质心参考系的运用 粒子的对撞
专题：质心系概论
转动惯量小的滚得快！
┫
质心的角动量仍能满足角动量定理的原因。 5
【例】一长为L，质量为m的均匀细棒，水平放 置静止不动，受垂直向上的冲力F作用，冲量 为Ft（t很短），冲力的作用点距棒的质心l 远，求冲力作用后棒的运动状态。
解 （1）质心的运动
l CF
(F mg ) t mv C0
vC 0
F
m m
g
t
质心以vC0的初速做上抛运动。
（2）在上抛过程中棒的转动
绕过质心转轴，列转动定理：
Fl JC JC
d
dt
JC
t
JC
t
Flt
JCLeabharlann 12FltmL2l CF
在上抛过程中，棒以恒定角
速度绕过质心轴转动。
三.刚体的无滑动滚动 瞬时转轴 1.平面平行运动
质心做平面运动＋绕过质心垂直轴做转动 只考虑圆柱，球等轴对称刚体的滚动。 2.无滑动滚动： 任意时刻接触点P 瞬时静止
可以证明： L L LC
3
2. 质点系对质心的角动量定理：
d L dt
d
d t
(L
LC
d L （d rC
dt dt
)
P
d
d
t
(
L
rC
rC
dP dt
P ）
)
ri
Fi
（0
(ri rC ) Fi
rC
Fi）
ri Fi
M外
即有
M 外
d L dt
—— 质心系中质点对质心的角动量定理 4
一. 质心（参考）系（frame of center of mass） 1. 质心系 讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系。 质心系是固结在质心上的平动参考系。 质心系不一定是惯性系。 质点系的复杂运动通常可分解为： 质点系整体随质心的运动；
从质心系看“弹性正碰”
用质心系研究“弹性正碰”深圳市松岗中学（518105） 江浩东弹性正碰问题，往往涉及到求速度的问题。
如果解二元二次方程组，繁杂又易错；如果死记公式，枯燥又难记。
若以质心系处理这一问题，将会显得简单很多。
具体可按四个步骤进行这部分内容的学习：①理解弹性碰撞的特点和规律；②掌握“总动量等于零的弹性正碰”模型；③选择系统质心作参考系，将普通情形转换为“总动量为零”的模型；④在理解的基础上记住弹性正碰公式，并能灵活应用。
1．弹性碰撞的特点和规律2．总动量为零的弹性正碰模型 【例题】验证下列碰撞是否为弹性碰撞动量大小相等，方向相反（总动量为零）的两个物体发生正碰，碰撞后各自以原来速率反弹。
即 11v v '=- ，22v v '=- 【验证】碰前：总动量=112211110m v m v m v m v +=-=总动量=2211221122m v m v + 碰后：总动量=112211221122()()()0m v m v m v m v m v m v ''+=-+-=-+=总动量=222222112211221122111111()()222222m v m v m v m v m v m v ''+=-+-=+ 碰撞前后总动量相等，总动能相等，该碰撞为弹性碰撞。
【模型】总动量为零的弹性正碰3．巧用质心系处理一般的弹性弹性正碰对上述结论中的两个公式，要清楚是怎样得来的，只有这样，才能学到相关的物理知识和物理方法；要知道公式中各项的含义，只有这样才能牢记。
4．弹性正碰公式的应用 4．1弹性正碰的两个特例【特例1】质量相等的两物体发生弹性正碰，两物体交换速度。
1211221112122()m m m v m v v v v v m m =+''=-−−−→=+ 1211222221122()m m m v m v v v v v m m =+''=-−−−→=+ 【特例2】小质量物体1m 与静止的大质量物体2m （12m m <<）发生弹性正碰，碰后1m 以原速率反弹，2m 仍然静止不动。
质心坐标系在处理二体问题时的应用
贝 南 Ｃ 至 Ｉ 向径是 ０ ＵＴ 的 Ｉ —
—
ｍ
ｍ ＋Ｍ
＿ ｒ ｒ．囚ｍ 仕， — 芦 因而在质 】 灾
，
心 系 中， 质点 Ｉ 的运 动 Ｔ Ｉ 微分 力程 为
Ｍ 图 ｌ 质心 参 考 系
’
ｘ ＝ 一 ｉ ２ ｓｎ叫 ＝ 一 。ｓ ～ ２ｃ 叫
质 心 坐 标 系 在 处 理 二 体 问题 时 的应 用
张浩 波
（重 庆 广 播 电 视 大 学 理 工部 ， 重 庆
【 摘
４０３ ０ ０ ９）
要】 用质心 坐标 系分 析 了二体 问题 的 运动 方程 ，并 用质 心 系讨 论 了两个粒 子 间 的弹性 碰撞 问题 。 【 献 标 识 码】 文 Ａ
维普资讯
８
张 浩 波 ： 质 心 坐 标 系 ： 世 二 体 问题 时 的 用 处
３ ５
粒子 （ 他们 作掸 ｝碰撞 ） 生 ，分析 ｍ 和 的散射角 。
取地 球 为惯性 参 照 系 ， 在该 系中 ，设 碰撞前
＝
（－ ） Ｉ ：（
由此 可知 ，／］ ｍ 的运动轨迹 为旋轮线 （ 图 Ｊ昧 、 如 ２ ） 示 。
同于质量为 的质点在中心力 ． 作用下按牛顿 厂 定律所形成的运动。 同样 ， Ｍ 的运动微分方程 质
也 有相似 的结 论 。
求／ 球间线 的张力 ，可用折合质量方法计算得： Ｊ 、
＝ ． 了 ｐ ２
ｍ（ ｌ — Ｍ
ｒ ， ： ，， ） Ｊ
＋ ｍ
在地球 坐标 系 ｘｙ中 ， ｏ
＋ｍ
其中尹 － 作用力， ： ‘ ＭＸｍ的 ￣ ｆ 令
＝… 一 ２ｓｎＣ ＝ ２ —Ｓｎ ｝ ＝ ２ｔ ｉ ｔ 、ｔ ｌ ， Ｓ Ｏ ＝一Ｉｏ 一 。 ｌ ｌ
碰撞 碰撞定律 质心运动定律 东北大学 大学物理
M Rd
πR
2R
M
M
π
xc 0
几何对称性
例题 如图，人与船构成质点系，人向右走时船向左动，当人从 船头走到船尾时(船长为l）则 质心位置不变 xc xc 开始时，系统质心位置
x1' x1
xc
mx1 m
Mx2 M
O
•• x2'
x
x2
i
1 完全弹性碰撞 动量守恒，机械能守恒
2 完全非弹性碰撞 动量守恒，机械能不守恒
3 非完全弹性碰撞 动量守恒，机械能不守恒
4/16
例题: 求两物到达最高处的张角
解：分三个过程：
（1）小球自A下落到B，机械能守恒：
1 2
m1v 2
m1gh1
m1gl(1 cos )
1
m1 m2
（2）小球与蹄状物碰撞过程，动量守恒：
此时，物体碰撞后以同一速度运动，不再分开，这就 是说物体碰撞后已经完全不能恢复形变。
(3) 非完全弹性碰撞 当0＜e＜1时， v2 v1 e(v10 v20 )
此时，碰撞后形变不能完全恢复，一部分机械能将被转 变为其他形式的能量 (如热能）。
一般情况碰撞时 F ex F in
pi C
miri / M
i
xC mi xi / M yC mi yi / M
zC mi zi / M
质量连续分布的系统的质心位置:
rC rdm / M
xc
xdm M
yc
ydm M
zc
zdm M
(3) 质心不同与重心： 物体体积不太大时两者重和；物体远 离地球时不受重力，“重心”失去意义，“质心”仍在。
度是互相垂直的。
质心参考系在力学教学中的重要性研究
质心参考系在力学教学中的重要性研究作者：霍海波范其丽来源：《经营管理者·上旬刊》2016年第04期摘要：在应用物理专业的教学过程中，有的知识点具有连续应用的特点，而这些知识点在定义时如果学生没能很好的掌握，结果就会导致在后续的学习过程中再遇到该类问题时，由于概念及定义掌握不牢固、印象不深，而出现理解上的问题。
久而久之，必定影响学生的学习积极性。
在力学的教学过程中，质心参考系就是这样一个连续应用的例子。
本文给出了质心参考系的定义，并总结了在力学及量子力学中质心参考系的连续应用，通过举例加深理解，以使学生能够很好的掌握关于质心参考系的定义，并能熟练应用。
关键词：质心参考系应用一、质心参考系的定义及相关定理力学是物理专业学生接触的第一门专业课，它有区别于中学物理中的力学，需要用矢量和微积分来处理问题，需要转变分析方法，同时也是后续课程学习的专业基础课，对物理专业的学生来说，地位十分重要。
在力学教学过程中，很多同学由于新接触一些物理概念，理解上会出现困难，结果此概念在后续章节的学习过程中持续出现，导致部分同学理解连续出现问题，影响学习积极性。
如质心参考系就是其中一个在力学教学中连续应用的概念。
由于质心参考系在力学学习中的重要性，在此首先给出质心和质心参考系的定义。
质心参考系示意图如图1所示图1 质心参考系示意图其中o～xyz为惯性参考系，o’～x'y'z’是以质心为坐标原点的质心参考系，设质点组中第i 个质点的质量为，相对于质心C的位矢为，质心坐标定义如下上式所确定的空间点和质点系密切相关，叫做质点系的质量中心，简称质心。
和XC，YC，ZC分别称为质心的位置矢量和质心坐标，它实际上是质点系质量分布的平均坐标。
如果为联系分布的刚体，则上式得求和符号变为积分。
在分析一些问题时，采用质心坐标系可以使问题简化，质心坐标系就是将坐标系变为o’～x'y'z’，一个显著特点是质心在质心坐标系中的位置矢量为零，根据这一特点，质心坐标系具有以下一些特性1.质点系质心运动定理即质点系总质量与质心加速度的乘积总是等于质点系所受外力的矢量和，这一点在我们分析力作用在物体不同位置时产生的复杂运动形式尤为重要，通过分析这些力的矢量和可以确定质心的运动状态，进而使问题简化。
质心系在近似处理中的特殊作用-质量悬殊的两体问题的近似处理_(精)
玉林师范学院本科生毕业论文质心系在近似处理中的特殊作用—质量悬殊的两体问题的近似处理Special Function of Center-of-Mass Frame in the Approximate Disposal- the Approximate Disposal of Two-Body System with Great Disparity in Mass院系物理科学与工程技术学院专业物理学学生班级 2008级 2班姓名覃惠学号 200805401230指导教师单位物理科学与工程技术学院指导教师姓名关小蓉指导教师职称副教授质心系在近似处理中的特殊作用—质量悬殊的两体问题的近似处理物理学 2008级 2班覃惠指导老师关小蓉摘要质心参考系是一种重要的参照系, 本文主要阐述在实验室参考系与质心参考系下对质量悬殊的两体问题近似处理进行比较,分析在进行近似处理时,质心参考下的特点以及其特殊作用。
关键词:两体问题,质心系,近似处理,质量悬殊Special Function of Center-of-Mass Frame in the Approximate Disposal -the Approximate Disposal of Two-BodySystem with Great Disparity in MassPhysics Science 2008-2 QinHuiSupervisor Guan XiaorongAbstractThe centroid reference frame is an important reference system. This paper mainly analyzes the characteristics of the reference system and its special effects, By giving approximatr treatment to two bodies of different quality under the Laboratory frame of reference and centroid reference frame.Key words: great disparity in mass, two-body problem, frame of center of mass, approximate disposal目录1前言 (1)2 质心参考系 ....................................................................................................................... 2 2.l 质心的引进及意义 (2)2.2质心参考系的定义 (2)3 两体问题的动力学分析 ................................................................................................... 2 3.1质点组的相对运动方程 .. (2)3.2质点组的动能和相对运动动能 (4)4 实例讨论 (6)5 质心系的优越性分析 ..................................................................................................... 10 5.1 质心系及其特点 (10)5.2质心系的优越性 ....................................................................................................116 结束语 (12)7 致谢 ................................................................................................................................. 12 参考文献 .. (14)玉林师范学院本科生毕业论文1前言自 18世纪以来, 经典力学已逐渐发展成为一门理论严谨、体系完整的科学, 其中单体问题通常都能精确求解, 而多体问题中每个质点的运动情况各不相同, 一般不能精确求解, 而我们研究的多数为两体问题, 原因是许多实际的力学问题都可近似为两体问题。
碰撞问题 质心运动定理
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•完全弹性碰撞：
e 1
(m1 m2 )v10 2m2v20 v1 m1 m2 (m2 m1 )v20 2m1v10 v2 m1 m2
机械能损失：
完全弹性碰撞过程，系统的机械能（动能）也守恒。
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讨论
1. 当m1=m2时， 则
质量相等的两个质点在碰撞中交换彼此的速度。
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例3-15 质量为m1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面上 用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l 。问他们将在 何处相遇？
把两个小孩和绳看作一个 解： 系统，水平方向动量守恒。 任取两个小孩连线上一点为 原点，向右为x轴为正向。 设开始时小孩的坐标分别为x10、x20， 在任意时刻的速度分别v1为v2，坐标为x1和x2。 由运动学关系：
m1/m2 越小，机械能损失越大； m1/m2 越大，机械能损失越小。
打桩 打铁
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§ 3-3 质心运动定理
一、质心
质心（center of mass）是与质量分布有关的一个代表 点，它的位置在平均意义上代表着质量分布的中心。
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对于N个质点组成的质点系：
m1, m2 ,, mi ,，mN r1, r2 ,, ri ,，rN
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2. 牛顿的碰撞定律：碰撞后两球的分离速度(v2-v1)， 与碰撞前两球的接近速度(v10-v20)成正比，比值由两 球 的 材 料 性 质 决 定 。 即 恢 复 系 数 （ coefficient of restitution）：
v2 v1 e v10 v20
完全弹性碰撞（perfect elastic collision）： e =1 v2-v1 = v10-v20 非弹性碰撞（inelastic collision）： 0<e<1 完全非弹性碰撞（perfect inelastic collision）： e =0 v2=v1
2021学科教学(物理)专业同等学历加试科目(力学)考试大纲和参考书目
同等学历加试科目：《力学》一．试卷满分及考试时间试卷满分：100分考试时间：120分钟二．考试题型填空、选择、计算题等三大类型三．考试大纲及参考书目（一）考试大纲第一章物理学与力学基本内容：发展着的物理学，物理学科的特点，时间和长度的计量，单位制与量纲，数量级估计。
考核要求：1、理解单位制与量纲。
2、能进行数量级估计。
第二章质点运动学基本内容：质点的运动学方程，瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量，质点直线运动――从坐标到速度和加速度，质点直线运动――从加速度到速度和坐标，平面直角坐标系·抛体运动，自然坐标·切向和法向加速度，极坐标系·径向速度与横向速度，伽利略变换。
考核要求：1、掌握描述质点运动及运动变化的四个基本物理量——位置矢量、位移、速度、加速度及其有关计算；理解并掌握切向与法向加速度概念。
2、掌握速度、加速度的矢量性和相对性及其在具体问题中的应用。
3、掌握由质点运动方程求轨迹方程、速度、加速度的方法。
4、掌握已知加速度及初始条件求速度、运动方程的方法。
5、理解并掌握相对运动问题。
第三章动量定理及动量守恒律基本内容：牛顿第一定律和惯性参考系，惯性质量和动量，主动力和被动力，牛顿运动定律的应用，非惯性系中的力学，用冲量表述的动量定理，质点系动量定理和质心运动定理，动量守恒定律，火箭的运动。
考核要求：1、掌握牛顿运动定律及其应用，熟练运用隔离体法解题，掌握质点动力学的两类基本问题的求解方法，会求解变力作用下简单的质点动力学问题。
2、掌握动量和冲量的概念及其计算，掌握质点动量定理及其应用。
3、掌握质点系动量定理、质心运动定理、动量守恒定律及其应用。
第四章动能和势能基本内容：能量――另一个守恒量，力的元功·用线积分表示功，质点和质点系动能定理，保守力与非保守力·势能，功能原理和机械能守恒定律，对心碰撞，非对心碰撞，质心参考系的运动·粒子的对撞。
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1 1 1 2 Ek mi vi mi (vi vi ) mi (vc vi) (vc vi) 2 2 2 i 1 1 2 1 2 2 mi (vi vc ) ( mi vi) vc m vc mi vi2 (为什么？ ) 2 i 2 2 i i 1 2 CM EK m vc 2
u 2 2 付出，它就是真正有用的能量，即
近代高能物理学为了研究微观粒子的结构、相互作用和反应 机制，需要使用加速器把粒子加速到很高的能量去碰撞静止靶子 中的粒子 ( v2 0 , v1 u) ，以观测反应的结果，与理论互相印 证。能量愈高，愈能反映出更深层次的信息。
m0 u 若m1 m2 m0 , 则m 2m0 , , vc 2 2 1 2 1 m0 2 1 u u , E总 m0u 2 2 2 2 2
式中
m1m2 称为折合质量（reduced mass）。这样一来， m1 m2
在质心系中动能只与相对速度 u 有关，故亦可称做相对动能。
1 1 2 2 E K mv c u 2 2 1 在碰撞过程中 vc 不变，质心动能 mv c2 不变，非弹性碰撞损失
2
动能将由相对动能 资用能（available energy）。
CM EK ，加 此式表明：质点系动能，等于相对于质心系的动能 2 上质心动能 Ec 1 m vc。
2
这个结论有时叫做克尼希（Kö nig）定理。从上述推理过程可 看出，不论质心系是惯性系还是非惯性系，此定理都成立。 现在讨论一种特殊情况——两体碰撞问题，即研究两个质点相 对于质心系的动能 E CM 1 m v2 1 m v2 ?
§4-8 质心参考系的运用 • 粒子的对撞
在核物理或粒子物理中经常用到质心系。现在研究质心参 考系中的动能。 设质心参考系相对于基本参考系以速度 vc 运动，对应的 坐标轴总保持平行，各质点质量为 mi ，相对于基本参考系的 速度为 v i ，相对于质心参考系的速度为 vi (i 1,2,3,n)
K
引入相对速度 u ：表示 m1 相对于 m2 的速度
2
1 1
2
2 2
2 u v12 v1 v2 (vc v1 ) (vc v ) v1 v 2
又因在质心系中有
m1v1 m2v 0 2
m2 u v1 m m 1 m1m2 2 1 1 2 CM 联立求解： EK u u 2 E相对 2 m1 m2 2 v m1u 2 m1 m2
仅为碰前总能量一半，这是按牛顿力学计算出来的，并不符合 高能粒子的实际。若按相对论计算，有效能量较这个数目还小。 加速器能量越高，能量的利用率越低，很不合算，所以现代的 大加速器多采用对碰机的形式，相同的高能粒子沿相反方向运 动，进行碰撞。这样一样 Ec=0，全部能量都有效。例如1988年 北京正负电子对撞机，每束粒子加速到2.2GeV，两束对撞的E相 对=2×2.2GeV，若用静止的靶，要得到同样的资用能，单束的加 速能量要达到1.9×104GeV，要比对撞机大4个数量级。需要付出 很高的经济代价，对撞机就是在这样的背景下应运而生。它大 大提高了有效作用能量，有较好的性能——价格比。