13数学分析期末复习题02
数学分析II期末考试题
∑ 2、讨论级数 ∞ cos nx (0 < x < π ) 的绝对和条件收敛性。 np n=1
四、证明题：（每小题 10 分，共 30 分）
∫x
tf (t)dt
1、 f（x）在[0，+∞）上连续且恒有 f（x）>0，证明 g(x) = 0
在[0，+∞）上单调增
∫x f (t)dt
0
加
∞
∑ { } 2、 设正项级数 xn 收敛， n=1
=
x2
∫ 3、 I n =
+∞ e−x x n dx (n 是非负整数）
0
4、设 u = f (x 2 + y 2 + z 2 , xyz), f 具有二阶连续偏导数，求 ∂ 2u ∂z∂x
5、求 f (x) = e x 的幂级数展开式
三、讨论与验证题：（每小题 10 分，共 20 分）
1、讨论二元函数连续、偏可导、可微之间的关系。对肯定的结论任选一进行证明；对否定 的结论，给出反例
2、证明： ∀m, n
>
m ，有 (n − m)
<
xm+1
+ " xn
<
xm 由此得 nxn
<
n n−m
xm ，（4
分）由
级数收敛，故 ∀ε
> 0 可取定 m0 使得 xm0
< ε ，又 lim n n→∞ n − m0
= 1 ，故 ∃n0 使得 n > n0 时，
有
n
n −m
<
2
，（4
分）于是当 n
∑ ∑ ∫ 二、1、由于 lim ln n n! = lim 1 (( n
数学分析期末考试试题2
数学分析期末考试试题2### 数学分析期末考试试题2一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数\( f(x) = \sin x \)在区间[0, \( \pi \)]上的最大值是： - A. 1- B. \( \frac{\pi}{2} \)- C. \( \sqrt{2} \)- D. \( \sqrt{3} \)2. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值是：- A. 0- B. 1- C. \( \frac{1}{2} \)- D. \( \frac{\pi}{2} \)3. 如果\( \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 \)，那么\( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx \)的值是：- A. 0- B. 1- C. 2- D. 无法确定4. 函数\( g(x) = x^2 + 3x + 2 \)的导数是：- A. \( 2x + 3 \)- B. \( x^2 + 3 \)- C. \( 2 + 3x \)- D. \( 3x + 2 \)5. 以下哪个序列是收敛的？- A. \( \{ \frac{1}{n} \} \)- B. \( \{ (-1)^n \} \)- C. \( \{ n^2 \} \)- D. \( \{ \frac{1}{n^2} \} \)二、填空题（每题2分，共10分）1. 函数\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)的极值点是______。
2. 如果\( \lim_{n \to \infty} a_n = L \)，则\( \lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} = \)______。
3. 函数\( h(x) = e^x \)的泰勒展开式在\( x = 0 \)处的前三项是______。
数学分析期末考试复习题及参考答案
数学分析 --复习资料一、单选题1、设 f (x) = x (x + 1)(x + 2) … (x +2004) , 则 f ' (0) = ( )A. 0B. 2003!C. 2004!D. 2005!参考答案： C2、设,则交换积分次序后为 ( )。
A.B.C.D.参考答案： A3、( )A. -2B. 2C. 0D. 发散参考答案： D4、幂级数的收敛域为( )。
A.B.C.D.参考答案： B5、 f (x) 在 x0 点连续的充分条件是( )。
A. f (x0 +0) 、f (x0 - 0) 存在B. f (x) 在 x0 点的极限存在C. f-' (x0 ) 、f+' (x0 ) 存在D. f (x) 在 x0 点的某空心邻域内连续参考答案： C6、已知,f (x) = ( )A.B.C.D.参考答案： C7、积分=A. 1；B. ；C. ；D. 。
参考答案： D8、已知, 则( )；A.B.C.D.参考答案： D9、设,则( )。
A.B.C.D.参考答案： C10、下面广义积分发散的一个是A. ；B. ；C. ；D. 。
参考答案： C11、使函数序列一致收敛的区域为A. ；B. ；C. ；D. 。
其中。
参考答案： B12、锥面被柱面所截部分的面积是( )。
A.B.C.D.参考答案： B13、( )；A.B.C.D.参考答案： C14、幂级数的收敛域为( )；A. (-1,1)B.C.D.参考答案： B15、函数连续,则在[a,b]上=( )A.B.C.D.参考答案： B16、级数为( )级数。
A. 收敛B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 发散参考答案： B17、 f (x) 在 x0 点连续,则下列命题不成立的是( )。
A. f (x0 +0) 、f (x0 - 0) 存在B. f (x) 在 x0 点的极限存在C. f (x) 在 x0 点的某邻域内有界D. f (x) 在 x0 点的某空心邻域内连续参考答案： D18、函数在 [a,b] 上可积的充要条件是( )A."e>0,$ s>0和d>0使得对任一分法D，当l（D）<d时，对应于wi³e的那些区间Dxi长度之和∑Dxi< s B."e>0,s>0, d>0使得对某一分法D，当l（D）<d时，对应于wi³e的那些区间Dxi长度之和∑Dxi< s C."e>0,$d>0使得对任一分法D，当l（D）D."e>0, s>0，$ d>0使得对任一分法D，当l（D）参考答案： D19、已知, 则( )；A.B.C.D.参考答案： C20、幂级数的收敛半径为A. ；B. 1；C. 2；D.参考答案： D21、A. AB. BC. CD. D参考答案： C22、函数f (x) = ln (ln x) 的定义域是( )A. x > 0B. x ≥ 0C. x > 1D. x ≥ 1参考答案： C23、( )；A.B.C.D.参考答案： C24、下列反常积分收敛的是( )。
山东大学《高等数学》期末复习参考题 (2)
2
=
2 4− x − y
2 2
d xd y =
2
2 d xd y z
且 D = ( x, y ) | x + y ≤ 4
2
∴
∫∫ (x
S
2
z + y 2 z d S = ∫∫ x 2 + y 2 ⋅ 2 d x d y
D
)
(
)
（4 分）
= 2∫ d θ∫ r 2 ⋅ r d r
0 0
2π
其中S是半球面x2+y2+z2=4,z≥0.
3、求曲面积分
4、计算 rot(r×c),其中 r 为矢径，c={2,1,－3}. 5、设 u = x + y + z ，而 z = x cos y ，求
2 2 2 2
∂u ∂u , 。 ∂x ∂y
四、证明题（10 分）
设函数 u = F ( x , y , z ) 在条件 Φ( x , y , z ) = 0 下有极值为 u0 = F ( x 0 , y 0 , z 0 ) ，其中函数
3 2
（6 分） （3 分） （6 分）
u y = 2 y + 2 z ( − x 2 sin y ) = 2 y − 2 x 4 sin y cos y
四、证明题（10 分）
证明：显见曲面 u = F ( x , y , z ) 与 Φ( x , y , z ) = 0 在 点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 相交。 令 L = F ( x, y, z ) + λF ( x, y, z ) 则在点 x 0 , y 0 , z 0 ) 处有 （2 分）
2 2 2
(0,0) 是函数 z 的（
(完整)华中师范大学数学分析期末考试试题2
数学分析期末考试试题一、叙述题:（每小题6分，共18分）1、 牛顿—莱不尼兹公式2、 ∑∞=1n n a收敛的cauchy 收敛原理3、 全微分二、计算题：（每小题8分，共32分）1、40202sin lim x dt t x x ⎰→2、求由曲线2x y =和2y x =围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。
3、求∑∞=+1)1(n nn n x 的收敛半径和收敛域，并求和4、已知z y x u = ，求yx u ∂∂∂2 三、（每小题10分，共30分）1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数 ∑∞=1!n n n n 2、讨论反常积分⎰+∞--01dx e x x p 的敛散性3、讨论函数列),(1)(22+∞-∞∈+=x n x x S n 的一致收敛性四、证明题（每小题10分，共20分）1、设)2,1(11,01 =->>+n n x x x n n n ，证明∑∞=1n n x 发散 2、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0)点连续且可偏导,但它在该点不可微.,参考答案一、1、设)(x f 在连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则成立)()()(a F b F dx x f ba -=⎰ 2、,0.0>∃>∀N ε使得N n m >>∀，成立ε<+++++m n n a a a 213、设2R D ⊂为开集，],[b a D y x y x f z ∈=),(),,(是定义在D 上的二元函数，),(000y x P 为D 中的一定点，若存在只与点有关而与y x ∆∆,无关的常数A 和B ，使得)(22y x o y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆则称函数f 在点),(000y x P 处是可微的,并称y B x A ∆+∆为在点),(000y x P 处的全微分二、1、分子和分母同时求导316sin 2lim sin lim 54060202==→→⎰x x x x dtt x x x （8分) 2、 、两曲线的交点为（0，0），（1，1)（2分） 所求的面积为：31)(102=-⎰dx x x （3分） 所求的体积为:103)(105ππ=-⎰dx x x （3分） 3、 解：设∑∞=+=1)1()(n nn n x x f ，1)1(1)2)(1(1lim =+++∞→n n n n n ,收敛半径为1，收敛域 [-1，1］（2分）),10(),1ln(11)1()(121'<<---=+=∑∞=-x x x x n x x f n n )10(),1ln(11)()(0'<<--+==⎰x x x x dt t f x f x (3分) x =0级数为0，x =1，级数为1，x =-1,级数为1—2ln2(3分）4、解： y u ∂∂=z x x z y ln （3分）=∂∂∂y x u 2zx x x x zyz y 1ln 1+-（5分） 三、1、解、有比较判别法，Cauchy,D’Alembert,Raabe 判别法等（应写出具体的内容4分）11)111(lim !)1()!1(lim -∞→+∞→=+-=++e n n n n n n n nn n （4分)由D’Alembert 判别法知级数收敛（1分） 2、解：⎰⎰⎰+∞----+∞--+=1110101dx e x dx e x dx e x x p x p x p （2分）,对⎰--101dx e x x p ，由于)0(111+→→---x e x x x p p 故p >0时⎰--101dx e x x p 收敛（4分）；⎰+∞--11dx e x x p ，由于)(012+∞→→--x e x x x p （4分)故对一切的p ⎰+∞--11dx e x x p 收敛,综上所述p >0,积分收敛3、解：221)(n x x S n +=收敛于x （4分）0)(sup lim ),(=-+∞-∞∈∞→x x S n x n 所以函数列一致收敛性（6分） 四、证明题（每小题10分,共20分）1、证明:11123221213423-=-->=-n n n x x x x x x x x n n n )2(,112>->n x n x n （6分） ∑∞=-211n n 发散，由比较判别法知级数发散（4分) 2、证明:||||022xy y x xy≤+≤（4分）22)0,0(),(lim y x xy y x +→=0所以函数在（0，0）点连续，（3分)又00lim 0=∆→∆x x ,)0,0(),0,0(y x f f 存在切等于0，(4分）但22)0,0(),(lim y x y x y x ∆+∆∆∆→∆∆不存在,故函数在（0，0）点不可微（3分）。
(完整word版)数学分析复习题及答案(word文档良心出品)
数学分析复习题及答案一.单项选择题1. 已知, 则=（）A. B. C. D.2. 设, 则（）A. B. C. D.3. （）A. B. C. D.4. 下列函数在内单调增加的是（）A. B. C. D.二、填空题1. 设函数2.3．在处连续, 则三、判断题1. 若函数在区间上连续, 则在上一致连续。
（）2. 实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点。
（）3．设为定义在上的单调有界函数, 则右极限存在。
（）四、名词解释1. 用的语言叙述函数极限的定义2. 用的语言叙述数列极限的定义五、计算题1. 根据第四题第1小题证明2. 根据第四题第2小题证明3. 设, 求证存在, 并求其值。
4．证明：在上一致连续, 但在上不一致连续。
5. 证明: 若存在, 则6. 证明: 若函数在连续, 则与也在连续, 问: 若在或在上连续, 那么在上是否必连续。
一、1.D 2.C 3.B 4.C二、1. 2. 3.三、1.× 2.√ 3.√四、1.函数极限定义: 设函数在点的某个空心邻域内有定义, 为定数。
, , 当时, , 则。
2.数列极限定义：设为数列, 为定数, , , 当时, 有, 则称数列收敛于。
五、1.证明:, , 当时, ；得证。
2.证明:令, 则, 此时, ,, , 当时,3.证明：⑴，⑵)1)(1(1111111----+++-=+-+=-n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x 而, 由数学归纳法可知, 单调增加。
综合⑴, ⑵可知存在,设, 则由解得=A 215+（负数舍去）4.证明: 先证在上一致连续。
, 取, 则当且有时, 有 []δ•''+'≤''-'''+'=''-'x x x x x x x f x f ))(()()(εε<+⋅++≤)(2)1(2b a b a故2)(x x f =在[]b a ,上一致连续。
数学分析(二)期末试题
《数学分析（二）》期末试题一、选择题（共20分） 1、dxx dxd b a⎰2sin =（ ） A 、22sin sinab - B 、22cos cos ab - C 、2sinxD 、02、下列积分中不是非正常积分的是( ) A 、 dx x⎰+∞+0211 B 、dxx⎰-1211 C 、dx x⎰-42211 D 、dxx ⎰-22)1(13、若任意的),(b a x ∈，有0)0(,0)(>''>'f x f 则)(x f 在),(b a 内是（ ） A 、单调增加的凸函数 B 、单调减少的凹函数 C 、单调减少的凸函数 D 、单调增加的凹函数4、cx dx x f x+='⎰2ln2)(ln 1且1)0(=f ，则=)(x f （ ）A 、122+xB 、x 2ln 2C 、22xD 、c x +2ln 25．下列级数中条件收敛的是（） A 、∑!sin n x B 、1)1(+-∑n n nC 、∑+-]11)1[(nnnD 、nn2sin)1(∑-6、曲线1)1(3--=x y 的拐点是（ ）A 、)0,2(B 、)1,1(-C 、)2,0(-D 、无拐点 7、若级数∑∞=+0)1(n nu 收敛，则=∞→n n u lim （）。
A 、1B 、-1C 、0D 、不存在。
8、设)(x f 为连续函数，则dtt f dxd xx⎰2)(=（ ）A 、)()(22x f x xf-B 、)(22x xf C 、)(x f D 、)()21(x f x -9、若1n n μ∞=∑收敛，1nn k k S μ==∑，则下列命题中正确的是（ ）。
A 、lim 0nn S →∞=B 、lim n n S →∞存在C 、lim n n S →∞不存在 D 、}{n S 单调 10、13n nn xn ∞=⋅∑的收敛半径为（ ）A 、0B 、1C 、3D 、13二、填空题（共20分） 1、=⎰-xdx x arccos117（ ）2、23sin limxx t dt x→=⎰（ ）3、=--⎰dx x x)cos 312(2（ ）曲线)10(,2≤≤=x x y 绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积是（ ） 5、dxxx p⎰+∞1sin 条件收敛，那么p 的取值范围为（ ）6、设13--=ax x y 在1=x 处存在极值，则=a （ ）7、函数)1()1()(>-+=p x xx f pp在]1,0[上的最大值为（ ）8、曲线2y x=和2y x=所围城的平面图形的面积为（ ） 9.级数()111n n n ∞=+∑的和为（ ）。
数学分析期末考试题1、2(第二份有答案)
一、 判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集． （ ）2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等． （ ）3.连续函数的全增量等于偏增量之和． （ ）4.xy y x f =),(在原点不可微． （ ）5.若),(),(y x f y x f yxxy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =． （ ） 6.dy y x xyy )1(sin 21+⎰+∞在)1,0(内不一致收敛． （ ） 7.平面图形都是可求面积的． （ ） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （ ） 9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”． （ ） 10.二重积分定义中分割T 的细度T不能用}{max 1i ni σ∆≤≤来代替． （ ）二、 填空题（每小题3分，共15分） 1.设)sin(y x e z xy+=，则其全微分=dz ．2.设32),,(yzxy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad ． 3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+Lydx xdy． 4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于 ．5.曲面273222=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为 ． 三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限xyy x y x )(lim 22)0,0(),(+→．2． 设),(y x z z =是由方程ze z y x=++所确定的隐函数，求xyz ．3．设]1,0[]1,0[⨯=A ，求⎰⎰++=A y x ydxdyI 2322)1(. 4．计算抛物线)0()(2>=+a ax y x 与x 轴所围的面积.四、(10分)密度22),,(yx z y x +=ρ的物体V 由曲面222yxz +=与2=z 所围成，求该物体关于z 轴的转动惯量． 五、（10分）求第二类曲面积分⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222其中S 是球面2222)()()(R c z b y a x =-+-+-并取外侧为正向．六、（第1小题8分，第2小题7分，共15分）． 1. 求曲线6222=++z y x ，22yx z +=在点（1，1，2）处的切线方程和法平面方程． 2．证明：22114π=+⎰+∞dx x ． 七、（10分）应用积分号下的积分法，求积分)0(ln )1cos(ln 10>>-⎰a b dx xxx x ab ． 二、 填空题（每小题3分，共15分） 1.设)sin(y x e z xy+=，则其全微分=dzdy x y x x e dx y x y x y e xyxy )]cos()sin([)]cos()sin([+++++++． 2.设32),,(yz xy z y x f +=，则f在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad (1,-3,-3)． 3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+Lydx xdy2 ． 4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于b a 532．5.曲面273222=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为111193--=-=-z y x ． 三、计算题（每小题5分，共20分）1．求极限xyy x y x )(lim 22)0,0(),(+→．解：先求其对数的极限)ln(lim 22)0,0(),(y x xy y x +→． 由于)0,(0ln )ln(2222222+→=+→≤+r r y x r r y x xy 令， 所以)ln(lim 22)0,0(),(y x xy y x +→=0，故xyy x y x )(lim 22)0,0(),(+→=1．2． 设),(y x z z =是由方程ze z y x =++所确定的隐函数，求xyz ．解：方程ze z y x =++两边对x ，y求偏导数，得x z e x z z ∂∂=∂∂+1 yze y z z∂∂=∂∂+1 解得11-=∂∂=∂∂ze y z x z 32)1()1()11(-=∂∂⋅--=-∂∂=z z z z z xy e ey z e e e y z 。
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重积分复习题一、计算题1．设f 在(-∞,+∞)上连续，化重积分I=⎰⎰≤≤+1||||22)(x y dxdy y x f 为定积分。
2. 计算⎰⎰⎰Ω-++dxdydz z y x |1|222，其中Ω是由z=22y x +与z=1所围成的立体。
3. 求I=⎰⋂++-AnBxxdy x y e dx y e x )3sin ()cos (2，其中⋂AnB 是由A(0,2)沿右半圆周到B(0,0)的路径。
4. 求I=⎰⎰++SdS z y x )(，S ：x 2+y 2+z 2=R 2（z ≥0）。
5．求曲线积分⎰=+--+22222)2sin 2(cos )(Ry x y x xydy xydx e ，其中闭曲线取正向。
6. 计算⎰⎰+S xyzdxdy ，其中S ＋为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧，在x ≥0，y ≥0的部分。
7. ⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222，其中∑是立方体0≤x,y,z ≤a 表面的外侧。
8. 化以下第二型曲线积分为定积分（不计算定积分）：I=⎰+Cxydy dx y 2，C 为曲线：14)2(9)1(22=-+-y x 上从点(1,4)到(4,2)的一段。
9. 计算⎰⎰++Sdxdy z dxdz y dydz x 333，其中S 为球x 2+y 2+z 2=a 2的外表面。
10. 试用格林公式计算I=⎰-++Cy dy ye x dx x xy )()sin 3(2之值，其中C 是曲线y=x 2-2x 上以O(0,0)为始点，A(4,8)为终点的曲线段。
11. 求⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-Ddxdy y x y x cos ，D 是由x+y=1，x 轴及y 轴围成的平面区域。
12．求由曲面z=22y x +，x 2-2x+y 2=0及平面z=0围成的立体之体积。
13.2)()2(y x ydydx y x +++是否为某个函数u 的全微分？若是求u(x,y)。
14. 计算：⎰⎰+-Ddxdy y x y x )cos()(，其中D 由0≤x-y ≤2π，0≤x+y ≤2π所围成。
15. 计算⎰⎰∑+++++dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ]),,([]),,(2[]),,([，其中f(x,y,z)为连续函数，∑为平面x-y+z=1在第四卦限部分的上侧。
16. 计算二重积分⎰⎰Dydxdy x 2，其中D 为由y 2=x ，y=x+2，x=0及x=2所围成的平面区域。
17. 求积分值I=⎰+Lds y n y x n x )],cos(),cos([ ，其中L 为包围有界区域D 的闭曲线，n为L 的外法线方向。
18．求曲线积分⎰=+--+22222)2sin 2(cos )(Ry x y x xydy xydx e ，其中闭曲线取正向。
19. 求：I=⎰⎰⎰++Vdv z y x )(222，其中V ：x 2+y 2+z 2≤2z 。
z20. 应用斯托克斯公式计算dz y x dy x z dx z y L)()()(-+-+-⎰，其中L 是柱面x 2+y 2=a 2和平面1=+hza x （a>0，h>0）的交线，从OX 轴正向看去，按逆时针方向。
21. 求积分I=⎰10)(dx x f ，其中f(x)=⎰-x y dy e22。
22．计算：⎰++Czy x ds 222，其中C ：x=acost ，y=asint ，z=bt ，0≤t ≤2π。
23. 计算三重积分⎰⎰⎰-Vdxdydz x y 21，其中V 由曲面y=-221z x --，x 2+z 2=1，y=1所围成。
24. 验证⎰-+-Ldy y x x y dx x y y x )sin cos 2()sin cos 2(22与路线无关，并计算⎰-+-),()0,0(22)sin cos 2()sin cos 2(y x dy y x x y dx x y y x的值。
25. 计算⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322，其中∑为上半球体0≤z ≤222y x a --的表面外侧。
26. 求I=⎰⎰++SdS z y x )(，S ：x 2+y 2+z 2=R 2（z ≥0）。
二、证明题1. 证明：若函数f(x,y,z)于域V 内是连续的且对于任意的域W ⊂V ，0),,(=⎰⎰⎰Wdxdydz z y x f ，则当(x,y,z)∈V 时，f(x,y,z)≡0。
2. 设函数u(x,y)在光滑闭曲线L 所围的区域D 上具有二阶连续偏导数，证明：⎰⎰⎰∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂L D ds n u dxdy y u x u 2222， 其中nu∂∂是u(x,y)沿L 外法线方向n 的导数。
3. 设P ，Q ，R 在L 上连续，L 为光滑弧段，弧长为l ，证明：Ml Rdz Qdy Pdx L ≤++⎰，其中M=⎭⎬⎫⎩⎨⎧++∈222),,(m ax R Q P L z y x 。
4. 设u ，v ∈C (2)(D)，证明：⎰⎰⎰⎰⎰⋅-∂∂=∆∑DDgradvdxdy gradu ds n vuvdxdy u 。
其中∆V=2222y v x v ∂∂+∂∂，nv∂∂是v 沿单位外法向量n 的方向导数,∑为D 的光滑边界。
5. 设f 为连续函数，a>0，证明：⎰⎰⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-aaDdu a u u f a dxdy x y f 222||1)(2)(，其中(x,y)∈[-a,a]⨯[-a,a]。
6. 设一元函数f(t)在(0,+∞)内具有一阶连续导数，令⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤++=Ω2222222),,(t c z b y a x z y x t ，F(t)=⎰⎰⎰Ω⎪⎪⎭⎫⎝⎛++tdxdydz c z b y a x f 222222。
(1)证明F(t)在(0,+∞)内具有二阶连续导数； (2)求出F /(t)的表达式。
重积分复习题参考答案一、计算题1．设f 在(-∞,+∞)上连续，化重积分I=⎰⎰≤≤+1||||22)(x y dxdy y x f 为定积分。
解：I=4⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=2141arccos41sec 040)()(4)(ππθπθθθrd r rf dr d r rf dr dr r rf d ⎰⎰-+=211)()1arccos 4()(dr r rf rdr r rf ππ2. 计算⎰⎰⎰Ω-++dxdydz z y x |1|222，其中Ω是由z=22y x +与z=1所围成的立体。
解：Ω被球面x 2+y 2+z 2=1分成两部分，下面部分记为Ω1，上面部分为原式=⎰⎰⎰Ω++-1)1(222dxdydz z y x +⎰⎰⎰Ω-++2)1(222dxdydz z y x=⎰⎰⎰-1024020sin )1(dr r r d d ϕϕθππ+⎰⎰⎰-ϕππϕϕθcos 1124020sin )1(dr r r d d =6π3. 求I=⎰⋂++-AnBxx dy x y e dx y e x )3sin ()cos (2，其中⋂AnB 是由A(0,2)沿右半圆周到B(0,0)的路径。
解：由格林公式可求出I=-23π+cos2-1。
4. 求I=⎰⎰++SdS z y x )(，S ：x 2+y 2+z 2=R 2（z ≥0）。
解：由于区域的对称性及被积函数关于x,y 为奇函数，故⎰⎰SxdS =⎰⎰SydS =0，又由球面x 2+y 2+z 2=R 2，解得z x x z -=∂∂，z y y z -=∂∂，所以ds=dxdy z R dxdy y z x z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+221，于是 I=32222R RR Rdxdy Rdxdy zdS R y x D Sxyππ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+。
5．求曲线积分⎰=+--+22222)2sin 2(cos )(Ry x y x xydy xydx e ，其中闭曲线取正向。
解：)(22)2sin 22cos 2(y x e xy x xy y xQ---=∂∂=)(22)2cos 22sin 2(y x e xy y xy x y P --+-=∂∂，由格林公式， ∴原式=0。
6. 计算⎰⎰+S xyzdxdy ，其中S ＋为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧，在x ≥0，y ≥0的部分。
解：令S=S 1+S 2，在S ＋上：z=221y x --，cos γ>0；在S 2＋上：z=-221y x --，cos γ<0。
故⎰⎰+S xyzdxdy =⎰⎰+1S xyzdxdy +⎰⎰+2S xyzdxdy =dxdy y x xyxy D ⎰⎰--221-dxdy y x xy xyD ⎰⎰---)1(22=2dxdy y x xy xyD ⎰⎰--221=21521sin cos 12220=-⋅⎰⎰ρρρθθρθπd d 。
7. ⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222，其中∑是立方体0≤x,y,z ≤a 表面的外侧。
解：⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222=2⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(=2403)(a dz z y x dy dx aa a =++⎰⎰⎰8. 化以下第二型曲线积分为定积分（不计算定积分）：I=⎰+Cxydy dx y 2，C 为曲线：14)2(9)1(22=-+-y x 上从点(1,4)到(4,2)的一段。
解：令x=1+3cost ，y=2+2sint （2π≤t ≤2π），则 I=⎰+++-+ππ222]cos 2)sin 22)(cos 31()sin 3()sin 22[(dt t t t t t 。
9. 计算⎰⎰++Sdxdy z dxdz y dydz x 333，其中S 为球x 2+y 2+z 2=a 2的外表面。
解：原式=512πa 5。
10. 试用格林公式计算I=⎰-++Cy dy ye x dx x xy )()sin 3(2之值，其中C 是曲线2为始点，A(4,8)为终点的曲线段。
解：如图补充折线段L -1、L -2使L 1+L 2+C 成封闭曲线， 于是I=⎰⎰⎰⎰++-12)32(L L Ddxdy x x =-⎰⎰Dxdxdy -⎰⎰++4080)sin 24(dx x x dy ye y =13331-7e 8-cos4。
11. 求⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-Ddxdy y x y x cos ，D 是由x+y=1，x 轴及y 轴围成的平面区域。
解：令u=x-y ，v=x+y ，即x=2v u +，y=2v u -。