>m2，又∵m>0，n>0，∴n>m.答案：n>m[全析考法]综合法(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．[例1](·武汉模拟)已知函数f(x)＝(λx＋1)ln x－x＋1.(1)若λ＝0，求f(x)的最大值；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，证明：f(x)x－1>0. [解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当λ＝0时，f(x)＝ln x－x＋1.则f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0,1)上是增函数； 当x >1时，f ′(x )<0，故f (x )在(1，＋∞)上是减函数． 故f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝0.(2)证明：由题可得，f ′(x )＝λln x ＋λx ＋1x －1.由题设条件，得f ′(1)＝1，即λ＝1. ∴f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.由(1)知，ln x －x ＋1<0(x >0，且x ≠1)．当0<x <1时，x －1<0，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝x ln x ＋(ln x －x ＋1)<0，∴f (x )x －1>0.当x >1时，x －1>0，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)＝ln x －x ⎝⎛⎭⎫ln 1x －1x ＋1>0， ∴f (x )x －1>0.综上可知，f (x )x －1>0. [方法技巧] 综合法证题的思路分析法[例2] 已知a >0，1b －1a >1，求证：1＋a >11－b.[证明] 由已知1b －1a >1及a >0，可知0<b <1，要证1＋a >11－b ，只需证1＋a ·1－b >1，只需证1＋a －b －ab >1，只需证a －b －ab >0，即a －b ab >1，即1b －1a >1.这是已知条件，所以原不等式得证．[方法技巧]分析法证题的思路(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．[全练题点]1.[考点一]命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证明法解析：选B 因为证明过程是“由因导果”，即由条件逐步推向结论，故选B. 2.[考点一](·广州调研)若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列不等式成立的是( ) A ．ac 2＜bc 2 B ．a 2＞ab ＞b 2 C.1a ＜1bD.b a ＞a b解析：选B a 2－ab ＝a (a －b )，∵a ＜b ＜0，∴a －b ＜0，∴a (a －b )>0，即a 2－ab ＞0，∴a 2＞ab .①又∵ab －b 2＝b (a －b )＞0，∴ab ＞b 2，② 由①②得a 2＞ab ＞b 2.3.[考点一]已知a ，b ，c 为正实数，a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.证明：因为a ＋b ＋c ＝1，所以(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ≤a 2＋b 2＋c 2＋a 2＋b 2＋a 2＋c 2＋b 2＋c 2＝3(a 2＋b 2＋c 2)，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．所以a 2＋b 2＋c 2≥13.4.[考点二]已知m >0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 证明：因为m >0，所以1＋m >0.所以要证原不等式成立，只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )·(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证m (a －b )2≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证．突破点(二)间接证明[基本知识]1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．2．用反证法证明问题的一般步骤第一步分清命题“p⇒q”的条件和结论第二步作出命题结论q相反的假设綈q第三步由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果第四步断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是结论q成立，从而间接地证明了命题p⇒q为真3．常见的结论和反设词原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个都没有对任意x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有(n－1)个p或q 綈p且綈q至多有n个至少有(n＋1)个p且q 綈p或綈q 都是不都是不都是都是[基本能力]1．判断题(1)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”．()(2)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．()(3)用反证法证题时必须先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况．()(4)反证法的步骤是：①准确反设；②从否定的结论正确推理；③得出矛盾．() 答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．填空题(1)用反证法证明“如果a>b，那么3a>3b”，假设的内容应是________．答案：3a≤3b(2)应用反证法推出矛盾的推导过程中，可把下列哪些作为条件使用________(填序号)．①结论相反的判断即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义；④原结论．答案：①②③(3)写出下列命题的否定．①若a，b，c满足a2＋b2＝c2，则a，b，c不都是奇数；否定为____________________________________________________________；②若p>0，q>0，p3＋q3＝2，则p＋q≤2；否定为________________________________________________________；③所有的正方形都是矩形；否定为________________________________________________________________；④至少有一个实数x，使x2＋1＝0；否定为_______________________________________________________________．答案：①若a，b，c满足a2＋b2＝c2，则a，b，c都是奇数②若p>0，q>0，p3＋q3＝2，则p＋q>2③至少存在一个正方形不是矩形④不存在实数x，使x2＋1＝0[全析考法]证明否定性命题[例1]设{a n}(1)推导{a n}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{a n＋1}不是等比数列．[解](1)设{a n}的前n项和为S n，当q＝1时，S n＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，S n＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，①。
高考数学一轮复习 第十二章算法初步、推理与证明、复
12.5 数学归纳法考纲要求1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法是证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取______时命题成立．(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥k 0，k ∈N *)时命题成立，证明当______时命题也成立． 2．应用数学归纳法时特别注意：(1)数学归纳法证明的对象是与______有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．1．用数学归纳法证明3n≥n 3(n ∈N ，n ≥3)，第一步应验证( )． A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝3 D ．n ＝42．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n ＋1＝2n ＋2－1(n ∈N *)的过程中，在验证n ＝1时，左端计算所得的项为( )．A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋22D ．1＋2＋22＋233．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n2，则( )．A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋144．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ＞1)”，由n ＝k (k ＞1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项的项数是__________．5．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a na n ＋1，则数列的前5项为__________，猜想它的通项公式是__________．一、用数学归纳法证明恒等式【例1】n ∈N *，求证：1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12).方法提炼用数学归纳法证题的关键是第二步由n ＝k 到n ＝k ＋1的过渡，要设法将待证式与归纳假设建立联系，即借助于已经学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形，把n ＝k ＋1时的表达式拼凑出归纳假设的形式，再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明．请做演练巩固提升2二、用数学归纳法证明不等式【例2】设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1a n(n ＝1,2，…)．(1)证明：a n ＞2n ＋1对一切正整数n 都成立； (2)令b n ＝a nn(n ＝1,2，…)，判断b n 与b n ＋1的大小，并说明理由． 方法提炼用数学归纳法证明不等式时常常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式．事实上，在合理运用归纳假设后，可以使用证明不等式的任何方法证明目标式成立．请做演练巩固提升3三、用数学归纳法证明几何问题【例3】用数学归纳法证明：凸n 边形的对角线的条数为f (n )＝12n (n －3)(n ≥3)．方法提炼用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 个变成k ＋1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析；事实上，将n ＝k ＋1和n ＝k 分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧．请做演练巩固提升1四、归纳—猜想—证明【例4】设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ＝1,2，3，….(1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式； (2)当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1，有a n ≥n ＋2. 方法提炼“归纳—猜想—证明的模式”，是不完全归纳法与数学归纳法综合运用的解题模式，这种方法在解决探索性、存在性问题时起着重要作用，它的证题模式是先由归纳推理发现结论，然后用数学归纳法证明结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究与发展的重要方式．请做演练巩固提升5数学归纳法解题步骤要求【典例】(14分)(2012湖北高考)(1)已知函数f (x )＝rx －x r＋(1－r )(x ＞0)，其中r 为有理数，且0＜r ＜1，求f (x )的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数．若b 1＋b 2＝1，则1212b ba a ≤a 1b 1＋a 2b 2； (3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式(x α)′＝αx α－1. 规范解答：(1)f ′(x )＝r －rx r －1＝r (1－x r －1)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)内是减函数； 当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(1，＋∞)内是增函数．故函数f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝0.(4分)(2)由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )≥f (1)＝0，即x r≤rx ＋(1－r )．① 若a 1，a 2中有一个为0，则1212bba a ≤a 1b 1＋a 2b 2成立；若a 1，a 2均不为0，又b 1＋b 2＝1，可得b 2＝1－b 1, 于是在①中令x ＝a 1a 2，r ＝b 1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a2b 1≤b 1·a 1a 2＋(1－b 1)，即11112bb a a -≤a 1b 1＋a 2(1－b 1)，亦即1212b ba a ≤a 1b 1＋a 2b 2.综上，对a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数且b 1＋b 2＝1，总有1212bba a ≤a 1b 1＋a 2b 2.②(8分)(3)(2)中命题的推广形式为：设a 1，a 2，…，a n 为非负实数，b 1，b 2，…，b n 为正有理数． 若b 1＋b 2＋…＋b n ＝1，则1212bba a …n bn a ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n .③用数学归纳法证明如下：(ⅰ)当n ＝1时，b 1＝1，有a 1≤a 1，③成立．(10分)(ⅱ)假设当n ＝k 时，③成立，即若a 1，a 2，…，a k 为非负实数，b 1，b 2，…，b k 为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＝1，则1212bba a …k bk a ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k .当n ＝k ＋1时，已知a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1为非负实数，b 1，b 2，…，b k ，b k ＋1为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1＝1，此时0＜b k ＋1＜1，即1－b k ＋1＞0，于是1212b b a a …11k k b b k k a a ++＝(1212b b a a …k b k a )11k b k a ++＝11212111111121k k k k k k b b b b b b b b k k a a a a +++++----+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭L .(12分)因b 11－b k ＋1＋b 21－b k ＋1＋…＋b k1－b k ＋1＝1，由归纳假设可得1211111112k k k k b b b b b b kaa a +++---L ≤a 1·b 11－b k ＋1＋a 2·b 21－b k ＋1＋…＋a k ·b k1－b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k1－b k ＋1，从而1111211122121111k k k k b bbb bbk k k k k k a b a b a b a a a a a b +++-+++⎛⎫+++≤⋅ ⎪-⎝⎭L L .又因(1－b k ＋1)＋b k ＋1＝1，由②得1111122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫+++ ⎪-⎝⎭L ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k1－b k ＋1·(1－b k ＋1)＋a k ＋1b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1，从而112121k k bbbbk k a a a a ++L ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1.故当n ＝k ＋1时，③成立．由(ⅰ)(ⅱ)可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立．(14分) 答题指导：解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”问题及不等式证明时，有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：1．归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难．2．证明n ＝k 到n ＝k ＋1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法．3．不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证． 另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题．1．平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，则这n 个圆将平面分成不同的区域有( )．A ．2n 个B ．2n个C ．n 2－n ＋2个D ．n 2＋n ＋1个2．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )．A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立3．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )．A ．f (1)＜1成立，则f (10)＜100成立B ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立 C ．若f (2)＜4成立，则f (1)≥1成立D ．若f (4)≥16成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立4．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验的第一个值为n 0＝__________.5．设数列a 1，a 2，…，a n ，…中的每一项都不为0.证明：{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N *，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1.参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)第一个值n 0(n 0∈N *) (2)n ＝k ＋1 2．(1)正整数 基础自测 1．C 2．C 3．D4．2n－1 解析：当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12n －1＋12n ＋12n ＋1＋…＋12n ＋1－1＜n ＋1，∴左边增加的项的项数为2n ＋1－1－2n ＝2n ＋1－1－2n ＝2n－1项． 5．12，13，14，15，16 a n ＝1n ＋1 考点探究突破【例1】证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12.左边＝右边．(2)假设n ＝k 时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k，则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立．【例2】(1)证明：当n ＝1时，a 1＝2＞2×1＋1，不等式成立．假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＞2k ＋1成立． 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋12＝a k 2＋1a k2＋2＞2k ＋3＋1a k2＞2(k ＋1)＋1.∴当n ＝k ＋1时，a k ＋1＞2(k ＋1)＋1成立． 综上，a n ＞2n ＋1对一切正整数n 都成立．(2)解：∵b n ＋1b n ＝a n ＋1n ＋1a nn＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1an2·nn ＋1＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋1·n n ＋1 ＝2(n ＋1)n (2n ＋1)n ＋1＝2n (n ＋1)2n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122－14n ＋12＜1.故b n ＋1＜b n .【例3】证明：(1)∵三角形没有对角线， ∴n ＝3时，f (3)＝0，命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥3)时，命题成立，即f (k )＝12k (k －3)，则当n ＝k ＋1时，凸k 边形由原来的k 个顶点变为k ＋1个顶点，对角线条数增加k －1条．∴f (k ＋1)＝f (k )＋k －1＝12k (k －3)＋k －1＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]．∴当n ＝k ＋1时命题成立，由(1)，(2)可知对任何n ∈N 且n ≥3，命题恒成立． 【例4】解：(1)由a 1＝2，得a 2＝a 12－a 1＋1＝3，由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4，由a 3＝4，得a 4＝a 32－3a 3＋1＝5，由此猜想a n 的一个通项公式：a n ＝n ＋1(n ≥1)． (2)证明：用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1≥3＝1＋2，不等式成立． ②假设当n ＝k 时不等式成立， 即a k ≥k ＋2，那么，a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋2)(k ＋2－k )＋1≥k ＋3， 也就是说，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥(k ＋1)＋2. 根据①和②，对于所有n ≥1，都有a n ≥n ＋2. 演练巩固提升1．C 解析：n ＝2时，分成4部分，可排除D ；n ＝3时，分成8部分，可排除A ；n ＝4时，分成14部分，可排除B ，故选C.2．B 解析：n 为正偶数，若n ＝k ，则下一个正偶数为n ＝k ＋2，故选B. 3．D 解析：f (4)≥16，说明当k ＝4时，f (k )≥k 2成立．f (k )≥k 2成立时，f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立，说明n ＝k 时f (n )≥n 2成立能推出n ＝k ＋1时，f (n )≥n 2成立，根据数学归纳法可得当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立．4．4 解析：∵凸多边形要有对角线，至少也是四边形，∴n 0＝4. 5．证明：先证必要性． 设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d·a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 再证充分性．(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N *都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3①两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ， 则a 2＝a 1＋d .假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时，观察如下两个等式 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k＝k －1a 1a k，②1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1，③将②代入③，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1，在该式两端同乘a 1a k a k ＋1， 得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k .将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后， 得a k ＋1＝a 1＋kd .由数学归纳法原理知，对一切n ∈N *，都有a n ＝a 1＋(n －1)d . 所以{a n }是公差为d 的等差数列．。
「精品」创新方案2017届高考数学一轮复习第十二章推理与证明算法复数第四节算法与程序框图课后作业理(1)
【创新方案】2017届高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 第四节 算法与程序框图课后作业 理[全盘巩固]一、选择题1．执行如图所示的程序框图．若输出y ＝－3，则输入角θ＝( )A.π6 B ．－π6 C.π3 D ．－π3 2．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为( )A ．11B ．13C ．15D ．43．(2015·湖南高考)执行如图所示的程序框图，如果输入n ＝3，则输出的S ＝( )A.67B.37C.89D.494．(2015·天津高考)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )A ．－10B ．6C ．14D ．185.执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1,2,3，则输出的M ＝( )A.203B.72C.165D.1586．如图所示程序框图的功能是：给出以下十个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36，把大于60的数找出来，则框图中的①②应分别填入的是( )A．x>60？，i＝i－1 B．x<60？，i＝i＋1C．x>60？，i＝i＋1 D．x<60？，i＝i－1二、填空题7．执行如图所示的程序框图，则输出的a值是________．8．如图是一个程序框图，则输出的k值是________．9．(人教A)运行如图所示的程序，若输入a，b分别为3,4，则输出________．INPUT a ，b IF a>b THEN m ＝a ELSEm ＝b END IF PRINT m END9．(人教B)运行如图所示的程序，输出的结果是________． a ＝1；b ＝2；a ＝a ＋b ；，10．已知某程序框图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为________．[冲击名校]1．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为( )A ．3B ．－6C ．10D ．－152．某班有50名学生，在一次数学考试中，a n 表示学号为n 的学生的成绩，则执行如图所示的程序框图，下列结论正确的是( )A．P表示成绩不高于60分的人数B．Q表示成绩低于80分的人数C．R表示成绩高于80分的人数D．Q表示成绩不低于60分，且低于80分的人数3．执行如图所示的程序框图，若输入x＝9，则输出y＝________.4．某程序框图如图所示，若判断框内为k≥n，且n∈N时，输出的S＝57，则判断框内n应为________．答 案 [全盘巩固]一、选择题1．解析：选D 由输出y ＝－3<0，排除A ，C ，又当θ＝－π3时，输出y ＝－3，故选D.2．解析：选B 执行程序框图可知，x 的值依次为2,3,5,6,7,9,10,11,13，故输出的x 值为13. 3．解析：选B 第一次循环：S ＝11×3，i ＝2； 第二次循环：S ＝11×3＋13×5，i ＝3；第三次循环：S ＝11×3＋13×5＋15×7，i ＝4，满足循环条件，结束循环． 故输出S ＝11×3＋13×5＋15×7＝121－13＋13－15＋15－17＝37. 4．解析：选B S ＝20，i ＝1，i ＝2i ＝2，S ＝S －i ＝20－2＝18，不满足i >5； i ＝2i ＝4，S ＝S －i ＝18－4＝14，不满足i >5； i ＝2i ＝8，S ＝S －i ＝14－8＝6，满足i >5；故输出S ＝6.5.解析：选D 第一次循环：M ＝32，a ＝2，b ＝32，n ＝2；第二次循环：M ＝83，a ＝32，b ＝83，n ＝3；第三次循环：M ＝158，a ＝83，b ＝158，n ＝4，则输出M ＝158.6．解析：选C 对于A ，D ，由于i ＝i －1，则会进入死循环，而对于B ，选出的数小于60. 二、填空题7．解析：a 的值依次为1,4,13,40,121，然后跳出循环体，故输出的a 值是121. 答案：1218．解析：由不等式k 2－6k ＋5>0可得k >5或k <1，所以，执行程序框图可得k ＝6. 答案：69．(人教A)解析：由已知中的程序代码，可得其功能是计算并输出分段函数m ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a >b ，b ，a ≤b的值．当a ＝3，b ＝4时，满足a ≤b .故m ＝b ＝4.答案：49．(人教B)解析：a ＝1，b ＝2，把1与2的和赋给a ， 即a ＝3，输出的结果是3. 答案：310．解析：第一次循环结束时，n ＝2，x ＝3，y ＝2－1＝1；第二次循环结束时，n ＝4，x ＝9，y ＝4－1＝3；第三次循环结束时，n ＝6，x ＝27，y ＝6－3＝3.此时满足n >4，结束循环，输出log y x ＝log 327＝3.答案：3[冲击名校]1．解析：选C 第一次循环：S ＝－1，i ＝2；第二次循环：S ＝－1＋4＝3，i ＝3；第三次循环：S ＝3－9＝－6，i ＝4；第四次循环：S ＝－6＋16＝10，i ＝5，此时循环终止，输出S ＝10.2．解析：选D P 表示成绩低于60分的人数，Q 表示成绩低于80分且不低于60分的人数，R 表示成绩不低于80分的人数．3．解析：第一次循环：y ＝5，x ＝5；第二次循环：y ＝113，x ＝113；第三次循环：y ＝299，此时|y －x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪299－113＝49<1，故输出y ＝299.答案：2994．解析：程序在运行过程中各值变化如下表：故跳出循环的条件应为若输出的S ＝57，则判断框内n 应为5. 答案：5。
2017高考数学(理)一轮复习配套课件：第十二章算法初步、推理与证明12.2
阅读下列两个程序，回答问题：
x=3
x=3
① y=4
②
y=4
x=y
y=x
①中程序输出的 x 值为__________，②中程序输出
的 y 值为__________．
解：程序①中的 x＝y 是将 y 的值 4 赋给 x，赋值后 x 的值变为 4；②中 y＝x 是将 x 的值 3 赋给 y，赋值后 y 的值为 3.故填 4；3.
第十二页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
解：(1)语句“c＝(a＋b)/2”是将 a，b 之和的一半赋值给变量 c，语句“d＝c*c”是将 c 的平方赋值给 d，最后输出 d 的值．故 输出结果为 d＝16.
(2)语句“c＝a＋b”是将 a，b 之和赋值给 c，语句“b＝a＋c －b”是将 a＋c－b 的值赋值给了 b.故输出结果为 a＝1，b＝2，c ＝3.
第八页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
执行下列程序后，输出的 i 的值是( ) i＝1 WHILE i<＝10 i＝i＋5
WEND
PRINT i
A．5
END B．6
C．10
D．11
解：这是一个当型循环程序，当 i＝(1＋5)＋5＝ 11>10 时，退出循环，输出的 i＝11.故选 D.
第九页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
第七页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
下面程序运行后输出结果是 3，则输入的 x 值一定是( ) INPUT x IF x>0 THEN y＝x ELSE y＝－x END IF PRINT y END
A．3 B．－3 C．3 或－3 D．0 解：该程序语句是求函数 y＝|x|的函数值，∵y＝3，∴x＝±3. 故选 C.
高考数学专题算法、复数、推理与证明推理与证明理讲解
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学专题11 算法、复数、推理与证明 92 推理与证明理①大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数；②大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数；③大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数；④大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数．2．某种树的分支规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为________．3．要证明3＋7<25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________法．4．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被7整除，那么a，b中至少有一个能被7整除”时，假设应为____________．5．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点C(1,2,3)，且法向量为n＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为________________．6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若存在正整数m，n(m<n)，使得S m＝S n，则S m＋n＝0.类比上述结论，设正项等比数列{b n}的前n项积为T n，若存在正整数m，n(m<n)，使得T m＝T n，则T m＋n＝________.7．一同学在电脑中打出如下若干个圆：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若依此规律继续下去，得到一系列的圆，则在前2 010个圆中共有●的个数是________．8．(2015·辽宁东北育才中学段考)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设a ij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j列的数，如a42＝8，若a ij ＝2 009，则i 与j 的和为________．12 43 5 76 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 22 24……9．(2015·山东日照一中校际联合检测)请阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a 22＝1，求证：a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.根据上述证明方法，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，你能得到的结论是________________________． 10．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.11．(2015·江西六校联考)设函数f (x )＝xx ＋3(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝x x ＋3， f 2(x )＝f [f 1(x )]＝x 4x ＋9， f 3(x )＝f [f 2(x )]＝x 13x ＋27， f 4(x )＝f [f 3(x )]＝x 40x ＋81， ……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *，n ≥2时， f n (x )＝f [f n －1(x )]＝________________.12．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第1件首饰是1颗珠宝，第2件首饰是由6颗珠宝构成的如图1所示的正六边形，第3件首饰是由15颗珠宝构成的如图2所示的正六边形，第4件首饰是由28颗珠宝构成的如图3所示的正六边形，第5件首饰是由45颗珠宝构成的如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件的基础上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断：(1)第6件首饰上应有________颗珠宝；(2)前n (n ∈N *)件首饰所用珠宝总颗数为________．(结果用n 表示)13．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝________.14．(2015·福建龙岩教学质量检查)定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和．如1＝12＋13＋16，1＝12＋14＋16＋112，1＝12＋15＋16＋112＋120，以此类推可得1＝12＋16＋112＋1m ＋1n ＋130＋142＋156＋172＋190＋1110＋1132＋1156，其中m ≤n ，m ，n ∈N *，设1≤x ≤m,1≤y ≤n ，则x ＋y ＋2x ＋1的最小值为________．答案解析1．②解析 ①中小前提不正确，③，④都不是由一般性结论到特殊性结论的推理，所以①，③，④都不正确，只有②的推理符合演绎推理三段论，且推理正确．故②正确．2．8解析 由题意得，这种树的每一年的分枝数分别是1,1,2,3,5，…，则2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3，即从第三项起，每一项都等于前2项的和，所以第6年树的分枝数是3＋5＝8.3．分析4．a ，b 都不能被7整除解析 由反证法的定义可知 ，假设应否定结论，“a ，b 中至少有一个能被7整除”的否定是“a ，b 都不能被7整除”．5．x ＋2y －z －2＝0解析 过点C (1,2,3)，且法向量为n ＝(－1，－2,1)的平面方程为(－1)×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0，即x ＋2y －z －2＝0.6．1解析 因为T m ＝T n ，所以b m ＋1b m ＋2…b n ＝1，从而b m ＋1b n ＝1，T m ＋n ＝b 1b 2…b m b m ＋1…b n b n ＋1…b n ＋m －1b n ＋m＝(b 1b n ＋m ).(b 2b n ＋m －1)...(b m b n ＋1).(b m ＋1b n ) (1)7．61解析 因为黑圆间隔的白圆数成等差数列，设有n 组白圆，则有n －1个黑圆，故所有圆的个数为 1＋n n 2＋n －1＝n 2＋3n －22，由已知得n 2＋3n －22≤2 010.因为当n ＝61时，n 2＋3n －22＝1 951<2 010，当n ＝62时，n 2＋3n －22＝2 014>2 010，但第62组中共有62个白圆，所以在前2 010个圆中共有61个黑圆．8．107解析 由三角形数表可以看出其奇数行有奇数列，偶数行有偶数列，2 009＝2×1 005－1， 所以2 009为第1 005个奇数．又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1 024，故2 009在第32个奇数行内，所以i ＝63.因为第63行的第一个数为2×962－1＝1 923，设2 009＝1 923＋2(m －1)，所以m ＝44，即j ＝44，所以i ＋j ＝107.9．a 1＋a 2＋…＋a n ≤n解析 类比给出的材料，构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，即可得到结论．10.127解析 从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得正四面体的外接球和内切球的半径之比是3∶1.故体积比是V 1V 2＝(13)3＝127. 11.x3n －12x ＋3n 解析 由已知，f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )，f 4(x )的分子均为x ，分母分别为x ＋3,4x ＋9,13x ＋27,40x ＋81，其中常数项为3n ，x 的系数为3n －12， 故f n (x )＝f [f n －1(x )]＝x 3n －12x ＋3n . 12．(1)66 (2)n n ＋1 4n －1 6，n ∈N *解析 (1)设第n 件首饰上的珠宝颗数为a n ，则a 1＝1，a 2＝6，a 3＝15，a 4＝28，a 5＝45，∵a 2－a 1＝4×1＋1，a 3－a 2＝4×2＋1，a 4－a 3＝4×3＋1，a 5－a 4＝4×4＋1，∴猜想a n －a n －1＝4(n －1)＋1＝4n －3，∴推断a 6＝a 5＋4×5＋1＝66.(2)由(1)知a n －a n －1＝4n －3，则a n －1－a n －2＝4(n －1)－3，…，a 2－a 1＝4×2－3，以上各式相加得a n －a 1＝4(n ＋n －1＋…＋2)－3(n －1)＝4 n ＋2 n －1 2－3(n －1) ＝2n 2－n －1，∴a n ＝2n 2－n ，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝2(12＋22＋…＋n 2)－(1＋…＋n )＝2×n n ＋1 2n ＋1 6－ 1＋n n 2 ＝n n ＋1 4n －1 6， ∴前n 件首饰所用珠宝总颗数为n n ＋1 4n －1 6，n ∈N *. 13．－g (x )14.87 解析 因为1＝12＋13＋16＝12＋13＋(12－13)， 1＝12＋14＋16＋112＝12＋14＋(12－13)＋(13－14)， 1＝12＋15＋16＋112＋120＝12＋15＋(12－13)＋(13－14)＋(14－15)， 以此类推可得：1＝12＋16＋112＋1m ＋1n ＋130＋142＋156＋172＋190＋1110＋1132＋1156＝12＋(12－13)＋(13－14)＋1m ＋1n ＋(15－16)＋(16－17)＋(17－18)＋(18－19)＋(19－110)＋(110－111)＋(111－112)＋(112－113)， 所以1m ＝113，1n ＝14－15＝120. m ＝13，n ＝20，即1≤x ≤13,1≤y ≤20.又x ＋y ＋2x ＋1＝1＋y ＋1x ＋1. 把y ＋1x ＋1看成点(x ，y )，(－1，－1)连线的斜率， 结合m ≤n ，m ，n ∈N *，在满足条件的点中，(13,1)，(－1，－1)连线的斜率最小为1＋113＋1＝17， 故x ＋y ＋2x ＋1的最小值为87.。
高考数学一轮复习第十二章推理与证明算法复数第三节数学归纳法课后作业理
【创新方案】2017届高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 第三节 数学归纳法课后作业 理[全盘巩固]一、选择题1．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋142．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得( )A ．n ＝6时该命题不成立B ．n ＝6时该命题成立C ．n ＝4时该命题不成立D ．n ＝4时该命题成立3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．104．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角线的条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1 D ．f (n )＋n －25．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2) …·(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋1二、填空题6．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ，且n >1)，第一步要证的不等式是________________．7．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N *)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真．8．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋ n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上的项为______________________________________．三、解答题9．求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．10．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n(n ∈N *，n ≥2)． [冲击名校]1．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n ) 的表达式为( ) A ．n ＋1 B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋12．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1n －n ＋ B.12nn ＋C.1n －n ＋D.1n ＋n ＋3．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是____________．4．已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，试比较11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n与1的大小，并说明理由．答 案 [全盘巩固]一、选择题1．解析：选D 由f (n )可知，共有n 2－n ＋1项，且n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14.2．解析：选C 因为当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则当n ＝k ＋1时，命题也成立．现已知n ＝5时，命题不成立，故n ＝4时命题也不成立．3．解析：选B 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.4．解析：选C 边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n －2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n －1条．5．解析：选B 当n ＝k (k ∈N *)时， 左式为(k ＋1)(k ＋2) ·…·(k ＋k )；当n ＝k ＋1时，左式为(k ＋1＋1)·(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k －1)·(k ＋1＋k )·(k ＋1＋k ＋1)，则左边应增乘的式子是k ＋k ＋k ＋1＝2(2k ＋1)．二、填空题6．解析：当n ＝2时，左边为1＋12＋122－1＝1＋12＋13，右边为2.故应填1＋12＋13<2.答案：1＋12＋13<27．解析：n 为正奇数，假设n ＝2k －1成立后，需证明的应为n ＝2k ＋1时成立． 答案：2k ＋18．解析：当n ＝k 时左端为1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋k 2， 则当n ＝k ＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2， 故增加的项为(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2. 答案：(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2三、解答题9．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12，左边＝右边，等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k， 则当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立．10．证明：(1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，且k ∈N *)时命题成立，即 1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k. 当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋2<2－1k＋1k ＋2<2－1k ＋1kk ＋＝2－1k ＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1，命题也成立． 综合(1)，(2)知原不等式在n ∈N *，n ≥2时均成立．[冲击名校]1．解析：选C 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n n ＋2＝n 2＋n ＋22个区域．2．解析：选C 由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n 求得a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝163＝17×9.猜想a n ＝1n －n ＋.3．解析：不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1k ＋k ＋，故填1k ＋k ＋.答案：1k ＋k ＋4．解：∵f ′(x )＝x 2－1，且a n ＋1≥f ′(a n ＋1)， ∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1.∵函数g (x )＝(x ＋1)2－1在[1，＋∞)上是增函数． 于是由a 1≥1，得a 2≥(a 1＋1)2－1≥22－1， 进而a 3≥(a 2＋1)2－1≥24－1>23－1， 由此猜想：a n ≥2n－1.下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当n ＝1时，a 1≥21－1＝1，结论成立；②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时结论成立，即a k ≥2k－1.当n ＝k ＋1时，由g (x )＝(x ＋1)2－1在区间[1，＋∞)上是增函数知a k ＋1≥(a k ＋1)2－1≥22k－1≥2k ＋1－1，即n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②知，对任意n ∈N *，都有a n ≥2n－1. 即1＋a n ≥2n，∴11＋a n ≤12n ，∴11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n ≤12＋122＋123＋…＋12n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<1.。
【步步高】2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 12.3 算法与流程图课件 文
8
9
10
11
12
13 14 15
16
5.(2015· 天津改编)阅读下边的流程图，运行相应的程序，则输 出i的值为________. 4 解析 运行相应的程序.
第一次循环：i＝1，S＝10－1＝9；
第二次循环：i＝2，S＝9－2＝7；
第三次循环：i＝3，S＝7－3＝4；
第四次循环：i＝4，S＝4－4＝0，满足S＝0≤1，
解析
该流程图共运行5次，各次2n的值分别是2,4,8,16,32，
解析答案
所以输出的n的值是5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13 14 15
16
9.(2015· 山东)执行下边的流程图，若输入的x的值为1，则输出的y的值 13 是________.
解析
输入x＝1，x＜2成立，执行x＝2；
解析答案
一般形式是
.
答案
6.算法中的循环结构，可以运用循环语句来实现 (1)当循环的次数已经确定，可用“For”语句表示 “For”语句的一般形式为
说明：上面“For”和“End For”之间缩进的步骤称为循环体，如果省
略“Step步长”，那么重复循环时，I每次增加1.
(2)不论循环次数是否确定都可以用下面循环语句来实现循环结构当型 和直到型两种语句结构.
解析答案
命题点2 选择结构
例2 执行如图所示的流程图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于 ________.
①[－3,4]
②[－5,2]
③[－4,3]
④[－2,5]
解析答案
引申探究
若将本例中判断框的条件改为“t≥1”，则输出的s的范围是什么？ 解 根据流程图可以得到，
【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步与复数 12.4 复数课件 文 北师大版
解析
答案
-26考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混
思考:利用复数的四则运算求复数的一般方法是什么? 解题心得:利用复数的四则运算求复数的一般方法为: (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算. (2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复 数进行运算化简.
-27考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混
①复数加法的几何意义:若复数 z1,z2 对应的向量������������1 , ������������2 不共
线,则复数 z1+z2 是以������������1 , ������������2 为两邻边的平行四边形的对角线������������ 所对应的复数.
②复数减法的几何意义:复数 z1-z2 是������������1 − ������������2 = ������2 ������1 所对应
2 (2)已知 (1-i) =1+i(i为虚数单位),则复数z=(
������
)
A.1+i B.1-i C.-1+i
D.-1-i
关闭
由已知得 z=
D
(1-i )2 1+i
=
-2i 1&#(1+i )(1-i )
=
-2-2i 2
A.-4
2+������i =3+i, 1+i
)
B.-3 C.3 D.4
关闭
(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i.
∵(1-2i)(a+i)是纯虚数,∴a+2=0,且1-2a≠0, ∴ D a=-2.
解析
关闭
答案
-15考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混
2017版高考数学一轮复习课件：第十二章 证明与数学归纳法、复数 第3讲
(3)已知复数 z＝（1－3＋3ii）2， z 是 z 的共轭复数，则 z·z
＝________.
第十五页，编辑于星期六：十九点 四十七分。
解析 (1)由（1－z i）2＝1＋i，知 z＝（11－＋ii）2＝－12＋i i＝－1
－i，故选 D. (2)法一 i607＝i4×151＋3＝i3＝－i.故选 B. 法二 i607＝i6i08＝i4×i152＝1i ＝－i.故选 B. (3)法一 |z|＝|（1|－3＋3ii|）2|＝12，z· z ＝|z|2＝14.
则复数 z 在复平面内对应的点所在象限为( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)(2014·新课标全国Ⅱ卷)设复数 z1，z2 在复平面内的对应
点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则 z1z2＝( )
A.－5
B.5
C.－4＋i
D.－4－i
第二十三页，编辑于星期六：十九点 四十七分。
解析 (1)由已知可得 z＝1－5 2i＝1＋2i，其在复平面内对应的 点的坐标为(1，2)，在第一象限.故选 A. (2)由题意得 z2＝－2＋i，∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5， 故选 A. 答案 (1)A (2)A
第十八页，编辑于星期六：十九点 四十七分。
解析 (1)复数11－＋3ii＝（（11－＋3ii））（（11－－ii））＝－22－4i
＝－1－2i.故选 C.
(2)原式＝（1＋2 i）26＋（
2＋ 3i）（ 3＋ 2i） （ 3）2＋（ 2）2
＝i6＋
6＋2i＋3i－ 5
6＝－1＋i.
（ (3)
（25＋－42ii））（3（1－4＋i）5i）＝2
第二十一页，编辑于星期六：十九点 四十七分。