(完整版)高考真题：复数

高考真题：复数

一、单选题

1i （A ）1+i （B ）1?i （C ）?1+i （D ）?1?i

2．若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z=

（A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i --

3．设i 为虚数单位，则复数（1+i ）2=

（A ）0 （B ）2 （C ）2i （D ）2+2i

4．设i 为虚数单位，则6

(i)x +的展开式中含x 4的项为 （A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 4

5 （A ）i （B ）1+i （C ）i - （D ）1i -

6．若43i z =+，则

（A ）1 （B ）1- （C （D 7．若z=1+2i ，则41

i zz =- A ． 1 B ． ?1 C ． i D ． ?i

8．设复数z 满足3z i i +=-，则z =

A ． 12i -+

B ． 12i -

C ． 32i +

D ． 32i -

9．已知()()31z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是

A ． ()31-，

B ． ()13

-， C ． ()1,+∞ D ． ()3-∞-， 10．设(1+2i)(a +i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =（ ）

A ． ?3

B ． ?2

C ． 2

D ． 3

11．设(1i)1i x y +=+，其中x ，y

（A ）1 （B （C （D ）2

12．(2017高考新课标III，理3)设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=

A ． 12

B ． √22

C ． √2

D ． 2

13．若复数(1?i )(a +i )在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是

A ． (?∞,1)

B ． (?∞,?1)

C ． (1,+∞)

D ． (?1,+∞)

14．已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z =

A ． -2i

B ． 2i

C ． -2

D ． 2

15．若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是

A ． （–∞，1）

B ． （–∞，–1）

C ． （1，+∞）

D ． （–1，+∞）

16．已知R a ∈， i 是虚数单位，若z a =， 4z z ?=，则a =（

）

A ． 1或1-

B ． 或

C ．

D ． 17．

3+i 1+i =

( )

A ． 1+2i

B ． 1?2i

C ． 2+i

D ． 2?i

18．，2017新课标全国卷II 文科）(1+i )(2+i )=

A ． 1?i

B ． 1+3i

C ． 3+i

D ． 3+3i

19．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于

A ． 第一象限

B ． 第二象限

C ． 第三象限

D ． 第四象限

20．设有下面四个命题

p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ，

p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ，

p 3：若复数z 1,z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1=z 2，

p 4：若复数z ∈R ，则z?∈R .

其中的真命题为

A ． p 1,p 3

B ． p 1,p 4

C ． p 2,p 3

D ． p 2,p 4

21．下列各式的运算结果为纯虚数的是

A ． i(1+i)2

B ． i 2(1?i)

C ． (1+i)2

D ． i(1+i)

二、填空题

22，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于______________________.

23．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若（1+i ）（1-bi ）=a _______. 24．设a ∈R ，若复数(1i)(i)a ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________.

25．已知a R ∈，

i 为虚数单位，若2a i

i -+为实数，则a 的值为__________．

参考答案

1．B

【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版）

【解析】

B. 2．B

【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版）

【解析】

试题分析：设i z a b =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故2,1-==b a ，则12i z =-，选

B.

3．C

【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷精编版）

试题分析：22(1i)12i i 2i +=++=，故选C.

【答案】A

【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷精编版）

【解析】 试题分析：二项式6

(i)x +的展开式的通项为616C i r r r r T x -+=，令64r -=，则2r =，故展开式中含4x 的项为24246C i 15x x =-，故选A.

5．A

【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版）

【解析】

A. 【考点】复数运算

【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.

6．D

【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版）

【解析】

D ． 【考点】复数的运算、共轭复数、复数的模 【名师点睛】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成?1．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．

7．C

【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版）

【解析】试题分析： ()()44112121

i i i zz i i ==-+--，故选C ． 【考点】复数的运算、共轭复数．

【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成?1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解． 视频 8．C

【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版）

【解析】试题分析：由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C.

【考点】 复数的运算，共轭复数

【名师点睛】复数(),a bi a b R +∈的共轭复数是(),a bi a b R -∈，据此先化简再计算即可.

视频

9．A

【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版）

【解析】试题分析：

要使复数z 对应的点在第四象限,应满足30{

10m m +>-<，解得31m -<<，故选A.

【考点】 复数的几何意义 【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可． 复数z ＝a ＋bi 复平面内的点Z （a ，b ）（a ，b∈R ）．

复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）

平面向量OZ uuu r . 视频 10．A 【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版）

【解析】

试题分析：(1+2i)(a +i)=a ?2+(1+2a)i ，由已知，得

，解得，选A.

【考点】复数的概念及复数的乘法运算

【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是i 2=?1中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.

11．B

【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版）

【解析】

试题分析：因为(1i)=1+i,x y +所以故选B.

【考点】复数运算

【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复

数题时要注意运算的准确性.

12．C

【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版）

【解析】由题意可得z =2i 1+i ，由复数求模的法则可得|z 1z 2|=|z 1

||z 1|，则|z |=|2i ||1+i |=√2=√2.

故选C.

【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：

(1)z 1±z 2=z 1±z 2，(2)z 1×z 2=z 1×z 2；(3)z ?z?=|z |2=|z?|2，(4)||z 1|?|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|，

(5)|z 1z 2|=|z 1|×|z 2|，(6)|z 1z 2|=|z 1

||z 1|. 13．B

【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版）

【解析】试题分析：设z =(1?i )(a +i )=(a +1)+(1?a )i ，因为复数对应的点在第二象

限，所以{a +1<01?a >0

，解得：a

【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版）

【解析】由i 1i z =+得()()22

i 1i z =+,即22i z -=,所以22i z =-,故选A. 【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2∈±2i∈(2)

∈i,∈∈i.

15．B 【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版）

【解析】试题分析：设()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为复数对应的点在第二象限，所以10

{ 10a a +<->，解得： 1a <-，故选B.

【考点】复数的运算

【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝

a ＋

b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 平面向量OZ uuu v .

16．A

【来源】【全国百强校】河北省曲周县第一中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试题

【解析】由,4z a z z =?=得234a +=，所以1a =±，故选A.

【名师点睛】复数(),a bi a b R +∈的共轭复数是(),a bi a b R -∈，据此结合已知条件，求得a 的方程即可.

17．D

【来源】江西省赣州厚德外国语学校2018届高三上学期第一次阶段测试数学（理）试题

【解析】

3+i 1+i =(3+i)(1?i)(1+i)(1?i)=3?3i+i+11+1=4?2i 2=2?i

故选D

18．B

【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版）

【解析】由题意(1+i )(2+i )=2+3i +i 2=1+3i ，故选B. 点睛:首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a +b i )(c +d i )=(ac ?bd)+ (ad +bc)i (a,b,c,d ∈R). 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数a +b i (a,b ∈R)的实部为a 、虚部为b 、模为√a 2+b 2、对应点为(a,b)、共轭复数为a ?b i .

19．C

【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版）

【解析】()i 2i 12i z =-+=--，则表示复数()i 2i z =-+的点位于第三象限. 所以选C.

【名师点睛】对于复数的四则运算，首先要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()()i i i ,,,a b c d ac bd ad bc a b c d R ++=-++∈.其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数()i ,a b a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应的点为(),a b 、共轭复数为i.a b -

20．B

【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版）

【解析】令z =a +b i (a,b ∈R)，则由1z =1a+b i =a?b i

a 2+

b 2∈R 得b =0，所以z ∈R ，故p 1正

确；

当z =i 时，因为z 2=i 2=?1∈R ，而z =i ?R 知，故p 2不正确；

当z 1=z 2=i 时，满足z 1?z 2=?1∈R ，但z 1≠z 2，故p 3不正确；

对于p 4，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故p 4正确，故选B. 点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成z =a +b i (a,b ∈R)的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.

21．C

【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版）

【解析】2i 1+i)i 2i=-2,=?（ ()2i 1i 1i -=-+ , 2

(1i)2i += , ()i 1i 1i +=-+ ,所以选C.

22．-3

【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（上海卷精编版）

【解析】

z 的虚部等于?3. 【考点】复数的运算、复数的概念

【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目来看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.

23．2

【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版）

【解析】

试题分析：由(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=，可得110b a b +=??

-=?，所以21a b =??=?故答案为2．

【考点】复数相等

【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如

i i i()(a+b )(c+d )=(ac bd)+(ad +bc)a,b,c,d -∈R ，

其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数i(,)a+b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b 、模为、共轭复数为i a b -.

24．1-

【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版）

【解析】 试题分析：由题意得(1i)(i)1(1)i 1a a a a ++=-++∈?=-R .

【考点】复数运算

【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.

25．-2

【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版） 【解析】()()()()()()2212212222555

a i i a a i a i a a i i i i ----+--+===-++-为实数， 则20,25

a a +==-. 【考点】 复数的分类

【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 复数(),z a bi a b R =+∈，

当0b ≠时， z 为虚数，

当0b =时， z 为实数，

当0,0a b =≠时， z 为纯虚数.