高中新课标必修5第一章解三角形教案

高中新课标必修5第一章 解三角形 教案讲义一 正弦定理和余弦定理以及其应用一、知识与技能：掌握正弦定理和余弦定理，并能加以灵活运用。

二、知识引入与讲解：Ⅰ、正弦定理的探索和证明及其基本应用：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC==2R例1．（1）、已知∆ABC 中，∠A 060=，a 求sin sin sin a b cA B C++++ (=2)（2）、已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c （答案：1：2：3）Ⅱ、余弦定理的发现和证明过程及其基本应用：例2．（1）、在∆ABC 中，已知=ac 060=B ，求b 及A （=b60.=A ）（2）、在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。

例3．在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断∆ABC 的类型。

分析：由余弦定理可知 222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）解：222753>+，即222a b c >+， ∴ABC 是钝角三角形∆。

练习： （1）在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，判断∆ABC 的类型。

（2）已知∆ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断∆ABC 的类型。

（答案：（1）ABC 是钝角三角形∆；（2）∆ABC 是等腰或直角三角形）例4．在∆ABC 中，060A =，1b =，面积为2，求sin sin sin a b cA B C++++的值 分析：可利用三角形面积定理111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===以及正弦定理sin sin abAB=sin cC==sin sin sin a b cA B C++++解：由1sin 2S bc A ==得2c =，则2222cos a b c bc A =+-=3，即a =从而sin sin sin a b c A B C ++++2sin aA==例题5、某人在M 汽车站的北偏西20︒的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶。

公路的走向是M 站的北偏东40︒。

开始时，汽车到A 的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A 的距离缩短了10千米。

问汽车还需行驶多远，才能到达M 汽车站？解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B 处。

在∆ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得cosC=BC AC AB BC AC ⋅-+2222=3123,则sin 2C =1- cos 2C =231432,sinC =31312,所以 sin ∠MAC = sin （120︒-C ）= sin120︒cosC - cos120︒sinC =62335 在∆MAC 中，由正弦定理得 MC=AMC MAC AC ∠∠sin sin =2331⨯62335=35 从而有MB= MC-BC=15答：汽车还需要行驶15千米才能到达M 汽车站。

练习题：1、判断满足下列条件的三角形形状，（1）、acosA = bcosB （ 等腰三角形或直角三角形）（2）、sinC =BA BA cos cos sin sin ++ （直角三角形）2、如图，在四边形ABCD 中，∠ADB=∠BCD=75︒，∠ACB=∠BDC=45︒，DC=3，求：（1） AB 的长 （2）、求四边形ABCD 的面积解（1）因为∠BCD=75︒，∠ACB=45︒，所以∠ACD=30︒ ，又因为∠BDC=45︒，所以 ∠DAC=180︒-（75︒+ 45︒+ 30︒）=30︒，所以 AD=DC=3 在∆BCD 中，∠CBD=180︒-（75︒+ 45︒）=60︒，所以︒75sin BD = ︒60sin DC，BD =︒︒60sin 75sin 3=226+ 在∆ABD 中，AB 2=AD 2+ BD 2-2⨯AD ⨯BD ⨯cos75︒= 5,所以得 AB=5（2） S ABD ∆=21⨯AD ⨯BD ⨯sin75︒=4323+ 同理， S BCD ∆= 433+所以四边形ABCD 的面积S=4336+讲义二 解三角形问题一、知识与技能:1、掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语例1.（湖南省06年高考题16题）如图3,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.(1)．证明 sin cos 20αβ+=;（2）．若DC,求β的值. 解：(1)．如图3，(2)2,sin sin(2)cos 2222πππαπββαββ=--=-∴=-=-，即sin cos 20αβ+=． （2）．在ABC ∆中，由正弦定理得,sin sin sin()sin DC AC DC βααπβα=⇒=∴=- 由(1)得sin cos 2αβ=-，2sin 22sin ),βββ∴==- 即2sin 0.sin sin ββββ-===解得．0,sin .23ππβββ<<∴=⇒= 例题2．（湖南省05年高考16题）已知在△ABC 中，sinA （sinB ＋cosB ）－sinC ＝0，sinB＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小. ．解： 由0sin )cos (sin sin =-+C B B A 得.0)sin(cos sin sin sin =+-+B A B A B A所以.0sin cos cos sin cos sin sin sin =--+B A B A B A B A 即.0)cos (sin sin =-A A B因为),,0(π∈B 所以0sin ≠B ，从而.sin cos A A = 由),,0(π∈A 知.4π=A 从而π43=+C B .由.0)43(2cos sin 02cos sin =-+=+B B C B π得即.0cos sin 2sin .02sin sin =-=-B B B B B 亦即 由此得.125,3,21cos ππ===C B B 所以,4π=A .125,3ππ==C B★●题3、（07年海南宁夏理17）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．●解：在B C D △中，πC B D αβ∠=--．由正弦定理得s i n s i n B CC DB DC C B D=∠∠．所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·．在ABC Rt △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·．★●4、（07年湖北理16题）已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ．（I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π的最大值与最小值．●解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=．★●5、（07年山东文17题）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ； （2）若52CB CA =，且9a b +=，求c ．解：（1）sin tan cos C C C =∴=又22sin cos 1C C += 解得1c o s 8C =±． tan 0C >，C ∴是锐角． 1cos 8C ∴=．（2）52CB CA =， 5cos 2ab C ∴=， 20ab ∴=． 又9a b +=22281a ab b ∴++=．2241a b ∴+=．2222cos 36c a b ab C ∴=+-=． 6c ∴=．●6．（08年高考全国）设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -=可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； （Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立， 故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.●7、(08年高考题)在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =．（Ⅰ）求sin A 的值； （Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长．解： （Ⅰ）由5cos 13B =-，得12sin 13B =，由4cos 5C =，得3sin 5C =．所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=．（Ⅱ）由332ABC S =△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=， 由（Ⅰ）知33sin 65A =，故65AB AC ⨯=，又s i n 20s i n 13A B B A C A B C ⨯==，故2206513AB =，132AB =．所以sin 11sin 2AB A BC C ⨯==．8、（08年高考江西）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c，a =，tantan 4,22A B C++= 2s i n c o s s i n B C A =，求,A B 及,b c解：由tan tan 422A B C ++=得cot tan 422C C += ∴cossin224sin cos 22C CC C += ∴14sin cos22C C =∴1sin 2C =，又(0,)C π∈ ∴566C C ππ==，或 由2sin cos sin B C A =得2sin cos sin()B B B C =+ 即sin()0B C -= ∴B C = 6B C π==2()3A B C ππ=-+=由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得1sin 2sin Bb c a A ==== 9、（08年高考重庆）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60，c =3b.求：（Ⅰ）ac的值；（Ⅱ）cot B +cot C的值.解：（Ⅰ）由余弦定理得2222c o sa b c b A=+-＝2221117()2,3329c c c c c+-=故3ac=（Ⅱ）解：cot cotB C+＝cos sin cos sinsin sinB C C BB C+＝sin()sin,sin sin sin sinB C AB C B C+=由正弦定理和（Ⅰ）的结论得227sin19··1sin sin sin·3cA aB CA bc c c====故cot cot9B C+=三、[课堂小结]（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。