高考集合复数真题
复数最新高考试题精选(一)
复数最新高考试题精选(一)一．选择题（共32小题）1．下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）2．=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i3．（1+i）（2+i）=（）A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i4．复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A．B．C．D．26．若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）7．已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=（）A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．28．已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z•=4，则a=（）A．1或﹣1 B．或﹣C．﹣D．9．已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）10．设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．311．若复数z=，其中i为虚数单位，则=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i12．若z=4+3i，则=（）A．1 B．﹣1 C．+i D．﹣i13．若z=1+2i，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i14．复数=（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i15．设i为虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．0 B．2 C．2i D．2+2i16．若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i17．设复数z满足z+i=3﹣i，则=（）A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i18．设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．219．若集合A={i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（）A．{﹣1}B．{1}C．{1，﹣1}D．∅20．i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣121．i为虚数单位，i607=（）A．﹣i B．i C．1 D．﹣122．若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．223．若为a实数，且=3+i，则a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．424．若（1+i）+（2﹣3i）=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（）A．3，﹣2 B．3，2 C．3，﹣3 D．﹣1，425．设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限26．设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣27．已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z=（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i28．已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i29．设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i30．已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣231．设i是虚数单位，则复数i3﹣=（）A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i32．设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B．C．D．2二．选择题（共6小题）33．已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为．34．已知复数z满足z+=0，则|z|=．35．已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．36．已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a2+b2=，ab=．37．i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为．38．设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=．复数最新高考试题精选(一)参考答案与试题解析一．选择题（共32小题）1．下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）【解答】解：A．i（1+i）2=i•2i=﹣2，是实数．B．i2（1﹣i）=﹣1+i，不是纯虚数．C．（1+i）2=2i为纯虚数．D．i（1+i）=i﹣1不是纯虚数．故选：C．2．=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【解答】解：===2﹣i，故选D．3．（1+i）（2+i）=（）A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i【解答】解：原式=2﹣1+3i=1+3i．故选：B．4．复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：z=i（﹣2+i）=﹣2i﹣1对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．故选：C．5．设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A．B．C．D．2【解答】解：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），z=i+1．则|z|=．故选：C．6．若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得a＜﹣1．则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：B．7．已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=（）A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．2【解答】解：∵复数z满足zi=1+i，∴z==1﹣i，∴z2=﹣2i，故选：A．8．已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z•=4，则a=（）A．1或﹣1 B．或﹣C．﹣D．【解答】解：由z=a+i，则z的共轭复数=a﹣i，由z•=（a+i）（a﹣i）=a2+3=4，则a2=1，解得：a=±1，∴a的值为1或﹣1，故选A．9．已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）【解答】解：z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，可得：，解得﹣3＜m＜1．故选：A．10．设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【解答】解：（1+2i）（a+i）=a﹣2+（2a+1）i的实部与虚部相等，可得：a﹣2=2a+1，解得a=﹣3．故选：A．11．若复数z=，其中i为虚数单位，则=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：∵z===1+i，∴=1﹣i，故选：B12．若z=4+3i，则=（）A．1 B．﹣1 C．+i D．﹣i【解答】解：z=4+3i，则===﹣i．故选：D．13．若z=1+2i，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【解答】解：z=1+2i，则===i．故选：C．14．复数=（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i【解答】解：===i，故选：A15．设i为虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．0 B．2 C．2i D．2+2i【解答】解：（1+i）2=1+i2+2i=1﹣1+2i=2i，故选：C．16．若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【解答】解：复数z满足2z+=3﹣2i，设z=a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．解得a=1，b=﹣2．z=1﹣2i．故选：B．17．设复数z满足z+i=3﹣i，则=（）A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i【解答】解：∵复数z满足z+i=3﹣i，∴z=3﹣2i，∴=3+2i，故选：C18．设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．2【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故选：B．19．若集合A={i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（）A．{﹣1}B．{1}C．{1，﹣1}D．∅【解答】解：∵A={i，i2，i3，i4}={i，﹣1，﹣i，1}，B={1，﹣1}，∴A∩B={i，﹣1，﹣i，1}∩{1，﹣1}={1，﹣1}．故选：C．20．i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【解答】解：i607=i604+3=i3=﹣i，它的共轭复数为：i．故选：A．21．i为虚数单位，i607=（）A．﹣i B．i C．1 D．﹣1【解答】解：i607=i606•i=（i2）303•i=（﹣1）303•i=﹣i．故选：A．22．若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．23．若为a实数，且=3+i，则a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4【解答】解：由，得2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，则a=4，故选：D．24．若（1+i）+（2﹣3i）=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（）A．3，﹣2 B．3，2 C．3，﹣3 D．﹣1，4【解答】解：由（1+i）+（2﹣3i）=3﹣2i=a+bi，得a=3，b=﹣2．故选：A．25．设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：=i（1+i）=﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．26．设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣【解答】解：复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，它的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径的圆以及内部部分．y≥x的图形是图形中阴影部分，如图：复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率：=．故选：C．27．已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z=（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i【解答】解：由（z﹣1）i=1+i，得z﹣1=，∴z=2﹣i．故选：C．28．已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i，故选：D．29．设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i【解答】解：复数（1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i．故选：C．30．已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2【解答】解：（1+i）2=12+2i+i2=1+2i﹣1=2i；故选：A．31．设i是虚数单位，则复数i3﹣=（）A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i【解答】解：∵i是虚数单位，则复数i3﹣，∴===i，故选；C32．设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B．C．D．2【解答】解：∵复数z满足=i，∴1+z=i﹣zi，∴z（1+i）=i﹣1，∴z==i，∴|z|=1，故选：A．二．选择题（共6小题）33．已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为﹣2．【解答】解：a∈R，i为虚数单位，===﹣i由为实数，可得﹣=0，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．34．已知复数z满足z+=0，则|z|=．【解答】解：由z+=0，得z2=﹣3，设z=a+bi（a，b∈R），由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，即，解得：．∴．则|z|=．故答案为：．35．已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|==．故答案为：．36．已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a2+b2=5，ab=2．【解答】解：a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），∴3+4i=a2﹣b2+2abi，∴3=a2﹣b2，2ab=4，解得ab=2，，．则a2+b2=5，故答案为：5，2．37．i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为1．【解答】解：由（1+i）z=2，得，∴z的实部为1．故答案为：1．38．设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=﹣1．【解答】解：（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a+1=0，解得：a=﹣1，故答案为：﹣1。
高考常考小题一：集合、复数与简易逻辑(教师答案版)
□高考常考小题一：集合、复数与简易逻辑※常考题型讲练题型一集合的基本关系与运算【例2】1．已知集合A＝{1，3,m}，B＝{1,m}，A∪B＝A，则m＝()A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．1或3答案 B2．设集合A＝{x|21－x>1，x∈R}，B＝{x|y＝1－x2}，则(∁R A)∩B 等于()A．{x|－1≤x≤1} B．{x|－1<x<1}C．{－1,1} D．{1}答案 C3．已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是()A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(1，＋∞)答案 B变式训练1：1．设全集I＝R，A＝{y|y＝log2x，x＞2}，B＝{x|y＝x－1}，则()A．A⊆B B．A∪B＝AC．A∩B＝∅D．A∩(∁I B)≠∅答案 A2．已知全集A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{y|y⊆A}，则集合B 中元素的个数为()A．2 B．3C．4 D．5答案 C3．设集合U＝R，A＝{x|2x(x－2)<1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}C．{x|0<x≤1} D．{x|x≤1}答案：B 题型二复数的概念及运算【例2】1．已知复数a＋3i1－2i是纯虚数，则实数a＝()A．－2 B．4C．－6 D．6答案：D解析：a＋3i1－2i＝a－6＋(2a＋3)i5，∴a＝6时，复数a＋3i1－2i为纯虚数．2．已知i为虚数单位，复数z＝2＋i1－2i，则|z|＋1z＝()A．i B．1－iC．1＋i D．－i答案 B解析：由已知得z＝2＋i1－2i＝－2i2＋i1－2i＝i(1－2i)1－2i＝i，|z|＋1z＝|i|＋1i＝1－i．3．已知i为虚数单位，复数z满足z i＝(3－i1＋i)2，则复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 C解析：z i＝(3－i1＋i)2＝(3－i)2(1＋i)2＝8－6i2i，∴z＝8－6i2i2＝8－6i－2＝－4＋3i，∴z＝－4－3i，故选C．4．已知i为虚数单位，若z＋z＝2，(z－z)i＝2，则z＝() A．1＋i B．－1－iC．－1＋i D．1－i答案：D解析：设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z＝a－b i，又z＋z＝2，即(a＋b i)＋(a－b i)＝2，所以2a＝2，解得a＝1．又(z－z)i＝2，即[(a＋b i)－(a－b i)]·i＝2，则b i2＝1，解得b＝－1．则z＝1－i．变式训练2：1．复数z＝i2＋i3＋i41－i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案： D解析：i2＋i3＋i41－i＝(－1)＋(－i)＋11－i＝－i1－i＝－i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝1－i2＝12－12i．2．已知i 为虚数单位，若(2＋i)z ＝3－i ，则z ·z 的值为( ) A ．1 B ．2 C ． 2 D ．4 答案 B解析： 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入(2＋i)z ＝3－i ，得(2a －b )＋(2b ＋a )i ＝3－i ，从而可得a ＝1，b ＝－1，那么z ·z ＝(1－i)(1＋i)＝2．3．若复数z 满足z －|z |＝－1＋3i ，则z －＝________． 答案 4－3i解析：由条件可设z ＝a ＋3i ，则|z |＝a 2＋9，∴a －a 2＋9＝－1，∴a ＝4，∴z ＝4＋3i ，∴z －＝4－3i ．题型三 命题与充分必要条件判断【例3】1．下列选项中，说法正确的是( )A ．命题“∃x ∈R ，x 2－x ≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 2－x >0”B ．命题“p ∨q 为真”是命题“p ∧q 为真”的充分不必要条件C ．命题“若am 2≤bm 2，则a ≤b ”是假命题D ．命题“在△ABC 中，若sin A <12，则A <π6”的逆否命题为真答案：C2．已知a ，b 为非零向量，则“函数f (x )＝(a x ＋b )2为偶函数”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：C3．已知命题p ： ∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ，则¬p 是( )A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 答案：D4．已知p ：(a －1)2≤1，q ：∀x ∈R ，ax 2－ax ＋1≥0，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由(a －1)2≤1解得0≤a ≤2，∴p ：0≤a ≤2． 当a ＝0时，ax 2－ax ＋1≥0对∀x ∈R 恒成立；当a ≠0时，由⎩⎨⎧a >0Δ＝a 2－4a ≤0得0<a ≤4，∴q ：0≤a ≤4．∴p 是q 成立的充分不必要条件．变式训练3：1．已知命题p ：∃x ∈R ，x －2>lg x ，命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，则( )A ．p ∨q 是假命题B ．p ∧q 是真命题C ．p ∧(¬q )是真命题D ．p ∨(¬q )是假命题 答案 C2．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α．“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B3．设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B4．设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则¬p 为( )A ．∀n ∈N ，n 2>2nB ．∃n ∈N ，n 2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n 答案 C5．已知条件p ：x 2＋2x －3>0；条件q ：x >a ，且¬q 的一个充分不必要条件是¬p ，则a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1] C ．[－1，＋∞) D ．(－∞，－3]题型四 简易逻辑综合应用问题【例4】1．已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．[e ，4] B ．[1，4] C ．(4，＋∞) D ．(－∞，1]解析 若命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”为真命题，则a ≥e ；若命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”为真命题，则Δ＝16－4a ≥0，即a ≤4，所以若 “p ∧q ”是真命题，则实数a 的范围是[e ，4]． 答案 A2．对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名； 乙：中国非第一名，而是第三名； 丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名． 答案 一解析 由上可知：甲、乙、丙均为“p 且q ”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名3．若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________．答案：(0，12]解析：由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1,3]，函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤12．又a>0，故a的取值范围是(0，1 2]．变式训练4：1．已知命题“∃x∈R，x2＋2ax＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,1)答案：C解析：“∃x∈R，x2＋2ax＋1<0”是真命题，即不等式x2＋2ax＋1<0有解，∴Δ＝(2a)2－4>0，得a2>1，即a>1或a<－1．2．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．答案A解析由题意：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A．3．已知命题p：∃x0∈R，e0x－mx0＝0，q：∀x∈R，x2＋mx ＋1≥0，若p∨(¬q)为假命题，则实数m的取值范围是() A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．[0,2]C．R D．∅答案：B解析：若p∨(¬q)为假命题，则p假q真．命题p为假命题时，有0≤m<e；命题q为真命题时，有Δ＝m2－4≤0，即－2≤m≤2．所以当p∨(¬q)为假命题时，m的取值范围是0≤m≤2．※重点题型精练(时限：35分钟)1．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝() A．(－1，1) B．(0，1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)答案 C2．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是() A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1解析：该命题的否定是将存在量词改为全称量词，等号改为不等号即可，故选A．答案：A3．已知复数z＝i(－2－i)2(i为虚数单位)，z在复平面内所对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A解析：因为z＝i(－2－i)2＝i4＋4i－1＝i3＋4i＝i(3－4i)25＝425＋325i，所以z在复平面内所对应的点()425，325在第一象限，故选A．4．命题“1＋3x－1≥0”是命题“(x＋2)(x－1)≥0”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A5．有下列四个命题：p1：若a·b＝0，则一定有a⊥b；p2：∃x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y；p3：∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，f(x)＝a1－2x＋1恒过定点()12，2；p4：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F≥0．其中假命题的是()A．p1，p4B．p2，p3C．p1，p3D．p2，p4答案 A解析：选A对于p1：∵a·b＝0⇔a＝0或b＝0或a⊥b，当a＝0，则a方向任意，a，b不一定垂直，故p1假，否定B、D，又p3显然为真，否定C．6．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x0∈R，lg x0<1 D．∃x0∈R，tan()x0＋π4＝5答案 B7．若复数z 满足(2－i)z ＝|1＋2i|，则z 的虚部为( )A ．55B ．55iC ．1D ．i [答案] A[解析] ∵(2－i)z ＝|1＋2i|＝5，∴z ＝52－i ＝52＋i 5＝255＋55i ，∴复数z 的虚部为55．8．已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，z －z ＝－35＋45i ，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．±2D ．－12[答案] B[解析] 由题意可知：1－a i 1＋a i ＝1－a i 21＋a i 1－a i ＝1－2a i －a 21＋a 2＝1－a 21＋a 2－2a 1＋a 2i ＝－35＋45i ，因此1－a 21＋a 2＝－35，化简得5a 2－5＝3a 2＋3，a 2＝4，则a ＝±2，由－2a 1＋a 2＝45可知a <0，仅有a ＝－2满足，故选B ．9．设a ，b 是非零向量，“a·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] 若a·b ＝|a ||b |，则a 与b 的方向相同，所以a ∥b ．若a ∥b ，则a·b ＝|a ||b |，或a·b ＝－|a ||b |，所以“a·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件，选A ．10．在△ABC 中，设p ：a sin B ＝b sin C ＝csin A；q ：△ABC 是正三角形，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：C解析：若p 成立，即a sin B ＝b sin C ＝csin A ，由正弦定理，可得a b ＝b c ＝ca＝k ．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝kb ，b ＝kc ，c ＝ka ，∴a ＝b ＝c ．则q ：△ABC 是正三角形，成立．反之，若a ＝b ＝c ，则∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，则a sin B ＝b sin C ＝c sin A． 因此p ⇒q 且q ⇒p ，即p 是q 的充要条件．故选C ．11．设i 是虚数单位，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i [答案] A[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ·z i ＋2＝2z 得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ， 所以2a ＝2，a 2＋b 2＝2b ，所以a ＝1，b ＝1，即z ＝a ＋b i ＝1＋i ．12．函数f (x )＝⎩⎨⎧log2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．0<a <12C ．12<a <1 D ．a ≤0或a >1答案 A解析 因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合，可得a ≤0或a >1．观察选项，根据集合间关系得{a |a <0}{a |a ≤0或a >1}，故答案选A ．13．已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－1，3)解析 原命题的否定为“∀x ∈R ，2x 2＋(a －1)x ＋12＞0”，且为真命题，则Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，解得－1＜a ＜3．14．设复数z 满足|z |＝5且(3＋4i)z 是纯虚数，则z ＝________． 答案：±(4－3i)解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则有a 2＋b 2＝5． 于是(3＋4i)z ＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i ．由题设得⎩⎨⎧3a －4b ＝04a ＋3b ≠0得b ＝34a 代入得a 2＋()34a 2＝25，a ＝±4，∴⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝－3. ∴z ＝4－3i 或z ＝－4＋3i ．。
复数(2012-2021)高考数学真题
复数【2021年】1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设i 43i z =+，则z =（ ） A ．–34i -B ．34i -+C ．34i -D ．34i +2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ） A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+D ．32i --4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i - B ．42i - C ．62i + D ．42i +【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若312i i z =++，则||=z （ ） A ．0 B ．1 CD ．22．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ） A ．0B ．1CD ．23．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））（1–i ）4=（ ） A ．–4 B ．4 C ．–4iD ．4i .4．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））若()11+=-z i i ，则z =（ ） A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i5．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））复数113i -的虚部是（ ） A ．310-B ．110-C ．110D ．3106．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设3i12iz -=+，则z =A ．2BC D ．17．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=8．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．–1+2i C ．1–2iD ．–1–2i9．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限10．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））若(1i)2i z +=，则z = A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i11．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．B ．12C ．1 D12．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ））()i 23i +=A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+13．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））12i12i +=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+14．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）(1)(2)i i +-= A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +15．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．i(1+i)2D ．i(1+i)16．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1R z∈，则z R ∈；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； 3p ：若复数12,z z 满足12z z R ∈，则12z z =； 4p ：若复数z R ∈，则z R ∈.其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p pD ．24,p p17．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））(1i)(2i)++= A ．1i - B ．13i + C ．3i +D ．33i +18．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）31ii++＝（ ）A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i19．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限20．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=A ．12B CD ．221．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））设()()12i a i ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =A ．−3B ．−2C ．2D ．322．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设，其中x ，y 是实数，则i =x y +A ．1BC D ．223．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设复数z 满足3z i i +=-，则z = A ．12i -+B ．12i -C ．32i +D ．32i -24．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知(3)(1)z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 A ．(31)-， B ．(13)-， C ．(1,)+∞ D ．(3)-∞-，25．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）若43z i =+，则z z =A ．1B ．1-C ．4355i +D ．4355i -26．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国3卷））若12z i =+，则41izz =- A ．1 B ．-1 C ．i D ．-i27．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +28．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=A ．1BCD ．229．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））若a 为实数,且2i3i 1ia +=++,则a = A ．4- B ．3- C ．3 D ．430．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ））若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a = A ．1-B ．0C ．1D ．231．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））设，则A ．B ．C ．D ．2.32．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））A ．B ．C ．D ．33．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）计算131ii+=- A ．12i +B ．12i -+C ．12i -D ．12i --34．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷））设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =A ．- 5B ．5C ．- 4+ iD ．- 4 - i35．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））212(1)i i +=- A ．112i -- B ．112i -+ C ．112i + D ．112i - 36．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知复数z 满足(3443i z i -=+），则z 的虚部为 A ．-4 B ．45- C ．4D ．4537．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））21i +=A ．B ．2CD ．138．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））设复数z 满足()12i z i -=，则z= （ ） A ．-1+iB ．-1-iC ．1+iD ．1-i39．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））复数32iz i-+=+的共轭复数是 A ．2i +B ．2i -C ．1i -+D ．1i --40．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p。
高中数学《复数》高考真题汇总(详解)——精品文档
高中数学《复数》高考真题汇总（详解）1.对任意复数()i ,R z x y x y =+∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A.2z z y -= B.222z x y =+ C.2z z x -≥ D.z x y ≤+2.复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ）A.34i --B.34i -+C.34i -D.34i +3.复数z =1ii+在复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.设a,b 为实数，若复数11+2ii a bi=++，则（ ） A.31,22a b == B.3,1a b == C.13,22a b == D.1,3a b ==5.已知（x+i ）（1-i ）=y ，则实数x ，y 分别为（ ） A.x=-1，y=1 B. x=-1，y=2 C. x=1，y=1 D. x=1，y=26.已知21i =-，则i(1)=（ ）i i C.i D.i 7.设i 为虚数单位，则51ii-=+（ ） A.-2-3i B.-2+3i C.2-3iD.2+3i8．已知()2,a ib i a b R i+=+∈，其中i 为虚数单位，则a b +=（ ） A. 1- B. 1 C. 2 D. 3 9.在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（ ）A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i10. i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝（ ）A.－1B.1C.i -D.i11. i 是虚数单位，复数31ii+-=（ ） A.1+2i B.2+4i C.-1-2i D.2-i 12．i 是虚数单位，复数1312ii-+=+（ ）A.1＋iB.5＋5iC.-5-5iD.-1－i 13.若复数z 1=1+i ，z 2=3-i ，则z 1·z 2=（ ）A ．4+2i B. 2+i C. 2+2i D.3 14. i 是虚数单位,41i ()1-i+等于 ( ) A ．i B ．-i C ．1D ．-115.复数3223ii+=-（ ） A.i B.i - C.12-13i D. 12+13i16.已知2(,)a i b i a b i +=+2a ib i i+=+（a,b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a+b=（ ） A.-1 B.1 C.2 D.3 17. i 33i=+ （ ） A.13412- B.13412+ C.1326i + D.1326- 18.若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数Z ，则表示复数1z i+的点是（ ）A.EB.FC.GD.H19.某程序框图如左图所示，若输出的S=57，则判断框内位（ ） A. k ＞4? B.k ＞5? C. k ＞6? D.k ＞7? 20.如果执行下图（左）的程序框图，输入6,4n m ==，那么输出的p 等于（ ）A.720B.360C.240D.12021.如果执行上图（右）的程序框图，输入正整数n ，m ，满足n ≥m ，那么输出的P 等于（ ） A.1m nC - B.1m nA - C.m n C D.mn A22.某程序框图如下图（左）所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ） A.k >4? B.k >5? C. k >6? D. k >7?23.【2010·天津文数】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.3标准答案1.【答案】D【解析】可对选项逐个检查，A 项，y z z 2≥-，故A 错；B 项，xyi y x z 2222+-=，故B 错；C 项，y z z 2≥-，故C 错；D 项正确.本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义，属中档题. 2.【答案】A【解析】本试题主要考查复数的运算.231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦. 3.【答案】A【解析】本题考查复数的运算及几何意义.1i i +i i i 21212)1(+=-=，所以点（)21,21位于第一象限 4.【答案】A【解析】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力. 由121ii a bi +=++可得12()()i a b a b i +=-++，所以12a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得32a =，12b =，故选A.5.【答案】D【解析】考查复数的乘法运算.可采用展开计算的方法，得2()(1)x i x i y -+-=，没有虚部，x=1,y=2. 6.【答案】B【解析】直接乘开，用21i =-代换即可.(1)i i =，选B. 7.【答案】C【解析】本题主要考察了复数代数形式的四则运算，属容易题. 8.【答案】B 9.【答案】C 10. 【答案】A【解析】由复数性质知：i 2＝－1，故i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)＋(－i )＝－1. 11.【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题.进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i 2改为-1.331+24121-(1-)(1+)2i i i ii i i i +++===+（）() 12.【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。
历年高考数学真题(全国卷整理版)
参考公式：如果事件A 、B 互斥，则球的外表积公式如果事件A 、B 相互独立，则其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、 复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为*=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 4 正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A 2B 3C 2D 1〔5〕等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100〔6〕△ABC 中，AB 边的高为CD ，假设a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A)〔B 〕 (C) (D)〔7〕α为第二象限角，sin α＋sin β=33，则cos2α=(A)5-3〔B 〕5-9 (C)59 (D)53〔8〕F1、F2为双曲线C：*²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=(A)14〔B〕35 (C)34 (D)45〔9〕*=lnπ，y=log52，12z=e，则(A)*＜y＜z 〔B〕z＜*＜y (C)z＜y＜* (D)y＜z＜*(10) 函数y＝*²-3*+c的图像与*恰有两个公共点，则c＝〔A〕-2或2 〔B〕-9或3 〔C〕-1或1 〔D〕-3或1〔11〕将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不一样，梅列的字母也互不一样，则不同的排列方法共有〔A〕12种〔B〕18种〔C〕24种〔D〕36种〔12〕正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。
高考数学《复数》真题练习含答案
高考数学《复数》真题练习含答案一、选择题1．[2024·新课标Ⅰ卷]若z z －1＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i答案：C解析：由z z －1 ＝1＋i ，可得z －1＋1z －1 ＝1＋i ，即1＋1z －1 ＝1＋i ，所以1z －1＝i ，所以z －1＝1i＝－i ，所以z ＝1－i ，故选C. 2．[2024·新课标Ⅱ卷]已知z ＝－1－i ，则|z |＝( )A ．0B ．1C ．2D ．2答案：C解析：由z ＝－1－i ，得|z |＝（－1）2＋（－1）2 ＝2 .故选C.3．[2023·新课标Ⅱ卷]在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3－i ＋9i －3i 2＝6＋8i ，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A.4．[2023·新课标Ⅰ卷]已知z ＝1－i 2＋2i，则z －z － ＝( ) A ．－i B ．iC ．0D ．1答案：A解析：因为z ＝1－i 2＋2i ＝（1－i ）22（1＋i ）（1－i ） ＝－12 i ，所以z － ＝12 i ，所以z －z － ＝－12 i －12i ＝－i.故选A. 5．|2＋i 2＋2i 3|＝( )A ．1B ．2C ．5D ．5答案：C解析：|2＋i 2＋2i 3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝5 .故选C.6．设z ＝2＋i 1＋i 2＋i5 ，则z － ＝( ) A ．1－2i B ．1＋2iC ．2－iD ．2＋i答案：B解析：z ＝2＋i 1＋i 2＋i 5 ＝2＋i 1－1＋i ＝－i ()2＋i －i 2 ＝1－2i ，所以z － ＝1＋2i.故选B.7．[2022·全国甲卷(理)，1]若z ＝－1＋3 i ，则z z z －－1＝( ) A ．－1＋3 i B ．－1－3 iC ．－13 ＋33 iD ．－13 －33i 答案：C解析：因为z ＝－1＋3 i ，所以z z z －－1＝－1＋3i （－1＋3i ）（－1－3i ）－1 ＝－1＋3i 1＋3－1 ＝－13 ＋33i.故选C. 8．[2023·全国甲卷(文)]5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ）＝( ) A ．－1 B ．1C ．1－iD ．1＋i答案：C解析：由题意知，5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ） ＝5（1－i ）22－i2 ＝5（1－i ）5 ＝1－i ，故选C. 9．(多选)[2024·山东菏泽期中]已知复数z ＝cos θ＋isin θ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位)，下列说法正确的是( )A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．|z |＝cos θC ．z ·z － ＝1D ．z ＋1z为实数 答案：CD解析：复数z ＝cos θ＋isin θ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位)， 复数z 在复平面上对应的点(cos θ，sin θ)不可能落在第二象限，所以A 不正确； |z |＝cos 2θ＋sin 2θ ＝1，所以B 不正确；z ·z － ＝(cos θ＋isin θ)(cos θ－isin θ)＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以C 正确；z ＋1z ＝cos θ＋isin θ＋1cos θ＋isin θ＝cos θ＋isin θ＋cos θ－isin θ＝2cos θ为实数，所以D 正确.二、填空题10．若a ＋b i i(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝________． 答案：－7解析：a ＋b i i ＝i （a ＋b i ）i 2 ＝b －a i ，(2－i)2＝3－4i ，因为这两个复数互为共轭复数，所以b ＝3，a ＝－4，所以a －b ＝－4－3＝－7.11．i 是虚数单位，复数6＋7i 1＋2i＝________． 答案：4－i解析：6＋7i 1＋2i ＝（6＋7i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝6－12i ＋7i ＋145 ＝20－5i 5＝4－i. 12．设复数z 1，z 2 满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3 ＋i ，则|z 1－z 2|＝________． 答案：23解析：设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝4，又z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ＝3 ＋i ，∴a ＋c ＝3 ，b ＋d ＝1，则(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝4，∴8＋2ac ＋2bd ＝4，即2ac ＋2bd ＝－4，∴|z 1－z 2|＝（a －c ）2＋（b －d ）2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2－（2ac ＋2bd ） ＝8－（－4） ＝23 .[能力提升] 13．(多选)[2024·九省联考]已知复数z ，w 均不为0，则( )A ．z 2＝|z |2B ．z z － ＝z 2|z |2C ．z －w ＝z － －w －D ．⎪⎪⎪⎪z w ＝||z ||w 答案：BCD解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，w ＝c ＋d i(c ，d ∈R )；对A ：z 2＝(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2＝a 2－b 2＋2ab i ，|z |2＝(a 2＋b 2 )2＝a 2＋b 2，故A 错误；对B: z z － ＝z 2z －·z ，又z － ·z ＝||z 2，即有z z － ＝z 2|z |2 ，故B 正确； 对C ：z －w ＝a ＋b i －c －d i ＝a －c ＋(b －d )i ，则z －w ＝a －c －(b －d )i ，z － ＝a －b i ，w －＝c －d i ，则z － －w － ＝a －b i －c ＋d i ＝a －c －(b －d )i ，即有z －w ＝z － －w － ，故C 正确； 对D ：⎪⎪⎪⎪z w ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b i c ＋d i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ） ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac ＋bd －（ad －bc ）i c 2＋d 2 ＝（ac ＋bd c 2＋d 2）2＋（ad －bc c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＋a 2d 2－2abcd ＋b 2c 2（c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2（c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2c 2＋d 2 ，||z ||w ＝a 2＋b 2c 2＋d2 ＝a 2＋b 2×c 2＋d 2c 2＋d 2 ＝（a 2＋b 2）（c 2＋d 2）c 2＋d 2 ＝a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2c 2＋d 2 ，故⎪⎪⎪⎪z w ＝||z ||w ，故D 正确．故选BCD. 14．[2022·全国乙卷(理)，2]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( )A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝－1，b ＝2C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2答案：A解析：由z ＝1－2i 可知z － ＝1＋2i.由z ＋a z － ＋b ＝0，得1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝1＋a ＋b＋(2a －2)i ＝0.根据复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＝0，2a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.故选A. 15．[2023·全国甲卷(理)]设a ∈R ，(a ＋i)(1－a i)＝2，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案：C解析：∵(a ＋i)(1－a i)＝a ＋i －a 2i －a i 2＝2a ＋(1－a 2)i ＝2，∴2a ＝2且1－a 2＝0，解得a ＝1，故选C.16．已知z (1＋i)＝1＋a i ，i 为虚数单位，若z 为纯虚数，则实数a ＝________． 答案：－1解析：方法一 因为z (1＋i)＝1＋a i ，所以z ＝1＋a i 1＋i ＝（1＋a i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝（1＋a ）＋（a －1）i 2，因为z 为纯虚数， 所以1＋a 2 ＝0且a －12≠0，解得a ＝－1. 方法二 因为z 为纯虚数，所以可设z ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)，则z (1＋i)＝1＋a i ，即b i(1＋i)＝1＋a i ，所以－b ＋b i＝1＋a i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝1b ＝a ，解得a ＝b ＝－1.。
复数—(2018-2022)高考真题汇编
复数—（2018-2022）高考真题汇编一、单选题(共35题；共70分)1．（2分）（2022·浙江）已知a，b∈R，a+3i=(b+i)i（i为虚数单位），则（）A．a=1，b=−3B．a=−1，b=3C．a=−1，b=−3D．a=1，b=3【答案】B【解析】【解答】由题意得a+3i=bi−1，由复数相等定义，知a=−1，b=3.故答案为：B【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用复数的相等求解．2．（2分）（2022·新高考Ⅱ卷）(2+2i)(1−2i)=（）A．−2+4i B．−2−4i C．6+2i D．6−2i【答案】D【解析】【解答】(2+2i)(1−2i)=2+4−4i+2i=6−2i，故答案为：D【分析】根据复数代数形式的乘法法则即可求解.3．（2分）（2022·全国乙卷）设(1+2i)a+b=2i，其中a，b为实数，则（）A．a=1，b=−1B．a=1，b=1C．a=−1，b=1D．a=−1，b=−1【答案】A【解析】【解答】易得(a+b)+2ai=2i，根据复数相等的充要条件可得a+b=0，2a=2，解得：a=1，b=−1．故选：A【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则以及复数相等的充要条件即可求解.4．（2分）（2022·全国甲卷）若z=−1+√3i，则zzz̅−1=（）A．−1+√3i B．−1−√3i C．−13+√33iD．−13−√33i【答案】C【解析】【解答】解：由题意得， z =−1−√3i ，则zz =(−1+√3i)(−1−√3i)=4 则z zz−1=−1+√3i 3=−13+√33i .故选：C【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.5．（2分）（2022·全国甲卷）若 z =1+i ．则 |iz +3z̅|= （ ）A ．4√5B ．4√2C ．2√5D ．2√2【答案】D【解析】【解答】解：因为z=1+i ，所以iz +3z =i (1+i )+3(1−i )=2−2i ，所以 |iz +3z|=√4+4=2√2 ． 故选：D【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念先求得iz +3z =2−2i ，再由复数的求模公式即可求出.6．（2分）（2022·全国乙卷）已知 z =1−2i ，且 z +az̅+b =0 ，其中a ，b 为实数，则（ ）A ．a =1，b =−2B ．a =−1，b =2C ．a =1，b =2D ．a =−1，b =−2【答案】A【解析】【解答】易知 z̅=1+2i 所以 z +az̅+b =1−2i +a(1+2i)+b =(1+a +b)+(2a −2)i 由 z +az̅+b =0 ，得 {1+a +b =02a −2=0，即 {a =1b =−2 . 故选：A【分析】先求得 z̅ ，再代入计算，由实部与虚部都为零解方程组即可. 7．（2分）（2022·北京）若复数 z 满足 i ⋅z =3−4i ，则 |z|= （ ）A ．1B ．5C ．7D ．25【答案】B【解析】【解答】由已知条件可知 z =3−4ii=−4−3i ，所以 |z|=√(−4)2+(−3)2=5 . 故答案为：B【分析】根据复数的代数运算以及模长公式，进行计算即可.8．（2分）（2022·新高考Ⅱ卷）若i(1−z)=1，则z+z̅=（）A．-2B．-1C．1D．2【答案】D【解析】【解答】解：由题意得，z=1−1i=1−ii2=1+i，则z̅=1−i，则z+z̅=2，故选：D【分析】先由复数的四则运算，求得z，z̅，再求z+z̅即可.9．（2分）（2021·新高考Ⅱ卷）复数2−i1−3i在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】【解答】解：2−i1−3i=(2−i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=5+5i10=12+12i，表示的点为(12，12)，位于第一象限.故答案为：A【分析】根据复数的运算法则，及复数的几何意义求解即可10．（2分）（2021·北京）在复平面内，复数z满足(1−i)z=2，则z=（）A．2+i B．2−i C．1−i D．1+i 【答案】D【解析】【解答】解：z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，故答案为：D【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.11．（2分）（2021·浙江）已知a∈R，(1+ai)i=3+i，(i为虚数单位)，则a=（）A．-1B．1C．-3D．3【答案】C【解析】【解答】因为(1+ai)i=3+i，所以1+ai=3+ii=3i−1i·i=1−3i利用复数相等的充分必要条件可得：a=−3.故答案为：C.【分析】根据复数相等的条件，即可求得a的值。
复数高考试题一
复数高考试题一 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】复数最新高考试题精选(一)一．选择题（共32小题）1．下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）2．=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i3．（1+i）（2+i）=（）A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i4．复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A． B．C．D．26．若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）7．已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=（）A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．28．已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z?=4，则a=（）A．1或﹣1 B．或﹣C．﹣D．9．已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）10．设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．311．若复数z=，其中i为虚数单位，则=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i12．若z=4+3i，则=（）A．1 B．﹣1 C．+i D．﹣i13．若z=1+2i，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i14．复数=（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i15．设i为虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．0 B．2 C．2i D．2+2i16．若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i17．设复数z满足z+i=3﹣i，则=（）A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i18．设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．219．若集合A={i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B 等于（）A．{﹣1} B．{1} C．{1，﹣1} D．?20．i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣121．i为虚数单位，i607=（）A．﹣i B．i C．1 D．﹣122．若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．223．若为a实数，且=3+i，则a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．424．若（1+i）+（2﹣3i）=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（）A．3，﹣2 B．3，2 C．3，﹣3 D．﹣1，425．设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限26．设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣27．已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z=（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i28．已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i29．设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i30．已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣231．设i是虚数单位，则复数i3﹣=（）A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i32．设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B．C．D．2二．选择题（共6小题）33．已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为．34．已知复数z满足z+=0，则|z|= ．35．已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．36．已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a2+b2= ，ab= ．37．i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为．38．设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a= ．复数最新高考试题精选(一)参考答案与试题解析一．选择题（共32小题）1．下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）【解答】解：A．i（1+i）2=i?2i=﹣2，是实数．B．i2（1﹣i）=﹣1+i，不是纯虚数．C．（1+i）2=2i为纯虚数．D．i（1+i）=i﹣1不是纯虚数．故选：C．2．=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【解答】解：===2﹣i，故选 D．3．（1+i）（2+i）=（）A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i【解答】解：原式=2﹣1+3i=1+3i．故选：B．4．复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：z=i（﹣2+i）=﹣2i﹣1对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．故选：C．5．设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A． B．C．D．2【解答】解：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），z=i+1．则|z|=．故选：C．6．若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得a＜﹣1．则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：B．7．已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=（）A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．2【解答】解：∵复数z满足zi=1+i，∴z==1﹣i，∴z2=﹣2i，故选：A．8．已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z?=4，则a=（）A．1或﹣1 B．或﹣C．﹣D．【解答】解：由z=a+i，则z的共轭复数=a﹣i，由z?=（a+i）（a﹣i）=a2+3=4，则a2=1，解得：a=±1，∴a的值为1或﹣1，故选A．9．已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）【解答】解：z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，可得：，解得﹣3＜m＜1．故选：A．10．设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【解答】解：（1+2i）（a+i）=a﹣2+（2a+1）i的实部与虚部相等，可得：a﹣2=2a+1，解得a=﹣3．故选：A．11．若复数z=，其中i为虚数单位，则=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：∵z===1+i，∴=1﹣i，故选：B12．若z=4+3i，则=（）A．1 B．﹣1 C．+i D．﹣i【解答】解：z=4+3i，则===﹣i．故选：D．13．若z=1+2i，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【解答】解：z=1+2i，则===i．故选：C．14．复数=（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i【解答】解：===i，故选：A15．设i为虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．0 B．2 C．2i D．2+2i【解答】解：（1+i）2=1+i2+2i=1﹣1+2i=2i，故选：C．16．若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【解答】解：复数z满足2z+=3﹣2i，设z=a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．解得a=1，b=﹣2．z=1﹣2i．故选：B．17．设复数z满足z+i=3﹣i，则=（）A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i【解答】解：∵复数z满足z+i=3﹣i，∴z=3﹣2i，∴=3+2i，故选：C18．设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．2【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故选：B．19．若集合A={i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B 等于（）A．{﹣1} B．{1} C．{1，﹣1} D．?【解答】解：∵A={i，i2，i3，i4}={i，﹣1，﹣i，1}，B={1，﹣1}，∴A∩B={i，﹣1，﹣i，1}∩{1，﹣1}={1，﹣1}．故选：C．20．i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【解答】解：i607=i604+3=i3=﹣i，它的共轭复数为：i．故选：A．21．i为虚数单位，i607=（）A．﹣i B．i C．1 D．﹣1【解答】解：i607=i606?i=（i2）303?i=（﹣1）303?i=﹣i．故选：A．22．若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．23．若为a实数，且=3+i，则a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4【解答】解：由，得2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，则a=4，故选：D．24．若（1+i）+（2﹣3i）=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（）A．3，﹣2 B．3，2 C．3，﹣3 D．﹣1，4【解答】解：由（1+i）+（2﹣3i）=3﹣2i=a+bi，得a=3，b=﹣2．故选：A．25．设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：=i（1+i）=﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．26．设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣【解答】解：复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，它的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径的圆以及内部部分．y≥x的图形是图形中阴影部分，如图：复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率：=．故选：C．27．已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z=（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i【解答】解：由（z﹣1）i=1+i，得z﹣1=，∴z=2﹣i．故选：C．28．已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i，故选：D．29．设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i【解答】解：复数（1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i．故选：C．30．已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2【解答】解：（1+i）2=12+2i+i2=1+2i﹣1=2i；故选：A．31．设i是虚数单位，则复数i3﹣=（）A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i【解答】解：∵i是虚数单位，则复数i3﹣，∴===i，故选；C32．设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B．C．D．2【解答】解：∵复数z满足=i，∴1+z=i﹣zi，∴z（1+i）=i﹣1，∴z==i，∴|z|=1，故选：A．二．选择题（共6小题）33．已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为﹣2 ．【解答】解：a∈R，i为虚数单位，===﹣i由为实数，可得﹣=0，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．34．已知复数z满足z+=0，则|z|= ．【解答】解：由z+=0，得z2=﹣3，设z=a+bi（a，b∈R），由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，即，解得：．∴．则|z|=．故答案为：．35．已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|==．故答案为：．36．已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a2+b2= 5 ，ab= 2 ．【解答】解：a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），∴3+4i=a2﹣b2+2abi，∴3=a2﹣b2，2ab=4，解得ab=2，，．则a2+b2=5，故答案为：5，2．37．i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为 1 ．【解答】解：由（1+i）z=2，得，∴z的实部为1．故答案为：1．38．设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a= ﹣1 ．【解答】解：（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a+1=0，解得：a=﹣1，故答案为：﹣1。
历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(复数)汇编(附答案)
历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(复数)汇编考点01 求复数的实部与虚部1．（2020∙全国∙高考真题）复数113i-的虚部是（ ） A ．310-B ．110-C ．110D ．3102．（2020∙江苏∙高考真题）已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 .考点02 复数相等1．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （ ） A ．‐1B ．0 ∙C ．1D ．22．（2022∙浙江∙高考真题）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（ ） A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（ ） A ．1,1a b ==-B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（ ） A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-5．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -考点03 共轭复数1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设z ，则z z ⋅=（ ）A ．2-BC ．D ．22．（2024∙全国甲卷∙高考真题）若5i z =+，则()i z z +=（ ） A ．10iB ．2iC ．10D ．23．（2023∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（ ）A ．1B ．1C ．1-D ．1-4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）设252i1i i z +=++，则z =（ ）A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i +5．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1i22iz -=+，则z z -=（ ） A ．i -B ．iC ．0D ．16．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1z =-，则1zzz =-（ ）A ．1-B ．1-C ．13-D ．13-8．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若i(1)1z -=，则z z +=（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．29．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -10．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +考点04 复数的模1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知1i z =--，则z =（ ）A ．0B ．1C D ．22．（2023∙全国乙卷∙高考真题）232i 2i ++=（ ）A ．1B ．2CD ．53．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2022∙北京∙高考真题）若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（ ） A ．1B ．5C ．7D ．255．（2020∙全国∙高考真题）若312i i z =++，则||=z （ ） A ．0 B ．1CD ．26．（2020∙全国∙高考真题）若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．1CD ．27．（2020∙全国∙高考真题）设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -= . 8．（2019∙全国∙高考真题）设3i12iz -=+，则z =A ．2 BC D ．19．（2019∙天津∙高考真题）i 是虚数单位，则51ii-+的值为 . 10．（2019∙浙江∙高考真题）复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z = .考点05 复数的几何意义1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（ ）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（2023∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（ ）A ．1B ．1C ．1-D ．1-3．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2020∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（ ）． A ．12i +B ．2i -+C ．12i -D ．2i --5．（2019∙全国∙高考真题）设z =‐3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．（2019∙全国∙高考真题）设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y += B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=参考答案考点01 求复数的实部与虚部1．（2020∙全国∙高考真题）复数113i-的虚部是（ ） A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D【详细分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【答案详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【名师点评】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 2．（2020∙江苏∙高考真题）已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 . 【答案】3【详细分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值. 【答案详解】∵复数()()12z i i =+-∴2223z i i i i =-+-=+ ∴复数的实部为3.故答案为：3.【名师点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．考点02 复数相等1．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （ ） A ．‐1 B ．0 ∙ C ．1 D ．2【答案】C【详细分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．【答案详解】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a +-=-++=+-=，所以22210a a =⎧⎨-=⎩，解得：1a =． 故选：C.2．（2022∙浙江∙高考真题）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（ ） A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==【详细分析】利用复数相等的条件可求,a b .【答案详解】3i 1i a b +=-+，而,a b 为实数，故1,3a b =-=， 故选：B.3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（ ） A ．1,1a b ==- B ．1,1a b == C ．1,1a b =-= D ．1,1a b =-=-【答案】A【详细分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．【答案详解】因为,a b ÎR ，()2i 2i a b a ++=，所以0,22a b a +==，解得：1,1a b ==-． 故选：A.4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（ ） A ．1,2a b ==- B ．1,2a b =-= C ．1,2a b == D ．1,2a b =-=-【答案】A【详细分析】先算出z ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可 【答案详解】12z i =-12i (12i)(1)(22)i z az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，得10220a b a ++=⎧⎨-=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩ 故选:A5．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．1i + D ．1i -【答案】C【详细分析】设i z a b =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【答案详解】设i z a b =+，则i z a b =-，则()()2346i 46i z z z z a b ++-=+=+， 所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1i z =+. 故选：C.考点03 共轭复数1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设z ，则z z ⋅=（ ）A ．2-BC ．D ．2【详细分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【答案详解】依题意得，z =，故22i 2zz =-=. 故选：D2．（2024∙全国甲卷∙高考真题）若5i z =+，则()i z z +=（ ） A ．10i B ．2i C ．10 D ．2【答案】A【详细分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【答案详解】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=. 故选：A3．（2023∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（ ）A ．1B ．1C ．1- D ．1-【答案】D【详细分析】根据复数的几何意义先求出复数z ，然后利用共轭复数的定义计算.【答案详解】z 在复平面对应的点是(-，根据复数的几何意义，1z =-，由共轭复数的定义可知，1z =-. 故选：D4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）设252i1i i z +=++，则z =（ ）A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i +【答案】B【详细分析】由题意首先计算复数z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 【答案详解】由题意可得()252i 2i 2i 2i2i 112i 1i i 11i i 1z +++-=====-++-+-，则12i z =+. 故选：B.5．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1i22iz -=+，则z z -=（ ） A ．i - B ．i C ．0D ．1【答案】A【详细分析】根据复数的除法运算求出z ，再由共轭复数的概念得到z ，从而解出． 【答案详解】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．6．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详细分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【答案详解】因为1i z =+，所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-，所以i 3z z += 故选：D.7．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1z =-，则1zzz =-（ ）A ．1- B ．1- C ．13-D ．13-【答案】C【详细分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【答案详解】1(1113 4.z zz =-=--=+=113z zz ==-- 故选 ：C8．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若i(1)1z -=，则z z +=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】D【详细分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z z +.【答案详解】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D9．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．1i + D ．1i -【答案】C【详细分析】设i z a b =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【答案详解】设i z a b =+，则i z a b =-，则()()2346i 46i z z z z a b ++-=+=+， 所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1i z =+. 故选：C.10．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +【答案】C【详细分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【答案详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C.考点04 复数的模1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知1i z =--，则z =（ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】C【详细分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【答案详解】若1i z =--，则z ==故选：C.2．（2023∙全国乙卷∙高考真题）232i 2i ++=（ ）A ．1B ．2CD ．5【答案】C【详细分析】由题意首先化简232i 2i ++，然后计算其模即可. 【答案详解】由题意可得232i 2i 212i 12i ++=--=-，则232i 2i 12i ++=-=故选：C.3．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详细分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【答案详解】因为1i z =+，所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-，所以i 3z z += 故选：D.4．（2022∙北京∙高考真题）若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（ ） A ．1 B ．5C ．7D ．25【答案】B【详细分析】利用复数四则运算，先求出z ，再计算复数的模．【答案详解】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故|5|z ==．故选：B ．5．（2020∙全国∙高考真题）若312i i z =++，则||=z （ ） A ．0 B ．1C D ．2【答案】C【详细分析】先根据2i 1=-将z 化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．【答案详解】因为31+2i i 1+2i i 1i z =+=-=+，所以 z ==． 故选：C ．【名师点评】本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题．6．（2020∙全国∙高考真题）若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】D【详细分析】由题意首先求得22z z -的值，然后计算其模即可.【答案详解】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.【名师点评】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.7．（2020∙全国∙高考真题）设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -= .【答案】【详细分析】方法一：令1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，根据复数的相等可求得2ac bd +=-，代入复数模长的公式中即可得到结果.方法二：设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形12OZ PZ 为菱形，12OZ OZ 2OP ===，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算12z z -. 【答案详解】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=+++=+，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=， 222222()()2()4a c b d a c b d ac bd ∴+++=+++++=2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-===.故答案为：方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+,由已知122OZ OZ OP ====,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ 都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=∴1212z z Z Z -==.【名师点评】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解 8．（2019∙全国∙高考真题）设3i12iz -=+，则z =A ．2 BC D ．1【答案】C【详细分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得z ，再求z ．【答案详解】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z =，故选C ． 【名师点评】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解． 9．（2019∙天津∙高考真题）i 是虚数单位，则51ii-+的值为 .【详细分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．【答案详解】5(5)(1)231(1)(1)i i i i i i i ---==-=++-． 【名师点评】本题考查了复数模的运算，是基础题. 10．（2019∙浙江∙高考真题）复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z = .【答案】2【详细分析】本题先计算z ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【答案详解】1|||1|2z i ==+.【名师点评】本题考查了复数模的运算，属于简单题.考点05 复数的几何意义1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【详细分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义详细分析判断.【答案详解】因为()()213i 3i 38i 3i 68i +-=+-=+，则所求复数对应的点为()6,8，位于第一象限.故选：A.2．（2023∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（ ）A ．1B ．1C ．1- D ．1-【答案】D【详细分析】根据复数的几何意义先求出复数z ，然后利用共轭复数的定义计算.【答案详解】z 在复平面对应的点是(-，根据复数的几何意义，1z =-，由共轭复数的定义可知，1z =-.故选：D3．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）复数2i13i --在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【详细分析】利用复数的除法可化简2i13i --，从而可求对应的点的位置. 【答案详解】()()2i 13i 2i 55i 1i 13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，该点在第一象限，故选：A.4．（2020∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（ ）．A ．12i +B ．2i -+C ．12i -D ．2i -- 【答案】B【详细分析】先根据复数几何意义得z ，再根据复数乘法法则得结果.【答案详解】由题意得12z i =+，2iz i ∴=-.故选：B.【名师点评】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本详细分析求解能力，属基础题. 5．（2019∙全国∙高考真题）设z =‐3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【详细分析】先求出共轭复数再判断结果.【答案详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（‐3，‐2）位于第三象限．故选C ．【名师点评】本题考点为共轭复数，为基础题目．6．（2019∙全国∙高考真题）设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x += 【答案】C【详细分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．【答案详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -==则22(1)1y x +-=．故选C ．【名师点评】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．。
基础专项练(一) 集合、复数、常用逻辑用语
专项练(一) 集合、复数、常用逻辑用语一、单项选择题1.(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B ＝( ) A.{2} B.{2，3} C.{3，4} D.{2，3，4}答案 B解析 因为A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{2，3，4，5}，所以A ∩B ＝{2，3}，故选B. 2.若命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x <x ，则綈p 为( )A.∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x ≥xB.∀x ∉⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x ≥xC.∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0≥x 0D.∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0≤x 0 答案 C解析 全称量词命题的否定是存在量词命题，据此可知： 若p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x <x ，则綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0≥x 0.3.(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z ＝3＋2i ，则z ＝( ) A.－1－32iB.－1＋32iC.－32＋i D.－32－i答案 B 解析 z ＝3＋2i （1－i ）2＝3＋2i －2i＝3i －22＝－1＋32i.故选B. 4.(2021·全国乙卷)已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合M ＝{1，2}，N ＝{3，4}，则∁U(M∪N)＝()A.{5}B.{1，2}C.{3，4}D.{1，2，3，4}答案 A解析法一因为集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，所以M∪N＝{1，2，3，4}.又全集U＝{1，2，3，4，5}，所以∁U(M∪N)＝{5}.故选A.法二因为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)，∁U M＝{3，4，5}，∁U N＝{1，2，5}，所以∁U(M∪N)＝{3，4，5}∩{1，2，5}＝{5}.故选A.5.(2021·重庆二联)已知复数z＝2i1＋i，其中i是虚数单位，则z－在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 D解析因为z＝2i1＋i＝2i（1－i）（1＋i）（1－i）＝1＋i，所以z－＝1－i，其在复平面内的对应点为(1，－1)，位于第四象限，故选D.6.(2021·八省八校一联)已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|x>m}，若A∪B＝{x|x>1}，则()A.m≥1B.1≤m<3C.1<m<3D.1≤m≤3答案 B解析由x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)<0，得1<x<3，所以A＝(1，3).又B＝{x|x>m}，A∪B＝{x|x>1}，所以1≤m<3.故选B.7.(2021·山东中学联盟联考)“∀x∈[－2，1]，x2－2a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A.a≥0B.a≥1C.a≥2D.a≥3答案 D解析 “∀x ∈[－2，1]，x 2－2a ≤0”为真命题，即2a ≥x 2在x ∈[－2，1]时恒成立，所以2a ≥4，所以a ≥2，即“∀x ∈[－2，1]，x 2－2a ≤0”为真命题的充要条件是a ≥2，所以可转化为求“a ≥2”的充分不必要条件，即找集合A ＝{a |a ≥2}的非空真子集，结合选项，所以a ≥3，故选D.8.(2021·唐山二模)设复数z 满足|z －2i|＝1，则在复平面内z 对应的点到原点距离的最大值是( ) A.1 B. 3 C. 5 D.3答案 D解析 法一 由题意可知，在复平面内复数z 对应的点集为复平面内到定点(0，2)的距离为1的点的集合，即以(0，2)为圆心，1为半径的圆.因为圆心(0，2)到原点的距离为2，所以圆上任一点到原点的距离的最大值为2＋1＝3，故选D. 法二 设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则x 2＋(y －2)2＝1，所以－1≤y －2≤1，即1≤y ≤3，所以x 2＋y 2＝4y －3≤9，所以x 2＋y 2≤3，即在复平面内z 对应的点到原点距离的最大值是3.故选D. 二、多项选择题9.(2021·潍坊期末)设全集为U ，则如图的阴影部分用集合可表示为( )A.A ∩BB.(∁U A )∩BC.[∁U (A ∩B )]∩BD.(∁U A )∪B答案 BC解析 由题图可知，A ∩B 为集合A 与集合B 的公共部分，故排除A 选项.(∁U A )∪B 为全集U 中去除集合A 后剩余的部分再加上A ∩B 的部分，故排除D 选项.经验证，B ，C 正确.故选BC.10.(2021·八省联考)设z 1，z 2，z 3为复数，z 1≠0，则下列命题正确的是( ) A.若|z 2|＝|z 3|，则z 2＝±z 3 B.若z 1z 2＝z 1z 3，则z 2＝z 3C.若z －2＝z 3，则|z 1z 2|＝|z 1z 3|D.若z 1z 2＝|z 1|2，则z 1＝z 2 答案 BC解析 由复数模的概念可知，|z 2|＝|z 3|不能得到z 2＝±z 3，例如z 2＝1＋i ，z 3＝1－i ，A 错误；由z 1z 2＝z 1z 3可得z 1(z 2－z 3)＝0.因为z 1≠0，所以z 2－z 3＝0，即z 2＝z 3，B 正确；因为|z 1z 2|＝|z 1|·|z 2|，|z 1z 3|＝|z 1|·|z 3|，而z －2＝z 3，所以|z －2|＝|z 3|＝|z 2|，所以|z 1z 2|＝|z 1z 3|，C 正确；当z 1z 2＝|z 1|2时，z 1z 2＝|z 1|2＝z 1z －1，∴z 1z 2－z 1z －1＝z 1(z 2－z －1)＝0，∴z －1＝z 2，D 错误.故选BC.11.(2021·广州阶段训练)以下四个命题中，是真命题的是( ) A.“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件 B.“x >2”是“lg(3－x )<0”的必要不充分条件C.若命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0D.若a <b <0，则a 2<ab <b 2 答案 ABC解析 对于A 选项，当a ＝0，b ＝－1时，a >b 成立，但a 2>b 2不成立，当a ＝ －1，b ＝0时，a 2>b 2成立，但a >b 不成立.所以“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件，所以A 选项正确；对于B 选项，lg(3－x )<0⇔0<3－x <1⇔2<x <3，所以“x >2”是“lg(3－x )<0”的必要不充分条件，所以B 选项正确；对于C 选项，根据特称命题的否定是全称命题的知识可知C 选项正确； 对于D 选项，取a ＝－2，b ＝－1，则a 2>b 2，所以D 选项错误.故选ABC. 12.(2021·新高考原创卷五)设集合A ＝{x |x ＝m ＋3n ，m ，n ∈N *}，若x 1∈A ，x 2∈A ，x 1⊕x 2∈A ，则运算⊕可能是( ) A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法答案 AC解析 由题意可设x 1＝m 1＋3n 1，x 2＝m 2＋3n 2，其中m 1，m 2，n 1，n 2∈N *，则x 1＋x 2＝(m 1＋m 2)＋3(n 1＋n 2)，x 1＋x 2∈A ，所以加法满足条件，A 正确；x 1－x 2＝(m 1－m 2)＋3(n 1－n 2)，当n 1＝n 2时，x 1－x 2∉A ，所以减法不满足条件，B 错误；x 1x 2＝m 1m 2＋3n 1n 2＋3(m 1n 2＋m 2n 1)，x 1x 2∈A ，所以乘法满足条件，C 正确； x 1x 2＝m 1＋3n 1m 2＋3n 2，当m 1m 2＝n 1n 2＝λ(λ>0)时，x 1x 2∉A ，所以除法不满足条件，D 错误.故选AC. 三、填空题13.已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )＝________. 答案 (－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞解析 易知A ＝{y |y ＝x 2－1}＝[0，＋∞)，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.∴A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，从而∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.14.(2021·青岛模拟)若命题“∃x ∈R ，e x <a －e －x ”为假命题，则实数a 的取值范围为________. 答案 (－∞，2]解析 根据题意得，∀x ∈R ，e x ≥a －e －x ，即∀x ∈R ，e x ＋e －x ≥a .∵e x ＋e －x ≥2，∴a ≤2.15.(2021·武汉调研)已知m ，n 是平面α内的两条相交直线，且直线l ⊥n ，则“l ⊥m ”是“l ⊥α”的________条件. 答案 充要解析 当l ⊥m 时，因为m ，n 是平面α内的两条相交直线， 根据线面垂直的判定定理，可得l ⊥α； 当l ⊥α时，因为m ⊂α，所以l ⊥m . 综上，“l ⊥m ”是“l ⊥α”的充要条件.16.设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________.答案 2 3解析 法一 设z 1－z 2＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，因为z 1＋z 2＝3＋i ，所以2z 1＝(3＋a )＋(1＋b )i ，2z 2＝(3－a )＋(1－b )i. 因为|z 1|＝|z 2|＝2，所以|2z 1|＝|2z 2|＝4， 所以（3＋a ）2＋（1＋b ）2＝4，① （3－a ）2＋（1－b ）2＝4，② ①2＋②2得a 2＋b 2＝12， 所以|z 1－z 2|＝a 2＋b 2＝2 3.法二 设复数z 1，z 2在复平面内分别对应向量OA →，OB →，则z 1＋z 2对应向量OA →＋OB→. 由题知|OA→|＝|OB →|＝|OA →＋OB →|＝2，如图所示，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则z 1－z 2对应向量BA →，OA＝AC ＝OC ＝2，可得BA ＝2OA sin 60°＝23，故|z 1－z 2|＝|BA→|＝2 3.。
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2017年高考集合、复数真题
1701、(17全国Ⅰ理1)已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则（ ）
A ．{|0}A
B x x =< B ．A B =R
C ．{|1}A B x x =>
D ．A B =∅
1702、(17全国Ⅰ理3)设有下面四个命题
1p ：若复数z 满足1z
∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；
4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .
其中的真命题为（ ）
A.13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p 1703、(17全国Ⅰ文1)已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则（ ）
A ．A
B =3|2x x ⎧
⎫<⎨⎬⎩⎭ B ．A B =∅ C ．A B 3|2x x ⎧
⎫=<⎨⎬⎩⎭ D ．A B=R
1704、(17全国Ⅰ文3)下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A ．i(1+i)2
B ．i 2(1-i)
C ．(1+i)2
D ．i(1+i) 1705、(17全国Ⅱ理1)31i i
+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -
1706、(17全国Ⅱ理2)设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ）
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
1707、(17全国Ⅱ文1)设集合{}{}123234A B ==，，， ，，， 则=A B （ ）
A. {}123,4，，
B. {}123，，
C. {}234，，
D. {}134，，
1708、(17全国Ⅱ文2)（1+i ）（2+i ）= （ ）
B. 1+3i
C. 3+i +3i
1709、(17全国Ⅲ理1)已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│
，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为
（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0 1711、(17全国Ⅲ理2)设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= （ ）
A ．12
B ．2
C
D ．2
1712、(17全国Ⅲ文1)已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A ⋂B 中元素的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
1713、(17全国Ⅲ文2)复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
1714、(17北京理1）若集合A ={x |–2x 1}，B={x |x –1或x 3}，则AB =（ ）
（A ）{x |–2x –1} （B ）{x |–2x 3}
（C ）{x |–1x 1} （D ）{x |1x 3}
1715、(17北京理2）若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）
（A ）（–∞，1） （B ）（–∞，–1）
（C ）（1，+∞） （D ）（–1，+∞）
1716、(17北京文1）已知U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则
（A ）(2,2)- （B ）(,2)(2,)-∞-+∞
（C ）[2,2]- （D ）(,2][2,)-∞-+∞
1717、(17北京文2）若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是
（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞-
（C ）(1,)+∞ （D ）(1,)-+∞
1718、(17山东理2）已知,i 是虚数单位，若，则a=
（A ）1或-1 （B ） （C ）- （D ）
1719、(17山东文1）设集合M={x||x ﹣1|＜1}，N={x|x ＜2}，则M ∩N=（ ）
A ．（﹣1，1）
B ．（﹣1，2）
C ．（0，2）
D ．（1，2）
1720、(17山东文2)已知i 是虚数单位，若复数z 满足zi=1+i ，则z 2
=（ ） A ．﹣2i B ．2i C ．﹣2 D ．2
1721、(17天津理1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A
B C = （A ）{2} （B ）{1,2,4} （C ）{1,2,4,6} （D ）{|15}x x ∈-≤≤R
1722、(17天津理9）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i 2i
a -+为实数，则a 的值为 1723、(17天津文1）设集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C ===，则()A
B C =( ) （A ）{2} （B ）{1,2,4} （C ）{1,2,4,6} （D ）{1,2,3,4,6}
1724、(17天津文9）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若
i 2i a -+为实数，则a 的值为 2- 1725、(17江苏1)已知集合A={1，2}，B={a ，a 2+3}．若A ∩B={1}，则实数a 的值为 ．
1726、(17江苏2）已知复数z=（1+i ）（1+2i ），其中i 是虚数单位，则z 的模是 ． 1727、(17浙江理1)已知集合P={x|-1＜x ＜1}，Q={0＜x ＜2}，那么P∪Q=（ ）
A ．（1，2）
B ．（0，1）
C ．（-1，0）
D ．（1，2） 1728、(17浙江理12)已知a ，b ∈R ，（a+bi ）2=3+4i （i 是虚数单位）则a 2+b 2=________，ab =___________.。