五年级下数学思维训练教材

第一讲立体图形及展开

例题选讲

例1:图1所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点F、点G分别与哪个点重合

例2:一只小虫从图l所示的长方体上的A点出发，沿长方体的表面爬行，依次经过前面、上面、后面、底面，最后到达P点。请你为它设计一条最短的爬行路线。

练习与思考

1.如图所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点B、点D分别与哪个点重合

2.如图所示的是一个棱长3厘米的正方体木块，一只蚂蚁从A点沿表面爬向B点。请画出蚂蚁爬行的最短路线。问：这样的路线共有几条

3.将一张长方形硬纸片，剪去多余部分后，折叠成一个棱长为l厘米的正方体。这张长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米

4.一块长方形的铁皮，长28厘米，在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接做成一个无盖的长方体盒子。已知这个盒子的容积是960立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。

5.如图所示的是一个正方体木块的表面展开图，若在正方体的各面填上数，使其对面两数之和为7，则A、B、c处填的数各是多少

6.如图所示的10个展开图中，哪些可以做成完整的正方体

7.如图所示的是一个长方体，四边形APQC、是长方体的一个截面(即过长方体上4点A、P、Q、C的平面与长方体相交所得到的图形)，P、Q分别为棱A1B1、B1C1，的中点，请在此长方体的平面展开图上，标出线段AC、cQ、QP、PA。

第二讲长方体和正方体的表面积

例题选讲

例1:一个长方体，前面和上面的面积之和是88平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。

例2:如图，将3个表面积都是24平方米的正方体木块粘成一个长方体，求这个长方体的表面积。

例3:如图所示的是用19个棱长为1厘米的正方体堆起来的立体图形，其中有一些正方体看不见，那么这个立体图形的表面积是多少

练习与思考

1.有一个长方体，前面和上面两个面面积和为209平方厘米，并且长、宽、高都是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。

2.将两个长都是8厘米，6厘米，高都是5厘米的长方体拼成一个大长方体，那么这个大长方体表面积最大是多少平方厘米

3.如图所示的是由17个边长是1厘米的小正方体拼成的立体图形，求它的表面积。

4.有一个长方体,长是8厘米,宽是4 厘米，高是6厘米，把它截成棱长是2厘米的若

干个小正方体，这些小正方体表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米

5.如图，正方体木块的表面积是36平方分米，把它沿虚线截成体积相等的8个小正方体木块，这时表面积增加多少平方分米

6.如图，有一个边长是5厘米的立方体，如果它的左上方截去一个边长分别是5厘米，3厘米2厘米的长方体。那么，它的表面积减少多少平方厘米

7.如图，有一个长4厘米：宽和高都是3厘米的长方体，以A为底打一个上下直穿的长方体洞，以B为底打一个前后直穿的长方体洞，以C为底打一个左右穿通的长方体洞，所得立体图形的表面积是多少

8.如图，有一个棱长是1米的正方体木块。沿水平方向锯2次，竖直锯3次，再横着锯4次，共得到大大小小的长方体小木块60块，求这60块长方体表面积的和。

9.用10个长7厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体木块拼成一个大长方体，拼成的大长方体表面积最小是多少

第三讲长方体和正方体的体积

例题选讲

例1:如图，一个长方体木块，从上部和下部分别截去高2厘米和3厘米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了100平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米

例2:将两块棱长相等的正方体木块拼成一个长方体，已知长方体棱长总和是96厘米，每块正方体木块的体积是多少立方厘米

例3:如图，正方体的棱长为4厘米，分别在前后、左右、上下各面中心凿开一个边长1厘米的正方形小孔直至对面，求它的体积。

练习与思考

1．把一个长方体的长平均分成4段，每段长6厘米，表面积增加24平方厘米，求原长方体的体积。

2．用大小相等的两个正方体积木拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是

80厘米，每个正方体的体积是多少立方厘米

3．如图，在一个棱长为20厘米的正方体木块的前面、上面、右面中心位置，分别凿一个边长为4厘米的正方形小孔直至对面，做成玩具，求这个玩具的体积。4．一个表面积是360平方厘米的长方体，它恰好可以切成两个相同的正方体，每个小正方体的体积是多少立方厘米

5.一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是190平方厘米，如果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体的表面积之和是240平方厘米，求原来长方体的体积。

6.一个长方体的前面、上面、右面的面积分别为10、15、6平方厘米，求这个长方体的体积。（40、60、24）

7．现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度忽略不计，容积越大越好)。请问：你做的铁皮盒的容积是多少立方厘米画一画，算一算。

8．一个长、宽、高分别是2l厘米、15厘米、12厘米的长方体，现从它上面尽可能大地切下一个正方体，然后再从剩余部分尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，这时剩下的体积是多少立方厘米

第四讲水面高度变化和等积变换

例题选讲

例1:在一个长25分米，宽20分米的长方体容器中，有15分米深的水。如果在水中沉入一个棱长是50厘米的正方体铁块，那么容器中水深多少分米

例2:一个长方体水箱，底面是一个边长为50厘米的正方形。水箱里直立着一个高10分米，底面边长是25厘米的长方体铁块，这时水箱里的水深6分米。现在把铁块轻轻地向上提起20厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米

例3:把一个长9厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体铁块和一个棱长5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体，求这个长方体的高。

练习与思考

1．在一个长20分米，宽15分米的长方体容器中，有20分米深的水。现在在水中沉入一个棱长15分米的正方体铁块，这时容器中的水深多少分米

2．一个长方体容器．，长90厘米，宽40厘米。容器里直立着一个高1米，底面边长是15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深0．5米。现在把铁块轻轻向上提起24厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米

3．一个棱长6分米的正方体容器，装满了水。现将正方体容器里的水倒人一个长12分米，宽6分米，高5分米的长方体水槽中，求现在长方体水槽中水面到水槽口的距离。

4．一个长方体水箱，从里面量长8分米，宽6分米。先倒入165升水，再浸入一块棱长3分米的正方体铁块，这时水面离水箱口1分米。问：这个水箱的容积是多少

5．在一个长15分米，宽12分米的长方体容器中，水深10分米。如果在水中浸入一个棱长是30厘米的正方体铁块，那么，容器中水深多少分米

6．有大、中、小三个底面是正方形的水池，它们底面的边长分别是5米、3米、2米，把两堆碎石分别沉入中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉人大水池的水里，大水池的水面升高多少厘米7．一个长方体容器里面装有水，一块棱长24厘米的正方体铁块浸没在水中。现将铁块取出，水面下降18厘米；如果将一个长18厘米，宽16厘米，高12厘米的长方体铁块浸入水中：水面将上升多少厘米

8．现在有大、中、小三个铁球，一个装满水的长方体容器。第一次把小球浸入水中；第二次把小球取出，把中球浸入水中；第三次取出中球，把小球和大球一起浸入水中。已知每次从容器中溢出水量的情况是：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的2．5倍。问：大球体积是小球的多少倍

9．现有空的长方体容器A和水深24厘米的长方体容器B(如图)，要将容器B的水倒一部分给A，使两容器水的高度相同，那么这时的水深是几厘米

10．棱长为1米的2100个正方体围成一个实心的长方体，它的高为10米，长和宽都大于高。问：它的长和宽各为多少米

第五讲列方程解题

例题选讲

例1：御苑小学五(3)班的同学合买一件生日礼物送给班主任。如果每人出8元，就多84元，如果每人出6元，那么就少12元，御苑小学五(3)班有多少名学生

例2：胜利大队粮库里的大米是面粉的2倍，现在用卡车运走，每辆卡车装4吨大米和3吨面粉，当面粉运完时，还剩2 0吨大米，粮库里原来有大米和面粉共多少吨

练习与思考

1．爸爸带一些钱去买酸奶，如果买1 O瓶就剩下4元，如果买12瓶同样的酸奶则差元。问：每瓶酸奶多少元爸爸带了多少钱

2.滨江小学体育室里的篮球是足球的3倍。体育课上，每班借8只篮球、5只足球，足球借完时还有84只篮球。问：体育室原来有篮球和足球共多少只。

3.某校五、六年级的学生乘公交车去秋游。如果每车坐60人，则有20人没有座位；如果每车多坐5人，则有一辆车空出45个座位。请问：一共有多少辆公交车

五、六年级去秋游的学生一共有多少人

4.一条船从甲港到乙港顺流丽下，再从乙港返回共用了8小时，已知这船在静水中的速度是每小时20千米，水流速度是每小时5千米。请问：甲、乙两港之间的距离是多少千米

个人的年龄之和是77岁，最小的是10岁，他与年龄最大的人的年龄之和比其他两人的年龄之和大7。问：年龄最大的人是多少岁

6.一个两位数，十位数上的数字是个位上数字的1．5倍，如果调换十位与个位上的数字，则新数比原数小18，求原来的数。

7.甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲、乙从A地出发，丙从B地出发，丙遇到乙以后2分钟又遇到甲，求A、B两地的距离。

8.甲、乙两个书店存书册数相等，甲书店售出2000册，乙书店购入1000册，这时乙书店的册数是甲书店的2倍。问：甲、乙两书店原来共存书多少册

9.在一次数学竞赛中，甲队的平均分为75分，乙队的平均分为73分，两队全体同学的平均分为73．5分，并且乙队比甲队多6人，那么乙队有多少人

第六讲假设法解题

例1:笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只

例2: 中央百货公司委托搬运公司送1000只茶杯，双方签订合同每只运费是元如果打破1只，不但不付运费，而且还要照价赔偿元。结果搬运公司共得运费291元。问：搬运公司在搬运过程中打破了几只茶杯

例3: 有黑、白棋子各一堆，黑子个数是白子个数的2倍，现在从这堆棋子中每次取出4个黑子和3个白子，待到若干次后，白子已经取尽，而黑子还有16个，求黑子和白子各有多少个

练习与思考

1．有5元和10元的邮票共20张，总面值125元。问：5元的和10元的邮票各多少张

2．某搬运站为某商店运800只花瓶，运费为每只3元，如果损坏一只，不但不给运费还要照价赔偿5元，结果搬运站共得运费2352元。问：搬运公司在搬运过程中打破几只花瓶

3.有黑、白棋子各一堆，黑子个数是白子个数的3倍，现在从这堆棋子中每次取出5个黑子和2个白子，待到若干次后，白子已经取尽，而黑子还有8个，求黑子和白子各有多少个

4.某校学生进行野外训练，晴天每日行40千米，雨天每日行30千米，在12天内总行程为450千米，这期间有多少个雨天

5．松鼠爸爸采松子,晴天可以采30个,雨天只能采20个，它一连几天共采了240个松子，平均每天采24个。问：这几天当中有几个晴天几个雨天

6.一次科普竞赛共20道题，评分标准是：每做对一题得5分，每做错或不做一题扣1分，小松参加这次竞赛，得了64分，小松做对了几题

7．甲、乙两人进行投飞镖比赛，规定每中一次记10分，脱靶一次扣6分，两人各投l0次，共得152分，其中甲比乙多16分。问：甲、乙两人各投中几次

8．一个食堂买来面粉的千克数是大米的3倍，如果每天吃30千克大米，75千克面粉，几天后，大米将全部吃完，而面粉还会剩下225千克，问食堂买来面粉和大米各多少千克

第七讲代换法解题

例题选讲

例1:一个足球的价格等于两个篮球的价格，也等于三个排球的价格，还等于一个篮球加一个排球和一个垒球的价格。那么一个足球等于多少个垒球的价格

例2:5只同样的红球和18只同样的绿球共重396克，已知1只红球和3只绿球的重量相等，求每只红球和每只绿球各重多少克

例3:甲、乙、丙三人，甲的年龄比乙的2倍大3岁，乙的年龄比丙的2倍小2岁，三人年龄之和是109岁。问：三人各几岁

练习与思考

只红球与4只蓝球的重量相等，3只蓝球的重量等于1只红球加1只黑球的重量，那么几只黑球的重量等于3只红球加4只蓝球的重量

2.百货商店运来400双球鞋，分别装在2个木箱和6个纸箱中，如果2个纸箱同1个木箱装的鞋一样多，那么每个木箱和每个纸箱各装多少双鞋

3.有红、黄、蓝三色笔共94枝，已知红色笔比黄色笔的2倍少2枝，黄色笔比蓝色笔的2倍多4枝，求三色笔各多少枝

4.一批货物，如果用大号集装箱要20只箱子，如果用小号集装箱装，要25只箱子，已知大号箱比小号箱可多装货物200千克，求这批货物重多少千克

5.学校图书馆购买5本科技书和3本文学书共用去147．5元，如果用1本文学书换回2本科技书，那么还要用去7．3元。问：科技书和文学书每本的价格各是多少元

6.甲、乙、丙、丁四个数的和是325，如果甲加上lO，乙减去5，丙乘以2，丁除以3，那么四个数恰好相等，求丁数。

7.甲、乙两数之差是，如果将乙的小数点向右移动两位就与甲数相等。求甲、乙两数分别是多少

8.用两台抽水机抽水，甲抽水机抽6小时，乙抽水机抽8小时，共抽水624立方米。已知甲抽水机5小时的抽水量等于乙抽水机2小时的抽水量。问：甲乙两台抽水机每小时各抽水多少立方米

9.用3个空啤酒瓶可换一瓶啤酒。王强买了10瓶啤酒，他最多可以喝到多少瓶啤酒

第八讲消去法解题

例题选讲

例1:妈妈第一次买了3千克苹果和5千克桔子，共用去14．5元；第二次又买了3千克苹果和7千克桔子，共用去18．5元。苹果和桔子的单价各是多少元

例2: 紫金小学买了4个足球和12个篮球，一共用去980元，育才小学买了同样的8个足球和10个篮球，一共用去1 1 90元。每个足球和每个篮球各多少元

练习与思考

1.食堂第一次运来6袋大米和4袋面粉，一共重400千克，第二次又运来9袋大米和4袋面粉，一共重550千克。每袋大米和每袋面粉各重多少千克

2.小明和小刚去商店买文具用品，小明买了1枝钢笔和2块橡皮共用去14元，小刚买同样的2枝钢笔和8块橡皮共用去36元。问：钢笔和橡皮的单价各是多少元，

3.文峰水果超市购买5筐苹果和7筐梨共重135千克，第二天又购买了同样的苹果3筐、梨5筐共重85千克。问：每筐苹果和每筐梨各多少千克

4.学校买来5包科技书和7包故事书共620本，6包科技书和3包故事书420本。问：每包科技书和每包故事书各多少本

5.甲、乙、丙三数，甲、乙两数之和是50,乙、丙两数之和是70，甲、丙两数之和是60。问：甲、乙、丙三数各是多少

6.商店第一天卖出5件上衣和8条裤子收入1265元，第二天卖出同样的6件上衣和5条裤子共收入1150元。问：每件上衣、每条裤子各多少元每件上衣比每条裤子贵多少元

头牛和4只羊每天共吃青草145千克，4头牛和7只羊每天共吃青草130千克。问：每头牛和每只羊每天各吃青草多少千克

8.小明有4盒奶糖，小刚有3盒酥糖。共有60颗糖，如果小明和小刚对换1盒，则两人手里糖的颗数相等。每盒奶糖和每盒酥糖各有多少颗

9.体育室有篮球、足球、排球三种球。篮球3个，足球2个，排球1个，共值380元；篮球2个，足球1个，排球3个，共值350元；篮球1个，足球3个，排球2个，共值350元。问：每种球的单价各是多少元

第九讲作图法解题

例题选讲

例1:鸡与兔同笼共100只，一共有240只脚鸡与兔各多少只

例2:甲、乙两车同时从A、B两地相向开出，第一次相遇时离A地有90千米，然后各按原速度继续行驶，到达目的地后立即沿原路返回，第二次相遇时离B地70千米处，求A、B两地的路程。

练习与思考

1.有10分和20分的邮票共18张，总面值为2．80元。请问：10分和20分的邮票各有几张

2.张红与李明同时从甲、乙两地相向而行，第一次两人相遇时离乙地400米。然后两人继续步行，各自到达目的地后立即返回，第二次相遇时离甲地200米，求甲、乙两地的距离。

3.两根同样长的电线,第一根用去60 米，第二根用去20米，剩下的电线，第二根的长度是第一根的3倍。问：原来两根电线各长多少米(先画图再列式计算)

4.在一个除法算式里，被除数除以除数商是25，余数是10，已知被除数、除数、商与余数的和是357，除数是多少

5.甲、乙、丙、丁四个数，甲、乙、丙三个数的总和是300，丁数比甲、乙、丙、丁四个数的平均数少30，求丁数。

6.甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，第一次相遇时离A地50千米，相遇后继续按原速度行完全程，到达目的地后返回，第二次相遇时离A地30千米。问：

A、B两地距离是多少千米

7.五1班的男生与女生人数同样多。抽出去18名男生和26名女生参加合唱队后，剩下的男生人数是女生的3倍。五1班原来有男生、女生各多少人

8.用绳子测量井深，把绳折成相同的三段来量，井外剩余16分米；把绳折成相同的四段来量，井外剩余4分米，求井深和绳子的长度。

第十讲倒推法解题

例题选讲

例1:有一群猴子分吃桃子，第一只拿走—半，第二只拿走余下的一半多3个，第三只拿走第二只取剩的一半少3个，第四只拿走第三只取剩的一半多3个，第五只拿走第四只取剩的一半，最后还剩3个，这堆桃原来有多少个

例2:甲、乙、丙三人各有若干元钱，甲拿出与乙相同多的钱给乙，也拿出与丙相同多的钱给丙；然后乙也按甲和雨手中的钱分别给甲、丙相同的钱；最后丙也按甲和乙手中的钱分别给甲、乙相同的钱，此时三人都有48元钱。问：开始时三人各有多少元钱

例3:甲、乙、丙三人共有48张邮票，第一次甲先拿出与乙的邮票数相等的张数给乙；第三次乙拿出与丙的邮票数相等的张数给丙；第三次丙又拿出与这时的甲的邮票数相等的张数给甲，最后三人的邮票数相等，三人原来各有多少张邮票

练习与思考

1.张强去银行取款，第一次取了存款的一半多100元，第二次取了余下的一半少50元，第三次取了余下的一半多50元，这时他的存折上还剩下575元。问：张强原来有存款多少元

2.书架上有上、中、下三层书，共2400本一先从上层拿出与中层同样多的书放进中层，再从中层拿出与下层同样多的书放进下层，最后从下层拿出与上层现在同样多的书放进上层，这时三层书同样多。问：开始时，上、中、下三层各有多少本书

3.做一道整数加一个学生把个位上的7看作5，把十位上的5看作7，把百位上的9看作6，结果得出和为775。问：正确的答案应该是多少

4.有26块砖，兄弟两人争着去挑,弟弟走在前面，刚摆好砖哥哥赶来了。哥哥见弟弟挑得太多，就拿来一半给自己。弟弟觉得自己能行，又从哥哥那里拿来一半。哥哥不让，弟弟只好给哥哥5块，这样哥哥比弟弟多挑2块。问：开始时，弟弟准备挑多少块

5.甲、乙、丙三个瓶子共装了24升水,现在把甲瓶的水分别倒给乙、丙两瓶，使乙、丙两瓶的水比原来增加1倍；之后，又将乙瓶的水按上面的要求倒给甲、丙；最后，再按上面的要求将丙瓶的水倒一部分给甲、乙两瓶，这样倒了三次后，三个瓶中的水一样多。问：开始时甲、乙、丙三瓶各装水多少升

6.世纪商场里有一批儿童玩具，第一天运出总数的一半少4 个,第二天运出剩下的一半多2个，第三天又运进25个，这时库存儿童玩具45个，世纪商场原来有多少个儿童玩具

7.有一堆书，第一次搬一半，第二次搬走剩下的一半多3本，第三次搬走剩下的一半少3本，第四次搬走剩下的一半多3本，第五次搬走剩下的一半，最后剩3本。问：原来有多少本书

8.甲、乙、丙各有若干个橘子。第一次甲给乙、丙橘子，各给与他们原有橘子数量相等的个数；同样，第二次乙给甲、丙橘子，各给与他们现有橘子数量相等的个数；第三次丙给甲、乙橘子，同样各给与他们现有数量相等的个数。最后三人都各有48个橘子，那么开始时三人各有多少个橘子

9.一种有益的菌种每小时可增长。l 倍，现有一批这样的细菌：10小时后达到100万个，当它们达到25万个时，经历了多少长时间

第十一讲 分数大小的比较

例题选讲

例1:比较 1233 、511 和217

，这三个分数中最大的是哪一个分数最小的是哪一个分数例2:比 27 大，比13

小，分子为17的分数有多少个 例3:比较右两个分数的大小：3340 和3241

。 练习与思考

1．把下面各组中的分数按从大到小的 顺序排列： 3027 、1513 、2017 、1211

2．已知 45 > 7（） >12

，（ ）中可以填人的最大整数是多少最小整数是多少 3．比较下列两个分数的大小：613 和815

。 4．比较444443444445 和555554555556

的大小。 5．写出三个大于16 而小于15

的最简真分数。 6．在分数25 、511 、817 、2041

中，最大的是哪一个分数最小的是哪一个分数 7．把下列分数按从小到大的 顺序排列：

8489 、2123 、1213 、2831 、1415

8．比较下列两个分数的大小：

（1）617 和1019 （2）43120 和42121

9．在下列方框中填上适当的自然数，使不等式成立。

611 <109□ <59

10．如果59 <9□

<1，那么□中应填的整数有那些 11．分子是3，比765 小，但与765

最接近的分数是哪一个 第十二讲 分数求和的解题技巧

例题选讲

例1:先观察下列各式的特点，找出规律再解答下列各题。

（1）12 +14 +18 +116 （2）13 +16 +112 +124 +148

例2:从计算了前五道算式的结果中找出规律，填写出第六道算式的结果。 13 +23 =1=22

16 +26 +36 +46 +56 =212 =52

14 +24 +34 =112 =32

17 +27 +37 +47 +57 +67 =3=62

15 +25 +35 +45 =2=42

18 +28 +38 +48 +58 +68 +78

= 练习与思考

1．计算下列各题：

（1）12 +14 +18 +116 +132 +164 （2）1－12 －14 －18 －116 －132

2．计算：1100 +2100 +3100 +…+99100

3．计算：111024 +21512 +41256 +…+25614 +51212

4．（12 +13 +14 +…+120 ）+（23 +24 +…+220 ）+（34 +35 +…+320 ）+…+（1819 +1820 ）+1920

5． 1－（14 －18 ）－（18 －116 ）－（116 －132 ）-（132 －164

）

6．计算：1×3×24+2×6×48+3×9×721×2×4+2×4×8+3×6×12

7．计算：120042005 +220032005 +320022005 +…+200512005

8．求11 、12 、22 、12 、13 、23 、33 、23 、13 、…12005 、22005 、…2005 2005 、2004 2005 、…2 2005 、1 2005 的所有分数的和。