拉冬变换数学基础
合集下载
Radon变换知识讲解
• 正变换：图像空间到其他空间 • 反变换：其他空间到图像空间
• 对f(x,y)的Radon变换R f ( p, ) 定义为沿由 p 和
定义的直线l的线积分 。其用于Radon变换的坐 标系如下：
Y
（x,y)
t| zq
p t
l X
• 上述线的积分可以表示为：
Rf(p, ) f(x,y )dl
Rf ap,at
f (x, y) (ap ax cos ay sin )dxdy
• 常熟因子a可以从Delta函数中提取出来，得到：
•
Rf af , at a 1 Rf p,t （放缩性）
• 若a=-1，则表明Radon变换是阶为-1的偶函数
R f p , t R f p , t
二、Radon变换的基本性质
• 1、线性
Raf bg aRf bRg
• 2、相似性
• 若 Raf，bg Rf ( p, cos , sin ) ，则
R f ax,by
1 ab
R
f
(
p,
cos
a
, sin )
b
• 3、对称性
• 若考虑下面的等式（其中 t cos,sin ）为与l垂
直方向上的单位矢量。
• Delta函数（狄克拉函数）是一个广义函数，并 没有具体的定义，该函数在非零点取值均为0， 而在整个定义域的积分为1，下面为一个最简单 的Delta函数：
(x )
0,x 1,x
0 0
• 结合直线方程，则Delta函数可以表示为：
(p
x
cos
y
sin )
0,p 1,p
x cos x cos
fx ,y 0 dF 1 q R fq ,t
• 对f(x,y)的Radon变换R f ( p, ) 定义为沿由 p 和
定义的直线l的线积分 。其用于Radon变换的坐 标系如下：
Y
（x,y)
t| zq
p t
l X
• 上述线的积分可以表示为：
Rf(p, ) f(x,y )dl
Rf ap,at
f (x, y) (ap ax cos ay sin )dxdy
• 常熟因子a可以从Delta函数中提取出来，得到：
•
Rf af , at a 1 Rf p,t （放缩性）
• 若a=-1，则表明Radon变换是阶为-1的偶函数
R f p , t R f p , t
二、Radon变换的基本性质
• 1、线性
Raf bg aRf bRg
• 2、相似性
• 若 Raf，bg Rf ( p, cos , sin ) ，则
R f ax,by
1 ab
R
f
(
p,
cos
a
, sin )
b
• 3、对称性
• 若考虑下面的等式（其中 t cos,sin ）为与l垂
直方向上的单位矢量。
• Delta函数（狄克拉函数）是一个广义函数，并 没有具体的定义，该函数在非零点取值均为0， 而在整个定义域的积分为1，下面为一个最简单 的Delta函数：
(x )
0,x 1,x
0 0
• 结合直线方程，则Delta函数可以表示为：
(p
x
cos
y
sin )
0,p 1,p
x cos x cos
fx ,y 0 dF 1 q R fq ,t
Radon变换资料讲解
二、Radon变换的基本性质
• 1、线性
Raf bg aRf bRg
• 2、相似性
• 若 Raf，bg Rf ( p, cos , sin ) ，则
R f ax,by
1 ab
R
f
(
p,
cos
a
, sin )
b
• 3、对称性
• 若考虑下面的等式（其中 t cos,sin ）为与l垂
直方向上的单位矢量。
y sin y sin
0 0
• 即在线l上的点（x，y）满足 (x ) 1 ，其他 非l上点 (x) 0 的Radon变换可以写为：
R f ( p, ) f (x, y) ( p x cos y sin)dxdy --
由于直线l的方程 p x cos y sin 给出，
Radon变换及其应用
• 主要介绍内容：
• Radon变换的定义 • Radon变换的基本性质 • Radon反变换 • Radon变换的应用
一、Radon变换的定义
• 图像变换：为了有效和快速地对图像进行处理， 常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转 换到另外一些空间，并利用在这些空间特有性质 方便地进行一些加工，最后再转换回图像空间以 得到所需要的效果。
• 其方法为：
• 首先，通过Radon变换将二维图像投影到一维 Radon域，并在 Radon域应用高阶统计量对PSF进 行辨识，不同于以往在二维图像域直接应用高阶 统计量，所以提高了算法的运算速度。将PSF作 为MA过程，使用高阶统 计量方法对模型参数进 行辨识，增加了算法对噪声的鲁棒性并可以不考 虑噪声是否有色。然后，利用估计出来的PSF， 通过Richardson- Lucy(RL)迭代解卷积算法在 Radon域估计出原图像的投影。最后反投影到图 像域来求得原图像。
(完整版)最全拉氏变换计算公式
最全拉氏变换计算公式1233． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss i s A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+Λ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；4其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- M)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5) M)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(Λ （F-6）。
拉冬变换
图十四 去噪后F-X域信号频谱
图十五 去噪后t-x域的信号
模型测试与分析
为了更加明确的看到通过F-X域Radon变换去噪的质量，我们取加 噪前第5道数据与F-X域Radon变换后t-x域中的第5道数据进行比 较，结果如图十七所示。
图十七 去噪前后信号的比较
模型测试与分析
从图十五与图十一的比较中，可以看到将高频段的噪声频率去除的 很干净，从图十五中可以看到去噪后的t-x域信号与没有加噪时的几 乎一样。这里我们再分析一下没有加噪的t-x域信号与加噪后通过 Radon变换滤波后t-x域信号幅度的相对误差，如图十八所示。
( , ) d ( x, )ei x x i x d '( x , ) ( , ) e
（2.5）
即我们把原来的t-x域数据通过拉当变换转化到τ-ρ域去噪 的方法，改为把F-X域地震数据通过拉当变换转化到f-ρ域 去噪。
max
1 2 x f max
（2.14）
式中Δx为空间方向的采样率。
模型测试与分析
5.1 F-X域拉当变换去除噪声的原理
在同一地层由于各种介质的物理性质相近，那么在不同 的地震道，同一地层有效波的能量在相同频段呈现线性关系， 经过线性叠加会增强，而由于噪声是随机的、不存在线性关 系，那么经过线性叠加能量会相对减弱，因此，我们就利用 此种特性，在F-X域通过Radon变换增强有效波的能量，消 弱噪声能量。这里我们去除噪声的方法很简单，由于经过拉 当变换之后，有效波能量增强，噪声能量会减弱，那么我们 就设定一个阈值，在ρ-ω域中将能量大于这个阈值的保留， 而能量小于这个阈值的数据置零。这样我们就可以得到通过 Radon逆变换得到去除噪声后的有效波。
拉冬变换数学基础
H 1
Radon变换原理
拉当变换有明显的物理意义，它是将时间、空间域t-x的 一条直线t=τ +ρ x映射到τ -ρ 域上的一个点，如图1所示。
（a）t-x域一条直线
（b）由t-x域映射到τ -ρ 域中的一个点
图1 t-x域一条直线与τ -ρ 域中一个点的关系
Radon变换原理
在二维连续空间-时间域的Radon正反变换对：
Radon变换原理
2.1 拉当变换的数学原理
自1917年Radon先生提出这个变换以后,拉当变换在医学、 物理学、天文学等许多领域都已得到了广泛的应用。 设函数y=g(x)连续可导,而且其反函数是单值的，d(x,t) 满足可积,则定义：
U ( , ) R[ d ( x , t )] d [ x , g ( x )]dx
在一些地震学的问题中也会涉及到RT或它在曲线积分上的 推广，这里我们将讨论层析成像在地震学中的各种应用。从 层析的意义看，沿着射线路径传播的信号（至少在高频极限 上可以这样近似地讲）累加起来构成了模型的某些性质—— 如慢度或慢度异常、衰减等等，当多道射线路径从许多方向 上穿经了该模型时，就可以提供出足以重建出该模型的信息。
模型测试与分析
5.2 F-X域拉当变换去除噪声的流程
图二 在f-ρ域滤波流程图
模型测试与分析
5.3 测试F-X域拉当正反变换
我们用某进行处理后无噪声的地震资料进行测试F-X域 Radon正变换，此地震资料采样间隔为1毫秒，采样点 为4096个点，有95道数据。在Radon变换前信号如图四 所示。
模型测试与分析
5．4 F-X域拉当变换在去噪处理中的可行性测试
给上一节地震数据加入信噪比为4分贝（这里：信噪比=20log2S/N） 的白噪声，则我们可以得到信噪比为4分贝白噪声的t-x域信号如图十 所示，它的频谱如图十一所示。
Radon变换原理
拉当变换有明显的物理意义，它是将时间、空间域t-x的 一条直线t=τ +ρ x映射到τ -ρ 域上的一个点，如图1所示。
（a）t-x域一条直线
（b）由t-x域映射到τ -ρ 域中的一个点
图1 t-x域一条直线与τ -ρ 域中一个点的关系
Radon变换原理
在二维连续空间-时间域的Radon正反变换对：
Radon变换原理
2.1 拉当变换的数学原理
自1917年Radon先生提出这个变换以后,拉当变换在医学、 物理学、天文学等许多领域都已得到了广泛的应用。 设函数y=g(x)连续可导,而且其反函数是单值的，d(x,t) 满足可积,则定义：
U ( , ) R[ d ( x , t )] d [ x , g ( x )]dx
在一些地震学的问题中也会涉及到RT或它在曲线积分上的 推广，这里我们将讨论层析成像在地震学中的各种应用。从 层析的意义看，沿着射线路径传播的信号（至少在高频极限 上可以这样近似地讲）累加起来构成了模型的某些性质—— 如慢度或慢度异常、衰减等等，当多道射线路径从许多方向 上穿经了该模型时，就可以提供出足以重建出该模型的信息。
模型测试与分析
5.2 F-X域拉当变换去除噪声的流程
图二 在f-ρ域滤波流程图
模型测试与分析
5.3 测试F-X域拉当正反变换
我们用某进行处理后无噪声的地震资料进行测试F-X域 Radon正变换，此地震资料采样间隔为1毫秒，采样点 为4096个点，有95道数据。在Radon变换前信号如图四 所示。
模型测试与分析
5．4 F-X域拉当变换在去噪处理中的可行性测试
给上一节地震数据加入信噪比为4分贝（这里：信噪比=20log2S/N） 的白噪声，则我们可以得到信噪比为4分贝白噪声的t-x域信号如图十 所示，它的频谱如图十一所示。
第二章拉氏变换的数学方法
一、拉氏变换的定义： 拉氏变换的定义： 设f（t）是定义在（0，∞）区间上的时间函 （ ）是定义在（ ， ） --st 为复数（ ），用 乘以f（ ） 数，又s为复数（s= σ +jw），用e 乘以 （t）后， 为复数 ）， 再将它对t从 ∞ 进行积分，如果这个积分收 进行积分， 再将它对 从0 则这个积分便确定了一个以s为参量的复变函 敛，则这个积分便确定了一个以 为参量的复变函 数F（s）； （ ）； F（s）=L f（t） = ∞ f（t）e --stdt （） （） （）
L [d f(t)/ dt ] = s2 F(s) –s f(0)– f `(0) L [d f(t)/ dt] = s F(s) – f(0)
2
2
3、积分定理： 、积分定理： n n (--1) n L[ …. f(t) dt ]=(1/s ) F(s) + (1/s ) f (0) + n …..(1/s) f (--n) (0) (--n) (--1) (--2) f (0) , f (0) , ……, f (0)为 f(t) 的各重积分在 为 t= 0时的值，若初值为 0 则， 时的值， 时的值 L[ f (t) dt ]=(1/s) F(s) L[ f (t) dt 2 ]=(1/s2 ) F(s) L[ …. f (t) dtn ]=(1/sn ) F(s)
0
F(s)------象函数 象函数 f(t)-------原函数 原函数
二、几种典型函数的拉氏变换
加于控制系统中的外作用（ 加于控制系统中的外作用（指给定值和 干扰）一般事先是不完全知道的， 干扰）一般事先是不完全知道的，而且常常随 时间任意变化。为了便于对系统进行理论分析， 时间任意变化。为了便于对系统进行理论分析， 工程实践中允许采用以下几种简单的时间函数 作为系统的典型输入， 单位阶跃函数、 作为系统的典型输入，即：单位阶跃函数、单 位斜坡函数、等加速函数、指数函数、正弦函 位斜坡函数、等加速函数、指数函数、 数以及单位脉冲函数等。 数以及单位脉冲函数等。
拉冬变换数学基础
模型测试与分析
5．4 F-X域拉当变换在去噪处理中的可行性测试
给上一节地震数据加入信噪比为4分贝（这里：信噪比=20log2S/N） 的白噪声，则我们可以得到信噪比为4分贝白噪声的t-x域信号如图十 所示，它的频谱如图十一所示。
图十 信噪比为4分贝的地震 信号
图十一 被白噪声污染的地震 信号的频谱
图十四 去噪后F-X域信号频谱
图十五 去噪后t-x域的信号
模型测试与分析
为了更加明确的看到通过F-X域Radon变换去噪的质量，我们取加 噪前第5道数据与F-X域Radon变换后t-x域中的第5道数据进行比 较，结果如图十七所示。
图十七 去噪前后信号的比较
模型测试与分析
从图十五与图十一的比较中，可以看到将高频段的噪声频率去除的 很干净，从图十五中可以看到去噪后的t-x域信号与没有加噪时的几 乎一样。这里我们再分析一下没有加噪的t-x域信号与加噪后通过 Radon变换滤波后t-x域信号幅度的相对误差，如图十八所示。
(,t x)d
2.3
Radon变换原理
在计算机实现中，由于在时间域和空间域的离散采样， 不能应用连续函数方程，因此用离散的累加来代替连续域 的积分运算；为了消除离散采样的有限孔径的影响，利用 最小平方法计算离τ -ρ 变换。二维离散时间、空间域的 拉当正反变换对：
（，） d (x,t x)
Radon变换原理
2.1 拉当变换的数学原理
自1917年Radon先生提出这个变换以后,拉当变换在医学、 物理学、天文学等许多领域都已得到了广泛的应用。 设函数y=g(x)连续可导,而且其反函数是单值的，d(x,t) 满足可积,则定义：
U( , ) R[d(x,t)] d[x, g(x)]dx (2.1)
Radon变换
1、Radon变换定义
对f(x,y)的Radon变换Rf(p, θ)定义为沿由p和θ 定义的直线l的线积分。
1、Radon变换定义
上述线积f(xyd
f
如果借助Delta函数，上述线积分还可写为：
( p , ) f ( x , yp ) ( x c o s y s i n ) d x d y R
(4)平移性
给定
，则对任意的
常数a和b，f(x-a,y-b)的Radon变换可如下计 算：
2、Radon变换基本性质
(5)微分 这里仅考虑 ，其他结果可用相同方法得到。
f x
e ) f f [ x ( y ] f (, x y ) c o s , i m e xl e 0 c o s
现在对上式两边取Radon变换，利用平移性质 得到：
[ pe ,] t [,] p t f R R f f [ ] c o s l i m x e e 0
2、Radon变换基本性质
根据偏微分的定义得到：
R [p ,t] f f [ ]c o s x p
s g n q { q } = { q s g n q } { j 2 q } { } F F F F j 2
1 1 1 1
利 用 微 分 性 质 ， 可 将 上 式 第 2 个 等 号 右 边 的 第 一 个 反 变 换 表 示 为 ：
3、Radon反变换
{2} j （ p ） F
1 ，
利 用 柯 西 主 值 ， 可 将 上 式 第 2 个 等 号 右 边 的 第 2 个 反 变 换 表 示 为 ：
s g nq 1 1 { } = ( ) 2 F j2 2 p
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Radon变换原理
2.3 参数的确定
参数包含斜率参数ρ和斜率参数的采样间隔Δρ。 1、采样间隔Δρ的选择
x 设 f max 是原始数据中的最高有效频率，max 和 xmin分别是 最大炮检距和最小炮检距。
Radon变换原理
F-X域拉当变换中斜率参数ρ 采样率应该满足的条件 为：
2 B f 2
max
1 2 x f max
（2.14）
式中Δx为空间方向的采样率。
模型测试与分析
5.1 F-X域拉当变换去除噪声的原理
在同一地层由于各种介质的物理性质相近，那么在不同 的地震道，同一地层有效波的能量在相同频段呈现线性关系， 经过线性叠加会增强，而由于噪声是随机的、不存在线性关 系，那么经过线性叠加能量会相对减弱，因此，我们就利用 此种特性，在F-X域通过Radon变换增强有效波的能量，消 弱噪声能量。这里我们去除噪声的方法很简单，由于经过拉 当变换之后，有效波能量增强，噪声能量会减弱，那么我们 就设定一个阈值，在ρ-ω域中将能量大于这个阈值的保留， 而能量小于这个阈值的数据置零。这样我们就可以得到通过 Radon逆变换得到去除噪声后的有效波。
图四 原始信号图
模型测试与分析
对此地震资料进行傅立叶变换我们可以得到此地震数据 的频谱如图五所示。
图五 原始信号频谱图
在图五中我们可以看到此地震数据是一个频率10赫兹到 30赫兹之间的信号。
模型测试与分析
对这个地震数据进行F-X域Radon变换，变换后的信号在f-ρ 域如图 六所示。
图六 原始信号F-X域Radon变换
结束语
但是这种方法也有不足之处，首先阀值设置过大 会损坏有效波，设置过小会使噪声去除的不干净，以 致于使信噪比不能很好的提高，其次实际地震资料处 理中数据比较大，运行一次时间比较长，通过反复的 测试选定阀值比较浪费时间，会使工作效率下降。因 此，在设置阀值方面还有待提高。
在一些地震学的问题中也会涉及到RT或它在曲线积分上的 推广，这里我们将讨论层析成像在地震学中的各种应用。从 层析的意义看，沿着射线路径传播的信号（至少在高频极限 上可以这样近似地讲）累加起来构成了模型的某些性质—— 如慢度或慢度异常、衰减等等，当多道射线路径从许多方向 上穿经了该模型时，就可以提供出足以重建出该模型的信息。
拉东（Radon）变换
Radon变换是数学上的一种变换。 本章先介绍拉东（Radon）变换（RT）及其反变 换（IRT）; 介绍以Radon变换为理论基础的CT（Computer Tomography）技术，以及它们在地球物理勘探中 的一些应用。
Radon变换原理
一个二维函数的Radon变换（RT）是由沿多条直线的积分 所组成的，这个运算同医学、结晶学、地球物理学等诸多领 域中的大量物理实验相对应，一般将它们称之为投影试验。
( , ) d ( x , ) e i x x d '( x , ) ( , ) e i x
（2.5）
即我们把原来的t-x域数据通过拉当变换转化到τ-ρ域去噪 的方法，改为把F-X域地震数据通过拉当变换转化到f-ρ域 去噪。
模型测试与分析
5.2 F-X域拉当变换去除噪声的流程
图二 在f-ρ域滤波流程图
模型测试与分析
5.3 测试F-X域拉当正反变换
我们用某进行处理后无噪声的地震资料进行测试F-X域 Radon正变换，此地震资料采样间隔为1毫秒，采样点 为4096个点，有95道数据。在Radon变换前信号如图四 所示。
模型测试与分析
对含白噪声的信号在F-X域进行Radon变换，得到从F-X域映射到f-ρ 域的f-ρ 图，如图十二所示，在f-ρ 域去除噪声后的f-ρ 图，如图十三所示。
图十二 F-X域Radon变换结果
图十三 在f-ρ域去噪结果
模型测试与分析
将去噪后的信号从f-ρ域返回到F-X域，得到频率、空间F-X 域的频 谱，如图十四所示。再通过反傅立叶变换将F-X域的信号返回到tx域，得到时间、空间t-x域的信号，如图十五所示。
Radon变换原理
若 x 是二维位置矢量，那么函数 f (x ) 的Radon变换定义
为:
ˆ f ( p, )
L
f ( x ) ds
式中直线 所对应的方程表达式为:
p x cos y sin r cos( )
其中 x ( x, y ) (r , ) 分别为直角坐标和极坐标的表达。
在图六中我们可以看到图中存在一个脉冲，由于在x-t域共炮点道集 是有限的，做Radon变换会引起畸变端点效应，即能够看到端点发 散效应，变换到f-ρ域是一个能量团，这与理论是一致的。
模型测试与分析
我们把f-ρ 域的信号返回到F-X域，信号谱图如图七所示，经过反傅立 叶变换我们将Radon变换后的F-X信号变换到t-x域，信号图如图八所示。
Radon变换原理
直射线投影中的几何分布与变量。直角坐标 ( x ,
定义了模型中的位置矢量 投影角
决定了
( p, )
x
y ) 和极坐标 ( r , )
坐标系。投影试验是在S 坐标的方向上沿着线L S
对模型做积分，它给出了 ( p , ) 坐标系中的投影数据。
CT技术---扇形束投影示意图
模型测试与分析
5．4 F-X域拉当变换在去噪处理中的可行性测试
给上一节地震数据加入信噪比为4分贝（这里：信噪比=20log2S/N） 的白噪声，则我们可以得到信噪比为4分贝白噪声的t-x域信号如图十 所示，它的频谱如图十一所示。
图十 信噪比为4分贝的地震 信号
图十一 被白噪声污染的地震 信号的频谱
( , ) d ( x , t x )dx 1 dH d ( x, t ) ( , t x)d 2 dt
2.3
Radon变换原理
在计算机实现中，由于在时间域和空间域的离散采样， 不能应用连续函数方程，因此用离散的累加来代替连续域 的积分运算；为了消除离散采样的有限孔径的影响，利用 最小平方法计算离τ -ρ 变换。二维离散时间、空间域的 拉当正反变换对：
(2.1)
为拉当正变换的连续公式,
d ( x, t ) 1 2 | g '( x ) | t H U (t2)
为拉当反变换的连续公式。
Radon变换原理
其中是d(x,t)拉当反变换的结果， t ， 称为Hilbert H 算符。根据g(x)的不同,可以把Radon变换分为线性拉东变 换和非线性拉当变换：①如果g(x)=x，则我们定义的拉当 变换就是线性Radon变换，既τ -ρ 变换，该变换把t-x域 中的一条直线映射成τ -ρ 域中的一个点；②如果g(x)是 其它的非线性函数，则我们定义的拉当变换就是非线性 x2 Radon变换,或称为广义Radon变换。
， ） d ( x , t x ) （ x d '( x , t ) ， =t- x） （
2.4
Radon变换原理
2.2 F_X域拉当变换的数学原理
由于在t-x域中直接运算时间是非常大的，为了降低运算 时间，可以将t-x域中求逆转换到F-X域中。 在F-X域拉当变换对为：
图十四 去噪后F-X域信号频谱
图十五 去噪后t-x域的信号
模型测试与分析
为了更加明确的看到通过F-X域Radon变换去噪的质量，我们取加 噪前第5道数据与F-X域Radon变换后t-x域中的第5道数据进行比 较，结果如图十七所示。
图十七 去噪前后信号的比较
模型测试与分析
从图十五与图十一的比较中，可以看到将高频段的噪声频率去除的 很干净，从图十五中可以看到去噪后的t-x域信号与没有加噪时的几 乎一样。这里我们再分析一下没有加噪的t-x域信号与加噪后通过 Radon变换滤波后t-x域信号幅度的相对误差，如图十八所示。
图十八 没加噪信号与加噪滤波后信号的相对误差
模型测试与分析
在图十八中，没有加噪的t-x域信号与加噪后通过Radon 变换滤波后t-x域信号幅度的相对误差几乎为零，只有 少数点存在较大的相对误差，因此，我们可以说明这种 F-X域Radon变换是一种很好的去噪方法，值得推广及利 用。
结束语
在本文我们利用F-X域拉当变换去除噪声，这种方法不 同于以往所用的去噪方法。这种方法是利用在同一频 段，各地震道有效波的频段经过线性积分后能量会相 对于噪声频段增强，而噪声频段的能量相对消弱，我 们就通过设定阀值来去除噪声。这种去噪方法原理简 单，使用简便，能够提高信噪比。
H 1
Radon变换原理
拉当变换有明显的物理意义，它是将时间、空间域t-x的 一条直线t=τ +ρ x映射到τ -ρ 域上的一个点，如图1所示。
（a）t-x域一条直线
（b）由t-x域映射到τ -ρ 域中的一个点
图1 t-x域一条直线与τ -ρ 域中一个点的关系
Radon变换原理
在二维连续空间-时间域的Radon正反变换对：
( xmax xmin )
2.12
1 f ( xmax xmin )
Radon变换原理
由此我们可以知道F-X域拉当变换中斜率参数ρ 的临界采样 率Δ ρ c为：
c 1/ f max ( xmax xmin )
2.13
Radon变换原理
2、斜率参数ρ 的扫描范围 为了避免f-ρ 变换过程中产生假频,必须正确选择射 线参数p的范围,射线参数ρ 的扫描范围满足下式：
Radon变换原理
2.1 拉当变换的数学原理
自1917年Radon先生提出这个变换以后,拉当变换在医学、 物理学、天文学等许多领域都已得到了广泛的应用。 设函数y=g(x)连续可导,而且其反函数是单值的，d(x,t) 满足可积,则定义：