6.2二次函数的图象和性质(7)(江苏省兴化市板桥初级中学顾厚春)
初三数学上册 6.2.2 二次函数的图象和性质课件(2) 苏科版
苏科版
➢回顾与思考
y=ax2 (a≠0)
a>0
a<0
图 象
开口方向 顶点坐标
•y
•O •x
•向上 •(0 ,0)
•y •O •x
•向下 •(0 ,0)
对称轴
•y轴
•y轴
增减性 •当x<0时,y随着x的增大而减小. •当x<0时,y随着x的增大而增
•(3)将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数
式是
。将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得
的抛物线的函数式是
。
•y=-x2+3
•y=x2+1 •y=x2
•y=x2-2
•y=-x2 •y=-x2-2
• 当a>0时，抛物线y=ax2+c的开口•上 ，对称轴 是 •y ，顶点坐标是•(0,c，) 在对称轴的左侧，y随x的 增大轴而•减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而 •增大， •当x=•0 时，取得最•小 值，这个值等于 •c ； • 当a<0时，抛物线y=ax2+c的开口 •下 ，对称轴 是•y ，顶点坐标是•(0,c，) 在对称轴的左侧，y随x的 增大轴而•增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 •减小，
当x= •0时，取得最 •大 值，这个值等于 •c 。
•(4)抛物线y=-3x2+5的开口
，对称轴是
是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而
右侧，y随x的增大而
，
•当x= 时，取得最 值，这个值等于
，顶点坐标 ，在对称轴的
。
•(5)抛物线y=7x2-3的开口
江苏省泰州市永安初级中学九年级数学下册 6.2 二次函
6.2二次函数的图像和性质（1）学习目标：1、经历探索二次函数y=x2图像作法的过程，进一步感受应用图像发现函数性质的方法。
2、能够利用描点法作出函数y=ax2(a≠0)的图像，能根据图像了解二次函数y=x2的性质。
教学过程：（一）复习导入：1、回忆研究一次函数和反比例函数的过程，想一想：研究函数的通常步骤是什么？2、回忆一次函数和反比例函数的图像及作图方法，思考：二次函数的图像是直线吗？是双曲线吗？你打算怎样画出二次函数的图像？（二）操作与思考：1、用描点法画出二次函数y=x2的图像，并观察图像的特征。
（1）列表：函数y=x2的自变量x的取值范围是________，根据函数y=x2的特征，选取自(2)描点：以表中的每个x值为点的横坐标、对应的y值为点的纵坐标，在右图的直角坐标系中描出相应的点。
（按x的值从小到大，从左到右描点）（3）连线：用平滑的曲线顺次连接所描出的点，即得二次函数y=x2的图像。
（能用直线连接吗？）2、思考：二次函数y=x2的图像有什么特征？(1)你能描述图象的形状吗?(2) 图象是轴对称图形吗?(3) 图象与x轴有交点吗? 如果有，交点坐标是什么?3、下图的直角坐标系中画出二次函数y=-x2的图像。
思考：（1）二次函数y=-x 2的图像有什么特征？（2）二次函数y=x 2与y=-x 2的图像有什么共同特征？（三）归纳提高：实际上，二次函数y=x 2与y=-x 2的图像都是________，都有一条对称轴是________，对称轴与抛物线的交点叫做________。
（四）巩固练习：1、二次函数y=x 2的图像开口________，对称轴是________，顶点是。
2、点A （2，-4）在函数y=-x 2的图像上，点A 在该图像上的对称点的坐标是________。
3、二次函数y=221x 与 y=-221x 的图像关于________对称。
4、若点A （1，a ）B （b ，9）在函数y=x 2的图像上，则a=________,b=________.5、观察函数y=x 2的图像，利用图像解答下列问题：（1）在y 轴左侧的图像上任取两点A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2),且使0>x 1>x 2,试比较y 1与y 2的大小；（2）在y 轴右侧的图像上任取两点C （x 3,y 3）、B(x 4,y 4),且使x 3>x 4>0,试比较y 3与y 4的大小.6、利用函数y=-x 2的图像回答下列问题：（1）当x=23时，y 的值是多少？ （2）当y=-8时，x 的值是多少？（3）当x<0时，随着x 值的增大，y 值如何变化？当x>0时，随着x 值的增大，y 值如何变化？（4）当x 取何值时，y 值最大？最大值是多少？7、已知点A （3，a ）在二次函数y=x 2的图像上。
次函数的图象和性质1江苏省兴化市板桥初级中学顾厚春
整理（2)y=2x2；（3)y=
1
2
x2.
跟踪练习：
(1)y=-x2；
（2)y=-2x2；（3)y=- 1 2
x2.
讨论：类比一次函数以及反比例函数的知识，你 能归纳出二次函数y=ax2的图像的一些性质吗？
整理课件
3
知识梳理
二次函数y=ax2的图象的性质：
1.二次函数y=ax2的图象是抛物线.
2.抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴.
3.当a﹥0时，抛物线y=ax2的开口向上.在对称 轴左侧，即当x<0时，函数y随x的增大而减小； 在对称轴右侧，即当x﹥0时，函数y随x的增大 而增大；当x=0时，y最小=0.
当a﹤0时，抛物线y=ax2的开口向下.在对称 轴左侧，即当x<0时，函数y随x的增大而增大； 在对称轴右侧，即当x﹥0时，函数y随x的增大 而减小；当x=0时，y最大=0.
初中数学九年级下册（苏科版）
6.2 二次函数的图象和性质（1）
兴化市板桥初级中学 顾厚春
温故知新
1.什么叫二次函数？ 形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数.
2.类比一次函数以及反比例函数的知识，你认为 我们学习二次函数还应该研究什么内容？
整理课件
2
典例研习
例1.用描点法画下列二次函数的图象，并观察
①当x取何值时，y>0? ②当x取何值时，在y2>y1时，总有x2>x1? ③当x取何值时，在y2>y1时，总有x2<x1?
整理课件
9
巩固练习
5.已知二次函数y=-x2. (1)当-2<x<3时,求y的取值范围; (2)当-4<y<-1时,求x的取值范围.
中考数学专题复习14《二次函数图像与性质》(2021年整理)
江苏省昆山市2017年中考数学专题复习14《二次函数图像与性质》编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省昆山市2017年中考数学专题复习14《二次函数图像与性质》）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2017年中考数学专题练习14《二次函数图像与性质》【知识归纳】1．一般地，形如 的函数叫做二次函数，当a ，b 时,是一次函数． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是 ，对称轴是直线x= ，顶点坐标是（ ， ）. 3．抛物线的开口方向由a 确定,当a ＞0时，开口 ;当a ＜0时，开口 ；a 的值越 ，开口越 ．4．抛物线与y 轴的交点坐标为 ．当c ＞0时，与y 轴的 半轴有交点；当c ＜0时，与y 轴的 半轴有交点；当c ＝0时,抛物线过 ． 5．若a ＞0，当x ＝2ba -时，y 有最小值，为 ； 若a ＜0，当x ＝2ba-时，y 有最大值，为 ．6．当a ＞0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ；当a ＜0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧．y 随x 的增大而 ． 7．当m ＞0时,二次函数y ＝ax 2的图象向 平移 个单位得到二次函数y ＝a （x ＋m ）2的图象；当k ＞0时,二次函数y ＝ax 2的图象向 平移 个单位得到二次函数y ＝ax 2＋k 的图象．平移的口诀：左“ ”右 “ ”；上“ ”下“ ”． 【基础检测】1．（2016•兰州)二次函数y=x 2﹣2x+4化为y=a （x ﹣h ）2+k 的形式，下列正确的是（ )A ．y=（x ﹣1)2+2 B ．y=（x ﹣1)2+3 C ．y=（x ﹣2）2+2 D ．y=(x ﹣2)2+4 2.当x 为实数时,代数式x 2﹣2x ﹣3的最小值是 ．3．（2016•永州)抛物线y=x 2+2x+m ﹣1与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是( ）A ．m ＜2B ．m ＞2C ．0＜m≤2 D．m ＜﹣24。
6.2二次函数的图象和性质(3)(江苏省兴化市板桥初级中学顾厚春)
x
x y=x2 y=x2+1
… … …
-2 4
-1 1
0 0
y
8
1 1
2 4
… …
5
2
1
2
5
y=x2+1
函数y=x2+1的图象与y=x2的 图象的位置有什么关系?
函数y=x2+1的图 象可由y=x2的图 象沿y轴向上平移 1个单位长度得到. 相同
-10 -5
6
4
2
你能说说这 个图象有哪 函数y=x +1的图 象与y=x 的图象 些性质吗？
2 2
函数y=x2-2的图象与y=x2的 图象的位置有什么关系?
的形状相同吗?
O
-2 5
x
10
y=x2-2
函数y=-x2+3的图 象可由y=-x2的图 象沿y轴向上平移 3个单位长度得到.
-10 -5
4
y
2
y=-x2+3
5
O
-2
x
10
函数y=-x2-2的图 象可由y=-x2的图 象沿y轴向下平移 2个单位长度得到.
2 2
y=x2
O
-2
的形状相同吗?
5
x
10
x y=x2 y=x2-2
….. …… ……
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
……
2
-1
y
8
-2
-1
2 ……
函数y=x2-2的图象 可由y=x2的图象 沿y轴向下平移2 个单位长度得到. 相同
-10 -5
6
4
2
你能说说这 2 y=x个图象有哪 函数y=x +1的图 些性质吗？ 象与y=x 的图象
苏科版数学九下《二次函数的图像和性质》word同步教案
数学教学设计教材：义务教育教科书·数学（九年级下册）作者：张玲（连云港市新海实验中学）5.2 二次函数的图像和性质（1）1．能用描点法画函数y＝x2图像．2．能画y＝－x2图像，并说出它与y＝x2图像的共同特征．1．能用描点法画函数y＝x2图像．2．能作出函数y＝－x2图像，并说出它与y＝x2图像的共同特征．用描点法画函数y＝x2图象，理解它与y＝－x2图像的共同特征．教学过程（教师）学生活动设计数图像步骤：列表、描点、连线．函数性质方法：数形结合．二次函数图像是怎样的？学生回顾画函数图像步骤，研究函数性质方法，并猜想二次函数图像形状．通过回顾为二次函数的学习打下基．次函数y＝x²表达式，你能描述它的图像有？学生根据函数y＝x²表达式描述它的图像有什么特征．通过列表线画y＝x2图经历作图、观思考这一过程是一个叫“抛像．动2．．直角坐标系中，用描点法画出二次函数．列表选取哪些点？为什么？．，在平面直角坐标系中，画出二次函数像．1．学生通过列表、描点、连线画y＝x2的图像．x ．．．-3 -2 -1 0 1 2 3 ．．．y＝x²．．．9 4 1 014 9．．．通过画图像以及总次让学生经图像的形成过．＝x ²的图像与函数y ＝－x ²的图像有什么共小组交流）：二次函数y ＝x ²、y ＝－x ²的图像都关于y 线，称为抛物线．抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．2．学生通过列表、描点、连线画y ＝－x 2的图像．3．学生交流函数y ＝x ²的图像与函数y ＝－x ²的图像有什么共同特征．x ．．． -3 -2 -1 0123．．． y ＝-x ² ．．．-9 -4 -1 0 -1 -4 -9．．．．直角坐标系中，分别画出下列函数的图像．x 21＝2； （2）y x 2＝2； x -21＝2； （4）y x -2＝2．学生在坐标系中画图．通过作生经历图像的再次体会二质．课中：我学到了什么？我还有什么疑问？学生总结回顾，回答老师提出的问题．通过课了解学生存在解学生对本情况．。
初三数学最新课件-二次函数的图象及性质[下学期]江苏教育版 精品
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y 2x2
练习
根据左边已画好的函数图象填空：
y 2 x2 3
（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是（0，0）, 对称轴是 y轴 ，在 对称轴的右 侧， y随着x的增大而增大；在对称轴的左 侧， y随着x的增大而减小，当x= 0 时， 函数y的值最小，最小值是 0 ,抛物 线y=2x2在x轴的 上 方（除顶点外）。
3
3
( 3,6)
y=-2x2
( 3,6)
二次函数y=ax2的性质
y x2 1、抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y 轴。
2、当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外），它的开口向 上，并且 向上无限伸展；
当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外），它的开口向 下，并且向下无限伸展。
3、当a>0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小； 在对称轴右侧，y随着x的增大而增大。当x=0时函数y的值最小。 当a<0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大； 在对称轴的右侧，y随着x增大而减小，当x=0时，函数y的值最大。
0.5 2 4.5
8
...
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ... y=2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ...
x
... -3 -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2
3 ...
yy=2x22x2
3
...
-6
8 3
-1.5
2 3
（2）抛物线
y
2 3
x2在x轴的
下
方（除顶点外），在对称轴的
左侧，y随着x的 增大而增大 ；在对称轴的右侧，y随着x的
6.2二次函数的图象和性质(4)(江苏省兴化市板桥初级中学顾厚春)
巩固练习
5.将函数y=3（x－4）2的图象）2的 图象沿y轴对折后得到的函数解析式是 ； 6.把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛 物线y=- 3（x-h）2的图象，则 a= ， h= .若抛物线y= a（x-4）2的顶点A，且 与y轴交于点B，抛物线y= - 3（x-h）2的顶点是M， 则SΔ MAB= .
函数开口方向对称轴顶点坐标y的最值最值增减性在对称轴轴左侧在对称轴右侧轴右侧温故知新yax2a0a0yax2ca0a0向上y轴00最小值是0最大值是0y随x的增大而减小y随x的增大而增大向下y轴00y随x的增大而增大y随x的增大而减小向上y轴0c最小值是cy随x的增大而减小y随x的增大而增大向下y轴0c最大值是cy随x的增大而增大y随x的增大而减小例1
最小值 y随x的增
大而减小 y随x的增 大而增大 y随x的增 大而减小 y随x的增 大而增大 y随x的增 大而减小
y轴 y轴 y轴 y轴
y=ax2
a＜0
a＞0
向下 向上 向下
最大值 y随x的增 是0
大而增大
最小值 y随x的增 是C
大而减小
y=ax2+c
a＜0
最大值 是C
y随x的增 大而增大
典例研习
巩固练习
7.将抛物线y=2x2－3先向上平移3单位，就得到函数 的图象，在向 平移 个单位得到函数y= 2（x-3）2的图象. 8.函数y=（3x+6）2的图象是由函数 的图象 向左平移5个单位得到的，其图象开口向 ，对称 轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时，y随x的 增大而增大，当x= 时，y有最 值是 .
初中数学九年级上册（苏科版）
6.2 二次函数的图象和性质(4)
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知识归纳
（5）a+b+c的符号： 由x=1时抛物线上的点的位置确定 （6）a-b+c的符号： 由x=-1时抛物线上的点的位置确定
知识归纳
例1.抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 △的符号. y
o
x
尝试练习
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
尝试练习
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
尝试练习
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
典例研习
例2.若抛物线 y (m 1) x 2mx m 3 位于x轴上方,求m的取值范围.
初中数学九年级下册（苏科版）
6.2 二次函数的图象和性质(7)
兴化市板桥初级中学 顾厚春
二次函数中的符号问题
(a、b、c、△)
兴化市板桥初级中学 顾厚春
温故知新
二次函数y=ax2+bx+c的图象有什么性质？
温故知新
由a,b,c,
△的符号确定抛物线在坐 标系中的大致位置
由抛物线在坐标系中的位置确定
2
巩固练习
1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点 b M（ ，a）在（ D ） c y A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
o x
巩固练习
2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①abc＞0；② a+b+c＜0 ③ a-b+c＞0 ； ④a+b-c＞0; ⑤ b=2a正确的个数是 （ ） C A、2个 B、3个
交点在x轴下方
经过坐标原点
c=0
知识归纳
（3）b的符号：由对称轴的位置确定： 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴 （4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定: 与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点 a、b同号 a、b异号 b=0 简记为：左同右异
b2-4ac>0
y y y y
o
x
o x
o x
o
x
A
B
C
D
巩固练习 5. 二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的 顶点M在第二象限，且经过A(1,0),B(0,1),请判断实数a的 范围,并说明理由.
y M 1 B A x O 1
巩固练习
6.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a<0） 的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值 是 -2 .
a,b,c, △等符号及有关a,b,c的代数 式的符号
温故知新
1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关？
2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是 3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是
.
.
知识归纳
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定 开口向上 开口向下 （2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定: 交点在x轴上方 c>0 c<0 a>0 a<0
y
C、4个
D、5个
；
-1 o
1
x
巩固练习
3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0； ④（a+c)2＜b2，其中正确的个数是 （ B ） A、4个 C、2个 B、3个 D、1个 y
o x=1
x
巩固练习
4.如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）
2.若关于x的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个 交点，则a可取的值为 ； 3.已知抛物线y=ax2+bx+c （a＜0)经过点（－1，0）， 且满足4a＋2b＋c＞0．以下结论：①a＋b＞0；②a＋c＞0；③ －a＋b＋c＞0；④b2-2ac>5a2．其中正确的个数有（ （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 ）
巩固练习 7. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点 （-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴． (以下有(1)、(2)两问，你只需选答一问，若两问都答,则只以 第(2)问计分) 第(1)问：给出四个结论： ①a>0；② b>0；③c>0；④ a+b+c=0．其中正确结论的序号 是 ①④ （答对得3分，少选、错选均不得分）． 第(2)问：给出四个结论： ① abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1．其中正确结论的序 号是 ② ③ ④（答对得5分，少选、错选均不得分）．
y
2
x -1 O 1
课堂小结
这节课你有哪些体会？
1.a,b,c等符号与二次函数y=ax2+bx+c有密切的 联系； 2.解决这类问题的关键是运用数形结合思想， 即会观察图象；如遇到2a+b,2a-b要与对称轴联 系等； 3.要注意灵活运用数学知识，具体问题具体分 析
课外思考
1.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和 一次函数y2=mx+n的图象，观察 图象写出y2 ≥y1时，x的取值范围 是________;